《几何与多元微积分》东华大学2017-2018多元A(下)答案

东华大学 2017-2018 学年第一学期线性代数A 试卷A踏实学习，弘扬正气；诚信做人，诚实考试；作弊可耻，后果自负。

一1. 03121111x中一次项x 的系数为 .2. 若⎥⎦⎤⎢⎣⎡=010311A ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=310101B ，则=AB . 3. 设三阶方阵B A ,满足关系式BA A BA A +=61-，且⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=714131000000A 则=B . 4.矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=3223-01-042A 的秩为 . 5.设B A ,均为n 阶矩阵，3-2==B A ，，则=1-*2BA6.正交矩阵的行列式为7. 、设C B A ,,为n 阶方阵，且E ABC =，则必有=BCA .8.已知二次型32312123222142244x x x x x tx x x x f +-+++=为正定二次型的条件为9.已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=11a β是矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=302212221A 的特征向量，则=a 10.设矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=a b b a A ，其中1,022=+>>b a b a ，则A 为 矩阵.二.（10分）设三阶实对称矩阵A 的特征值为11321==-=λλλ，，对应于1λ的特征向量为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1101ξ，求A 。

三、（10分）已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=100110111A ，且I AB A =-2,其中I 为三阶单位阵，求矩阵B .四、（10分）已知3R 中的向量组321ααα，，线性无关，向量组,211ααβk -=,322ααβ+=,133ααβk +=线性相关，求k 的值。

五、（12分）设矩阵B A 、相似，且⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=a A 33242111，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=b B 00020002（1）求b a 、的值。

（2）求可逆矩阵P 使得B AP P =1-六、（12分）λ取何值时方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=-+=+-=-+1554212321321321x x x x x x x x x λλ无解？有唯一解？有无穷多解？并在无穷多解时写出方程组的通解。

多元微分学例1求函数yx y x z --=24定义域，并在平面上画出定义域的图形。

解：此函数可以看成两个函数214y x z -=与yx z -=12的乘积。

214y x z -=的定义域是x y 42≤ yx z -=12的定义域是⎩⎨⎧≥>-00y y x ，即02≥>y x 。

从而yx y x z --=24的定义域是214y x z -=与yx z -=12定义域的公共部分，即⎩⎨⎧≥>≥≥042y x y x 。

例2设),(y x f y x z -++=当0=y 时,2x z =求.z 解：代入0=y 时,2x z =得),(2x f x x +=即,)(2x x x f -= 所以 .2)(2y y x z +-= 例3 求11lim222200-+++→→y x y x y x解：法1 原式＝2)11(lim )11)(11()11)((lim220022*******0=++++++-++++++→→→→y x y x y x y x y x y x y x法2 化为一元函数的极限计算。

令t y x =++122，则当0,0→→y x 时，1→t 。

原式＝2)1(lim 11lim121=+=--→→t t t t t 。

例4 求22200lim y x yx y x +→→解：法1 用夹逼准则。

因为22||2y x xy +≤，所以2||22||022222x y x xy x yx y x ≤+⋅=+≤ 而02||lim 00=→→x y x ，从而0||lim 22200=+→→y x y x y x 于是 0lim 22200=+→→y x yx y x法2利用无穷小与有界函数的乘积是无穷小的性质。

因为22||2y x xy +≤所以2122≤+y x xy ，又0lim 00=→→x y x 所以 0)(lim lim 220022200=⋅+=+→→→→x y x xyy x y x y x y x例5求极限(x,y)(0,0)lim→解 (x,y)(0,0)(x,y)lim lim →→= （3分）(x,y)1lim4→==（2分） 例6 研究yx xyy x +→→00lim解：取路径+∈+-=R k kx x y ,2，则,1lim0k y x xy y x -=+→→由k 是任意非零的常数，表明原极限不存在。

第7章 微分方程§7.5 可降阶的高阶微分方程一、填空题答：1. 2121ln arctan C x C x x x y +++-= 2.22121C x x e C y x +--= 3．121C xy C e =+二、 y =C 1ln x +C 2 . 三、 22x x y -=.§7.6 高阶线性微分方程一、判断题1．（ √ ）2．（ ╳ ）3．（ √ ） 二、选择题答：1.C 2.C 3.C 4.B§7.7 常系数齐次线性微分方程一、判断题1．（ √ ）2．（ ╳ ）3．（ ╳ ） 二、填空题1、y =C 1e x +C 2e-2x2、 t t e C e C x 252251t +=, 3、 y =e -3x (C 1cos2x +C 2sin2x ).4、 y =C 1+C 2x +C 3e x +C 4xe x5、y =e 2x sin3x三、选择题答：1.B 2.B 3.A 4.C 5.B四、求下列微分方程(1) y =C 1+C 2e 4x . (2) y =e 2x (C 1cos x +C 2sin x ). (3) y =C 1+C 2x +C 3e x +C 4xe x . (4))2(21x e y x+=-.§7.8 常系数非齐次线性微分方程一、填空题 答：1、x x xe e C e C y ++=-2211，2、x xe x C x C e y x x 2cos 41)2sin 2cos (21-+=.3、x x x y 2sin 31sin 31cos +-+-= 4、x xx y cos 2sin 21+= 二、选择题答：1.D 2.B 3.A 4.C 5.D 6.D三、)323(2221x x e e C e C y x x x -++=--- 四、 2527521++-=x x e e y . 第12章 无穷级数§12.1 常数项级数的概念与性质一、判断题答：1. √2. √ 3. ×4. ×5. √ 6. √ 二、填空题答：1. 1/2、3/8 、5/16 2. [（-1）^(n-1)]*[(n+1)/n] 3. [x^(n/2)]*(1/2*n!) 4. 0 三、选择题答：1.C 2.A 3.C 4.C四、判定下列级数的收敛性(1)级数收敛. (2) 该级数发散. (3) 级数发散.§12.2 常数项级数的审敛法一、判断题答：1. √ 2. × 3. √4.√ 5√6. ×7. √8. √9.√ 二、填空题答：1.P>1 2. {}n s 有界 3. 绝对收敛 4. 收敛5.1lim 0n nn u u u +=⎧⎨>⎩三、选择题答：1. D 2.C 3.D 4.A 5.C四、用比较审敛法或极限形式的比较审敛法判定下列级数的收敛性: (1) 级数发散. (4) 级数收敛.五、用比值审敛法判定下列级数的收敛性: (1) 级数发散. (2) 级数收敛.六、用根值审敛法判定下列级数的收敛性:(1) 级数收敛； (2) 当b <a 时级数收敛, 当b >a 时级数发散. 七、 (1) 此级数是收敛的. 条件收敛的. (2) 级数收敛, 并且绝对收敛.§12.3 幂级数一、判断题答：1. √ 2. √ 3. √ 4. √ 5. × 二、填空题答：1.[-1/2、1/2] 2. [-1，5) 3. (-1,1) ,11ln21xx+- 4. 绝对收敛三、选择题 答：1.D 2.B 3 D四、求下列幂级数的收敛域:(1) 收敛域为(-1, 1). （2） 收敛域为[-1, 1]. 五、利用逐项求导或逐项积分, 求下列级数的和函数: (1) ()S x 21(11)(1)x x =-<<-. (2) ()S x 11ln (11)21x x x+=-<<- . 提示: 由)0()()(0S x S dx x S x-='⎰得⎰'+=xdx x S S x S 0)()0()(.§12.4 函数展开成幂级数一、判断题答：1. √2. × 3. × 二、填空题 1. 答：1.11ln 2(1)2nn nn x n ∞-=+-∑ ，（-2，2 ] 2. 1111()(4)23nn n n x ∞++=-+∑ ，（-6，-2） 3.)( ])3()!12(3)3()!2(1[)1(211202+∞<<-∞++++-+∞=∑x x n x n n n n nππ 三、选择题答：1.B 2.C 3.C四、(1) 210sh (21)!n n x x n -∞==-∑, x ∈(-∞, +∞). (2) 212212sin (1)(2)!n n n n x x n -∞=⋅=-∑ x ∈(-∞, +∞). 五、∑=<<--=n n n n x x x 0)60( )33()1(311.§12.5 函数的幂级数展开式的应用一、填空题答：1.3. ； 2、)( !4cos2cos 02+∞<<-∞=∑∞=x x n n x e n n nx π.§12.7 傅立叶级数一、判断题 答：1. × 2. √3.√4.√二、填空题 1.5 2. ,n n a b - 3. nx nx f n sin 1)(1∑∞==(0<x ≤π), 级数在x =0处收敛于0. 三、选择题答：1.A 2.C 3.B 4A 5.B四、∑∞=+--+=121cos 141)1(422cos n n nx n x ππ(-π≤x ≤π). 五、正弦级数为nx n n nx f n n sin ]2)2()1[(4)(1323∑∞=---=ππ(0≤x <π), 级数在x =0处收敛于0.余弦级数为 nx nx f n n cos )1(832)(122∑∞=-+=π(0≤x ≤π).§12.8 一般周期函数的傅里叶级数一、 ∑∞=+-+=12122cos )1(11211)(n n x n n x f ππ, x ∈(-∞, +∞).二、正弦级数13218(1)2[(1)1]{}sin2n n n n xn n πππ+∞=---+∑, x ∈[0, 2). 余弦级数:221416(1)cos 32n n n xn ππ∞=-+∑, x ∈[0, 2].第8章 空间解析几何与向量代数§8.1 向量及其线性运算一、判断题。

东华大学2013----2014学年第 二 学期 试卷 A 卷踏实学习，弘扬正气；诚信做人，诚实考试；作弊可耻，后果自负。

课程名称 几何与多元微积分A (上) 使用专业_____全校各专业________教师 班号姓名_____ ____学号_______ __考试教室一 二 三 四 五 六 七 总分 试题得分一、填空题（每小题4分，共32分 ）1、收敛级数1n ∞=∑的和= 。

2、级数111(1)n n n n∞+=−−∑ （绝对收敛，条件收敛，发散）。

3、设 则(1,1,4),(2,0,2),a b =−=− a b i = ；和夹角的余弦为 a b 。

(,)(4,3)1lim 1x y x y x y →≠+−−4、= 。

5、直线,2,1x t y t z t==−+=+22,3,56和x s y s z s =+=+=+的交点为 ， 这两条直线确定的平面方程为 。

22(1)1z x y ⎧⎪=⎨−+=⎪⎩6、曲线的参数方程为。

7、设幂级数在1(1)n nn a x ∞=−∑1x =−条件收敛，则该幂级数的收敛半径为 。

8、已知向量(2,3,6),(1,2,2)a b =−= −共一起点，c 在沿a 与b 所成的角平分线上，且长为= c 。

二、解答下列各题（每题7分，共35分）1、 求点到直线(3,1,4)−4,33,53x t y t z t =−=+=−+的距离。

2、证明函数(,)f x y =当时极限不存在。

(,)(0,0)x y →3、已知二元函数(1)ln(1x y zxe x y +)=+++，计算全微分(1,0)dz4、设22(,y z f x y )x =+，求（1）z x ∂∂（2）2z x y ∂∂∂，其中f 具有连续的二阶偏导数。

x 展开成x 的幂级数并求()(0)n f 5、 将函数()arctan f x =三、（8分）（1）求幂级数11n n n ∞=∑的收敛域及和函数；（2）求常数项级数11(1)n n n +∞=−∑的和。