(优选)多元微分学的几何应用ppt讲解
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61-2多元函数微分学的几何应用-PPT课件
9
第五章 多元函数微分学及其应用
3 4 9 x y z 5 5 25 ， 故切线方程为 4 3 24 5 5 25
3 4 9 x y z 5 5 25 。 即 4 3 24
4 3 3 4 24 9 法平面方程为 ( x ) ( y ) ( z ) 0 ， 5 5 5 5 25 25
3
第五章 多元函数微分学及其应用
当点 M M0 时，有 t 0 ，得
x x 0 y y0 z z 0 x( t 0 ) y( t 0 ) z( t 0 )
即为曲线 在点 M 0 处的切线 M 0T 的方程。
切线的方向向量 a x(t0 ), y(t0 ), z(t0 ) 。
2 y 16 x 1 例 2．求曲线 : 在对应于 x 的点 M 处 2 2 z 12 x
的切线方程与法平面方程。
例 3．求抛物柱面 z x 2 及圆柱面 x 2 y 2 1 相交所成的
3 4 9 空间曲线在 M 0 ( , , ) 处的切线方程和法平面方程。 5 5 25
M0 ( x0 , y0 , z0 ) 及 M ( x0 x, y0 y, z0 z ) ，则割线
x x 0 y y0 z z 0 ， M 0 M 的方程为 x y z
x x y y z z 上式分母除以 t ，得 ， x y z t t t
∴螺旋线在点 M 处的切线方程为
2 2 x 2 y 2 z 4 x 2 y 2 z 4 ，即 ； 2 2 2 1 1 1 6
第五章 多元函数微分学及其应用
螺旋线在点 M 处的法平面方程为
2 2( x 2 ) 2( y 2 ) 2(z ) 0 ， 4
多元函数微分学的几何应用ppt课件
9.6 多元函数微分学的几何应用
2. 空间曲线的方程为 两个柱面 的交线
x
设曲线直角坐标方程为
x0 y y0 z z0
y z
y( x) ,
z( x)
x(t0 ) y(t0 ) z(t0 )
x x
令
x为参数,
曲线的参数方程是
y
y(
x)
z z( x) 由前面得到的结果, 在M(x0, y0, z0)处,
5
9.6 多元函数微分学的几何应用
（3）向量值函数的图像
设向量 r 的起点在坐标原点，则终
点M随t的改变而移动，点M的轨迹 Γ
称为向量值函数 r=f(t) 的终端曲 x
线，也称为该函数的图像，记作Γ
反过来，向量值函数
z
•M
rf
(t)
o
y
r f (t) ( f1(t), f2 (t), f3 (t))
f (2) (4,4,2), f (2) 42 42 22 6.
所求单位切向量一个是：(4,4,2) 2 , 2 , 1 6 3 3 3
另一个是： 2 , 2 , 1
其指向与t的增长方向一致
3 3 3 其指向与t的增长方向相反
16
9.6 多元函数微分学的几何应用
二、空间曲线的切线与法平面
lim
t t0
f
(t)
r0
7
9.6 多元函数微分学的几何应用
说明 设 f (t) ( f1(t), f2(t), f3(t))
r 0 (m, n, p),
则lim f (t) t t0
r0
lltt iimmtt00
f1(t) f3(t)
m,
《高等数学教学课件》9.1多元函数微分学法及其应用
在社会科学中的应用（如人口动态学、市场均衡分析等）
在工程科学中的应用（如机器人控制、信号处理等）
总结词：优化和控制
感谢观看
THANKS
全微分的定义
线性性质、可加性、全微分与偏导数的关系、全微分与方向导数的关系。
全微分的性质
全微分的定义与性质
03
梯度的性质
梯度与方向导数的关系、梯度的几何意义。
01
方向导数的定义
在某一方向上函数值的变化率。
02
梯度的定义
方向导数在各个方向上的最大值，表示函数值变化最快的方向。
方向导数与梯度
04
多元函数的极值
在物理科学中的应用（如流体动力学、热传导等）
总结词：揭示内在机制 总结词：预测和政策制定 总结词：复杂系统分析 详细描述：在人口动态学和市场均衡分析等社会科学领域，多元函数微分学也具有广泛的应用。通过建立微分方程模型，我们可以揭示人口动态变化和市场供需关系的内在机制，预测未来的发展趋势。此外，这些模型还可以为政策制定提供依据，帮助政府和企业制定有效的政策和措施。在复杂系统分析中，多元函数微分学也为我们提供了理解和预测系统动态行为的有力工具。
极值点处的函数一阶导数必须为零
如果一个多元函数在某点的所有偏导数都为零，并且该点的二阶导数矩阵正定，那么该点就是函数的极值点。
费马定理是判断多元函数极值点的充分条件，但在实际应用中，需要结合其他条件进行判断，例如函数的单调性、凹凸性等。
极值的充分条件（费马定理）
费马定理的应用
费马定理
最大值与最小值的定义
多元函数的表示方法
可以用数学符号表示，如$z = f(x, y)$，其中$x$和$y$是自变量，$z$是因变量。
多元函数的定义域
多元函数微分学的几何应用.ppt
x1 y 1 z 1 , 123 法平面方程为
(x1)2(y1)3(z1)0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 即x2y3z6
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铃
曲线x(t), y(t), z(t)在tt0所对应的点M0的切向量 为T((t0), (t0), (t0))
讨论:
1 若曲线的方程为y(x), z(x), 则切向量T?
2 若曲线的方程为F(x, y, z)0, G(x, y, z)0, 则切向量T? 提示:
(t0)(xx0)(t0)(yy0)(t0)(zz0)0
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曲线x(t), y(t), z(t)在tt0所对应的点M0的切向量 为T((t0), (t0), (t0))
例1 求曲线xt, yt2, zt3在点(1, 1, 1)处的切线及法平面 方程
解 点(1, 1, 1)所对应的参数t1 因为 xt1, yt2t, zt3t2, 所以切向量为T(1, 2, 3) 于是, 切线方程为
2dyddyxdzddxz11 dx dx
(x1)0(y2)(z1)0, 即 xz0
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二、曲面的切平面与法线
设M0(x0, y0, z0)是曲面: F(x, y, z)0上的一点, 是曲面 上过点M0的任意一条曲线, 其参数方程为
x(t), y(t), z(t),
tt0对应于点M0(x0, y0, z0) 因为曲线在曲面上, 所以有
F[(t),(t),(t)]0
等式的两边在tt0点求全导数得
Fx(x0, y0, z0)(t0)Fy(x0, y0, z0)(t0)Fz(x0, y0, z0)(t0)0
(x1)2(y1)3(z1)0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 即x2y3z6
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曲线x(t), y(t), z(t)在tt0所对应的点M0的切向量 为T((t0), (t0), (t0))
讨论:
1 若曲线的方程为y(x), z(x), 则切向量T?
2 若曲线的方程为F(x, y, z)0, G(x, y, z)0, 则切向量T? 提示:
(t0)(xx0)(t0)(yy0)(t0)(zz0)0
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曲线x(t), y(t), z(t)在tt0所对应的点M0的切向量 为T((t0), (t0), (t0))
例1 求曲线xt, yt2, zt3在点(1, 1, 1)处的切线及法平面 方程
解 点(1, 1, 1)所对应的参数t1 因为 xt1, yt2t, zt3t2, 所以切向量为T(1, 2, 3) 于是, 切线方程为
2dyddyxdzddxz11 dx dx
(x1)0(y2)(z1)0, 即 xz0
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二、曲面的切平面与法线
设M0(x0, y0, z0)是曲面: F(x, y, z)0上的一点, 是曲面 上过点M0的任意一条曲线, 其参数方程为
x(t), y(t), z(t),
tt0对应于点M0(x0, y0, z0) 因为曲线在曲面上, 所以有
F[(t),(t),(t)]0
等式的两边在tt0点求全导数得
Fx(x0, y0, z0)(t0)Fy(x0, y0, z0)(t0)Fz(x0, y0, z0)(t0)0
2019年六节多元函数微分学几何应用.ppt
z z0
' (t0 )
z
M
Q
M T
xo
y
方向向量 T ( '(t0), '(t0),'(t0) )
切线的方向向量也称为曲线的切向量。
法平面： 过点 M 且与这点的切线垂直的平面
由点法式得：点 M (x0, y0, z0)处的法平面方程为
'(t0)(x x0) '(t0)( y y0) '(t0)(z z0) 0
点M (x0, y0, z0)对应于参数t t0，
且'(t0)、 '(t0)、'(t0) 不全为0.
则
z
曲线在点M处的切线方程为：
x x0 y y0 z z0
'(t0 ) '(t0 ) '(t0 )
曲线在曲面上 F[(t), (t),(t)] 0
O x
y
F(x, y, z)在点(x0, y0, z0)处有连续偏导数,
且'(t0), '(t0),'(t0)存在 上式左端在点t t0可导
d dt
F[(t), (t),(t)] |t t 0
0
(*)
(链锁法则)
由链锁法则，得
d dt
F[ (t ),
(t ), (t )]
2 y
(
x0
,
y0 )
cos
1
1
f
2 x
(
x0
,
y0)
f
2 y
(
x0
,
y0 )
例3 求球面 x2 y2 z2 14 在点(1,2,3)处的 切平面及法线方程.
高等数学第九章第六节多元函数微分学的几何应用课件.ppt
当J (F,G) 0时, 可表示为 (y, z)
, 且有
dy 1 (F,G) , dz 1 (F,G) , dx J (z, x) dx J (x, y) 曲线上一点 M (x0 , y0 , z0 ) 处的切向量为
T 1, (x0 ), (x0 )
1 ,
1 J
(F,G) (z , x)
一、一元向量值函数及其导数
（一）向量值函数的概念 （二）向量值函数的极限和连续 （三）向量值函数的导数 （四）举例
一、一元向量值函数及其导数
（一）向量值函数的概念 （二）向量值函数的极限和连续 （三）向量值函数的导数 （四）举例
➢定义
设向量值函数 f (t )在点 t0的某一邻域内有定义, 如果
x x0 Fx (x0 , y0 , z0 )
y y0 Fy (x0 , y0 , z0 )
z z0 Fz (x0 , y0 , z0 )
T
M
特别, 当光滑曲面 的方程为显式
F(x, y, z) f (x, y) z
时, 令
则在点 (x, y, z),
故当函数
在点 ( x0, y0 ) 有连续偏导数时, 曲面
f (t)的三个分量函数 f1(t), f2(t), f3(t)都在 t0 可导.
当f (t)在 t0 可导时, f (t) f1(t)i f2(t) j f3(t)k.
➢运算法则
设u(t), v(t),(t)可导, C是常向量, c是任一常数，则
(1) d C 0 dt
(2) d [cu(t)] cu(t) dt
例1. 求圆柱螺旋线
在
对应点处的切线方程和法平面方程.
解: 由于
对应的切向量为 T (R , 0, k), 故
第9讲多元微分学在几何中的应用资料
其中， y(x), z(x)可导.
.Q
.P
L
T
曲线 L 在点P 处的切线方程为
x x0 y y0 z z0
1
y(x0 ) z(x0 )
其方向向量 l (1, y(x0 ), z(x0 )) .
例
例
求圆柱螺旋线 x a cost , y a sin t , z bt
y y(x) z z(x)
a xb
设曲线 L 的参数方程为
x x(t)
y
y(t)
z z(t)
t
其中，x(t) , y(t) , z(t)可导。
.Q
.P
L
T
P t0 ： P(x(t0 ), y(t0 ), z(t0 )) P(x0, y0, z0 ) Q t0 t ： Q(x(t0 t), y(t0 t), z(t0 t))
多元微分学在几何中的应用
一. 空间曲线的切线 二. 空间曲线的法平面 三. 空间曲面的切平面与法线
本节关键概念和理论
曲线的切线、法平面 曲面的切平面、法线
一.空间曲线的切线
曲线 L 在点 P 处点切线为 点 Q 沿曲线 L 趋向点 P 时 割线 PQ 的极限位置 PT
L
P
Q
t
t
t
引入 t
x(t0 ) y(t0 ) z(t0 )
设曲线 L 的参数方程为
x x(t)
y
y(t)
z z(t)
t
其中，x(t) , y(t) , z(t)可导。
.Q
.P
.Q
.P
L
T
曲线 L 在点P 处的切线方程为
x x0 y y0 z z0
1
y(x0 ) z(x0 )
其方向向量 l (1, y(x0 ), z(x0 )) .
例
例
求圆柱螺旋线 x a cost , y a sin t , z bt
y y(x) z z(x)
a xb
设曲线 L 的参数方程为
x x(t)
y
y(t)
z z(t)
t
其中，x(t) , y(t) , z(t)可导。
.Q
.P
L
T
P t0 ： P(x(t0 ), y(t0 ), z(t0 )) P(x0, y0, z0 ) Q t0 t ： Q(x(t0 t), y(t0 t), z(t0 t))
多元微分学在几何中的应用
一. 空间曲线的切线 二. 空间曲线的法平面 三. 空间曲面的切平面与法线
本节关键概念和理论
曲线的切线、法平面 曲面的切平面、法线
一.空间曲线的切线
曲线 L 在点 P 处点切线为 点 Q 沿曲线 L 趋向点 P 时 割线 PQ 的极限位置 PT
L
P
Q
t
t
t
引入 t
x(t0 ) y(t0 ) z(t0 )
设曲线 L 的参数方程为
x x(t)
y
y(t)
z z(t)
t
其中，x(t) , y(t) , z(t)可导。
.Q
.P
高等数学 多元函数微分法及其应用ppt课件
其余类推
fxy( x,
y)
lim
y0
fx(x, y
y) y
fx(x, y)
(2) 同样可得：三阶、四阶、…、以及n 阶偏导数。
(3) 【定义】二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数。
【例
1】设 z
x3
y2
3 xy 3
xy
1，求二阶偏导数及
3z x 3
.
【解】 z 3x2 y2 3 y3 y, x
x2 y2 sin x2 y2 ( x2 y2 )3 2
y0
换元,化为一元 函数的极限
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【阅读与练习】 求下列极限
5/51
x2
(1)lim sin( xy) (a 0); (2) lim (1 1 )x2 y2 ;
x0 x
x
x
ya
ya
1
(3)lim(1 sin xy)xy; x0
(2) 【复合函数求导链式法则】
①z
u
v
t t
dz z du z dv dt u dt v dt
全导数
u
x z z u z v y x u x v x
②z
v
x z z u z v
y y u y v y
③ z f (u, x, y)
u x z f f u
y x x u x
(
x,
y,
z)
lim
z0
z
.
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10/51
4. 【偏导数的几何意义】 设 M0( x0 , y0 , f ( x0 , y0 )) 为曲面 z f ( x, y) 上一点, 如图
《多元函数微分学》PPT课件
0 V .
14
定义1 设D是xOy平面上的点集, 若变量z与D
多 元
函
中的变量x, y之间有一个依赖关系, 使得在D内
数 的
基
每取定一个点P(x, y)时,按着这个关系有确定的
本 概
z值与之对应, 则称z是x, y的二元(点)函数.记为 念
z f ( x, y) (或z f (P) )
称x, y为自变量,称z为因变量,点集D称为该函数
P0 称为 E 的内点：如果存在一个正数 使得U (P0 ) E P0 称为 E 的外点：如果存在一个正数 使得
U (P0 ) E
P0 称为 E 的边界点：如果对任意一个正数 使得
U (P0 ) 中即有E中点又有非E中点
P0 即不是E的内点也不是E的外点
闭区域： G G G
12
（3）Rn 中的集合到 Rm的映射
的 基 本
和方法上都会出现一些实质性的差别, 而多元
概 念
函数之间差异不大. 因此研究多元函数时, 将以
二元函数为主.
24
3、多元函数的极限
多
讨论二元函数 z f ( x, y),当x x0 , y y0 ,
元 函
即P( x, y) P0 ( x0 , y0 )时的极限.
数 的 基
怎样描述呢? 回忆: 一元函数的极限
多 元 函 数
的
基
解 定义域是 ( x 1)2 y2 1且x2 y2 1
本 概
念
y
•
O
1
x
有界半开半闭区域
18
3 求 f ( x, y) arcsin(3 x2 y2的) 定义域． x y2
解
3 x2 y2 1
多元函数微分学(共184张PPT)
z
sin
x2
1 y2
1
• 在 点圆 都周 是x2间 断y2 点1，是上一没条有曲定线义，. 所以该圆周上各
• 性质1(最大值和最小值定理) 在有界闭区域 D上的多元连续函数，在D上一定有最大值和最小
值.
• 在D上至少有一点 及一点 ，使得 为最大 值而 为最小值，P 即1 对于一切P 2 P∈D，有f ( P1 )
•
P
于E的点，也有不属于E的点，
•
E
则称P为E的边界点（图8-2）.
•
设D是开集.如果对于D内的
• 图 8-1 任何两点，都可用折线连结起
上一页 下一页 返 回
•
来,而且该折线上的点都属于D,
•
P 则称开集D是连通的.
•
连通的开集称为区域或开区域.
•
E
开区域连同它的边界一起,称
•
为闭区域.
• 图 8-2
f( x x ,y ) f( x ,y ) A x ( x )
• 上式两边各除以 x ，再令 x 0而极限，就得
limf(xx,y)f(x,y)A • 从而 ，x 偏0导数 z 存 在x，而且等于A.同样可证
• =B.所以三式 x 成立.证毕.
z y
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• 定理2(充分条件) 如果z=f(x,y)的偏导数
• 3.n维空间
• 设n为取定的一个自然数,我们称有序n元数组
•
的全体为n维空间,而每个有序n元数
(x1组,x2, ,xn) 称为n维空间中的一个点,数 称
(x1,x2, ,xn)
xi
上一页 下一页 返 回
• 为该点的第i个坐标,n维空间记为 .n
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:
F(x, y, z) G(x, y, z)
0 0
给出时,
若F,G是 C 1类
函数且Jacobi行列式
F , G y, z
7.1 空间曲线的切线与法平面
空间光滑曲线在点 M 处的切线为此点处割线的极限
位置. 过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法 平面.
T
M
1. 曲线方程为参数方程的情况
T
M
设 t t0 对应M (x0, y0, z0 )
t t0 t 对应M (x0 x, y0 y, z0 z)
点(1,1,1)对应于参数t=1,故曲线在点(1,1,1)处的切向量
s x'1, y'1, z'1 1,2,3.
所求切线方程为 x 1 y 1 z 1, 123
法平面方程为 x 1 2y 1 3z 1 0,
即
x 2y 3z 6 0.
2. 曲线为一般式的情况
光滑曲线 : y yx, z zx,
取x为参数， : x x, y yx, z zx,
根据上述情形的结论，在点Ｍ处的切向量为
s 1, y'x0 , z'x0 ,
切线方程为
x x0 1
y y0
y' x0
z z
z0
' x0
,
法平面方程为 x x0 y'x0 y y0 z'x0 z z0 0.
3. 空间曲线的情况
当空间曲线由 : x xt, y yt, z zt 给出时，若
x't, y't, z't 连续且不同时为零，则曲线上每一点处
都有切线，并且切线随着切点的移动而连续地变动，称
为光滑曲线．
当空间曲线 : y yx, z zx 给出时，若 y'x, z'x
连续，则此曲线是光滑曲线．
当空间曲线
M
, (F,G) (x, y)
M
为了便于记忆，用行列式记为
i jk T Fx Fy Fz
Gx Gy Gz M
法平面方程
(F , G) ( y, z)
M
(
x
x0
)
(F (z
, ,
G) x)
M ( y y0 )
(F,G) (x , y)
M (z z0) 0
x x0 y y0 z z0
(F , G)
(F , G)
( y, z) M (z , x) M (x , y) M
法平面方程
(F , G) ( y, z)
(x
M
x0
)
(F (z
, ,
G) x)
M ( y y0 )
(F,G) (x , y)
(z z0) 0
M
T
(F,G) ( y, z)
, (F,G) M (z , x)
光滑曲线
:
F(x, y, z) G(x, y, z)
0 0
当J (F,G) 0时, 可表示为 (y, z)
, 且有
d y 1 (F,G) , dz 1 (F,G) , dx J (z, x) dx J (x, y) 曲线上一点 M (x0 , y0 , z0 ) 处的切向量为
T 1, (x0 ) , (x0 )
复习: 平面曲线的切线与法线
已知平面光滑曲线
在点 (x0, y0 )有
切线方程 y y0 f (x0 )(x x0 )
法线方程
y
y0
f
1 (x (x0 )
x0 )
ห้องสมุดไป่ตู้
若平面光滑曲线方程为
因 dy Fx (x, y)
故在点
有
dx Fy (x, y)
切线方程 Fx (x0 , y0 ) (x x0 ) Fy (x0 , y0 )( y y0 ) 0 法线方程 Fy (x0 , y0 )(x x0 ) Fx (x0 , y0 ) ( y y0 ) 0
割线 MM 的方程 :
切线方程
x x0
(t0 )
y y0
(t0 )
z z0
(t0 )
此处要求(t0 ) , (t0 ) , (t0 )不全为0,
如个别为0, 则理解为分子为 0 .
T
M
切线的方向向量:
T ((t0 ) , (t0 ) , (t0 ))
r(t)
称为曲线的切向量 .
o
也是法平面的法向量, 因此得法平面方程
1
,
1 J
(F (z
, G) , x)
,
M
1 (F,G) J (x, y)
M
或
T
(F,G) ( y, z)
, (F,G) M (z , x)
M
, (F,G) (x, y)
M
则在点 M (x0 , y0 , z0 )有
切线方程
x x0 y y0 z z0
(F , G)
1 z
x2y 2y z
11
11
曲线在点 M(1,–2, 1) 处有:
切向量
T 1 ,
dy dx
,
M
dz dx
M
(1, 0, 1)
点 M (1,–2, 1) 处的切向量
T (1, 0, 1)
切线方程
即
法平面方程 1 (x 1) 0 ( y 2) (1) (z 1) 0
即
xz 0
也可表为 Fx (M ) Fy (M ) Fz (M ) 0
Gx (M ) Gy (M ) Gz (M )
例7.2 求曲线 x2 2 y2 z2 10 , x y z 0 在点 M ( 1,–2, 1) 处的切线方程与法平面方程.
解法1 令
则
i j k i j k i jk
T Fx Fy Fz 2x 4 y 2z 2 8 2
Gx Gy Gz 1 1 1 1 1 1
M
M
101,0,1.
切线方程
即
x
y
z
2
2
0
0
法平面方程 (x 1) 0( y 2) (z 1) 0
即
xz 0
解法2. 方程组两边对 x 求导, 得
x z
2y x
解得 d y
dx
1 1 z x , dz
2y z 2y z dx
1 2y
(t0 )(x x0 ) (t0 ) ( y y0 ) (t0 )(z z0 ) 0
切线方程
x x0
(t0 )
y y0
(t0 )
z z0
(t0 )
例7.1 求曲线 x t, y t 2, z t3 在点(1,1,1)处的切线与法平面方程.
解：x't, y't, z't 1,2t,3t2 ,
（优选）多元微分学的几何应 用ppt讲解
第二章多元函数的微分学及其应用
一．偏导数 二．全微分 三．复合函数的微分法 四．隐函数微分法 五．方向导数与梯度 六．多元微分学的几何应用 七．多元函数的Taylor公式与极值问题
§7 多元微分学的几何应用
7.1空间曲线的切线与法平面 7.2曲面的切平面与法线