第三章连续信号的频谱介绍

实验三 连续信号的频域分析一、 实验目的1. 掌握周期信号的频谱—— Fourier 级数的分析方法及其物理意义。

2.深入理解信号频谱的概念，掌握典型信号的频谱以及 Fourier 变换的主要性质。

二、 实验原理及方法1.周期信号的三角形式的傅里叶级数Fourier 级数的理论告诉我们：任何周期信号只要满足Dirichlet 条件就可以分解成许多指数分量之和（指数 Fourier 级数）或直流分量及许多正弦、余弦分量之和，即(0001001()(cos sin )2AA cos )2n n n n n n a f t a n t b n t n t ΩΩΩφ∞=∞==++=++∑∑ (3.1)2. 周期信号的指数形式的傅里叶级数00000001101111()2221122212n n n n n j jn tj jn tn n n n j jn t j jn tn n n n j jn t n n jn tnn A f t A e e A e e A A e e A e e A e e F eϕΩϕΩϕΩϕΩϕΩΩ-∞-∞--==-∞-∞==-∞=-∞∞=-∞=++=++==∑∑∑∑∑∑ (3.6)式（3.6)表明：任意周期信号()f t 可分解为无穷多项不同频率的复指数0jn te Ω之加权和，其各分量的复数幅度或相量(或称为复加权系数)为n F 。

0221()Tjn t T n F f t e dt T Ω--=⎰ （3.7）计算机不能计算无穷多个系数，假设需要计算的谐波次数为N ，则总的系数个数为2N+1个。

在确定了时间范围和时间变化的步长即T 和dt 之后，对某一个系数，式（3.7）可以近似为：0001020212212211()()/[(),(),,()][,,,]/n N Tjn t jn t T n n njn t jn t jn t N F f t e dt f t e dt TT f t f t f t e e e dt TΩΩΩΩΩ+------+===⋅⋅∑⎰ （3.8）对于全部的2N+1个系数，上面的计算可以按照矩阵运算实现。

第三章 连续信号的频谱——傅里叶变换在第二章中，我们主要介绍了连续信号和系统的时域分析。

这种方法只是分析信号与系统的众多方法之一。

事实上，信号的频谱是一个非常重要的概念，根据理论分析及实际工程上的需要，连续信号还可以在频域进行分析。

本章将借助于数学上傅里叶级数及傅里叶积分变换的工具，引入周期及非周期信号的频谱，进一步解决连续信号时域与频域之间的变换。

3.1 用完备正交函数集表示信号3.1.1 正交矢量在平面空间中，两个矢量正交是指两个矢量相互垂直。

如图3.1（a ）所示的A 1和A 2是正交的，它们之间的锐夹角为90°。

显然，平面空间两个矢量正交的条件是021=⋅A A (3.1)图3.1这样，可将一个平面中任意矢量A ，在直角坐标中分解为两个正交矢量的组合。

1122A C A C A =+ （3.2）同理，对一个三维空间中的矢量A 必须用三维的正交矢量集{123A A A ，，}来表示，如图3.1（b ）所示。

有112233A C A C A C A =++ （3.3）其中123A A A ，，相互正交。

在三维空间中{123A A A ，，}是一个完备的正交矢量集，而二维正交矢量集则在此情况下是不完备的。

依次类推，在n 维空间中，只有n 个正交矢量123,n A A A A ，，构成的正交矢量集{123,n A A A A ，，}才是完备的，也就是说，在n 维空间中的任一矢量A ，必须用n 维正交矢量集{123,n A A A A ，，}来表示，即1222n n A C A C A C A =++ （3.4）虽然n 维矢量空间并不存在于客观世界，但是这种概念有许多应用。

例如，n 个独立变量的一个线性方程，可看作n 维坐标系中n 个分量组成的矢量。

3.1.2 正交函数与正交函数集正交矢量分解的概念，可推广应用于信号分析，信号常以时间函数来表示，故信号的分解，也就是时间函数的分解。

仿照矢量正交概念，也可定义函数的正交。

第三章连续信号的频谱介绍连续信号的频谱是指将连续信号在频域上的表示，它能够展示信号在不同频率上的能量分布情况。

频谱分析是信号处理中的重要内容，能够帮助我们理解信号的特性，并进行信号的分析与处理。

在本章中，我们将详细介绍连续信号的频谱分析方法和相关概念。

1.连续信号的频谱连续信号是指在时间上是连续变化的信号，可以通过连续时间的函数来表示。

在频域上，连续信号可以通过傅里叶变换来表示。

傅里叶变换将信号从时域转换到频域，给出了信号在不同频率上的能量分布情况。

连续信号的频谱是傅里叶变换结果的模值，它反映了信号在不同频率上的能量大小。

2.连续傅里叶变换连续傅里叶变换(CFT)是一种将连续信号从时域转换到频域的方法。

通过对连续信号进行积分运算，可以得到信号的频谱表示。

连续傅里叶变换的公式如下：F(ω) = ∫f(t)e^(-jωt)dt其中，F(ω)表示频率为ω的频谱，f(t)表示时域信号，e^(-jωt)是复指数函数。

通过计算不同频率ω下的复指数函数与信号的积分，可以得到连续信号的频谱。

3.连续信号的频谱性质连续信号的频谱具有以下几个重要性质：-零频率分量：频谱中的零频率分量表示了信号的直流分量，即信号在频域上的平均能量。

它在频谱中通常位于中心位置。

-频谱对称性：如果原始信号是实数信号，则频谱具有共轭对称性，即F(ω)=F*(-ω)，其中F*(-ω)表示F(ω)的共轭复数。

-线性性质：信号的线性组合的频谱等于各个信号频谱的线性组合。

-平移性质：将信号在时域上平移，会导致频谱在频域上平移同样的量。

- 抽样定理：如果信号的最高频率为f_max，则抽样频率f_s至少应为2f_max才能完整地恢复信号。

4.频谱分析方法为了获取连续信号的频谱信息，需要进行频谱分析。

-傅里叶变换：利用积分运算将信号从时域转换到频域。

-快速傅里叶变换(FFT)：快速傅里叶变换是一种高效的傅里叶变换算法，能够快速计算信号的频谱。

-功率谱密度(PSD)：功率谱密度是对信号能量在频域上进行定量描述的方法，可以用于分析信号的频率成分。

常见连续时间信号的频谱频谱是用来描述信号在不同频率上的能量分布的。

在信号处理中，常见的连续时间信号包括正弦信号、方波信号和三角波信号等。

下面将分别描述它们的频谱特性。

正弦信号是指具有连续时间的周期性振荡特征的信号。

它的频谱是一个单独的线谱，频谱图上只有一个频率分量。

该频率分量的幅度表示正弦波的振幅，相位表示信号在时间上的延迟或提前。

方波信号是一种具有快速上升和下降的信号，它在一个周期内以高电平和低电平交替出现。

方波信号的频谱是一个线谱，其中包含一系列频率成分，这些频率成分形成了奇数谐波的谐波级数。

频谱图中，频率分量的幅度和频率成分的奇数谐波级数呈现出明显的衰减规律。

三角波信号是一种具有连续变化斜率的信号，其波形类似于一条斜边倾斜上升再倾斜下降的直角三角形。

三角波信号的频谱也是一个线谱，其中包含一系列频率成分，这些频率成分形成了奇数谐波的谐波级数。

与方波信号不同的是，频谱图中的频率分量衰减得更加平缓，且奇数谐波的幅度逐渐递减。

综上所述，正弦信号的频谱是一个单独的频率分量，方波信号和三角波信号的频谱都是由奇数谐波级数的频率成分组成的。

不同信号的频率分量的幅度和衰减规律不同，这些频谱特性对于信号的合成和分析具有重要的指导意义。

常见的连续时间信号除了正弦信号、方波信号和三角波信号外，还包括矩形信号、指数信号和高斯脉冲信号等。

它们各自具有不同的周期性和非周期性特征，在频域上也表现出不同的频谱特性。

矩形信号是一种具有平坦上升和下降沿的信号，其波形类似于一个矩形框。

矩形信号的频谱是一个线谱，其中包含一系列频率成分，这些频率成分与方波信号的频谱类似，形成了奇数谐波的谐波级数。

不同的是，矩形信号的谐波级数幅度衰减得更快，频率成分的振幅更低。

指数信号是指幅度随时间以指数形式衰减或增长的信号。

指数信号的频谱是一个连续谱，在整个频率范围内都存在频率分量。

频谱图中，频率分量的幅度随着频率的增加而逐渐减小，呈现出指数衰减的特征。

连续信号的频谱特点主要涉及信号的频率分布和幅度分布。

下面是连续信号频谱的几个重要特点：
1. 频谱范围：频谱范围指信号频率的取值范围。

在理想情况下，连续信号的频谱范围是从负无穷到正无穷。

然而，在实际应用中，由于信号的带宽限制或采样率限制，频谱范围可能会有限制。

2. 基带频谱与带通频谱：连续信号的频谱可以分为基带频谱和带通频谱。

基带频谱指的是信号在整个频谱范围内的频率分布情况，包括低频成分和直流成分；带通频谱指的是信号在一定频率范围内的频率分布情况。

3. 频率分辨率：频率分辨率是指能够区分出的最小频率差异。

频率分辨率取决于信号的采样率或观测时间长度。

较高的频率分辨率意味着能够更好地区分相邻的频率成分。

4. 谱线宽度：谱线宽度是指频谱中每个频率成分的宽度或带宽。

较窄的谱线宽度表示频率成分集中，较宽的谱线宽度表示频率成分分散。

5. 谱形特性：谱形特性描述了信号在频谱中的幅度分布情况。

常见的谱形特性包括平坦谱、斜坡谱、窄带谱和宽带谱等。

6. 谐波成分：谐波成分是指频谱中与原始信号频率成整数倍关系的成分。

谐波成分通常具有高幅度，对信号的特性和波形产生重要影响。

以上是连续信号频谱的几个主要特点。

理解和分析连续信号的频谱特征对于信号处理、通信系统设计和频谱分析等应用具有重要意义。