2.5 距离空间的列紧性与紧性(投)1

命题 1.3.3 列紧空间的任意（闭）子集都是（自）列紧集。 证：由定义显然。
命题 1.3.4 列紧空间是完备空间。 ( X , ) 列紧 ( X , ) 完备 证： 任取基本列{xn } X
{xnk } {xn }, s. t. xnk x0 X , k ( xn , x0 ) ( xn , xnk ) ( xnk , x0 ) 0
x0 (0) lim xnk (0) 1
k
x0 (t ) lim xnk (t ) 0
k
0， t =0, 1 t 1, 有 x0 t C[0, 1] nk 1, 0 t 1.
定义 1.3.1 （列紧）设 ( X , ) 是距离空间， A X ，若 A 中任意子列在 X 中都有 收敛子列，则称 A 为列紧集；若 A 中任意子列都收敛到 A 中的点，则称 A 为自 列紧集；若 X 是列紧的，则称 X 是列紧空间。 注：1、 A 列紧 {xn } A, {xnk } {xn }, s. t. xnk x0 X
1 1 2 0 n n n
( n p ) (n) ( n p ) (n) 因为 p , ( xn p , xn ) ( xn p , yn ) ( yn , xn )
(k ) 所以 由 ( X , ) 完备，知道 {xk } 在 X 中收敛。
定义 1.3.10 （紧集） 在拓扑空间 X 中，若 X 中每个覆盖 M 的开集族中有有穷个 开集覆盖集合 M ，则称 M 为紧的。若 A 是紧集，则称 A 是相对紧集。 注：1、若 M

G ,
G X , 是开集，则称 {G } 是 M 的开覆盖。

a
b g(x) q dx 1/ q
a
其中 f (x) p , g(x) q在[a,b]上可积分。
特别的 p=q=2 时,称为 Cauchy 不等式
特别的，当 n=1 时， (x, y) x y ， 当 n=2 时， (x, y) (x1 y1)2 (x2 y2 )2
如果在 R2 中，定义 d(x, y) x1 y1 x2 y2 ，
例2 有理数空间 Q 按欧氏距离是不完备的距离空间。
例 3 距离空间l2 和 L2[a,b]按通常意义下的距离是完备的。
例 4 C[a,b]按 (x, y) max x(t) y(t) 是完备的距离空间； t[ a ,b ]
C[a,b]按
1(x,
y)
b
a
x(t)
y(t ) dt
是不完备的距离空间
间 Q 是等距同构的，所以实数空间 R1 是有理数空间 Q
的完备化空间。
例2
C[a,b]按距离
(x,
y)
b
a
x(t)
y(t)
dt
是不完备的，
但C[a,b] L1[a,b]，且C[a,b]在L1[a,b]中稠密，故 L1[a,b]是
C[a,b]的完备化距离空间。
同理，C[a,b]按距离
( x,
y)
则l p 是距离空间，常称为 p 方可和的空间。
特别的，当 p=2，l 2 称为平方可和距离空间。
§2.2 收敛概念
1) 定义（收敛点列） 设 X 是一个距离空间，{x n}是
X 中点列， x X 。若 n 时, (xn, x) 0 （即 0, N, 当n N时, (xn, x) ）
补充不等式
1）Minkowski 不等式

《度量空间》读书笔记金融数学10本 黄小听 17号关键词：度量空间 距离 连续映射 可分性 列紧性 完备性 完备化在数学分析中，当实数集R 中点列}{n x 的极限为x 时，用||x x n -来表示n x 与x 的接近程度。

实际上，|x x |n -可表示为数轴上n x 与x 这两点间的距离。

那么R 中点列}{n x 收敛于x 也就是指n x 与x 之间的距离随着∞→n 而趋于0，即0),(lim =∞→x x d n n 。

于是设想在一般的点集X 中如果也有“距离”，则在点集X 中也可借这一距离来定义极限，那么究竟什么是距离呢？一 度量空间的定义定义1.1 设X 是一个非空集合，若存在映射R X X d →⨯:，使得X z y x ∈∀,,，均满足以下三个条件：(1)0),(≥y x d ，且0),(=y x d 当且仅当y x =（非负性）；(2)),(),(x y d y x d =（对称性）；(3)),(),(),(z y d y x d z x d +≤（三角不等式），则称d 为X 上的一个度量函数（或距离函数），),(d X 为度量空间（或距离空间），简记为X 。

注：若X 为度量空间，Y 是X 的一个非空子集，则Y 也是一个度量空间，称Y 为X 的子空间。

例1-1 n 维欧氏空间n R 。

解析：n 维欧氏空间n R ，n R 表示n 维向量),,,(21n x x x x ⋯=。

对于n R 中任意两点),,,(x 21n x x x ⋯=，)y ,,,y (y 21n y ⋯=，定义： 21]||[),(12∑=-=n i i i y x y x d 易证）y x d ,(满足距离的条件，且其中的三角不等式为：≤-∑=21]||[12n i i i z x 21]||[12∑=-n i i i y x +21]||[12∑=-n i i i z y 因此，),(d R n 是度量空间，其中d 称为欧几里得距离。

f
)
=
∫1 |
−1
ϕ
n+
p
(
x)
−
f
(x)
|
dx
→
0
?
y = ϕn+p (x) y = ϕn (x)
y = ϕ0(x)
−1
1
−1
1
假定 {ϕn}收敛于某个连续函数 f . 则可以证明： x > 0 时 f (x) = 1 , x < 0 时 f (x) = −1. 这样的连续函数不存在！
5
可分距离空间
定义5. 3: (稠密) 设 {X , d} 为距离空间 . E ⊆ X . 如果 E = X , 则称 E 在 X 中稠密 . 定义5. 4: (稀疏) 设 {X , d} 为距离空间 . E ⊆ X . 如果 E 不包含内点 ，则称 E 是 X 中的稀疏集 . 定义5. 3: (稠密) 设 {X , d} 为距离空间 . 如果 X 存在可分的稠密子集，则称 X 是可分的距离空间. 例题 Rn , C[a,b] , l2 都是可分距离空间.
=
∫1 |
−1
f (x) − g(x) | dx
⎧ ⎪
1
ϕn (x) = ⎨
⎪nx
, −1≤ ,− 1
x≤− 1 , 2n
<x< 1
1≤ 2n
x ≤1
n = 1,2,L
⎩
2n
2n
{ϕn} 是基本列.
ϕ
0
(
x)
=
⎧− ⎨ ⎩
1 1
, ,
−1 0
≤ ≤
x x
< ≤
0 1
4
为什么{ϕn} 是基本列？