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习题11-1 有一动圈传声器的振膜可当作质点振动系统来对待,其固有频率为f ，质量为m ，求它的弹性系数。
解：由公式mmo M K f π21=得： m f K m 2)2(π=1-2 设有一质量m M 用长为l 的细绳铅直悬挂着，绳子一端固定构成一单摆，如图所示，假设绳子的质量和弹性均可忽略。
试问：（1） 当这一质点被拉离平衡位置ξ时，它所受到的恢复平衡的力由何产生？并应怎样表示？（2） 当外力去掉后，质点m M 在此力作用下在平衡位置附近产生振动，它的振动频率应如何表示？（答：lgf π210=，g 为重力加速度）图 习题1－2解：（1）如右图所示，对m M 作受力分析：它受重力m M g ，方向竖直向下；受沿绳方向的拉力T ，这两力的合力F 就是小球摆动时的恢复力，方向沿小球摆动轨迹的切线方向。
设绳子摆动后与竖直方向夹角为θ，则sin lξθ=受力分析可得：sin m m F M g M g lξθ==（2）外力去掉后(上述拉力去掉后)，小球在F 作用下在平衡位置附近产生摆动，加速度的方向与位移的方向相反。
由牛顿定律可知：22d d m F M t ξ=-则 22d d m m M M g t l ξξ-= 即 22d 0,d gt lξξ+=∴ 20g l ω=即 01,2πgf l= 这就是小球产生的振动频率。
1-3 有一长为l 的细绳，以张力T 固定在两端，设在位置0x 处，挂着一质量m M ，如图所示，试问：(1) 当质量被垂直拉离平衡位置ξ时，它所受到的恢复平衡的力由何产生？并应怎样表示？(2) 当外力去掉后，质量m M 在此恢复力作用下产生振动，它的振动频率应如何表示？ (3) 当质量置于哪一位置时，振动频率最低？ 解：首先对m M 进行受力分析，见右图，0)(22002200=+-+--=εεx x Tx l x l TF x（0x 〈〈ε ，2022020220)()(,x l x l x x -≈+-≈+∴εε 。
习题11-1 有一动圈传声器的振膜可当作质点振动系统来对待,其固有频率为f ，质量为m ，求它的弹性系数。
解：由公式mmo M K f π21=得： m f K m 2)2(π=1-2 设有一质量m M 用长为l 的细绳铅直悬挂着，绳子一端固定构成一单摆，如图所示，假设绳子的质量和弹性均可忽略。
试问：（1） 当这一质点被拉离平衡位置ξ时，它所受到的恢复平衡的力由何产生？并应怎样表示？ （2） 当外力去掉后，质点m M 在此力作用下在平衡位置附近产生振动，它的振动频率应如何表示？ （答：lgf π210=，g 为重力加速度）图 习题1－2解：（1）如右图所示，对m M 作受力分析：它受重力m M g ，方向竖直向下；受沿绳方向的拉力T ，这两力的合力F 就是小球摆动时的恢复力，方向沿小球摆动轨迹的切线方向。
设绳子摆动后与竖直方向夹角为θ，则sin lξθ=受力分析可得：sin m m F M g M glξθ==（2）外力去掉后(上述拉力去掉后)，小球在F 作用下在平衡位置附近产生摆动，加速度的方向与位移的方向相反。
由牛顿定律可知：22d d m F M t ξ=-则 22d d m m M M g t l ξξ-= 即 22d 0,d gt lξξ+=∴ 20g l ω=即 01,2πgf l= 这就是小球产生的振动频率。
1-3 有一长为l 的细绳，以张力T 固定在两端，设在位置0x 处，挂着一质量m M ，如图所示，试问： (1) 当质量被垂直拉离平衡位置ξ时，它所受到的恢复平衡的力由何产生？并应怎样表示？(2) 当外力去掉后，质量m M 在此恢复力作用下产生振动，它的振动频率应如何表示？(3) 当质量置于哪一位置时，振动频率最低？ 解：首先对m M 进行受力分析，见右图，0)(2202200=+-+--=εεx x Tx l x l TF x（0x 〈〈ε ，2022020220)()(,x l x l x x -≈+-≈+∴εε 。
高一物理声学基础练习题及答案一、选择题1. 声速的单位是：A. 米/秒B. 分贝C. 微秒D. 哈兹答案：A2. 下面哪个现象与共振无关？A. 吉他的琴弦被弹拨时发出声音B. 蜘蛛在网上等待猎物时等待触觉C. 铃铛受到振动时发出声音D. 音乐家在演奏管乐器时吹响答案：B3. 长笛发声的原理是：A. 共鸣B. 共振C. 干涉D. 合成答案：A4. 下面哪个物理量与声音强度有关？A. 频率B. 响度C. 波长D. 速度答案：B5. 两个相同振幅的波用同一根弹簧绳传播，它们的频率相等，但波长差为原来的一半，这种现象叫做：A. 干涉B. 共振C. 反射D. 合成答案：D二、判断题1. 声音是机械波，需要介质传播。
正确/错误答案：正确2. 声音的强度与声源振动的振幅有关。
正确/错误答案：正确3. 声音的频率越高，音调越低。
正确/错误答案：错误4. 声音在真空中传播的速度比在空气中传播的速度快。
正确/错误答案：错误5. 声音在各种介质中的传播速度是相同的。
正确/错误答案：错误三、计算题1. 一条绳子上的波传播速度为20 m/s，波长为4 m，求波的频率。
答案：频率 = 传播速度/波长 = 20 m/s / 4 m = 5 Hz2. 一台机器发出的声音强度为80 dB，另一台机器发出的声音强度为40 dB，它们的声音强度比是多少？答案：声音强度比=10^((声音强度1-声音强度2)/10)=10^((80-40)/10)=100四、应用题1. 请解释音箱放置在房间角落中会产生较大的声音响度的原因。
答案：当音箱放置在房间角落中时，声音反射会发生很多次，形成声波的干涉，而且角落是三面墙面的交接处，会形成共振加强声音的传播，因此产生较大的声音响度。
2. 为什么一辆行驶的汽车远离我们之后，发出的声音会逐渐变小？答案：汽车行驶时会发出声音，在行驶过程中，声音以波的形式传播，当汽车远离我们时，声音传播到我们这里的路径会变长，传播的距离增加，使得声音强度逐渐减小，因此听到的声音也会逐渐变小。
习题11-1 有一动圈传声器的振膜可当作质点振动系统来对待,其固有频率为f ，质量为m ，求它的弹性系数。
解：由公式mmo M K f π21=得： m f K m 2)2(π=1-2 设有一质量m M 用长为l 的细绳铅直悬挂着，绳子一端固定构成一单摆，如图所示，假设绳子的质量和弹性均可忽略。
试问：（1） 当这一质点被拉离平衡位置ξ时，它所受到的恢复平衡的力由何产生？并应怎样表示？ （2） 当外力去掉后，质点m M 在此力作用下在平衡位置附近产生振动，它的振动频率应如何表示？ （答：lgf π210=，g 为重力加速度）图 习题1－2解：（1）如右图所示，对m M 作受力分析：它受重力m M g ，方向竖直向下；受沿绳方向的拉力T ，这两力的合力F 就是小球摆动时的恢复力，方向沿小球摆动轨迹的切线方向。
设绳子摆动后与竖直方向夹角为θ，则sin lξθ=受力分析可得：sin m m F M g M glξθ==（2）外力去掉后(上述拉力去掉后)，小球在F 作用下在平衡位置附近产生摆动，加速度的方向与位移的方向相反。
由牛顿定律可知：22d d m F M t ξ=-则 22d d m m M M g t l ξξ-= 即 22d 0,d gt lξξ+=∴ 20g l ω=即 01,2πgf l= 这就是小球产生的振动频率。
1-3 有一长为l 的细绳，以张力T 固定在两端，设在位置0x 处，挂着一质量m M ，如图所示，试问： (1) 当质量被垂直拉离平衡位置ξ时，它所受到的恢复平衡的力由何产生？并应怎样表示？(2) 当外力去掉后，质量m M 在此恢复力作用下产生振动，它的振动频率应如何表示？(3) 当质量置于哪一位置时，振动频率最低？ 解：首先对m M 进行受力分析，见右图，0)(2202200=+-+--=εεx x Tx l x l TF x（0x 〈〈ε ，2022020220)()(,x l x l x x -≈+-≈+∴εε 。
声学基础考试题及答案一、选择题（每题2分，共10题）1. 声波的传播需要介质，以下哪种介质不能传播声波？A. 空气B. 水C. 真空D. 固体答案：C2. 人耳能听到的声音频率范围是多少？A. 20Hz - 20000HzB. 20Hz - 20000HzC. 20Hz - 2000HzD. 2000Hz - 20000Hz答案：A3. 声速在不同介质中的传播速度不同，以下哪种介质中声速最快？A. 空气B. 水C. 真空D. 固体答案：D4. 声音的三个特征是什么？A. 音调、响度、音色B. 音调、响度、音量C. 音调、音量、音色D. 响度、音量、音色答案：A5. 以下哪个单位是用来衡量声音强度的？A. 分贝（dB）B. 赫兹（Hz）C. 帕斯卡（Pa）D. 牛顿（N）答案：A6. 声波的反射现象中，以下哪种情况不会出现回声？A. 声波遇到大的障碍物B. 声波遇到小的障碍物C. 声波遇到软的障碍物D. 声波遇到真空答案：D7. 以下哪个现象不是由声音的干涉造成的？A. 回声B. 驻波C. 多普勒效应D. 拍频答案：C8. 以下哪种乐器是通过振动空气柱产生声音的？A. 吉他B. 小提琴C. 长笛D. 钢琴答案：C9. 声波的衍射现象是指声波在遇到障碍物时会？A. 完全反射B. 完全折射C. 发生弯曲D. 直线传播答案：C10. 以下哪种情况下，声波的频率会发生变化？A. 声源静止，观察者远离声源B. 声源静止，观察者靠近声源C. 声源移动，观察者静止D. 声源和观察者都静止答案：C二、填空题（每题2分，共5题）1. 声波是一种_______波，它可以通过固体、液体和气体传播。
答案：机械2. 声音的响度通常用_______来表示，其单位是分贝（dB）。
答案：声强级3. 当声波的频率超过人耳能听到的范围时，这种声波被称为_______。
答案：超声波4. 声波在不同介质中的传播速度不同，一般来说，在固体中传播速度最快，其次是_______，最慢的是_______。
声学基础a试题及答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 声波在空气中的传播速度大约是多少？A. 340 m/sB. 1000 m/sC. 3400 m/sD. 10000 m/s答案：A2. 以下哪个不是声波的基本特性？A. 频率B. 振幅C. 波长D. 密度答案：D3. 声波的频率范围通常是多少？A. 20 Hz - 20 kHzB. 20 Hz - 2 kHzC. 200 Hz - 20 kHzD. 2 kHz - 20 kHz答案：A4. 人耳能听到的最低频率是多少？A. 20 HzB. 200 HzC. 2 kHzD. 20 kHz答案：A5. 超声波的频率范围是多少？A. 20 Hz - 20 kHzB. 20 kHz - 200 kHzC. 200 kHz - 2 MHzD. 2 MHz - 20 MHz答案：C6. 声波在固体中的传播速度通常比在气体中快还是慢？A. 快B. 慢C. 相同D. 不确定答案：A7. 声波的反射现象称为什么？A. 回声B. 共振C. 衍射D. 干涉答案：A8. 声波的衍射现象说明了什么？A. 声波是横波B. 声波是纵波C. 声波可以绕过障碍物D. 声波只能在直线传播答案：C9. 声波的干涉现象说明了什么？A. 声波是横波B. 声波是纵波C. 声波可以相互加强或减弱D. 声波只能在直线传播答案：C10. 声波的共振现象说明了什么？A. 声波是横波B. 声波是纵波C. 声波可以在特定频率下加强D. 声波只能在直线传播答案：C二、填空题（每空1分，共20分）1. 声波的频率单位是______。
答案：赫兹（Hz）2. 声波的振幅单位是______。
答案：帕斯卡（Pa）3. 声波的波长单位是______。
答案：米（m）4. 人耳能听到的最高频率大约是______。
答案：20000 Hz5. 声波在空气中的传播速度受______影响。
答案：温度6. 超声波的频率高于______。
声学基础参考答案一、判断题考点（10选5，每个3分）1骨导式传声器：2混响时间：在扩散声场中，当声源停止后从初始的声压级将低60dB所需的时间，用符号T60表示。
3吸声系数：材料吸收的声能与入射到材料上的总声能之比，叫吸声系数（α）。
4声波吸收：声波在非理想媒介中传播时，会出现声波随距离而逐渐衰减的物理现象，产生了将声能转变为热能的耗散过程，称为媒介中的声衰减。
5类比线路图：力学系统、声学系统类比线路图，阻抗型和导纳型类比线路图的相互转化老版P130 3.46超声波：高于20kHz的声波7声压级：老版P194 4.78次声波：低于20Hz的声振动9横波：质点的振动方向与波的传播方向垂直的波。
突起的部分为波峰，凹下部分叫波谷。
10纵波：纵波是质点的振动方向与传播方向平行的波。
如敲锣时，锣的振动方向与波的传播方向就是平行的，声波是纵波。
二、名词解释（14选6个，每个6分）1 横振动：指振动方向与传播方向垂直的振动。
例如某弦在张力的作用下在与弦垂直方向做往返振动，振动的传播沿着弦长方向，这种振动方式称为横振动。
2 强迫振动：一个振动系统受到阻力作用后振动不能维持甚久，它要渐渐衰减到停止，因此要使振动持续不停，就要不断从外部获得能量，这种受到外部持续作用而产生的振动称为强迫振动。
3 可听阈：人耳刚刚能听到的声音，其响度级即零响度级曲线称为可听阈4 等响曲线：人们曾做过很多实验以测定响度级与频率及声压级的关系。
一般人对不同频率的纯音感觉为同样响的响度级与频率的关系曲线，通常称为等呐曲线。
5 响度级：实用上为了定量地确定某一声音的轻与响的程度，最简单的方法就是把它和另一个标避的声音(通常为1000Hz纯音) 相比较，调节1000Hz纯音的声压级，使它和所研究的声音听起来有同样的响，这时1000Hz纯音的声压级就被定义为该声音的响度级，响度级的单位称为方。
6 声强级：在声学中，用于度量声强大小。
，单位为dB(分贝)。
2010声学基础一．名词解释阻尼振动：振动系统除了受到弹性力之外，还受阻尼力的作用，这样的振动叫阻尼振动。
力顺：弹性系数的倒数为力顺，即虎克定律xCFm1-=中mC，单位m/N。
弹性抗：mCω1，ω为圆频率，mC是力顺，单位msN/⋅。
亥姆赫兹共鸣器：一种由截面S，短管长l，空腔0V组成的基本的声学系统，如图由以下假设：①共鸣器的线度远小于波长，l,S,λ<<3V②短管体积远小于空腔的容积，即0VSl<<③腔壁是刚性的，腔中媒质的疏密过程不会传递到外界特性阻抗：0cρ表示介质声特性的物质量。
其中，0ρ为介质的密度，0c为介质中声速，单位msPa/⋅。
杨氏模量：xESF∂∂-=ξ中E称为杨氏模量，表示在一定面积上单位形变引起面应力的变化量，单位2/mN。
声强：在垂直声传播方向单位面积上，单位时间内的平均声能量，单位2/mW。
声压级：在声学中用对数标度来度量声压的量。
定义)(log2010dBppSPLrefe=，其中ep为有效声压，Papref5102-⨯=为空气中的参考声压。
声吸收：声在传播过程中声能转化为其它形式能量的过程叫声吸收。
全反射：反射系数的绝对值为1，即入射声强等于反射声强，这种现象叫全反射。
二．力学品质因素mmm RMQ0ω=，0ω是系统的固有频率，mM是振子的质量，mR是力阻。
⑴mQ对位移的频率特性曲线的影响22222)1(mmmaaQzzMQF-+=ωξ，aF是外力的振幅，0ωω==ffz，0f是系统的固有频率。
复振幅])1[(2mmFQzjzRF--=ξ，位移振幅为2222)1(mmaaQzzKF+-=ξ，相位为)1(arctan2zQzm-=ξθ图像：见声学基础P21，图1—4—2规一化的位移频率特性曲线mQ越大，aξ共振峰越高，共振峰在1=ωω附近靠左；mQ越接近1，在=ωω附近aξ曲线越平稳。
2211mr Qz-=，即为曲线出现峰值的位置。
⑵mQ对速度的频率特性曲线的影响)1(1zzjQQKFjvmmmFF--⋅=⋅-=ωξω，速度振幅为22)1(1zzQQKFvmmmaa-+=ω，相位为)1(arctanzzQmv-=θ图像：见声学基础P24，图1—4—3规一化的速度共振曲线mQ不影响速度共振频率（0ωω）；mQ越大，共振峰越高越尖锐；mQ越小，在1=ωω附近越平坦。
建筑声学基础试题及答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 建筑声学中，以下哪个参数是描述声音在空气中传播时能量衰减的？A. 声强B. 声压C. 声速D. 声阻抗答案：A2. 人耳能听到的频率范围通常是：A. 20Hz-20kHzB. 100Hz-100kHzC. 1kHz-10kHzD. 20Hz-200kHz答案：A3. 在建筑声学中，混响时间是指：A. 声音从产生到消失的时间B. 声音在房间内反射后达到稳定的时间C. 声音在房间内反射后消失的时间D. 声音在房间内反射的次数答案：C4. 吸声材料的主要作用是：A. 增加声音的反射B. 减少声音的反射C. 改变声音的方向D. 吸收声音的能量5. 以下哪个不是建筑声学设计中常用的吸声结构？A. 穿孔板B. 吸声棉C. 玻璃幕墙D. 吸声帘幕答案：C6. 建筑声学中，声压级是用来衡量：A. 声音的响度B. 声音的频率C. 声音的音色D. 声音的传播速度答案：A7. 声波在空气中的传播速度大约是：A. 340m/sB. 1000m/sC. 3400m/sD. 10000m/s答案：A8. 建筑声学设计中，为了减少回声，可以采取的措施是：A. 增加房间的吸声材料B. 增加房间的反射材料C. 增加房间的扩散材料D. 减少房间的吸声材料答案：A9. 以下哪个不是建筑声学中常用的隔声材料？B. 玻璃纤维C. 橡胶垫D. 混凝土板答案：C10. 建筑声学设计中，为了提高语言的清晰度，通常需要：A. 增加混响时间B. 减少混响时间C. 增加房间的吸声D. 增加房间的反射答案：B二、多项选择题（每题3分，共15分）1. 建筑声学设计中，以下哪些因素会影响声音的传播？A. 房间的几何形状B. 房间的吸声材料C. 房间的隔声材料D. 房间的温度和湿度答案：ABCD2. 以下哪些是建筑声学中常用的吸声材料？A. 矿棉板B. 木质吸声板C. 金属板D. 聚酯纤维吸声板答案：ABD3. 建筑声学设计中，以下哪些措施可以提高声音的清晰度？A. 增加混响时间B. 减少混响时间C. 增加房间的吸声D. 增加房间的扩散答案：BCD4. 以下哪些是建筑声学中常用的隔声措施？A. 双层玻璃窗B. 隔音墙C. 隔音门D. 吸声帘幕答案：ABC5. 建筑声学设计中，以下哪些因素会影响人的听觉感受？A. 声音的响度B. 声音的频率C. 声音的传播速度D. 声音的反射和吸收答案：ABD三、判断题（每题2分，共10分）1. 建筑声学中的混响时间越长，声音的清晰度越高。
习题11-1 有一动圈传声器的振膜可当作质点振动系统来对待,其固有频率为f ，质量为m ，求它的弹性系数。
解：由公式mmo M K f π21=得： m f K m 2)2(π=1-2 设有一质量m M 用长为l 的细绳铅直悬挂着，绳子一端固定构成一单摆，如图所示，假设绳子的质量和弹性均可忽略。
试问：（1） 当这一质点被拉离平衡位置ξ时，它所受到的恢复平衡的力由何产生？并应怎样表示？ （2） 当外力去掉后，质点m M 在此力作用下在平衡位置附近产生振动，它的振动频率应如何表示？ （答：lgf π210=，g 为重力加速度）图 习题1－2解：（1）如右图所示，对m M 作受力分析：它受重力m M g ，方向竖直向下；受沿绳方向的拉力T ，这两力的合力F 就是小球摆动时的恢复力，方向沿小球摆动轨迹的切线方向。
设绳子摆动后与竖直方向夹角为θ，则sin lξθ=受力分析可得：sin m m F M g M glξθ==（2）外力去掉后(上述拉力去掉后)，小球在F 作用下在平衡位置附近产生摆动，加速度的方向与位移的方向相反。
由牛顿定律可知：22d d m F M tξ=-则 22d d m m M M g t l ξξ-= 即 22d 0,d gt lξξ+=∴ 20gl ω=即 01,2πgf l=这就是小球产生的振动频率。
1-3 有一长为l 的细绳，以张力T 固定在两端，设在位置0x 处，挂着一质量m M ，如图所示，试问： (1) 当质量被垂直拉离平衡位置ξ时，它所受到的恢复平衡的力由何产生？并应怎样表示？(2) 当外力去掉后，质量m M 在此恢复力作用下产生振动，它的振动频率应如何表示？(3) 当质量置于哪一位置时，振动频率最低？ 解：首先对m M 进行受力分析，见右图，0)(2202200=+-+--=εεx x Tx l x l TF x（0x 〈〈ε ，2022020220)()(,x l x l x x -≈+-≈+∴εε 。
）22220)(εεεε+++-=x Tx l TF yx Tx l Tεε+-≈ε)(00x l x Tl-=可见质量m M 受力可等效为一个质点振动系统，质量m M M =，弹性系数)(00x l x Tlk -=。
（1）恢复平衡的力由两根绳子拉力的合力产生，大小为ε)(00x l x TlF -=，方向为竖直向下。
（2）振动频率为mM x l x TlMK )(00-==ω。
（3）对ω分析可得，当20lx =时，系统的振动频率最低。
1-4 设有一长为l 的细绳，它以张力T 固定在两端，如图所示。
设在绳的0x 位置处悬有一质量为M图 习题1-3的重物。
求该系统的固有频率。
提示：当悬有M 时，绳子向下产生静位移0ξ以保持力的平衡，并假定M 离平衡位置0ξ的振动ξ位移很小，满足0ξξ<<条件。
图 习题1－4解：如右图所示，受力分析可得 002cos 4cos 12T Mg Mg l lθπξξθ=⎫⎪⎪⇒=⎬=⎪⎪⎭又0ξξ<<，'T T ≈，可得振动方程为 202d 2d 2TM l tξξξ+-=即 202d 44d T TM t l lξξξ+=- ∴ 001411222T l Mg gf M M ππξπξ===1-5 有一质点振动系统，已知其初位移为0ξ，初速度为零，试求其振动位移、速度和能量。
解：设振动位移)cos(0ϕωεε-=t a ， 速度表达式为)sin(00ϕωεω--=t v a 。
由于00εε==t ，00==t v，代入上面两式计算可得：t 00cos ωεε= ；t v 000sin ωεω-=。
振动能量22022121a m a m M v M E εω==。
1-6 有一质点振动系统，已知其初位移为0ξ，初速度为0v ，试求其振动位移、速度、和能量。
解：如右图所示为一质点振动系统，弹簧的弹性系数为m K ，质量为m M ，取正方向沿x 轴，位移为ξ。
则质点自由振动方程为 2202d 0,d t ξωξ+= （其中20,m m K M ω=） 解得 00cos(),a t ξξωϕ=-000000d sin()cos()d 2a a v t t t ξπωξωϕπωξωϕ==-+=-+ 当00t ξξ==，00t v v ==时， 00000cos cos()2a a v ξξϕπωξϕ=⎧⎪⎨=-⎪⎩ ⇒222000000001arctan a v v ξωξωϕωξ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩质点振动位移为22200000001cos(arctan)v v t ξωξωωωξ=+-质点振动速度为222000000cos(arctan)2v v v t πωξωωξ=+-+质点振动的能量为222200011()22m a m E M v M v ωξ==+ 1-7 假定一质点振动系统的位移是由下列两个不同频率、不同振幅振动的叠加t t ωωξ2sin 21sin +=，试问：(1) 在什么时候位移最大？ (2) 在什么时候速度最大？解： t t ωωξ2sin 21sin +=，∴t t dtd ωωωωε2cos cos +=t t dtd ωωωωε2sin 2sin 2222--=。
令0=dt d ε，得：32ππω±=k t 或ππω±=k t 2， 经检验后得：ωππ32±=k t 时，位移最大。
令022=dtd ε，得： πωk t =或)41arccos(2-±=πωk t ，经检验后得：ωπk t 2=时，速度最大。
1-8 假设一质点振动系统的位移由下式表示)cos()cos(2211ϕωξϕωξξ+++=t t试证明 )c o s(ϕωξξ+=t a 其中)cos(212212221ϕϕξξξξξ-++=a ，22112211cos cos sin sin arctan ϕξϕξϕξϕξϕ++=证明：)cos()cos(2211ϕωξϕωξξ+++=t t1111222c o s c o s s i ns i n c o sc o s s i n s i nt t t t ξωϕξωϕξωϕξωϕ=-+- 1122112c o s (c o s c o s )s i n (s i n s i n )t t ωξϕξϕωξϕξϕ=+-+ 设 1122cos cos A ξϕξϕ=+ ，1122(sin sin )B ξϕξϕ=-+则 cos sin A t B t ξωω=+=22cos()A B t ωϕ++ （其中arctan()BAϕ=-）又 22222211221212cos cos 2cos cos A B ξϕξϕξξϕϕ+=++222211221212s i n s i n2s i n s i nξϕξϕξξϕϕ+++ 22121212122(cos cos sin sin )ξξξξϕϕϕϕ=+++ 221212212cos()ξξξξϕϕ=++-又 a r c t a n ()BAϕ=-11221122s i n s i n a r c t a n()c o s c o s ξϕξϕξϕξϕ+=+ 令 22221212212cos()a A B ξξξξξϕϕ=+=++-则 )c o s(ϕωξξ+=t a 1-9 假设一质点振动系统的位移由下式表示t w t w 2211cos cos εεε+= (12w w >)试证明)cos(1ϕεε+=t w a ，其中.,)cos()sin(arctan,)cos(221212212221w w w wt wt wt a -=++++=∆∆εε∆εϕ∆εεεεε解：因为位移是矢量，故可以用矢量图来表示。
由余弦定理知，)cos(212212221t w t w a -++=εεεεε)cos(2212221wt ∆εεεε++=其中，12w w w -=∆。
由三角形面积知，ϕεε∆εεsin 21sin 21121a wt = 得 awtε∆εϕsin sin 2=得 wtwt tg a ∆εε∆εϕ22222sin sin -=2212)c o s (s i n wt wt∆εε∆ε+=wtwt∆εε∆εcos sin 212+=故 wtwt∆εε∆εϕcos sin 212+=即可证。
1-10 有一质点振动系统，其固有频率f 0为已知，而质量M m 与弹性系数K m 待求，现设法在此质量M m 上附加一已知质量m ，并测得由此而引起的弹簧伸长ξ1，于是系统的质量和弹性系数都可求得，试证明之.证 由胡克定理得 mg ＝K m ξ1 ⇒ K m ＝mg /ξ1 由质点振动系统固有频率的表达式m m M K f π210=得，120220244ξππf mgf K M m m ==. 纵上所述，系统的质量M m 和弹性系数K m 都可求解.1-11 有一质点振动系统，其固有频率f 0为已知，而质量M m 与弹性系数待求，现设法在此质量M m上附加一质量m ，并测得由此而引起的系统固有频率变为f 0’,于是系统的质量和弹性系数都可求得，试证明之。
解：由 mmM K f π210=得 m m M f K 20)2(π= 由 mM K f m m+='π210 得 ),()2(20m M f K m m +'=π联立两式，求得202020f f f m M m '-'=，2020202024f f f mf K m '-'=π 1-12 设有如图1-2-3和图1-2-4所示的弹簧串接和并接两种系统，试分别写出它们的动力学方程，并求出它们的等效弹性系数。
解： 串接时，动力学方程为0212122=++εεm m m m mK K K K dt d M ，等效弹性系数为m m m m K K K K K 2121+=。
并接时，动力学方程为0)(2122=++εεm m m K K dtd M ，等效弹性系数为m m K K K 21+=。
1-13 有一宇航员欲在月球表面用一弹簧秤称月球上一岩石样品。
此秤已在地球上经过校验，弹簧压缩0～100mm 可称0～1kg 。
宇航员取得一块岩石，利用此秤从刻度上读得为0.4kg ，然后，使它振动一下，测得其振动周期为1s ，试问月球表面的重力加速度是多少？而该岩石的实际质量是多少？解：设该岩石的实际质量为M ，地球表面的重力加速度为29.8g m s =，月球表面的重力加速度为g '由虎克定律知 ,M F Kx =-又 M F Mg =- 则 1100.1Mg gK g x ⨯=== 0221M T K ππω=== 则2210109.82.544g M kg ππ⨯==≈ 又10.4x x =' 则 0.04x m '= Mg Kx ''=则2240.04 1.58Kg x m s Mπ''==⨯≈故月球表面的重力加速度约为21.58m s ，而该岩石的实际质量约为2.5kg 。
