高一(下)(一外实验班)培训资料7(正、余弦函数图象与图象变换)

5.4三角函数的高一数学复习知5.4.1正弦函数函数的图象与性质复习知识讲解课件函数、余弦函数的图象要点 正弦函数、余弦函数的图象五点法五点法1．为什么把正弦、余弦曲线向左、形状不变？答：由诱导公式一sin(x ＋2k π)＝、右平移2π的整数倍个单位长度后图象sin x ，cos(x ＋2k π)＝cos x ，k ∈Z 可得．题型二题型二例2 (1)如图是y ＝sin x 的图象经过某种变图象变换某种变换得到的，则其解析式可以是______．y ＝|sin x |π探究2(1)牢记图象：(2)图象变换：Ⅰ.图象的平移变换(a >0，b >0)Ⅱ.对称变换①函数y ＝|f (x )|的图象是将函数y ＝f (的部分对称翻折到x 轴上方得到．②函数y ＝f (|x |)的图象是将函数y ＝f (对称翻折到y 轴左侧得到．③函数y ＝－f (x )的图象与函数y ＝f (x ④函数y ＝f (－x )的图象与函数y ＝f (x ⑤函数y ＝－f (－x )的图象与函数y ＝x )的图象在x 轴的上方的部分不动，下方x )的图象在y 轴右边的部分不动，并将其)的图象关于x 轴对称． )的图象关于y 轴对称． f (x )的图象关于原点对称．(2)作出函数y＝sin|x |的图象．【解析解析】】y ＝sin|x |＝ sin x （x ≥0）－sin x （x <0其图象如图所示：），）.(2)方程x2－cos x＝0的实数解的个数是【解析解析】】 在同一平面直角坐标系内作示，由图象可知，两函数图象有两个交点有两个实数解，且两个实数解之和为0.个数是_____，所有的实数解的和为_____． 20系内作函数y ＝cos x 与y ＝x 2的图象，如图所点，且两个交点关于y 轴对称，故原方程探究3 利用三角函数图象解三角不等(1)作出相应的正弦函数或余弦函数在(2)确定在[0，2π]上sin x ＝a (cos x (3)写出不等式在区间[0，2π]上的解集(4)根据诱导公式一写出定义域内的解集角不等式sin x >a (cos x >a )的步骤： 数在[0，2π]上的图象； ＝a )的x 值； 的解集； 的解集．课后 巩 固2．在同一平面直角坐标系内，函数π，4π]的图象( )A ．重合 CB ．关于y 轴对称解析解析 根据正弦曲线的作法可知函数[2π，4π]的图象只是位置不同，形状相同函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]与y ＝sin x ，x ∈[2B ．形状相同，位置不同 D ．形状不同，位置不同函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]与y ＝sin x ，x ∈状相同．3．函数y＝sin(－x)，x ∈0，2π的简图解析解析 y ＝sin(－x )＝－sin x ，y ＝－B.的简图是( )Bsin x 与y ＝sin x 的图象关于x 轴对称．故选。

专题九：正弦定理、余弦定理教学目的：1.掌握正弦定理、余弦定理；2.使学生能初步运用它们解斜三角形，并会解决斜三角形的计算问题。

教学重点：正弦定理、余弦定理的运用教学难点：正弦定理、余弦定理的灵活运用 一、引言在直角三角形中，由三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角函数，可以由已知的边和角求 出未知的边和角。

那么斜三角形怎么办？——提出课题：正弦定理、余弦定理 二、讲解新课（一）三角形的面积公式： （1）111222ABC a b c S a h b h c h ∆=⋅=⋅=⋅； （2）111sin sin sin 222ABC S ab C bc A ca B ∆===。

证明：如右图，111sin (sin())222ABCa S a h ab C a b C π∆=⋅=⋅⋅-或 1sin 2ab C =。

（∵sin (sin())a h b C b C π=-或）同理可证：11sin sin 22ABC S bc A ca B ∆==。

（二）正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦之比彼此相等， 2sin sin sin a b cR A B C===（R 为ABC ∆外接圆半径）。

证明：（1）在直角三角形中，sinA=c a ，sinB=cb，sinC=1，即c=A a sin ，c=B b sin ，c=C c sin ，∴A a sin =B b sin =C csin 2R =。

（2）在斜三角形中，证法一：（外接圆法） 如图所示，∠Ａ＝∠Ｄ∴R CD Da A a 2sin sin ===，同理B b sin =2R ，C c sin ＝2R ， ∴A a sin =B b sin =Ccsin 2R =。

a bcOCADAC bac AC baBa h CAb c Ba h证法二：（向量法）过A 作单位向量j 垂直于AC ，由AC +CB =AB ， 两边同乘以单位向量j 的数量积得 j •(AC +CB )=j •AB ， 则j •AC +j •CB =j •AB ，∴|j |•|AC |cos90︒+|j |•|CB |cos(90︒-C)=|j |•|AB |cos(90︒-A)，∴A c C a sin sin = ∴A a sin =Ccsin ；同理，若过C 作j 垂直于CB 得： C c sin =B b sin ，∴A a sin =B b sin =C csin 。

教学课题：函数y=Asinx 和y=Asin ωx 的图象教学目的：要求学生会用五点法画出函数y=Asinx 和y=Asin ωx 的图象，明确A 与ω对函数图象的影响作用；并会由y=Asinx 的图象得出y=Asinx 和y=Asin ωx 的图象。

教学重点: 由y=Asinx 的图象得出y=Asinx 和y=Asin ωx 的图象。

教学难点: y=Asinx 和y=Asin ωx 的图象的变换学法指导:培养学生类比思想,以及一般与特殊的思维方法 教学过程设计：一、导入新课，提出课题：物理实例：1．简谐振动中，位移与时间的关系2．交流电中电流与时间的关系都可以表示成形如：y=Asin(ωx+φ)的解析式 二、新课教学 (一)、y=Asinx1．画出函数y=2sinx x ∈R ；y=21sinx x ∈R 的图象（简图）。

解：由于周期T=2π ∴不妨在[0,2π]上作图，列表：作图：引导,观察,启发：与y=sinx 的图象作比较，结论：1．y=Asinx ，x ∈R(A>0且A ≠1)的图象可以看作把正数曲线上的所有点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)到原来的A 倍得到的。

2．它的值域[-A, A] 最大值是A, 最小值是-A3．若A<0 可先作y=-Asinx 的图象 ，再以x 轴为对称轴翻折。

函数y=Af(x)与函数y=f(x)的图象变换关系(二)、y=sin ωx2．画出函数y=sin2x x ∈R ；y=sin21x x ∈R 的图象（简图）。

解：∵函数y=sin2x 周期T=π ∴在[0, π]上作图令X=2x 则x=2X从而sinX=sin2x 列表：函数y=sin 2x周期T=4π ∴在[0, 4π]上作图 列表引导, 观察启发 与y=sinx 的图象作比较1．函数y=sin ωx, x ∈R (ω>0且ω≠1)的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短(ω>1)或伸长(0<ω<1)到原来的ω1倍（纵坐标不变）2．若ω<0则可用诱导公式将符号“提出”再作图。

第26讲 正弦函数、余弦函数的图象模块一 思维导图串知识模块二 基础知识全梳理（吃透教材）模块三 核心考点举一反三模块四 小试牛刀过关测1．理解正弦曲线和余弦曲线间的关系，会用“五点（画图）法”画给定区间上的正弦函数、余弦函数的图象；2．掌握正弦函数与余弦函数图象间的关系以及图象的变换，能通过函数图象解决简单的问题.知识点 1 正弦曲线与余弦曲线1、正弦曲线：正弦函数sin ,y x x R =∈的图象叫做正弦曲线，是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线，如下图．【要点诠释】（1）由正弦曲线可以研究正弦函数的性质；（2）运用数形结合的思想研究与正弦函数有关的问题．2、余弦曲线：余弦函数cos ,y x x R =∈的图象叫做余弦曲线，它是与正弦曲线具有相同形状的“波浪起伏”的连续光滑曲线，如下图．3、将正弦曲线向左平移2π个单位长度即能得到余弦曲线．知识点 2 正（余）弦函数的图象1、正（余）弦函数的图象函数y ＝sin xy ＝cos x图象图象画法五点法五点法关键五点(0,0),π(,1)2,(,0)π,3π(,1)2-,(2,0)π(0,1),π(,0)2,(,1)π-,3π(,0)2,(2,1)π2、用“五点法”作正（余）弦函数的简图步骤（1）确定五个关键点：最高点、最低点、与x 轴的三个交点（三个平衡点）；（2）列表：将五个关键点列成表格形式；（3）描点：在平面直角坐标系中描出五个关键点；（4）连线：用光滑的曲线连接五个关键点，注意连线时，必须符合三角函数的图象特征；（5）平移：将所作的[0,2]π上的曲线向左、向右平行移动（每次平移2π个单位长度），得到的图象即为所求正弦曲线、余弦曲线。

知识点 3 用三角函数图象解三角不等式的方法1、作出相应正弦函数或余弦函数在[0,2π]上的图象；2、写出适合不等式在区间[0,2π]上的解集；3、根据公式一写出不等式的解集．考点一：“五点法”画正（余）弦函数的图象例1．用“五点法”作出下列函数sin 1y x =-，[0,2π]x ∈的简图：【变式1-1】（22-23高一下·河南·月考）用五点法作出函数π2sin 6y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在一个周期内的图象【变式1-2】（23-24高一上·陕西西安·期末）用五点作图法画出cos 2y x =的图象．【变式1-3】用“五点法”作出下列函数的简图.(1)2sin y x =-，[]0,2πx ∈；(2)πcos 6y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，π11,π66x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦．(3)πcos 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，π5π,33x ⎡⎤∈-⎢⎣⎦考点二：含绝对值的三角函数图象例2. 当[]2π,2πx ∈-时，作出下列函数的图象，把这些图象与sin y x =的图象进行比较，你能发现图象变换的什么规律？(1)sin y x =；(2)sin y x =.【变式2-1】（23-24高一上·四川绵阳·期末）函数()sin f x x =-在区间[]π,π-上的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【变式2-2】作出函数2sin sin y x x =+，[],x ππ∈-的大致图像．【变式2-3】（23-24高一上·云南昆明·期末）函数1(cos cos ),[0,2π]2y x x x =-∈的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．考点三：用正（余）弦函数的图象解不等式例3. （22-23高一下·四川南充·月考）不等式1si n ,2x <-[0,2]x πÎ的解集是（ ）A ．711,66ππ（）B ．45,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．57,66ππ（）D ．25,33ππ（）【变式3-1】（22-23高一下·上海嘉定·期中）不等式[]()1cos π,π2x x ≥∈-的解集为 .【变式3-2】（23-24高一下·广东江门·月考）在()0,2π内，使sin cos x x >成立的x 的取值范围为（ ）A ．π,π4⎛⎫⎪⎝⎭B ．ππ5π,π,424⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．π5π,44⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．ππ3π5π4244⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,,【变式3-3】（23-24高一上·江苏淮安·月考）在[]0,2π内函数()ln sin x f x ⎛= ⎝⎭的定义域是（ ）A ．ππ,43⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．3π5π,43⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．π3π,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．π,3π4⎡⎫⎪⎢⎣⎭考点四：正（余）弦函数的图象辨识例4. （23-24高一下·北京·期中）设a 是实数，则函数()sin 1axf x a=+的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【变式4-1】（22-23高一下·辽宁·月考）华罗庚说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”所以研究函数时往往要作图，那么函数()sin cos 2f x x x=+的部分图像可能是（）A．B．C．D．【变式4-2】（23-24高一下·重庆·月考）函数()3sin 2x x xf x-=的图象大致为（）A．B．C．D．【变式4-3】（22-23高一下·湖南长沙·期末）函数()1 sin ln1xf x xx -=⋅+的大致图象为（）A．B．C．D．考点五：与正（余）弦函数有关的交点例5. （23-24高一下·陕西·月考）（多选）函数πsin2π3y x x⎛⎫=<<⎪⎝⎭图象与直线y t=（t为常数）公共点的个数可能是（）A．0B．1C．2D．3【变式5-1】（23-24高一上·江苏扬州·月考）函数()sin f x x =与()cos g x x =的图象在区间[]2π,π-的交点个数为.【变式5-2】（23-24高一下·辽宁盘锦·月考）若函数()sin 3sin f x x x =+在[]0,2πx ∈的图象与直线2y a =有两个交点，则实数a 的取值范围是．【变式5-3】（23-24高一上·广东江门·期末复习）在同一坐标系中，作函数sin y x =和lg y x =的图像，根据图像判断出方程sin lg x x =的解的个数为．一、单选题1．用“五点法”作2cos 2y x =的图象，首先描出的五个点的横坐标是（ ）A ．π3π0,,π,,2π22B ．ππ3π0,,,,π424C ．0,π,2π,3π,4πD ．πππ2π0,,,,63232．（23-24高二上·福建福州·月考）函数()cos 0y x x =-≥ 的图象中与y 轴最近的最高点的坐标为（ ）A ．π,12⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()π,1C ．()0,1D ．()2π,13．（22-23高一下·山西朔州·期中）函数()cos f x x =，ππ,36x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的最小值为（ ）A ．BC ．12-D ．124．（23-24高一上·浙江温州·月考）设a 为常数，且满足sin 1a x =+，且[]π,πx ∈-的x 的值只有一个，则实数a 的值为（ ）A ．0B ．1C ．1或2D ．0或25．（23-24高一上·山东青岛·期末）当(0,2π)x ∈时，函数()sin f x x =与()|cos |g x x =的图象所有交点横坐标之和为（ ）A ．πB ．2πC ．3πD ．4π6．（22-23高一上·江苏淮安·期末）我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休．”在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数性质，也常用函数解析式来琢磨函数的图象特征，函数cos ()2sin ||x xf x x =+的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．二、多选题7．函数()sin 2sin f x x x =+，[]0,2πx ∈的图象与直线y k =的交点个数可能是（ ）A ．1B ．2C ．4D ．68．（22-23高一下·江西抚州·期中）函数cos y x =，π4π,33x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的图像与直线y t =（t 为常数，R t ∈）的交点可能有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个三、填空题9．已知函数()32cos f x x =-+的图象经过点π,3b ⎛⎫⎪⎝⎭，则b =．10．（23-24高一下·山东威海·月考）方程sin tan x x =在区间3π3π,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上解的个数是．11．（23-24高一上·湖南长沙·月考）若()5533cos sin 3sin cos θθθθ-<-且[)0,2πθ∈，则θ的取值范围为 .四、解答题12．用“五点法”作出下列函数的简图.(1)2sin y x =，[]0,2πx ∈；(2)πsin 3⎛⎫=+ ⎪⎝⎭y x ，π5π[,33x ∈-.(3)1πsin()23y x =-在一个周期（4πT =）内的图像．13．（23-24高一上·福建厦门·月考）已知函数()sin y x α=+，其中α为三角形的内角且满足1cos 2α=.(1)求出角α.（用弧度制表示）(2)利用“五点法”，先完成列表，然后作出函数()sin y x α=+，在长度为一个周期的闭区间上的简图.（图中x 轴上每格的长度为π,6y 轴上每格的长度为1）x α+02πxy第26讲 正弦函数、余弦函数的图象模块一 思维导图串知识模块二 基础知识全梳理（吃透教材）模块三 核心考点举一反三模块四 小试牛刀过关测1．理解正弦曲线和余弦曲线间的关系，会用“五点（画图）法”画给定区间上的正弦函数、余弦函数的图象；2．掌握正弦函数与余弦函数图象间的关系以及图象的变换，能通过函数图象解决简单的问题.知识点 1 正弦曲线与余弦曲线1、正弦曲线：正弦函数sin ,y x x R =∈的图象叫做正弦曲线，是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线，如下图．【要点诠释】（1）由正弦曲线可以研究正弦函数的性质；（2）运用数形结合的思想研究与正弦函数有关的问题．2、余弦曲线：余弦函数cos ,y x x R =∈的图象叫做余弦曲线，它是与正弦曲线具有相同形状的“波浪起伏”的连续光滑曲线，如下图．3、将正弦曲线向左平移2π个单位长度即能得到余弦曲线．知识点 2 正（余）弦函数的图象1、正（余）弦函数的图象函数y ＝sin xy ＝cos x图象图象画法五点法五点法关键五点(0,0),π(,1)2,(,0)π,3π(,1)2-,(2,0)π(0,1),π(,0)2,(,1)π-,3π(,0)2,(2,1)π2、用“五点法”作正（余）弦函数的简图步骤（1）确定五个关键点：最高点、最低点、与x 轴的三个交点（三个平衡点）；（2）列表：将五个关键点列成表格形式；（3）描点：在平面直角坐标系中描出五个关键点；（4）连线：用光滑的曲线连接五个关键点，注意连线时，必须符合三角函数的图象特征；（5）平移：将所作的[0,2]π上的曲线向左、向右平行移动（每次平移2π个单位长度），得到的图象即为所求正弦曲线、余弦曲线。

高一数学正弦函数、余弦函数的图象和性质通用版【本讲主要内容】正弦函数、余弦函数的图象和性质【知识掌握】【知识点精析】(0, (2)7C(0, 1)( — , 0) ( n , -1) 3兀~20) (2 JI , 1)7T3兀减区间：［- + 2^ —+ 2^］伙G Z)2 2 减区间：［2k兀,兀 + 2k/rl(k G Z)最大（小）值x =—F 2上兀吋，最大值为12x = -- + 2^时，最小值为一1 （kez） 2x=2kn时，最大值为1xF+2kn时，最小值为一1 （kez）2.三角函数的周期性①周期函数的定义：一般地，对于函数/（X）,若存在常数T（THO）,使得当x取它定义域内的每一个值时,都有f（x + T） = f（x）,则函数/（兀）就叫做周期函数,T叫做/（劝的周期。

②最小正周期：若/（力的所有周期中存在一个最小正数，则称这个最小正数为最小正周期。

③正弦函数，余弦函数都是周期函数，2k兀（k£Z且kHO）都是它们的周期，最小正周期是2 n o（注意：以后若不加说明，周期都是指函数的最小正周期）④一般地：函数y = Asin（0r + 0）, xeR 及函数y = A COS（@Y +0）, xeR（其中A, 3，0为常数，且AHO, 3〉0）的周期为7 =——CO3.用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图用儿何法做出图象比较精确，但画图较繁。

因此，在精度要求不太高时，我们常常采用“五点作图法”。

（1）正弦函数y = sinx, xw [0,2龙]的图象屮，五个关键点是:因此，在精度要求不太高时，我们常常先描出五个关键点，然后用光滑的曲线依次连接 起来,就分别得到T y=sinx, y=cosx, X e [0, 2兀]的简图，这种作图法称为“五点法”。

【解题方法指导】例1.求下列函数的定义域。

(1) y = Jcosx + J —兀2 + 7兀一 6 (2) y = lg(sinx ——)2分析：应先列出使函数有意义的几个不等式，然后利用数轴或者图象求出它们的公共 解集。