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SSch连续周期信号频域分析

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4.2 连续周期信号的频域表示-

4.2 连续周期信号的频域表示-


bn
sin n0t)

a0 2

n1
An
co（ s n0t
n）
(纯余弦形式)
其中 An an2 bn2
n

arctan


bn an

a0/2称为信号的直流分量，
An cos(n0 t + n) 称为信号的n次谐波分量。
n=
n
n1

C0
Cne jn0t Cne jn0t
n1
令
Cn

an
jbn 2
则有
Cn

an
jbn 2
三角形式傅里叶级数

x(t) Cn
n=
e jn0t

a0 2


(an cos n0t bn sin n0t)
n1
0
-1
x(t)
t
1
...
T t
0
-1
...
T t
...
T t
x(t) 1
0.25
0
-1 x(t)
1
0
-1
x(t)
…1
...
T
t
0
-1 x(t)
1
...
T
0
t
-1
...
T t
...
T t
t
傅里叶（ Fourier, 1768-1830 ）
法国数学家、物理学家。主要贡献是在研究热的传播 时创立了一套数学理论。
t2 t1
fi (t) f j(t)dt

m

信号与系统连续周期信号的频域分析

信号与系统连续周期信号的频域分析

信号与系统连续周期信号的频域分析频域分析是信号与系统中一种重要的分析方法，用于研究信号的频谱特性。

连续周期信号是一种在时间域上具有周期性的信号，其频域分析包括傅里叶级数展开和频谱图表示。

傅里叶级数展开是一种将连续周期信号分解为若干个频率成分的方法。

对于周期为T的连续周期信号x(t)，其傅里叶级数展开可以表示为：x(t) = ∑[Cn * exp( j *2πn/T * t )]其中，Cn为信号中频率为n/T的分量的振幅，j为虚数单位。

通过计算信号的傅里叶系数Cn，可以得到信号的频率成分和其对应的振幅。

在频域分析中，经常使用的一个重要工具是频谱图。

频谱图是一种将信号在频域上进行可视化展示的方法，通过绘制信号的频谱，可以直观地观察到信号的频率信息。

频谱图中的横轴表示频率，纵轴表示振幅。

对于连续周期信号，其频谱图是离散的，只有在频率为基频及其倍数的位置上有分量值。

基频是连续周期信号的最低频率成分，其他频率成分都是基频的整数倍。

频谱图中的峰值代表了信号在不同频率上的能量分布情况，而峰值的高度代表了对应频率上的振幅大小。

通过分析频谱图，可以获得信号中各个频率成分的相对强度，从而对信号进行进一步的特征提取和处理。

在实际应用中，频域分析经常用于信号处理、系统建模和通信等领域。

例如，在音频处理中，通过频域分析可以实现音频信号的降噪、音乐特征提取和音频编码等任务。

在通信系统中，频域分析可用于频率选择性衰落信道的估计和均衡、多载波调制技术等。

总结起来，频域分析是信号与系统中对连续周期信号进行分析的重要方法。

通过傅里叶级数展开和频谱图表示，可以揭示信号的频率成分及其振幅特性，为信号处理和系统设计提供依据。

连续周期信号的频谱

连续周期信号的频谱

2
2
x(t)
3 0
t
-3
根据指数形式傅里叶级数的定义可得
C1
1 2
ej4 ,
C1
1 2
e j4 ,
C3 ej2 ,
Cn 0, n 1；n 3.
C3 e j2
连续周期信号的频谱
x(t)
3 0
t
-3
x(t) cos(0t 4) 2cos(30t 2)
C1
1 2
ej4 ,
C1
1 2
e j4 ,
C3 ej2 ,
C3 e j2
Cn 0, n 1；n 3.
| Cn |
幅度谱
1
1
1
1
2
2
30
0 0 0
30
n
4 相位谱
2
30
0
0 0
302Leabharlann 4连续周期信号的频谱
~x(t) A
Cn
A
T0
Sa( n0 )
2
Cn AT0
T0
O
T0
t
2
2
周期矩形信号的时域波形
2π
2π
0
0 2π T0
周期矩形信号的频谱
~x(t)
解：周期矩形信号在一个周期内的定义为：
A
A,
x(t)
0 ,
|t|
2
|t|>
2
1
Cn T0
T0 2
x(t)e jn0tdt
T0
2
1 T0
T0
2 A e jn0tdt
T0 2
T0
O
T0
t
2
2

连续时间信号的频域分析及Matlab实现

连续时间信号的频域分析及Matlab实现
f= 1/2*exp(-t)*heaviside(t)+1/2*exp(t)*heaviside(-t)
function CTF3()
1/2 exp(-2 t) heaviside(t)
syms t v w x;
F = fourier(x);
0.4
x = 1/2*exp(-2*t)*sym('Heaviside(t)');0.2

fliplr例子
6 4
>> n = 0:4; >> a = [5 4 3 2 1]; >> subplot(2,1,1),stem(n,a);
2
>> b = fliplr(a);
>> k = -4:4; >> c = [b,a(2:end)];
0 -5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
4
>> subplot(2,1,2),stem(k,c);
0 0 0.5 1 t 1/2/abs(2+i w) 0.25 0.2 0.15 0.1 -6 -4 -2 0 w 2 4 6 1.5 2
subplot(2,1,1);
ezplot(x); subplot(2,1,2);
ezplot(abs(F));
f(t) = u(t+1) - u(t-1) 1
function [A_sym,B_sym] = CTF2()
syms t n k x T = 5; tao = T/5; a = 0; Nf = 16; Nn = 32; x1 = sym('Heaviside(t+0.5)')*h; x = x1 - sym('Heaviside(t-0.5)')*h; A0 = 2*int(x,t,-a,T-a)/T;%求出三角函数展开系数A0

周期信号的频域分析

周期信号的频域分析

周期信号的频域分析周期信号是指在一定时间间隔内，信号的波形和幅度重复的一种信号。

频域分析是指将一个信号从时域（时间域）转换到频域（频率域），以便更好地理解信号的频率特性和频谱分布。

f(t) = a0 + ∑(an*cos(nω0t) + bn*sin(nω0t))其中，a0为直流分量，an和bn分别为傅里叶级数的系数，ω0 =2π/T为基础角频率。

要进行频域分析，首先需要计算出信号的傅里叶系数an和bn。

计算步骤如下：1.计算直流分量a0，即信号f(t)在一个周期内的平均值。

2. 计算余弦项的系数an，使用公式：an = (2/T) * ∫(f(t)*cos(nω0t)dt)其中，∫表示对t从0到T的积分。

3. 计算正弦项的系数bn，使用公式：bn = (2/T) * ∫(f(t)*sin(nω0t)dt)同样，∫表示对t从0到T的积分。

计算出所有的an和bn之后，可以得到信号f(t)的频谱分布。

频谱是指信号在频率域上的幅度分布，可以用幅度谱和相位谱来表示。

1. 幅度谱表示信号各个频率分量的幅度大小。

幅度谱可以通过计算an和bn的幅度来得到，即幅度谱A(f) = sqrt(an^2 + bn^2)。

2. 相位谱表示信号各个频率分量的相位差。

相位谱可以通过计算an 和bn的相位差来得到，即相位谱ϕ(f) = atan(bn/an)。

通过这些计算，我们可以获得信号在频域上的频谱分布，进一步分析信号的频率特性。

频域分析的应用十分广泛。

在通信系统中，频域分析可以用于分析信号的频率偏移、频率响应等问题，为系统的调试和优化提供依据。

在音频和视频信号处理中，频域分析可以用于音频信号的均衡和滤波，视频信号的去噪和增强等。

此外，频域分析还在图像处理、生物医学信号处理等领域得到广泛应用。

总之，周期信号的频域分析是一种将信号从时域转换到频域的方法，可以帮助我们更好地理解信号的频率特性和频谱分布。

通过计算傅里叶系数，可以得到信号的幅度谱和相位谱，从而分析信号在频域上的特性。

连续周期信号的频域分析

连续周期信号的频域分析

三、周期信号的频谱及其特点
3. 频谱的特性
(3) 信号的有效带宽
0~2 / 这段频率范围称为周期矩形脉冲信号的 有效频带宽度,即 2π B

信号的有效带宽与信号时域的持续时间成反比。 即 越大，其B越小；反之， 越小，其B 越大。
三、周期信号的频谱及其特点
3. 频谱的特性
(3) 信号的有效带宽 物理意义：在信号的有效带宽内，集中了信 号绝大部分谐波分量。若信号丢失有效带宽以 外的谐波成分，不会对信号产生明显影响。
n=—4 4
1 T /2 2 P T / 2 f (t )dt 0.2 T 包含在有效带宽(0 ~ 2 / )内的各谐波平均功率为
2 2 C0
2 | Cn | 2 0.1806
n=1
4
P 0.1806 1 90% P 0.200
例3 试求周期矩形脉冲信号在其有效带宽(0~2 /t)内
频谱的特性频谱的特性信号的有效带宽信号的有效带宽这段频率范围称为周期矩形脉冲信号的有效频带宽度有效频带宽度即信号的有效带宽与信号时域的持续时间信号的有效带宽与信号时域的持续时间成反比
连续周期信号的频域分析
周期信号的傅里叶级数展开 傅里叶级数的基本性质 周期信号的频谱及其特点 周期信号的功率谱
三、周期信号的频谱及其特点
三、周期信号的频谱及其特点
4. 相位谱的作用
幅频不变，零相位
幅频为常数，相位不变
四、周期信号的功率谱
帕什瓦尔(Parseval)功率守恒定理
2 1 T P 2T f (t ) dt Cn T 2 n 2
物理意义：任意周期信号的平均功率等于信号所 包含的直流、基波以及各次谐波的平均功率之和。

第4章 连续信号的频域分析


4. 周期的影响
信号周期T越大，W0 2 / T
就越小，则谱线越密。反之，T越小，W0越大，谱线则越疏。
▲
■
第7页
4.2 连续非周期信号的频域分析
4.2.1 从傅里叶级数到傅里叶变换
周期信号通过傅里叶级数可以用正弦型或复指数型信号来表示。由（4.1.2）式可
知，周期矩形脉冲信号离散频谱函数为：
X (nW) 2A
第4章 连续信号的频域分析
前面章节讨论了信号的时域分析，本章将研究信号 的频域（包括s域）分析及其应用。
■
第1页
4.1 连续周期信号的频域分析
• 连续周期信号的频谱是指连续周期信号中各次谐波幅值、相位随频率的变化关系。
• 4.1.1 频谱的概念
•
对周期信号的时域分析表明，一个周期信号只要满足狄里赫利条件，就可以利用正弦型信号或
4.1.2 典型连续周期信号的傅里叶级数
1．连续周期矩形方波信号
如图4-1-1所示的周期矩形方波信号，设脉冲宽度为，脉冲幅度为A，重复周期为T， 主周期为T0。将展成指数形式的傅里叶级数：
其中：
W 2f 2 , f 1
T
T
可见周期矩形脉冲信号x(t)的频谱图
是采样函数Sa。
x(t)
- /2
A /2
例4-2-1计算三角波信号的频谱
如图4-2-1所示的三角波，用数值方法和符号运算近似计算出该三角波信号的频谱。
解：（1）用数值积分近似计算三角波信号频谱
-T
0 T0
（4.1.2）
X (nW)
x(t)
X (nW)e jnWt
n
X
(nW)
1 T
T /2 T / 2

周期信号频域分析

周期信号频域分析（3-5）连续时间周期信号的傅立叶综合任何满足狄里赫利条件的周期信号，可以表示成式（3-1）或（3-5）的和式形式，式（3-1）或（3-5）成为连续时间周期信号（CTFS）综合公式。

一般说来，傅立叶级数系数有无限个非零值，即任何具有有限个间断点的周期信号都一定有一个无限项非零系数的傅立叶级数表示。

但对于数值计算来说，这是无法实现的。

在实际应用中，可以用有限项傅立叶级数求和来逼近。

即：（3-7）当值取得较大时，上式就是原周期信号的一个很好近似。

式（3-7）常称做的截断傅立叶级数表示。

MATLAB的符号积分函数int()可以用来求解连续时间周期信号的截断傅立叶级数及傅立叶表示。

求积函数int()的具体使用格式如下：a.intf=int(f,v); 给出符号表达式f对指定变量v的（不带积分常数）不定积分；b.intf=int(f,v,a,b); 给出符号表达式f对指定变量v的定积分；1、利用MATLAB实现周期信号的傅立叶级数分解与综合（1）利用MATLAB求解周期矩形脉冲傅立叶级数，并绘制出各次谐波叠加的傅立叶综合波形图。

周期矩形脉冲为，式中。

采用三角形式傅立叶级数分解与综合形式，用式（3-2）~（3-4）求出傅立叶级数分解系数，运用MATLAB的符号运算功能，用式（3-7）实现信号的综合，谐波的阶数。

（a）实现流程利用MATLAB实现上述分析过程的流程如下：∙编写子函数x=time_fun_x(t)，用符号表达式表示出周期信号在第一个周期内的符号表达式，并赋值返回给符号变量x；∙编写子函数y=time_fun_e(t)，求出该周期信号在绘图区间内的信号样值，并赋值给返回变量y；∙编写求解信号傅立叶系数及绘制合成波形图的通用CTFShchsym.m，该函数流程如下：1.调用函数time_fun_x(t)，获取周期信号的符号表达式；2.求出信号的傅立叶系数；3.求出各次谐波；4.绘制各次谐波叠加波形图；5.调用函数time_fun_e(t)，绘制原信号波形图。

连续周期信号的频域分析_第一节连续时间信号的傅里叶级数展开、第二节傅里叶级数的基本性质

连续周期信号的频域分析
周期信号的傅里叶级数展开 傅里叶级数的基本性质 周期信号的频谱及其特点 周期信号的功率谱
1
频域
频域（frequency domain）即频率域，是 指在对函数或信号进行分析时，分析其和 频率有关部份，而不是和时间有关的部份。 频域下的信号：信号在时域下的图形可以 显示信号如何随着时间变化，而信号在频 域下的图形（一般称为频谱）可以显示信 号分布在哪些频率及其比例。

2
连续信号的分解
1、连续信号分解为单位冲Hale Waihona Puke 信号的线性组合f (t )

f ( ) (t )d
利用单位冲激响应求解系统的输出信号 2、连续信号分解为一系列不同频率的正弦信号或 复指数信号的线性组合 利用频域特性求解系统的输出信号及系统函数
3
连续周期信号的频域分析
将信号表示为不同频率复指数分量的线性组合 意义：
0, i j i t j t dt K 0, i j t1
*
7
则称此函数集为在区间(t1,t2)的正交函数集
2.信号分解为正交函数

完备正交函数集
如果在正交函数集 1 t ,2 t ,...,n t 之外不存在函数
t2 * t i t dt 0 t1
2 t2 n
2
展开上式中的被积函数，并求导。上式中只有两项不为0，
2 写为： Ci Ci t2 2 2 2 C f ( t ) ( t ) C i i i (t ) dt 0 i t1
即
2 f (t )i (t )dt 2Ci i2 (t )dt 0
上的完备正交函数集。

4_3 连续周期信号的频谱

0 2 π T0

x(t)不连续时，Cn按1/n的速度衰减 x(t)连续时，一阶导数不连续时，Cn按1/n2的速度衰减
连续周期信号的频谱特性
有效带宽
~ x (t )
集中信号大多数功率的频率范围
A T0
Cn
A

T0
O
2
2π
2π

2
T0
t


0
0 2 π T0

通常将包含主要谐波分量的频率范围 (0 ~ 2π/ ) 称为周期矩形信号的有效频带宽度 B 2p 信号的有效带宽和时域持续时间成反比。
Cn
n A Sa( 0 ) T0 2
周期矩形信号的频谱
连续周期信号的频谱
[例] 计算周期三角波信号指数形式的傅里叶级数展开式。
~ x (t )

-2 1
0

2
t
解:
1 Cn T0

T0 2 T 0 2
(t )e x
jn0t
dt
1 1 1 1 0 jn0 t jn0t jn0t x ( t )e d t ( t )e d t t e dt 0 1 2 1 2
Poisson求和公式
连续周期信号的频谱
~ x (t )
A
n A Cn Sa( 0 ) T0 2
2π
A T0
Cn
2π
T0
O
2

2
T0
t


0

周期矩形信号的时域波形
~ x (t )

周期矩形信号的频谱
Cn
1/ 2
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因此，周期三角脉冲信号的指数形式傅立叶级数展开 式为
f (t )
n =
C

n
e
jn0t
1 2 j ( 2 m 1)0 t e 2 m= [(2m 1) ]2
1 T 1 n A Cn 2T f (t )e jn0t dt 2 Ae jn0t dt Sa ( 0 ) T 2 T 2 T 2
2019/1/15 信号与系统
因此，周期方波信号的指数形式傅立叶级数展开式为
f (t )
n =
C

n e
jn0t
n 1
若=T/2，则有
fT (t )
2019/1/15
A 2A 1 1 (cos 0t cos 3 0t cos 5 0t ) 2 3 5 信号与系统
例4-2 试计算图示周期三角脉冲信号的傅立叶级 数展开式。
f (t )

- 2 1
0

2
t
解:该周期信号f (t)显然满足狄里赫勒的三个条件， 必然存在傅立叶级数展开式。
1 1 T 1 0 jn0t jn0t 2 Cn T f (t )e dt ( te dt te jn0t dt) 0 T 2 2 1 0 0 jn t 1 1 jn t 1 jn0t jn0t 0 (te e dt te e 0 dt) 1 1 0 0 2 jn0
第四章 连续时间信号的频域分析
第一节 周期信号的频域分析
一、 周期信号的傅里叶级数展开
二、 周期信号的频谱及其特点 三、 傅里叶级数基本性质 四、 离散频谱与功率分配
2019/1/15 信号与系统
周期信号频域分析的意义
周期信号分析 是把信号表示为不同频率正弦分量的线性组合
（1）从信号分析的角度，几乎一切实际信号都可以

0
a 称为信号的直流分量， 2
信号与系统
An cos(n0+ n)称为信号的n次谐波分量。
2019/1/15
例4-1 试计算图示周期矩形脉冲信号的傅立叶级 数展开式。
f (t )
A
-T
0

T
t
解:该周期信号f (t)显然满足狄里赫勒的三个条件， 必然存在傅立叶级数展开式。
2019/1/15 信号与系统
2.
指数形式傅立叶级数
f (t )
jn0t C e n
连续时间周期信号可以用指数形式傅立叶级数表示为
n =
其中
1 T Cn 2T fT (t )e jn 0t dt T 2
n 1 两项的基波频率为f0，两项合起来称为信号的基波分量 n 2 的基波频率为2f0，两项合起来称为信号的2次谐波分量 n N 的基波频率为Nf0，两项合起来称为信号的N次谐波分量
2019/1/15
T 2 T 2
f (t ) sin n0tdt (n = 1,2)
信号与系统
三角形式的傅立叶级数又可写成纯余弦形式，即:
a0 f（t） An cos （n0t n） 2 n 1
中其
An
a b
2 n
2 n
bn n arctg a n
sin n0 cos n0 1 1 2019/1/15 信号与系统 (cosn 1) 2 2 2 n0 (n0 ) (n0 ) (n )
0
2 T
2 /(n ) 2 , n为奇数 Cn (cosn 1) 2 (n ) n0 1 / 2, 1
A T

n =


Sa(
n0 jn0 t )e 2
由
f (t ) C0 2 Re( Cn e jn0t )
n 1
可得，周期方波信号的三角形式傅立叶级数展开式为
f (t ) (A / T0 ) (2A / T0 )Sa (n0 / 2) cosn0t
表示为不同频率正弦分量（或指数分量）的线性组合， 这样，不同的信号都归结为正弦分量，为不同的信号 之间进行比较提供了途径。 （2）从系统分析角度，线性时不变系统在单频正弦 信号激励下的稳态响应仍是同频率的正弦信号。在多 个不同频率正弦信号同时激励下的总响应，只需利用 线性系统的迭加特性即可求得，而且每个正弦分量通 过系统后，是衰减还是增强一目了然。 2019/1/15 信号与系统
一、周期信号的傅立叶级数展开
1. 周期信号展开为傅立叶级数条件
周期信号fT(t)应满足Dirichlet条件，即： (1) 绝对可积，即满足

T /2
T / 2
f (t ) dt
(2) 在一个周期内只有有限个有限的不连续点； (3) 在一个周期内只有有限个极大值和极小值。 注意：条件（1） 为充分条件但不是必要条件； 条件（2）（3）是必要条件但不是充分条件。
物理含义：周期信号f(t)可以分解为不同频率虚指数信号之和。 Cn 为复数，可以表示成模与幅角的形式，即 2019/1/15 信号与系统
Cn Cn e jn
3. 三角形式傅立叶级数
若f(t)为实函数，则指数Fourier级数展开式中的系数满足
Cn C n
利用这个性质可以将指数Fourier级数表示写为
C0 a0 2
整理后得三角形式傅立叶级数，为
a0 f (t ) (an cos n0t bn sin n0t ) 2 n1
2 T 其中：a0 2T f (t )dt T 2
2 T an 2T f (t ) cosn0tdt (n = 1,2) T 2 2 bn T
f (t ) C0
C0 Cn e jn0t Cn e jn0t
n 1
n

1
Cn e
Hale Waihona Puke jn0t Cn e jn0t
n 1



Cn an jbn 2
C0 2 Re( Cn e jn0t )
n 1

由于Fourier级数的系数Fn一般为复数，记 由于 C0是实的，所以b0=0，故 2019/1/15 信号与系统