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压力容器厚壁圆筒的弹塑性应力分析PPT课件

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06_压力容器应力分析_厚壁圆筒弹塑性应力分析

06_压力容器应力分析_厚壁圆筒弹塑性应力分析

2.3 厚壁圆筒应力分析
2.3.2 弹塑性应力
因为“弹性筒”内壁面同时也是“塑性筒”的外 壁面，所以在交界面上( r=Rc )，也满足 Mises 条件
r R
c
r r R
c
2 s 3
联立上述三式，得到弹、塑性区界面压力pc的另一表达 式如下
pc
s R R
2.3.4 提高屈服承载能力的措施
（2）高压厚壁筒提高屈服承载能力的措施
2.3 厚壁圆筒应力分析
2.3.4 提高屈服承载能力的措施
下图为经过自增强处理后，单层厚壁筒中的应力 分布情况。自增强法最早出现于20世纪初，首先应用 于炮筒的制造。目前已经应用于石油化工中的高压及 超高压容器、超高压管道、超高压压缩机气缸等。
残余应力的计算是依据“卸载定理”的，参见教 材。该部分须掌握残余应力的分布图。
2.3 厚壁圆筒应力分析
2.3.2 弹塑性应力
2.3 厚壁圆筒应力分析
（1）爆破过程 OA：弹性变形 AB：进入屈服 BC：屈服并强化 CD：爆破 pc:塑性垮塌压力， 工程上称为爆破 压力。
2.3.3 屈服压力和爆破压力
2.3 厚壁圆筒应力分析
（2）理想弹塑性材料
2.3.2 弹塑性应力
对于理想弹塑性材料，忽略材料的硬化阶段，同 时认为材料的屈服极限为常数。
2.3 厚壁圆筒应力分析
（3）塑性失效准则
2.3.2 弹塑性应力
筒体为理想弹塑性材料，当屈服区扩展至外壁 面，使筒体整体屈服，此时承受的内压力为筒体承 受的最高极限载荷。 （4）屈服条件 当材料从弹性阶段进入理想塑性阶段时，应满 足一定的条件，以此来判定材料是否进入屈服阶段， 此条件称为“屈服条件”（屈服失效判据）。 常用的屈服条件有：Tresca屈服条件和Mises 屈服条件。

压力容器厚壁圆筒的弹塑性应力分析PPT课件

压力容器厚壁圆筒的弹塑性应力分析PPT课件

3/9/2021
厚壁圆筒的弹塑性应力分析
Page - 13
则平衡方程（不计体力）为
dr r 0
dr
r
dz 0
dz
(2-5)
3/9/2021
厚壁圆筒的弹塑性应力分析
Page - 14
几何方程为
rd du r, u r, zd dw z
(2-6)
变形协调方程
d d r1 r(d du ru r)1 r(r)
3/9/2021
厚壁圆筒的弹塑性应力分析
Page - 25
（2）两端封闭的筒体（筒体端部有端盖） 轴向应力由轴向平衡条件求得
(R o 2 R i2 )zR i2 p iR o 2 p o
即
3/9/2021
z
Ri2pi Ro2po Ro2 Ri2
c3
（2-19）
厚壁圆筒的弹塑性应力分析
Page - 26
（c）
3/9/2021
厚壁圆筒的弹塑性应力分析
Page - 24
将 c1 、c2 值代入式（2-13），得两端开
口的厚壁圆筒的位移表达式
u 1 E(R i2R p io 2 R R o 2 i2 p o)r 1 ER i( 2 R R o o 2 2( p iR i2)p ro)
（2-18）
t r
1 E
t r
( t
1Ri2Ro2(pi po
E
Ro2 Ri2
)
3/9/2021
厚壁圆筒的弹塑性应力分析
Page - 29
下面列出厚壁圆筒各种受力情况（两端封闭）弹性 状态下的应力及位移计算公式
（1）厚壁圆筒同时作用内、外压
（ pi 0, p00）时

压力容器厚壁圆筒的弹塑性应力分析

压力容器厚壁圆筒的弹塑性应力分析

未来发展方向和前景展望
THANK YOU
汇报人：XX
有限元法的优缺点及其在 工程实践中的应用案例
厚壁圆筒的弹塑性应力分析中的材料模型
理想弹塑性模型：假设材料在受力过程中遵循胡克定律，忽略材料的应变率效应 和温度效应。
弹塑性有限元法：将厚壁圆筒离散化为有限个单元，每个单元的应力应变关系通 过弹塑性本构方程描述。
增量理论：基于增量形式的本构方程，考虑了前一次加载时残留在材料中的应力 场对当前加载的影响。
厚壁圆筒的弹塑性应力 分析的未来发展
PART 01 添加章节标题
PART 02
压力容器厚壁圆 筒的弹塑性应力
分析概述
压力容器厚壁圆筒的结构特点
厚壁圆筒由金属材料制成，具有高强度和耐腐蚀性能。 厚壁圆筒的结构设计应满足压力容器的工艺要求和使用条件。 厚壁圆筒的厚度通常较大，以承受内压和其他附加载荷。 厚壁圆筒的制造过程中需要进行焊接、热处理、无损检测等质量控制措施。
PART 06
厚壁圆筒的弹塑 性应力分析的未
来发展
新型材料对厚壁圆筒弹塑性应力分析的影响
新型材料的出现将改变厚壁圆筒的弹塑性应力分析的边界条件和载荷条件。 新型材料的力学性能对厚壁圆筒的弹塑性应力分析的精度和可靠性提出了更高的要求。 新型材料的加工制造技术将促进厚壁圆筒的弹塑性应力分析方法的改进和发展。 未来将有更多的新型材料应用于厚壁圆筒的制造，需要进一步研究这些材料对弹塑性应力分析的影响。
提高压力容器的安裂而引起的安全事故 为压力容器的设计、制造和使用提供科学依据
PART 03
厚壁圆筒的弹塑 性应力分析方法
有限元法在厚壁圆筒弹塑性应力分析中的应用
有限元法的定义和原理
厚壁圆筒的弹塑性应力分 析的数学模型

压力容器应力分析PPT课件

压力容器应力分析PPT课件
7
无力矩理论（薄膜理论）与有力矩理论（弯曲理论）
图a：Nφ——径向力，Nθ——环向力、 Nφ、Nθ 统称为法向力，NφθNθφ——
剪切力，法向力、剪切力统称为薄膜内力；
图b：QφQθ——横向剪力 图c：Mφ、Mθ——弯矩，MφθMθφ——扭矩
横向剪力、弯、扭矩 统称为弯曲内力
8
有力矩理论 或弯曲理论
11
在图b中：因壳体沿经线的曲率常有变化，故Nφ随φ变化，因 abcd是微元体，故Nφ随φ的变化量很小，可忽略， 则σφ+dσφ≈σφ；Nφ+dNφ≈Nφ
微元平衡方程：微元体所受薄膜应力在法线方向的分量等于微
元面积所受的介质压力：
2Nsind22Nsind2pdA 因 d、d均很 ，故 小 sindd、sindd
线与平行圆走同一个圆；
r——平行圆半径； R1（经线在B点的曲率半径）——第一曲率半径； R2（与经线在B点处的切线相垂直的平面截交回转曲面得一平面曲线，该
平面曲线在B点的曲率半径）——第二曲率半径，R2=r/sinφ 考虑 壁厚，含纬线的正交圆锥面能截出真实壁厚，含 平行圆的横截面不能截出真实壁厚。
薄壁：Di≈D
图a： 4Di2pD t p 4tD 图b： DiLp 2tL p2tD
5
2.1.2 回转薄壳的无力矩理论
压力容器应力分析
6
压力容器应力分析
OA、OA′——母线、经线； OO′——回转轴； O（中面与回转轴交点）——极点； 纬线——正交圆锥面（母线k2B）与回转曲面截交所得圆； 平行圆——垂直于回转轴的平面（横截面）与中面的交线，过同一点的纬
无力矩理论 或薄膜理论
无矩应力状 态
压力容器应力分析
同时考虑薄膜内力和弯曲内力，适用 于抗弯刚度大、曲率变化大 只考虑薄膜内力、不考虑弯曲内力， 适用于抗弯刚度小、曲率变化小 承受轴对称载荷的回转薄壳，仅有径向力 Nφ与环向力Nθ、无弯曲内力的应力状态

厚壁圆筒应力分析PPT课件

厚壁圆筒应力分析PPT课件

c. 几何方程 (应力－应变）
m'1
n' 1
w+dw
m1
n1
m'
w
m
n' n
d
r
图2-16 厚壁圆筒中微元体的位移
9
2.3 厚壁圆筒应力分析
c. 几何方程（续）
径向应变 周向应变
r

w
dw
dr
w

dw dr


r wd rd
rd

w r
变形协调方程
d
dr

1 r
2、压力容器应力分析
CHAPTER Ⅱ STRESS ANALYSIS OF PRESSURE VESSELS
2.3 厚壁圆筒应力分析
1
2.3 厚壁圆筒应力分析
主要内容
2.3.1
2.3.2
2.3.3 力 2.3.4 措施
弹性应力 弹塑性应力 屈服压力和爆破压 提高屈服承载能力的
2
2.3 厚壁圆筒应力分析

pi p0 Ri2 R02 1 R02 Ri2 r 2
（2-34）
轴向应力
z

pi Ri2 p0 R02 R02 Ri2
称Lamè（拉美）公式
14
2.3 厚壁圆筒应力分析
表2-1 厚壁圆筒的筒壁应力值
受 力 情况 位
应
置
力
分
析
r
仅受内压
po=0 任意半径 r 内壁处
处
K
pi 2 1
一、压力载荷引起的弹性应力
二、温度变化引起的弹性热应力
5
2.3 厚壁圆筒应力分析

《厚壁圆筒》课件

《厚壁圆筒》课件
合理选用材料和工艺，控制制造成本。
具有良好的强度和塑性，易于加工，成本较低。适用于一般压力容器。
具有优良的耐腐蚀性能，可用于腐蚀性介质场合。但成本较高，加工困难。
不锈钢
碳钢
切割
采用机械或激光切割方法，将材料切割成所需尺寸。
成形
通过卷板机或模具将钢板弯曲成厚壁圆筒的形状。
采用合适的焊接工艺，确保焊缝质量，提高厚壁圆筒的整体强度。
新型材料：研究和开发新型材料，以提高厚壁圆筒的综合性能。例如，研究高强度、高韧性、耐腐蚀的新型钢材和钛合金等。
06
厚壁圆筒的发展趋势与展望
先进的热处理工艺能够改善厚壁圆筒的机械性能，提高其韧性和强度。
热处理技术
镀锌、喷塑等表面处理技术提高了厚壁圆筒的耐久性和美观度。
表面处理技术
1
2
3
随着工业4.0的发展，厚壁圆筒制造将向智能化转型，实现生产过程的自动化和信息化。
形状优化
对厚壁圆筒的连接、密封等细节进行优化，以提高其可靠性和使用寿命。
细节处理
热处理工艺
焊接工艺
表面处理
加工工艺
01圆筒材料的力学性能和耐腐蚀性。
优化焊接工艺参数，提高焊接质量，减少焊接缺陷。
采用喷涂、电镀等表面处理技术，提高厚壁圆筒的耐腐蚀性和耐磨性。
采用先进的加工工艺，如数控加工、激光切割等，提高加工精度和生产效率。
径向变形分析
厚壁圆筒在承受轴向拉伸或压缩时，会产生轴向变形，表现为圆筒的长度增加或减小。
轴向变形分析
厚壁圆筒在承受内压或外压时，会产生周向变形，表现为圆筒的周长增加或减小。
周向变形分析
刚度分析
厚壁圆筒的刚度是指其抵抗变形的能力。在承受内压或外压时，圆筒的变形程度会影响其刚度。

《压力容器应力分析》课件

设计标准的多样化 不同国家和地区对压力容器的设 计标准和规范存在差异，导致设 计过程中需要考虑多种因素和标 准。
未来的发展趋势与展望
智能化和自动化技术的应用
随着人工智能、大数据和云计算等技术的发展，压力容器应力分析将 更加智能化和自动化，能够提高分析的精度和效率。
多物理场耦合分析的深入研究
未来将进一步加强对多物理场耦合效应的研究，以更准确地预测压力 容器的复杂行为。
实验法能够提供实际工况下的应力数据，但实验条件难 以完全模拟实际运行环境，成本较高。
有限元法适用于复杂形状和边界条件的压力容器分析， 计算精度较高，应用广泛。
根据实际需求和条件选择合适的分析方法，综合运用多 种方法进行压力容器应力分析是发展趋势。
03
压力容器应力分析的步骤
确定分析目的
确定压力容器应力分析的目的，是为 了评估容器的强度、刚度和稳定性， 还是为了优化设计或解决特定问题。
案例三：某压力容器优化设计
案例概述
某压力容器在设计阶段，需要进行优化设计 以提高其性能和安全性。
结果展示
通过图表和数据，展示优化后的压力容器在 性能和安全性方面的提升情况。
分析方法
采用优化设计方法，对压力容器的结构、材 料和工艺进行多目标优化。
结论
根据分析结果，评估优化设计的可行性和效 果，并提出相应的改进建议。
案例一：某压力容器应力分析
案例概述
某压力容器在正常工作条件下，需要进行全 面的应力分析以确保其安全运行。
分析方法
采用有限元分析方法，对压力容器的各个部 件进行详细的应力分布计算。
结果展示
通过图表和数据，展示压力容器在正常工作 条件下各部件的应力分布情况。
结论
根据分析结果，评估压力容器的安全性能， 并提出相应的优化建议。

《压力容器应力分析》课件


CHAPTER
06
压力容器应力分析的实践应用
压力容器设计中的应力分析
总结词
在压力容器设计中，应力分析是关键环节，用于评估容器在不同工况下的受力情况，确保容器的安全性和稳定性 。
详细描述
在压力容器设计阶段，应力分析的目的是确定容器在不同压力、温度和介质等工况下的应力分布，以及由此产生 的变形和疲劳损伤。通过使用有限元分析等数值方法，可以预测容器的应力水平和可能出现的应力集中区域，从 而优化设计，避免因过度应力而导致的容器破裂或失效。
CHAPTER
05
压力容器应力分析的结论与展 望
结论
01
压力容器应力分析是确保压力容器安 全运行的重要手段，通过对压力容器 的应力分析，可以评估容器的安全性 能和可靠性，预防因应力集中、疲劳 损伤等问题引起的容器破裂和泄漏等 事故。
02
压力容器的应力分析方法包括有限元 分析、有限差分法、边界元法等数值 计算方法和实验方法。这些方法可以 模拟和预测压力容器的应力分布和强 度，为容器的设计、制造、检验和使 用提供科学依据。
目的
确保压力容器的安全运行，防止因过 大的应力导致容器破裂或失效，提高 容器的使用寿命和可靠性。
应力分类
一次应力
01
由外部载荷引起的应力，如压力、重力和惯性力等。
二次应力
02
由容器内部压力引起的应力，通常是由于容器结构不连续或约
束条件引起的。
峰值应力
03
由于结构局部不连续或温度梯度引起的应力，通常在容器的高
在此添加您的文本16字
总结词：分析结果
在此添加您的文本16字
总结词：应用实例
在此添加您的文本16字
详细描述：展示简单压力容器应力分析的结果，包括应力 分布、应力强度和安全系数的计算等。

弹塑性力学9厚壁圆筒课件

。
加载方式选择
根据实验需求，选择静态或动 态加载方式，如拉伸、压缩、 弯曲等。
测试仪器准备
选用合适的测试仪器，如万能 试验机、引伸计、动态数据采 集系统等，确保测试精度和可 靠性。
实验过程记录
详细记录实验过程，包括加载 速度、试样变形、破坏形态等
，为后续分析提供依据。
数值模拟方法选择和建模过程
有限元软件选择
结果对比分析和讨论
实验与数值模拟结果对比
将实验测得的力与位移曲线、应力应变曲线等与数值模拟结果进 行对比分析，评估数值模拟的准确性。
误差来源分析
分析实验与数值模拟结果之间存在的误差来源，如材料性能差异、 几何尺寸偏差、边界条件设置等。
参数敏感性分析
针对不同参数进行敏感性分析，探讨各参数对厚壁圆筒弹塑性性能 的影响规律。
判断依据
可通过解析法、数值法或实验法求得圆筒的塑性失稳压力，若实际工作压力大于塑性失稳压力，则圆 筒将发生塑性变形并可能导致破裂。
防止失稳措施和建议
01
02
03
04
选择合适的材料
根据圆筒的实际工作条件和要 求，选择具有足够强度和稳定
性的材料。
优化圆筒结构设计
通过优化圆筒的几何尺寸、壁 厚等参数，提高其承载能力和
材料密度
选择低密度材料可减轻圆筒重量，降低应力集中现象。
结构参数对优化设计影响
圆筒厚度
01
增加圆筒厚度可提高承载能力和刚度，但也会增加重量和成本
。
圆筒长度
02
合适的圆筒长度可确保传力均匀，减小应力集中现象。
圆筒内外径比
03
合适的内外径比可确保圆筒在承受内压和外载时具有足够的稳
定性。
优化算法在厚壁圆筒中应用

第五章 压力容器的应力分析 PPT


5.2.1.3基本方程式的应用
工程上常用容器一般都由圆筒形壳体、 球形壳体、锥形壳体及椭球形壳体等典型回 转薄壁壳体构成，分别计算其径向、周向薄 膜应力。
圆筒形壳体
第一曲率半径R1=∞，
第二曲率半径R2=R
m p R1 R2
pR
pD
2
m
pR
2
pD
4
在圆筒形壳体中，周向应力是轴向应力的二
110或K1.2KR R0i ，其中内径D
i 、中径
D
、
外径 D 0 ；
厚壳： f 1 ,K f 1.2
壳体是一种以两个曲面为
界，且曲R面之10 间的距离（壁厚）远比其它方向尺寸
小的物体。
平分壳体厚度的曲面称为壳体的中面
最常见的壳体有球体、圆柱体、圆锥体、椭球壳等
压力容器特点之一：应用广泛
超期未检或未 按规定检验 56起 7%
安全装置失效 混装等其他原
因 46起 6%
血的代价
血的代价
血得代价
血的代价
血的代价
血的代价
血的代价
2007年6月15日清早5时10分，“南桂机035”号运沙船由佛 山高明开往顺德途中偏离主航道航行撞击九江大桥，导致桥面 发生坍塌，桥面坍塌约200米。后证实有4辆汽车7名司乘人 员以及2名现场施工人员共9人坠江失踪。 大桥管理方向肇事 者索赔2558万元；
图片
压力容器的结构图
液位计
管口
人孔
封头
支座
筒体
零部件的二个基本参数：公称直径DN
对于用钢板卷制的容器筒体而言，其公称直径的数 值等于筒体内径。
当容器筒体直径较小时，可直接采用无缝钢管制作 时，这时容器的公称直径等于钢管的外径。
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4/10/2020
厚壁圆筒的弹塑性应力分析
Page - 6
２. 几何方程
在r- z平面内，沿r和z方向取微小长度PA = dr，
PC = dz。假设变形后P，A，C分别移动到P，A， C。
4/10/2020
厚壁圆筒的弹塑性应力分析
Page - 7
由几何变形关系，可求得线段 PA的正应变 r 为
平面截取一个微小扇形六面体，如下图所 示。
4/10/2020
厚壁圆筒的弹塑性应力分析
Page - 3
一、 厚壁圆筒 基本方程
1．平衡方程
4/10/2020
厚壁圆筒的弹塑性应力分析
Page - 4
Fr 0
(r rr dr)r(dr)ddzrrddz2drdzsin d2 (zrzzr dz)rdrdzrrdrdKrrdrddz0
= d r，PB = rd，变形后，P，A，B分别移
动到P，A，B。由于对称性，P点和B点
移到P点和B的位移分量均为 u ，A点移到
A点的位移分量为
u u dr
r
4/10/2020
厚壁圆筒的弹塑性应力分析
Page - 9
P 'B P ' B P B(ru )rd d rdu r
4/10/2020
厚壁圆筒的弹塑性应力分析
(d ruudru)dr
r
PA PA PA
r dr
u r
线段PC的正应变 z 为
w
zPC P C PC (d zwd zzdzw )dzw z
PA和PC间的直角变化，即剪应变为
rz
1
2
wu r z
4/10/2020
厚壁圆筒的弹塑性应力分析
Page - 8
在r- 的平面内，沿r和方向取微元线段PA
c3
c4 r2
c3
c4 r2
z 2c3 E Z
c3
E 1
Z c1 1 2
E c4 1 c2
厚壁圆筒的弹塑性应力分析
（2-14）
（2-15）
Page - 20
当厚壁圆筒同时承受均匀内压 pi 和均匀外 压 p o 时，其边界条件为
rRi, rpi rR0,rp0
即 u 只决定于r，w只决定于z。
4/10/2020
厚壁圆筒的弹塑性应力分析
Page - 13
则平衡方程（不计体力）为
dr r 0
dr
r
dz 0
dz
(2-5)
4/10/2020
厚壁圆筒的弹塑性应力分析
Page - 14
几何方程为
rd du r, u r, zd dw z
(2-6)
变形协调方程
( r
1 2
e)
E 1
(
1 2
e)
z
E 1
( z
1 2
e)
zr
E 2 (1
)
zr
厚壁圆筒的弹塑性应力分析
(2-3)
(2-4)
Page - 12
对于承受均匀内、外压的厚壁圆筒，若筒 体的几何形状、载荷、支承情况沿z轴没有 变化，所有垂直于轴线的横截面在变形后
仍保持为平面，则 zr 0，zr 0 ，
第二章 厚壁圆筒的弹 塑性应力分析
4/10/2020
第一节 厚壁圆筒的弹性应力分析
如图所示的内半径为 R i ，外半径为 R 0 的厚壁圆 柱形筒体，承受内压为 p i ，外压为 p 0 。
4/10/2020
厚壁圆筒的弹塑性应力分析
Page - 2
在P点处用相距d r的两个同心圆柱面，互成
d 角的两个相邻纵截面及相距dz的两个水
d d r1 r(d du ru r)1 r(r)
4/10/2020
厚壁圆筒的弹塑性应力分析
(2-7)
Page - 15
物理方程 或写成
4/10/2020
r E 1r(z) E 1(rz) z E 1z(r)
r
1E(r
12e)
1E(12e)
z 1E(z12e)
厚壁圆筒的弹塑性应力分析
(2-8)
（a）
将边界条件代入式（2-14），得
c3
Ri2 pi Ro2
Ro2 po Ri2
c4
Ri2Ro2(pi po) Ro2 Ri2
4/10/2020
厚壁圆筒的弹塑性应力分析
（b）
Page - 21
将 c3 、c4 值代入式（2-14），得
r
Ri2pi Ro2po Ro2 Ri2
Ri2Ro2(pi po) (Ro2 Ri2)r2
Page - 10
由此，空间轴对称的几何方程为
r
u r
u r
z
w r
rz
w u r z
(2-2)
4/10/2020
厚壁圆筒的弹塑性应力分析
Page - 11
３．物理方程
r
1 E
r
(
z )
1 E
( r
z)
z
1 E
z
(
r
)
zr
2(1 E
)
zr
或写成
4/10/2020
r
E 1
Fz 0
(zzzdz)rddrzrddr(rzrrzdr)(rdr)ddz rzrddzK zrdrddz0
4/10/2020
厚壁圆筒的弹塑性应力分析
Page - 5
因为 d 值很小, 可取 sind d ，化简并略
去高阶微量，得
22
r r
zr z
r
r
Kr
0
z z
rz r
rz
r
Kz
0
(2-1)
Ri2pi Ro2po Ro2 Ri2
Ri2Ro2(pi po) (Ro2 Ri2)r2
（2-16）
即为著名的拉美（ Laem）方程式。
4/10/2020
厚壁圆筒的弹塑性应力分析
Page - 22
轴向应力 z 、轴向应变 z 和径向位移分
量u，根据端部支承条件不同，分两种情况
讨论：
（1）两端不封闭(开口)的筒体(如炮筒，热套 的筒节等）
本节采用位移法求解在均匀内、外压作用下的厚壁 圆筒。将几何方程式代入物理方程式，得出用位移 分量表示的物理方程
r
E
du (
1 dr
e) 1 2
E (u
1 r
e) 1 2
z
E
1
(dw e) d z 1 2
（2-11）
4/10/2020
厚壁圆筒的弹塑性应力分析
Page - 18
(2-9)
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由式（2-8）可得到
r1 E(r) d 1(ddr)
dr E dr dr
将以上两式代入式（2-7），得到以应力分量表示的变 形协调方程
d d rd d rr 1 r(r) (2-10)
4/10/2020
厚壁圆筒的弹塑性应力分析
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二、厚壁圆筒的应力和位移解
将上式代入平衡方程式，得
d2 u dr 2
1 rdu dr源自u r20d2 w dz2
0
它的通解为
u
c1r
c2 r
式中 c1,c2 为积分常数
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厚壁圆筒的弹塑性应力分析
（2-12） （2-13）
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将式（2-13）代入式（2-11），得到
式中
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r