计算流体力学清华大学完整版共351页

V
dV
0
空间位置固定的无穷小微团模型 V 0 t
随流体运动的无穷小微团模型
方程不同形式之间的转换
空间位置固定的有限控制体模型 tV dVSVdS0
空间位置固定的无穷小微团模型 V 0 t
方程不同形式之间的转换
空间位置固定的无穷小微团模型 V 0 t
随流体运动的无穷小微团模型
流动控制方程经常用物质导数来表达。
物质导数（运动流体微团的时间变化率）
采用流体微团模型来理解物质导数的概念：
沿流线运动的无穷小 流体微团，其速度等 于流线上每一点的当
物质导数（运动流体微团的时间变化率）
流体微团在流场中的运动－物质导数的示意图
物质导数（运动流体微团的时间变化率）
考虑非定常流动：
随流体运动的无穷小微团模型
动量方程
作用在流体微团上的体 积力的X方向分量＝
fxdxdydz
随流体运动的无穷小微团模型
动量方程
作用在流体微 团上的X方向的 压力＝
动量方程
作用在流体微 团上的X方向的 正应力＝
动量方程
作用在流体微 团上的X方向的 切应力＝
动量方程
作用在流体微 团上的X方向总 的表面力＝
t
或
txuyv zw0
空间位置固定的无穷 小微团模型
空间位置固定的无穷小微团模型
连续性方程：
txuyv zw0
或
V0
t
空间位置固定的无穷 小微团模型
随流体运动的无穷小微团模型
随流体运动的无穷小微团模型
连续性方程 流体微团的质量：
质量守恒定律
随流体运动的无穷小 微团模型
随流体运动的无穷小微团模型
流体微团在流场中的 运动－物质导数的示 意图

3.1 流体运动的描述方法第3章 流体运动学本章： 描述流体运动的方法，流动的分类 ； 流体微团运动分析； 连续性方程。

3.1.1 拉格朗日法（质点法）：研究流体质点的运动规律，综合得到流体的整体运动规律物理学里质点群的运动： r r rk = rk (t ) ，即 xk = xk(t)，yk = yk(t)，zk = zk(t) （k = 1，……，n）质点速度 即ukxr dr r uk = k ， dt dx k dyk dz k = ，uky = ，ukz = dt dt dt2课件制作： 赵 昕 武汉大学水利水电学院1质点加速度r r d u k d 2rk r = ak = dt 2 dtd 2z k d 2xk d 2y k a = a = 2 ， ky 2 ， kz dt dt dt 2uy =dz z (a , b , c , t ) dy ∂y (a , b , c , t ) ， = uz = = dt ∂t ∂t dt（a, b, c不随时间变）即a kx =流体质点：无穷多个，以初始时刻的位置（a, b, c）为标记 质点轨迹 x = x (a, b, c, t) y = y (a, b, c, t) z = z (a, b, c, t) ◆ (a, b, c, t)称为拉格朗日变数质点加速度ax = ay = az =d 2 x ∂ 2 x (a , b , c , t ) = dt 2 ∂t 2 d 2y ∂ 2y (a , b , c , t ) = dt 2 ∂t 2 d 2 z ∂ 2 z (a , b , c , t ) = dt 2 ∂t 2dx ∂x (a , b , c , t ) = 质点速度 u x = dt ∂t3，43.1.2 欧拉法（流场法）：研究流动空间中各固定点上任一时刻的质点流动参数，得到流 动参数的场 ux = ux(x, y, z, t) p = p(x, y, z, t)， uy = uy(x, y, z, t) ρ = ρ(x, y, z, t)， uz = uz(x, y, z, t) …… ◆ (x, y, z, t)称为欧拉变数 ◆ 流场： 指 流动参数的上述分布规律◆ 流体力学多用欧拉法。

求导时a,b,c 作
为参数不变，意即 跟定流体质点。
u(a,b,c,t) = d r(a,b,c,t) = ∂ r(a,b,c,t)
dt
∂t
a(a,b, c,t) = d u(a, b, c,t) = ∂ u(a,b, c,t) = ∂ 2 r(a,b, c,t)
dt
∂t
∂t2
EXIT
3
若流场是用欧拉 u = u(x, y, z,t)
体质点的速度矢量。
流体的其它运动要素和物理特性也都可用相应的时间和空 间域上的场的形式表达。如加速度场、压力场等：
a = a( x,y,z,t )
p = p(x,y,z,t)
EXIT
2
拉格朗日（grange， 1736－1813，意大利)
欧拉（L.Euler, 1707-1783，瑞士）
EXIT
例 - 1 已知直角坐标系中的速度场 uxx=x+t； uyy= -y+t； uzz=0,试求t = 0 时过 M(-1,-1) 点的流线。
解
由流线的微分方程：
dx = dy = dz
ux
uy
uz
dx = dy x+t − y+t
积分
ux=x+t；uy=-y+t；uz=0
(x+t)(-y+t) = C
第三章 流体运动学
在连续介质假设下，讨论描述流体运动的方 法，根据运动要素的特性对流动进行分类。 本章的讨论是纯运动学意义上的，不涉及流 动的动力学因素。 连续方程是质量守恒定律对流体运动的一个 具体约束，也在本章的讨论范围之中。
EXIT
第三章 流体运动学
§3—1 描述流动的方法 §3—2 有关流场的几个基本概念 §3—3 流体微团运动的分析 §3—4 连续性方程

27
解：由于板在y、z方向为无限大，因此可作为一维问题 处理，即只考虑x方向。相对于无源问题，控制方程中增 加了源项。即
d dx
(k
dT dx
)

q

0
第一步：生成离散网格（先控制体后节点）,生成5个单元
aPP aWW aEE Su （2 8）
aW

w
xWP
Aw
,
aE

e

k x
A,
aP
aW
aE SP
SP


2k x
A，Su

2k x
A
TB
23
根据以上过程可以得到左右边界控制体的离散方程：
左端控制体
kA(T2

x
T1
)

kA(T1 TA ) x / 2

0
右端控制体
kA(TB x
T5
/2
)

kA(T5 T4 ) x

0
(T2 T1) (2T1 2TA ) 0 (2TB 2T5 ) (T5 T4 ) 0
计算流体力学电子教案
1
目录
• 第一章 绪论 • 第二章 扩散问题的有限体积法 • 第三章 对流扩散问题的有限体积法 • 第四章 差分格式问题 • 第五章 压力--速度耦合问题的有限体积法 • 第六章 有限体积法离散方程的解法 • 第七章 非稳态流动问题的有限体积法 • 第八章 边界条件处理
2
第二章 扩散问题的有限体积法
即
kA(T2 T1 ) x

kA(T1 TA ) x / 2

0
在上述过程中有一假定：认为A点的温度梯度dT/dx与A

阀门内部流动数值模拟(压力分布) 开度100％
开度50％
开度10％
计算流体力学的特点
Institute of Process System Engineering
优点：
流动问题的控制方程一般是非线性的，自变量多，计算域的几何形 状和边界条件复杂，很难求得解析解。用CFD方法则有可能找到满 足工程需要的数值解。 选择不同流动参数，试验物理方程中各项的有效性和敏感性，即利 用计算机进行各种数值试验，开展方案比较。 不受物理模型和实验模型的限制，省钱省时，有较多的灵活性，能 给出详细和完整的资料，很容易模拟特殊尺寸、高温、有毒、易燃 等真实条件和实验中只能接近而无法达到的理想条件。
CFD方法与传统的理论分析 方法、实验测试方法组成 了研究流体流动问题的完 整体系。
单纯 实验测试
单纯 理论分析
计算流体 动力学
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“三维”流体力学示意图
3
计算流体力学的发展与应用
Institute of Process System Engineering
1960’s以来，随着在航空航天等工业领域需求的不断增长，欧美等国在CFD技 术上飞速发展。
CFD可以看做是在流动基本方程(质量守恒方程、动量守恒方程、能量 守恒方程)控制下对流动的数值模拟。
通过这种数值模拟，可以得到极其复杂问题的流场内各个位置上的基 本物理量(如速度、压力、温度、浓度等)的分布，以及这些物理量随 时间的变化情况，还可据此算出相关的其他物理量。此外，与CAD联 合，还可进行结构优化设计等。
=
−
������������ ������������
+
������������������������ ������������

v ρ 0 0 v 0 B= 0 0 v 0 0 γp v 2 u (u − a ) v − 2 2 ρ (u − a ) 1 ρu uv u2 − a2
2
0 0 1 ρ v
0 − ρva 2 u2 − a2
ϕ ϕ ϕ ∂u u = 4α 2 x ( xx − x2 ) ∂x ϕ ϕ ϕ ϕ 2ϕ ϕ ∂ 2u 2 ϕx α 2 = −2α 2 [( xx ) x − x 2 xx ) + ϕ ∂x ϕ ϕ3
代入（1－3－1） ，则得
3
2
ϕ ∂ ϕt [ − α xx ] = 0 ∂x ϕ ϕ
不妨设 ϕ 为满足抛物方程得解 ，即：
例如：以流－涡函数描述二维流动问题时有方程：
∂Ω ∂Ω ∂Ω µ ∂ 2Ω ∂ 2Ω + u + v = ( + ) ∂t ∂x ∂y ρ ∂x 2 ∂y 2 ∇ 2Ψ = Ω r r r r r ∂V ∂V ∂V ∂ 2V 1 µ ∂ 2V 又如： + u + v = − ∇p + + ( ) ∂t ∂x ∂y ρ ρ ∂x 2 ∂y 2
ρu u − a2 a2 − 2 u − a2 v u γρu 2 u − a2
求矩阵 C 的特征值得：
v ( − λ ) 2 [uv − λ (u 2 − a 2 )]2 − a 2 (u 2 + v 2 ) + a 4 = 0 u v λ1, 2 = u λ3,4 uv ± a u 2 + v 2 − a 2 = u2 − a2 ⇔ M > 1 四个实根，双曲型 双曲－椭圆型 ⇔ M < 1 两个实根，两个复根，

16
7：mesh网格文件的输出
In利stit用uteGoAf PMroBceIsTs建Sys立tem计En算gin区ee域ring和指定 边界条件类型
选择File/Export/Mesh，打开输出文件对话框。 选中复选框Export 2-D(X-Y) Mesh，输入文件名。点击Accept。 通过观察Transcript窗口，确定保存网格文件成功。 最后，保存任务文件，退出GAMBIT。
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§7 FLUENT软件应用简介
Institute of Process System Engineering
利用GAMBIT建立计算区域和指定 边界条件类型
1：文件的创建及求解器的选择 2：创建控制点 3：创建边 4：创建面 5：划分网格
6：边界条件类型的指定 7：mesh网格文件的输出
运行fluent6.3.13，出现FLUENT求解器版本的选择窗口。
2d：二维、单精度求解器 2ddp：二维、双精度求解器 3d：三维、单精度求解器 3ddp：三维、双精度求解器
本例是轴对称突扩流动的二维问题，且对解的精度要求不高， 因此选择2d求解器。
2020/1/21
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1：FLUENT求解器的选择
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2：创建控制点
In利stit用uteGoAf PMroBceIsTs建Sys立tem计En算gin区ee域ring和指定 边界条件类型
依次创建6个点（0,0,0）（0,0.1,0） （0.5,0.1,0）（0.5,0.2,0）（2,0.2,0）（2,0,0）
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Elements中，包括Quad（四边形），Tri（三角形）， 和Quad/Tri（四边形/三角形混合）

第四章 理想流体动力学
2017年春-本科生-流体力学
理想流体动力学
1
简介
理想流体是真实流体的一种近似模型，忽略粘性
0
Cv 0
m
Tij pij
理想流体（势流）
真实流体
2017年春-本科生-流体力学
理想流体动力学
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基本内容
1. 理想流体运动的基本方程和初边值条件 2. 理想流体在势力场中运动的主要性质 3. 兰姆型方程和理想流体运动的几个积分 4. 理想不可压缩无旋流动问题的数学提法和主要性质 5. 理想不可压缩无旋流动速度势方程的基本解及叠加法 6. 不可压缩流体二维流动的流函数及其性质 7. 理想不可压缩流体平面无旋流动问题的复变函数方法
2 ) V (e
1 2
V
2)
f
V
1
TV q
qR
1
T
pijeie j Vkek pViei pV
2017年春-本科生-流体力学
理想流体动力学
4
§4.1 理想流体运动基本方程和初边值条件
V V
t
V V V 1 p f
t
t
Vj
x j
V j x j
Vi t
Vj
Vi x j
理想流体动力学
11
§4.1 理想流体运动基本方程和初边值条件
例：在原无界静止的理想匀质不可压缩流体中，有一圆球作均匀膨胀，
其物面方程为 R Rb (t)
无穷远处压力 p p ，不计质量力，
Rb (t)
求：球面上的压强分布。
R
V 0
V V V 1 p
t
t 0: V 0
R : V 0 p p R Rb (t) : VR Rb (t)

《计算流体力学典型算法与算例》课程
9
3.2 压力修正技术
3.2.3 边界条件的处理 速度已知边界（固体壁面或进口）
压力已知进口边界
充分发展出口边界
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《计算流体力学典型算法与算例》课程
10
3.3 SIMPLE算法的求解步骤 SIMPLE：Semi-Implicit Method for Pressure-Linked
2020/1/29
《计算流体力学典型算法与算例》课程
23
《计算流体力学典型算法与算例》课程
7
3.2 压力修正技术
3.2.2 速度修正方程和压力修正方程 近似速度方程
速度修正方程（忽略邻节点速度修正作用）
2020/1/29
《计算流体力学典型算法与算例》课程
8
3.2 压力修正技术
3.2.2 速度修正方程和压力修正方程 压力修正方程
2020/1/29
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3.4 改进的SIMPLE算法
3.4.1 SIMPLER算法 基本步骤：
- 根据第n时间层的un、vn，计算比拟速度。 - 利用比拟速度，由压力方程迭代计算第n+1时间层的pn+1。 - 计算近似速度u*和v*。 - 利用u*和v*，迭代计算压力修正值pc。 - 计算速度修正值uc和vc。 - 计算第n+1时间层的un+1和vn+1。 - 如果未收敛，重复上述步骤。
需要修正压力场，并使得与修正后压力场对应的速度场能够满足连续方 程； - 根据修正后的压力和速度，开始新的迭代过程。
关键问题：
- 如何计算压力修正值，使得修正后的速度能够满足连续方程，即压力修 正方程的构造问题；

计算流体力学课件
• 引言 • 基本概念与原理 • 数值模拟方法 • 计算流体力学软件介绍 • 计算流体力学在工程中的应用 • 计算流体力学的未来发展与挑战
目录
Part
01
引言
流体力学的重要性
流体力学是物理学的一个重要分支，它研究流体（液体和气体）的运动规律、热力 学性质以及流体与其他物质的相互作用。
Part
04
计算流体力学软件介绍
Fluent软件介绍
1
商业化的计算流体动力学 软件
4
提供丰富的物理模型和材 料库，方便用户进行模拟 和分析
2
支持多种求解器和网格生
成技术
3
广泛应用于流体动力学模
拟、燃烧模拟等领域
CFX软件介绍
英国AEA公司开发的计算流体动 力学软件
提供丰富的物理模型和材料库， 方便用户进行模拟和分析
迭代法
通过迭代的方式求解离散 化的方程组，得到数值解 。
有限差分法
有限差分法的基本思想
将偏微分方程转化为差分方程，通过 求解差分方程得到数值解。
有限差分法的步骤
建立差分方程、求解差分方程、误差 估计等。
有限元法
有限元法的基本思想
将连续的物理量离散为有限个单元，通过求解每个单元的近似解得到整个问题 的数值解。
规模的流动模拟。
大涡模拟
总结词
大涡模拟是一种针对湍流中大尺度涡旋进行模拟的方法，通过过滤掉小尺度涡旋 的影响，降低计算量。
详细描述
大涡模拟只关注大尺度涡旋的运动规律，忽略小尺度涡旋的影响。这种方法能够 显著减少计算量，适用于较大尺度的流动模拟。然而，由于忽略了小尺度涡旋的 影响，大涡模拟的精度和适用范围有限。
水流模拟

2020/1/29
《计算流体力学典型算法与算例》课程
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3.4 改进的SIMPLE算法
3.4.1 SIMPLER算法 基本思路：压力修正值只用来修正速度场，而与之协调的压力场则 利用速度场由动量方程构造求解。 基本方程：
- 比拟速度方程
- 压力方程
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《计算流体力学典型算法与算例》课程
- 界面上值用节点上值来表示
动量方程（y方向）
2020/1/29
《计算流体力学典型算法与算例》课程
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3.2 压力修正技术
3.2.1 压力修正的基本思路和步骤
基本步骤：
- 首先预测一个压力场； - 根据压力场，求解动量方程，得到速度场； - 由于速度是根据不准确的压力场得到的，未必能够满足连续方程，因此
Equations 基本步骤
根据第n时间层的un、vn和pn，计算近似速度u*和v*。 利用u*和v*，迭代计算压力修正值pc。 计算速度修正值uc和vc。 计算第n+1时间层的un+1和vn+1。 计算第n+1时间层的pn+1，通常选取压力松弛系数ap <1。
如果未收敛，重复上述步骤。
12
3.4 改进的SIMPLE算法
3.4.1 SIMPLER算法 基本步骤：
- 根据第n时间层的un、vn，计算比拟速度。 - 利用比拟速度，由压力方程迭代计算第n+1时间层的pn+1。 - 计算近似速度u*和v*。 - 利用u*和v*，迭代计算压力修正值pc。 - 计算速度修正值uc和vc。 - 计算第n+1时间层的un+1和vn+1。 - 如果未收敛，重复上述步骤。

●真实可靠、是发现流动规律、检验理论和为流体机 械设计提供数据的基本手段。
●实验要受测量技术限制，实验周期长、费用高。
☆ 理论研究 ●在研究流体流动规律的基础上，建立了流体流动基 本方程。 ●对于一些简单流动，通过简化求出研究问题的解析 解。
计算流体力学
●对于实际流动问题，通常需运用流体力学基本方程， 借助于计算机求数值解（计算机数值模拟）— 计算流体力学CFD。
Z
skirt.plt X Y
75 50 25
0 -25 -50 -75
-2
Y(M) 0
2
0 2 4 6 10 8 X(M) 12 14
D) 16 Feb 2003 Velocity Vectors
4.5
4 velocity.plt
3.5
3
2.5
2
1.5
Z
Z
(3D) 16 Feb 2003 IJK-Ordered DZ ata
ijkcyl.plt X Y
Z
-0.4 -0.2 Y0 0.2 0.4
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0 -0.4 -0.2 0 X 0.2 0.4
Z
jetflow.plXt Y
0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
0 0 Y0.1 0.2
-0.6 -0.4 -0.2 0 X 0.2 0.4 0.6
轴流叶轮计算与实验叶片表面极限流线
计算流体力学
轴流叶轮计算与实验性能比较
计算流体力学
轴流叶轮计算与实验流场结构比较
计算流体力学
第二章 流体力学数值计算数学模型及定解条件
☆本章所涉及的基本方程有两类： ●流体力学基本方程，基本出发点：质量守恒、动量守恒和能

数值(shù zí)解的验证与确认：
第十八页，共351页。
流场显示(xiǎnshì)及结果分析：
第十九页，共351页。
计算流体力学(liú tǐ lì xué)的特点及意义
实验研究
优点：借助各种先进仪器，给出多种复杂流动的准确、可靠的观测结果，这些结果 对于流动机理的研究和与流体运动有关的机械和飞行器的设计具有不可替代的作用。
缺点：费用高昂，周期很长，有些流动条件难以通过实验手段来模拟。
理论(lǐlù n)研究
优点：可以给出具有一定适用范围的简洁明了的解析解或近似解析解，这些解析解对于分析流动的机 理和预测流动随参数的变化非常有用。 缺点：只能研究简单流动问题，能够得到解析解的流动问题为数不多，远远不能满足工程设计的需要。
第六，数值解的显示和评估 计算感兴趣的力、力矩等； 应用流场可视化软件对流(duìliú )场进行显示、分析； 对数值方法和物理模型的误差进行评估等。
第十一页，共351页。
计算流体力学典型(diǎnxíng)流程
物
数
理
学
(w
模
ùl
型
ǐ)
模
型
结
流
果
场
分
显
析
示
离
网
散
格
方
生
法
成
选
择 时、空离散
解
验
代 边界条件离散
第七页，共351页。
计算流体力学(CFD)：通过数值方法求解流体力学控制方 程，得到流场的离散的定量描述，并以此预测流体运动 规律的学科。
在CFD中， 首先，把控制方程中的积分、微分项近似(jìn sì)地表示 为离散的代数形式，把积分、微分形式的控制方程转化 为一组代数方程，这个过程称为控制方程的离散化 (discretization)；所采用的离散化方法称为数值方法或 数值格式。

第三章流体动力学的基本原理2017年春-本科生-流体力学流体动力学基本原理12•流体运动学–几何和分析的方法，流动形态的描述–不涉及运动的原因•流体动力学–考虑作用在流体上的力三大守恒原理流体的运动流体动力学的基本方程微分型：流体微团，流场的细节积分型：系统，总体性能第三章流体动力学的基本原理流体动力学基本原理2017年春-本科生-流体力学基本内容⏹流体动力学积分型基本方程⏹积分型守恒方程的应用⏹流体动力学微分型基本方程⏹流体静力学2017年春-本科生-流体力学流体动力学基本原理3*()t 流体动力学基本原理4三大守恒定律：质量体实际流动问题：控制体一. 质量体和控制体（1）质量体（闭系统）–定义：流场中封闭流体面所包含的流体称为质量体–性质：质量体的边界随流体一起运动，其形状和大小随时间变化；质量体的边界面上无质量交换；质量体的边界面上与外界有力的相互作用和能量交换Lagrange 方法！*()D t 2017年春-本科生-流体力学（2）控制体（开系统）–定义：被流体所流过的、由相对于某一参考系不随时间变化的封闭曲面包含的流体称为控制体。

–性质：控制体的几何外形和体积相对于选定的坐标系不变在控制面上可以有质量交换；在控制面上控制体内流体与外界有力的相互作用和能量交换Euler方法！D t()()t流体动力学基本原理52017年春-本科生-流体力学随体导数局部导数输运公式质量体控制体经典定理应用方便研究实际问题方便流体动力学基本原理72017年春-本科生-流体力学流体动力学基本原理()0*D t D=()0*t ∑=∑()0*D t t +∆t ∆Vn()*D t∑(),tρx流体动力学基本原理流体动力学基本原理()*D t (),t f x nT (),t V x (),t ρx流体动力学基本原理()*D t (),t f x nT (),t V x (),t ρx流体动力学基本原理24问题：该极限过程能否导致无限细的流管与轴心流线最终相互等同Why?如果无限细涡管最终逼近成为轴心涡线，在ABC 流动中，该微元涡管的强度必定为零。

层流（laminar flow）：流速 较低，红墨水迹线平稳。水质 点沿轴向分层平稳流动。
不稳定流动：红墨水迹线波动。 水质点不稳定，有轴向和垂向 的分速度。
湍流(turbulent flow)：流速超 过某值时，红墨水迹线破裂。 各层流体质点相互掺混，出现 不规则、随机脉动速度。
laminar
实验表明：粘性流动存在两种
vr va,b,c,t
ta,b,c
加速度：
av aa,b,c,t
ta,b,c .
7
3.2.2 Euler法
基本思想：考察空间每一点上的物理量及其变化。 所谓空间一点上的物理量是指占据该空间点的流体质点的物理量。
独立变量：空间点坐标 (q1,q2,q3)
vv(q1,q，2,q3,t) p ，p(q1,q2,q3,t) (q1,q2,q3,t)
流体质点和空间点是二个完全不同的概念。
3.2.3 质点导数
——流体质点的物理量对时间的变化率。
Lagrange法： 若 B a ,b ,c ,t v (a ,b ,c ,t)
v(a,b,c,t)a(a,b,c,t) （质点加速度）
t
.
8
Euler法：
时t刻位于空间点 M的(r流)
体质点经 时间后t 物理量
h 11 ,h 2R ,h 3R sin
D Dt tvR RvR Rsvin.
aR a a
Dv R Dt Dv Dt Dv
Dt
v2 R v v R R vR v
R
v2
R v2 ctg
R v v ctg
R
11
3.3 流体运动的描述
1. 定常、非定常流动（steady and unsteady flow)

可利用计算机进行各种数值试验，例如，选择不同流动参数进行 物理方程中各项有效性和敏感性试验，从而进行方案比较
它不受物理模型和实验模型的限制，省钱省时，有较多的灵活性， 能给出详细和完整的资料，很容易模拟特殊尺寸、高温、有毒、 易燃等真实条件和实验中只能接近而无法达到的理想条件。
8
数值解法是一种离散近似的计算方法，依赖于物理上合理、数学上适 用、适合于在计算机上进行计算的离散的有限数学模型，且最终结果 不能提供任何形式的解析表达式，只是有限个离散点上的数值解，并 有一定的计算误差。
对于初始条件和边界条件的处理，直接影响计算结果的精度。
16
划分计算网 采用数值方法求解控制方程时，都是想办法将控制方程在空间区
域上进行离散，然后求解得到的离散方程组。要想在空间域上离 散控制方程，必须使用网格。现已发展出多种对各种区域进行离 散以生成网格的方法，统称为网格生成技术。
不同的问题采用不同数值解法时，所需要的网格形式是有一定区 别的，但生成网格的方法基本是一致的。目前，网格分结构网格 和非结构网格两大类。简单地讲，结构网格在空间上比较规范， 如对一个四边形区域，网格往往是成行成列分布的，行线和列线 比较明显。而对非结构网格在空间分布上没有明显的行线和列线。
数学模型就好理解了，就是对物理模型的数学描写。 比如N-S方程就是对粘性流体动力学的一种数学描写，值得注意的是，数学 模型对物理模型的描写也要通过抽象，简化的过程。
14
建立控制方程 确立初始条件及边界条件 划分计算网格，生成计算节点
建立离散方程
离散初始条件和边界条件
给定求解控制参数
解收敛否
否
显示和输出计算结果
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给定求解控制参数 在离散空间上建立了离散化的代数方程组，并施加离散化的

矢量场中的旋度相当于标量场中的梯度。
①在直角坐标系中：A P(x, y, z)i Q(x, y, z) j R(x, y, z)k
i rotA
x P
jk y z Q R 第18页/共56页
（21）
一、向量分析初步
5、向量场的环量及旋度
rot A 0 有旋运动， rot A 0 无旋运动。应当指出，流体微团 是否作有旋运动，需视微团是否围绕着通过流体微团的瞬时 轴旋转，而并非决定于流体微团轨迹的几何形状。
a(t) ax (t)i ay (t) j az (t)k （10） 结论：
向量导数在坐标轴上的投影等于相应的向量投 影的导数。
向量的导数在几何上为一切向矢量。
da(t) a(t) dt
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一、向量分析初步
2、向量函数对于数变量的导数
一个流体微团在空间的位置可用坐标 x, y, z 确定，也可用向径确定：
一、向量分析初步
2、向量函数对于数变量的导数
da(t) lim a(t) dt t0 t
lim
t0
ax (t t
)
i
ay (t) t
j
az (t) t
k
dax (t) i day (t) j daz (t) k
dt
dt
dt
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一、向量分析初步
2、向量函数对于数变量的导数
dx i dt
dy dt
j
dz dt
k
vxi vy j vzk
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（11）
一、向量分析初步
3、数量场的梯度
若在数量场 x, y, z 中的一点 p
处，存在着矢量 G ，其方向为函数