下载文档原格式
11年数学真题答案解析近年来，数学一直是学生们备考过程中最为重要的科目之一。
而在准备阶段，对历年真题的练习和解析更是必不可少的。
本篇文章将对2011年的数学真题进行解析，帮助学生们理解题目的解题思路和方法，提高数学解题能力。
第一题：已知等差数列$\{a_n\}$的公共差为$d$，且$a_1 + a_7 = 12$，求$a_2 + a_5$。
解析：根据题目给出的条件，我们可以列出方程组：$\begin{cases} a_1+a_7 =12 \\ a_1+6d+a_1+4d=12\end{cases}$解得$a_1=12-7d$。
同时，我们知道等差数列的通项公式为$a_n=a_1+(n-1)d$，将$n=2,5$代入得到：$a_2=a_1+d=12-6d$，$a_5=a_1+4d=12-3d$。
所以$a_2+a_5=(12-6d)+(12-3d)=24-9d$。
第二题：已知等比数列$\{b_n\}$的公比为$q$，且$b_1=3$，$b_4=24$，求$q$。
解析：根据等比数列的通项公式$b_n=b_1\cdot q^{n-1}$，我们可以列出方程组：$\begin{cases} b_1=3 \\ b_4=24 \end{cases}$代入公式得到：$b_1\cdot q^0=3$，$b_1\cdot q^3=24$。
化简得到：$q=3$，$q^3=8$。
所以公比$q$应满足方程$q^3=8$，解得$q=2$。
第三题：已知函数$f(x)=2x-3$，求函数$g(x)$，使得$g(f(x))=f(g(x))$。
解析：将函数$g(x)$的表达式设为$g(x)=ax+b$，代入$g(f(x))=f(g(x))$得到：$g(2x-3)=2(ax+b)-3$，$2(ax+b)-3=2x-3$。
比较系数解得$a=1$，$b=0$。
所以函数$g(x)=x$满足条件$g(f(x))=f(g(x))$。
通过以上解析，我们可以看到解题的关键在于根据已知条件构建方程或等式，然后通过代入或化简等方法求解未知量或未知函数。
26题：削弱答案A，比较简单27题：数学类推理问题是问哪个不真，甲是先升后降，乙是先降后升，所以甲的最低点在第6月份，乙的最高点在第6月份，所以直接答案E。
28题：关系命题推理赵元的同学都是球迷，赵元在科技园的同事都不是球迷，这里能够得到赵元的同学与赵元在科技园的同事没有交集，所以李雅是赵元的同学能够得到他是球迷，又是同事，那么肯定不会在科技园上班，答案C。
29题：数学类推理注意问题，可能不的反面是一定违反，所以答案要选一定违反规定的。
非商用车的尾号总共10个数字，每两个一组，全部覆盖了周一至周五。
所以，如果有六台车，尾号不同，即由6个不同的尾号数字。
按规定，周一到周五，要禁止两个数字的尾号，因为6个不同的号码，所以至少会有一天会禁止其中的2个号码，那么就会至少有一天，最多有4辆车可以开。
答案E。
30题：语义理解题干说的是通过各国的选拔赛来选拔选手，答案A说明W在选拔赛中成绩优于U，那么按题干应该选择W，但结论是选择的U，所以与题干不符合。
答案A。
31题：语义理解比较简单，答案C32题：假言根据肯定充分条件推出肯定必要，否定必要推出否定充分，I是肯定必要推理，所以错，II 否定了必要条件推出否定充分，能够得到所有欧洲国家财政危机没有度过。
但题干给的是有的欧洲国家没有度过财政危机，所以也不能选，因为题目问的是最准确的表达了上述断定的是。
答案E33题：不能加强注意问题是有助于得出被核污染的水已经排入大海的结论，除了.答案E说的是核电站的防护壳破裂，一场核灾难危在旦夕，只能说明将会发生，而不能说明已经排入，所以答案E。
34题：假言+语义理解题干断定说是只要她不违规，那么就能获得金牌，现在没有得到金牌，那就意味着她违规了，问题是问除了，所以只要找不是她违规的选项就OK，答案B说的是其教练，所以不是原因。
35题：加强题目是要加强学者的观点，学者观点是题干最后一句话。
既该国决策层把稳定物价作为首要任务，而把经济的回落控制在可以接受的范围。
2011年全国高中数学联合竞赛一试试题（A 卷） 考试时间：2011年10月16日 8：00—9：20一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分．把答案填在横线上． 1． 设集合{}1234A a a a a =，，，，若A 中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为{}1358B =-，，，，则集合A = ．【解析】 {3026}-，，，显然，在A 的所有三元子集中，每个元素均出现了3次，所以 12343()(1)35815a a a a +++=-+++=，故12345a a a a +++=，于是集合A 的四个元素分别为5(1)653255--=-=-，，=0，5-8=-3，因此，集合{3026}A =-，，， 2．函数()f x =的值域为 ．【解析】((1)-∞+∞，，设ππtan 22x θθ=-<<，，且π4θ≠，则111cos ()πtan 1sin cos )4θf x θθθθ===---．设π)4u θ=-，则1u <≤，且0u ≠，所以1()((1)f x u =∈-∞+∞，，．3．设a b ，为正实数()()23114a b ab a b+-=≤，则log a b = ． 【解析】 1-由11a b+≤，得a b +≤．又2222()4()44()48()a b ab a b ab ab ab +=+-=+⋅≥，即a b +≥， ①于是a b +=， ②再由不等式①中等号成立的条件，得1ab =．与②联立解得11a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，或11a b ⎧=⎪⎨⎪⎩，，故log 1a b =-．4．如果()5533cos sin 7sin cos θθθθ-<-，[)02πθ∈，，那么θ的取值范围是 ． 【解析】 π5π44⎛⎫⎪⎝⎭，不等式55cos sin θθ-<337(sin cos )θθ-等价于353511sin sin cos cos 77θθθθ+>，又351()7f x x x =+是()-∞+∞，上的增函数，所以sin cos θθ>，故π5π2π2π+()44k θk k +<<∈Z ．因为[02π)θ∈，，所以θ的取值范围是π5π44⎛⎫⎪⎝⎭，．5．现安排7名同学去参加5个运动项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案数为 ．（用数字作答）【解析】 由题设条件可知，满足条件的方案有两种情形：（1）有一个项目有3人参加，共有31755!5!3600C C ⋅-⋅=种方案；（2）有两个项目各有2人参加，共有2227551()5!5!114002C C C ⋅⋅-⋅=所以满足题设要求的方案数为3600+11400=15000．6． 在四面体中ABCD ，已知60ADB BDC CDA ∠=∠=∠=︒，3AD BD ==，2CD =，则四面体ABCD 的外接球的半径为 ．【解析】设四面体ABCD 的外接球球心为O ，则O 在过ABD △的外心N 且垂直于平面ABD 的垂线 上．由题设知，ABD △是正三角形，则点N 为ABD △的中心．设P N ，分别为AB CD ，的中点，则N 在DP 上，且ON DP OM CD ⊥⊥，．P NMCDBOAcos sin θθ=在DMN △中，12213233DM CD DN DP ===⋅==，．由余弦定理得2221212MN =+-⋅=，故MN四边形DMON的外接圆的直径sin MNOD θ=== 故球O的半径R =7．直线210x y --=与抛物线24y x =交于A B ，两点，C 为抛物线上的一点，90ACB ∠=︒，则C点的坐标为 ．【解析】 ()12-，或()96-，设21122()()(2)A x y B x y C t t ，，，，，，由22104x y y x --=⎧⎨=⎩，，得2840y y --=，则128y y +=，124y y ⋅=-．又11222121x y x y =+=+，，所以12121212122()21842()11x x y y x x y y y y +=++=⋅=⋅+++=，．因为90ACB ∠=︒，所以0CA CB ⋅=，即有 221212()()(2)(2)0t x t x t y t y --+--=， 即42141630t t t ---=，即2(43)(41)0t t t t 2++--=．显然2410t t --≠，否则22210t t -⋅-=，则点C 在直线210x y --=上，从而点C 与点A 或点B 重合．所以2430t t ++=，解得1213t t =-=-，． 故所求点C 的坐标为()12-，或()96-，．8．已知()200200C 1295nnn n a n -==，，，，则数列{}n a 中整数项的个数为 ． 【解析】 152004005π36200C2n n n a --=⋅⋅要使(195)n a n ≤≤为整数，必有200400536n n--，均为整数，从而6|4n +． 当28142026323844505662687480n =，，，，，，，，，，，，，时，200400536n n--和均为非负整数，所以n a 为整数，共有14个．当86n =时，86385200C 32n a -=⋅⋅，在86200200!C 86!114!=⋅中， 200！中因数2的个数为2345672002002002002002002001972222222⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤++++++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 同理可计算得86！中因数2的个数为82，114！中因数2的个数为110， 所以86200C 中因数2的个数为197-82-110=5，故86a 是整数．当92n =时，92361092200C 32a -=⋅⋅，在92200200!C 92!108!=中，同样可求得92！中因数2的个数为88，108！中因数2的个数为105，故86200C 中因数2的个数为197-88-105=4，故不是整数． 因此，整数项的个数为14115+=．二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9． （本小题满分16分）设函数()()lg 1f x x =+，实数()a b a b <，满足()12b f a f b +⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，()106214lg2f a b ++=，求a b ，的值． 【解析】 ∵1()()2b f a f b +=-+，∴11|lg(1)||lg(1)||lg()||lg(2)|22b a b b b ++=-+==+++， ∴12a b +=+或(1)(2)1a b ++=，又∵a b <，∴12a b +≠+，∴(1)(2)1a b ++=．………………4分又由()|lg(1)|f a a =+有意义知01a <+，从而0112a b b <+<+<+，于是0112a b <+<<+．所以10(10621)110(1)6(2)6(2)12a b a b b b +++=+++=++>+．…………8分从而1010(10621)|lg[6(2)]|lg[6(2)]22f a b b b b b ++=++=++++．又(10621)412f a b g ++=，所以10lg[6(2)]4lg22b b ++=+，故106(2)162b b ++=+．……………………12分解得13b =-或1b =-（舍去）．把13b =-代入(1)(2)a b ++1=解得25a =-．所以2153a b =-=-，．10．（本小题满分20分）已知数列{}n a 满足：123a t =-（t ∈R 且1t ≠±）．()()()1*12321121n n n n n n ta t t a n a t ++-+--=∈+-N⑴ 求数列{}n a 的通项公式； ⑵ 若0t >，试比较1n a +与n a 的大小．【解析】 （1）由原式变形得112(1)(1)21n n n n n t a a a t ++-+=+-，则112(1)12(1)1112121n n n n n nn n n a a a t a t a t t +++++-==+-+-+-． 记11n n n a b t +=-，则11121222211n n n b a t b b b t t ++-====+--，．………………5分 又111111122n n b b b +=+=，，从而有1111(1)22n nn b b =+-⋅=， 故121n n a t n+=-，于是有2(1)1n n t a n -=-．……………………10分 （2）112(1)2(1)1n n n n t t a a n n-+---=-+ 11112(1)[(1)(1)(1)](1)2(1)2(1)[(1)[(1)()()](1)(1)n n n n n n n n n t n t t t n t t n n t t nt t tt t t t t nn n n -----=++++-+++++--=-+++=-+-++-++11．（本小题满分20分）作斜率为13的直线l 与椭圆22:1364x y C +=交于A B ，两点（如图所示），且(P 在直线l 的左上方．⑴ 证明：PAB △的内切圆的圆心在一条定直线上； ⑵ 若60APB ∠=︒，求PAB △的面积．【解析】 ⑴ 设直线11221:()()3l y x m A x y B x y =+，，，，．将13y x m =+代入221364x y +=中，化简整理得2226930x mx m ++-=．于是有2121293632m x x m x x -+=-=，，PA PB k k ==……………………5分则PA PB k k +==，上式中，分子122111((33x m x x m x =+-++-12122222()32936(3)323123120x x m x x m m m m m m m =+-+--=⋅+---=--+-+=，从而，0PA PB k k ==．又P 在直线l 的上方，因此，APB ∠的角平分线是平行于y 轴的直线，所以PAB △的内切圆的圆心在直线x =10分（2）若60APB ∠=︒时，结合（1）的结论可知PA PB k k = 直线PA的方程为：y x =-，代入221364x y +=中，消去y 得1418(130x x +-+-=．它的两根分别是1x和1x ⋅，即1x =所以1|||PA x -= ．…………15分同理可求得||PB =．所以11||||sin6022PAB S PA PB =⋅⋅⋅︒=△．…20分2011年全国高中数学联合竞赛加试试题（A 卷） 考试时间：2011年10月16日 9：40—12：10一、（本题满分40分）如图，P Q ，分别是圆内接四边形ABCD 的对角线AC BD ，的中点．若BPA DPA ∠=∠，证明：AQB CQB ∠=∠．ABCDQEPFQDCB A【解析】 延长线段DP 与圆交地另一点E ，则CPE DPA BPA ∠=∠=∠，又P 是线段AC 的中点，故AB CE =，从而CDP BDA ∠=∠．………………10分又ABD PCD ABD PCD ∠=∠△△，所以，于是AB PCBD CD=，即AB CD PC BD ⋅=⋅…………………………20分从而有11()22AB CD AC BD AC BD AC BQ ⋅=⋅=⋅=⋅，即AB BQ AC CD=． 又ABQ ACD ∠=∠，ABQ ACD △△所以，所以QAB DAC ∠=∠．…………30分 延长线段AQ 与圆交于另一点F ，则CAB DAF BC DF ∠=∠=，． 又因为Q 为BD 的中点，所以CQB DQF ∠=∠．又AQB DQF ∠=∠，所以AQB CQB ∠=∠．…………40分 二、（本题满分40分）证明：对任意整数4n ≥，存在一个n 次多项式 ()1110n n n f x x a x a x a --=++++具有如下性质：⑴011n a a a -，，，均为正整数；⑵对任意正整数m ，及任意k （2k ≥）个互不相同的正整数12k r r r ，，，，均有 ()()()()12k f m f r f r f r ≠．【解析】 令()(1)(2)()2f x x x x n =++++ ①……………………10分将①的右边展开即知()f x 是一个首项系数为1的正整数系数的n 次多项式． 下面证明()f x 满足性质（2）． 对任意整数t ，由于4n ≥，故连续的n 个整数12t t ++，，t n +中必有一个为4的倍数，从而由①知()2(mod4)f t ≡……………………20分因此，对任意(2)k k ≥个正整数12k r r r ，，，，有 12()()()20(mod4)k k f r f r f r ≡≡．但对任意正整数m ，有()2(mod4)f m ≡，故 12()/()()()(mod4)k f m f r f r f r ≡，从而12()()()()k f m f r f r f r ≠．所以()f x 符合题设要求．……………………40分三、（本题满分50分）设()124n a a a n ，，，≥是给定的正实数，12n a a a <<<．对任意正实数r ，满足()1j i k ja a r i j k n a a -=<<-≤≤的三元数组()i j k ，，的个数记为()n f r ． 证明：()24n n f r <【解析】 对给定的(1)j j n <<，满足1i j k n <<≤≤，且j ik ja a r a a -=- ①的三元数组（i j k ，，）的个数记为()j g r ．…………………………10分注意到，若i j ，固定，则显然至多有一个k 使得①成立．因i j <，即i 有1j -种选法，故()1j g r j -≤．同样地，若j k ，固定，则至多有一个i 使得①成立．因k j >，即k 有n j -种选法，故()j g r n j -≤．从而()min{1}j g r j n j --≤，……………………30分因此，当n 为偶数时，设2n m =，则有 1121222121()()()()(1)(1)(2)(2)22n m m n j j jj j j mmm j j m f r g r g r g r m m m m j m j ---===-==+=+---+-=+∑∑∑∑∑≤2224n m m m =-<=．……………………40分当n 为奇数时，设21n m =+，则有12221221()()()()(1)(211)n mmn j j jj j j m mmj j m f r g r g r g r j m -===+==+=++-++-∑∑∑∑∑≤224n m =<．………………………………50分四、（本题满分50分）设A 是一个的方格表，在每一个小方格内各填一个正整数．称A 中的一个()1319m n m n ⨯≤≤，≤≤方格表为“好矩形”，若它的所有数的和为10的倍数．称A 中的一个11⨯的小方格为“坏格”，若它不包含于任何一个“好矩形”．求A 中“坏格”个数的最大值． 【解析】 首先证明A 中“坏格”不多于25个．用反证法．假设结论不成立，则方格表A 中至多有1个小方格不是“坏格”．由表格的对称性，不妨假设此时第1行都是“坏格”．设方格表A 第i 列从上到下填的数依次为129i i i a b c i =，，，，，，．记11()0129kkk i k i i i i S a T b c k ===+=∑∑，，，，，，，这里000S T ==．……………………10分我们证明：三组数019019;S S S T T T ，，，，，，及00S T +，1199S T S T ++，，都是模10的完全剩余系．事实上，假如存在09m n m n <≤≤，，，使(mod10)m n S S ≡，则10(mod10)nin m i m aS S =+=-≡∑，即第1行的第1m +至第n 列组成一个“好矩形”，与第1行都是“坏格”矛盾．………20分 又假如存在09(mod10)m n m n m n T T <≡≤≤，，，使，则1()0(mod10)niinm i m b c TT =++=-≡∑，即第2行至第3行、第1m +列至第n 列组成一个“好矩形”，从而至少有2个小方格不是“坏格”，矛盾．类似地，也不存在09m n m n <≤≤，，，使(mod10)m m n n S T S T +≡+．…………30分 因此上述断言得证．故999()01295(mod10)kkkk k k k S T ST ===≡≡+≡++++≡∑∑∑，所以999()550(mod10)k k k k k k k S T S T ===+≡+≡+≡∑∑∑，矛盾！故假设不成立，即“坏格”不可能多于25个．……………………40分另一方面，构造如下一个3×9的方格表，可验证每个不填10的小方格都是“坏格”，此时有25个“坏格”．缩上所述，50分。
2011年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷） A 卷：数学试题（文史类）本试题卷共4页，三大题21小题。
全卷满分150分，考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上。
并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷、草稿纸上无效。
3．填空题和解答题的作答：用0．5毫米黑色黑水签字笔直接在答题卡上对应的答题区域内。
答在试题卷、草稿纸上无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知{}{}{}1,2,3,4,5,6,7,8,1,3,5,7,2,4,5,U A B ===则)(B A C U = ( ) A ． {}6,8 B ．{}5,7C ．{}4,6,7D ．{}1,3,5,6,8 答：A解：A ∪B={1,2,3,4,5,7}，所以)(B A C U ={}6,8。
2．若向量())1,2,1a =-，则2a +b 与a b -的夹角等于( ) A ．4π-B C ．4π D ．34π 解：)3,3(2=+，)3,0(=，22cos =θ，所以b a +2与b a -的夹角等于4π。
故答C3．若定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足()()xf x gx e+=，则()g x =( ) A ．xxe e-- B ．1()2x x e e -+ C ．1()2x x e e -- D ．1()2x x e e -- 解：由定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足()()xf x gx e+=，可知 x e x g x f -=-+-)()(，即xe x g xf -=-)()(，两式相减，得()g x =1()2x x e e -- 。
2011年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷） 本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、 选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1） 已知全集U=R ，集合{}21P x x =∣≤，那么U P =ð(A)(,1-∞-) (B)(1,+∞) (C)（-1，1) (D)()()11-∞,-,+∞（2）复数212i i-=+ (A)i (B )i - (C)4355i -- (D)4355i -+ （3）如果1122log log 0x y <<，那么（A ）1y x << (B)1x y << (C)1x y << (D)1y x <<（4）若p 是真命题，q 是假命题，则（A ）p q ∧是真命题 (B)p q ∨是假命题题 (C)p ⌝是真命题 (D)q ⌝是真命（5）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是 (A)32(B)16+(C)48(D)16+（6）执行如图所示的程序框图，若输入A 的值为2，则输出的P 值为(A)2(B)3(C)4(D)5（7）某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元。
若每批生产x 件，则平均仓储时间为8x 天，且每件产品每天的仓储费用为1元。
为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品（A ）60件 (B)80件 （C ）100件 （D ）120件（8）已知点()()0,2,2,0A B 。
若点C 在函数2y x =的图象上，则使得ABC 的面积为2的点C 的个数为（A ）4 (B)3 (C)2 (D)1第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）在ABC 中，若15,,sin 43b B A π=∠==，则a = . （10）已知双曲线2221(0)y x b b-=>的一条渐近线的方程为2y x =，则b = .（11）已知向量),(01),(a b c k ==-=2a b -与c ，共线，则k = .（12）在等比数列{}n a 中，若141,4,2a a ==则公比q = ； 12n a a a ++⋯+= .数 若关于x 的方程()f x k = 有两个不同的实（13）已知函根，则实数k 的取值范围是 . （14）设(0,0),(4,0),(4,3),(,3)(A B C t D t t +∈R )。
(山东卷)2011年全国统一考试数学（文）全解全析版江苏省东海高级中学 夏正伟第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共l0小题．每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是满足题目要求的.1.设集合 M ={x|(x+3)(x-2)<0}，N ={x|1≤x ≤3},则N M ⋂= （A ）[1,2) (B)[1,2] (C)( 2,3] (D)[2,3] 【答案】A【解析】因为{}|32M x x =-<<，所以{}|12M N x x ⋂=≤<，故选A. 考查集合的概念和运算，容易题。
2.复数z=22ii-+(i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为 （A ）第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 【答案】D【解析】因为22(2)34255i i iz i ---===+,故复数z 对应点在第四象限,选D.考查复数的运算及几何意义，容易题。
3.若点（a,9）在函数3xy =的图象上，则tan=6a π的值为（A ）0 (B) 3【答案】D【解析】由题意知:9=3a,解得a =2,所以2tan tan tan 663a πππ===故选D.考查函数的概念，三角函数的计算，容易题。
4.曲线113+=x y 在点P(1，12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是 (A)-9 (B)-3 (C)9 (D)15 【答案】C【解析】因为23x y ='，切点为P(1,2),所以切线的斜率为3，故切线的方程为093=+-y x ，令0=x 得9=y ，故选C 。
考查函数的导数的几何意义，切线的求法，容易题。
5.已知a ，b ，c ∈R，命题“若a b c ++=3，则222a b c ++≥3”，的否命题是 (A)若a +b+c≠3，则222a b c ++<3 (B)若a+b+c=3，则222a b c ++<3 (C)若a +b+c≠3，则222a b c ++≥3 (D)若222a b c ++≥3，则a+b+c=3 【答案】A【解析】命题“若p ,则q ”的否命题是“若p ⌝,则q ⌝”,故选A.考查四种命题的结构关系，容易题。
2011年安徽省某校高三联考数学试卷（文科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分） 1. i 是虚数单位，复数z =i 2011的虚部是（ ） A 0 B −1 C 1 D −i2. 设集合P ={3, log 2a}，Q ={a, b}，若P ∩Q ={0}，则P ∪Q =( ) A {3, 0} B {3, 0, 1} C {3, 0, 2} D {3, 0, 1, 2}3. 设向量a →和b →均为单位向量，且(a →+b →)2=1，则a →与b →夹角为（ ） A π3 B π2 C 2π3 D 3π44. 已知函数f(x)是R 上的单调增函数且为奇函数，则f(1)的值（ ） A 恒为正数 B 恒为负数 C 恒为0 D 可正可负5. 若点P(1, 1)为圆(x −3)2+y 2=9的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线方程为（ ） A 2x +y −3=0 B x −2y +1=0 C x +2y −3=0 D 2x −y −1=06. 已知函数f(x)的导函数为f ′(x)，且满足f(x)=2xf ′(1)+x 2，则f ′(1)=( ) A −1 B −2 C 1 D 27. 已知一组正数x 1，x 2，x 3，x 4的平均数为2，则数据x 1+2，x 2+2，x 3+2，x 4+2的平均数为（ ）A 2B 3C 4D 68. 已知函数f(x)=sinx +acosx 的图象的一条对称轴是x =5π3，则函数g(x)=asinx +cosx 的最大值是（ ） A2√23 B 2√33 C 43 D 2√639.已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ） A 8 B 203C 173D 14310. 第16届亚运会于2010年11月12日在中国广州举行，运动会期间来自A 大学2名和B 大学4名的共计6名大学生志愿者，现从这6名志愿者中随机抽取2人到体操比赛场馆服务，至少有一名A 大学志愿者的概率是（ ） A 115 B 25 C 35 D 1415二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11. 已知数列{a n }的前n 项和S n =2n −3，则数列{a n }的通项公式为________．12. 设F 1、F 2分别是椭圆x 225+y 216=1的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中点，|OM|=3，则P 点到椭圆左焦点距离为________．13. 执行右边的程序框图，则输出的结果是________．14. 已知x ，y 满足{y −2≤0x +3≥0x −y −1≤0，则x 2+y 2最大值为________．15. 给出下列命题： ①y =1是幂函数②函数f(x)=2x −log 2x 的零点有1个③√x −1(x −2)≥0的解集为[2, +∞) ④“x <1”是“x <2”的充分不必要条件 ⑤函数y =x 3在点O(0, 0)处切线是x 轴其中真命题的序号是________（写出所有正确命题的编号）三、解答题（共6小题，满分75分））16. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，AB →⋅AC →=8，∠BAC =θ，a =4． （1）求b ⋅c 的最大值及θ的取值范围；（2）求函数f(θ)=2√3sin 2(π4+θ)+2cos 2θ−√3的最值．17. 一个均匀的正四面体面上分别涂有1、2、3、4四个数字，现随机投掷两次，正四面体面朝下的数字分别为b 、c ．（1）记z =(b −3)2+(c −3)2，求z =4的概率；（2）若方程x 2−bx −c =0至少有一根a ∈1，2，3，4，就称该方程为“漂亮方程”，求方程为“漂亮方程”的概率．18. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，PA =AB =4，G 为PD 中点，E 点在AB 上，平面PEC ⊥平面PDC ．（1）求证：AG ⊥平面PCD ； （2）求证：AG // 平面PEC ； （3）求点G 到平面PEC 的距离． 19. 数列{a n }满足a 1＝1，a n+1=2n+1a n a n +2n(n ∈N +)．（1）证明：数列{2na n}是等差数列；（2）求数列{a n }的通项公式a n ；（3）设b n ＝n(n +1)a n ，求数列{b n }的前n 项和S n ．20. 已知函数f(x)=ax 3+bx 2+cx 在x =±1处取得极值，且在x =0处的切线的斜率为−3． （1）求f(x)的解析式；（2）若过点A(2, m)可作曲线y =f(x)的三条切线，求实数m 的取值范围．21. 已知双曲线的中心在原点，坐标轴为对称轴，一条渐近线方程y =43x ，右焦点F(5, 0)，双曲线的实轴为A 1A 2，P 为双曲线上一点（不同于A 1，A 2），直线A 1P 、A 2P 分别与直线l:x =95交于M 、N 两点．（1）求双曲线的方程； （2）求证：FM →⋅FN →为定值．2011年安徽省某校高三联考数学试卷（文科）答案1. B2. B3. C4. A5. D6. B7. C8. B9. C 10. C11. a n ={−1,n =12n−1，n ≥212. 4 13. 10 14. 25 15. ④⑤16. 解：（1）因为AB →⋅AC →=bc ⋅cosθ=8， 根据余弦定理得：b 2+c 2−2bccosθ=42， 即b 2+c 2=32，又b2+c2≥2bc，所以bc≤16，即bc的最大值为16，即8cosθ≤16，所以cosθ≥12，又0<θ<π，所以0<θ≤π3；（2）f(θ)=√3⋅[1−cos(π2+2θ)]+1+cos2θ−√3=√3sin2θ+cos2θ+1=2sin(2θ+π6)+1，因0<θ≤π3，所以π6<2θ+π6≤5π6，12≤sin(2θ+π6)≤1，当2θ+π6=5π6即θ=π3时，f(θ)min=2×12+1=2，当2θ+π6=π2即θ=π6时，f(θ)max=2×1+1=3．17. 解：（1）因为是投掷两次，因此基本事件(b, c)共有4×4=16个当z=4时，(b, c)的所有取值为(1, 3)、(3, 1)所以P(z=4)=216=18（2）①若方程一根为x=1，则1−b−c=0，即b+c=1，不成立．②若方程一根为x=2，则4−2b−c=0，即2b+c=4，所以{b=1c=2．③若方程一根为x=3，则9−3b−c=0，即3b+c=9，所以{b=2c=3．④若方程一根为x=4，则16−4b−c=0，即4b+c=16，所以{b=3c=4．综合①②③④知，(b, c)的所有可能取值为(1, 2)、(2, 3)、(3, 4)所以，“漂亮方程”共有3个，方程为“漂亮方程”的概率为p=31618. 解：（1）证明：∵ CD⊥AD，CD⊥PA∴ CD⊥平面PAD∴ CD⊥AG，又PD⊥AG，∴ AG⊥平面PCD（2）证明：作EF ⊥PC 于F ，因面PEC ⊥面PCD ∴ EF ⊥平面PCD ，又由（1）知AG ⊥平面PCD ∴ EF // AG ，又AG ⊄面PEC ，EF ⊂面PEC ， ∴ AG // 平面PEC（3）由AG // 平面PEC 知A 、G 两点到平面PEC 的距离相等由（2）知A 、E 、F 、G 四点共面，又AE // CD∴ AE // 平面PCD ∴ AE // GF ，∴ 四边形AEFG 为平行四边形，∴ AE =GF PA =AB =4，G 为PD 中点，FG = // 12CD ∴ FG =2∴ AE =FG =2 ∴ V P−AEC =13(12⋅2⋅4)⋅4=163又EF ⊥PC ，EF =AG =2√2∴ S △EPC =12PC ⋅EF =12⋅4√3⋅2√2=4√6又V P−AEC =V A−PEC ，∴ 13S △EPC ⋅ℎ=163，即4√6ℎ=16，∴ ℎ=2√63∴ G 点到平面PEC 的距离为2√63． 19. 证明：由已知可得an+12n+1=a nan +2n，即2n+1a n+1=2n a n +1， 即2n+1a n+1−2n a n=1∴ 数列{2na n}是公差为1的等差数列（由(Ⅰ)知2na n=2a 1+(n −1)×1=n +1，∴ a n =2nn+1(Ⅲ)由(Ⅱ)知b n ＝n ⋅2nS n ＝1⋅2+2⋅22+3⋅23++n ⋅2n 2S n ＝1⋅22+2⋅23+...+(n − •2n +n ⋅2n+1相减得：−S n =2+22+23++2n−n ⋅2n+1=2(1−2n )1−2−n ⋅2n+1=2n+1−2−n ⋅2n+1∴ S n ＝(n −(1)⋅2n+1+220. 解：（1）f ′(x)=3ax 2+2bx +c依题意{f′(1)=3a +2b +c =0f′(−1)=3a −2b +c =0⇒{b =03a +c =0又f ′(0)=−3∴ c =−3∴ a =1∴ f(x)=x 3−3x（2）设切点为(x 0, x 03−3x 0)，∵ f ′(x)=3x 2−3∴ f ′(x 0)=3x 02−3∴ 切线方程为y −(x 03−3x 0)=(3x 02−3)(x −x 0) 又切线过点A(2, m)∴ m −(x 03−3x 0)=(3x 02−3)(2−x 0)∴ m =−2x 03+6x 02−6 令g(x)=−2x 3+6x 2−6则g ′(x)=−6x 2+12x =−6x(x −2)由g ′(x)=0得x =0或x =2g(x)极小值=g(0)=−6，g(x)极大值=g(2)=2 画出草图知，当−6<m <2时，m =−2x 3+6x 2−6有三解， 所以m 的取值范围是(−6, 2)．21. 解：（1）依题意可设双曲线方程为：x 2a 2−y 2b 2=1， 则{b a=43c =5c 2=a 2+b 2⇒{a =3b =4∴ 所求双曲线方程为x 29−y 216=1（2）A 1(−3, 0)、A 2(3, 0)、F(5, 0)，设P(x, y)，M(95,y 0)， A 1P →=(x +3,y)，A 1M →=(245,y 0)，∵ A 1、P 、M 三点共线， ∴ (x +3)y 0−245y =0∴ y 0=24y 5(x+3)即M(95，24y5(x+3))，同理得N(95，−6y5(x−3))， FM →=(−165,24y5(x+3))，FN →=(−165,−6y5(x−3))，则FM →⋅FN →=25625−14425⋅y 2x 2−9∵ x 29−y 216=1， ∴ y 2x 2−9=169；∴ FM →⋅FN →=25625−14425⋅169=25625−25625=0，即FM →⋅FN →=0（定值）。
