7.7反常积分-广义积分

7.7 反常积分——广义积分黎曼定积分的局限性，积分区间是一个有限区间而且被积函数必定是有界的，对许多问题这不够用。

一、 积分区间无界的广义积分——无穷积分1、 定义 （1）设函数f 在),[+∞a 是有定义，对任何a b >，函数f 在[]b a ,上均可积。

这时，⎰badx x f )(存在，⎰b adx x f )(是b 的函数，如果极限⎰∞→bab dx x f )(lim 存在且有限，那么就把这个极限值记作⎰∞adx x f )(并称上述积分收敛。

⎰⎰∞→∞=bab adx x f dx x f )()(lim 。

如果极限⎰∞→bab dx x f )(lim 不存在，同样也使用符号⎰∞adx x f )(，这时称⎰∞adx x f )(发散。

（2）f 在],(a -∞上有界定义，对任何a A <，f 在[]a A ,上可积，⎰aAdx x f )(存在，如果⎰-∞→aA A dx x f )(lim 存在且有限，记I dx x f a=⎰∞-)(称⎰∞-adx x f )(收敛如果⎰-∞→aAA dx x f )(lim 不存在，称⎰∞-a dx x f )(发散。

（3）f 在),(∞-∞上有定义，对任何实数B A B A <>,0,，f 在[]B A <上可积，任取R a ∈，如果⎰∞-adx x f )(，⎰+∞adx x f )(都收敛，那么说无穷积分⎰+∞∞-dx x f )(收敛，并且，规定⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-+=aa dx x f dx x f dx x f )()()(，也称f 在),(∞-∞上可积。

如果⎰∞-adx x f )(，⎰+∞a dx x f )(中至少有一个发散，这时就称⎰+∞∞-dx x f )(发散。

⎰+∞∞-dx x f )(收敛⇔⎰∞-adx x f )(，⎰+∞adx x f )(均收敛⇔⎰⎰+∞→-+∞→B aB aAA dxx f dx x f )(,)(lim lim 均存在且有限。

（4）对任何b a <，⎰⎰⎰+=AbbaAadx x f dx x f dx x f )()()(，⎰+∞→AaA dx x f )(lim存在⇔⎰+∞→AbA dx x f )(limd 且⎰⎰⎰+∞+∞+=bb aadx x f dx x f dx x f )()()(（其他类似）。

2、 用定义判别敛散性例1、设0>a ，求证：无穷积分⎰+∞apx dx.（1）当1>p 时收敛，（2）当1≤p 时发散。

证明：当1≠p 时，对任何0>>a B ，有)(11|11)(11111pp B a p B a p Bap a B px p dx x p dx x dx ------=-='-=⎰⎰由于10,1,1lim pB p B p -→+∞>⎧=⎨+∞<⎩。

可见当1>p 时，⎰∞+--=app p a x dx 11，（收敛） 当1<p 时，⎰+∞ap xdx发散。

当1=p 时，(ln )ln |ln ln ,()BB Ba a a dx x dx x B a B x '===-→+∞→+∞⎰⎰，所以a dx x +∞⎰发散。

特别，,0>a ⎰⎰+∞+∞a adx xdx x 3421,1等收敛，⎰⎰+∞+∞a a dx x dx x 31,1等发散。

3、 用牛顿－莱布尼兹公式计算广义积分定理7.18 （1）设函数f 在),[+∞a 上可积，且有原函数F ，那么))()(()()(lim lim a F B F dx x f dx x f B BaB a -==∞→∞→∞⎰⎰∞+∆∞→∆=-+∞=-=a B x F a F F a F B F |)()()()()(lim （2）若f 在],(a -∞上可积且有原函数F ，那么))()(()()(lim lim A F a F dx x f dx x f A aAA a--==∞→-∞→∞-⎰⎰a A x F F a F A F a F ∞-+∞→=-∞-=--=|)()()()()(lim（3）若f 在),(+∞-∞上可积且有原函数F ，那么∞+∞-+∞∞-=+∞--∞=⎰|)()()()(x F F F dx x f如果)(lim x g x ∞→存在，用)(+∞g 表示此极限值，即)()(lim x g g x ∞→=+∞。

（其他照此理解） 如果)(lim x g x -∞→存在，用)(-∞g 表示此极限值，即)()(lim x g g x -∞→=-∞。

无穷限广义积分的性质与计算技巧，将R 积分推广一下即得到。

例2、设0>a ，计算无穷积分，（1）⎰+∞-0cos bxdx eax,(2)⎰+∞-0sin bxdx e ax .解 分部积分，得⎰⎰+∞-+∞-=0sin 1cos bx d be bxdx eaxaxdx bx e b a bx e b ax ax ⎰+∞-∞+-+=00sin |sin 1 dx bx b e b a ax ⎰+∞-'-=0)cos 1( dx bx e b a bx e b b a ax ax ⎰+∞-∞+---=00cos ]|cos 1[dx bx e ba b a ax ⎰∞+--=0222cos2022cos 1b a dx bx e b a ax =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰∞+- 220cos b a a dx bx e ax +=⎰+∞-同样可得220sin b a bbxdx e ax +=⎰+∞-例3、计算（1）⎰+∞∞->+)0(,22a x a dx（2）()⎰+∞+02/322xadx解（1）⎰⎰∞+∞-∞+∞-⎪⎭⎫⎝⎛+⋅=+22211a x a xda x a dx aa x a πππ=+==∞+∞-)22(1|arctan 1 （2）()dt tata x adxta x tdta dx 2233tan cos 02/322cos 1cos 112⋅+⎰=⎰=⋅=∞+π2202221|sin 1cos 1a t a dt t a===⎰ππ例4、⎰⎰∞+-=∞+-⋅=22ydy e dx ey y x x]|[2)(200⎰⎰+∞-∞+-+∞-+-='-=dy e yedy e y y y y2|)(2200=-==∞+-+∞-⎰y y e dy e例5、dx xx x x dx )111()1(11⎰⎰+∞+∞+-=+⎰+∞'+-=1))1ln((ln dx x x∞+∞++='⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎰11|1ln1ln x x dx x x 2ln 21ln0=-=。

二 微积分学在物理学中的应用举例例4 计算将质量为m 的物体由距离地心为h 的地方移至无穷远处所做的功。

解 距离地心为x 处质量为m 的物体受地球的引力是2)(x Mmkx F = 其中k 为引力常数，M 为地球质量，所求之功等于⎰⎰+∞+∞==hhh x dx kmM dx x F W 2)( hkmMx kmMh ==∞+|1 例5 将一物体由地面垂直地向空中发射，问应提供多大的初始速度0v 才能使物体脱离地球的引力？解 以地球的中心作为原点，垂直向上的方向作为正向，建立数轴。

设在时刻t 物体位于)(t x 处，这时，)()(t x t v '=表示速度函数，它是时间t 的递减函数，所以加速度0)()(<''='t x t v ，根据Newton 第二定律，可以写出微分方程F ma =，2)(x mM kt x m -=''，2)(x kMt x -=''。

由于dx dvv dt dx dx dv t v t x =='='')()( 2xkM dx dv v -= dx xkMvdv 2-=如果在有限的距离上0=v ，那么物体必须会回落到地面上。

要使该物体脱离地球的引力，必须而且只须当+∞=x 时，0=∞v 。

用R 表示地球的半径，那么当R x =时对应着0v v =。

对dx x kMvdv 2-=两边作积分， ⎰⎰+∞-=Rv xdx kM vdv 20由此得出∞+=R v xkM v |1|21020 RkMv =2021 解出RkMv 20=由于重力加速度2RkMg =，所以17.111063719802250=⨯⨯⨯==-gR v 这就是说每秒11.17km 的初始速度，可以刚好使物体脱离地球走上一条“不归之路“，这个速度叫做”第二宇宙速度“。

三 瑕积分f 在],[b a 上可积⇒f 在],[b a 上有界，表达式⎰10xdx在黎曼积分的意义下，它是无意义的，因为被积函数无界：+∞=+→xx 1lim 0，0=x 称为积分的瑕点。

但是，对一支切)1,0(∈ε，积分⎰1εxdx 是有意义的，)1(2|211εεε-==⎰x x dx 由于2)1(2lim lim 010=-=++→→⎰εεεεx dx 存在且有限，我们就定义21=⎰xdx，一般地说。

定义 （1）设f 在],[b a 上有定义，且f 在a x =的某邻域内无界，但对任何),0(a b -∈ε，函数f 在],[b a ε+上可积，如果极限⎰+→+ba dx x f εε)(lim 0存在并且有限，则称瑕积分⎰badx x f )(收敛，并把上述极限定义为瑕积分的值：⎰⎰+→+=ba badx x f dx x f εε)(lim )(0。

如果⎰+→+ba dx x f εε)(lim 0发散，则称⎰ba dx x f )(发散，其中的点a 称为瑕点。

（2）当b 是瑕点时，类似定义⎰⎰-→+=εεb abadx x f dx x f )(lim )(0。

（3）如果a 与b 都是瑕点，任取一点),(b a c ∈，⎰⎰+→+=ca cadx x f dx x f εε)(lim )(0⎰⎰-→+=εεb cbcdx x f dx x f )(lim )(0定义⎰⎰⎰+=b cc abadx x f dx x f dx x f )()()(且⎰c adx x f )(，⎰bcdx x f )(同时收敛。

瑕积分计算和性质与黎曼积分有类似之处。

稍微改变一下即可严密。

例6 当0>a ，则瑕积分⎰ap xdx，当1<p 时收敛，当1≥p 时发散。

证明 当1≠p 时，)(11|11111pp a p ap a px p x dx -----=-=⎰εεε由于⎩⎨⎧>∞+<=-→+11,0lim 10p p p εε可见，当1<p 时，pa x dx pap -=-⎰110收敛， 当1>p 时，⎰ap x dx0发散。