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第十章曲线积分与曲面积分习题详解习题10—11 计算下列对弧长的曲线积分： （1）L I xds =⎰，其中L 是圆221x y +=中(0,1)A到B 之间的一段劣弧；解: L AB =的参数方程为：cos ,sin x y θθ==()42ππθ-≤≤，于是24cos I ππθ-=⎰24cos (1d ππθθ-==⎰．（2）(1)Lx y ds ++⎰ ，其中L 是顶点为(0,0),(1,0)O A 及(0,1)B 所成三角形的边界；解: L 是分段光滑的闭曲线，如图9－2所示，根据积分的可加性，则有(1)Lx y ds ++⎰(1)OAx y ds =++⎰(1)ABx y ds +++⎰ (1)BOx y ds +++⎰，由于OA :0y =，01x ≤≤，于是ds dx ==，故 103(1)(01)2x y ds x dx ++=++=⎰⎰OA， 而:AB 1y x =-,01x ≤≤，于是ds ==． 故10(1)[(1)ABx y ds x x ++=+-+=⎰⎰同理可知:BO 0x =（01y ≤≤），0ds =，则13(1)[01]2BOx y ds y dy ++=++=⎰⎰． xyoABC综上所述33(1)322Lx y ds -+=+=+⎰ ． （3）⎰，其中L 为圆周22x y x +=；解 直接化为定积分．1L 的参数方程为11cos 22x θ=+,1sin 2y θ=（02θπ≤≤）, 且12ds d θθ==．于是201cos222d πθθ=⋅=⎰⎰．（4）2 Lx yzds ⎰，其中L 为折线段ABCD ，这里(0,0,0)A ，(0,0,2),B (1,0,2),C(1,2,3)D ；解 如图所示， 2222 LABBCCDx yzds x yzds x yzds x yzds =++⎰⎰⎰⎰．线段AB 的参数方程为 0,0,2(01)x y z t t ===≤≤，则ds =2dt ==，故02200 12=⋅⋅⋅=⎰⎰dt t yzds x AB．线段BC 的参数方程为,0,2(01)x t y z t ===≤≤，则,ds dt ==故122 0020BCx yzds t dt =⋅⋅⋅=⎰⎰，线段CD 的参数方程为1,2,2x y t z t===+)10(≤≤t ，则ds ==，故1122012(2))CDx yzds t t t t dt =⋅⋅+=+=⎰⎰ 2 (2所以2222LA BB CC Dx y z d s x y z d sx y z d sd s =++⎰⎰⎰⎰2 求八分之一球面2221(0,0,0)x y z x y z ++=≥≥≥的边界曲线的重心，设曲线的密度1ρ=。
第十章 微分方程作业20 微分方程基本概念1．写出下列条件所确定的微分方程：（1）曲线在点),(y x M 处的法线与x 轴的交点为Q ，且线段MQ 被y 轴平分； 解：法线方程为()1Y y X x y -=--'，法线与x 轴的交点0,Y X x y y '=⇒=+ 由已知02022x X x x y yy y x '+++'==⇒+= （2）曲线上任意点(,)M x y 处的切线与线段OM 垂直； 解：切线的斜率为y '，线段OM 的斜率为yk x= 由已知1,yy yy x x''⋅=-⇒=- （3）曲线上任意点(,)M x y 处的切线，以及M 点与原点的连线，和x 轴所围成的三角形的面积为常数2a ．解：切线方程为()Y y y X x '-=-，M 点与原点的连线为y Y X x= 切线与x 轴即直线0Y =的交点，0,y Y X x y =⇒=-'由已知()222221,2,22y y y x a xy a xy a y y y y ⎛⎫'⋅-=⇒-=±±= ⎪''⎝⎭2.．求曲线簇12e e x x xy C C -=+ ),(21为任意常数C C 所满足的微分方程． 解：由已知，两边对自变量x 求导12e e x x y xy C C -'+=- 两边再对自变量x 求导122e e2xxy xy C C y xy xy -''''''+=+⇒+=3．潜水艇垂直下沉时所遇到的阻力和下沉的速度成正比，如果潜水艇的质量为m ，且是在水面由静止开始下沉，求下沉的速度所满足的微分方程和初始条件． 解：由已知，(),00dvmmg kv v dt=-=作业21 可分离变量的微分方程1．解微分方程)(2y y a y x y '+='-． 解：微分方程即2()dy y ay x a dx-=+ 分离变量2dy dxy ay x a=-+ 两边积分()()1111dx ady d ay x a ay ay ay ay ⎛⎫==- ⎪+--⎝⎭⎰⎰⎰ 从而()ln lnln ln 111ay acy acyx a c x a ay ay ay +=+=⇒+=--- 2. 求解初值问题：(1e )tan 10,x y y -'++= 0πx y ==． 解：微分方程即(1e )tan 1xdyydx-+=- 分离变量sin cos 1exydy dxy -=-+ 两边积分()1cos cos 1e 1e 1e x x x x xd e d y dx e dxy -+-=-=-=-+++⎰⎰⎰⎰从而()()ln cos ln 1ln cos 1x xy e c y c e -=-+-⇒=+由0πx y ==，()()011cos 12,cos 122xc ec c y e π=+=⇒=-=-+ 3．当0→∆x 时，α是比x ∆高阶的无穷小量，函数)(x y 在任意点处的增量21x xy y +∆=∆+α，且(0)πy =，求)1(y ． 解：由已知21y y x x ∆=∆+，从而20lim 1x dy y y dx x x ∆→∆==∆+ 分离变量21dy dx y x =+ 两边积分arctan 2ln arctan ln 1xdy dx y x c y ce y x =⇒=+⇒=+⎰⎰ 由0πx y ==，arctan0arctan ,x cec c y e πππ==⇒==4．解微分方程y y y x ln ='． 解：微分方程即ln dyxy y dx= 分离变量ln dy dxy y x=两边积分ln ln ln ln ln ln ,ln ln cx dy d y dxy x c y cx y e y y y x==⇒=+⇒==⎰⎰⎰ 5．一曲线通过点（2，3），它在两坐标轴之间的任意切线段均被切点所平分，求这曲线方程． 解：由已知()()23,y Y y y X x '=-=- 当00,,2,2Y dyX Y y xy y y xy y x y dx+''==-=⇒-==- 分离变量dy dxy x=- 两边积分ln ln ln dy dx cy x c y y x x=-⇒=-+⇒=⎰⎰ 由23x y ==，63,6,2c c y x=⇒== 6．设有连接)1,1()0,0(A O 和的一段向上凸的曲线弧OA ,对于OA 上任一点(,)P x y ，曲线弧OP 与直线段OP 所围成的面积为2x ，求曲线弧OA 的方程． 解：设曲线为()y f x = 由已知()()()201,00,11222xy xy y t dt xy x y y y x '+-===⇒-=⎰微分方程即222,xy y y xy y x x x x ''-⎛⎫'-=-==- ⎪⎝⎭从而()()2,2ln 2ln y dx y x x c x c x x x=-=--=-⎰ 由11x y ==，()12ln1,1,12ln c c y x x =-⇒==-，作业22 齐次方程1．解微分方程xy y y x ln ='． 解：令,yu x=则,y ux y u xu ''==+ 微分方程x y y y x ln ='，即ln ln y yy u u u xu x x ''===+()ln 1du u u xdx -=，分离变量()ln 1du dx u u x=- 两边积分()()ln 1ln 1ln 1d u du dxu u u x -==--⎰⎰⎰()1ln ln 1ln ln ,ln1,cx yu x c cx y xe x+-=+=+=2．求解初值问题(d 0(0),(1)0y x x y x y -=>=．解：令,yu x=则,y ux y u xu ''==+微分方程dy dx =，即y y u u xu x ''=+=+=+du xdx =dxx =，两边积分dx x =⎰ (2ln ln ln ,u x c y cx =+=由(1)0y =，20,1,c c y x =⇒=+=3．作适当的变量代换，求下列方程的通解：（1）2d ()d yx y x=+； 解：令222,11,,11du du du u x y y u dx dx dx u u'=+⇒=+=+⇒==++⎰⎰ ()arctan ,tan u x c y x c x =+=+-（2） 51+++-='x y x y y ；解：令,x X a y Y b =+=+，则15dY Y X b a y dX Y X b a -+-+'==++++ 再令10,503,2b a b a b a -+=++=⇒=-=-，2,3x X y Y =-=-再令2111,,111u u u Y uX Xu u Xu u u u u ----''=⇒+==-=+++ 从而()22211,111u du u dX du u u u X +⎛⎫=+=- ⎪+++⎝⎭⎰⎰⎰ ()()22arctan 2211ln 1arctan ln ln ,122u u u X c e cX u -++=--=+ ()()32arctan22223y x ec x y +-+⎡⎤=+++⎣⎦（3）1)2(2='+y y x ．解：令2u x y =+，则22222121u u y u u +''=+=+=，分离变量222u du dx u =+，两边积分22222u du dx u x c u +-=⇒=++⎰⎰2,2x y x c y c +=+-= 4．求曲线()y y x =，使它正交于圆心在x 轴上且过原点的任何圆（注：两曲线正交是指在交点处两曲线的切线互相垂直）．解：可设在x 轴上且过原点的任何圆为()222x a y a -+=，则()22222,,220,2x y a xx y ax a x a yy y x y+-''+==-+==由已知曲线()y y x =应满足222222y y xyy x y a x y xx x'=-=-=-+--- 令,y u x =则()()2322212,,,111u du u u u dxy ux y u xu xu u u xu u -+'''==+===--+， ()()222212,ln ln 1ln ln 1u u dx du u u x c xu u +-=-+=++⎰⎰ ()22222,1,1u yy cx cx y c x y u x x ⎛⎫==+=+ ⎪+⎝⎭作业23 一阶线性微分方程1．解微分方程d sin d y y x x x x+=． 解：对照标准的一阶线性微分方程()()d ,d yP x y Q x x+= ()()()()()1sin ,,P x dx P x dx x P x Q x y e Q x e dx C x x -⎡⎤⎰⎰⇒===+⎢⎥⎣⎦⎰ 111ln ln ln sin sin sin dx dxx x x x x x x x y e e dx C e e dx C e xdx C x x x --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎰⎰=+=+=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰1cos sin C x xdx C x x-⎡⎤=+=⎣⎦⎰ 2．解微分方程 2d 32d yx y x x x +=++． 解：微分方程即()2d 32,d xy x x x=++ ()23221313322,23232c xy x x dx x x x c y x x x =++=+++=+++⎰ 3．解微分方程 2d (6)20d y y x y x -+=． 解：观察发现，微分方程等价为2d d 3620,,d d 2x x y y x yx y y y -+=-=- ()()()()()3,,2P y dy P y dy y P y Q y x e Q y e dy C y ---⎡⎤⎰⎰⇒===+⎢⎥⎣⎦⎰ 333ln 3ln 22dy dy y y y y y y x e e dy C e e dy C ----⎡⎤--⎰⎰⎡⎤=+=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎰⎰ 2333211222y y dy C y C Cy y y ⎛⎫⎛⎫=-+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰4．求解初值问题d tan sec d yy x x x-=，00x y ==． 解：对照标准的一阶线性微分方程()()d ,d yP x y Q x x+= ()()tan tan tan ,sec ,sec xdx xdx P x x Q x x y e x e dx C ---⎡⎤⎰⎰⇒=-==⋅+⎢⎥⎣⎦⎰ ln cos ln cos sec cos x xx cy e x e dx C x-+⎡⎤=⋅+=⎣⎦⎰，由00x y ==，cos xy x=5．设曲线积分 2()d [2()]d Lyf x x xf x x y +-⎰在右半平面（)0>x 内与路径无关，其中)(x f 可导，且1)1(=f ，求)(x f ．解：由曲线积分在右半平面（)0>x 内与路径无关可知，()()1()2()22,()12f x x f x f x x f x fx x''=+-+= ()()1111ln ln 22221,1,12dx dx x x x x P x Q x y e e dx C e e dx C x --⎡⎤⎡⎤⎰⎰⇒===⋅+=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰()322233y x c x f x ⎛⎫=+==⎪⎭由1)1(=f ，()2121,,333c c f x x =+⇒==+6．解微分方程2d 3d yxy xy x-=． 解：微分方程化为21d d 1d 13,3,3,d d d y x x xx x x y x y x y y x y y⎛⎫⎛⎫-=--=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 令1du,3,d u xu x y x=⇒+=-为一阶线性微分方程 ()()()223333223,,xx xdxxdx P x x Q x x u e x e dx C e xe dx C --⎡⎤⎡⎤⎰⎰==-=-⋅+=-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰ 2222233333222222113113233x x x x x u e e d x x C ee C Ce y---⎡⎤⎡⎤⎛⎫==-+=-+=-⎢⎥⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎰作业24 全微分方程1． 判别下列方程中哪些是全微分方程，并求全微分方程的通解： （1）2222(36)d (64)d 0x xy x x y y y +++=；解：因为2222(36)(64)=12=x xy x y y xy y x∂+∂+∂∂且连续，从而该方程是全微分方程 2222322223403d 6d 64d d 3d 3d 3x x xy x x ydy y y x y x x dy y =+++=+++32234d 33x x y y ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，从而3223433x x y y c +++=（2）0sin sin )cos cos (=+-'+y x y y x y x ；解：方程即()(cos cos )sin sin 0x y x dy y x y dx ++-+=因为()sin sin (cos cos )=sin cos =y x y x y x x y y x∂-+∂+-+∂∂且连续，从而该方程是全微分方程，方程右边为某个函数(),u x y 的全微分， 即,sin sin ,cos cos x y u u y x y u x y x ∃=-+=+()()cos sin ,cos cos cos cos y u y x x y g y u x y x x x y g y '=++=+=++ ()()10,g y g y c '⇒==从而微分方程的通解为cos sin y x x y c += （3） e d (e 2)d 0yyx x y y +-=．解：因为e (e 2)==y y y x y e y x∂∂-∂∂且连续，从而该方程是全微分方程，从而该方程是全微分方程，方程右边为某个势函数(),u x y 的全微分，可用曲线积分法求一个来。
第十章曲线积分与曲面积分§ 1对弧长地曲线积分计算公式：无论是对弧长还是对坐标地曲线积分重要地是写出曲线地参数方程x =x t L ：y =y tx = x(t ) L:<y = y(t )"z(t )Lf x,y,z ds - 注意：上限一定要大于下限1.计算下列对弧长地曲线积分<1) \(x 2y 2)2ds ,其中 L 为圆周 x 2y 2=a 2； 解：法一：Q|jx2+y 2)2ds = |J L (a 2)2ds二玄仁 ds =a 4(2二a) =2二a 5法二：_L x =acosv L: 0 心：:2二,匸(x 2 y 2)2ds2二 2 2 2 2 2[a cos ： a si n ] -asi na cos d ：2二 5 . 5ad^ - 2「a<2) \e x yds ,其中L 为圆周x 2■ y 2=a 2,直线y=x 及x 轴在第一象限内所围成地扇形ba 兰t 兰b ,则(f (x, y ps= f a f(x (t ), y(tddbafxt ,y t ,zt解：忆e 拧%s = ( & +廟+ J BO 卅“ ds ,其中故口 e^iyds=e a(2+ — a) -2匕 4<3) L xds ,其中L 为抛物线y =2x 2-1上介于x =0与x=1之间地一段弧;「X =x解：由 L:20<x<1，得、y=2x -1l xds 二 ° x 1亠〔4x 2dx2 3_2(1+16x)2o_17用-1 -32-48<4) L y 2ds ,其中 L 为摆线地一拱 x =a(t - si nt), y =a(1 - cost)(0 — t — 2二)； 解: .L y 2ds = ：0〔a(1-cost)『」a 1-cost ]2a si nt^dt2TI 5=V2a 3「(1 —cost)2dtx = x x = a cos—— x = x 、2 OA: ,0_x_a ,AB:,0, BO: 0_x a y =0 y =as in 4 y = x 2f e x 旳 ds =『少尺 J 12 +02 dxoA-0aoa二ABey ds 二ABe ds二 e ABds4<或]e x 七ds■AB=[4 e ' 严"巧塔“巧 J (一 a sin 盯 + (acos日 j d 日JI4 e a ad ) 4a 二 BO-a-2-2匸2a 一2 2 -------- ■ 2 e x 2 x 2,12 12dx 0-1 a二5二 迈a 3 ： (2sin 2*)2dt =8a 3J6a 3siJI353= 32a 2sin 如-32a」0x 2+y 2+z 2=22 2]x = cosT解：由」 丫，得2X 2+Z2=2,令 < 厂 0兰日兰2兀y = xz = \ 2 sin 71x= cos 日sin 5 -dt <令—-v4 2 256 3a5 3 15<5) “L xyds ，其中L 为圆周x 2 y 2 =a 2 ； 解：利用对称性J |xyds = 4jJxyds ,其中 Lix = a cos 日 0<6y = a sinJI< 一2[xy ds = 4『xy ds = 4 fxyds迟,=4 02 (acos R(asin v) (-asin v)2 (acosv)2dv"a 3jcosrsin=2a 3sin =-2a 3<6)-x 2y 22ds ,其中-为曲线 z 2X =e t cost ,y =e t si nt ,z =e t 上相应于 t 从 0 变到 2 地------ 2 -- 1 ---- 2 ---- cost )]2 +[(£ sin t )]2 +e 2t dte tcost ]亠[d sin t ]亠[d =—fe^dt =^(1 —e‘) 2 02<7)广yds ,其中-为空间圆周:x 2 + y 2 + z 2 =2』=x弧段; 解：故丫: * y = cos日0兰日乞2兀.故z = J2s in。
高等数学第十章答案【篇一：高等数学2第十章答案_62010】=txt>1.根据二重积分的性质，比较下列积分的大小：（1）成；2223d与，其中积分区域是圆周(x?2)?(y?1)?2所围(x?y)d?(x?y)d????? dd（2）??ln(x?y)d?与??[ln(x?y)]d?，其中d是三角形闭区域，三顶点分别为(1,0)，dd2(1,1)，(2,0)；2.利用二重积分的性质估计下列积分的值：（1）i?22sinxsinyd?，其中d?{(x,y)|0?x??,0?y??}；??d（2）i?2222，其中d?{(x,y)|x?y?4}.(x?4y?9)d???d（3）.i?d，其中d?{(x,y)|0?x?1,0?y?2}解f?x,y??，积分区域的面积等于2，在d上f?x,y?的最大值1m?11?x?y?0?，最小值m???x?1,y?2? 45故0.4?i?0.5习题10-2二重积分的计算法1.计算下列二重积分：（1）22(x?y)d?，其中d?{(x,y)||x|?1,|y|?1}；??d（2）??xcos(x?y)d?，其中d是顶点分别为(0,0)，(?,0)和(?,?)的三角形闭区域。
d2.画出积分区域，并计算下列二重积分：（1）x?ye??d?，其中d?{(x,y)||x|?y?1}d2（2）??(xd2?y2?x)d?，其中d是由直线y?2，y?x及y?2x所围成的闭区域。
3.化二重积分i???f(x,y)d?为二次积分（分别列出对两个变量先后次序不同的两个二次d积分），其中积分区域d是：2（1）由直线y?x及抛物线y?4x所围成的闭区域；（2）由直线y?x，x?2及双曲线y?1(x?0)所围成的闭区域。
x34.求由曲面z?x2?2y2及z?6?2x2?y2所围成的立体的体积。
5.画出积分区域，把积分22其中积分区域d是： ??f(x,y)dxdy表示为极坐标形式的二次积分， d（1）{(x,y)|x?y?2x}；4（2）{(x,y)|0?y?1?x,0?x?1}6.化下列二次积分为极坐标形式的二次积分：（1）?2dxxfdy；5【篇二：高等数学课后习题答案第十章】重积分性质，比较??dln(x?y)d?与??d[ln(x?y)]d?2的大小，其中：（1）d表示以（0，1），（1，0），（1，1）为顶点的三角形；（2）d表示矩形区域{(x,y)|3?x?5,0?y?2}.解：（1）区域d如图10-1所示，由于区域d夹在直线x+y=1与x+y=2之间，显然有图10-11?x?y?2从而0?lnx(?y?)12故有ln(x?y)?[lnx(?y )]d所以 ??ln(x?y)?d???[lxn?(y2?)]d时，有（2）区域d如图10-2所示.显然，当(x,y)?dx?y?3.图10-2 从而 ln(x+y)1 故有ln(x?y)?[lnx(?y )]d2??所以（1）（2）（3）ln(x?y)?d???d[lxn?(y2?)]d2. 根据二重积分性质，估计下列积分的值： i?i?i???????d?,d?{(x,y)|0?x?2,0?y?2}22;;d(x,y)?d0?y?2时，有0?x?2,2222.解：（1）因为当因而0?xy?4.从而2??2d??故??即而d??d????d?2??d??d??d??d?d??dd???得8???d2??2(2) 因为0?sinx?1,0?siny?1，从而 220?sinxsiny?1故即??d0d????dsinxsinyd??222??d1d?0???dsinxsinyd????dd???2所以0???d22222（3）因为当2(x,y)?d20?x?y?4所以时，229?x?4y?9?4(x?y)?9?25故 ??即d9d??2??d(x?4y?9)d??222??d25d?9????d(x?4y?9)d??25?2所以??d223. 根据二重积分的几何意义，确定下列积分的值：??（1）（2）d(a??,d?{(x,y)|x?y?a};d?{(x,y)|x?y?a}.222222??d?,(a?解：（1）??d?,在几何上表示以d为底，以z轴为轴，以（0，0，a）为顶点的圆锥的体积，所以d(a???133??（2）d?在几何上表示以原点（0，0，0）为圆心，以a为半径的上半球的体积，故??d??233lim4. 设f(x，y)为连续函数，求2r?0??df(x,y)d?,d?{(x,y)|(x?x0)?(y?y0)?r}222.解：因为f(x，y)为连续函数，由二重积分的中值定理得，?(?,?)?d,使得??d2(?,?)?(x0,y0),又由于d是以（x0，y0）为圆心，r为半径的圆盘，所以当r?0时，lim2r?0??df(x,y)d??lim2r?0r?02于是：5. 画出积分区域，把（1）(?,?)?(x0,y0)limf(?,?)?f(x0,y0)??df(x,y)d?化为累次积分：;d?{(x,y)|x?y?1,y?x?1,y?0}2(2)d?{(x,y)|y?x?2,x?y}2xd?{(x,y)|y?(3),y?2x,x?2}解：（1）区域d如图10-3所示，d亦可表示为y?1?x?1?y,0?y?1.??所以2df(x,y)d???10dy?1?yy?1f(x,y)dx(2) 区域d如图10-4所示，直线y=x-2与抛物线x=y2的交点为（1，-1），（4，2），区域d可表示为y?x?y?2,?1?y?2图10-3 图10-4??所以df(x,y)d???2?1dy?y?2y2f(x,y)dxy?（3）区域d如图10-5所示，直线y=2x与曲线 2x的交点(1，2)，与x=2的交点为(2，4),曲线 y?2x与2x=2的交点为（2，1），区域d可表示为x ?y?2x,1?x?2.图10-5??所以df(x,y)d???21dx?2f(x,y)dyx2x.6. 画出积分区域，改变累次积分的积分次序： ?（1）?(3)1020dy?2yyf(x,y)dx; (2) ?edx?lnx0f(x,y)dy;dy3?2yf(x,y)dx; (4)33?y0?dx?sinx?sinx2f(x,y)dy;(5) ?1dy?2y0f(x,y)dy??1dy?f(x,y)dx.0?y?2,解：（1）相应二重保健的积分区域为d：y?x?2y.如图10-6所示.2图10-60?x?4,d亦可表示为：202yy2x24所以?dy?f(x,y)dx??dxxf(x,y)dy.2(2) 相应二重积分的积分区域d： 1?x?e,0?y?lnx.如图10-7所示.图10-70?y?1,d亦可表示为：e?x?e, 10y所以?e1dx?lnx0f(x,y)dy??dy?eeyf(x,y)dx(3) 相应二重积分的积分区域d 为：0?y?1,?x?3?2y,如图10-8所示.图10-8d亦可看成d1与d2的和，其中 0?x?1,d1：1?x?3,d2：103?2y0?y?x, 0?y?12(3?x).10x022?所以dyf(x,y)dx??dx?f(x,y)dy??311dx?x220(3?x)f(x,y)dy.(4) 相应二重积分的积分区域d为：?sin?y?sinx.如图10-9所示.图10-9d亦可看成由d1与d2两部分之和，其中 d1：d2：?1?y?0,0?y?1,【篇三：高等数学第十章测试练习】基础练习题一、选择题（共5题，每题4分，共20分）1.下列方程中，是一阶齐次微分方程的为（ b ） a．xy?ylny b. y? yydy(1?ln) c．y?2y d．?10x?y xxdx2.一阶线性微分方程y?p(x)y?q(x)的积分因子为（ a ） a．e?p(x)dxb.??p(x)dxp(x)dx c． d．??p(x)dx e?3.微分方程y?6y?9y?0的通解为（ b ） a．(c2?c1x)e b.(c2?c1x)e?3xc．(c2?x)e1 d．(c2?c1x)ecx3x4.下列方程中，线性微分方程有（ c ） a．y?yy(1?ln)b.yy?(y)2 xxc．y?8y?25y?0 d．(1?y2)dx?(arctany?x)dy5.设y1,y2是ay?by?cy?f(x)的两个特解，则下列说法正确的是（ c ） a．y1?y2仍为该方程的特解b.y1?y2仍为该方程的特解c．y?y1?y2?y1为该方程的特解d． y?c1y1?c2y2为该方程的通解二、填空题（共5题，每题4分，共20分） 1.设曲线上任意点p(x,y)处的切线的斜率为x，且曲线经过点(?2,1)，则该曲线的方程为 yy2?x2?3?0 。
第十章双线性函数与辛空间1、设V是数域P上的一个三维线性空间，ε1，ε2，ε3是它的一组基，f是V上的一个线性函数，已知f(ε1+ε3)=1,f (ε2-2ε3)=-1,f (ε1+ε2)=-3求f (X1ε1+X2ε2+X3ε3).解因为f是V上线性函数，所以有f(ε1)＋ f (ε3)=1f (ε2)-2 f (ε3)=-1f(ε1)+f (ε2)=-3解此方程组可得f(ε1)＝4，f (ε2)＝－7，f (ε3)＝－3 于是f (X1ε1+X2ε2+X3ε3).＝X1f(ε1)＋X2 f (ε2)＋X3 f (ε3)＝4 X1－7 X2－3 X32、设V与ε1，ε2，ε3同上题，试找出一个线性函数f ,使f(ε1+ε3)＝f (ε2-2ε3)=0, f (ε1+ε2)=1解设f为所求V上的线性函数，则由题设有f(ε1)＋ f (ε3)=0f (ε2)-2 f (ε3)=0f(ε1)+f (ε2)=1解此方程组可得f(ε1)＝－1，f (ε2)＝2，f (ε3)＝1于是∀a∈V,当a在V的给定基ε1，ε2，ε3下的坐标表示为a= X1ε1+X2ε2+X3ε3时，就有f (a)=f (X1ε1+X2ε2+X3ε3)= X 1 f(ε1)＋X 2 f (ε2)＋X 3 f (ε3)=-X 1+2 X 2+ X 3 3、 设ε1，ε2，ε3是线性空间V 的一组基，f1,f2,f3是它的对偶基，令α1＝ε1－ε3，α2＝ε1＋ε2－ε3，α3＝ε2＋ε3试证：α1，α2，α3是V 的一组基，并求它的对偶基。
证： 设〔α1，α2，α3〕＝〔ε1，ε2，ε3〕A由已知，得A ＝110011111⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦因为A ≠0，所以α1，α2，α3是V 的一组基。
设g1,g2,g3是α1，α2，α3得对偶基，则 〔g1,g2,g3〕＝〔f1,f2,f3〕〔A ˊ〕1-＝〔f1,f2,f3〕011112111-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦因此g1=f2-f3g2=f1-f2+f3 g3=-f1+2f2-f34.设V 是一个线性空间，f1,f2,…fs 是V *中非零向量，试证：∃α∈V ，使 fi(α)≠0 (i=1,2…,s)证：对s 采用数学归纳法。
第十章曲线积分与曲面积分习题简答习题10—11 计算下列对弧长的曲线积分： （1）LI xds =⎰，其中L 是圆221x y +=中(0,1)A到B 之间的一段劣弧； 解:(1+．（2）(1)L x y ds ++⎰，其中L 是顶点为(0,0),(1,0)O A 及(0,1)B 所成三角形的边界；解:(1)3Lx y ds -+=+⎰．（3）22Lx y ds +⎰，其中L 为圆周22x y x +=；解:222Lx y ds +=⎰．（4）2 Lx yzds ⎰，其中L 为折线段ABCD ，这里(0,0,0)A ，(0,0,2),B (1,0,2),C(1,2,3)D ；解: 2Lx y z d =⎰2 求八分之一球面2221(0,0,0)x y z x y z ++=≥≥≥度1ρ=。
解 故所求重心坐标为444,,333πππ⎛⎫⎪⎝⎭．习题10—21 设L 为xOy 面内一直线y b =（b 为常数），证明xyoABC(,)0LQ x y dy =⎰。
证明：略.2 计算下列对坐标的曲线积分： （1）Lxydx ⎰，其中L 为抛物线2y x =上从点(1,1)A -到点(1,1)B 的一段弧。
解 :45Lxydx =⎰。
（2）⎰-++Ldy y x dx y x 2222)()(，其中L 是曲线x y --=11从对应于0=x 时的点到2=x 时的点的一段弧；解34)()( 2222=-++⎰Ldy y x dx y x ．（3）,Lydx xdy +⎰L 是从点(,0)A a -沿上半圆周222x y a +=到点(,0)B a 的一段弧；解 0.Lydx xdy +=⎰（4）22Lxy dy x ydx -⎰，其中L 沿右半圆222x y a +=以点(0,)A a 为起点，经过点(,0)C a 到终点(0,)B a -的路径；解 22Lxy dy x ydx -⎰44a π=-。
（5）3223Lx dx zy dy x ydz +-⎰，其中L 为从点(3,2,1)A 到点(0,0,0)B 的直线段AB ；解 3223Lx dx zy dy x ydz +-⎰3187874t dt ==-⎰。
