上海交通大学线性代数试卷A卷

班级号 上海交通大学试卷（A 卷）（2009 至2010 学年 第1学期） ____________________ 号 . ___ ■生名 ________________ 课程名称 _____ 线_性_代_数_ （B 类） _______ 成绩 _________________________ xX 22 X3 0X 1xX 3 0为Ax 0，若存在二阶矩阵 B 0，使得AB 0，贝U （ X 1 X 2 X 3 0单项选择题（每题3分，共18分） 1 •记方程组 (B) 2,且 B 0; (A) 2,且 B 0 ; (C) 1,且 B 0 ； (D)1,且 B 0。

2•设A 是m n 的矩阵,1 0 0(A) 0 3 0 ; 0 0 33 0 0(C) 0 3 0 ; 0 0 1 4.设 A, B 为 n 阶矩阵，且AB(B) 当nm 时必有非零解；(D) 当m n 时必有非零解。

0 1 01 0 0，则矩阵 B 42A 2 =(0 013 0 0(B) 0 3 0 ;0 0 11 0 0(D)0 3 0。

0 0 30,B 0, 则必有(B 是n m 的矩阵，则齐次线性方程组(AB)x 0(（A ）当n m 时仅有零解； （C ）当m n 时仅有零解； 3•设矩阵A 与B 相似，其中A 2 2 2(A) (A B) A B ; (B) |B|0 ;(C) | B * | 0 ; (D) | A * | 0。

5•设A , B 为n 阶正交矩阵，则以下一定是正交矩阵的是（其中 k 1, k 2为任意常数）(A) A B ;(B) A B ;(B) 1, 2 , , s 中任意一个向量都不能用其余向量线性表示； (C) 1,2,, s 中任意两个向量都线性无关；(D)1, 2 , , s 中存在一个向量，它不能用其余向量线性表示。

填空题(每题3分，共18分)11 1 17.设 Aa 1a 2a 3 , bb ，其中a i 互不相同，i i 1,2,3，则线性方程组 Ax b 的解222.2a 1 a 2 a 3 b是：x 1 ,X 9,X3。

1.由()()()542αββγαγ-+-=+得()14111363326Tγαβ⎛⎫=-=--⎪⎝⎭. 2．设112233k k k βααα=++，则有1232313123k k k k k k k ++=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩ 解得11k =-，22k =-，34k =， 即12324βααα=--+.3.设112233440k k k k αααα+++=，则有13412341212420530200k k k k k k k k k k k k ++=⎧⎪+--=⎪⎨+=⎪⎪++=⎩ 解得142k k =-，24k k =，30k =， 即只有3α不能由其余三个向量线性表出.4.(1) 因为()12313111012012010112200301010012a A B b a b αααβ-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪- ⎪ ⎪==→= ⎪ ⎪-⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，所以0a ≠，10b -≠且()231a b -=-，即0a ≠，1b ≠且()312a b =-时β是向量1α，2α，3α的线性组合，当1a =，13b =时，101210050101010100300130120000B a b --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，所以12353βααα=-++.(2)由(1)知，当0a =或1b =或0a ≠，1b ≠且()312a b ≠-时β不能由向量1α，2α，3α线性表出.5.(1) 设()211401A αβγ⎛⎫==⎪-⎝⎭，则()23r A =<，所以α，β，γ线性相关.(2) 设()211011220011112112A αβγ-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭, 则()23r A =<.(3) 设()211111111033112003A αβγ--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，则()3r A =，所以α，β，γ线性无关.6.(1) 设()12110021010310001412002k A k αβγ-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪==→ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，所以不论k 取何值α，β，γ都线性无关.(2) 设()210214425030234001213000k A k αβγ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪-- ⎪==→ ⎪ ⎪--⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以当302k--=，即6k =-时，()23r A =<，α，β，γ线性相关； 当302k--≠，即6k ≠-时α，β，γ线性无关. 7.不一定.若()12m A ααα= ，则当()r A m <时12,,,m ααα 线性相关. 8. 由定义，12,,,m ααα 一定线性无关.9.设()()()1230k k k αββγγα-+++-=，则()()()1312230k k k k k k αβγ-+-+++=，由于α，β，γ线性无关，则131223000k k k k k k -=⎧⎪-+=⎨⎪+=⎩，解得1230k k k ===，所以αβ-，βγ+，γα-也线性无关. 10. 设()()()11222310s s k k k αααααα++++++= ， 则()()()1112210s s s s k k k k k k ααα-++++++= ，由于12,,,s ααα 线性无关，则1121000s s s k k k k k k -+=⎧⎪+=⎪⎨⎪⎪+=⎩ ，系数距阵1000111000011000001000011A ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 当s 为奇数时1000101001001010001100002A ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭，()r A s =，方程组只有零解，所以12231,,,s αααααα+++ 线性无关；当s 为偶数时1000101001001010001100000A ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪→⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，()r A s <，方程组有非零解， 所以12231,,,s αααααα+++ 线性相关. 11. 设()()()1230k l k m k βαγβαγ-+-+-=， 则()()()1312230k k lk k mk k αβγ-++-+-=，由于,,αβγ线性无关，则13122300k k lk k mk k -+=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩，系数距阵101101100101001A l l m lm --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭， 只有当10lm -≠即1lm ≠时，()3r A =，方程组只有零解，,,l m βαγβαγ---线性无关. 12.n 维单位向量12,,,n εεε 线性无关，不妨设:11111221221122221122n nn nn n n nn nk k k k k k k k k εαααεαααεααα=+++=+++=+++所以 1112111212222212T T n T T n T T n n nn n n k k k k k k k k k εαεαεα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭两边取行列式，得1112111212222212TTn T Tn T Tn n nn nnk k k k k k k k k εαεαεα=，由112200T T T T T T nnεαεαεα≠⇒≠即n 维向量组12,,,n ααα 所构成矩阵的秩为n ，故12,,,n ααα 线性无关.13．证明 证法一：设12,,,n εεε 为一组n 维单位向量，对于任意n 维向量12(,,,)T n a k k k = 则有1122n n a k k k εεε=+++ ，即任一n 维向量都可由单位向量线性表示.⇒必要性12,,,n ααα 线性无关，且12,,,n ααα 能由单位向量线性表示，即11111221221122221122n n n nn n n nn nk k k k k k k k k αεεεαεεεαεεε=+++=+++=+++故 1112111212222212T T n T T n T T n n nn n n k k k k k k kk k αεαεαε⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭两边取行列式，得1112111212222212T Tn T Tn T Tn n nn nnk k k k k k k k k αεαεαε=由1112112122221200T n T n T n n nnnk k k k k k k k k ααα≠⇒≠，令111212122212n n n nn n nn k k k k k k A k k k ⨯⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭， 则由 111112222T T T T T T T T T T T T n n n n A A εεαεαεαεαεαε-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⇒= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭即12,,,n εεε 都能由12,,,n ααα 线性表示，因为任一n 维向量能由单位向量线性表示，故任一n 维向量都可以由12,,,n ααα 线性表示.⇐充分性已知任一n 维向量都可由12,,,n ααα 线性表示，则单位向量组：12,,,n εεε 可由12,,,n ααα 线性表示，由12题知12,,,n ααα 线性无关.证法二：必要性 设α为任一n 维向量，因为12,,,n ααα 线性无关, 而12,,,,n αααα 是1n +个n 维向量是线性相关的, 所以α能由12,,,n ααα 线性表示, 且表示式是唯一的.充分性 已知任一n 维向量都可由12,,,n ααα 线性表示, 故单位坐标向量组12,,,n εεε 能由12,,,n ααα 线性表示, 于是有()()1212,,,,,,n n n r r n εεεααα=≤≤ ,即()12,,,n r n ααα= ，所以12,,,n ααα 线性无关.14.证明 设11220s s m n k k k k k αααβγ+++++= ，则由条件知0m k ≠，0n k ≠，因为若0m k =，则由12,,,s ααα 线性无关，12,,,,,s αααβγ 线性相关知，γ能由12,,,s ααα 线性表出，与已知条件矛盾，故0m k ≠；同理可得0n k ≠.因此，1212s n s m m m mk k k kk k k k βαααγ=----- ，即β可由12,,,,s αααγ 线性表出,12,,,,s αααβ 也可由12,,,,s αααγ 线性表出，同理可得，12,,,,s αααγ 也可由12,,,,s αααβ 线性表出，故12,,,,s αααβ 与12,,,,s αααγ 等价. 15．反证法：假设存在0i k =，使得1122112211110m m i i i i m m k k k k k k k k αααααααα--+++++=++++++= ，因为任意1m -个向量线性无关，则12110i im k k k k k -+======= ，即()01,2,,j k j m == ，又12,,,m ααα 线性相关，则存在不全为零的数12,,,m k k k ，使得 11220m m k k k ααα+++= ，矛盾，故()01,2,,i k i m ≠= ，即必存在m 个全不为零的数12,,,m k k k ，使得11220m m k k k ααα+++= .16.(1)构造矩阵()1234,,,A αααα=，对A 作初等行变换，将其化为规范的阶梯形矩阵，即31121000513401002011001015330001A B -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-- ⎪ ⎪== ⎪ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭初等行变换 显然，()()4r A r B ==，即()1234,,,4r αααα=，1234,,,αααα是A 的列向量组的极大无关组. (2) 构造矩阵()12345,,,,A ααααα=，对A 作初等行变换，将其化为规范的阶梯形矩阵，即1100020144631272501000310111001030031200001A B ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪==⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭初等行变换 显然，()()4r A r B ==，即()12345,,,,4r ααααα=，1235,,,αααα，1245,,,αααα或2345,,,αααα是A 的列向量组的极大无关组.17. (1)构造矩阵()1234,,,A αααα=，对A 作初等行变换，将其化为规范的阶梯形矩阵，即1101212324135011120120000A B ⎛⎫⎪⎛⎫⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭初等行变换 显然，()()2r A r B ==，即()1234,,,2r αααα=，12,αα是A 的列向量组的极大无关组，且有31312ααα=+，412ααα=+.(2) 构造矩阵()1234,,,A αααα=，对A 作初等行变换，将其化为规范的阶梯形矩阵，即611710104041015012900001131610000242230000A B ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎪ ⎪==- ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ 初等行变换显然，()()3r A r B ==，即()1234,,,3r αααα=，124,,ααα是A 的列向量组的极大无关组，且有312450αααα=-+.18.法1：已知()()()453425330αβγξηξηξη-+=--++-+=，且4,5,3-不全为零，由定义,,αβγ线性相关.法2：,,αβγ由,ξη线性表出,且32>，则由定理3.5知,,αβγ线性相关. 19.从向量组12,,,s ααα (1)中任取m 个向量，记为12,,,i i im ααα (2)在组(1)中删掉一个向量后，则其秩最多减1. 组(2)可作为组(1)删掉s m -个向量后所得的向量组，因此组(2)的秩至少是()r s m r m s --=+-.20．设()()()12121212,,,,,,,,,,,,,,,n n n n A B C αααβββαααβββ=== 的极大线性无关组分别为',','A B C ,含有的向量个数(秩)分别为()()(),,r A r B r C ,则,,A B C 分别与,,A B C '''等价,易知,A B 均可由C 线性表示,则()()r C r A ≥,()()r C r B ≥，即()()()max{,}r A r B r C ≤.设'A 与'B 中的向量共同构成向量组D ,则,A B 均可由D 线性表示,即C 可由D 线性表示,从而'C 可由D 线性表示，所以()()r C r D '≤，D 为()()r A r B +阶矩阵，所以()()()r D r A r B ≤+，即()()()r C r A r B ≤+. 21．(1) 首先将系数矩阵化为规范阶梯矩阵，111213713210173540001174000A ⎛⎫ ⎪-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭选z 为自由未知量，取7z =-，得基础解系1117η⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭于是原方程组的通解为X c η=，即1117x X y c z ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，c 为任意常数.(2) 首先将系数矩阵化为规范阶梯矩阵,11111111111011532113012260122601226000000000054331000000A ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎪⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭345,,x x x 为自由未知量.分别取345x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭为1000,1,0001⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 得基础解系123115226,,100010001ηηη⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以原方程组的解为112233X k k k ηηη=++, 其中123,,k k k 为任意常数. (3) 用初等行变换将(),A β化为规范阶梯矩阵，12431108713564201651452310000038241950000---⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪-- ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪- ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭ 选34,x x 为自由未知量.令340x x ==，得特解01100γ-⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭分别取34x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭为10⎛⎫ ⎪⎝⎭，01⎛⎫⎪⎝⎭，得出对应的齐次线性方程组的基础解系18610η⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，27501η-⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭于是原方程组的通解为01122X c c γηη=++12187165010001c c --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭其中12,c c 为任意常数.22．首先将系数矩阵化为规范阶梯矩阵，432210131111110124221020000003211100000A ---⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪- ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭选345,,x x x 为自由未知量，分别取3451,0,0x x x ===，3450,1,0x x x ===和3450,0,1x x x ===，得基础解系112100η⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，234010η⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，312001η⎛⎫⎪- ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭所以四个解向量不能构成方程组的基础解系，必须去掉二、四列，取112100η⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，234010η⎛⎫⎪- ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，补充312001η⎛⎫⎪- ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，123,,ηηη构成基础解系.23．(1) 用初等行变换将(),A β化为规范阶梯矩阵，()222211111,11011110111k k k A k k k k k k B k k k k k β⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=→---= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭当1k ≠时，()221110101101101110021k k k k k B k k k k k k ⎛⎫++⎛⎫⎪⎪=--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭++⎝⎭，若2k =-，则20k +=，而()2110k +=≠，原方程组无解； 若2k ≠-，则原方程组有唯一解；当1k =时，111100000000B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，原方程组有无穷多组解，选,y z 为自由未知量.令0y z ==，得特解0100γ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭分别取y z ⎛⎫ ⎪⎝⎭为10⎛⎫ ⎪⎝⎭，01⎛⎫⎪⎝⎭，得出对应的齐次线性方程组的基础解系1110η-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2101η-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭于是原方程组的通解为01122X c c γηη=++12111010001c c --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭其中12,c c 为任意常数.24．(2) 用初等行变换将(),A β化为规范阶梯矩阵，()11110101110122101221,013200101321100010A B a b a b a a β---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪=→=⎪ ⎪----+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭当1,1a b =≠-时，10a -=，而10b +≠，原方程组无解；当1a ≠时，2100011011123012210100100101100100010100010b a a a b B a a b b a a -+⎛⎫ ⎪----⎛⎫⎪-- ⎪⎪ ⎪⎪=→- ⎪-+⎪+ ⎪⎪-⎝⎭ ⎪- ⎪⎝⎭则原方程组有唯一解：123421231110b a a x a b x a x b x a -+⎛⎫ ⎪-⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪- ⎪⎝⎭； 当1,1a b ==-时，10111012210000000000B ---⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭原方程组有无穷多组解，选34,x x 为自由未知量.令340x x ==，得特解01100γ-⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭分别取34x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭为10⎛⎫ ⎪⎝⎭，01⎛⎫⎪⎝⎭，得出对应的齐次线性方程组的基础解系11210η⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，21201η⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭于是原方程组的通解为01122X c c γηη=++12311218133010000100001k k k --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭其中12,c c 为任意常数.25．由解向量()12,,,Tn X x x x = 的任意性可得AX O =的基础解系含解向量个数为n ，则()0r A n n =-=，所以A O =.26.因为0ij A ≠，则()1r A n =-，又由于方程组含有n 个未知量，故其基础解系只含一个非零的解向量，亦即任何非零的解向量都是一个基础解系，而由于111122111221122000i i n in i i i i in in n i n i nn in a A a A a A a A a A a A A a A a A a A +++=+++==+++= 且0ij A ≠，故12,,,i i in A A A 是方程组的一个非零解，即()12,,,Ti i in A A A是该齐次线性方程组的一个基础解系.27.充分性：若0A ≠，则由克莱姆法则知，方程组有解.必要性：若方程组有解，则系数矩阵A 与增广矩阵A 的秩相同，再由i b 的任意性，秩都应等于n ，即A 必为非奇异矩阵，故0A ≠.28.(1)反证法, 假设12,,,,r ηηηξ 线性相关. 因为12,,,r ηηη 线性无关, 而12,,,,r ηηηξ 线性相关, 所以ξ可由12,,,r ηηη 线性表示, 且表示式是唯一的, 这说明ξ也是齐次线性方程组的解, 矛盾.(2)显然向量组12,,,,r ξηξηξηξ+++ 与向量组12,,,,r ηηηξ 可以相互表示, 故这两个向量组等价, 而由(1)知向量组12,,,,r ηηηξ 线性无关, 所以向量组12,,,,r ξηξηξηξ+++ 也线性无关.(3)由定理3.8知，1122r r c c c γξηηη=++++ ()()()()1211221r r r c c c c c c ξηξηξηξ=----+++++++ 设0121r c c c c =---- ，则0121r c c c c ++++= ，且()()()01122r r c c c c γξηξηξηξ=+++++++ .29. 证明 当()r A n =时, 0A ≠, 故有**n AA A A A E A ===，1*0n A A-=≠，所以(*)r A n =；当()1r A n =-时, 0A =, 故有*0AA A E ==即*A 的列向量都是方程组0Ax =的解. 因为()1r A n =-, 所以方程组0Ax =的基础解系中只含一个解向量, 即基础解系的秩为1. 因此(*)1r A =；当()2r A n ≤-时,A 中每个元素的代数余子式都为0, 故*0A =, 从而(*)0r A =.。

第 1 页 共 4 页 背面有试题华东交通大学2017—2018学年第一学期考试卷课程名称： 线性代数A 考试时间： 120 分钟 考试方式：闭卷 （A ）卷一、填空题(每题 3 分，共 15 分)1、设矩阵A ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛--4321，则矩阵A 的伴随矩阵A *＝ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛13242、设方阵A 满足A 3-2A+E=0，则21(A 2E)-- = -A .3、已知向量),,(211-=α与向量),,(x 22-=β正交，则=x -2. 4、如果n 元齐次线性方程组0=Ax 的基础解系含有)(n s s <个解向量， 那么矩阵的秩为()=A R s n - 5、设 123,,λλλ为方阵270056004A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的三个特征值，则123λλλ＝ 40 二、选择题(每题3 分，共15 分)6、若⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛λ--=05021311A 为奇异矩阵，则=λ( C ).(A) 1 (B) 2 (C) -3 (D) -4 7、B A ,是n 阶方阵，则下列结论成立的是( C ).(A)000==⇔=B A AB 或 (B)00=⇔=A A (C)000==⇔=B A AB 或 (D).1=⇔=A E A 8、若向量组s ααα,,, 21的秩为r ，则( D ).(A)必定s r < (B)向量组中任意小于r 个向量的部分组线性无关(C)向量组中任意r 个向量线性无关 (D)向量组中任意1+r 个向量必定线性相关9、设B A ,为同阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（B ） (A)111)(---+=+B A B A (B)111)(---=A B AB(C)111---=)()(T T B A AB (D)11--=kA kA )(（其中k 为非零常数）第 2 页 共 4 页 背面有试题2装O订O线O10、设1234,,,αααα都是3维向量，则必有( B )(A) 1234,,,αααα线性无关 (B) 1234,,,αααα线性相关 (C) 1α可由234,,ααα线性表示 (D) 1α不可由234,,ααα线性表示三、解答题(每题8分，共40分)11、求行列式21021001201002。

北 方 交 通 大 学2000-2001学年第二学期线性代数期末考试试卷（A 卷）一．填空题（本题共10道小题，每小题3分，满分30分）1．设矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=121xA ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=012y B ，且BA AB =，则=x _______；=y _______． 解：由BA AB =，得⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-121012012121xy y x ， 即 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2142124y xy xy x y ． 即112,4=--=x y y ，解方程组，得2,1==y x ．且当2,1==y x 时，矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1121A ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0122B ， 验证：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=212401221121AB ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=212411210122BA 此时有BA AB =． 应填：2,1==y x ．2．设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=332313322212312111b a b a b a b a b a b a b a b a b a A ，其中0,0≠≠i i b a ()3,2,1=i ，则()=A r _______．解：由该矩阵的构造，以及行列式的运算性质，可知该矩阵的任意一个1阶子式均不为0，而任意一个二阶子式都为0．因此该矩阵的秩()1=A r ． 应填：()1=A r ．3．设n 阶方阵A 的伴随矩阵为*A ，且0≠=a A ，则=*A _______．解： 由E A AA=*，两端取行列式，得nAE A AA==*．由于两个n 阶矩阵乘积的行列式等于它们行列式的乘积，因此有 nA A A =*，即na a =*A．由题设，0≠=a A ，得11*--==n n aA A．应填：1-n a ． 4．设向量()3,2,11-=α，()5,2,02-=α，()2,0,13-=α，()8,5,44=α，则4321,,,αααα线性_______关．解：根据向量线性相关的性质：1+n 个n 维向量必然线性相关．可知4321,,,αααα线性相关．应填：相关．5．设A 是3阶矩阵，A 有特征值1,1,0321=-==λλλ，其对应的特征向量分别为1ξ，2ξ，和3ξ，设[]321,,ξξξP =，则=-AP P 1___________．解：根据矩阵的相似标准形的理论，我们有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-1101AP P 应填：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-11． 6．设A 是n m ⨯矩阵，则齐次线性方程组0AX =仅有零解的充分必要条件是___________． 解：根据齐次线性方程组解的结构理论，得齐次线性方程组0AX =仅有零解的充分必要条件是()n r =A ．应填：()n r =A ． 7．已知：()()3122232132124,,x x x x x x x x f +++=β是正定二次型，则β的取值范围是___________． 解：此二次型所对应的矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=40001βββA ． 则此二次型为正定二次型的充分必要条件为矩阵A 是正定二次型．而A 是正定二次型的充分必要条件是A 的各阶顺序主子式皆大于零．即001>=ββ； ()04400012>-=βββββ．因此有不等式组⎩⎨⎧>->0402ββ，解之得20<<β． 应填：20<<β．8．设3阶方阵A 的列分块矩阵为[]321,,αααA =，a 、b 是数，若213αααb a +=，则=A ___________．解：根据行列式的运算性质，得 [][]2121321,,,,αααααααA b a +==[][][]0,,,,,,2211212121=+=+=ααααααααααb a b a ．应填：0．9．设不含零向量的n 元向量组m ααα,,,21 是正交向量组，则m 与n 的大小关系为______． 解：因为n 元向量组m ααα,,,21 是正交向量组，所以向量组m ααα,,,21 是线性无关的向量组．因此n m ≤． 应填：n m ≤．10．设有一个四元非齐次线性方程组 b AX =，()3=A r ，321,,ααα为其解向量，且⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=79911α， ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=+899132αα， 则此方程组的一般解为____________． 解：由于四元非齐次线性方程组b AX =的系数矩阵的秩()3=A r ，因此齐次线性方程组b AX =的导出组0AX =的基础解系中有一个解向量．由于2α与3α都是非齐次线性方程组b AX =的解向量，所以()⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=+42929212132αα也是非齐次线性方程组b AX =的解向量．因此()13221ααα-+是齐次线性方程组0AX =的解向量．所以()⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-+69917991289912132ααα或者⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡6991是齐次线性方程组0AX =的基础解系中的一个解向量．因此，非齐次线性方程组b AX =的通解为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡79916991k ， （其中k 是任意常数）． 应填：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡79916991k ．二．（本题满分8分）计算n 阶行列式1111111332211------=n n a a a a a a a a D ．解：将行列式按第1列展开，得1111111332211------=n n n a a a a a a a a D ()1211114433221111111-+---+-----=n n n n a a a a a a a a a a a a()1211111-+--+-=n n n a a a D a由此得递推公式：()1211111-+--+-=n n n n a a a D a D于是，()[]()121113222111-+---+-+--=n n n nn n a a a a a a D a a D()()12112212121-+--+-=n n n a a a D a a== ()()()121122212121-+----+-=n n n n a a a n D a a a而1112211----=-=n n n a a a D所以，()()()()1211122121221-+-----+-⋅-=n n n n n n a a a n a a a a D()()122111221111--+----=-=n n n n n n a a a na a a a na ．三．（本题满分8分）已知矩阵X 满足关系式：X B XA 3+=T ，其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1234A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=41032B ， 求X ． 解：由X B XA 3+=T ，得T B X XA =-3，即()T B E A X =-3 而 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-2231300312343E A ， 所以 ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=---1232412231311E A ． 在等式()T B E A X =-3两端右乘()13--E A ，得()⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⋅⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-=-12212314884644112324140130231E A BX T． 四．（本题满分10分）设向量组[]Tk ,1,0,01=α，[]Tk 0,1,,02=α，[]T0,0,1,13=α，[]Tk 1,0,0,4=α，问：⑴ k 为何值时，向量组4321,,,αααα线性无关．⑵ k 为何值时，向量组4321,,,αααα线性相关，并求其秩及一个极大无关组．解：⑴ 4维向量组4321,,,αααα线性无关当且仅当4阶行列式0,,,4321≠αααα．而 11000100011101000100011100011010100,,,4321kk k kk k kk k --=-==αααα()1101000100011111000100011-=--=-=k k kk k k k所以，当且仅当0≠k 而且1≠k 时，0,,,4321≠αααα此时向量组4321,,,αααα线性无关．⑵ 当0=k 或者1=k 时，向量组4321,,,αααα线性相关．当0=k 时，[]⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=10001101000100,,,4321αααα， 此时向量组4321,,,αααα的秩为3，432,,ααα是其一个极大线性无关组．当1=k 时，[]⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=101001101101100,,,4321αααα， 此时向量组4321,,,αααα的秩为3，432,,ααα是其一个极大线性无关组．五．（本题满分14分）对参数λ，讨论方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=++=-+λλλλλ3213213211x x x x x x x x x 的解．在有解时，求出其无穷多解． 解：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-------→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-------→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--0110111011111100110111111111122λλλλλλλλλλλλλλλλλ()()()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-+----→λλλλλλλλ11101110111⑴ 若0=λ，则有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--10111011011111111λλλλλ此时方程组的系数矩阵的秩为2，而其增广矩阵的秩为3，故此时线性方程组无解． ⑵ 若1=λ，则有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--000100101102020011111111111λλλλλ此时线性方程组有无穷多组解．其解为⎩⎨⎧=-=01321x x x ．⑶ 若1-=λ，则有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--001010010100202011111111111λλλλλ 此时线性方程组有无穷多组解．其解为⎩⎨⎧-=-=1231x x x ．⑷ 若0≠λ，且1±≠λ，线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都是3，其秩与未知变量的个数相等，故此时线性方程组有唯一解．六．（本题满分16分）设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=122232221A ，求可逆矩阵P ，使得AP P Λ1-=为对角矩阵，并求kA ． 解：⑴ 矩阵A 的特征多项式为()1221102211122110221122232221---+=--++-=--+--=-λλλλλλλλλλλA E()()()111221002112-+=+--+=λλλλλ所以，矩阵A 的特征值为1,1321=-==λλλ．对121-==λλ，由⎪⎩⎪⎨⎧=--=++-=++-022202220222321321321x x x x x x x x x ，得解向量[][]TT0,1,1,1,0,121==αα．对13=λ，由⎪⎩⎪⎨⎧=-=++-=+02202420222132132x x x x x x x ，得解向量[]T1,1,13-=α．令 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=101110111P ，则有 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-1111AP P ． ⑵ 由⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-1111AP P ，得1111-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=P P A 所以，()()111111111111---⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=P P P PP PAkk kkk若k 是奇数，则 A P PA=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-1111k； 若k 是偶数，则 E P PA=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-1111k． 七．（本题满分8分）设321,,ααα为线性空间V 的一个基， 3213321221123,232,αααβαααβααβ++=++=-=．证明：321,,βββ也是线性空间V 的一个基．并求32132αααα+-=在基321,,βββ下的坐标向量．解：⑴ 由3213321221123,232,αααβαααβααβ++=++=-=，得[][]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=22331121,,,,321321αααβββ 由于022245012122331121≠==-，所以矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-220331121是可逆矩阵，因此向量组321,,ααα与321,,βββ等价．这表明，321,,βββ也是线性空间V 的一个基．⑵ []⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=+-=312,,32321321ααααααα．由[][]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=220331121,,,,321321αααβββ，得 [][][]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----⋅=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-52242232021,,22331121,,,,3211321321ββββββααα 所以，[][][]⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----⋅=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=2135211,,31252242232021,,312,,321321321ββββββαααα即32132αααα+-=在基321,,βββ下的坐标向量为T⎥⎦⎤⎢⎣⎡-213,5,211． 八．（本题满分6分）已知矩阵A 与B 相似，其中2000-2001学年第二学期线性代数期末考试A 卷解答 第 11 页 共 11 页 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=x 10100002A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=10010002y B ， 求x 和y ．解：由于相似矩阵有相等的行列式，即100100021*******-===y x B A因此，有y 22-=-，所以有1=y ． 再由相似的矩阵有相等的迹，即有 1202-+=++y x ，因此，有0=x ．由此得1,0==y x ．。

目录线性代数试卷（A）2004-06-16 (2)线性代数03－04学年第2学期期末考试参考答案 (8)线性代数试卷(A) 2003-12-31 (11)线性代数2003－2004学年度第1学期期末考试参考答案 (17)线性代数试卷(A) 2005-06-22 (20)线性代数（04－05－2）期末试卷（A）参考答案 (26)线性代数试卷(A) 2004-12-29 (30)线性代数（04－05－1）期末试卷（A）参考答案 (36)线性代数试卷（A卷）2006－06－21 (39)线性代数参考答案 (45)线性代数(B)试卷----A卷2006-1-4 (48)线性代数（B）（05－06－1）期末试卷（A）参考答案 (54)线性代数(C) 试卷----A卷2006-1-4 (57)线性代数（C）（05－06－1）期末试卷（A）参考答案 (63)上海交通大学线 性 代 数 试 卷（A ） 2004-06-16姓名____________班级___ _______学号______________得分一、选择题（每题3分，共15分） 1. 设n 阶行列式D =nija ，j i A 是D 中元素j i a 的代数余子式，则下列各式中正确的是 (A) 01=∑=ni ij ij A a ；(B) 01=∑=nj ij ij A a ；(C) D A a nj ij ij =∑=1；(D) D A a ni i i =∑=1212. n 阶实对称矩阵A 和B 相似的充分必要条件是(A) A 与B 都有n 个线性无关的特征向量； (B) )()(B r A r =；(C) A 和B 的主对角线上的元素的和相等； (D) A 与B 的n 个特征值都相等3. 设1α,2α,3α,4α是齐次线性方程组0=Ax 的一个基础解系，则下列向量组 中不再是0=Ax 的基础解系的为________________ (A) 1α,1α+2α,1α+2α+3α,1α+2α+3α+4α； (B) 1α+2α,2α+3α,3α+4α,4α-1α； (C) 1α+2α,2α-3α,3α+4α,4α+1α； (D) 1α+2α,2α+3α,3α+4α,4α+1α4. 设方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=--=++222513321321321x x x b x x x x x x 有无穷多组解，则必有_______________(A) b ＝1 (B) b ＝－1 (C) b ＝2 (D) b ＝－2 5. 设向量组[Ⅰ]是向量组[Ⅱ]的线性无关的部分向量组，则____ ___(A) 向量组[Ⅰ]是[Ⅱ]的极大线性无关组 (B) 向量组[Ⅰ]与[Ⅱ]的秩相等(C) 当[Ⅰ]中向量均可由[Ⅱ]线性表出时，向量组[Ⅰ]，[Ⅱ]等价 (D) 当[Ⅱ]中向量均可由[Ⅰ]线性表出时，向量组[Ⅰ]，[Ⅱ]等价 二、填空题（每题3分，共15分）1．设 1-，5，λ 是矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=120222023A 的特征值，则λ= ，A 对应三个特征值的特征向量是 ,且（选填；线性无关，线性相关，相互正交，相互不正交）2．设A 为n 阶可对角化矩阵,且n E A r <-)(,则A 必有特征值λ＝ ； 且其重数为 ，其对应的线性无关的特征向量有 个 3．已知实二次型),,(321x x x f = 31212322212232x x x x x x x ++++λ是正定二次型， 则参数λ的取值范围为4．设23A ⨯为矩阵，已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0211ξ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1032ξ都是齐次线性方程组0=AX 的解，则矩阵A ＝ （答案不唯一） 5．设A 为n 阶可逆阵，且E A A ||2=，则*A =三、计算题（每题9分，共54分）1. 试求行列式 ||A ，||B ，||C ，其中，A ，B 为 n 阶方阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=x x xA 111111111 ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n B00020001，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00B A C2. 已知线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=-=+bx ax x x x x x 321312111，（1）常数b a ，取何值时，方程组有无穷多解、唯一解、无解？（2）当方程组有无穷多解时，求出其通解．3．设4阶方阵C B A ，，满足方程 11)2(--=-C A B C E T ，试求矩阵A ，其中1232120101230120,0012001200010001B C --⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪-⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4．求正交变换y Q x =，用此正交变换将以下实二次型化为标准形),,(321x x x f =121323222x x x x x x ++5．设34()2,A r A ⨯=为矩阵，且已知非齐次线性方程组 Ax b = 的三个解为1η＝⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2011， 2η＝⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-4112， 3η＝⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-11354，求：(1) 齐次线性方程组0Ax =的通解；(2) 非齐次线性方程组Ax b =的通解6．设线性空间3R 中的向量组为1α=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--221，2α=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-031，3α=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-601，4α=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-283，1β=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-210，2β=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--652（1）求由1α,2α,3α,4α生成的子空间L(1α,2α,3α,4α)的维数与一个基； （2）从1β,2β中选出属于L(1α,2α,3α,4α)的向量，并求出它们在（1）中所选的基下的坐标。

习题1.11. 计算下列行列式：(1) 7415； ()()c o s s i n 2;3s i n c o s xy z x x zx y x x yzx-； ()2cos 1412cos 1012cos x x x；(5)xy x y yx y x x yxy+++。

解：(1)7415=7×5−1×4=31；(2) 1D =；(3) ()111x y zy zyz D x y zx y x y z x y x y zz x z x++=++=++++ ()3331030yzx y z x yy z x y z xyz z yx z=++--=++---。

(4)22cos 10014cos 2cos 12cos 112cos 1012cos 012cos x x x x x xx--=2314cos 2cos 8cos 4cos 12cos x xx x x--=-=-。

(5) xy x y y x y x x yx y+++=2()()()()()x x y y yx x y yx x y x y x y +++++-++33y x --3322x y =--2. 用行列式方法求解下列线性方程组：(1) 31528x y x y +=-⎧⎨+=⎩； (2)1231231323142543x x x x x x x x -+=⎧⎪++=⎨⎪+=⎩。

解：(1) 123111311,10,29528258D D D --====-==, 121210,29D Dx x D D==-== (2) 12131134253,42527,10131D D --==-==- 242132114453,42418131103D D -====，3121239,1,6D D Dx x x D D D====-==-。

3．求下列各排列的逆序数：(1) 34215； (2) 13…(2n −1)(2n )(2n −2)…2。

线性代数试题A答案[大全5篇]第一篇：线性代数试题A答案2006-2007学年第二学期线性代数试题A卷参考答案及评分标准一．填空题（本题满分12分，每小题3分）⎛1-20 0 -25 -111、1；2、-3；3、A=00 3 1 00-3⎝0⎫⎪0⎪2⎪；4、2 ⎪3⎪1⎪⎪3⎭二、选择题（本题满分12分，每小题3分，．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内）1．C；2．C；3．A；4、B 三．计算行列式（本题满分6分）解 1 10Dn=001-110010Λ00-111000-11=100010100200Λ03ΛΛ1Λ00Λ0100Λ00n3-1ΛΛ011ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ分Λn-1=n3分解2 10Dn=001-110010Λ00-111000=Dn-1+13分-1ΛΛ011ΛΛΛΛΛΛΛΛ-11=n3分四．（本题满分12分）解：⑴ 由等式A+B=AB，得A+B-AB+E=E，即(A-E)(B-E)=E3分因此矩阵A-E可逆，而且(A-E)=B-E．2分-1⑵ 由⑴知，A-E=(B-E)，即A=(B-E)+E-1-1A=(B-E)+E或A=B(B-E)-12分-1⎛0-10-30100⎛⎫⎛⎫⎪⎪1=200⎪+010⎪=-3 001⎪001⎪0⎝⎭⎝⎭⎝⎛1 1=-3 0 ⎝1210⎫0⎪⎪0⎪ 2分⎪2⎪⎪⎭1200⎫0⎪100⎫⎪⎛⎪0⎪+010⎪3分⎪⎪1⎪⎝001⎭⎪⎭五．（本题满分14分）解：110⎤⎡1⎡11⎢01⎥⎢0221⎥→⎢A=⎢⎢0-1a-3-2b⎥⎢0⎢⎥⎢321a-1⎣⎦⎣01110⎤1221⎥⎥4分0a-10b+1⎥⎥00a-10⎦所以，⑴ 当a≠1时，rA=r(A)=4，此时线性方程组有唯一解．2分⑵ 当a=1，b≠-1时，r(A)=2，rA=3，此时线性方程组无解．2分⑶ 当a=1，b=-1时，rA=r(A)=2，此时线性方程组有无穷多组解．2分此时，原线性方程组化为()()()⎧x1+x2+x3+x4=0 ⎨⎩x2+2x3+2x4=1因此，原线性方程组的通解为⎧x1=x3+x4-1⎪x=-2x-2x+1⎪234 ⎨x=x3⎪3⎪x4⎩x4=或者写为⎡x1⎤⎡1⎤⎡1⎤⎡-1⎤⎢x⎥⎢-2⎥⎢-2⎥⎢1⎥2⎢⎥=k⎢⎥+k⎢⎥+⎢⎥4分⎢x3⎥1⎢1⎥2⎢0⎥⎢0⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣0⎦⎣1⎦⎣0⎦⎣x3⎦六．（本题满分12分）3-λ解 A-λE=-101202-λ1=(2-λ)(3-λ)，2分03-λ所以得特征值λ1=2,λ2=λ3=32分⎛101⎫⎪对λ1=2，解方程组(A-2E)x=0，由A-2E=-101⎪，得特征向量001⎪⎝⎭⎛0⎫⎪ξ1=1⎪0⎪⎝⎭⎛0⎫⎪所以对应λ1=2的全部特征向量为c1 1⎪,c1≠03分0⎪⎝⎭⎛0 1对λ2=λ3=3，解方程组(A-3E)x=0，由A-3E=-0⎝01⎫1⎛10⎪r 1-1⎪−−→0 0100⎪0 ⎭⎝00⎫⎪⎪，⎪⎭⎛1⎫⎛1⎫⎪⎪得特征向量ξ2=-1⎪,全部特征向量为c2 -1⎪,c2≠03分0⎪0⎪⎝⎭⎝⎭A没有三个线性无关的特征向量，所以不能对角化.2分七．（本题满分12分）⎛1λ解：f的矩阵为A=λ4 -12⎝-1⎫⎪2⎪．…………2分 4⎪⎭因此，二次型f为正定二次型．⇔矩阵A为正定矩阵．⇔矩阵A的各阶顺序主子式全大于零．…………2分而矩阵A的各阶顺序主子式分别为D1=1>0，D2=1λ=4-λ2，…………2分λ41D3=A=λλ-12=-4(λ-1)(λ+2)．…………2分 44-12所以，二次型f 为正定二次型．⇔D2=4-λ2>0，且D3=-4(λ-1)(λ+2)>0由 D2=4-λ2>0，得-2<λ<2 ．由 D3=-4(λ-1)(λ+2)>0，得-2<λ<1 ．因此，得-2<λ<1 ．即，二次型f为正定二次型．⇔-2<λ<1…………4分八．（本题满分8分）已知三维向量空间的一组基为α1=(1，1，0)，α2=(1，0，1)，α3=(0，1，1)求向量β=(2，0，0)在上述基下的坐标．解：设向量β在基(α1，α2，α3)下的坐标为(x1，x2，x3)，则有x1α1+x2α2+x3α3=β，2分写成线性方程组的形式，有⎛1⎫⎛1⎫⎛0⎫⎛2⎫⎪⎪⎪⎪x1 1⎪+x2 0⎪+x3 1⎪=0⎪2分 0⎪1⎪1⎪0⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭即⎧x1+x2=2⎪⎨x1+x3=0，⎪x+x=03⎩2得唯一解x1=1，x2=1，x3=-1，3分，1，-1)．1分因此所求坐标为(1九．（本题满分12分）证法1：记A=(α1,α2,Λ,αm),B=(α1,α2,Λ,αm,β)，显然r(A)≤r(B).1°因为α1,α2,Λ,αm线性无关，知r(A)=m1分2°因为α1,α2,Λ,αm,β线性相关，知r(B)<m+1 1分因此r(B)=m，1分Ax=(α1,α2,Λ,αm)x=b有解且唯一。

交大版线性代数答案问题1题目：已知矩阵A = | 1 3 0 | | 2 -1 4 | | 0 1 2 |求矩阵 A 的零空间和列空间。

解答：我们首先求矩阵 A 的零空间。

设一个向量 x = | x1 | 为矩阵A 的零空间中的一个向量，则有 Ax = 0。

根据矩阵乘法可得：A * x = | 1 3 0 | * | x1 | = | x1 + 3x2 | | 2 -1 4 | | x2 | | 2x1 - x2 + 4x3 | | 0 1 2 | | x3 | | x2 + 2x3 |要使 Ax = 0，我们需要求解以下线性方程组：x1 + 3x2 = 0 2x1 - x2 + 4x3 = 0 x2 + 2x3 = 0将其化为增广矩阵，得：1 3 0 | 0 |2 -1 4 | 0 |0 1 2 | 0 |对增广矩阵进行初等行变换，得：1 0 -2/5 | 0 |0 1 -2/5 | 0 |0 0 0 | 0 |由此可得零空间的一组基为向量 x = | 2/5 |。

接下来我们求矩阵 A 的列空间。

列空间是由矩阵 A 的所有列的线性组合组成的集合。

由于矩阵 A 的列向量为线性无关的，所以矩阵 A 的列空间的维数为 3 - 1 = 2。

因此矩阵 A 的列空间为一个二维空间。

问题2题目：已知矩阵B = | 1 2 | | 1 -1 |求矩阵 B 的特征值和特征向量。

解答：为了求解矩阵 B 的特征值和特征向量，我们需要解决以下方程：det(B - λI) = 0其中，λ 是一个未知数，I 是单位矩阵。

根据矩阵减法得到：B - λI = | 1 2 | - λ | 1 0 | = | 1 - λ 2 | | 1 -1 | | 0 1 | | 1 -1-λ |计算行列式的结果为：det(B - λI) = (1 - λ)(-1-λ) - 2 = λ^2 - 2λ - 3 = 0将方程因式分解得：(λ - 3)(λ + 1) = 0解得λ = 3，λ = -1。

,,s、向量组的秩为r，则向量组中三、计算题（每题12分，共60分）1、计算行列式：32142143143243212、已知=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--101111121X ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛523231141，求矩阵X3、求线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=----=+-+-=+-+=+-+261782314620324321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x 的通解。

4、求向量组1234(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0),(1,2,3)αααα====-的一个极大线性无关组，并把其余向量用极大无关组线性表示.5、求⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=100010221A 的特征值与特征向量.分）若123,,ξξξ是方程组0AX =的基础解系，证明1323122,2,2ξ+ξξ+ξξ+ξ也是该方程组的基础解系.2012-2013-1线性代数A 参考答案与评分标准一、 判断题（每题2分，共20分）二、填空题（每空2分，共10分）1、-2；2、43、41； 4、1； 5、111,,632三、计算题（每题12分，共60分）1、解：原式=32110214101431043210……………………………………………（2分） =111022203110432110321121411431432110------= …………………………（6分） =11314021113112011111131120----=----=---- …………（10分）=160113140=- ……………………………………………………（12分）2、解：1141121132111325101X -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦----------------------4分 121100121100111010012110101001022101⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-→---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦1310011031202201211001001100212111001122⎡⎤--⎢⎥--⎡⎤⎢⎥⎢⎥---→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦--⎢⎥⎣⎦--------------10分131221141223113201102232511465122⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥----⎢⎥⎣⎦⎣⎦--------------------------12分 3、解：先对增广矩阵进行初等行变换⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------------→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------000000000012210032112442012210122100321121611178231461203211--------------------6分同解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=+-+1220324324321x x x x x x x ，一个特解⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0011-----------------------8分选4x 为自由未知量，得到齐次线性方程组的一个基础解系：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-210121,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1105----------------------10分原方程组的通解为+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2101211k ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-11052k +⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0011-------------------------12分 4、解:秩为 3，--------------------------6分一个极大线性无关组为123,,ααα. --------------------------10分412335αααα=-+-；--------------------------12分5、解:特征方程为|λE －A|=1010221---+λλλ=(λ+1) (λ－1)2 =0，------4分 ∴A 的全部特征值为λ1=－1，λ2=λ3=1。