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第二章--稳态热传导(导热理论基础)

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工程热力学与传热学 第二章 稳态热传导 基本概念

工程热力学与传热学 第二章 稳态热传导 基本概念

t—温度(0C)；
x , y , z—直角坐标
由傅里叶定律可知，求解导热问题的关键是获 得温度场。导热微分方程式即物体导热应遵循的一 般规律，结合具体导热问题的定解条件，就可获得 所需的物体温度场。
具体推导: 傅里叶定律
能量守衡定律
导热微分方程式
假定导热物体是各向同性的，物性参数为常数。 我们从导热物体中取出一个任意的微元平行六面 体来推导导热微分方程，如下图所示。
2. 说明： 导热系数表明了物质导热能力的程度。 它是物性参数 物质的种类 热力状态（温度、压力等）。
在温度t=200C时：
纯铜λ=399 w/m0C；水λ=0.599 w/m0C；干空气0C λ（固体）大--------→（液体）---------→（气体）小
隔热材料（或保温材料）----石棉、硅藻土、矿渣棉等，它 们的导热系数通常:λ < 0.2 w/m0C。
c t ( x 2t2 y 2t2 z 2t2)q'
这是笛卡儿坐标系中三维非稳态导热微分方程的一般形式。
导热微分方程式——温度随时间和空间变化的一般关系。 它对导热问题具有普遍适用的意义。
Cp t ( x2t2 y2t2 z2t2)qv
最为简单的是一维温度场的稳定导热微分方程为：
稳态温度场：物体各点的温度不随时间变动； 非稳态（瞬态）温度场：物体的温度分布随时间改变。
2. 等温面(Isothermal surface)（线）：同一时刻物体中温度 相同的点连成的面（或线）。 特点：（1）同一时刻，不同等温线（或面）不可能相交； （2）传热仅发生在不同的等温线（或面）间； （3）由等温线（或面）的疏密可直观反映出不同区域 热流密度的相对大小。
在半径r处取一厚度为dr长度为l米的薄圆筒壁。则

第2章-导热理论基础以及稳态导热2

第2章-导热理论基础以及稳态导热2

导热微分方程式
t t t t & c ( ) ( ) ( ) x x y y z z
非稳态项 扩散项 源项
笛卡尔坐标系中三维非稳态导热微分方程的一般表达式。 物理意义：反映了物体的温度随时间和空间的变化关系。
t t t t & c ( ) ( ) ( ) x x y y z z
（１）第一类边界条件：已知导热体边界上的温度值： 稳态导热： tw= const 非稳态导热： tw = f (τ) 例： x=0, t =tw1 x=δ, t =tw2
（2）第二类边界条件: 已知物体边界上热流密度值：
t qw ( ) w 根据傅里叶定律： n t qw ( )w n
t4
r1
r2
r3
推广到n层壁的情况:
q
t 1 t n 1

n
i 1
i i
本章作业
P88
复习题 4，6
2-2，2-7，2-18, 2-22
RA=δ/λ − 单位面积上导热热阻, [m2∙℃/W]
q （t1 t2） t
上式体现了q, λ, δ,Δt 四个变量的关系， 已知其中任意三个，可求另一个
2. 多层平壁 • 多层平壁：由几层不同材料组成 例：房屋的墙壁— 白灰内层、 水泥沙浆层、红砖（青砖）主体层等组成
t ( ) w h(tw tf ) n
是第一类和第二类边界条件的线性组合
2.2.3 导热微分方程的适用范围 1 ）适用于 q 不很高，而作用时间长。同 时傅立叶定律也适用该条件。 2 ）若时间极短，而且热流密度极大时，则 不适用。 3 ）若属极底温度（ 0 K）时的导热不适用。

工程热力学与传热学第二章稳态热传导基本概念

工程热力学与传热学第二章稳态热传导基本概念
0)
2. 常温边界
系统边界温度恒定，即 (T = T_b)
3. 周期性边界
系统边界温度呈周期性变化， 即 (T(x, y, z, t) = T(x + L, y,
z, t))
求解方法
有限差分法
将导热微分方程转化为差 分方程，通过迭代求解温 度分布。
有限元法
将导热微分方程转化为变 分形式，利用有限元离散 化求解温度分布。
在稳态热传导过程中，导热系数和热 阻共同决定了物体内部温度分布的特 性。
当材料的导热系数越大，其对应的热 阻就越小，表示热量传递越容易；反 之，导热系数越小，热阻越大，热量 传递越困难。
04 稳态热传导的实例分析
一维稳态热传导
总结词
一维稳态热传导是热传导在单一方向上的情况，常见于细长物体或薄层材料。
三维稳态热传导
要点一
总结词
三维稳态热传导涉及三个方向的热量传递，常见于球体或 立方体。
要点二
详细描述
在三维稳态热传导中，热量在三个相互垂直的方向上传递 ，常见于球体或立方体等三维物体。三维稳态热传导的温 度分布在不同方向上都是稳定的，其数学模型比一维和二 维情况更为复杂，需要考虑三个方向的热量传递。三维稳 态热传导在解决实际问题时具有重要意义，如地球内部的 热量传递、建筑物的散热分析等。
稳态热传导的重要性
01
02
03
工程应用广泛
稳态热传导在许多工程领 域都有广泛应用，如建筑、 机械、航空航天等。
基础理论支撑
稳态热传导是传热学的基 础理论之一，对于理解更 复杂的传热过程和现象至 关重要。
节能减排
通过掌握稳态热传导规律， 有助于优化能源利用，实 现节能减排。
稳态热传导的应用场景

传热学(第四版)第二章：稳态热传导

传热学(第四版)第二章：稳态热传导
t t t t ( ) ( ) ( ) Φ x x y y z z
1 单层平壁、第一类边界条件的导热
a 几何条件：单层平板； b 物理条件：、c、 已知；无内热源 c 时间条件： 稳态导热 : t 0 d 边界条件：第一类
2、微元体中内热源的发热量 d 时间内微元体中内热源的发热量：
[2] dxdydz
3、微元体热力学能的增量 内微元体中内能的增量：
t [3] c dxdydz
导热微分方程式、导热过程的能量方程 由 [1]+ [2]= [3]：
t t t t c ( ) ( ) ( ) x x y y z z
§2-2 导热问题的数学描述
根据傅里叶定律： - grad t q [ W m2 ]
要想确定热流密度，应知道物体内的温度场； 因此，确定导热体内的温度分布是导热理论的首要任务
根据热力学第一定律，对于任一微元体：
建立关于t的方程，求解温度分布
假设：(1) 所研究的物体是各向同性的连续介质； (2) 热导率、比热容和密度均为已知； (3) 物体内具有内热源；内热源均匀分布。
1、导入与导出微元体的净热量 沿 x 轴方向、经 x 表面导入的热量：
x qx dydz
沿 x 轴方向、经 x+dx 表面导出的热量：
() x dx qx dx dydz
qx dx qx qx dx x
qx dxdydz x
沿 x 轴方向导入与导出微元体净热量：
20
20
Temperature (C)
15
15
10
10
5
5
0

传热学课件第 二 章 稳 态 热传导

传热学课件第 二 章 稳 态 热传导

d2t d x2
m 2 t t f
1
通过肋壁的导热
一、等截面直肋的导热
4.求解：
4>.引入过余温度：<1>式变为 <4> 5>.解微分方程得温度场 <4>式为一个二阶线性齐次常微分方程，它的通解为： =C1emx+C2e-mx <5> 将边界条件<2>、<3>代入<5>即得肋片沿H方向的温度分布：
通过圆筒壁的导热
一、已知第一类边界条件
据傳里叶定律并整理后可得热流量的表达式： 1 ln d2 2l d1 式中的分母即为长度为l的圆筒壁的导热热阻。 单位为：℃/W 实际工程多采用单位管长的热流量ql来计算热流量：

t w1 t w 2
ql
Q l

t w1 t w 2
d ln d2 2 1 1
通过平壁的导热
二、已知第三类边界条件：
q
q
t f 1 t f 2
1 1 h1 h2
也可写作：q=k（tf1-tf2） （请牢记K的物理意义！） 对于冷热流体通过多层平壁的导热，可写作：
t f 1 t f 2
1 h1

i 1
n
i 1 i h2
若已知传热面积A，则热流量为：
e m x H e m x H 0 e mH e mH
d 2 m 2 d x2
or :
0
或写作：
0
ch mx H ch mH
expmx H exp mx H expmH exp mH
1
h21d x 0

传热学

传热学
等温线
华北电力大学
传热学 Heat Transfer
2、温度梯度
• 定义：沿等温面法线方向上的温度增量与法向 距离比值的极限。温度梯度表示为：
t t grad t n lim n n 0 n n
式中，n
是等温面法线方向上的单位矢量。
华北电力大学
传热学 Heat Transfer

华北电力大学
传热学 Heat Transfer
沿x 轴方向导入与导出微元体净热量
Φx Φx dx
同理可得：
t dxdydz x x
沿 y 轴方向导入与导出微元体净热量
Φy Φy dy
t dxdydz y y
t ( ) Φ 0 x x
华北电力大学
传热学 Heat Transfer
三、其它坐标系中的导热微分方程式
1. 圆柱坐标系（r, , z）
x r cos ; y r sin ; z z
t 1 t 1 t t c (r ) 2 ( ) ( ) r r r r z z
（3）微元体内热源生成的热量
ΦV Φdxdydz
5. 导热微分方程的基本形式
t t t t c ( ) ( ) ( ) Φ x x y y z z
非稳态项
华北电力大学
三个坐标方向净导入的热量
内热源项
传热学 Heat Transfer
传热学 Heat Transfer
利用两个边界条件
t
x 0, t t1 x , t t2
c2 t1 t 2 t1 c1
t1 t 2

传热学 第2章 稳态导热


t t t t c Φ x x y y z z
3、常物性且稳态:
2t 2t 2t Φ a 2 2 2 0 x y z c
如果边界面上的热流密度保持为常数，则 q | w 常数 当边界上的热流密度为零时，称为绝热边界条件
t t qw 0 0 n w n w
18
（3）第三类边界条件 给出了物体在边界上与和它直接接触的流体之 间的换热状况。 根据能量守恒，有：
返回
2.1.1 各类物体的导热机理
气体：气体分子不规则热运动时相互碰撞的结果，高温的气体分子运 动的动能更大 固体：自由电子和晶格振动 对于导电固体，自由电子的运动在导热中起着重要的作用，电的良导 体也是热的良导体 对于非导电固体，导热是通过晶格结构的振动，即原子、分子在其平 衡位置附近的振动来实现的
返回
2.2.2 定解条件
导热微分方程式是能量守恒定律在导热过程中的应用，是一切导热 过程的共性，是通用表达式。 完整数学描述：导热微分方程 + 定解条件 定解条件包括初始条件和边界条件两大类，稳态问题无初始条件 初始条件：初始时刻的状态表示为： =0，t =f (x,y,z)
边界条件： 给出了物体在边界上与外界环境之间在换热上的联系或相互作用
2、推导基本方法：傅里叶定律 + 能量守恒定律 在导热体中取一微元体
进入微元体的总能量+微元体内热源产生的能量-离开微元体的总能量= 微元体内储存能的增加
11
Ein Eg Eout Es
d 时间段内：
Ein Φx Φy Φz d Eiout Φxdx Φy dy Φz dz d

传热学第二章稳态热传导

n w
h h
t f t f ( )
五、 热扩散系数 （thermal diffusivity）
a
物体导热能力 c 物体蓄热能力
从导热方程看：
a
t
温度变化快 扯平能力强
故，a 是评价温度变化速度的一个指标
2.3 通过平壁及圆筒壁的一维稳态导热
一、通过单层平壁的导热
0 , 则 2. Φ
t a 2 t
2
3. 稳态:
Φ a t 0 c
,则
0 4. 稳态且 Φ
t 0
2
三、其它正交坐标
1、柱坐标: (cylinder coordinate)
x r cos ; y r sin ; z z
2 t 1 t 1 2 t 2 t t a 2 2 2 2 r r r z c r
p
各类物质导热系数的范围
导热机理
气体：分子热运动 t

金属 非金属
固体：自由电子和晶格振动
t 晶格振动 阻碍自由电子运动
液体的导热机理不清
固体> 液体 > 气 ； 取决于物质的种类和温度
热绝缘（保温）材料 insulation material：<0.2W/(mK) (50
（2）固体的热导率
（a） 金属的热导率
金属 12~418W (m K)
纯金属的导热：依靠自由电子的迁移和晶格振动； 金属导热与导电机理一致，良导体也是良导热体。
银 铜 金 铝
T
10K:Cu 12000 W (m K) 15K : Cu 7000 W (m K)

第二章-导热理论基础-2

∂t 1 ∂ ∂t 1 ∂ ∂t ∂ ∂t & λ ρc = λr + 2 ∂ϕ + ∂z λ ∂z + q v ∂τ r ∂r ∂r r ∂ϕ
对于稳态、一维、无内热源情况， 上式可简化为：
r
或写成 其通解为
1 d dt λr = 0 r dr dr d dt r = 0 dr dr t = c 1 ln r + c 2
稳态条件下： 稳态条件下：
ql
r = r1
= q l = q1
r = r2
于是得：
t f1 − t f 2 ql = r2 1 1 1 + ln + 2π r1 h1 2πλ r1 2π r1 h1 t f1 − t f 2 = k l (t f 1 − t f 2 ) = r2 1 1 1 + ln + π d 1 h1 2πλ r1 π d 1 h1
t w1
t w2
tf2
1 h1
δ λ
1 h2
3）多层平壁导热，第一类边界条件 ）多层平壁导热，
t w1
tw4
相当于多电阻串联电路
δ1
δ2
δ3
t w1
t w2
t w3
δ2 λ2 δ3 λ3
δ1 λ1
n
tw4
δi ∑ Rt = ∑ λ i =1 i
t w1 − t w 4 ∆t = q= ∑ Rt ∑ Rt
t2=50℃，求炉墙单位面积、单位时间的热损失。
解：材料的平均温度为：
t = (t1 + t2)/2 = (500 + 50)/2 = 275 ℃

第二章 稳态热传导2

环节的热流量相同，则串联过程的总热阻等于各串联环节的分热阻 之和。
典型一维稳态导热问题的分析解
通过平壁的导热
多层平壁

由热阻分析法：q

t1 tn1
n
ri
i 1

t1 tn1
n i
i1 i
问：现在已经知道了q，如何计算其中第 i 层的右侧壁温？

第一层：
q

1 1
r2 d 0 50mm
40mm
r3
45mm
典型一维稳态导热问题的分析解
例题
21 tw1 tw 2 2 tw tw2
t 先假定界面温度为
而 2 0.099
w ，则由题意

0.0002

tw

tw2 2
ln


r2 r1


ln

dx dx
3
tw1
所以对情形3 有 dt dt >


dx dx
x
为什么东北的窗玻璃都采用双层玻璃？
讨论
导热环节越多，串联的热阻就越多，总热阻相对来说就 越大，相同温差下传递的热量越少，越有利于隔热。
典型一维稳态导热问题的分析解
通过圆筒壁的导热
第一次积分
第二次积分
r
dt dr

c1

t c1 ln r c2
典型一维稳态导热问题的分析解
通过圆筒壁的导热
单层圆筒壁
应用边界条件
t1 c1 ln r1 c2 ; t2 c1 ln r2 c2
获得两个系数
c1
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具有稳态温度场的导热过程我们常称之为稳态导热；具有非稳态温 度场的导热过程我们常称之为非稳态导热。
2021/3/10
2
导热理论基础
二、傅里叶（J.Fourier）定律：
1.基本概念：
2>.等温面与等温线：（温度场习惯上用等温面图或等温线图来表 示，如图2-1）
等温线
a.等温面：同一时刻温度场中所有 温度相同的点构成的面。
第二章 稳态热传导（导热理论 基础）
一、概述 二、傅里叶（J.Fourier）定律 三、导热系数 四、导热微分方程 五、导热微分方程的单值性条件 六、解决一具体导热问题的一般步骤
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1
导热理论基础
一、概述：
一般我们认为：导热是发生在物体中的宏观现象，故将物质看作是 连续介质。
导热基础理论的主要任务：
3
导热理论基础
二、傅里叶（J.Fourier）定律：
1.基本概念：
3>.温度梯度gradt:两等温面间的温差△t与其法线方向
的距离△n比值的极限。在单位距离内温度沿法线方
向上的变化值最大、最显著，此时的温度变化率称
之为温度梯度。即： gr a lid m n ttn n n t
n 0
t+△t t t-△t
2.傅里叶（J.Fourier）定律：
在导热现象中，单位时间内通过给定面积的传热量，正比例于该处 垂直导热方向的截面面积及此处的温度梯度，其数学表达式为：
q g A g rrW a a / W m 2 d dtt
几点问题：
1>.负号表示热量传递指向温度降低的方向，与温度梯度方向相反。
2>.温度梯度是引起物体内热量传递的根本原因。
3>.适用范围：傅里叶定律是一个实验定律，是导热现象经验的规律 性总结，普遍适用各种导热现象。即不论是否变物性（λ=a+bt）, 有无内热源，是否非稳态，不论物体几何形状如何，也不论物质 的形态（固﹑液、气），其都适用。
4>.现实意义：只要已知温度场，则可由傅里叶定律求出
1.找出物体内温度与时间、空间的关系式，即求解温度场；
2.找出物体内温度分布与换热量的普遍联系式，即傅里叶定律。
二、傅里叶（J.Fourier）定律：
1.基本概念：
1>.温度场：物体某一时刻其内各点的温度分布：
t=f（x、y、z、）
上式为三维非稳态温度场；当t/=0时，称为三维稳态温度场，即： t=f（x、y、z）；若温度场仅和二个或一个坐标有关时则为二维或一 维稳态温度场：即t=f（x、y） 或：t=f（x）。
与傳里叶定律。
y
3.假定：
x
内热源qvdz
x+dx
a.物质为各向同性的连续 介质；
b.已知：、、c
y+dy
dx
dy
c.有内热源qv：qv为单位 体积单位时间内所产生
的热量，单位为：
W/m3
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z
4.推导：如图取任一微元 体dv 且 dv=dxdydz7，
导热理论基础
四、导热微分方程 对此微元体应用热力学第一定律
z- z+dz=-qz/z·dxdydz 故A部（即微元体导热的净热量）为：
A=-（qx/x+qy/y+qz/z）dxdydz 据傳里叶定律有：
qx=-·t/x qy=-·t/y qz=-·t/z 代入上式有：
A x x t y y t z z t dxdy
b.等温线：不同的等温面与同一平 面相交，在此平面上构成的一簇曲 线。
c.特点：①不同的等温面（线）不 可能相交；②它们或者是完全封闭 的曲面（线），或者终止于物体的 边界上；③沿等温面（线）无热量 传递；④等温面（线）的疏密可直 观反映出不同区域温度梯度（或热 流密度）的相对大小。
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忽略ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ阶无穷小量，仅取级数前两项有：
qxdxqxqxx dx
代入x+dx截面有：x+dx=qx·dydz+qx/x·dxdydz
故沿x轴方向微元体导热的净热流量为：
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x- x+dx=-qx/x·dxdydz 同理
8
导热理论基础
四、导热微分方程
②沿y轴方向导入微元体的净热量为：
y- y+dy=-qy/y·dxdydz ③沿z轴方向导入微元体的净热量为：
［导入微元体的热量-导出微元体的热量］+［内热源发热量］
A
+B
=［热力学能增量］
A部：
=C
①沿x轴方向：x截面： x=qx·dydz x+dx截面：x+dx=qx+dx·dydz
因qx是x的函数，且在x至x+dx区间内连续可微，据泰勒级数有：
q x d x q x q x xd x 2 x q 2 xd 2 ! 2 x 3 x q 3 xd 3 ! 3x
传热量，故求解导热问题的关键是求解物体中的温度分
布2，021/给3/10求解温度场。
5
导热理论基础
三、导热系数： 1.定义表达式： = - q/gradt
2.物理意义：表征物质导热能力的大小。数值上等于单位温度降度单 位时间单位面积的导热量。
3.单位：通过量纲分析有：W/m·℃ 4.由来：一般用实验方法测得。 5.特性：λ是物性参数，它的大小起决于物质的种类和热力状态，一般
7. 20 ℃时典型材料的λ（W/m·℃） 铜 399 碳钢 40 水 0.599 干空气 0.0259
一般，金属材料的λ最大，非金属固体材料次之，液体更 次之，而气体最小。
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6
导热理论基础
四、导热微分方程
1.目的：建立物体内温度
z x z+dz
与时间、空间的普遍联
y
系式。
2.原理：热力学第一定律
写成空间直 角坐标 系形 式有： gr ia x t jd y t k t z t
△t3
△t1
△t
q
△t2
n
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x
4>.温度梯度的方向：法线方向， 指向温度升高的方向。
5>.热流密度向量：与温度梯度 的方向相反，指向温度降低 的方向。垂直于等温面
4
（线）。
导热理论基础
二、傅里叶（J.Fourier）定律：
工程中仅认为与温度呈线性关系，即： = 0（a+bt） 0为0℃时导热系数
6.隔热保温材料（热绝缘材料）：室温条件下（20℃时） 值小于 0.12W/m·℃的材料。如：岩棉、膨胀珍珠岩等。特点是：a.多为多 孔体或纤维体材料；b.间隙中多充满气体；c.严格讲不能视为连续介 质；d.间隙的无限加大并不能提高保温能力；e.湿度的增加使其保 温能力大大下降。