期中复习—圆(1)

如图1，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心的⊙O的半径为，直线AC：y=-x-与坐标轴分别交于A，C两点，点B的坐标为（4，1），⊙B与X轴相切于点M．（1）求点A的坐标及∠CAO的度数；（2）⊙B以每秒1个单位长度的速度沿x轴负方向平移，同时，直线a绕点A顺时针匀速旋转．当⊙B第一次与⊙O相切时，直线a也恰好与⊙B第一次相切．问：直线AC绕点A每秒旋转多少度；（3）如图2，过A，O，C三点作⊙O1，点E是劣弧AO上一点，连接EC，EA．EO，当点E在劣弧AO上运动时（不与A，O两点重合），的值是否发生变化？如果不变，求其值；如果变化，说明理由若点D 的横坐标为27-,点I △AOB 内心,IE ⊥AB 于点E,当过OD 两点的圆发生大小变化时,其结论AE-BE 的值是否发生变化?若不变说明理由,若变化求出取值范围3．已知：如图直线PA 交⊙O 于A ，E 两点，PA 的垂线DC 切⊙O 于点C ，过A 点作⊙O 的直径AB ．（1）求证：AC 平分∠DAB ．（2）若DC ＝4，DA ＝2，求⊙O 的直径．4. ．（1）已知：如图1，ABC ∆是⊙O 的内接正三角形，点P 为弧BC 上一动点，求证：PA PB PC =+（2）如图2，四边形ABCD 是⊙O 的内接正方形，点P 为弧BC 上一动点，求证：PA PC =（3）如图3，六边形ABCDEF 是⊙O 的内接正六边形，点P 为弧BC 上一动点，请你写出PA ，PB ，PC 三者之间的数量关系表达式．（不需要证明）5. 问题探究：（1）如图1，在边长为3的正方形ABCD 内（含边）画出使∠BPC =90°的一个点P ，保留作图痕迹；（2）如图2，在边长为3的正方形ABCD 内（含边）画出使∠BPC =60°的所有的点P ，保留作图痕迹并简要说明作法；（3）如图3，已知矩形ABCD ，AB =3，BC =4，在矩形ABCD 内（含边）画出使∠BPC =60°，且使△BPC 的面积最大的所有点P ，保留作图痕迹．6 .如果关于x 的一元二次方程有两个不相等实根，k 为正整数图2 图3图1 图3图2图1A D C B A B C D D C B A1)求k的值2)此方程的两个整数根，（）时，设A（x1,0），B(x2,0)以AB为直径画圆与有公共点时，求b的取值范围3)在（2）的条件下，设D（0，x1），点E是线段DB的动点，当△BOD绕原点o旋转360°过程中，点E的对应点F，则线段CF的最大值是____________最小值是________7. 在平面直角坐标系中,已知△AOB是等边三角形,点A坐标是(0,4),点B在第一象限,点P 是x轴上一个动点,连接AP,并把△AOP绕着点A按逆时针旋转.1.如图,当点P，且旋转到边AO与AB重合，得到△ABD时，求此时DP的长及点D坐标.2.是否存在点P使得△POD面积等于若存在，求出符合条件的点P的坐标，若不存在，说明理由.8. 已知a 是一元二次方程012012x 2=+-x 的一个根，求代数式120122011a 22++-a a 的值?9. 化简并求值a a a -+--+22212a 1-a a 2a -1 其中a=321+10.已知关于x 的方程 03)2(x 2=-+-+k x k⑴求证：方程总有两个实数根⑵设)0,(),0,(21x B x A ，其中 21,x x 为方程的两个实数根，且 21x x ≠ ，且 k<4 ，AB 为直径在x 轴上方画半圆，当直线l ：k x y +=33与半圆有公共点时，求k 的取值范围11.已知点B (2,0) ，以坐标原点为圆心，1为半径的圆分别交x 轴的正半轴于点A , y 轴的负半轴于点D ，连接BD 交 圆O 于点E ⑵ 线段DE 的长⑵若C (0,2) ,P(a ，25) ，且满足 ∠APB=∠ACB ，求a 的值已知△ADC为等腰直角三角形，AC=82△ABC为含30°的直角三角形，求三角形BCD面积？。

中考考点突破之圆的专题复习考点精讲1.理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等圆、等弧的概念；2.探索并证明垂径定理；3.探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，了解并证明圆周角定理及其推论；考点解读考点1：垂径定理及其运用①与圆有关的概念和性质：（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．如图所示的圆记做⊙O. （2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦.（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧. （4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.（5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角.（6）弦心距：圆心到弦的距离.②垂径定理及其推论：（1）定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）推论：(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.（3）延伸：根据圆的对称性，如图所示，在以下五条结论中：①弧AC=弧AD; ②弧B D=弧C B；③C E=D E; ④AB⊥CD; ⑤AB是直径.只要满足其中两个，另外三个结论一定成立，即推二知三.考点2：圆周角定理及其运用①圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．②圆周角定理及其推论：（1）定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 如图a ,∠A =1/2∠O .图a 图b 图c( 2 )推论：① 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.如图b ，∠A =∠C .② 直径所对的圆周角是直角.如图c ,∠C =90°.圆内接四边形的对角互补.如图a ，∠A +∠C =180°，∠ABC +∠ADC =180°.考点3：点与圆的位置关系①点与圆的位置关系：设点到圆心的距离为d .(1)d <r ⇔点在⊙O 内；(2)d ＝r ⇔点在⊙O 上；(3)d >r ⇔点在⊙O 外．考点4：切线性质及其证明①切线的判定：（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）.（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线.（3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.②切线的性质：（1）切线与圆只有一个公共点.（2）切线到圆心的距离等于圆的半径.（3）切线垂直于经过切点的半径考点5：正多边形与圆①正多边形的有关概念：边长(a )、中心(O )、中心角(∠AOB )、半径(R ))、边心距(r ),如图所示①. 222⎪⎭⎫ ⎝⎛-=a R r 边心距n ︒=360中心角②内切圆的有关概念：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．考点6：与圆有关的计算①弧长和扇形面积的计算：扇形的弧长l ＝180n r π；扇形的面积S ＝2360n r π＝12lr②圆锥与侧面展开图（1）圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线，扇形的弧长等于圆锥的底面周长.（2）计算公式：2180n R l r ππ==, S 侧=12lR =πrl考点突破1．（2021秋•德城区校级期中）在平面直角坐标系中，⊙C 的圆心坐标为（1，0），半径为1，AB 为⊙C 的直径，若点A 的坐标为（a ，b ），则点B 的坐标为（ ）A ．（﹣a ﹣1，﹣b ）B ．（﹣a +1，﹣b ）C ．（﹣a +2，﹣b ）D ．（﹣a ﹣2，﹣b ）2．（2021秋•普兰店区期末）如图，⊙O 的半径为5，C 是弦AB 的中点，OC ＝3，则AB 的长是（）A．6 B．8 C．10 D．123．（2021秋•禹州市期中）如图拱桥可以近似地看作直径为250m的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，这些钢索中最长的一根的长度为25m，那么其正下方的路面AB的长度为（）A．100m B．130m C．150m D．180m4．（2020秋•永城市期末）如图，点A，B，C，D均在以点O为圆心的圆O上，连接AB，AC 及顺次连接O，B，C，D得到四边形OBCD，若OD＝BC，OB＝CD，则∠A的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．35°5．（2021秋•郾城区期末）如图，在⊙O中，＝，直径CD⊥AB于点N，P是上一点，则∠BPD的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．15°6．（2022•泗洪县一模）圆内接四边形ABCD，∠A，∠B，∠C的度数之比为3：4：6，∠D 的度数为（）A．60°B．80°C．100°D．120°7．（2016•中山市模拟）如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在劣弧AB上，连接DP，交AC 于点Q．若QP＝QO，则的值为（）A．B．C．D．8．（2021秋•舞阳县期末）⊙O的半径为R，点P到圆心O的距离为d，并且d≥R，则P点（）A．在⊙O内或⊙O上B．在⊙O外C．在⊙O上D．在⊙O外或⊙O上9．（2021秋•丛台区校级期中）下列说法正确的是（）A．过一点A的圆的圆心可以是平面上任意点B．同一平面内，过两点A、B的圆的圆心在一条直线上C．过三点A、B、C的圆的圆心有且只有一点D．过四点A、B、C、D的圆不存在10．（2021秋•射阳县校级期末）下列语句中，正确的是（）A．经过三点一定可以作圆B．等弧所对的圆周角相等C．相等的弦所对的圆心角相等D．三角形的外心到三角形各边距离相等11．（2021秋•禹州市期末）如图，AB是⊙O的直径，C是BA延长线上一点，点D在⊙O上，且CD＝OA，CD的延长线交⊙O于点E．若∠C＝20°，则∠BOE的度数是．12．（2021•五通桥区模拟）如图，圆O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A＝22.5°，OC ＝4，CD的长为．13．（2021秋•甘州区校级期末）在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道AB＝1尺（1尺＝10寸），则该圆材的直径为寸．14．（2021秋•西峡县期末）如图，ABCD是⊙O的内接四边形，AD＝CD，点E在AD的延长线上，∠CDE＝52°，则∠AOD＝．15．（2021秋•郾城区期末）如图，在⊙O中，AB为直径，∠ACB的平分线交⊙O于D，AB＝6，则BD＝．16．（2021•内乡县二模）婆罗摩笈多（公元598﹣660），印多尔北部乌贾因地方人（现巴基斯坦信德地区），在数学、天文学方面有所成就．他编著了《婆罗摩修正体系》《肯达克迪迦》等著作，他还提出了几何界的“婆罗摩笈多定理”．该定理可概述如下：如图，圆O的两条弦AB和CD互相垂直，垂足为E，连接BC，AD，若过点E作BC的垂线EF，延长FE与AD相交于点G，则G为AD的中点．为了说明这个定理的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程．已知：如图，在圆O的内部，AB⊥CD，垂足为E，．求证：．17．（2021秋•长垣市期末）豫东北机场待建在即，国道515围机场绕道而行．如图是公路转弯处的一段圆弧，点O是这段圆弧的圆心．直径CD⊥AB于点F．BE平分∠ABC交CD 于点E，AB＝3km，DF＝450m．（1）求圆的半径；（2）请判断A、B、E三点是否在以点D为圆心DE为半径的圆上？并说明理由．18．（2022•眉山模拟）如图所示，⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB＝CD，连接AD，BC，求证：（1）＝；（2）AE＝CE．19．（2021秋•内乡县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点E．（1）求证：BE＝CE；（2）若BD＝3，CE＝4，求AC的长．20．（2021•信阳模拟）定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．（1）如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角，若∠A＝α，请用含α的代数式表示∠E．（2）如图2，四边形ABCD内接于⊙O，＝，四边形ABCD的外角平分线DF交⊙O于点F，连接BF并延长交CD的延长线于点E．求证：∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．。

期中复习巩固卷（一）-小学语文六年级下册部编版一、选择题1．选择加点字读音完全正确的一组，把序号填在括号里（）A．眨．（zhá）眼汤匙．（chí）栖．（qī）息肿胀．（zhàng）B．板栗．（lì）栅．（zhà）栏依偎．（wēi）敦．厚（duān）C．藤蔓．（wàn）揶．（nuò）移唠叨．（dao）彼．（bǐ）此D．倾覆．（fù）藏．（zàng）戏防御．（yì）通宵．（xiāo）2．下列词语中没有错别字的一组是（）A．万象更新弄巧成拙涛涛不绝蚊丝不动B．悬崖峭壁万不得己欣喜若狂重见天日C．翻箱倒柜头晕目眩随心所欲无瑕顾及D．庞然大物焉知非福心平气和波澜壮阔3．下列词语搭配完全正确的一组是（）A．提高水平增加质量增进关系发扬传统B．改善生活改进方法改正缺点修理机器C．神情激动身体强大参观演出歼灭敌人D．增强信心设计服装安装电脑增长乐趣4．下列句子中，没有使用修辞手法的一项是（）A．过了二十三，大家就更忙了，春节眨眼就到了啊。

B．我何曾留着像游丝样的痕迹呢？C．家中也有灯：走马灯、宫灯、各形各色的纸灯……D．公鸡叫道：“他活该，咯咯里咕，他扯过我的鸡冠！”5．下列关于阅读名著的方法，说法不正确的一项是（）A．在读书时，可以在页面的空自处随时写下自己的感悟。

B．看到特别喜欢的段落，可以摘抄下来，并标注好内容的页码。

C．遇到人物关系复杂的名著，可不用理会人物的关系，只要往下读就行。

D．读完一本书后可以把全书的结构写下来，还可以写写作者在书中表达的一些想法。

6．依次填入下列各句的词语中，恰当的一组是（）（1）由于老师和家长缺乏有效的，致使两者关系紧张成为当前的普遍现象。

（2）多渠道、多层次、多方位特区人才成长的“立交桥”，培养更多、更好的特区建设者。

（3）买彩票当然是希望有机会中大奖，但彩民不要地去追求这种机会。

2016-2017年九年级数学上册期中复习专题--圆1.已知⊙O 的半径为5，点O 到弦AB 的距离为3，则⊙O 上到弦AB 所在直线的距离为2的点有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个2.如图,A、D 是⊙O 上的两个点,BC 是直径,若∠D=350,则∠OAC 的度数是()A.35°B.55°C.65°D.70°3.如图,⊙O 的直径为10cm,弦AB 为8cm,P 是弦AB 上一点,若OP 的长为整数.则满足条件的点P 有()A.2个 B.3个 C.4个 D.5个4.如图,⊙O 的直径A B=12,CD 是⊙O 的弦,D⊥AB,垂足为P,且BP:AP=1:5.则CD 的长为()A.52 B.54 C.24 D.285.如图,⊙O 中,ABDC 是圆内接四边形,∠BOC=1100,则∠BDC 的度数是（）A.110°B.70°C.55°D.125°6.如图,⊙O 过点B、C，圆心O 在等腰直角△ABC 的内部,∠BAC=900,OA=1,BC=6,则圆O 的半径为（）A.10B.32C.13D.237.如图,□ABCD顶点A、B、D在⊙O上,顶点C在⊙O的直径BE上,∠ADC=700,连接AE,则∠AEB度数为（）A.20°B.24°C.25°D.26°8.如图,⊙O的半径OA，OB,且OA⊥OB,连结AB,现在⊙O上找一点C,使OA2+AB2=BC2，则∠OAC度数为（）A.15°或75°B.20°或70°C.20°D.30°9.如图,已知EF是⊙O的直径,把∠A为600的直角三角板ABC的一条直角边BC放在直线EF上,斜边AB与⊙O交于点P,点B与点O重合,且AC大于OE,将三角板ABC沿OE方向平移,使得点B与点E重合为止.设∠POF=x,则x 的取值范围是（）A.30≤x≤60B.30≤x≤90C.30≤x≤120D.60≤x≤12010.如图,AB是⊙Ｏ的直径,E是弧ＢC的中点,OE交BC于点D,OD=3,DE=2,则AD的长为（）A.65B.1323 C.8 D.1311.如图,⊙O的半径OD⊥弦AB于点C,连结AO并延长交⊙O于点E,连结EC.若AB=8,CD=2,则EC的长为()A.102 D.82 C.152 B.1312.如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上,∠AMN=300,点B为劣弧AN的中点.点P是直径MN上一动点,则PA+PB的最小值为（）A.2B.1C.2D.2213.如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上,∠AMN=300,点B为劣弧AN的中点.点P是直径MN上一动点,则PA+PB的最小值为（）A.2B.1C.2D.2214.在平面直角坐标系中，以原点O为圆心的圆过点A（0,53），直线y=kx-3k+4与⊙O交于B，C两点，则弦BC的长的最小值为()A.5B.53 D.542 C.515.如图,AB是⊙O直径,CD是⊙O弦,AB，CD的延长线交于E,AB=2DE,∠E=180,∠C=_____,∠AOC=_______.16.如图,点A、B、C、D在⊙O上,O点在∠D的内部,四边形OABC为平行四边形,则∠OAD+∠OCD=0．17.如图，⊙O内接四边形ABCD中，AB=CD则图中和∠1相等的角有。

期末知识大串讲人教版数学六年级上册期末章节考点复习讲义第五单元圆知识点01：圆的认识1. 圆是轴对称图形，直径所在的直线是圆的对称轴。

2. 一个圆有无数条半径，有无数条直径。

圆有无数条对称轴。

3. 在同圆或等圆中，所有的半径都相等，所有的直径都相等。

4. 在同圆或等圆中，r=d 或d=2r 。

知识点02：圆的周长及圆周率的意义1.测量圆的周长的方法：绕绳法和滚动法。

2.圆的周长除以直径的商是一个固定的数。

我们把它叫做圆周率，用字母π表示。

3.圆的周长的计算公式：C=πd ，C=2πr知识点03：圆的面积公式的推导及应用1.圆的面积计算公式是 ：S ＝πr ²2.求圆的面积，要根据圆的面积计算公式来求。

3.圆环面积的计算方法：S ＝πR2－πr ²或S ＝π(R －r)²。

4.“外方内圆”图形中，圆的直径等于正方形的边长。

如果圆的半径为r ，那么正方形和圆之间部分的面积为0.86r ²。

5.“外圆内方”图形中，这个正方形的对角线等于圆的直径。

如果圆的半径为r ，那么圆和正方形之间部分的面积为1.14r ²。

知识点04：扇形的认识1.一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形；2.顶点在圆心的角叫做圆心角；3.扇形的大小和半径的长短、圆心角的大小有关。

考点01：圆的认识1．（2018秋•朝阳区校级期中）圆的周长是直径的（ ）倍A ．3.14B ．3.1415926C ．3D ．π【思路引导】根据圆的周长公式，求出周长和直径的关系。

12【完整解答】解：C＝πd＝π所以圆的周长是直径的π倍。

故选：D。

2．（2015秋•龙泉驿区校级期中）在一个长10cm，宽5cm的长方形中画一个最大的圆，它的半径是（）cm．A．10 B．5 C．2.5 D．1.5【思路引导】根据题意可知：在这个长方形中画一个最大的圆，这个圆的直径等于长方形的宽，根据同圆中直径是半径的2倍，半径是直径的，根据一个数乘分数的意义，用乘法解答．【完整解答】解：5×（厘米），答：它的半径是2.5厘米．故选：C。

六上期中复习——圆的专题知识一、圆的基本知识、相关公式及常用数字计算常用名称：半径（r）、直径（d）、周长（C）、面积（S）1、半径、直径公式：d = 2 ×r ，半径r = d÷22、半径、周长公式：C = 2×π×r（直径C = π×d）r = C÷π÷2， d = C÷π3、半径、面积公式：S =π×r2（或π×r×r）4、半径、半圆周长公式：C半圆=π×r + 2×r=（π+ 2）×r=5.14×r半圆弧长的公式：C半圆弧= 2×π×r÷2 =π×r思路：已知半径，就直接利用公式求解；已知其他的，那么，无论求直径、周长、面积，都先求出半径，进而再根据对应的公式求解！3.14×1=3.14 3.14×2=6.28 3.14×3=9.42 3.14×4=12.56 3.14×5=15.73.14×6=18.84 3.14×7=21.98 3.14×8=25.12 3.14×9=28.26 3.14×10=31.43.14×22=3.14×4=12.56 3.14×32=3.14×9=28.263.14×42=3.14×16=50.24 3.14×52=3.14×25=78.53.14×62=3.14×36=113.04 3.14×72=3.14×49=153.863.14×82=3.14×64=200.96 3.14×92=3.14×81=254.34二、圆相关的基本知识应用（15分钟）半径、直径公式：d = 2 ×r 或r = d÷21、圆规：圆规两脚之间的距离即为半径，即圆心到圆的距离为半径例1、圆规两脚之间的距离是5厘米，用它画成的圆的直径是（）厘米。

北理工附中2026届高二数学（上）期中复习一1的倾斜角为（ ）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°2．已知直线平分圆：的周长，则（ ）A ．B ．C ．D ．3．如图，在四面体中，，点在上，且，为的中点，则等于（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知向量，，，当时，向量在向量上的投影向量为（ ）（用坐标表示）A ．B ．C ．D ．5．已知直线：和直线：，下列说法错误的是（ ）A ．始终过定点B ．若，则或-3C ．若，则或2D ．当时，始终不过第三象限6．空间内有三点，则点P 到直线EF 的距离为（ ）AB ．CD ．7．已知圆直线，点P 在直线l 上运动，直线PA ，PB 分别与圆M 相切于点A ，B ．则下列说法正确的个数是（ ）（1）四边形PAMB（2）最短时，弦AB（3）最短时，弦AB 直线方程为 （4）直线AB 过定点8．在矩形中，，，将沿着翻折，使点在平面310y --=260x my -+=2C ()()22124x y -+-=m =2468OABC ,,OA a OB b OC c ===M OA 2OM MA =NBC MN121232a b c -+ 211322a b c -++ 111222a b c +- 221332a b c+- ()2,1,1a =- ()1,,1b x = ()1,2,1c =-- a b ⊥ bc ()1,2,1-()1,2,1()1,2,1--()1,2,1-1l 0x ay a +-=2l ()2310ax a y ---=2l 21,33⎛⎫ ⎪⎝⎭12l l //1a =12l l ⊥0a =0a >1l ()()()3,1,4,2,1,1,1,2,2P E F -22:(4)4M x y ++=:20+-=l x y ||PA ||PA 3380x y +-=10,23⎛⎫- ⎪⎝⎭ABCD AD a =AB b =b a >．ACD 三角形AC D上的投影恰好在直线AB 上，则此时二面角的余弦值为（ ）A．B ．CD ．9．在正三棱锥中，是的中心，，则 .10．已知直线：，：，若，则实数 .11．设，过定点A 的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值 ．12．如图，平行六面体的所有棱长均为两两所成夹角均为，点分别在棱上，且，则 ；直线与所成角的余弦值为 .13．已知的顶点，边上的中线所在直线的方程为，的平分线所在直线的方程为.(1)求直线的方程；(2)若点满足，求动点的轨迹方程.14．已知四棱锥中，底面ABCD 是正方形，平面是PB 的中点.(1)求直线BD 与直线PC 所成角的大小；(2)求点B 到平面ADE 的距离．ABC E B AC D --22a ba b2a b b +P ABC -O ABC V 2PA AC ==PO PB ⋅=1l 310mx y +-=2l ()2110x m y +-+=12l l ∥m =m ∈R 10x my ++=B 230mx y m --+=(),P x y PA PB AB ++1111ABCD A B C D -12,,,AB AD AA 60o ,E F 11BB ,DD 112,2BE B E D F DF ==EF =1AC EFABC V (1,2)A AB CM 210x y +-=ABC ∠BH y x =BC P PBC ABC S S =△△P P ABCD -PD ⊥,1,ABCD PD AB E ==15．已知圆过点三个点．(1)求圆的标准方程；(2)已知，直线与圆相交于A ，B两点，求的最小值．16．已知平面边形中，，，且.以为腰作等腰直角三角形，且，将沿直线折起，使得平面平面.(1)证明：平面；(2)若是线段上一点，且平面，①求三棱锥的体积；②求平面与平面夹角的余弦值.M ()())1,0,2,1,2--M 2a c b +=0ax by c ++=M AB ABCD //AD BC BC CD ⊥2AD CD AB ===AD PAD PA AD =PAD △AD PAD ⊥ABCD AB ⊥PAC M PD //PB MAC M ABC -PBC ABM1的倾斜角为（ ）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°【答案】A2．已知直线平分圆：的周长，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B3．如图，在四面体中，，点在上，且，为的中点，则等于（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B4．已知向量，，，当时，向量在向量上的投影向量为（ ）（用坐标表示）A ．B ．C ．D ．【答案】A5．已知直线：和直线：，下列说法错误的是（ ）A ．始终过定点B ．若，则或-3C ．若，则或2D ．当时，始终不过第三象限【答案】B310y --=260x my -+=2C ()()22124x y -+-=m =2468OABC ,,OA a OB b OC c ===M OA 2OM MA =NBC MN121232a b c-+ 211322a b c-++111222a b c+- 221332a b c+- ()2,1,1a =- ()1,,1b x = ()1,2,1c =-- a b ⊥ bc ()1,2,1-()1,2,1()1,2,1--()1,2,1-1l 0x ay a +-=2l ()2310ax a y ---=2l 21,33⎛⎫ ⎪⎝⎭12l l //1a =12l l ⊥0a =0a >1l6．空间内有三点，则点P 到直线EF 的距离为（ ）AB ．CD ．【答案】A7．已知圆直线，点P 在直线l 上运动，直线PA ，PB 分别与圆M 相切于点A ，B ．则下列说法正确的个数是（ ）（1）四边形PAMB（2）最短时，弦AB（3）最短时，弦AB 直线方程为 （4）直线AB 过定点A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A8．在矩形中，，，将沿着翻折，使点在平面上的投影恰好在直线AB 上，则此时二面角的余弦值为（ ）A ．B ．CD ．【答案】A9．在正三棱锥中，是的中心，，则 .10．已知直线：，：，若，则实数 .【答案】311．设，过定点A 的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值 ．12．如图，平行六面体的所有棱长均为两两所成夹角均为，点分别在棱上，且，则 ；直线与所成角的余弦值为 .()()()3,1,4,2,1,1,1,2,2P E F -22:(4)4M x y ++=:20+-=l x y ||PA ||PA 3380x y +-=10,23⎛⎫- ⎪⎝⎭ABCD AD a =AB b =b a >．ACD 三角形AC D ABC E B AC D --22a ba b2a b b+P ABC -O ABC V 2PA AC ==PO PB ⋅=1l 310mx y +-=2l ()2110x m y +-+=12l l ∥m =m ∈R 10x my ++=B 230mx y m --+=(),P x y PA PB AB ++1111ABCD A B C D -12,,,AB AD AA 60o ,E F 11BB ,DD 112,2BE B E D F DF ==EF =1AC EF13．已知的顶点，边上的中线所在直线的方程为，的平分线所在直线的方程为.(1)求直线的方程；(2)若点满足，求动点的轨迹方程.由点在，设则的中点所以设点关于直线ABC V (1,2)A AB CM 210x y +-=ABC ∠BH y x =BC P PBC ABC S S =△△P B y x =(,B m m AB 12,22m m ++⎛ ⎝1221022m m +++⨯-=(1,2)A y x =00211y x -⎧=-⎪-⎪14．已知四棱锥中，底面ABCD 是正方形，平面是PB 的中点.(1)求直线BD 与直线PC 所成角的大小；(2)求点B 到平面ADE 的距离．由题意，A (1,0,0)，设直线BD 与直线PC 所成的角为因为，P ABCD -PD ⊥,1,ABCD PD AB E ==()0,0,0D (1,1,0B (1,1,0)BD =-- (0,1,PC =15．已知圆过点三个点．(1)求圆的标准方程；(2)已知，直线与圆相交于A ，B 两点，求的最小值．M ()())1,0,2,1,2--M 2a c b +=0ax by c ++=M AB16．已知平面边形中，，，且.以为腰作等腰直角三角形，且，将沿直线折起，使得平面平面.(1)证明：平面；(2)若是线段上一点，且平面，①求三棱锥的体积；②求平面与平面夹角的余弦值.①如图，连接,设因平面，且则，故ABCD //AD BC BC CD ⊥2AD CD AB ===AD PAD PA AD =PAD △AD PAD ⊥ABCD AB ⊥PAC M PD //PB MAC M ABC -PBC ABM BD BD ⋂//PB MAC PB ⊂//OM PB DM DOMP BO=②如图，以点为坐标原点，分别以所以，,设平面的法向量为A (0,0,0),(22,0,0),(0,22,0),A B C (22,22,0)BC =- (0,PC =PBC (,m x y =。

北京市海淀区-九年级（上）期中数学复习试卷（圆）（解析版）一、填空题1．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为上一点，若∠CEA=28°，则∠ABD=度．2．如图，AB为圆O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，连接OC，若OC=5，CD=8，则AE=．3．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，连接OC，AC．若∠D=50°，则∠A的度数是．4．（秋•海淀区期中）已知AB是直径，∠C等于15度，∠BAD的度数=．5．（秋•海淀区期中）如图，PA，PB分别与相⊙O切于点A，B，连接AB．∠APB=60°，AB=5，则PA的长是．6．在数轴上，点A所表示的实数为3，点B所表示的实数为a，⊙A的半径为2．下列说法中不正确的是（）A．当a＜5时，点B在⊙A内B．当1＜a＜5时，点B在⊙A内C．当a＜1时，点B在⊙A外D．当a＞5时，点B在⊙A外7．已知⊙O的半径是5，OP的长为7，则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在圆内B．点P在圆上C．点P在圆外D．不能确定8．已知扇形的半径为3，扇形的圆心角是120°，则该扇形面积为．9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD=138°，则它的一个外角∠DCE等于．10．平面上有⊙O及一点P，P到⊙O上一点的距离最长为6cm，最短为2cm，则⊙O的半径为cm．11．（秋•海淀区期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=130°，求∠OAC的度数．12．（秋•陇西县期末）如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，CD⊥AB于点E，点G在直径DF的延长线上，∠D=∠G=30．（1）求证：CG是⊙O的切线；（2）若CD=6，求GF的长．13．（秋•海淀区期中）已知：如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点．求证：OP 垂直平分线段AB．14．（秋•海淀区期中）已知：如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的半圆O 交AB于F，E是BC的中点．求证：直线EF是半圆O的切线．15．（秋•海淀区期中）已知：⊙O的半径OA=1，弦AB、AC的长分别为，，求∠BAC的度数．16．（秋•海淀区期中）已知：⊙O的半径为25cm，弦AB=40cm，弦CD=48cm，AB∥CD．求这两条平行弦AB，CD之间的距离．-学年北京市海淀区九年级（上）期中数学复习试卷（圆）参考答案与试题解析一、填空题1．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为上一点，若∠CEA=28°，则∠ABD=度．【考点】垂径定理；圆周角定理．【分析】本题关键是理清弧的关系，找出等弧，则可根据“同圆中等弧对等角”求解．【解答】解：由垂径定理可知，又根据在同圆或等圆中相等的弧所对的圆周角也相等的性质可知∠ABD=∠CEA=28度．故答案为：28．【点评】本题综合考查了垂径定理和圆周角的求法及性质．解答这类题一些学生不会综合运用所学知识解答问题，不知从何处入手造成错解．2．如图，AB为圆O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，连接OC，若OC=5，CD=8，则AE=．【考点】垂径定理；勾股定理．【分析】根据垂径定理可以得到CE的长，在直角△OCE中，根据勾股定理即可求得．【解答】解：∵AB为圆O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E．∴CE=CD=4．在直角△OCE中，OE===3．则AE=OA﹣OE=5﹣3=2．故答案为：2．【点评】此题涉及圆中求半径的问题，此类在圆中涉及弦长、半径、圆心角的计算的问题，常把半弦长，半圆心角，圆心到弦距离转换到同一直角三角形中，然后通过直角三角形予以求解，常见辅助线是过圆心作弦的垂线．3．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，连接OC，AC．若∠D=50°，则∠A的度数是．【考点】切线的性质．【分析】根据切线的性质求出∠OCD，求出∠COD，求出∠A=∠OCA，根据三角形的外角性质求出即可．【解答】解：∵CD切⊙O于C，∴OC⊥CD，∴∠OCD=90°，∵∠D=50°，∴∠COD=180°﹣90°﹣50°=40°，∵OA=OC，∴∠A=∠OCA，∵∠A+∠OCA=∠COD=40°，∴∠A=20°．故答案为：20°．【点评】本题考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，切线的性质，等腰三角形的性质的应用，主要考查学生运用这些性质进行推理的能力，题型较好，难度也适中，是一道比较好的题目．4．（秋•海淀区期中）已知AB是直径，∠C等于15度，∠BAD的度数=．【考点】圆周角定理．【分析】连接BD，根据圆周角定理得到∠B=∠C=15°，根据直角三角形的性质计算即可．【解答】解：连接BD，∠B=∠C=15°，∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∴∠BAD=90°﹣15°=75°，故答案为：75°．【点评】本题考查的是圆周角定理，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等是解题的关键．5．（秋•海淀区期中）如图，PA，PB分别与相⊙O切于点A，B，连接AB．∠APB=60°，AB=5，则PA的长是．【考点】切线的性质．【分析】利用切线长定理得出PA=PB，再利用等边三角形的判定得出△PAB是等边三角形，即可得出答案．【解答】解：∵PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，∴PA=PB，∵∠APB=60°，∴△PAB是等边三角形，∴AB=PA=5，故答案为：5．【点评】此题主要考查了切线长定理以及等边三角形的判定与性质，得出△PAB是等边三角形是解题关键．6．在数轴上，点A所表示的实数为3，点B所表示的实数为a，⊙A的半径为2．下列说法中不正确的是（）A．当a＜5时，点B在⊙A内B．当1＜a＜5时，点B在⊙A内C．当a＜1时，点B在⊙A外D．当a＞5时，点B在⊙A外【考点】点与圆的位置关系．【分析】先找出与点A的距离为2的点1和5，再根据“点与圆的位置关系的判定方法”即可解．【解答】解：由于圆心A在数轴上的坐标为3，圆的半径为2，∴当d=r时，⊙A与数轴交于两点：1、5，故当a=1、5时点B在⊙A上；当d＜r即当1＜a＜5时，点B在⊙A内；当d＞r即当a＜1或a＞5时，点B在⊙A外．由以上结论可知选项B、C、D正确，选项A错误．故选：A．【点评】本题考查点与圆的位置关系的判定方法．若用d、r分别表示点到圆心的距离和圆的半径，则当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．7．已知⊙O的半径是5，OP的长为7，则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在圆内B．点P在圆上C．点P在圆外D．不能确定【考点】点与圆的位置关系．【分析】直接根据点与圆的位置关系即可得出结论．【解答】解：∵⊙O的半径是5，OP的长为7，5＜7，∴点P在圆外．故选C．【点评】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键．8．已知扇形的半径为3，扇形的圆心角是120°，则该扇形面积为．【考点】扇形面积的计算．【分析】直接根据扇形的面积公式进行计算即可．【解答】解：∵扇形的圆心角为120°，其半径为3，==3π．∴S扇形故答案为：3π．【点评】本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD=138°，则它的一个外角∠DCE等于．【考点】圆内接四边形的性质．【分析】由∠BOD=138°，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得∠A的度数，又由圆的内接四边四边形的性质，求得∠BCD的度数，继而求得∠DCE的度数【解答】解：∵∠BOD=138°，∴∠A=∠BOD=69°，∴∠BCD=180°﹣∠A=111°，∴∠DCE=180°﹣∠BCD=69°．故答案为：69°．【点评】此题考查了圆周角定理与圆的内接四边形的性质．此题比较简单，解题的关键是注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半与圆内接四边形的对角互补定理的应用．10．平面上有⊙O及一点P，P到⊙O上一点的距离最长为6cm，最短为2cm，则⊙O的半径为cm．【考点】点与圆的位置关系．【分析】解答此题应进行分类讨论，点P可能位于圆的内部，也可能位于圆的外部．【解答】解：当点P在圆内时，则直径=6+2=8cm，因而半径是4cm；当点P在圆外时，直径=6﹣2=4cm，因而半径是2cm．所以⊙O的半径为4或2cm．故答案为：4或2．【点评】考查了点与圆的位置关系，解决本题的关键是首先要进行分类讨论，其次是理解最长距离和最短距离和或差的意义．11．（秋•海淀区期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=130°，求∠OAC的度数．【考点】圆内接四边形的性质；圆周角定理．【分析】先根据圆内接四边形的性质推出∠ADC=50°，再根据圆周角定理推出∠AOC=100°，然后根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理即可得出∠OAC的度数．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ADC+∠ABC=180°，∵∠ABC=130°，∴∠ADC=180°﹣∠ABC=50°，∴∠AOC=2∠ADC=100°．∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠OAC=（180°﹣∠AOC）=40°．【点评】本题主要考查圆内接四边形的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质及三角形内角和定理，关键在于求出∠AOC的度数．12．（秋•陇西县期末）如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，CD⊥AB于点E，点G在直径DF的延长线上，∠D=∠G=30．（1）求证：CG是⊙O的切线；（2）若CD=6，求GF的长．【考点】切线的判定．【分析】（1）连接OC，根据三角形内角和定理可得∠DCG=180°﹣∠D﹣∠G=120°，再计算出∠GCO的度数可得OC⊥CG，进而得到CG是⊙O的切线；（2）设EO=x，则CO=2x，再利用勾股定理计算出EO的长，进而得到CO的长，然后再计算出FG的长即可．【解答】（1）证明：连接OC．∵OC=OD，∠D=30°，∴∠OCD=∠D=30°．∵∠G=30°，∴∠DCG=180°﹣∠D﹣∠G=120°．∴∠GCO=∠DCG﹣∠OCD=90°．∴OC⊥CG．又∵OC是⊙O的半径．∴CG是⊙O的切线．（2）解：∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∴CE=CD=3．∵在Rt△OCE中，∠CEO=90°，∠OCE=30°，∴EO=CO，CO2=EO2+CE2．设EO=x，则CO=2x．∴（2x）2=x2+32．解得x=（舍负值）．∴CO=2．∴FO=2．在△OCG中，∵∠OCG=90°，∠G=30°，∴GO=2CO=4．∴GF=GO﹣FO=2．【点评】此题主要考查了切线的判定，关键是掌握切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．13．（2015秋•海淀区期中）已知：如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点．求证：OP垂直平分线段AB．【考点】切线的性质．【分析】由PA与PB为圆的两条切线，根据切线长定理得到PA=PB，且PO平分两切线的夹角，进而得到三角形PAB为等腰三角形，根据三线合一得到PC为高，PC为中线，可得出OP垂直平分线段AB，得证．【解答】证明：∵PA，PB分别为⊙O的切线，∴PA=PB，PO为∠APB的平分线，∴PO⊥AB，C为AB的中点，则OP垂直平分线段AB．【点评】此题考查了切线的性质，涉及的知识有：切线长定理，以及等腰三角形的性质，熟练掌握切线长定理是解本题的关键．14．（2015秋•海淀区期中）已知：如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的半圆O交AB于F，E是BC的中点．求证：直线EF是半圆O的切线．【考点】切线的判定．【分析】连接OF，CF，利用等边对等角即可证得OF⊥EF，从而证得EF是圆的切线．【解答】证明：连接OF，CF．∵AC是直径，∴∠AFC=90°，∴∠BFC=90°，又∵E是BC的中点，∴EF=EC，∴∠EFC=∠ECF，∵OC=OF，∴∠OFC=∠FCO，∵∠ACB=∠FCO+∠ECF=90°，∴∠EFC+∠OFC=90°，即∠EFO=90°，∴OF⊥EF，∴EF是⊙O的切线．【点评】本题考查了切线的判定，直角三角形的性质等知识点．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．解决本题的关键是正确作出辅助线．15．（2015秋•海淀区期中）已知：⊙O的半径OA=1，弦AB、AC的长分别为，，求∠BAC的度数．【考点】垂径定理；解直角三角形．【分析】根据题意画出图形，作出辅助线，由于AC与AB在圆心的同侧还是异侧不能确定，故应分两种情况进行讨论．【解答】解：分别作OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别是D、E．∵OE⊥AC，OD⊥AB，∴AE=AC=，AD=AB=，∴sin∠AOE===，sin∠AOD==，∴∠AOE=60°，∠AOD=45°，∴∠BAO=45°，∠CAO=90°﹣60°=30°，∴∠BAC=45°+30°=75°，或∠BAC′=45°﹣30°=15°．∴∠BAC=15°或75°．【点评】本题考查的是垂径定理及直角三角形的性质，解答此题时进行分类讨论，不要漏解．16．（2015秋•海淀区期中）已知：⊙O的半径为25cm，弦AB=40cm，弦CD=48cm，AB ∥CD．求这两条平行弦AB，CD之间的距离．【考点】垂径定理；勾股定理．【分析】分情况进行讨论，（1）如图，AB和CD再圆心的同侧，连接OB，OD，作OM ⊥AB交CD于点N，由AB∥CD，即可推出ON⊥CD，则MN为AB，CD之间的距离，通过垂径定理和勾股定理即可推出OM和ON的长度，根据图形即可求出MN=OM﹣ON，通过计算即可求出MN的长度，（2）AB和CD在圆心两侧，连接OB，OD，做直线OM⊥AB交CD于点N，由AB∥CD，即可推出MN⊥CD，则MN为AB，CD之间的距离，通过垂径定理和勾股定理即可推出OM和ON的长度，根据图形即可求出MN=OM+ON，通过计算即可求出MN的长度．【解答】解：（1）如图1，连接OB，OD，做OM⊥AB交CD于点N，∵AB∥CD，∴ON⊥CD，∵AB=40cm，CD=48cm，∴BM=20cm，DN=24cm，∵⊙O的半径为25cm，∴OB=OD=25cm，∴OM=15cm，ON=7cm，∵MN=OM﹣ON，∴MN=8cm，（2）如图2，连接OB，OD，做直线OM⊥AB交CD于点N，∵AB∥CD，∴ON⊥CD，∵AB=40cm，CD=48cm，∴BM=20cm，DN=24cm，∵⊙O的半径为25cm，∴OB=OD=25cm，∴OM=15cm，ON=7cm，∵MN=OM+ON，∴MN=22cm．∴平行弦AB，CD之间的距离为8cm或22cm．【点评】本题主要考查垂径定理和勾股定理的运用，平行线间的距离的定义，平行线的性质等知识点，关键在于根据题意分情况进行讨论，正确的做出图形，认真的做出辅助线构建直角三角形，熟练运用垂径定理和勾股定理推出OM和ON的长度，利用数形结合的思想即可求出结果．。