最新8-6微分法在几何上的应用汇总

微积分在几何学中的运用微积分是数学中最精妙的分支之一，因为它描述了变化，尤其是变化率（也称为导数）的概念。

微积分在几何学中有广泛的应用，特别是在曲线焦点的计算和判定方面，有助于我们理解微积分的实用性和重要性。

首先，让我们来看一下如何使用微积分来计算曲线焦点。

焦点定义为曲线上的一点，它的位置完全确定了曲线的高低与起伏，也可以理解为曲线的核心，有关曲线焦点的精准定位很关键，这时候微积分就发挥它的作用了。

最简单的情况是一次函数y=ax+b，你可以看到它的焦点就是（b/a，0）。

然而对于更复杂的函数，例如y=ax2+bx+c，情况就不太一样了，此时将因式变换成一般形式是y=a'x2+b'x+c'，根据余弦定理，这种情况下函数的焦点就是（（-b'）/（2a'），-a'/4*（b')2/（4a'））。

以上就是通过微积分计算曲线焦点的方法，而且是与多项式次数无关的，只要将多项式转换成一般形式就行，对于高次多项式也可以有效设置出它的准确的位置。

另一方面，微积分也可以用来判定曲线的单调性和有界性。

函数在某点的取值要增大或者减少，可以使用微分检查函数在某点是否可以到达此目标，而且可以使用顶点判别定理来判断函数是否有界，可以准确预测函数的上下限范围。

有了上述的知识，就可以更有效地实现函数的构造和参数的优化，比如在工程技术中中，飞行器需要满足一定的空气动力学要求，通过函数参数调整可以实现想要的目标，节省大量的实验成本和内存。

总之，微积分在几何学中有广泛的应用，归结起来一句话：微积分可以做到可以用来计算曲线焦点、判断函数的单调性和有界性，及实现函数构造参数优化等应用，不仅可以优化曲线设计，还可以体现出不同的数学性质。

微积分在平面和立体几何中的应用生活中我们是否想过这样的问题，超市中许多种匹萨中到底哪一个最实惠；面对一块及将中上花的花坛我们到底应该买多少种子；一个没气的篮球，我们到底应该用气筒打多少下。

这些问题似乎和我们所学的微积分没什么关系，但是如果没有微积分，这些问题根本没法解决。

那么他们是怎么联系起来的呢？【一】 平面图形面积求法一 哪一块匹萨最实惠——扇形面积求法对于扇形的匹萨来说，单位面积的匹萨价钱越低就越实惠，而价钱是既定的，我们所要求的就是匹萨的面积，也就是扇形的面积。

对于扇形的面积，初中都已经学过，就是22360r s πθ︒=（θ指的是角度），其实就是把圆的面积当做已知条件，并没有给出确切的解释。

而高中课本中的公式rl s 21=221r θ=（这里的θ是指弧度），只是把角度换成了弧度，也没有给出确切的解释。

所以今天，我们就来探讨一下扇形面积的求法。

以 b a s ⨯=（a,b 为矩形长宽）r l θ= r c π2=（此公式为圆周率的实际定义）为定理推导。

命题：证明圆心角为θ，半径为r ，弧长r l ⨯=θ的扇形的面积为rl s 21=221r θ= 证明：将扇形沿对称轴分为全等的两部分，其中一部分翻转后再拼接，再将每一个小扇形沿对称轴分为全等的两部分，其中两个四分之一扇形翻转后再拼接，将此步骤重复n 次（ n ∞→),图形最终将变成一个矩形，其长为2l ，宽为r 。

因此可证扇形面积 rl s 21=221r θ= 上证法中用到了微积分中典型的化曲为直的思想，既简单有易理解。

同样的方法也可用于求扇环的面积。

这样一来，哪一块匹萨最实惠的问题就解决了。

二 圆形面积求法生活中圆形的东西比比皆是，对于圆形的表面积我们只是记住了一个公式2R s π=并没有给出确切的解释，而今天我们从三个角度来深度探讨。

1.基本求法由222R y x =+可得22x R y -±=，将半个圆的面积乘以2即可 故dx x r s R R⎰--=222，认为θcos R x =，则可得 ⎰⎰=⨯-=⨯-=-πππθθθθ222222)(sin 2)cos (cos 2R d R R d R R s R R 2.参数方程求法由222R y x =+可设θcos R x =，θsin R y =则可得 )cos (sin 22θθR d R ydx s R R R R ⎰⎰--== 由第一类换元法θθθd d sin )(cos -=可得3.层层嵌套求法如图所示，从0→R 每一个小圆环的面积rdr S π2=∆ 故22002r R r rdr s R πππ===⎰4.扇化圆求法 由扇形面积公式rl s 21=221∧=r θ可得 每一个小扇形的面积2221Rd R s πθ==∆上述求法中⎰=Rrdr s 02π 表明表面积是周长的原函数，面积的导数是周长。

§8.6微分法在几何上的应用 重点：1.空间曲线的切线与法平面的求法2.曲面的切平面与法线的求法.难点：空间曲线作为曲面 F(x,y,z)=O 与曲面 一.空间曲线的切线与法平面切线方程为：1y+2=0法平面方程：(x-1)+0 (y+2)-(z-1)=0 即 x-z=0 二.曲面的切平面与法线1.曲面由F(x,y,z)=O 给出可以证明：Fx(xo, yo , zo ), Fy (xo , yo , zo), Fz (xo, yo , zo )= n 垂直于M (x °,y °,Z o )点的任何曲线 在M 点的切线,即所有这些切线共面，其法线方向为n ,这个平面称为切平面•其方程为：X X y (t) z1.设的参数方程为y (t)z(t)在 (1)式 中，用t 除 各 分母.令M 1M ( t o)得：切程:X X o y y o z Z o⑵'(t o )'(t o )'(t o)法平面方程 :'(t o )(x X o )+'(t o )(y y o ) + '(t o)(zZ o ) =o (3)X o(1)线方X 割线MM '勺方程是：上的交线时，其切线与法平面的求法G(x,y,z)=Oz Z o y y o 例1. 求曲线x= t, yt 2,z 3t 在点(1,1,1)处的切线及法平面方程.2.空间曲线 的方程 (X),曲线在点(X)M( X o , y o ,z o )F x(x°, y°,z°)(x X o) + F y(x。

，y o,Z o)(y y°) + F z(x°, y°,z°)(z z°) 0法线方程为:肾y y。

F y z Z o Fz2.曲面由z=f(x,y)给出此时令 F(x,y,z)=z-f(x,y)或 F(x,y,z)=f(x,y)-z,可化为 I 由曲面 F(x,y,z)=0 给出的情形.解此方程组得：y',z',(x 。