高考数学课时提升作业 十一 1.4.3

人教A版高中数学必修一：课时提升作业(十一)_1.3.1.2(1)函数的最大值、最小值(30分钟50分)一、选择题(每小题3分,共18分)1.函数f(x)=在[1,+∞)上( )A.有最大值,无最小值B.有最小值,无最大值C.有最小值,也有最大值D.无最大值,也无最小值【解析】选A.函数f(x)=是反比例函数,当x∈(0,+∞)时图象下降,所以函数f(x)=在[1,+∞)上为减函数,f(1)为最大值,无最小值.2.函数y=|x+1|+2的最小值是( )A.0B.-1C.2D.3【解析】选C.函数y=|x+1|+2的图象如下:所以最小值为2.【变式训练】函数y=x+( )A.有最小值,无最大值B.有最大值,无最小值C.有最小值,最大值2D.无最大值,也无最小值【解析】选A.因为y=f(x)=x+在定义域上是增函数,所以y ≥f =,即函数最小值为,无最大值,选A.3.函数f(x)=,x ∈[1,2],若常数M 满足:对任意的x ∈[1,2],都有f(x)≥M,且存在x 0∈[1,2],使f(x 0)=M,则M 为( )A.1B.C.2D.【解析】选B.因为函数f(x)=在[1,2]上是减函数,故f(x)min =f(2)=,f(x)max =f(1)=.所以f(x)≥,即M=.4.函数f(x)=-2x 在区间上的最小值为( )A.1B.C.-D.-1【解析】选D.由函数单调性的定义判断.任取x 1,x 2∈,且x 1>x 2,则f(x 1)-f(x 2)=(x 2-x 1), 因为x 1>x 2,所以x 2-x 1<0,因为x 1∈,x 2∈, 所以x 1·x 2>0,+2>0,所以f(x 1)-f(x 2)=(x 2-x 1)<0, 则函数是定义域内的减函数,故其最小值为f =-1.5.将进货单价为80元的商品按90元一个售出时,能卖出400个,已知该商品每涨价1元,其销售量就减少20个,为了赚得最大利润,售价应定为( )A.每个95元B.每个100元C.每个105元D.每个110元【解析】选A.设售价为x元,利润为y元,则y=[400-20(x-90)](x-80)=-20(x-95)2+4500(80≤x≤110),所以当x=95时,y有最大值4500.6.当-1≤x≤1时,函数y=2x2-2ax+1-2a有最小值是-,则a的值为( )A.1B.3C.1或3D.【解析】选A.由y=2x2-2ax+1-2a=2+1-2a-.①当≤-1,即a≤-2时,y min=f(-1)=2+2a+1-2a=3≠-不符合题意;②当-1<≤1,即-2<a≤2时,y min=f=1-2a-=-,得a=1或a=-5(舍);③当>1,即a>2时,y min=f(1)=3-4a=-,得a=<2(舍).故a=1.【举一反三】本题条件不变,求y=2x2-2ax+1-2a的最大值.【解析】由y=2x2-2ax+1-2a有最小值-,得a=1,此时y=2x2-2x-1=2-,x∈[-1,1],所以当x=-1时,y max=3.二、填空题(每小题4分,共12分)7.已知函数f(x)=-x2+4x+a,x∈[0,1],若f(x)有最小值-2,则f(x)的最大值为.【解析】由f(x)=-x2+4x+a=-(x-2)2+a+4,所以函数f(x)在[0,1]上为增函数,f(x)min=f(0)=a=-2,则f(x)=-(x-2)2+2,f(x)max=f(1)=1.答案:18.函数f(x)=则f(x)的最大值、最小值分别为.【解析】当x∈(1,2]时,f(x)=2x+6,所以8<f(x)≤10;当x∈[-1,1]时,f(x)=x+7,所以6≤f(x)≤8,所以函数f(x)的最大值、最小值分别为10,6.答案:10,69.函数f(x)=-x2+2x在[1,2]上的最大值为.【解析】f(x)=-x2+2x=-(x-1)2+1,所以函数f(x)在[1,2]上为减函数,所以函数f(x)的最大值为1.答案:1三、解答题(每小题10分,共20分)10.把长为10cm的细铁丝截成两段,各自围成一个正方形,求这两个正方形面积之和的最小值.【解析】设铁丝一段长xcm,0<x<10,则另一段铁丝长为(10-x)cm,两正方形面积之和为ycm2,依题意,y=+=(x-5)2+,当x=5时,y取最小值.所以这两个正方形面积之和的最小值为cm2.11.设y=x2+mx+n(m,n∈R),当y=0时,对应x值的集合为{-2,-1}.(1)求m,n的值.(2)若x∈[-5,5],求该函数的最值.【解析】(1)当y=0时,即x2+mx+n=0,则x1=-1,x2=-2为其两根,由根与系数的关系知:x1+x2=-2+(-1)=-3=-m,所以m=3,x1·x2=-2×(-1)=2=n,所以n=2.(2)由(1)知:y=x2+3x+2=-,因为x∈[-5,5],所以,当x=-时,该函数取得最小值f(x)min=f=-,又因为f(-5)=12,f(5)=42,所以当x=5时,该函数取得最大值f(x)max=f(5)=42.【变式训练】已知二次函数y=ax2+bx+c的最大值为2,图象的顶点在直线y=x+1上,并且图象经过点(3,-2).(1)求二次函数的解析式.(2)当0≤x≤3时,求二次函数的最大值与最小值,并求此时x的值.【解析】(1)因为最大值为2,图象的顶点在直线y=x+1上,所以顶点坐标为(1,2),设二次函数为y=a(x-1)2+2(a≠0),并且图象经过点(3,-2),所以-2=4a+2,解得a=-1,所以二次函数为y=-(x-1)2+2.(2)因为y=-(x-1)2+2,0≤x≤3,所以当x=1时,y的最大值为2,当x=3时,y的最小值为-2.(30分钟50分)一、选择题(每小题4分,共16分)1.在R上定义运算⊗:x⊗y=x(1-y),则关于x的函数y=(x-1)⊗(x+1)的最大值是( )A.1B.C.D.【解题指南】解题的关键是理解运算⊗,然后将y=(x-1)⊗(x+1)的解析式求出.【解析】选C.因为x⊗y=x(1-y),所以(x-1)⊗(x+1)=-x(x-1)=-x2+x=-+≤.所以最大值为.2.函数f(x)=x2-4x+5在区间[0,m]上的最大值为5,最小值为1,则m的取值范围是( )A.[2,+∞)B.[2,4]C.(-∞,2]D.[0,2]【解析】选B.f(x)=(x-2)2+1,最小值1在x=2时取得,最大值5在x=0,4时取得,所以m的取值为[2,4].3.若不等式x2+ax+1≥0对于一切x∈恒成立,则a的最小值是( )A.0B.-2C.-D.-3【解析】选C.x2+ax+1≥0,即a≥,所以,只需a不小于的最大值.而=-x-=-,y=x+在x∈是减函数,其最小值在x=时取到为+2=,所以,的最大值为-,即a的最小值为-,选C.4.(若定义在[-2013,2013]上的函数f(x)满足:对于任意的x1,x2∈[-2013,2013],有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)-2012,且x>0时,有f(x)>2012, f(x)的最大、小值分别为M,N,则M+N的值为( )A.2011B.2012C.4022D.4024 【解析】选D.任取x1,x2∈[-2013,2013]且x1<x2,则f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)+f(x1)-2012,所以f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)-2012,因为x>0时,有f(x)>2012,所以f(x2-x1)-2012>2012-2012=0,所以f(x)在[-2013,2013]上是增函数,所以M=fN=f(-2013).又令x1=x2=0,得f(0)=2012.令x1=-2013,x2=2013,则f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)-2012可变为f(0)=N+M-2012,所以M+N=4024.二、填空题(每小题5分,共10分)5.函数f(x)满足f(x+1)=x(x+3),x∈R,则f(x)的最小值为.【解题指南】根据f(x+1)=x(x+3),x∈R先求出函数的解析式,再根据解析式求最小值. 【解析】由f(x+1)=x(x+3)=x2+3x=(x+1)2+x+1-2,所以f(x)=x2+x-2=-≥-,所以函数f(x)的最小值为-.答案:-【误区警示】本题易因对f(x)的解析式求解错误而导致结果错误.6.设函数f(x)=mx2-mx-1(m∈R).若对于x∈[-2,2],f(x)<-m+5恒成立,则m的取值范围为.【解题指南】根据f(x)<-m+5在[-2,2]上恒成立,将m分离出来,转化为求一个函数在[-2,2]上的最值问题.【解析】由mx2-mx-1<-m+5,所以m(x2-x+1)<6,因为x2-x+1>0,所以m<,即求g(x)=,x∈[-2,2]的最小值,由g(x)==,x ∈[-2,2],所以当x=-2时,+最大,g(x)最小,所以g(x)min =g(-2)=.所以m<.答案:三、解答题(每小题12分,共24分)7.已知函数f(x)=(a,b 是常数,且ab ≠0)满足f(2)=1,且方程f(x)=x 有唯一解.(1)求f(x)的解析式.(2)若x ∈[1,2],求函数f(x)的值域.【解析】(1)因为f(x)=x 有唯一解,即=x 有唯一解, 所以ax 2+(b-1)x=0有唯一解,所以Δ=(b-1)2=0,解得b=1.又f(2)=1,所以=1,解得a=,所以f(x)=.(2)由(1)知f(x)==2-, 任取x 1,x 2∈[1,2],且x 1<x 2,则f(x 1)-f(x 2)=2--2+=,因为x1,x2∈[1,2],且x1<x2,所以x1-x2<0<x1+2<x2+2,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),所以f(x)在区间[1,2]上为增函数,所以f(x)min=f(1)=,f(x)max=f(2)=1,所以函数f(x)的值域为.【变式训练】已知二次函数f(x)的最小值为1,且f(0)=f(2)=3.(1)求f(x)的解析式.(2)若f(x)在区间[2a,a+1]上不单调,求实数a的取值范围.(3)在区间[-1,1]上,y=f(x)的图象恒在y=2x+2m+1的图象上方,试确定实数m的取值范围.【解析】(1)由已知,设f(x)=a(x-1)2+1,由f(0)=3,得a=2,故f(x)=2x2-4x+3.(2)要使函数不单调,则2a<1<a+1,则0<a<.(3)由已知,即2x2-4x+3>2x+2m+1在x∈[-1,1]上恒成立,化简得x2-3x+1-m>0,设g(x)=x2-3x+1-m,x∈[-1,1],则只要g(x)min>0,而g(x)min=g(1)=-1-m>0,得m<-1.8.已知函数f(x)=x2+ax+3在区间[-2,2]上的最小值为g(a),试求g(a).【解析】函数f(x)=x2+ax+3的对称轴为直线x=-.(1)当-2≤-≤2,即-4≤a≤4时,g(a)=f=.(2)当->2,即a<-4时,g(a)=f(2)=7+2a.(3)当-<-2,即a>4时,g(a)=f(-2)=7-2a.综上所述,g(a)=关闭Word文档返回原板块第- 11 -页共11页。

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课时提升作业(十一)算法的基本思想一、选择题(每小题3分,共18分)1.下列关于算法的描述正确的是( )A.算法与求解一个问题的方法相同B.算法只能解决一个问题,不能重复使用C.算法过程要一步一步执行,每步执行的操作必须确切D.有的算法执行完后,可能无结果【解析】选C.由算法的含义知,算法是解决一类问题的步骤或程序,是可操作的,有结果的.2.下列语句表达中,是算法的有( )①从泰安去看2014年巴西世界杯,可以先乘汽车到济南,再坐飞机抵达北京,再坐飞机抵达巴西;②利用公式S=ah计算底为1,高为2的三角形的面积;③x>2x+4;④求M(1,2)与N(-3,-5)两点连线的方程,可先求MN的斜率,再利用点斜式方程求得.A.①②③B.①③④C.①②④D.②③④【解析】选C.算法是解决问题的有效步骤,而③只是一个纯数学问题,无解决问题的步骤.【举一反三】写出求解x>2x+4的算法.【解析】1.移项2x-x<-4,即x<-4.2.写出x<-.3.已知直角三角形两直角边长为a,b,求斜边长c的一个算法分下列三步:1.计算c=;2.输入直角三角形两直角边长a,b的值;3.输出斜边长c的值.其中正确的顺序是( )A.1,2,3B.2,3,1C.1,3,2D.2,1,3【解析】选D.要先有输入,再计算进而输出,故顺序为2,1,3.4.(2014·抚顺高一检测)一个算法步骤如下:1.S取值0,i取值1.2.如果i≤10,则执行3,否则执行6.3.计算S+i并将结果代替S.4.用i+2的值代替i.5.转去执行2.6.输出S.运行以上步骤,输出的结果S= ( )A.16B.25C.36D.以上均不对【解题指南】解答此类问题应按步骤一一罗列、分析.【解析】选B.①S=0,i=1;②S=1,i=3;③S=4,i=5;④S=9,i=7;⑤S=16,i=9;⑥S=25,i=11.【误区警示】本题步骤较多,易出现走错步骤,而造成选错.5.在设计一个算法求12和14的最小公倍数中,设计的算法不恰当的一步是( )A.首先将12因式分解:12=22×3B.其次将14因式分解:14=2×7C.确定其公共素因数及其指数为22,31,71D.其最小公倍数为S=2×3×7=42【解析】选D.应为S=4×3×7=84.6.小明中午放学回家自己煮面条吃,有下面几道工序:①洗锅盛水2分钟.②洗菜6分钟.③准备面条及佐料2分钟.④用锅把水烧开10分钟.⑤煮面条和菜共3分钟.以上各道工序,除了④之外,一次只能进行一道工序.小明要将面条煮好,最少要用( )A.13分钟B.14分钟C.15分钟D.23分钟【解析】选C.①洗锅盛水2分钟+④用锅把水烧开10分钟(同时②洗菜6分钟+③准备面条及佐料2分钟)+⑤煮面条和菜共3分钟=15分钟.解决一个问题的算法不是唯一的,但在设计时要综合考虑各个方面的因素,选择一种较好的算法.二、填空题(每小题4分,共12分)7.(2014·临沂高一检测)已知一个学生的语文成绩为89分,数学成绩为96分,外语成绩为99分,求他的总分S和平均成绩的一个算法为:1.取A=89,B=96,C=99.2.______________________.3.______ ________________.4.输出计算的结果.【解析】由题意知,先算S=A+B+C,接着计算=S÷3.答案:计算S=A+B+C 计算=S÷3【变式训练】利用公式1+2+3+…+n=(n∈N*),设计求1+2+3+…+100的一个算法:1.取n=100.2.______________.3.输出计算结果.【解析】求1+2+3+…+100的一个算法:1.取n=100.2.计算.3.输出计算结果.答案:计算8.你要乘火车去外地办一件急事,请你写出从出发到坐在车厢内的三步主要算法:1.________________;2.___________ _____;3.________________.【解析】这是实际生活中的算法问题,根据我们的实际生活经历可写出如下的算法:1.乘车去火车站;2.买车票;3.凭票上车.答案:乘车去火车站买车票凭票上车9.请说出下面算法要解决的问题:__________.1.输入三个数,并分别用a,b,c表示.2.比较a与b的大小,如果a<b,则交换a与b的值.3.比较a与c的大小,如果a<c,则交换a与c的值.4.比较b与c的大小,如果b<c,则交换b与c的值.5.输出a,b,c.【解题指南】根据a与b,a与c,b与c互换的条件,最后得结果. 【解析】由题意知,应是把三个数按从大到小的顺序输出.答案:把输入的三个数按从大到小的顺序输出三、解答题(每小题10分,共20分)10.写出过两点M(-2,-1), N(2,3)的直线与坐标轴围成区域的面积的一个算法.【解析】算法如下:1.取x1=-2,y1=-1,x2=2,y2=3;2.计算=;3.在第2步结果中令x=0得到y的值m,得直线与y轴交点(0,m);4.在第2步结果中令y=0得到x的值n,得直线与x轴交点(n,0);5.计算S=|m|·|n|.11.(1)设计一个算法,判断7是否为素数.(2)设计一个算法,判断35是否为素数.【解析】(1)算法步骤如下:1.用2除7,得到余数1.因为余数不为0,所以2不能整除7.2.用3除7,得到余数1.因为余数不为0,所以3不能整除7.3.用4除7,得到余数3.因为余数不为0,所以4不能整除7.4.用5除7,得到余数2.因为余数不为0,所以5不能整除7.5.用6除7,得到余数1.因为余数不为0,所以6不能整除7.因此,7是素数.(2)算法步骤如下:1.用2除35,得到余数1,因为余数不为0,所以2不能整除35.2.用3除35,得到余数2,因为余数不为0,所以3不能整除35.3.用4除35,得到余数3,因为余数不为0,所以4不能整除35.4.用5除35,得到余数0,因为余数为0,所以5能整除35.因此35不是【举一反三】设计一个算法,判断大于2的整数n是否为素数. 【解析】算法步骤如下:1.给定大于2的整数n.2.令i=2.3.用i除n,得到余数r.判断余数r是否为0,若是,则n不是素数,结束算法;否则,将i的值增加1,仍用i表示.4.判断i是否小于或等于n-1,若是,则返回第3步;否则,结束算法,则n 是素数.一、选择题(每小题4分,共16分)1.下列对算法特征的认识正确的是( )A.任何算法都能解决所有计算问题B.算法是一种计算的方法C.算法一般是可以重复使用的D.特殊算法可以没有确定的结果【解析】选C.由算法的特征可知结果.2.计算下列各式中S的值,能设计算法求解的是( )①S=1+++…+;②S=1+2+3+…+100+…;③S=1+2+3+…+n(n≥1,且n∈N).A.①②B.①③C.②③D.①②③【解析】选B.因为在②中没有控制项,无穷多项的和,没有结果,就没有【举一反三】计算下列各式中S的值,能设计算法求解的是( ) ①S=1×2×3×…×100;②S=1×3×5×7×9×…;③S=2×4×6×8×…×(2n)(n∈N*).A.①②B.①③C.②③D.①②③【解析】选B.同样②也无结果.3.一个算法的步骤如下:1.输入x的值;2.计算x的绝对值y;3.计算z=2y-y;4.输出z的值.如果输入x的值为-3,则输出z的值为( )A.4B.5C.6D.8【解析】选B.分析算法中各变量、各语句的作用,再根据算法的步骤可知:该算法的作用是计算并输出z=2y-y的函数值.当输入x的值为-3时,算法步骤如下:1.输入x的值为-3;2.计算x的绝对值y=3;3.计算z=2y-y=23-3=5;4.输出z的值为5.故选B.4.下列所给问题中,不能设计一个算法求解的是( )A.用二分法求方程x2-3=0的近似解(精确到0.01)B.解方程组C.求半径为2的球的体积D.判断y=x2在R上是否具有单调性【解题指南】算法是解决一类问题的程序化的步骤,在此就要分析选项中的问题能否用程序化流程解答.【解析】选D.选项A,B,C中的问题都可以设计算法求解,而D项中的问题则不能设计算法求解.二、填空题(每小题5分,共10分)5.结合下面的算法:1.输入x.2.判断x是否小于0,若是,则输出x+2;否则,执行第3步.3.输出x-1.当输入的x的值分别为-1,0,1时,输出的结果分别为______、________、________.【解析】根据x的值,判断其与0的关系,选择执行不同的步骤,易得输出的结果分别为1,-1,0.答案:1 -1 0【举一反三】若输出的结果为2,则输入的x的值为________. 【解析】当x<0时,由x+2=2,所以x=0舍去.当x≥0时,x-1=2,所以x=3.答案:36.已知数字序列:3,-2,-4,0,5,13,6,-32,-18,9,-20.下面是从该序列中搜索所有负数的一个算法,请补全步骤:1.输入实数a.2._ _______.3.输出a,转1.【解析】依次输入每一个数字,且进行判断,若这个数字是负数,就输出它;若不是负数,就再输入下一个数字并进行判断.答案:如果a是负数,执行3;否则,重复1三、解答题(每小题12分,共24分)7.某市劳动保障部门规定:某工种在法定工作时间内,工资为8元/h,加班工资为12元/h.已知某人在一周内工作60h,其中加班20h,他每周收入的10%要交纳税金.请设计一个算法,计算此人这周所得净收入.【解析】此人一周在法定工作时间内工作40h,加班20h,他一周内的净收入等于(40×8+20×12)×(1-10%)元.算法步骤如下:1.令T=40,t=20.2.计算S=(8×T+12×t)×(1-10%).3.输出S.【拓展延伸】算法设计的技巧算法是用来解决一类问题的步骤或程序,因此,在设计算法时,一定要注意方法的普遍性和操作的简便性.并且,设计的算法的步骤越少越好,因为这样不仅能够节省资源,而且可以充分体现算法的优越性.8.(2014·平顶山高一检测)设计求1+3+5+7+…+31的算法.【解析】1.S=0,i=1.2.S=S+i.3.i=i+2.4.若i不大于31,返回执行第2步,否则执行第5步.5.输出S值.关闭Word文档返回原板块。

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课时提升作业(七十四)一、选择题1.在△ABC中,MN∥BC,MC,NB交于O,则图中相似三角形的对数为( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)42.如图所示,给出下列条件:①∠B=∠ACD;②∠ADC=∠ACB;③=;④AC2=AD·AB,其中单独能够判定△ABC∽△ACD的个数为( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)43.如图,在平行四边形ABCD中,已知AE∶EB=1∶2,△AEF的面积为6,则△CDF的面积为( )(A)12 (B)24 (C)18 (D)54二、填空题4.如图,已知D为△ABC中AC边的中点,AE∥BC,ED交AB于G,交BC延长线于F,若BG∶GA=3∶1,BC=8,则AE= .5.(2013·西安模拟)如图所示,已知在△ABC中,∠C=90°,正方形DEFC内接于△ABC,DE∥AC,EF∥BC,AC=1,BC=2,则AF∶FC等于.6.(2013·永州模拟)如图,△ABC中,BC=4,∠BAC=120°,AD⊥BC,过B作CA的垂线,交CA的延长线于E,交DA的延长线于F,则AF= .三、解答题7.已知如图,在△ABC中,AB=AC,BD⊥AC,点D是垂足,求证:BC2=2CD·AC.8.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,BD与AC相交于点O,过点O的直线分别交AB,CD于点E,F,且EF∥BC,若AD=12,BC=20,求EF.9.(2013·宿州模拟)如图,在正△ABC中,点D,E分别在边AC,AB上,且AD=AC,AE=AB,BD,CE相交于点F.(1)求证:A,E,F,D四点共圆.(2)若正△ABC的边长为2,求A,E,F,D所在圆的半径.10.如图,在▱ABCD中,AE,BF分别平分∠DAB和∠ABC,交CD于点E,F,AE,BF 相交于点M.(1)试说明:AE⊥BF.(2)判断线段DF与CE的大小关系,并予以证明.11.如图,在Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,E,F是BC边上的两点,∠EAF=45°.求证:EF2=BE2+CF2.12.如图,▱ABCD中,E是CD的延长线上一点,BE与AD交于点F,DE=CD.(1)求证:△ABF∽△CEB.(2)若△DEF的面积为2,求▱ABCD的面积.答案解析1.【解析】选B.根据条件知,△MNO∽△CBO,△AMN∽△ABC.2.【解析】选C.①②利用有两角分别对应相等的两个三角形相似;③两边对应成比例不能判断两个三角形相似;④利用有一角相等且此角的两边对应成比例的两个三角形相似.3.【解析】选D.由题设,AE∶EB=1∶2,∴AE∶AB=1∶3,∴AE∶CD=1∶3.又AE∥CD,∴△AEF∽△CDF,∴==.又∵△AEF的面积为6,∴S△CDF=9S△AEF=54,故选D.4.【解析】∵AE∥BC,D为AC的中点,∴AE=CF,==.设AE=x,又BC=8,∴=,∴x=4,∴AE=4.答案:45.【解析】设正方形边长为x,则由△AFE∽△ACB,可得=,即=,所以x=,于是AF∶FC=1∶2.答案:1∶26.【解析】设AE=x,∵∠BAC=120°,∴∠EAB=60°.又AE⊥EB,∴AB=2x,BE=x,∴==.在Rt△AEF与Rt△BEC中,∠F=90°-∠EAF=90°-∠DAC=∠C,∴△AEF∽△BEC,∴=,∴AF=4×=.答案:7.【证明】过点A作AE⊥BC,垂足为E, ∴CE=BE=BC.由BD⊥AC,AE⊥BC,又∵∠C=∠C,∴△AEC∽△BDC,∴=,∴=,即BC2=2CD·AC.8.【解析】∵AD∥BC,∴===.∴=.∵OE∥AD,∴==,∴OE=AD=×12=,同理可得OF=BC=×20=,∴EF=OE+OF=15.9.【解析】(1)∵AE=AB,∴BE=AB.∵在正△ABC中,AD=AC,∴AD=BE.又∵AB=BC,∠BAD=∠CBE,∴△BAD≌△CBE, ∴∠ADB=∠BEC,即∠ADF+∠AEF=π,∴A,E,F,D四点共圆.(2)取AE中点G,连结GD,则AG=GE=AE.∵AE=AB,∴AG=GE=AB=,AD=AC=,∠DAE=60°.∴△AGD为正三角形,∴GD=GA=AD=,即GA=GE=GD=,∴G是△AED外接圆圆心. 且圆G的半径为,∵A,E,F,D四点共圆,即A,E,F,D四点共圆G,其半径为.10.【解析】(1)∵在▱ABCD中,AD∥BC,∴∠DAB+∠ABC=180°.∵AE,BF分别平分∠DAB和∠ABC,∴∠DAB=2∠BAE,∠ABC=2∠ABF,∴2∠BAE+2∠ABF=180°,即∠BAE+∠ABF=90°,∴∠AMB=90°,∴AE⊥BF.(2)线段DF与CE是相等关系,即DF=CE. ∵在▱ABCD中,CD∥AB,∴∠DEA=∠EAB.又∵AE平分∠DAB,∴∠DAE=∠EAB,∴∠DEA=∠DAE,∴DE=AD.同理CF=BC.又∵在▱ABCD中,AD=BC,∴DE=CF,∴DE-EF=CF-EF,即DF=CE.11.【证明】如图,以AE为边作△AEG≌△AEB,连接FG.∵△AEG≌△AEB,∴∠1=∠2,∠5=∠B=45°,AG=AB=AC.∵∠1+∠3=∠EAF=45°,∠BAC=90°,∴∠2+∠4=45°,∴∠3=∠4.又∵AF=AF,∴△AFG≌△AFC,∴∠6=∠C=45°.∴∠EGF=∠5+∠6=45°+45°=90°,∴△EFG是直角三角形,∴GE2+GF2=EF2,∴EF2=BE2+CF2.12.【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠A=∠C,AB∥CD,∴∠ABF=∠CEB,∴△ABF∽△CEB.(2)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AB∥CD,∴△DEF∽△CEB,△DEF∽△ABF.∵DE=CD,∴=()2=,=()2=.∵S△DEF=2,∴S△CEB=18,S△ABF=8,∴S四边形BCDF=S△BCE-S△DEF=16,∴S四边形ABCD=S四边形BCDF+S△ABF=16+8=24.关闭Word文档返回原板块。

课时作业(十) 用空间向量研究夹角问题[练基础]1．已知两平面的法向量分别为m ＝(0，1，0)，n ＝(0，1，1)，则两平面夹角为( )A ．45°B ．135°C ．45°或135°D ．90°2．设直线l 与平面α相交，且l 的方向向量为a ，α的法向量为n ，若〈a ，n 〉＝2π3，则l 与α所成的角为( )A ．2π3B ．π3C ．π6D ．5π63.如图，在正方体ABCD ­ A 1B 1C 1D 1中，点E 是上底面A 1B 1C 1D 1的中心，则异面直线AE 与BD 1所成角的余弦值为( )A ．24 B ．23 C ．104 D ．634．正方体ABCD ­ A 1B 1C 1D 1中，BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为( ) A ．23 B ．33 C ．23 D ．635．(多选)若直线a 的方向向量为a ，平面α，β的法向量分别为n ，m ，则下列命题为真命题的是( )A ．若a ⊥n ，则直线a ∥平面αB ．若a ∥n ，则直线a ⊥平面αC ．若cos 〈a ，n 〉＝12 ，则直线a 与平面α所成角的大小为π6D ．若cos 〈m ，n 〉＝12 ，则平面α，β的夹角为π3 6.如图，在正方体ABCD ­ A 1B 1C 1D 1中，M 是C 1C 的中点，O 是底面ABCD 的中心，P 是A 1B 1上的任意点，则直线BM 与OP 夹角的大小为________．7．已知二面角α ­ l ­ β为锐角，平面α的法向量为n 1＝(3 ，0，－1)，平面β的法向量为n 2＝(－32 ，1，12)，则cos 〈n 1，n 2〉＝________，二面角α ­ l ­ β的大小为________． 8．如图，三棱锥P ABC 中，底面△ABC 为直角三角形，AB ＝BC ＝2，D 为AC 的中点，PD ＝DB ，PD ⊥DB ，PB ⊥CD .(1)求证：PD ⊥平面BCD ；(2)求P A 与平面PBC 所成角的正弦值．[提能力]9．在长方体ABCD ­ A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝2，AA 1＝1，O 是AC 的中点，点P 在线段A 1C 1上，若直线OP 与平面ACD 1所成的角为θ，则cos θ的取值范围是( )A ．[23 ，33 ] B ．[23 ，63 ] C ．[34 ，33 ] D ．[33 ，73] 10．(多选)如图，在四棱锥P ­ ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AD ∥BC ，点E 为P A 的中点，AB ＝BC ＝1，AD ＝2，P A ＝2 ，则( )A ．BE → ·CP → ＝3B ．异面直线BE 与CD 所成角的余弦值为33C ．点B 到平面PCD 的距离为12D ．BC 与平面PCD 所成的角为π611.如图，在正方体ABCD ­ A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为棱BB 1，C 1D 1的中点，则异面直线EF 与BD 1所成角的余弦值为________；直线AE 与平面AB 1C 所成角的正弦值为________．12．如图，在三棱柱ABC ­ A 1B 1C 1中，侧面ACC 1A 1为矩形，且侧面ACC 1A 1⊥侧面ABB 1A 1，AB ＝AC ＝2，AA 1＝B 1C ＝22 .(1)证明：A 1B 1⊥平面AB 1C ；(2)若点D 为棱B 1C 1的中点，求平面AB 1C 与平面AA 1D 所成的锐二面角的余弦值．[培优生]13．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝3 ，将△ABD 沿BD 所在的直线进行翻折，得到空间四边形A 1BCD .给出下面三个结论：①在翻折过程中，存在某个位置，使得A 1C ⊥BD ；②在翻折过程中，三棱锥A 1BCD 的体积不大于14； ③在翻折过程中，存在某个位置，使得异面直线A 1D 与BC 所成角为45°.其中所有正确结论的序号是________．。

人教A版高中数学选修1-1课时提升作业一 1.1.1 命题精讲优练课型 Word版含答案课时提升作业一命题一、选择题(每小题5分,共25分)1. 下列语句中命题的个数是( )①2<1;②x<1;③若x<2,则x<1;④函数f(x)=x2是R上的偶函数.A.0B.1C.2D.3【解析】选 D.①③④是命题;②不能判断真假,不是命题.2. (2019·石家庄高二检测)下列语句中是命题的是( )A.周期函数的和是周期函数吗B.sin 45°=1C.x2+2x-1>0D.梯形是不是平面图形呢【解析】选 B.A不是,因为它是一个疑问句,不能判断其真假,故不构成命题;B是,因为能够判断真假,故是命题;C不是,因为不能判断其真假,故不构成命题;D不是,不能判定真假且不是陈述句,故不构成命题.3.(2019·湛江高二检测)下列命题中是假命题的是( )A.若a·b=0(a≠0,b≠0),则a⊥bB.若|a|=|b|,则a=bC.若ac2>bc2,则a>bD.5>3【解析】选 B.|a|=|b|只能说明a与b长度一样.a=b不一定成立.【误区警示】选项A易忽视括号中条件的作用,错认为是假命题,而选项B易忽视向量的方向,错认为是真命题.4.下列说法正确的是( )A.命题“正项等差数列的公差大于零”是真命题B.语句“最高气温30℃时我就开空调”不是命题C.“四边形是菱形”是真命题D.语句“当a>4时,方程x2-4x+a=0有实根”是假命题【解析】选 D.当a>4时,方程x2-4x+a=0的判别式Δ<0,方程无实根.5.(2019·安阳高二检测)下列命题是真命题的是( )A.有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱B.过点P(x0,y0)的所有直线的方程都可表示为y-y0=k(x-x0)C.已知点A(x0,y0)是圆C:x2+y2=1内一点,则直线x0x+y0y-1=0与圆C相交D.圆柱的俯视图可能为矩形【解析】选 D.有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱,不满足棱柱的定义,所以A不正确;过点P(x0,y0)的所有直线的方程都可表示为y-y0=k(x-x0),直线的斜率不存在时,无法表示出来,所以B不正确;因为A(x0,y0)是圆C:x2+y2=1内一点,所以+<1,所以圆心(0,0)到直线x0x+y0y=1的距离:d=>1,所以直线x0x+y0y=1与圆相离.所以C 不正确.圆柱的俯视图可能为矩形,当圆柱放倒时,满足题意,所以D正确.二、填空题(每小题5分,共15分)6.给出下列命题:①若ac=bc,则a=b;②方程x2-x+1=0有两个实根;③对于实数x,若x-2=0,则x-2≤0;④若p>0,则p2>p;⑤正方形不是菱形.其中真命题是,假命题是.【解析】①c=0时,a不一定等于b,假命题.②此方程无实根,假命题.③结论成立,真命题.④0<p≤1时结论不成立,假命题.⑤不成立,假命题.答案:③①②④⑤7.把“正弦函数是周期函数”写成“若p,则q”的形式是.【解析】该命题的条件是函数为正弦函数,结论是这个函数是周期函数,故“若p,则q”的形式为“若函数为正弦函数,则此函数是周期函数”.答案:若函数为正弦函数,则此函数是周期函数【延伸探究】判断本题中命题的真假.【解析】因为正弦函数是周期函数,所以该命题为真命题.8.给出下列命题:①在△ABC中,若∠A>∠B,则sinA>sinB;②函数y=x3在R上既是奇函数又是增函数;③函数y=f(x)的图象与直线x=a至多有一个交点;④若将函数y=sin2x的图象向左平移个单位,则得到函数y=sin的图象.其中真命题的序号是.【解析】①∠A>∠B?a>b?sinA>sinB,①为真命题,②③易知正确.④将函数y=sin2x的图象向左平移个单位,得到函数y=sin的图象.答案:①②③三、解答题(每小题10分,共20分)9.(教材P4练习T3改编)把下列命题写成“若p,则q”的形式,并判断其真假:(1)等腰三角形底边上的中线垂直于底边并且平分顶角.(2)二次函数的图象关于y轴对称.【解析】(1)若一个三角形是等腰三角形,则其底边上的中线垂直于底边且平分顶角.或:若一条线段是一个等腰三角形的底边上的中线,则这条线段垂直于底边且平分顶角,真命题.(2)若一个函数是二次函数,则它的图象关于y轴对称,假命题.10.把下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断命题的真假.(1)ac>bc?a>b.(2)已知x,y∈N*,当y=x+1时,y=3,x=2.(3)当m>时,mx2-x+1=0无实根.(4)当x2-2x-3=0时,x=3或x=-1.【解析】(1)若ac>bc,则a>b,是假命题.(2)已知x,y∈N*,若y=x+1,则y=3,x=2,是假命题.(3)若m>,则mx2-x+1=0无实根,是真命题.(4)若x2-2x-3=0,则x=3或x=-1,是真命题.一、选择题(每小题5分,共10分)1.下列命题正确的是( )A.若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行C.若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行D.若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行【解题指南】利用空间中线面位置关系的有关定理逐一判断.【解析】选 C.若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线可平行、可异面、可相交,选项A错;如果到一个平面距离相等的三个点在同一条直线上或在这个平面的两侧,则经过这三个点的平面与这个平面相交,选项B不正确;如图,平面α∩β=b,a∥α,a∥β,过直线a作平面ε∩α=c,过直线a作平面γ∩β=d,因为a∥α,所以a∥c,因为a∥β,所以a∥d,所以d∥c,因为c?α,d?α,所以d∥α,又因为d?β,所以d∥b,所以a∥b,选项C正确;若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面可平行、可相交,选项D不正确.2.(2019·鹰潭高二检测)在下列给出的命题中,所有正确命题的个数为( )①函数y=2x3-3x+1的图象关于点(0,1)成中心对称;②若实数x,y满足x2+y2=1,则的最大值为;③若△ABC为锐角三角形,则sinA<cosB.A.1个B.2个C.3个D.0个【解题指南】由f(x)+f(-x)=2判断①;数形结合判断③;利用三角函数的单调性判断④. 【解析】选 B.对于①,f(x)+f(-x)=2x3-3x+1-2x3+3x+1=2,则函数y=2x3-3x+1的图象关于点(0,1)成中心对称,即①正确;对于②,若实数x,y满足x2+y2=1,如图,可看作过点(-2,0)与圆x2+y2=1上点的直线的斜率,相切时取得最值,则的最大值为,②正确;对于③,若△ABC为锐角三角形,则A+B>,-B<A<,所以sinA>sin=cosB,③错误.所以正确命题的个数是2个.【补偿训练】已知不等式x+3≥0的解集是A,则使得a∈A是假命题的a的取值范围是( )A.a≥-3B.a>-3C.a≤-3D.a<-3【解析】选 D.因为x+3≥0,x≥-3,所以A={x|x≥-3}.又因为a∈A是假命题,即a?A,所以a<-3.二、填空题(每小题5分,共10分)3.命题“若a>0,则二元一次不等式x+ay-1≥0表示直线x+ay-1=0的右上方区域(包含边界)”条件p: ,结论q: .它是(填“真”或“假”)命题.【解析】a>0时,设a=1,把(0,0)代入x+y-1≥0得-1≥0不成立,所以x+y-1≥0表示直线的右上方区域,所以命题为真命题.答案:a>0 二元一次不等式x+ay-1≥0表示直线x+ay-1=0的右上方区域(包含边界) 真4.下列4个命题:①?a∈R,a2>0;②?α∈R,sin2α+cos2α=;③?x1,x2∈R,若x1<x2则<;④?α∈R,sinα=cosα.其中真命题为.【解析】①a=0时,命题错误;②不存在α∈R,sin2α+cos2α=;③因为y=2x是增函数,所以?x1,x2∈R,若x1<x2则<正确.④?α∈R,sinα=cosα,正确.例如α=时.答案:③④三、解答题(每小题10分,共20分)5.把下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断真假,且指出p和q分别指什么.(1)乘积为1的两个实数互为倒数.(2)奇函数的图象关于原点对称.(3)与同一直线平行的两个平面平行.【解析】(1)“若两个实数乘积为1,则这两个实数互为倒数”,它是真命题.p:两个实数乘积为1;q:两个实数互为倒数.(2)“若一个函数为奇函数,则它的图象关于原点对称”.它是真命题.p:一个函数为奇函数;q:函数的图象关于原点对称.(3)“若两个平面与同一条直线平行,则这两个平面平行”.它是假命题,这两个平面也可能相交.p:两个平面与同一条直线平行;q:两个平面平行.6.判断“函数f(x)=2x-x2有三个零点”是否为命题.若是命题,是真命题还是假命题?说明理由.【解析】这是一个可以判断真假的陈述句,所以是命题,且是真命题.函数f(x)= 2x-x2的零点即方程2x-x2=0的实数根,也就是方程2x=x2的实数根,即函数y=2x,y=x2的图象的交点的横坐标,易知指数函数y=2x的图象与抛物线y=x2有三个交点,所以函数f(x)=2x-x2有三个零点.关闭Word文档返回原板块。

2021年高考数学 4.3平面向量的数量积课时提升作业理北师大版一、选择题1.有下列四个命题:①(a·b)2=a2·b2;②|a+b|>|a-b|;③|a+b|2=(a+b)2;④若a∥b,则a·b=|a|·|b|.其中真命题的个数是( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)42.(xx·辽宁高考)已知两个非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则下面结论正确的是( )(A)a∥b (B)a⊥b(C)|a|=|b| (D)a+b=a-b3.(xx·渭南模拟)设向量a=(cos 25°,sin25°),b=(sin 20°,cos 20°),若t是实数,且u=a+t b,则|u|的最小值是( )(A) (B)1 (C) (D)4.(xx·南昌模拟)已知平面向量a=(3,1),b=(x,-6),设a与b的夹角的正切值等于-,则x的值为( )(A) (B)2(C)-2 (D)-2,5.在△ABC中,=1,=2,则AB边的长度为( )(A)1 (B)3 (C)5 (D)96.(xx·重庆模拟)已知向量a,b满足|a|=|b|=2,a·b=0,若向量c与a-b共线,则|a+c|的最小值为( )(A)1 (B) (C) (D)27.(xx·营口模拟)设a,b是不共线的两个向量,其夹角是θ,若函数f(x)=(x a+b)·(a-x b)(x∈R)在(0,+∞)上有最大值,则( )(A)| a|<|b|,且θ是钝角(B)| a|<|b|,且θ是锐角(C)| a|>|b|,且θ是钝角(D)| a|>|b|,且θ是锐角8.已知O是△ABC内部一点,++=0,·=2,且∠BAC=30°,则△AOB的面积为( )(A)2 (B)1 (C) (D)9.已知a,b,c为△ABC的三个内角A,B,C的对边,向量m=(,-1),n=(cosA,sinA).若m⊥n,且acosB+bcosA=csinC,则角A,B的大小分别为( )(A), (B),(C), (D),10.(能力挑战题)如图,已知点A(1,1)和单位圆上半部分上的动点B.且⊥,则向量的坐标为( )(A)(-,) (B)(-,) (C)(-,) (D)(-,)二、填空题11.(xx·黄山模拟)已知向量a=(2,1),a·b=10,|a+b|=5,则|b|= .12.如图,半圆的直径|AB|=6,O为圆心,C为半圆上不同于A,B的任意一点,若P为半径OC上的动点,则(+)·的最小值是.13.(xx·杭州模拟)以下命题:①若|a·b|=|a|·|b|,则a∥b;②a=(-1,1)在b=(3,4)方向上的投影为;③若△ABC中,a=5,b=8,c=7,则·=20;④若非零向量a,b满足|a+b|=|b|,则|2b|>|a+2b|.其中所有真命题的序号是.14.(能力挑战题)给定两个长度为1的平面向量和,它们的夹角为90°.如图所示,点C在以O为圆心的圆弧AB上运动,若=x+y,其中x,y∈R,则xy的范围是.三、解答题15.(xx·晋中模拟)已知A(-1,0),B(0,2),C(-3,1),·=5,=10.(1)求D点的坐标.(2)若D点在第二象限,用,表示.(3)设=(t,2),若3+与垂直,求的坐标.答案解析1.【解析】选A.设a,b夹角为θ,①(a·b)2=|a|2·|b|2·cos2θ≤|a|2·|b|2=a2·b2;②|a+b|与|a-b|大小不确定;③正确;④a∥b,当a,b同向时有a·b=|a|·|b|;当a,b反向时有a·b=-|a|·|b|.故不正确.2.【思路点拨】将所给等式两边平方,找到两个向量的关系.【解析】选B.|a+b|=|a-b|⇒|a+b|2=|a-b|2⇒a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2⇒a·b=0⇒a⊥b.【变式备选】已知非零向量a,b满足向量a+b与向量a-b的夹角为,那么下列结论中一定成立的是( ) (A)a=b (B)|a|=|b|(C)a⊥b (D)a∥b【解析】选B.由条件得(a+b)·(a-b)=a2-b2=0,故可得|a|=|b|.3.【解析】选C.∵|u|2=(a+t b)2=a2+2t a·b+t2b2=1+2t(cos 25°sin 20°+sin 25°cos 20°)+t2=t2+t+1=(t+)2+≥,∴|u|≥,故选C.4.【解析】选C.∵a=(3,1),b=(x,-6),设a与b的夹角等于θ,∴a·b=3x-6=cosθ,∴cosθ=.∵tanθ=-,∴cosθ=-.∴=-,整理得3x2-20x-52=0.解得x1=-2,x2=.经检验x2=是增根,x1=-2满足要求.∴x=-2.5.【思路点拨】根据数量积的定义计算,并结合解三角形的知识得到结果.【解析】选B.过点C作AB的垂线,垂足为D.由条件得==||cosA=|AD|=1,同理|BD|=2.故|AB|=|AD|+|DB|=3.6.【解析】选B.由a·b=0知a⊥b,又|a|=|b|=2,所以a与a - b所成角为.若| a +c|最小,则c与a - b 共线反向,从而a与c的夹角为.∵(a + c)2= a 2+ c 2+2|a||c|·cos= c 2-2| c |+4=(| c |-)2+2≥2,∴|a+c|≥,即| a +c|的最小值为.7.【解析】选D.f(x)=-a·b x2+(a2-b 2)x+a·b,若函数f(x)在(0,+∞)上有最大值,则可知函数为二次函数,且图像的开口向下,且对称轴在y轴右侧,即所以a, b的夹角为锐角,且|a|>| b |.8.【解析】选D.由++=0得O为△ABC的重心,∴S△AOB=S△ABC.又·=||||cos30°=2,得||||=4,∴S△ABC=||||sin30°=1.∴S△AOB=.9.【解析】选C.由m⊥n可得m·n=0,即cosA-sinA=0,所以A=.又acosB+bcosA=csinC知c=csinC,则sinC=1,所以C=,由B=-C可得B=.10.【解析】选B.依题意设B(cosθ,sinθ),0≤θ≤π.则=(1,1),=(cosθ,sinθ).因为⊥,所以·=0,即cosθ+sinθ=0,解得θ=,所以=(-,).【方法技巧】解题时引入恰当的参数θ是解题的关键,进而可利用三角函数的定义求得点B的坐标,可将问题转化为向量的坐标运算问题来解决.11.【解析】∵50=|a+b|2=|a|2+2a·b+|b|2=5+20+|b|2,∴|b|=5.答案:512.【思路点拨】设|PO|=x(0≤x≤3),运用向量的数量积转化为函数知识求解.【解析】设|PO|=x,则|PC|=3-x(0≤x≤3),则(+)·=2·=2·x·(3-x)·cosπ=2x(x-3)=2(x-)2-.∵0≤x≤3,∴当x=时,(+)·有最小值-.答案:-13.【解析】设a,b的夹角为θ,①中,由|a·b|=|a||b||cosθ|=|a||b|,知cosθ=±1,故θ=0或θ=π,所以a∥b,故正确;②中a在b方向上的投影为|a|·cosθ=|a|·==,故正确;③中,由余弦定理得cosC==,故·=-·=-5×8×=-20,故错误.④中,由|a+b|=|b|知|b|+|a+b|=|b|+|b|,∴|2b|=|b|+|a+b|≥|b+a+b|=|a+2b|,故错误.答案:①②14.【解析】由=x+y,得=x2+y2+2xy·.又||=||=||=1,·=0,∴1=x2+y2≥2xy,得xy≤,而点C在以O为圆心的圆弧AB上运动,得x,y∈[0,1],于是0≤xy≤.答案:[0,]15.【解析】(1)设D(x,y),=(1,2),=(x+1,y).由题得∴或∴D点的坐标为(-2,3)或(2,1).(2)∵D点在第二象限,∴D(-2,3).∴=(-1,3).∵=(-2,1),设=m+n,则(-2,1)=m(1,2)+n(-1,3),∴∴∴=-+.(3)∵3+=3(1,2)+(-2,1)=(1,7),=(t,2),∵3+与垂直,∴(3+)·=0,∴t+14=0,∴t=-14,∴=(-14,2).【变式备选】在平面直角坐标系中,已知向量a=(-1,2),又点A(8,0),B(n,t), C(ksinθ,t)(0≤θ≤).(1)若⊥a,且||=||(O为坐标原点),求向量.(2)若向量与向量a共线,当k>4,且tsinθ取最大值4时,求·.【解析】(1)可得=(n-8,t),∵⊥a,∴·a=(n-8,t)·(-1,2)=0,得n=2t+8,则=(2t,t).又||=||,||=8.∴(2t)2+t2=5×64,解得t=±8,当t=8时,n=24;当t=-8时,n=-8.∴=(24,8)或=(-8,-8).(2)∵向量与向量a共线,∴t=-2ksinθ+16,tsinθ=(-2ksinθ+16)sinθ=-2k(sinθ-)2+.∵k>4,∴0<<1,故当sinθ=时,tsinθ取最大值,有=4,得k=8.这时,sinθ=,k=8,tsinθ=4,得t=8,则=(4,8),∴·=(8,0)·(4,8)=32.22918 5986 妆31401 7AA9 窩29700 7404 琄622194 56B2 嚲<q29253 7245 牅27021 698D 榍27829 6CB5 沵33803 840B 萋\31848 7C68 籨33718 83B6 莶30955 78EB 磫。

课时作业63　习题课　三角恒等变换及应用1.cos 40°cos 25°1－sin 40°＝( )A ．2B ．－2C ．1cos 25°D ．222．若cos (π4＋θ)＝45，则sin 2θ＝( )A ．15B ．－15C ．725 D ．－7253．设a ＝12cos 10°－32sin 10°，b ＝2tan 12°1＋tan 212°，c ＝1－sin40°2，则a ，b ，c 大小关系正确的是( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．a <c <bD ．b <c <a4．已知4cos 2α2－22cos α＋sin α＝12，则tan 2α＝( )A ．12 B ．1C ．45D ．－435．(多选)已知α是第三象限角，且tan α21－tan 2α2＝1，则( )A ．tan α＝1B ．sin α＝－255C ．sin 2α＝45D ．tan (α－π4)＝－136．(多选)设θ的终边在第二象限，则1－sin θcos θ2－sinθ2的值可能为( )A ．1B ．－1C ．－2D ．27．已知tan α、tan β是方程x 2－33x ＋10＝0的两根，且α、β∈(－π2，π2)，则α＋β的值等于________.8．已知cos (α＋π12)＝－34，则sin (2α－π3)＝________.9．已知α，β∈(0，π2)，其中cos 2α＝725，sin (α－β)＝－225.(1)求cos (α－π4)的值；(2)求sin β的值．10．已知函数f (x )＝2cos 2x ＋23sin x cos x －1(x ∈R ).(1)求函数f (x )的最小正周期及对称轴；(2)若x ∈[－π4，π4]，求函数f (x )的值域．11.已知α，β都是锐角，sin (α－π6)＝17，cos (α＋β)＝－35，则cos (β＋π6)＝( )A ．－4－12335B ．4－12335C ．－12＋4335 D ．－12－433512．已知θ∈(3π4，π)，且cos θ－sin θ＝－72，则2cos 2θ－1cos （π4＋θ）＝( )A ．－22 B ．－12C ．12D ．2213．函数y ＝sin 2x ＋a cos 2x 的图象关于直线x ＝π8对称，则a 的值为( )A ．2B ．－2C ．1D ．－114．(多选)计算下列各式的值，其结果为1的有( )A ．cos 40°(1＋3tan 10°)B ．12(1cos 80°－3sin 80°)C ．sin 140°(3－tan 190°)D ．4sin 18°·sin 54°15.设f (x )＝cos xcos （30°－x ），则f (1°)＋f (2°)＋…＋f (59°)＝________．16．已知f (α)＝tan α·tan 2αtan 2α－tan α＋3(sin 2α－cos 2α).(1)化简f (α)，并求f (－5π12)的值；(2)若f (α)＝1013，α∈(0，π4)，求sin2α的值．1．解析：cos 40°cos 25°1－sin 40°＝cos （90°－50°）cos 25°sin 220°－2sin20°cos 20°＋cos 220°＝sin50°cos 25°（cos 20°－sin 20°）2＝2sin 25°cos 25°cos 25°（cos 20°－sin 20°）＝2sin 25°2（22cos 20°－22sin 20°）＝2sin 25°2×sin （45°－20°）＝2sin 25°sin 25°＝2.故选A.答案：A2．解析：因为cos (π4＋θ)＝45，所以cos π4cos θ－sin π4sin θ＝45，即cos θ－sin θ＝425，两边同时平方，由平方关系可得1－2sin θcos θ＝3225，所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝1－3225＝－725.故选D.答案：D3．解析：a ＝12cos 10°－32sin 10°＝cos (60°＋10°)＝cos 70°＝sin 20°，b ＝2tan 12°1＋tan 212°＝2sin12°cos 12°1＋sin 212°cos 212°＝2sin12°cos 12°＝sin 24°，c ＝ 1－sin 40°2＝ cos 220°－2sin20°cos 20°＋sin 220°2＝（cos 20°－sin 20°）22＝22cos 20°－22sin 20°＝cos (45°＋20°)＝cos 65°＝sin 25°，由于y ＝sin x 在x ∈(0，π2)单调递增，故sin 20°<sin 24°<sin 25°，故a <b <c .故选A.答案：A4．解析：由4cos 2α2－22cos α＋sin α＝2cos α2cos α＋sin α＝22＋tan α＝12，解得tan α＝2，tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝41－4＝－43.故选D.答案：D5．解析：由题意得tan α＝2tanα21－tan 2α2＝2，A 错误；又α是第三象限角，sin α<0，所以由{sin 2α＋cos 2α＝1sin αcos α＝tan α＝2解得sin α＝－255，cos α＝－55，B 正确；sin 2α＝2sin αcos α＝45，C 正确；tan (α－π4)＝tan α－11＋tan α＝13，D 错误．故选BC.答案：BC6．解析：∵θ的终边在第二象限，∴2k π＋π2<θ<2k π＋π，k ∈Z ，∴k π＋π4<θ2<k π＋π2，k ∈Z ，1－sin θcos θ2－sin θ2＝sin 2θ2＋cos 2θ2－2sin θ2cosθ2cos θ2－sinθ2＝(sin θ2－cos θ2)2 cos θ2－sinθ2＝|sin θ2－cos θ2|cos θ2－sin θ2，故当2k π＋π4<θ2<2k π＋π2，k ∈Z 时，sin θ2－cos θ2>0，1－sin θcos θ2－sin θ2＝sin θ2－cos θ2cos θ2－sinθ2＝－1，当2k π＋5π4<θ2<2k π＋3π2，k ∈Z 时，sin θ2－cos θ2<0，1－sin θcos θ2－sin θ2＝cos θ2－sin θ2cos θ2－sinθ2＝1.故选AB.答案：AB7．解析：已知tan α、tan β是方程x 2－33x ＋10＝0的两根，所以有{tan αtan β＝10>0tan α＋tan β＝33>0⇒α、β∈(0，π2)⇒α＋β∈(0，π)，tan (α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝331－10＝－33，因为α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝5π6.答案：5π68．解析：因为cos (α＋π12)＝－34，则sin (2α－π3)＝sin [2(α＋π12)－π2]＝－cos [2(α＋π12)]＝1－2cos 2(α＋π12)＝1－1816＝－18.答案：－189．解析：(1)依题意，cos2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α＝725，因为α∈(0，π2)，解得：sin α＝35，cos α＝45，故cos (α－π4)＝cos αcos π4＋sin αsin π4＝45×22＋35×22＝7210.(2)因为sin (α－β)＝－225，且α，β∈(0，π2)，故α－β∈(－π2，0)，则cos (α－β)＝1－sin 2（α－β）＝175，故sin β＝sin [α－(α－β)]＝sin αcos (α－β)－cos αsin (α－β)＝35×175－45×(－225)＝317＋8225.10．解析：(1)f (x )＝cos 2x ＋3sin 2x ＝2sin (2x ＋π6)，故最小正周期T ＝2π2＝π，对称轴满足：2x ＋π6＝π2＋k π，k ∈Z ，故对称轴为x ＝π6＋k π2，k ∈Z .(2)由(1)可知f (x )＝2sin (2x ＋π6)，x ∈[－π4，π4]，则2x ＋π6∈[－π3，2π3]，sin (2x ＋π6)∈[－32，1]，故f (x )∈[－3，2].故函数f (x )的值域为[－3，2].11．解析：由于α，β都是锐角，则－π6<α－π6<π3，0<α＋β<π，因为sin (α－π6)＝17>0，cos (α＋β)＝－35<0，所以0<α－π6<π3，π2<α＋β<π，所以cos (α－π6)＝437，sin (α＋β)＝45，所以cos (β＋π6)＝cos [(α＋β)－(α－π6)]＝cos (α＋β)cos (α－π6)＋sin (α＋β)sin (α－π6)＝－35×437＋45×17＝4－12335.故选B.答案：B12．解析：因为cos θ－sin θ＝－72，所以(cos θ－sin θ)2＝cos 2θ＋sin 2θ－2sin θcos θ＝1－sin 2θ＝74，所以sin 2θ＝－34.因为θ∈(3π4，π)，所以2θ∈(3π2，2π)，所以cos 2θ＝1－sin 22θ＝74.则2cos 2θ－1cos （π4＋θ）＝cos 2θ22（cos θ－sin θ）＝74－144＝－22.故选A.答案：A13．解析：由已知y ＝sin 2x ＋a cos 2x ＝1＋a 2(11＋a 2sin 2x ＋a 1＋a 2cos 2x )，令sin θ＝a 1＋a 2，cos θ＝11＋a 2，则y ＝1＋a 2(cos θsin 2x ＋sin θcos 2x )＝1＋a 2sin (2x ＋θ).因为图象关于直线x ＝π8对称，所以2×π8＋θ＝π2＋k π，k ∈Z ，所以θ＝π4＋k π，k ∈Z .当k 为偶数时，有sin θ＝cos θ＝22>0，可得a ＝1；当k 为奇数时，有sin θ＝cos θ＝－22<0，又cos θ＝11＋a 2>0，此时a 无解．综上所述，a ＝1.故选C.答案：C14．解析：对于A ，cos 40°(1＋3tan 10°)＝cos 40°(1＋3sin 10°cos 10°)＝cos40°·cos 10°＋3sin 10°cos 10°＝cos 40°·2sin （30°＋10°）cos 10°＝2sin 40°cos 40°cos 10°＝sin 80°cos 10°＝sin （90°－10°）cos 10°＝cos 10°cos 10°＝1，A 正确；对于B ，12(1cos 80°－3sin 80°)＝12·sin 80°－3cos 80°sin 80°cos 80°＝2sin （80°－60°）sin 160°＝2sin 20°sin （180°－20°）＝2，B 错误；对于C ，sin 140°(3－tan 190°)＝sin 140°(3－sin 190°cos 190°)＝sin 140°·3cos 190°－sin 190°cos 190°＝sin 140°·2cos （30°＋190°）cos 190°＝sin 140°·2cos （360°－140°）cos 190°＝2sin 140°cos 140°cos 190°＝sin 280°cos 190°＝sin （190°＋90°）cos 190°＝cos 190°cos 190°＝1，C 正确；对于D ，4sin 18°·sin 54°＝4sin (90°－72°)·sin (90°－36°)＝4cos 72°·cos 36°＝4cos 72°·cos 36°·sin 36°sin 36°＝2cos 72°·sin 72°sin 36°＝sin 144°sin 36°＝sin （180°－36°）sin 36°＝sin 36°sin 36°＝1，D 正确．故选ACD.答案：ACD15．解析：由题得f (x )＋f (60°－x )＝cos x cos （30°－x ）＋cos （60°－x ）cos （x －30°）＝cos x ＋cos （60°－x ）cos （x －30°）＝cos x ＋12cos x ＋32sin x cos （x －30°）＝32cos x ＋32sin xcos （x －30°）＝3（32cos x ＋12sin x ）cos （x －30°）＝3cos （x －30°）cos （x －30°）＝3，所以f (1°)＋f (2°)＋…＋f (59°)＝12{[f (1°)＋f (59°)]＋[f (2°)＋f (58°)]＋…＋[f (59°)＋f (1°)]}＝12[3＋3＋…＋3]＝5932.答案：593216．解析：(1)f (α)＝sin αcos α·sin 2αcos 2αsin 2αcos 2α－sin αcos α＋3(sin 2α－cos 2α)＝sin αsin 2αcos αcos 2αsin 2αcos α－cos 2αsin αcos 2αcos α－3(cos 2α－sin 2α)＝sin αsin 2αsin （2α－α）－3cos 2α＝sin 2α－3cos 2α＝2sin (2α－π3).所以f (－5π12)＝2sin (－2×5π12－π3)＝2sin (－7π6)＝1.(2)由(1)及题设得：2sin (2α－π3)＝1013，所以sin (2α－π3)＝513.因为α∈(0，π4)，所以2α－π3∈(－π3，π6)，所以cos (2α－π3)＝ 1－sin 2(2α－π3)＝1－(513)2＝1213，所以sin 2α＝sin [(2α－π3)＋π3]＝sin (2α－π3)cos π3＋cos (2α－π3)sinπ3＝513×12＋1213×32＝5＋12326.。

2021年高考数学 10.3几何概型课时提升作业文新人教A版一、选择题<的概率是( )1.已知三棱锥S-ABC，在三棱锥内任取一点P，使得VP-ABC(A) (B) (C) (D)2.（xx·烟台模拟）已知Ω={(x,y)|x+y≤6,x≥0,y≥0}，A={(x,y)|x≤4，y≥0，x-2y≥0}，若向区域Ω上随机投一点B，则点B落入区域A的概率为( )（A）（B）（C）（D）3.平面上画了一些彼此相距2a的平行线，把一枚半径r<a的硬币任意掷在这个平面上，求硬币不与任何一条平行线相碰的概率是( )(A) (B)(C) (D)4．已知P是△ABC所在平面内一点，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC内的概率是( ) （A）（B）（C）（D）5.(xx·龙岩模拟)若a，b在区间上取值，则函数f(x)＝ax3＋bx2＋ax在R上有两个相异极值点的概率是( )（A）（B）（C）（D）6．在区间(0,1)内任取两个实数，则这两个实数的和大于的概率为( )（A）（B）（C）（D）7．在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD-A1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为( )(A) (B)(C) (D)8．(xx·海淀模拟)下面茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为( )（A）（B）（C）（D）9.(xx·合肥模拟)扇形AOB的半径为1，圆心角为90°.点C，D，E将弧AB等分成四份．连接OC，OD，OE，从图中所有的扇形中随机取出一个，面积恰为的概率是( )（A）（B）（C）（D）10.（能力挑战题）已知k∈［－2,2］，则k的值使得过A(1,1)可以作两条直线与圆x2＋y2＋kx－2y＝0相切的概率等于( )（A）（B）（C）（D）不确定二、填空题11.(xx·徐州模拟)若m∈(0,3)，则直线(m＋2)x＋(3－m)y－3＝0与x轴、y轴围成的三角形的面积小于的概率为_____________．12.(xx·江门模拟)设函数y＝f(x)在区间［0,1］上的图象是连续不断的一条曲线，且恒有0≤f(x)≤1，可以用随机模拟方法近似计算由曲线y＝f(x)及直线x＝0，x＝1，y＝0所围成部分的面积S.先产生两组(每组N个)区间［0,1］上的均匀随机数x1，x2，…，x N和y1，y2，…，y N，由此得到N个点(x i，y i)(i＝1,2，…，N).再数出其中满足y i≤f(x i)(i＝1,2，…，N)的点数N1，那么由随机模拟方法可得S的近似值为_____________.13.函数f(x)＝x2－x－2，x∈［－5,5］，那么任取一点x0使f(x0)≤0的概率为_____________．14.在边长为2的正三角形ABC内任取一点P，则使点P到三个顶点的距离至少有一个小于1的概率是_____________．三、解答题15.（能力挑战题）设函数f(x)=x2+bx+c，其中b,c是某范围内的随机数，分别在下列条件下，求事件A “f(1)≤5且f(0)≤3”发生的概率.(1)若随机数b,c∈{1,2,3,4}.(2)已知随机函数Rand( )产生的随机数的范围为{x|0≤x≤1},b,c是算法语句b=4*Rand( )和c=4*Rand( )的执行结果．(注:符号“*”表示“乘号”)答案解析1.【解析】选A.如图，当时，有即P为SO的中点，即当P在三棱锥的中截面与下底面构成的三棱台内时符合要求，可计算由几何概型知，2.【解析】选D.本题为几何概型，Ω={(x,y)|x+y≤6,x≥0,y≥0}的面积为18，A={(x,y)|x≤4，y≥0，x-2y≥0}的面积为4，则3.【解析】选A.∵硬币的半径为r，∴当硬币的中心到直线的距离d>r时，硬币与直线不相碰，4．【解析】选D.由题意可知，点P位于BC边的中线的中点处．记黄豆落在△PBC内为事件D，则5.【思路点拨】f(x)在R上有两个相异极值点的充要条件是a≠0且其导函数的判别式大于0.【解析】选C.易得f′(x)＝3ax2＋2bx＋a，函数f(x)＝ax3＋bx2＋ax在R上有两个相异极值点的充要条件是a≠0且其导函数的判别式大于0，即a≠0且4b2－12a2>0.又a，b在区间上取值，则a>0，满足点(a，b)的区域如图中阴影部分所示，其中正方形区域的面积为3，阴影部分的面积为故所求的概率是【解析】选A.设这两个实数分别为x，y，则满足的部分如图中阴影部分所示．所6．以这两个实数的和大于的概率为7．【解析】选B.正方体的体积为：2×2×2＝8，以O为球心，1为半径且在正方体内部的半球的体积为：则点P到点O的距离小于或等于1的概率为：故点P到点O的距离大于1的概率为：8．【解析】选C.记其中被污损的数字为x.依题意得甲的5次综合测评的平均成绩是(80×2＋90×3＋8＋9＋2＋1＋0)＝90，乙的5次综合测评的平均成绩是(80×3＋90×2＋3＋3＋7＋x＋9)＝(442＋x)．令90>(442＋x)，由此解得x<8，即x的可能取值是0～7，因此甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为选C.9.【解析】选A.依题意得知，图中共有10个不同的扇形，分别为扇形AOB，AOC，AOD，AOE，EOB，EOC，EOD，DOC，DOB，COB，其中面积恰为的扇形(即相应圆心角恰为的扇形)共有3个(即扇形AOD,EOC，BOD)，因此所求的概率等于选A.10.【解析】选B.∵圆的方程可化为∴5k＋k2＋4>0，∴k<－4或k>－1.∵过A(1,1)可以作两条直线与圆相切，∴A(1,1)在圆外，得∴k<0，故k∈(－1,0)，其区间长度为1，因为k∈［－2,2］，其区间长度为4，所以11.【解析】直线与两个坐标轴的交点分别为又当m∈(0,3)时，解得0<m<2，答案：12.【解析】这种随机模拟的方法是在［0,1］内生成了N个点，而满足几条曲线围成的区域内的点是N1个，所以根据比例关系而正方形的面积为1，所以随机模拟方法得到的面积为答案：【方法技巧】随机模拟法求面积的步骤（1）用计算器或计算机产生一系列［0,1］内的随机数.（2）经平移和伸缩变换，x＝（b－a）x1＋a，y＝（d－c）y1＋c，使得随机数x的范围在［a，b］内，随机数y的范围在［c，d］内.（3）统计落在所求区域内的随机数组（x，y）的个数N（有时需计算检验）.（4）应用公式计算近似的面积，其中S为相应矩形面积（b－a）×（d－c），M为总的随机数组（x，y）的个数，S′为所求图形（往往是不规则）的面积的近似值.13.【解析】如图，在［－5,5］上函数的图象与x轴交于两点(－1,0)，(2,0)，而x0∈［－1,2］，f(x0)≤0.所以答案：0.314.【解析】以A，B，C为圆心，以1为半径作圆，与△ABC交出三个扇形，当P落在其内时符合要求，答案：15.【解析】由f(x)=x2+bx+c知，事件A “f(1)≤5且f(0)≤3”，即(1)因为随机数b,c∈{1,2,3,4}，所以共等可能地产生16个数对(b,c)，列举如下：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4).事件A：包含了其中6个数对(b,c)，即：(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1).所以即事件A发生的概率为(2)由题意，b,c均是区间［0,4］中的随机数，产生的点(b,c)均匀地分布在边长为4的正方形区域Ω中（如图），其面积S(Ω)=16.事件A：所对应的区域为如图所示的梯形（阴影部分），其面积为：所以即事件A发生的概率为【变式备选】已知复数z＝x＋yi(x，y∈R)在复平面上对应的点为M.(1)设集合P＝{－4，－3，－2,0}，Q＝{0,1,2}，从集合P中随机取一个数作为x，从集合Q中随机取一个数作为y，求复数z为纯虚数的概率.(2)设x∈［0,3］，y∈［0,4］，求点M落在不等式组：所表示的平面区域内的概率．【解析】(1)记“复数z为纯虚数”为事件A.∵组成复数z的所有情况共有12个：－4，－4＋i，－4＋2i，－3，－3＋i，－3＋2i，－2，－2＋i，－2＋2i,0，i,2i，且每种情况出现的可能性相等，属于古典概型，其中事件A包含的基本事件共2个：i,2i，∴所求事件的概率为(2)依条件可知，点M均匀地分布在平面区域{(x，y)|}内，属于几何概型，该平面区域的图形为图中矩形OABC围成的区域，面积为S＝3×4＝12.而所求事件构成的平面区域为{(x，y)|}，其图形如图中的三角形OAD(阴影部分)．又直线x＋2y－3＝0与x轴、y轴的交点分别为A(3,0),∴三角形OAD的面积为∴所求事件的概率为N26867 68F3 棳40708 9F04 鼄r29099 71AB 熫S )F 22848 5940 奀25443 6363 捣32140 7D8C 綌35266 89C2 观21593 5459 呙。

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课时提升作业(十一)复数代数形式的乘除运算(25分钟60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.(2014·福建高考)复数z=(3-2i)i的共轭复数等于( )A.-2-3iB.-2+3iC.2-3iD.2+3i【解题提南】用复数的运算法则进行计算.【解析】选C.因为z=2+3i,所以=2-3i.2.i是虚数单位,复数等于( )A.2+iB.2-iC.-2+iD.-2-i【解析】选B.===2-i.【补偿训练】计算(1+2i)÷(3-4i)= .【解析】(1+2i)÷(3-4i)=====-+i.答案：-+i3.复平面内表示复数i(1-2i)的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选A.复数i(1-2i)=2+i,在复平面内对应的点的坐标是(2,1),位于第一象限.4.(2014·广东高考)已知复数z满足(3-4i)z=25,则z= ( )A.-3-4iB.-3+4iC.3-4iD.3+4i【解题指南】本题既可以利用z=|z|2求解,也可以利用复数的除法运算解答.【解析】选D.方法一:因为|3-4i|=5,|3-4i|2=25,所以z==3+4i.方法二:因为(3-4i)z=25,所以z==3+4i.5.已知a是实数,i是虚数单位,复数是纯虚数,则a等于( )A.1B.-1C.D.-【解析】选A.==是纯虚数.则所以a=1.二、填空题(每小题5分，共15分)6.(2015·岳阳高二检测)已知z=x+yi，x，y∈R，i为虚数单位，且z=(1+i)2，则i x+y= .【解析】由题意知z=(1+i)2=2i，又z=x+yi=2i，故y=2，x=0，故i x+y=i2=-1.答案：-1【补偿训练】若复数z=1+2i(i为虚数单位),则z·-z= . 【解析】因为z=1+2i,所以z·=5,所以z·-z=5-(1+2i)=4-2i.答案:4-2i7.(2015·重庆高考)设复数a+bi(a,b∈R)的模为,则(a+bi)(a-bi)= .【解题指南】本题直接利用复数的模的概念及乘法运算求解即可. 【解析】因为复数a+bi(a,b∈R)的模为,即=,所以(a+bi)(a-bi)=a2-b2i2=a2+b2=3.答案:38.(2015·石家庄高二检测)已知a,b∈R,i是虚数单位.若(a+i)(1+i)=bi,则a+bi= .【解题指南】根据复数的运算法则和复数相等的条件求解.【解析】因为(a+i)(1+i)=a-1+(a+1)i=bi,所以a-1=0,a+1=b,即a=1,b=2,所以a+bi=1+2i.答案:1+2i【补偿训练】(2015·大连高二检测)已知=b+i(a，b∈R)，其中i 为虚数单位，则a+b= .【解析】==2-ai=b+i.所以a=-1，b=2，所以a+b=1.答案：1三、解答题(每小题10分，共20分)9.计算:(1)(-+i)(+i)(1+i).(2).【解析】(1)(-+i)(+i)(1+i)=(--i+i+i2)(1+i)=(-+i-)(1+i)=(-+i)(1+i)=--i+i-=-+i.(2)原式====1.10.已知复数z1=(-1+i)(1+bi),z2=,其中a,b∈R.若z1与z2互为共轭复数,求a,b的值.【解题指南】先利用复数的除法运算化简z2,再利用z1,z2实部相等,虚部互为相反数列出关于a,b的方程组求解.【解析】z1=(-1+i)(1+bi)=-1-bi+i-b=(-b-1)+(1-b)i,z2====+i,由于z1和z2互为共轭复数,所以有解得【补偿训练】1.已知x是实数，y是纯虚数，且满足(2x-1)+i=y-(3-y)i，求x与y.【解析】设y=bi(b∈R且b≠0)，代入条件并整理得(2x-1)+i=-b+(b-3)i.由复数相等的条件得解得所以x=-，y=4i.2.若f(z)=2z+-3i，f(+i)=6-3i，试求f(-z).【解题指南】设出z=a+bi(a，b∈R)，根据复数相等的充要条件，列关于a，b的关系式求出a，b，即可求出z，根据函数解析式可求f(-z). 【解析】因为f(z)=2z+-3i，所以f(+i)=2(+i)+-3i=2+2i+z-i-3i=2+z-2i.又f(+i)=6-3i，所以2+z-2i=6-3i.设z=a+bi(a，b∈R)，则=a-bi，所以2(a-bi)+(a+bi)=6-i，即3a-bi=6-i.由复数相等的定义，得解得所以z=2+i，故f(-z)=2(-2-i)+(-2+i)-3i=-6-4i.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1.(2015·全国卷Ⅰ)设复数z满足=i,则|z|= ( )A.1B.C.D.2【解题指南】将=i化为z=a+bi的形式,利用|z|=求解.【解析】选A.因为=i,所以z===i,故|z|=1.2.定义新运算=ad-bc,则符合条件=4+2i的复数z为( )A.3-iB.1+3iC.3+iD.1-3i【解析】选A.由=4+2i得zi+z=4+2i,即z(1+i)=4+2i.所以z=====3-i.二、填空题(每小题5分，共10分)3.(2015·江苏高考)设复数z满足z2=3+4i(i是虚数单位)，则z的模为.【解题指南】首先利用复数相等的概念求出复数z的代数形式，然后利用复数的模的公式计算即可.【解析】设z=a+bi(a，b∈R)，所以z2=(a+bi)2=(a2-b2)+2abi，因为z2=3+4i，根据复数相等的定义知解得所以|z|==.答案：4.(2015·南昌高二检测)设z的共轭复数是,若z+=4,z·=8,则等于.【解题指南】设z=a+bi(a,b∈R),根据已知条件求解.【解析】设z=a+bi(a,b∈R),因为z+=4,所以a=2,又因为z·=8,所以b2+4=8,所以b2=4.所以b=±2,即z=2±2i,故=±i.答案:±i【补偿训练】已知=(|z|-1)+5i，则复数z= .【解析】设z=a+bi(a，b∈R)，则a-bi=-1+5i.于是解得所以z=12-5i.答案：12-5i三、解答题(每小题10分，共20分)5.已知复数z1满足(z1-2)(1+i)=1-i(i为虚数单位),复数z2的虚部为2,且z1z2是实数,求z2.【解题指南】根据复数四则运算法则,类比多项式乘法运算,先求得z1,再根据z1z2是实数,设z2=a+2i(a,b∈R),结合复数相等列出关于a 的方程求解.【解析】因为(z1-2)(1+i)=1-i,所以z1=+2=2-i.设z2=a+2i(a,b∈R),则z1z2=(2-i)(a+2i)=(2a+2)+(4-a)i.因为z1z2∈R,所以4-a=0,a=4.所以z2=4+2i.6.(2015·东莞高二检测)已知复数z=.(1)求z的实部与虚部.(2)若z2+m+n=1-i(m,n∈R,是z的共轭复数),求m和n的值.【解析】(1)z===2+i,所以z的实部为2,虚部为1.(2)把z=2+i代入z2+m+n=1-i,得(2+i)2+m(2-i)+ n=1-i,解得:解得m=5,n=-12.【方法锦囊】解复数综合应用题的方法(1)转化:复数的加减运算,可以通过运算转化为实数的运算;复数的乘法运算类似于多项式的乘法运算;复数的除法运算可把分子分母都乘以分母的共轭复数,将分母变为实数,转化为乘法运算.(2)数形结合:利用复数的运算法则和复数的几何意义解综合应用题,具体方法是利用复数的概念,把复数转化为点的坐标或向量,且复数的加减运算的几何意义分别满足平行四边形法则和三角形法则,结合平面几何以及函数的相关知识来解决问题.关闭Word文档返回原板块。

课时提升作业(十一)函数的最大值、最小值(25分钟　60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.定义在R 上的函数f(x)满足f(x)>4,则f(x)的最小值是　( )A.4B.f(4)C.4.001D.不能确定【解析】选D.根据函数最小值的概念可知,此函数的最小值不能确定.【误区警示】对于最小值概念理解不到位而错选A.2.(2015·银川高一检测)函数f(x)=2-在区间[1,3]上的最大值是　( ) 3xA.2B.3C.-1D.1【解析】选D.易判断f(x)在区间[1,3]上是单调递增的,所以在区间[1,3]上的最大值是f(3)=1.【补偿训练】函数f(x)=在区间[2,6]上的最大值和最小值分别是　( ) 1x ‒1A.,1B.1,C.,1D.1, 15151717【解析】选B.函数f(x)=在[2,6]上单调递减,当x=2时,f(x)有最大值为1x ‒11,当x=6时,有最小值为. 153.(2015·昆明高一检测)函数f(x)=则f(x)的最大值、最{2x +6,1≤x ≤2,x +7,‒1≤x ≤1,小值分别为　( )A.10,6B.10,8C.8,6D.以上都不对【解析】选A.函数f(x)在区间[-1,2]上是增函数,所以函数f(x)的最大值为f(2)=10,最小值为f(-1)=6.【补偿训练】设定义在R 上的函数f(x)=x|x|,则f(x)　( )A.只有最大值B.只有最小值C.既有最大值又有最小值D.既无最大值又无最小值【解析】选D.f(x)=画出图象可知,函数f(x)既无最大值又无最小{x 2,x ≥0,‒x 2,x <0,值.4.已知函数f(x)=x 2-4x+10,x ∈[-1,m],并且f(x)的最小值为f(m),则实数m 的取值范围是　( )A.(-1,2]B.(-1,+∞)C.[2,+∞)D.(-∞,-1)【解题指南】由条件可知f(x)在区间[-1,m]上单调递减,所在区间[-1,m]是f(x)在R 上的减区间的子集,据此可求得m 的范围.【解析】选A.函数f(x)=x 2-4x+10的对称轴为直线x=2,所以f(x)在(-∞,2]上单调递减,又f(x)在[-1,m]上的最小值是f(m),所以[-1,m]是f(x)的单调减区间,所以-1<m ≤2.5.已知f(x)=,则y=f(x+2)在区间[2,8]上的最小值与最大值分别为　1x ‒2( )A.与B.与1 181213C.与D.与 19131813【解析】选A.因为f(x+2)=,x ∈[2,8],易证f(x+2)=在[2,8]上是减少的,所1x 1x以x=8时,y min =;x=2时,y max =,故选A.1812二、填空题(每小题5分,共15分)6.函数y=f(x)的定义域为[-4,6],且在区间[-4,-2]上递减,在区间(-2,6]上递增,且f(-4)<f(6),则函数f(x)的最小值是 ,最大值是 .【解析】因为y=f(x)在[-4,-2]上递减,在(-2,6]上递增,故当x=-2时f(x)取最小值f(-2),又因为f(-4)<f(6),所以最大值为f(6).答案:f(-2)　f(6)7.函数f()=x-1的最小值是 .x 【解析】设=t,t ≥0,所以f(t)=t 2-1,t ≥0,x 所以f(x)=x 2-1,x ≥0,因为f(x)=x 2-1在[0,+∞)上为增函数,所以f(x)的最小值为-1.即f()=x-1的最小值是-1.x 答案:-18.(2015·天津高一检测)若函数y=(k>0)在[2,4]上的最小值为5,则k 的值k x为 .【解析】因为k>0,所以函数y=在[2,4]上是减函数,所以当x=4时,y min =,此k x k 4时=5,所以k=20. k 4答案:20三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2015·日照高一检测)求函数f(x)=+x 在[2,+∞)上的最小值.x 【解析】设2≤x 1<x 2,则f(x 1)-f(x 2)=+x 1--x 2x 1x 2=+(x 1-x 2)x 1‒x 2x 1+x 2=(x 1-x 2)<0. (1x 1+x 2+1)所以f(x 1)-f(x 2)<0,f(x 1)<f(x 2).所以f(x)=+x 在[2,+∞)上单调递增.x 所以f(x)min =f(2)=+2.210.(2015·天水高一检测)已知函数f(x),当x,y ∈R 时,恒有f(x+y)=f(x)+f(y).(1)求证:f(x)+f(-x)=0.(2)若f(-3)=a,试用a 表示f(24).(3)如果x>0时,f(x)<0,且f(1)=-,试求f(x)在区间[-2,6]上的最大值和最小12值.【解析】(1)令x=y=0得f(0)=0,再令y=-x 得f(-x)=-f(x),所以f(x)+f(-x)=0.(2)因为f(-3)=a 则f(3)=-a,所以f(24)=8f(3)=-8a.(3)设x ∈(-∞,+∞),且x 1<x 2,则f(x 2)=f[x 1+(x 2-x 1)]=f(x 1)+f(x 2-x 1),又因为x 2-x 1>0,所以f(x 2-x 1)<0,f(x 1)+f(x 2-x 1)<f(x 1),所以f(x 2)<f(x 1),所以f(x)在R 上是减少的,所以f(x)max =f(-2)=-f(2)=-2f(1)=1,f(x)min =f(6)=6f(1)=6×=-3. (-12)(20分钟　40分)一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2015·太原高一检测)若函数y=ax+1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2,则实数a 的值是　( )A.2B.-2C.2或-2D.0 【解题指南】分a 大于0、小于0和等于0分别计算.【解析】选C.当a=0时,不满足题意;当a>0时,y=ax+1在[1,2]上为增函数,所以2a+1-(a+1)=2,解得a=2;当a<0时,y=ax+1在[1,2]上为减函数,所以a+1-(2a+1)=2,解得a=-2,故a=±2.2.(2015·宿州高一检测)函数f(x)=的最大值是　( ) 11‒x(1‒x)A. B. C. D. 45543443【解题指南】欲求最大值,可转化为求分母的最小值.【解析】选D.分母1-x(1-x)=x 2-x+1=+≥,显然0<f(x)≤,故最大值(x ‒12)2343443为. 43二、填空题(每小题5分,共10分)3.函数y=|-x 2+2x+3|在区间[0,4]上的最大值是 .【解析】由y=知此函数在[0,3]上的最大值为4,{x 2‒2x ‒3,x >3或x <‒1,‒(x 2‒2x ‒3),‒1≤x ≤3,在[3,4]上的最大值为5,所以在[0,4]上的最大值为5.答案:54.(2015·济宁高一检测)定义在R 上的函数f(x)对任意两个不等的实数x 1,x 2,总有>0成立,且f(-3)=a,f(-1)=b,则f(x)在[-3,-1]上的最大值f (x 1)‒f(x 2)x 1‒x 2是 .【解析】由>0,得f(x)在R 上是增函数,则f(x)在[-3,-1]上的最f (x 1)‒f(x 2)x 1‒x 2大值是f(-1)=b.答案:b三、解答题(每小题10分,共20分)5.某公司试销一种成本单价为50元/件的新产品,规定试销时销售单价不低于成本单价,又不高于80元/件.经试销调查,发现销售量y(件)与销售单价x(元/件)可近似看作一次函数y=kx+b 的关系(如图所示).(1)根据图象,求一次函数y=kx+b 的解析式.(2)设公司获得的利润为S 元(利润=销售总价-成本总价;销售总价=销售单价×销售量,成本总价=成本单价×销售量).①试用销售单价x 表示利润S;②试问销售单价定为多少时,该公司可获得最大利润?最大利润是多少?此时的销售量是多少?【解析】(1)由图象知,当x=60时,y=40;当x=70时,y=30,代入y=kx+b 中,得解得 {40=60k +b,30=70k +b,{k =‒1,b =100,所以y=-x+100(50≤x ≤80).(2)①由题意可知:S=xy-50y=x(-x+100)-50(-x+100)=-x 2+150x-5000=-(x-75)2+625(50≤x ≤80).②由①知S=-(x-75)2+625(50≤x ≤80),当x=75时,利润S 取得最大值625, 所以当销售单价为75元/件时,可获得最大利润625元,此时销售量为25件.6.已知函数f(x)对任意x,y ∈R,总有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x>0时,f(x)<0,f(1)=-. 23(1)求证:f(x)是R 上的单调减函数.(2)求f(x)在[-3,3]上的最小值.【解析】(1)设x 1和x 2是任意的两个实数,且x 1<x 2,则x 2-x 1>0,因为x>0时,f(x)<0,所以f(x 2-x 1)<0,又因为x 2=(x 2-x 1)+x 1,所以f(x 2)=f[(x 2-x 1)+x 1]=f(x 2-x 1)+f(x 1),所以f(x 2)-f(x 1)=f(x 2-x 1)<0,所以f(x 2)<f(x 1). 所以f(x)是R 上的单调减函数.(2)由(1)可知f(x)在R 上是减函数, 所以f(x)在[-3,3]上也是减函数,所以f(x)在[-3,3]上的最小值为f(3).而f(3)=f(1)+f(2)=3f(1)=3×=-2. (-23)所以函数f(x)在[-3,3]上的最小值是-2.。