2022-2023学年度第二学期九年级数学科第一次核心素养测试试卷一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）1.有94,,3,02--四个数，其中最小的是（）A.4B.92-C.3- D.02.某景区小长假期间共接待游客238000人次，用科学记数法可将238000表示（）A.323810⨯ B.423.810⨯ C.52.3810⨯ D.60.23810⨯3.下列运算中，正确的是（）A.336x x x ⋅=B.()325x x =C.232x x x÷= D.()222x y x y +=+4.已知一个几何体如图所示，则该几何体的左视图是（）A.B.C.D.5.观察下表，一元二次方程2 1.10x x --=的解的范围是（）x1.1 1.2 1.3 1.4 1.51.6 1.71.81.92 1.1x x --0.99-0.86-0.71-0.54-0.35-0.14-0.090.340.61A.1.4 1.5x <<B.1.5 1.6x << C.1.6 1.7x << D.1.7 1.8x <<6.下列说法中，正确的是（）A.有一个角是直角的平行四边形是正方形B.对角线相等的四边形是矩形C.对角线互相垂直平分的四边形是菱形D.一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形7.在边长相等的小正方形组成的网格中，点,,A B C 都在格点上，那么cos BAC ∠的值为（）A.55B.255C.12D.138.二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象如图所示，则一次函数y ＝bx +c 和反比例函数y ＝ax在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A. B. C. D.9.如图，在ABC 中，4,CA CB BAC α==∠=，将ABC 绕点A 逆时针旋转2α，得到AB C '' ，连接B C '并延长交AB 于点D ，当B D AB '⊥时， 'BB的长是（）A.23π3B.43π3C.83π9D.103π910.如图，二次函数2y ax bx c =++(a 0)>图象的顶点为D ，其图象与x 轴的交点A 、B 的横坐标分别为1-和3，则下列结论中：（1）20a b +=，（2）a b c ++0<，（3）30a c -=，（4）当12a =时，ABD △是等腰直角三角形，正确的个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分）11.把抛物线21y x =+向左平移2个单位，所得新抛物线的表达式是________．12.如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点O ）20米的A 处，则小明的影子AM 长为___米．13.不透明的布袋中有红､黄､蓝3种只是颜色不同的钢笔各1支，先从中摸出1支，记录下它的颜色，将它放回布袋并搅匀，再从中随机摸出1支，记录下颜色，那么这两次摸出的钢笔为红色､黄色各一支的概率为_________．14.如图，PA ，PB 是⊙O 是切线，A ，B 为切点，AC 是⊙O 的直径，若∠BAC=25°，则∠P=_________度．15.如图，A 是双曲线()80y x x=>上的一点，点C 是OA 的中点，过点C 作y 轴的垂线，垂足为D ，交双曲线于点B ，则△ABD 的面积是___________．三、解答题（一）（本大题3小题，每小题8分，共24分）16.（1）解方程：()()222332x x +=+（2）计算：(22111tan 6032-⎛⎫-+-︒-++- ⎪⎝⎭17.已知关于x 的一元二次方程()222110x k x k ++++=有两个不等实数根1x ，2x ．（1）求k 的取值范围；（2）若125x x =，求k 的值．18.如图，ABCD Y 对角线AC ，BD 相交于点O ，过点D 作DE AC ∥且DE OC =，连接CE ，OE ，OE CD =．（1）求证：ABCD Y 是菱形；（2）若4AB =，60ABC ∠=︒，求AE 的长．四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分）19.为提高学生的综合素养，某校开设了四个兴趣小组，A “健美操”、B “跳绳”、C “剪纸”、D “书法”为了了解学生对每个兴趣小组的喜爱情况，随机抽取了部分同学进行调查，并将调查结果绘制出上面不完整的统计图，请结合图中的信息解答下列问题：（1）本次共调查了______名学生；并将条形统计图补充完整；（2）C 组所对应的扇形圆心角为_______度；（3）若该校共有学生1400人，则估计该校喜欢跳绳的学生人数约是__________；（4）现选出了4名跳绳成绩最好的学生，其中有1名男生和3名女生．要从这4名学生中任意抽取2名学生去参加比赛，请用列表法或画树状图法，求刚好抽到1名男生与1名女生的概率．20.直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件．（1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？（2）小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元．为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过（1）中的售价，则该商品至少需打几折销售？21.如图，直线3y kx =+与x 轴、y 轴分别交于点B C 、，与反比例函数my x=交于点A D 、．过D 作DE x ⊥轴于E ，连接,OA OD ，若()2,A n -，:1:2OAB ODE S S ∆∆=（1）求反比例函数的表达式；（2）求点C 的坐标；（3）直接写出关于x 不等式：3mkx x>-的解集为______．五、解答题（三）（本大题2小题，每小题12分，共24分）22.如图，已知AB 是⊙O 的直径，点E 是⊙O 上异于A ，B 的点，点F 是»EB的中点，连接AE ，AF ，BF ，过点F 作FC ⊥AE 交AE 的延长线于点C ，交AB 的延长线于点D ，∠ADC 的平分线DG 交AF 于点G ，交FB 于点H ．（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）求sin ∠FHG 的值；（3）若GH ＝42HB ＝2，求⊙O 的直径．23.如图，抛物线212y x mx n =++与x 轴交于A B ，两点，与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴交x 轴于点D ，已知()()4,0,0,2AC --．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点E 是线段AC 上的一个动点，过点E 作x 轴的垂线与抛物线相交于点F ，当点E 运动到什么位置时，四边形CDAF 的面积最大?求出四边形CDAF 的最大面积及此时E 点的坐标；（3）在y 轴上是否存在点P ，使得60OAP OAC ∠+∠=︒？若存在，请直接写出P 点的坐标，若不存在，请说明理由．2022-2023学年度第二学期九年级数学科第一次核心素养测试试卷一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）1.有94,,3,02--四个数，其中最小的是（）A.4B.92-C.3- D.0【答案】B【分析】根据有理数比较大小的方法求解即可．【详解】解：93042-<-<<，故最小的数为92-，故选：B ．【点睛】题目主要考查有理数的大小比较，熟练掌握比较方法是解题关键．2.某景区小长假期间共接待游客238000人次，用科学记数法可将238000表示（）A.323810⨯B.423.810⨯C.52.3810⨯D.60.23810⨯【答案】C【分析】根据科学记数法的定义即可求解．【详解】5238000 2.3810=⨯故选：C ．【点睛】本题考查科学记数法的表示方法，熟悉掌握该知识点是解题关键．3.下列运算中，正确的是（）A.336x x x ⋅=B.()325x x =C.232x x x ÷= D.()222x y x y +=+【答案】A【分析】根据同底数幂的乘法与除法以及幂的乘方和完全平方公式的知识求解即可求得答案．【详解】∵336x x x ⋅=，∴A 正确，符合题意；∵()326x x =，∴B 计算错误，不符合题意；∵23322x x x ÷=，∴C 计算错误，不符合题意；∵()2222x y x xy y +=++，∴D 计算错误；故选A ．【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法与除法以及幂的乘方和完全平方公式的知识，解题的关键是熟记法则与公式．4.已知一个几何体如图所示，则该几何体的左视图是（）A. B. C. D.【答案】B【分析】根据左视图的定义：由物体左边向右做正投影得到的视图(不可见的用虚线)，判断即可．【详解】解：根据左视图的定义，该几何体的左视图为：故选B ．【点睛】此题考查的是判断一个几何体的左视图，掌握左视图的是解决此题的关键．5.观察下表，一元二次方程2 1.10x x --=的解的范围是（）x1.1 1.2 1.3 1.4 1.51.6 1.71.81.92 1.1x x --0.99-0.86-0.71-0.54-0.35-0.14-0.090.340.61A.1.4 1.5x <<B.1.5 1.6x <<C.1.6 1.7x <<D.1.7 1.8x <<【答案】C【分析】根据图表数据找出一元二次方程等于0时，未知数的值的范围，即可得到答案．【详解】解： 1.6x = 时，2 1.10.14x x --=-，1.7x =时，2 1.10.09x x --=，∴一元二次方程2 1.10x x --=的解的范围是1.6 1.7x <<，故选C ．【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根．6.下列说法中，正确的是（）A.有一个角是直角的平行四边形是正方形B.对角线相等的四边形是矩形C.对角线互相垂直平分的四边形是菱形D.一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形【答案】C【分析】根据平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定方法，逐一进行判断即可．【详解】解：A 、有一个角是直角的平行四边形是矩形，选项错误，不符合题意；B 、对角线相等且平分的四边形是矩形，选项错误，不符合题意；C 、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，选项正确，符合题意；D 、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，一组对边平行，另一组对边相等的四边形也可能是等腰梯形，选项错误，不符合题意；故选C ．【点睛】本题考查平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定方法．熟练掌握相关图形的判定方法，是解题的关键．7.在边长相等的小正方形组成的网格中，点,,A B C 都在格点上，那么cos BAC ∠的值为（）A.55B.255C.12D.13【答案】A【分析】如图，利用网格特征可知BD AC ⊥，利用勾股定理求出AD =，AB =，根据余弦的定义即可求得答案．【详解】解：如图，由网格特征可知，BD AC ⊥，在Rt △ABD 中，AD ==，AB ==∴cos5ADBAC AB∠===，故选：A【点睛】此题考查了勾股定理、锐角三角函数的定义等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．8.二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象如图所示，则一次函数y ＝bx +c 和反比例函数y ＝ax在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A. B. C. D.【答案】D【分析】根据二次函数图象开口向下得到a ＜0，再根据对称轴确定出b ，根据与y 轴的交点确定出c ＜0，然后确定出一次函数图象与反比例函数图象的情况，即可得解．【详解】解：∵二次函数图象开口方向向下，∴a ＜0，∵对称轴为直线2bx a=-＞0，∴b ＞0，∵与y 轴的负半轴相交，∴c ＜0，∴y =bx +c 的图象经过第一、三、四象限，反比例函数y =ax图象在第二四象限，只有D 选项图象符合．故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数的图形，一次函数的图象，反比例函数的图象，熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、与y 轴的交点坐标等确定出a 、b 、c 的情况是解题的关键．9.如图，在ABC 中，4,CA CB BAC α==∠=，将ABC 绕点A 逆时针旋转2α，得到AB C '' ，连接B C '并延长交AB 于点D ，当B D AB '⊥时， 'BB的长是（）A.23π3B.43π3C.83π9D.3π9【答案】B【分析】先证'60B AD ∠=︒，再求出AB 的长，最后根据弧长公式求得 'BB．【详解】解：,'CA CB B D AB =⊥ ，12AD DB AB ∴==，AB C '' 是ABC 绕点A 逆时针旋转2α得到，'AB AB ∴=，1'2AD AB =，在'Rt AB D ∆中，1cos ''2AD B AD AB ∠==，'60B AD ∴∠=︒，,'2CAB B AB αα∠=∠= ，11'603022CAB B AB ∴∠=∠=⨯︒=︒，4AC BC == ，3cos30432AD AC ∴=︒=⨯= 243AB AD ∴== BB∴'的长=60431803AB π=，故选：B ．【点睛】本题考查了图形的旋转变换，等腰三角形的性质，三角函数定义，弧长公式，正确运用三角函数定义求线段的长度是解本题的关键．10.如图，二次函数2y ax bx c =++(a 0)>图象的顶点为D ，其图象与x 轴的交点A 、B 的横坐标分别为1-和3，则下列结论中：（1）20a b +=，（2）a b c ++0<，（3）30a c -=，（4）当12a =时，ABD △是等腰直角三角形，正确的个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C 【分析】根据二次函数的对称轴、二次函数图像上点的特征、勾股定理及其逆定理分析解答即可．【详解】解：其图象与x 轴的交点A ，B 的横坐标分别为1-和3，则函数的对称轴为直线1x =，（1）∵12b x a==-，∴2b a =-，即20a b +=，故正确；（2）由图象知，当1x =时，0y a b c =++<，故正确；（3）当=1x -时，0y a b c =-+=，∵2b a =-，∴30a c +=，故错误；（4）依题意，函数的表达式为：()()2113121(22)y x x x =+-=--，则点A 、B 、D 的坐标分别为：)1,03,2()()(01,--、、，∴222164488AB AD BD ==+==，，，∴222AD BD AB AD BD ==+，故ABD △是等腰直角三角形符合题意；故选：C ．【点睛】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a 与b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分）11.把抛物线21y x =+向左平移2个单位，所得新抛物线的表达式是________．【答案】()221y x =++【分析】根据抛物线的顶点坐标()0,1，再左平移2个单位即()2,1-，再利用顶点式抛物线解析式写出即可．【详解】21y x =+的顶点坐标()0,1，抛物线21y x =+左平移2个单位后的抛物线的顶点坐标为()2,1-，新的顶点式抛物线为()221y x =++．故答案为：()221y x =++．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并根据规律利用点的变化确定函数解析式．12.如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点O ）20米的A 处，则小明的影子AM 长为___米．【答案】5【分析】由已知易得：△MBA ∽△MCO ，利用相似三角形的相似比可得出小明的影长．【详解】根据题意，易得△MBA ∽△MCO ，根据相似三角形的性质可知AB AM OC OA AM=+，即1.6820AM AM=+，解得AM =5．∴小明的影长为5米．【点睛】本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比可得出小明的影长.13.不透明的布袋中有红､黄､蓝3种只是颜色不同的钢笔各1支，先从中摸出1支，记录下它的颜色，将它放回布袋并搅匀，再从中随机摸出1支，记录下颜色，那么这两次摸出的钢笔为红色､黄色各一支的概率为_________．【答案】29【分析】先画出树状图，从而可得这两次摸出的钢笔的所有可能的结果，再找出这两次摸出的钢笔为红色､黄色各一支的结果，然后利用概率公式即可得．【详解】解：将红､黄､蓝3种只是颜色不同的钢笔分别记为A 、B 、C ，由题意，画出树状图如下：由图可知，这两次摸出的钢笔的所有可能的结果共有9种，它们每一种出现的可能性都相等；其中，这两次摸出的钢笔为红色､黄色各一支的结果有2种，则所求的概率为29P =，故答案为：29．【点睛】本题考查了利用列举法求概率，正确画出树状图是解题关键．14.如图，PA ，PB 是⊙O 是切线，A ，B 为切点，AC 是⊙O 的直径，若∠BAC=25°，则∠P=_________度．【答案】50【分析】首先利用切线长定理可得PA =PB ，再根据∠OBA =∠BAC =25°，得出∠ABP 的度数，再根据三角形内角和求出．【详解】∵PA ，PB 是⊙O 是切线，A ，B 为切点，∴PA =PB ，∠OBP =90°，∵OA =OB ，∴∠OBA =∠BAC =25°，∴∠ABP =90°﹣25°=65°，∵PA =PB ，∴∠BAP =∠ABP =65°，∴∠P =180°﹣65°﹣65°=50°，故答案为：50．15.如图，A 是双曲线()80y x x=>上的一点，点C 是OA 的中点，过点C 作y 轴的垂线，垂足为D ，交双曲线于点B ，则△ABD 的面积是___________．【答案】4【分析】根据点C 是OA 的中点，根据三角形中线的可得S △ACD =S △OCD ,S △ACB =S △OCB ,进而可得S △ABD =S △OBD ,根据点B 在双曲线()80y x x =>上，BD ⊥y 轴，可得S △OBD =4，进而即可求解．【详解】 点C 是OA 的中点，∴S △ACD =S △OCD ,S △ACB =S △OCB ,∴S △ACD +S △ACB =S △OCD +S △OCB ,∴S △ABD =S △OBD ,点B 在双曲线()80y x x =>上，BD ⊥y 轴，∴S △OBD =12×8=4,∴S △ABD =4,答案为：4.【点睛】本题考查了三角形中线的性质，反比例函数的k 的几何意义，掌握反比例函数k 的几何意义是解题的关键．三、解答题（一）（本大题3小题，每小题8分，共24分）16.（1）解方程：()()222332x x +=+（2）计算：(202111tan 60332-⎛⎫-+-︒-++- ⎪⎝⎭【答案】（1）11x =-，21x =；（2）13+【分析】对于（1），直接开方即可求出方程的解；对于（2），根据211-=-，1tan 601331-︒=-=-，0(33)1+=，21()42--=，再根据实数的运算法则计算即可．【详解】解：（1）∵()()222332x x +=+∴2332x x +=--或2332x x +=+解得11x =-，21x =；（2）原式()213112=-+--+-334=-+1=+【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，实数的运算，掌握运算法则是解题的关键．17.已知关于x 的一元二次方程()222110x k x k ++++=有两个不等实数根1x ，2x ．（1）求k 的取值范围；（2）若125x x =，求k 的值．【答案】（1）34k >（2）2【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式大于0建立不等式，解不等式即可得；（2）先利用一元二次方程的根与系数的关系可得21215x x k =+=，再结合（1）的结论即可得．【小问1详解】解： 关于x 的一元二次方程()222110x k x k ++++=有两个不等实数根，∴此方程根的判别式()()2221410k k ∆=+-+>，解得34k >．【小问2详解】解：由题意得：21215x x k =+=，解得2k =-或2k =，由（1）已得：34k >，则k 的值为2．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、以及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的相关知识是解题关键．18.如图，ABCD Y 对角线AC ，BD 相交于点O ，过点D 作DE AC ∥且DE OC =，连接CE ，OE ，OE CD =．（1）求证：ABCD Y 是菱形；（2）若4AB =，60ABC ∠=︒，求AE 的长．【答案】（1）见解析（2）【分析】（1）先证明四边形OCED 是平行四边形，再证明平行四边形OCED 是矩形，得到AC BD ⊥，根据菱形的判定即可得出结论；（2）根据菱形的性质和等边三角形的判定证明ABC 是等边三角形，得到4AC AB ==，2OA OC ==，再由勾股定理求得OD ，然后根据矩形性质得到CE OD ==，90OCE ∠=︒，最后利用勾股定理求解即可．【小问1详解】证明：∵DE AC ∥，DE OC =，∴四边形OCED 是平行四边形．∵OE CD =，∴平行四边形OCED 是矩形，∴90COD ∠=︒，∴AC BD ⊥，∴ABCD Y 是菱形；【小问2详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，∴OA OC =，4CD AB BC ===，AC BD ⊥，∵60ABC ∠=︒，∴ABC 是等边三角形，∴4AC AB ==，∴2OA OC ==，在Rt OCD △中，由勾股定理得：OD ===，由（1）可知，四边形OCED 是矩形，∴CE OD ==90OCE ∠=︒，∴在Rt ACE 中，AE ===，即AE 的长为．【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形和矩形的判定与性质是解题的关键．四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分）19.为提高学生的综合素养，某校开设了四个兴趣小组，A “健美操”、B “跳绳”、C “剪纸”、D “书法”为了了解学生对每个兴趣小组的喜爱情况，随机抽取了部分同学进行调查，并将调查结果绘制出上面不完整的统计图，请结合图中的信息解答下列问题：（1）本次共调查了______名学生；并将条形统计图补充完整；（2）C组所对应的扇形圆心角为_______度；（3）若该校共有学生1400人，则估计该校喜欢跳绳的学生人数约是__________；（4）现选出了4名跳绳成绩最好的学生，其中有1名男生和3名女生．要从这4名学生中任意抽取2名学生去参加比赛，请用列表法或画树状图法，求刚好抽到1名男生与1名女生的概率．【答案】（1）40，图见解析（2）72（3）560（4）1 2【分析】（1）由A组人数及其所占百分比可得总人数，总人数减去A、B、D人数求出C组人数即可补全图形；（2）用360°乘以C组人数所占比例即可；（3）总人数乘以样本中B组人数所占比例即可；（4）画树状图，共有12种等可能的结果，其中选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的结果有6种，再由概率公式求解即可．【小问1详解】本次调查总人数为410%40÷=（名），C组人数为40416128---=（名），补全图形如下：故答案为：40；【小问2详解】83607240⨯︒=︒，故答案为：72；【小问3详解】16140056040⨯=（人），故答案为：560；【小问4详解】画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中选出的2名学生恰好是1名男生与1名女生的结果共有6种，∴选出的2名学生恰好是1名男生与1名女生的概率为61122=．【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图，用样本估计总体及用列表法或树状图法求概率，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．20.直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件．（1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？（2）小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元．为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过（1）中的售价，则该商品至少需打几折销售？【答案】（1）50元；（2）八折【分析】（1）设每件的售价定为x 元，根据利润不变，列出关于x 的一元二次方程，求解即可；（2）设该商品至少打m 折，根据销售价格不超过（1）中的售价列出一元一次不等式，解不等式即可．【详解】解：（1）设每件的售价定为x 元，则有：60(1020)(40)(6040)205x x -⨯+⨯-=-⨯，解得：125060x x ==，(舍)，答：每件售价为50元；（2）设该商品至少打m 折，根据题意得：62.55010m ⨯≤，解得：8m ≤，答：至少打八折销售价格不超过50元．【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际应用以及一元一次不等式的应用，找准等量关系列出方程是解决问题的关键．21.如图，直线3y kx =+与x 轴、y 轴分别交于点B C 、，与反比例函数m y x=交于点A D 、．过D 作DE x ⊥轴于E ，连接,OA OD ，若()2,A n -，:1:2OAB ODE S S ∆∆=（1）求反比例函数的表达式；（2）求点C 的坐标；（3）直接写出关于x 不等式：3m kx x >-的解集为______．【答案】（1）12y x=-（2）()2,0C （3）20x -<<或4x >【分析】（1）先求出点B 的坐标，再求出OAB 的面积，再利用:1:2OAB ODE S S = 得到6ODE S = ，最后利用k 的几何意义求出答案即可；（2）先求出点A 的坐标，再求出一次函数的表达式，再求出与x 轴的交点C 的坐标即可；（3）先求出一次函数和反比例函数交点的坐标，再结合图象求出答案即可．【小问1详解】解：把0x =代入3y kx =+得，3y =，∴()0,3B ，∵()2,A n -，∴OAB 的面积12332=⨯⨯=，∵:1:2OAB ODE S S = ，∴6ODE S = ，∵DE x ⊥，点D 在反比例函数m y x=的图象上，∴162m =，∴12m =±，∵0m <，∴12=-m ，∴反比例函数关系式为：12y x=-；【小问2详解】把()2,A n -代入12y x=-得：1262n =-=-，∴()2,6A -，把()2,6A -代入3y kx =+得：623k =-+，∴32k =-，∴一次函数关系式为：332y x =-+，把0y =代入332y x =-+中得：3032x =-+∴2x =，∴()2,0C ；【小问3详解】∵一次函数和反比例函数相交，∴31232x x-+=-；∴124,2x x ==-∴123,6y y =-=∴一次函数和反比例函数的交点()()2,6,4,3A D --，由图可知12332x x ->-+时，20x -<<或4x >，故答案为：20x -<<或4x >【点睛】此题是反比例函数和一次函数综合题，考查了待定系数法求解析式、利用图象解不等式等知识，数形结合并准确计算是解题的关键．五、解答题（三）（本大题2小题，每小题12分，共24分）22.如图，已知AB 是⊙O 的直径，点E 是⊙O 上异于A ，B 的点，点F 是»EB的中点，连接AE ，AF ，BF ，过点F 作FC ⊥AE 交AE 的延长线于点C ，交AB 的延长线于点D ，∠ADC 的平分线DG 交AF 于点G ，交FB 于点H ．（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）求sin ∠FHG 的值；（3）若GH ＝42，HB ＝2，求⊙O 的直径．【答案】（1）见解析（2）22（3）⊙O 的直径为5【分析】（1）连接OF ，先证明OF ∥AC ，则∠OFD ＝∠C ＝90︒，根据切线的判定定理可得出结论．（2）先证∠DFB ＝∠OAF ，∠ADG ＝∠FDG ，根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和得出∠FGH ＝∠FHG ＝45︒，从而可求出sin ∠FHG 的值．（3）先在△GFH 中求出FH 的值为4，根据等积法可得2DF FH DB HB ==，再证△DFB ∽△DAF ，根据对应边成比例可得2DA DF DF DB ==，又由角平分线的性质可得DA AG DF GF =，从而可求出AG 、AF ．在Rt △AF Ｂ中根据勾股定理可求出AB 的长，即⊙O 的直径．【小问1详解】证明：连接OF ．∵OA ＝OF ，∴∠OAF ＝∠OFA ，∵ ,EFFB =∴∠CAF ＝∠FAB ，∴∠CAF ＝∠AFO ，∴OF ∥AC ，∵AC ⊥CD ，∴OF⊥CD，∵OF是半径，∴CD是⊙O的切线．【小问2详解】∵AB是直径，∴∠AFB＝90°，∵OF⊥CD，∴∠OFD＝∠AFB＝90°，∴∠AFO＝∠DFB，∵∠OAF＝∠OFA，∴∠DFB＝∠OAF，∵GD平分∠ADF，∴∠ADG＝∠FDG，∵∠FGH＝∠OAF+∠ADG，∠FHG＝∠DFB+∠FDG，∴∠FGH＝∠FHG＝45°，∴sin∠FHG=2 sin452=°【小问3详解】解：过点H作HM⊥DF于点M，HN⊥AD于点N．∵HD平分∠ADF，∴HM＝HN，S△DHF∶S△DHB=FH∶HB=DF∶DB∵△FGH是等腰直角三角形，GH＝∴FH＝FG＝4，∴422 DFDB==设DB＝k，DF＝2k，∵∠FDB＝∠ADF，∠DFB＝∠DAF，∴△DFB∽△DAF，∴DF 2＝DB •DA ，∴AD ＝4k ，∵GD 平分∠ADF ∴12FG DF AG AD ==∴AG ＝8，∵∠AFB ＝90°，AF ＝12，FB ＝6，AB ∴===∴⊙O 的直径为【点睛】本题是一道综合性题目，考查了圆的相关性质、切线的判定、相似三角形的判定和性质、角平分线性、勾股定理等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．23.如图，抛物线212y x mx n =++与x 轴交于A B ，两点，与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴交x 轴于点D ，已知()()4,0,0,2A C --．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点E 是线段AC 上的一个动点，过点E 作x 轴的垂线与抛物线相交于点F ，当点E 运动到什么位置时，四边形CDAF 的面积最大?求出四边形CDAF 的最大面积及此时E 点的坐标；（3）在y 轴上是否存在点P ，使得60OAP OAC ∠+∠=︒？若存在，请直接写出P 点的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）213222y x x =+-（2）四边形CDAF 的面积最大为132，E 点坐标为（－2，－1）（3）存在，P 点的坐标为（0，32-+0，32-【分析】（1）将点,A C 坐标代入212y x mx n =++，解得,m n ，即可得解；（2）先求直线AC 的函数表达式为122y x =--,设点1(,2)2E x x --(40)x -≤≤，结合图形，四边形CDAF 的面积ACF ACD S S +== ()21322x -++，运用二次函数的性质求得最值及点E 点的坐标；（3）设(0)P n ，，作PG AC ⊥于点G ，60OAP OAC ∠∠︒＋＝，求得PG＝32，利用等积法1122AC PG PC OA ⨯=⨯得2641760n n +-=，解得n ，得到点P ，再利用对称性得另一点P 【小问1详解】将(40)(0,2)A C --，，代入抛物线表达式得8402m n n -+=⎧⎨=-⎩，解得322m n ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，抛物线表达式为213222y x x =+-；【小问2详解】∵抛物线的对称轴为直线3321222x =-=-⨯，∴3(,0)2D -，10B （，），设直线AC 的函数表达式为y kx b ＝＋，将,A C 点坐标代入得402k b b -+=⎧⎨=-⎩，解得122k b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，∴直线AC 的函数表达式为122y x =--，..设1(,2)2E x x --(40)x -≤≤，则213(,2)22F x x x +-，∴EF =2132)212(22x x x +----＝2122x x --，∴ACF S = 2114222x x ⎛⎫⨯⨯-- ⎪⎝⎭＝24x x --，四边形CDAF 的面积ACF ACD S S +== 24x x --＋132422⎛⎫⨯⨯- ⎪⎝⎭2542x x =--+=()21322x -++当2x =-时，四边形CDAF 的面积最大，最大值为132，此时E 点坐标为2,1)(－－；【小问3详解】P 点的坐标为(0,32-+或(0,32-①作PG AC ⊥于点G ，60OAP OAC ∠∠︒＋＝，设(0,)P n ，60PAG ∠︒＝，32PG PA =，PA =32PG =AC ==由PAC △的面积，得1122AC PG PC OA ⨯=⨯，即()13142222n ⨯=⨯+，化简，得2641760n n ＋－＝，解得132n =-+232n =--（不符合题意，舍去），∴(0,32P -+，②∵点P '与点P 关于原点O 对称，32OP OP '==-+∴(0,32P '-，综上所述：P 点的坐标为(0,32-+或(0,32-）【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形的面积，二次函数的性质，方程的思想及分类讨论的思想等知识，本题考点较多，综合性较强，难度适中．。
