几何练习3
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1、在四棱锥P-ABCD 中，△PBC 为正三角形，AB ⊥平面PBC ，AB ∥CD ，AB=1DC ，中点为PD E .
(1)求证：AE ∥平面PBC ；(2)求证：AE ⊥平面PDC.
2、如图，在棱长均相等的三棱柱111C B A ABC -中， 底面A B C ∆是等边三角形，
側棱1A A ⊥底面A B C ，D 为B C 的中点.
(Ⅰ) 求证：1//A B 平面1AC D ；(Ⅱ) 求1C C 与平面D AC 1所成角的余弦值.
3、长方体1111ABCD A B C D -中，122A A AB AD ==，M N 、分别是1B C 、A C 中点。
(1)、求证：11MN A C D 平面；(2)、求二面角11A DC C --的正切值。
4、已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8、高为4的等腰
三角形，侧视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形． (1)求该几何体的体积V ； (2)求该几何体的侧面积S.
5、如图，△ABC 内接于圆O ,AB 是圆O 的直径，2=AB ，1=BC ，设AE 与平面ABC 所成的角 为θ,且2
3tan =
θ,四边形DCBE 为平行四边形，A B C
平面⊥DC
．
_
A _
B _ C
_ D _ A1 _ B1 _
C1
_ D1
_ ·M _ ·N
（1）求三棱锥ABE C -的体积；
（2）在CD 上是否存在一点M ，使得MO ∥平面ADE ？证明你的结论．
6、如图，在四棱锥P -ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PD =DC ，
E ，
F 分别是AB ，PB 的中点．
（1）求证：//EF 平面PAD ；（2）求证：EF CD ⊥； （3）若G 是线段AD 上一动点，试确定G 点位置，
使GF ⊥平面PCB ，并证明你的结论．
1、(1)证明:取PC 的中点M,连接EM,则EM ∥CD ，EM=
2
1DC,所以有EM ∥AB 且EM=AB,则四边形ABME 是平行
四边形.所以AE ∥BM,因为AE 不在平面PBC 内, 所以AE ∥平面PBC.
(2) 因为AB ⊥平面PBC ，AB ∥CD,所以CD ⊥平面PBC ，CD ⊥BM.
由(1)得,BM ⊥PC,所以BM ⊥平面PDC ，又AE ∥BM,所以AE ⊥平面PDC.
2、(Ⅱ) 解：过C 作D C CG 1⊥,垂足为G ，由已知得11A D B B C C ,⊥平面
1,CG AD CG AC D ∴⊥∴⊥平面
∴
D CC 1∠为C C 1与平面D AC 1所成的角。
∴
5
52cos 111=
=
∠D
C C C
D CC ------------14分
3．(1)证明：如图，连结1,BD BC ，M ，N 分别是1,BC BD 中点，
1MN DC 11MN A C D ∴ 平面；
(2) 先求二面角111A DC D --的正切值，
1111A D D C D ⊥ 面，111A D DC ⊥
作11A E DC E ⊥于，111DC ED ∴⊥面A
11D E DC ∴⊥
11A ED ∴∠是二面角111A DC D --的平面角。
求得11tan 2
A E D ∠=，二面角11A DC C --
的正切值为2
-
4、解：由已知可得，该几何体是一个底面边长是8和6的矩形，高为4，
顶点在底面的射影是矩形中心的四棱锥V -ABCD; （1）644)68(3
1=⨯⨯=
V ………………6分
(2) 该四棱锥有两个侧面V AD 、VBC 是全等的等腰三角形，且BC 边上的高为24)2
8(422
1=+=
h
另两个侧面V AB 、VCD 也是全等的等腰三角形，AB 边上的高5)2
6(422
2=+=h . ………10分
因此，224
40)582
124621
(2+=⨯⨯+
⨯⨯=S ………………12分
5．解：（１）∵四边形DCBE 为平行四边形 ∴//C D B E
∵ DC ⊥平面ABC ∴BE ⊥平面ABC
∴EAB ∠为AE 与平面ABC 所成的角，即EAB ∠＝θ …………………2分
在R ｔ△ABE
中，由tan 2
BE AB
θ=
=
,2A B =
得BE =
∵AB 是圆O 的直径 ∴B C A C ⊥
∴AC ==4分
∴12
2
ABC S AC BC ∆=
⋅=
∴13
C A B E E A B C A B C V V S B E --∆==
⋅11322
=
⨯
=
…………………6分
（2）在CD 上存在点M ，使得MO ∥平面ADE ，该点M 为D C 的中点． ………8分
证明如下：
如图，取B E 的中点N ，连MO 、MN 、NO ，
∵M 、N 、O 分别为CD 、BE 、AB 的中点，
∴MN ∥DE ． ………………………………9分
_ A
_ B
_ C
_ D _ A1
_ B1 _
C1
_ D1
_ _ ·
M
_ ·N
_ E
∵D E⊂平面ADE，M N⊄平面ADE，
∴MN∥平面ADE …………………………10分同理可得NO∥平面ADE．……………………11分∵MN NO N
，
=
∴平面MNO∥平面ADE．……………………12分
∵M O⊂平面MNO，
∴MO∥平面ADE．……………………14分。
