知识点1:一元一次方程只含有一个未知数，并且未知数的次数是1,系数不等于0的整式方程，叫做一元一次方程.一元一次方程的标准形式是：ax+ b=0（其中x是未知数，a、b是已知数，并且a乒。
.一元一次方程的最简形式是：ax=b（a丰0）不定方程：一个代数方程，含有两个或两个以上未知数时，叫做不定方程，不定方程一般有无穷多解。
代数方程：代数方程通常指整式方程。
有时也泛指方程两边都是代数式的情形，因而也包括分式方程和无理方程。
等式：用符号"=来表示相等关系的式子，叫做等式.在等式中，等号左、右两边的式子，分别叫做这个等式的左边、右边.性质：两边同加同减一个数或等式仍为等式；两边同乘同除一个数或等式（除数不能是0）仍为等式。
方程的根：只含有一个未知数的方程的解，也叫做方程的根。
解一元一次方程的一般步骤：1.去分母：在方程两边都乘以各分母的最小公倍数；2. 去括号：先去小括号，再去中括号，最后去大括号；3. 移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边；4. 合并同类项：把方程化成ax=b（a丰0）的形式；5. 系数化成1:在方程两边都除以未知数的系数a,得到方程的解。
矛盾方程：一个方程，如果不存在使其左边与右边的值相等的未知数的值，这样的方程叫矛盾方程.知识点2:二元一次方程有两个未知数并且未知项的次数是1,这样的方程，叫做二元一次方程.二元一次方程组：含有相同的两个未知数的两个一次方程所组成的方程组，叫做二元一次方程组.解：使二元一次方程组的两个方程左、右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解.二元一次方程组的两种解法：（1）代入消元法，简称代入法.①把方程组里的任何一个未知数化成用另一个未知数的代数式表示.②把这个代数式代入另一个方程里，消去一个未知数，得到一个一元一次方程.③解这个一元一次方程，求得一个未知数的值，然后再求另一个未知数的值.④把求得两个未知数的值写在一起，就是原方程组的解.2）加减消兀法，简称加减法.①把一个方程或两个方程的两边都乘以适当的数，使同一个未知数的系数的绝对值相等.②把所得的两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程.③解这个一元一次方程，求得一个未知数的值，然后再求另一个未知数的值.④把求得的两个未知数的值写在一起，就是原方程组的解.二元一次方程组解的情况：知识点3:一元一次不等式（组）：不等号有〉、A、<、V或乒等等.用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式.只含有一个未知数，并且未知数的次数是1,系数不等于0的不等式，叫做一元一次不等式.如ax<b 或ax>b（a 丰 0）几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组不等式基本性质：（1）不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变.（2）不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.（3）不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.一元一次不等式的解法步骤：（1）去分母（2）去括号（3）移项（4）合并同类项（5）系数化成1（如果乘数和除数是负数，要把不等号改变方向）一元一次不等式组的解法步骤：（1）分别求出不等式组中所有一元一次不等式的解集.（2）在数轴上表示各个不等式的解集. （3 ）写出不等式组的解集.知识点4一元二次方程基本概念：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.一元二次方程3x2+5x-2=0的常数项是-2 （任意）.一次项系数为5 （任意），二次项是 3 （任意不为0）一元二次方程的求根公式：方程as' -F bs 4- c = M&W 0）2a一元二次方程的解法：1. 解一元二次方程的直接开平方法如果一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，另一边是一个非负数，则根据平方根的概念可以用直接开平方法来解.己知方程（HLX十Q）'二k（DQ尹（Xk〉。
第三章 一元一次方程知识点一 ：一元一次方程的概念1．方程的定义：含有未知数的等式.①未知数；②等式. 2．一元一次方程的定义：只．含有一个．．未知数（元），未知数的最高次数是．．．．．1．，等号两边都是整式的方程叫一元一次方程. 一元一次方程的一般形式．．．．：ax+b=0（a 、b 为常数，且a≠0，即末知数的系数一定不能为0）. 3．方程的解：使方程等号左、右两边相等的未知数的值. 4．解方程：求方程的解的过程. 例题：1. (1)下列方程中是一元一次方程的是( )A ．23x y =B ．()7561x x +=-C ．()21112x x +-= D ．12x x-= (2)下列各式中，是一元一次方程的是（ ）A. 6x y -=B. 1223x x --= C. 34x - D. 21x x += 2.（1）已知2x1-m +4=0是一元一次方程，则m= ________.（2）已知方程04)2(1||=+--a xa 是一元一次方程，则=a __________（3）若2(21)30a x bx c +--=是关于x 的一元一次方程，则一定有（ ）A. 12a =-，0b ≠，c 为任意数 B. 12a =-，b 、c 为任意数 C. 12a =-，0,0b c ≠= D. 12a =，0,0bc =≠（4）若2(1)(1)30k x k x -+++=是关于x 的一元一次方程，求k 的值3.下列说法：①等式是方程； ②x=4是方程5x+20=0的解； ③x=-4和x=6都是方程│x-1│=5的解．其中说法 正确的是___ _．（填序号）4.（1）下列方程中，解为4的方程是（ ）A. 104x x =-B. 5(2)2(27)x x +=+C.62355y y -=+ D. 50.594x x =+ （2）已知4x =-是方程231x a x +=-的解，则a 的值是 5.根据条件列出方程（1）某数的2倍，再减去1等于5 （2）某数的3倍与它的12的和等于106.（1）买4本练习本和5支铅笔一共用了4.9元，已知铅笔每支0.5元，练习本每本多少元？若设练习本每本x 元，则可列方程为（2）一辆汽车从A 地到B 地后，用去了邮箱里的汽油的25%，还剩40升，邮箱里原有汽油多少升？若设邮箱里原有汽油x 升，可列方程为知识点二：等式的基本性质等式的性质1:等式两边都加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等.即：如果a ＝b ，那么a ±c ＝b ±c等式的性质2：等式两边都乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.即：如果a ＝b ，那么ac ＝bc ；如果a ＝b （c ≠0），那么c a ＝cb 例题：1.（1）若a b =，则下列式子正确的有（ ）①22a b -=- ②1132a b =③3344a b -=- ④5151a b -=-． A.1个 B.2个 C.3个 D.4个（2）如果ma mb =，那么在下列变形中，不一定成立的是（ ）A. 11ma mb +=+B. 33ma mb -=-C. 1122ma mb -=- D. a b = （3）下列变形中，正确的是()A.若ac=bc ，那么a=bB.若cbc a =，那么a=b C.a ＝b ，那么a=b D.若a 2=b 2那么a=b （4）运用等式的性质进行变形，正确的是（ ）A.如果a b =，那么a c b c +=-；B.如果a bc c=，那么a b = C.如果a b =，那么a bc c= D.如果23a a =，那么3a = 2.（1）给出下面四个方程及其变形：①48020x x +=+=变形为；②x x x +=-=-75342变形为；③253215x x ==变形为；④422x x =-=-变形为；其中变形正确的是（ ） A ．①③④ B ．①②④C ．②③④D ．①②③（2）下列各式的变形中，错误的是 （ ）A. 260x +=变形为26x =-B.312x x +=-变形为322x x +=- C. 2(4)2x --=-变形为41x -= D. 1122x +-=变形为11x -+=3.用适当的数或式子填空，使所得结果仍是等式，并说明是根据等式的哪一条性质以及怎样变形的; （1）如果810x +=，那么10x =- （2）如果437x x =+，那么4x - =7 （3）如果38x -=，那么x = （3）如果123x =-，那么 =-6 4.完成下列解方程： （1）1343x -= 解：两边 ，根据 得13343x --= 于是13x -=两边 ，根据 得x =（2）5234x x -=+解：两边 ，根据 ，得 =3x+6 两边 ，根据 ，得2x=两边 ，根据 ，得x= 5.根据下列变形，填写过程及理由21100.10.2x -= 解：20101012x -=（ ） 20510x -= （ ）2015x = （ ）34x = （ ）6.利用等式的性质解下列方程并检验 （1）1262x += （2）1543x --= （3）328x -=-7.当x 为何值时，式子453x -与31x +的和等于9？8.列方程并求解：一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大2，个位与十位上的数字之和是10，求这个两位数（提示，设个位上的数字为x ）9.如果方程21x a x +=-的解是x=-4，求32a -的值10.等式2(2)10a x ax -++=是关于x 的一元一次方程，求这个方程的解知识点三：一元一次方程的解法（一般步骤、注意事项） 1.解方程的一般步骤：把含未知数的项归在方程的一边，把常数项归到方程的另一边，将方程化为最简的形式ax b =(0)a ≠，然后根据方程两边都除以a ，化为bx a=的形式。
方程主要知识点总结一、方程的定义在代数学中，方程是指含有一个或多个未知数的等式，通常用字母表示未知数。
方程的一般形式为：$a_1x^n + a_2x^{n-1} + ... + a_nx + a_{n+1} = 0$，其中$x$为未知数，$a_1,a_2, ..., a_{n+1}$为已知的常数，n为方程的次数。
方程的解即是使等式成立的未知数的值。
二、方程的类型1. 一元一次方程：一元一次方程是指只含有一个未知数的一次方程，一般有形式：$ax + b = 0$，其中$a$和$b$为已知的常数，$x$为未知数。
2. 一元二次方程：一元二次方程是指只含有一个未知数的二次方程，一般有形式：$ax^2+ bx + c = 0$，其中$a$、$b$和$c$为已知的常数，$x$为未知数。
3. 二元一次方程组：二元一次方程组是指含有两个未知数的一次方程组，一般有形式：$ \begin{cases} ax + by = c \\ dx + ey = f \end{cases}$，其中$a$、$b$、$c$、$d$、$e$和$f$为已知的常数，$x$和$y$为未知数。
4. 二元二次方程：二元二次方程是指含有两个未知数的二次方程，一般有形式：$ \begin{cases} ax^2 + by^2 = c \\ dx + ey = f \end{cases}$，其中$a$、$b$、$c$、$d$、$e$和$f$为已知的常数，$x$和$y$为未知数。
5. 多元线性方程组：多元线性方程组是指含有多个未知数的一次方程组，一般有形式：$\begin{cases} a_11x_1 + a_12x_2 + ... + a_1nx_n = b1\\ a_21x_1 + a_22x_2 + ... + a_2nx_n =b_2 \\ \cdots \\ a_m1x_1 + a_m2x_2 + ... + a_mnx_n = b_m \end{cases}$，其中$a_{ij}$和$b_i$为已知的常数，$x_i$为未知数，$i=1, 2, ..., n; j=1, 2, ..., m$。
专题5.1 一元一次方程与等式的基本性质【十大题型】【浙教版】【题型1 方程的概念辨析】 (1)【题型2 列方程】 (2)【题型3 一元一次方程的概念辨析】 (3)【题型4 根据方程的解求值】 (3)【题型5 利用等式的性质判断变形正误】 (3)【题型6 利用等式的性质解方程】 (4)【题型7 利用等式的性质比较大小】 (5)【题型9 利用等式的性质检验方程的解】 (6)【题型10 方程的解的规律问题】 (7)【知识点1 方程的定义】方程是含有未知数的等式，在这一概念中要抓住方程定义的两个要点①等式；①含有未知数．【题型1 方程的概念辨析】【例1】（2023春·湖南衡阳·七年级衡阳市实验中学校考期末）下列各式中：①2x−1=5；①4+8=12；①5y+ 8；①2x+3y=0；①2a+1=1；①2x2−5x−1，是方程的是（）A．①①B．①①①C．①①①D．①①①①【变式1-1】（2023秋·湖南常德·七年级统考期末）宋元时期，中国数学家创立了“天元术”，用“天元”表示未知数，解题先要“立天元为某某”，相当于“设x为某某”．“天元术”是中国数学史上的一项杰出创造，它指的是我们所学的（）A．绝对值B．有理数C．代数式D．方程【变式1-2】（2023秋·山东德州·七年级校考期中）下列各式中不是方程的是（）A．2x+3y=1B．3π+4≠5C．﹣x+y=4D．x=8【变式1-3】（2023秋·江西赣州·七年级统考期末）对于等式：|x −1|+2=3，下列说法正确的是（ ）A ．不是方程B ．是方程，其解只有2C ．是方程，其解只有0D ．是方程，其解有0和2【题型2 列方程】【例2】（2023秋·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）七年级学生人数为x ，其中男生占52%，女生有150人，下列正确的是（ ）A ．1−52%x =150B ．x =150−52%xC ．(1+52%)x =150D ．(1−52%)x =150 【变式2-1】（2023秋·山西阳泉·七年级统考期末）根据下面所给条件，能列出方程的是（ ）A ．一个数的13是6B ．x 与1的差的14C ．甲数的2倍与乙数的13D ．a 与b 的和的60% 【变式2-2】（2023秋·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）列等式表示“比a 的3倍大5的数等于a 的4倍”为 ．【变式2-3】（2023春·河南南阳·七年级校联考期末）根据图中给出的信息，可得正确的方程是（ ）A ．π×(82)2x =π×(62)2×(x +5)B ．π×(82)2x =π×(62)2×(x −5)C ．π×82x =π×62×(x +5)D ．π×82x =π×62×5 【知识点2 一元一次方程的定义】只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程．通常形式是ax+b=0（a ，b 为常数，且a≠0）．一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式．一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0．我们将ax+b=0（其中x 是未知数，a 、b 是已知数，并且a≠0）叫一元一次方程的标准形式．这里a 是未知数的系数，b 是常数，x 的次数必须是1．【题型3 一元一次方程的概念辨析】【例3】（2023春·福建泉州·七年级校考期中）在方程2x−y=6，x+1x −3=0，12x=12，x2−2x−3=0中一元一次方程的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【变式3-1】（2023春·上海·六年级校考期中）方程4−3x2=1中，一次项是．【变式3-2】（2023秋·全国·七年级统考期末）下列各式中：2x−1=0，3x=−2；10x2−7x+2；5+(−3)=2；x−5y=1；x2−2x=1；ax+1=0（a≠0且a为常数），若方程个数记为m，一元一次方程个数记为n，则m−n=．【变式3-3】（2023秋·河北邢台·七年级统考期末）若方程□−x=1是一元一次方程，则□不可以是（）A．0B．14x C．y D．−7【知识点3 方程的解】解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值叫方程的解．【题型4 根据方程的解求值】【例4】（2023秋·云南昆明·七年级统考期末）若关于x的方程2ax+b=12的解为x=1，则6a+3b=．【变式4-1】（2023秋·福建厦门·七年级统考期末）若x=4是方程mx−3=5的解，则m=．【变式4-2】（2023秋·云南红河·七年级统考期末）小刚同学在做作业时，不小心将方程3(x−3)−■=x+1中的一个常数涂黑了，在询问老师后，老师告诉她方程的解是x=7，请问这个被涂黑的常数■是（）A．6B．5C．4D．1【变式4-3】（2023秋·江苏南京·七年级校联考期末）若关于x的一元一次方程12023x−1=b的解为x=3，则关于x的一元一次方程12023(x+1)−1=b的解x=．【知识点4 等式的性质】性质1：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质2：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．【题型5 利用等式的性质判断变形正误】【例5】（2023春·河南南阳·七年级统考期末）下列利用等式的基本性质变形错误的是（）A．如果x−5=12，则x=12+5B．如果−4x=8，则x=−2C．如果13x=9，则x=3D．如果4x+1=9，则4x=8【变式5-1】（2023秋·浙江温州·七年级统考期末）已知3a=2b，则下列选项中的等式成立的是（）A．9a=4b B．a3=b2C．3a−2=2b−2D．3(a+1)=2(b+1)【变式5-2】（2023秋·安徽阜阳·七年级校考期末）若a=b≠0，则下列式子中正确的是（填序号）．①a−2=b−2，①13a=12b，①−34a=−34b，①5a−1=5b−1．【变式5-3】（2023春·上海黄浦·六年级统考期中）解方程x0.7−1.7−2x0.3=1，下列变形正确的是（）A．10x7−17−20x3=1B．10x7−17−20x3=10C．10x7−17−2x3=1D．10x7−17−2x3=10【题型6 利用等式的性质解方程】【例6】（2023秋·湖北武汉·七年级统考期中）用等式的性质解下列方程：(1)4x−2=2；解：方程两边同时加上，得：；方程两边同时，得：．(2)12x+2=6．【变式6-1】（2023秋·内蒙古呼伦贝尔·七年级校联考期中）利用等式性质解方程（1）2x-5=x-5（2）−13x−5=8【变式6-2】（2023秋·北京·七年级校考期中）利用等式性质补全下列解方程过程：3−13x=4解：根据等式性质1，两边同时，可得3−13x−3=4_________，于是−13x=_________．根据____________两边同时乘以-3，可得x=_______．【变式6-3】（2023秋·湖北咸宁·七年级校考期中）利用等式的性质解方程(1)4x−4=3(x+1)(2)2y+13=7−y【题型7 利用等式的性质比较大小】【例7】（2023秋·云南昆明·七年级统考期末）已知2m ﹣1＝2n ，利用等式的性质比较m ，n 的大小是( )A ．m ＞nB ．m ＜nC ．m ＝nD ．无法确定【变式7-1】（2023秋·全国·七年级专题练习）已知5a −3b −1=5b −3a ，利用等式的基本性质比较a ，b 的大小.【变式7-2】（2023秋·江苏泰州·七年级校考期末）已知 4m +2n ﹣5=m +5n ，利用等式的性质比较 m 与 n 的大小关系：m n （填“＞”，“＜”或“=”）．【变式7-3】（2023·甘肃武威·七年级统考期中）已知34m ﹣1=34n ，试用等式的性质比较m 与n 的大小．【题型8 等式的性质在天平中的运用】【例8】（2023春·河北石家庄·七年级统考期末）“○”“口”“①”分别表示三种不同的物体，用天平比较它们的大小，两次情况如图．那么，每个“○”“口”“①”按质量大小的顺序排列为（ ）A ．〇①□B ．〇□①C ．□〇①D ．①□〇【变式8-1】（2023秋·黑龙江哈尔滨·六年级哈尔滨市萧红中学校考开学考试）有15盒饼干，其中的14盒质量相同另有一盒少了几块，如果能用天平称，至少( )次保证可以找出这盒饼干．【变式8-2】（2023秋·广东江门·七年级校考阶段练习）设■，●，▲分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也保持平衡，那么第三架天平右边不能放的是（ ）A ．▲▲▲▲B ．▲▲▲▲▲C ．●●▲D ．●▲▲▲【变式8-3】（2023秋·江苏盐城·七年级统考期末）我们知道，借助天平和一些物品可以探究得到等式的基本性质．【提出问题】能否借助一架天平和一个10克的砝码测量出一个乒乓球和一个一次性纸杯的质量？【实验探究】准备若干相同的乒乓球和若干相同的一次性纸杯（每个乒乓球的质量相同，每个纸杯的质量也相同），设一个乒乓球的质量是x 克，经过试验，将有关信息记录在下表中：【解决问题】（1）将表格中两个空白部分用含x 的代数式表示；（2）分别求出一个乒乓球的质量和一个一次性纸杯的质量．【及时迁移】 （3）借助以上相关数据以及实验经验，你能设计一种方案，使实验中选取的乒乓球的个数是纸杯的个数的3倍吗？请补全下面横线上内容，完善方案，并说明方案设计的合理性．方案：将天平左边放置______，天平右边放置______，使得天平平衡．理由：【题型9 利用等式的性质检验方程的解】【例9】（2023秋·江苏盐城·七年级统考期末）整式mx −n 的值随x 取值的变化而变化，下表是当x 取不同值时对应的整式的值：则关于x 的方程−mx +n =9的解为（ ）A ．x =−5B ．x =−4C ．x =−2D ．x =1【变式9-1】（2023秋·甘肃白银·七年级统考期末）下列方程中，其解为x =−2的是（ ）A ．3x −4=2B ．3(x +1)−3=0C ．2x =−1D ．x+75−1=0【变式9-2】（2023秋·江苏·七年级专题练习）检验下列方程后面小括号内的数是否为相应方程的解．(1)2x +5=10x −3,(x =1)；(2)0.52x −(1−0.52)x =80,(x =1000)．【变式9-3】（2023春·上海·六年级专题练习）x=2是方程ax ﹣4=0的解，检验x=3是不是方程2ax ﹣5=3x ﹣4a 的解．【题型10 方程的解的规律问题】【例10】（2023秋·全国·七年级专题练习）一列方程如下排列：x 4+x−12＝1的解是x＝2；x 6+x−22＝1的解是x＝3；x 8+x−32＝1的解是x＝4；…根据观察得到的规律，写出其中解是x＝20的方程：．【变式10-1】（2023秋·广东揭阳·七年级惠来县第一中学校考期末）有一系列方程，第1个方程是x+x2=3，解为x=2；第2个方程是x2+x3=5，解为x=6；第3个方程是x3+x4=7，解为x=12；…根据规律第10个方程是x10+x11=21，解为．【变式10-2】（2023秋·七年级课时练习）阅读理解题)先阅读下列一段文字，然后解答问题：已知：方程x−1x =112的解是x1=2,x2=−12；方程x−1x=223的解是x1=3,x2=−13；方程x−1x=334的解是x1=4,x2=−14……问题：观察上述方程及其解，再猜想出方程：x−1x =101011的解，并进行检验再推广到一般情形.【变式10-3】（2023秋·七年级单元测试）已知关于x的方程x+2x =3+23的两个解是x1=3,x2=23；又已知关于x的方程x+2x =4+24的两个解是x1=4,x2=24；又已知关于x的方程x+2x =5+25的两个解是x1=5,x2=25；…，小王认真分析和研究上述方程的特征，提出了如下的猜想．关于x的方程x+2x =c+2c的两个解是x1=c,x2=2c；并且小王在老师的帮助下完成了严谨的证明（证明过程略）．小王非常高兴，他向同学提出如下的问题．(1)关于x的方程x+2x =11+211的两个解是x1=和x2=；(2)已知关于x的方程x+2x−1=12+211，则x的两个解是多少？。
