【精编】2015-2016年福建省福州市格致中学高二(上)数学期中试卷和参考答案(理科)

福州格致中学2014级高二学段第一学期质量评定 高二年级第五次月考数学（理工）试题 命题：黎文芳何小龙李绍辉审核：曾波陈文裕郜延峰 第（选择题共0分） 椭圆的焦距为2，则的值是 A．6或2 B．5 C．1或9 D．3或5 ．已知，，是三个互不重合的平面，是一条直线，下列命题中正确命题是 A．若⊥，⊥，则∥ B．若上有两个点到的距离相等，则∥ C．若⊥，∥，则⊥ D．若⊥，⊥，则⊥ 是的等比中项,则双曲线的离心率为（） A．B．C．D． 4、在下列哪个区间上是单调递减的（） A．B．C．D． 5、已知函数的零点依次为，则从大到小的顺序为（） A． B． C．D． 6、三棱锥S-ABC及其三视图中的正视图和侧视图如图所示, 则棱S B的长为B．C．D． 7、对任意的实数，记，若，其中奇函数在时有极小值-2，是正比例函数，函数与函数的图象如图所示．则下列关于函数的说法中，正确的是（） A．为奇函数B．在为增函数 C．有极大值,极小值 D．最小值为-2，最大值为2 ８、直线和圆交于点，以轴的正方向为始边，为终边（是坐标原点）的角为，为终边的角为，，那么是B． C．D． ９、已知数列的前项和为，.当时，，则=（） A．1006 B．1007 C．1008 D．1009 10、若满足约束条件，目标函数仅在点处取得最小值，则的取值范围是（） A．B．C．D． 11、设是椭圆上一点，分别是两圆：和上的点，则的最小值、最大值的分别为（） A．9，12 B．8，11 C．8，12 D．10，12 12、己知定义在上的可导函数的导函数为，满足，且为偶函数，，则不等式的解集为A．B．C． D． 第Ⅱ卷（非选择题共90分） 二、填空题：本大题共４小题，每小题5分，共2０分. 把答案填在答题卡的相应位置. 13、椭圆的一个焦点是，那么实数的值为 . 14、以下茎叶图记录了甲，乙两组各四名同学的植树棵数，分别从甲，乙两组中随机选取一名同学，则这两名同学的植树总棵数为19的概率是 . 甲组乙组9 9 0 9 8 9 1 1 1 0 15、曲线与直线围成的封闭图形的面积是已知三棱柱的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为，，，则此球的表面积等于 三、解答题：本大题共6小题，共7０分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 解答写在答题卡上的指定区域内. 17、（本小题满分10分） 已知函数. （1）若，求实数的取值范围； （2）求的最大值. 18、（本小题满分12分） 设锐角的的对边分别为，，已知与共线求角的大小，，且△的面积小于求角的取值范围中平面，点在棱上，且，底面为直角梯形，分别是的中点． （1）求证：// 平面； （2）求截面与底面所成二面角的大小. 20、（本小题满分12分） 已知等比数列，首项，前项和为，且，成等差数列． 求数列的通项公式； 求数列的前项和．21、（本小题满分12分） 已知函数其中为参数 （1）记函数，讨论函数的单调性； （2）若曲线与轴正半轴交点为，曲线在点处的切线方程为,求证：对于任意的正实数，都有交于两点，点的坐标为，交于点，抛物线的焦点为. 求的值； 记条件（1）所求抛物线为曲线，过点作两条斜率存在且互相垂直的直线，设与相交于点，与相交于点，求的最小值．数学（理科）答案 第（选择题共0分） 椭圆的焦距为2，则的值是 A．6或2 B．5 C．1或9 D．3或5 ．已知，，是三个互不重合的平面，是一条直线，下列命题中正确命题是 A．若⊥，⊥，则∥ B．若上有两个点到的距离相等，则∥ C．若⊥，∥，则⊥ D．若⊥，⊥，则⊥ 是的等比中项,则双曲线的离心率为（ A ） A．B．C．D． 4、在下列哪个区间上是单调递减的（ D） A．B．C．D． 5、已知函数的零点依次为，则从大到小的顺序为 ( A ) A． B． C．D． 6、三棱锥S-ABC及其三视图中的正视图和侧视图如图所示, 则棱S B的长为 A． B． C． D． 7、对任意的实数，记，若，其中奇函数在时有极小值-2，是正比例函数，函数与函数的图象如图所示．则下列关于函数的说法中，正确的是（Ｃ） A．为奇函数 B．在为增函数 C．有极大值,极小值 D．最小值为-2，最大值为2 ８、直线和圆交于点，以轴的正方向为始边，为终边（是坐标原点）的角为，为终边的角为，，那么是B． C． D． ９、已知数列的前项和为，.当时，，则=( Ｃ ) A．1006 B．1007 C．1008 D．1009 解：当时，由得即 ① 所以 ② ②－①得，又即 数列构成等差数列， 10、若满足约束条件，目标函数仅在点处取得最小值，则的取值范围是（ B ） A．B．C．D． 11、设是椭圆上一点，分别是两圆：和上的点，则的最小值、最大值的分别为（C ） A．9，12 B．8，11 C．8，12 D．10，12 12、己知定义在上的可导函数的导函数为，满足，且为偶函数，，则不等式的解集为A．B．C． D． 解：构造函数则 因为，及所以，函数在上单调递减 由为偶函数， 得，即不等式的解集 第Ⅱ卷（非选择题共90分） 二、填空题：本大题共４小题，每小题5分，共2０分. 把答案填在答题卡的相应位置. 13、椭圆的一个焦点是，那么实数的值为 . 答案：1 14、以下茎叶图记录了甲，乙两组各四名同学的植树棵数，分别从甲，乙两组中随机选取一名同学，则这两名同学的植树总棵数为19的概率是 . 甲组乙组9 9 0 9 8 9 1 1 1 0 解：记甲组四名同学为，，，，他们植树的棵树依次为9，9，11，11：乙组四名同学为，，，，他们植树的棵树依次为9，8，9，10，分别从甲，乙两组中随机选取一名同学，所有可能的结果有16个，它们是（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）. 设选出的两名同学的植树总棵数为19为事件C，则C中的结果有4个，它们是（，）（，）（，）（，），故所求概率为 15、曲线与直线围成的封闭图形的面积是 16、已知三棱柱的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为，，，则此球的表面积等于_______________. 17、（本小题满分10分） 已知函数. （1）若，求实数的取值范围； （2）求的最大值. 解：（1）当时， 由得整理得所以 当时， 由得整理得所以又，得 综上，实数的取值范围 （2）由（1）知的最大值必在上取到 当时取到最大值 18、（本小题满分12分） 设锐角的的对边分别为， ，已知与共线求角的大小，，且△的面积小于求角的取值范围与共线 即 …………… 2分 所以即………………5分 为锐角，则，所以……………6分 （2）因为，，则 . ……………………（9分） 由已知，，即. …………………… （10分） 因为是锐角，即， 故角的取值范围是 19、（本小题满分12分） 已知四棱锥中平面，点在棱上，且，底面 为直角梯形，分别是的中点． （1）求证：// 平面； （2）求截面与底面所成二面角的大小. 解析（一）：以为原点，以分别为建立空间直角坐标系， 由，分别是的中点， 可得： ∴，……2分 设平面的的法向量为， 则有： 令，则， ……………4分 ∴，又平面 ∴//平面 ……………6分 （2）设平面的的法向量为， 又 则有： 令，则， …………9分 又为平面的法向量， ∴，又截面与底面所成二面角为锐二面角， ∴截面与底面所成二面角的大小为 ………12分 解析（二）： （1）// …………1分 ………3分 又平面，平面, ∴//平面 …………6分 （2）底面 所以截面与平面所成的二面角即为平面与底面所成的二面角 因为平面所以平面 ，由（1）可知四点共面 所以为截面与平面所成的二面角的平面角………9分 所以：， 所以： ………………12分 20、（本小题满分12分） 已知等比数列，首项，前项和为，且成等差数列． 求数列的通项公式； 求数列的前项和． ⑴依题意，设……1分， 、、成等差数列……2分， 即， 化简得……4分，从而，解得……4分， 因为（）是数列，……5分 ⑵由⑴知……6分， ……8分， 设，则……10分， 两式相减得……11分， 所以……12分 21、（本小题满分12分） 已知函数其中为参数 （1）记函数，讨论函数的单调性； （2）若曲线与轴正半轴交点为，曲线在点处的切线方程为,求证：对于任意的正实数，都有的定义域是 当时，则，所以， 所以函数在定义域上单调递增. 当时，令，则 可知函数在上单调递增，在单调递减，在上单调递增. （2）令则或 若曲线与轴正半轴且交点坐标为 又则 所以曲线在点处的切线方程为 令 函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以当时，有最小值，所以，则 22、（本小题满分12分） 如图，已知直线与抛物线交于两点，点的坐标为，交于点，抛物线的焦点为. 求的值； 记条件（1）所求抛物线为曲线，过点作两条斜率存在且互相垂直的直线，设与相交于点，与相交于点，求的最小值． 解：（1）设，由得 由已知得直线的方程是即，则有 即① 由与消去，得② 所以③ 把③代入①得解得 当时方程②成为，显然此方程有实数根所以 （2）由（1）知抛物线方程为 由题意知，直线的斜率存在且不为0，设为，则的方程为y．由得(2k2＋4)x＋k2＝0．设则是上述方程的两个实根，于是，．，的斜率为．设则同理可得，．故＝(＋)·(＋)＝·＋·＋·＋· ＝||||＋|||| ＝(x1＋1)(x2＋1)＋(x3＋1)(x4＋1) ＝x1x2＋(x1＋x2)＋1＋x3x4＋(x3＋x4)＋1 ＝1＋(2＋)＋1＋1＋(2＋4k2)＋1 ＝8＋4(k2＋)≥8＋4×2＝16．当且仅当，即时，取最小值16． 第6题图 第7题图 第6题图。

2016届省格致中学校高二第一学期期中考试数学试卷注意事项：1、答题前，考生先将自己的、填写清楚。

2、请将条码粘贴在右侧的[条码粘贴处]的方框3、选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写，字体工整4、请按题号顺序在各题的答题区作答，超出围的答案无效，在草纸、试卷上作答无效。

5.本卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟第I 卷 （选择题 共60分）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一项是符合题目要求的）1．已知58cos 3sin =+x x ，则=-)6cos(x π（ ）A ．－35B ． 45C ．－45D ．352..已知命题p :函数21()sin 2f x x =-的最小正周期为π；命题q ：若函数)1(+x f 为偶函数，则)(x f 关于1=x 对称.则下列命题是真命题的是（ ） A ．q p ∧B ． q p ∨C ．)()(q p ⌝∧⌝D ．()p q ∨⌝3．已知e 是自然对数的底数，函数2)(-+=x e x f x的零点为a ，函数2ln )(-+=x x x g 的零点为b ，则下列不等式成立的是（ ）A ．)()()1(b f a f f <<B ．)1()()(f b f a f <<C ．)()1()(b f f a f <<D ．)()1()(a f f b f <<4．已知数列}{n a 是等差数列，且1076=+a a ，则在)())((1221a x a x a x --- 的展开式中，11x 项的系数是（ ）A ．60B ．60-C ．30D ．30- 5．设0,0x y >>,1x y A x y +=++,11x yB x y=+++,则A 与B 的大小关系为( )A ．AB > B ．A B ≥C ．A B <D ．A B ≤y6．若函数2()2ln f x x x =-在其定义域的一个子区间(1,1)k k -+不是单调函数，则实数k的取值围是( )A ．3(,)2+∞ B ．1(,)2-∞- C ．13(,)22- D ．31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭7．若230a b >>，则)32(312b a b a -+的最小值为( )A ．3B ．6C ．9D ．27 8．由直线2y x =及曲线23y x =-围成的封闭图形的面积为（ ）A ．．9-．353 D ．3239．现有4种不同品牌的小车各2辆（同一品牌的小车完全相同），计划将其放在4个车 库中且每个车库放2辆，则恰有2个车库放的是同一品牌的小车的不同放法共有（ ） A ．144种 B ．108种 C ．72种 D ．36种10．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以1A ，2A 和3A 表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件．则下列结论中正确的是( ) ①2()5P B =； ②15()11P B A =；③事件B 与事件1A 相互独立；④123,,A A A 是两两互斥的事件；A ．②④B ．①③C ．②③D ．①④ 11．如右图所示是二次函数()2f x x bx a =-+的部分图像，则函数()()xg x e f x '=+的零点所在的区间是（ ）A ．()1,0-B ．()0,1C ．()1,2D ．()2,312.已知函数xe xf =)(，b a <，记)()(a f b f A -=，1()[()()]2B b a f b f a =-+，则，,A B 的大小关系为（ ）A ．AB > B ．A B ≥C ．A B <D ．A B ≤第II 卷 （非选择题 共90分）二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上.）13.计算定积分=⎰；14.若,,a b c 为直角三角形的三边，其中c 为斜边，则222a b c +=，称这个定理为勾股定理．现将这一定理推广到立体几何中：在四面体O ABC -中，90AOB BOC COA ∠=∠=∠=︒,S 为顶点O 所对面的面积，123,,S S S 分别为侧面,,OAB OAC OBC ∆∆∆的面积，则123,,,S S S S 满足的关系式为 ；15．若存在实数,x a >成立，则a 的取值围是 ； 16．已知函数()f x 的定义域是R ，2)0(=f ，若对任意1)()(,'>+∈x f x f R x ，则不等式1)(+>xx e x f e 的解集为 ．三．解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．（本小题满分10分）设函数()4(1),f x x x a a =-+->且()f x 的最小值为3. (1)求a 的值；(2)若()5,f x ≤求满足条件的x 的集合.18．（本小题满分12分）已知数列{a n }满足a 1＝2，且a n a n ＋1＋a n ＋1－2a n ＝0(n ∈N *)． (1)求a 2，a 3，a 4的值；(2)猜想数列{a n }的通项公式，并用数学归纳法加以证明．19．（本小题满分12分）甲乙两人比赛投篮，每人连续投3次，投中次数多者为胜，若甲前2次每次投中的概率都是31，第3次投中的概率是21；乙每次投中的概率都是52.甲、乙每次投中与否相互独立.（1）求乙直到第3次才投中的概率；（2）在比赛前，从胜负的角度考虑，你支持谁？请说明理由.20．（本小题满分12分）甲、乙等五名大运会志愿者被随机分配到A 、B 、C 、D 四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者.（1）求甲、乙两人同时在A 岗位服务的概率； （2）求甲、乙两人不在同一岗位服务的概率；（3）设随机变量X 为这五名志愿者中在A 岗位服务的人数，求X 的分布列.21．（本小题满分12分）设函数1()ln 1af x x ax x-=-+-． （1）当1a =时，求曲线()f x 在1x =处的切线方程； （2）当13a =时，设函数25()212g x x bx =--，若对于[][]121,2,0,1x x ∀∈∃∈，使12()()f x g x ≥成立，数b 的取值围．22．（本小题满分12分）（1）已知,a b 为实数,并且e a b <<,其中e 是自然对数的底,证明baa b >． （2）如果正实数,a b 满足baa b =,且1a <,证明a b =．数学答案（理科）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一项是符合题目要求的）二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上.） 13.4π 14.2222123S S S S =++ 15.(,8)-∞ 16.(0,)+∞ 三．解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．（本小题满分10分）解：(1)()4(4)()4f x x x a x x a a =-+-≥---=- ……3分 当且仅当(4)()0x x a --≤时，等号成立……4分 依题意43a -=,17a a >∴=……5分(2)211,4()473,47211,7x x f x x x x x x -+<⎧⎪=-+-=≤≤⎨⎪->⎩, ……7分42115x x <⎧∴⎨-+≤⎩或4735x ≤≤⎧⎨≤⎩或72115x x >⎧⎨-≤⎩ 344778x x x ∴≤<≤≤<≤或或……9分所以不等式的解集为[]38，……10分 18. （本小题满分12分） 解：(1)由题意得a n ＋1＝2a na n ＋1，又a 1＝2， ∴a 2＝2a 1a 1＋1＝43，a 3＝2a 2a 2＋1＝87，a 4＝2a 3a 3＋1＝1615.……4分 (2)猜想a n ＝2n2n －1. .….…6分证明：①当n ＝1时，2121－1＝2＝a 1，故命题成立．②假设n ＝k 时命题成立，即a k ＝2k2k －1，a k ＋1＝2a k a k ＋1＝2×2k2k －12k 2k－1＋1＝2k ＋12k ＋2k －1＝2k ＋12k ＋1－1，故命题成立．综上，由①②知，对一切n ∈N *有a n ＝2n2n －1成立．.……12分19. （本小题满分12分）解：(１)记事件i A ：乙第i 次投中(i=1,2,3),则)3,2,1(52)(==i A P i ，事件321,,A A A 相互独立，所以Ｐ(乙直到第３次才投中)＝1251852)521)(521()()()()(321321=⨯--=⋅⋅=⋅⋅A P A P A P A A A P ．．．．．．４分 (２)设甲投中的次数为Ｘ，乙投中的次数为Ｙ，则Ｙ～Ｂ(52,3)，所以，乙投中次数的数学期望Ｅ(Ｙ)＝56523=⨯．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．６分Ｘ的可能取值是０，１，２，３，甲前２次投中次数服从二项分布Ｂ(31,2)，且每次投中与否相互独立，所以92)211)(311)(311()0(=---==X P .．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．７分 9421)311()211)(311(31)1(22212=⨯-+--⨯==C C X P ，．．．．．．．．．．．．．．．．．８分 18521)311(31)211()31()2(12222=⨯-⨯⨯+-==C C X P ，．．．．．．．．．．．．．．．．９分 18121)31()3(222=⨯⨯==C X P ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．１０分 所以，甲投中次数的数学期望6718131852941920)(=⨯+⨯+⨯+⨯=X E １１分所以Ｅ(Ｙ)＞Ｅ(Ｘ)所以在比赛前，从比赛的胜负角度考虑，应支持乙.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．１２分 20. （本小题满分12分）解：（1）记甲、乙两人同时参加岗位服务为事件A E ，那么.….…4分即甲、乙两人同时参加岗位服务的概率是1 40。

福州格致中学2014级高二学段第一学期质量评定高二年级第五次月考数学（文史类）一、选择题（本题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分）1.直线 l ：x－ 2y＋2＝0 过椭圆左焦点F1和一个顶点 B，则该椭圆的离心率为()12552A .5 B.5 C. 5 D.52.函数 f(x)的定义域为开区间 (a， b)，导函数 f′(x)在 (a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间 (a，b)内有极小值点的个数为()A．1B． 2C．3D． 43．某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120 件， 80 件，60件。

为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n 的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了 3 件，则nA．9B．10C．12D．134.圆 x2 y 2 2x 4 y 0 的半径为A． 3B．3C．5D． 55．椭圆x2y21的焦距为2，则m的值是m4A．6或2B． 5C．1或9D．3或56．已知，，是三个互不重合的平面， l 是一条直线，下列命题中正确命题是A．若⊥， l ⊥，则 l ∥B．若l上有两个点到的距离相等，则 l ∥C．若l⊥， l ∥，则⊥D．若⊥，⊥，则⊥7．若执行右面的程序框图，输出S 的值为A ． 2log 2 3B ． log 2 7C ．3D ．28．如图 ,正方体 ABCDA 1B 1C 1D 1 的棱长为 1， P 为 BC 的中点， Q 为线段 CC 1 上的中点，则四面体 A 1 PQD 的正视图、侧视图和俯视图的面积之和为A ． 5B ．24C ．9D ．542xy 2 02y1的范围9．已知 xy4 0 , 求 z2xy 50 x 1A ．[3,7]B ．[3,7]C ．[ 3,7]D ．[3, 7]4 2844 48 210．设点 P 是函数 y4 ( x 1) 2 图象上的任意一点，点 Q (2a, a3) ( a R ) ，则 | PQ | 的最小值为A ．52B ．5C ．852D ．7 5255第Ⅱ卷 （非选择题，满分100 分）注意事项：1．请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第Ⅱ卷答题卡上作答，不能答在此试卷上。

2015-2016学年福建省福州市格致中学高二（上）期中数学试卷（理科）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一项是符合题目要求的）1．已知sinx+cosx=，则cos（﹣x）=( )A．﹣B．C．﹣D．2．已知命题p：函数f（x）=|sin2x﹣|的最小正周期为π；命题q：若函数f（x+1）为偶函数，则f（x）关于x=1对称．则下列命题是真命题的是( )A．p∧q B．p∨q C．（￢p）∧（￢q）D．p∨（￢q）3．已知e是自然对数的底数，函数f（x）=e x+x﹣2的零点为a，函数g（x）=lnx+x﹣2的零点为b，则下列不等式成立的是( )A．f（1）＜f（a）＜f（b）B．f（a）＜f（b）＜f（1）C．f（a）＜f（1）＜f（b）D．f（b）＜f（1）＜f（a）4．已知数列{a n}是等差数列，且a6+a7=10，则在（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a12）的展开式中，x11项的系数是( )A．60 B．﹣60 C．30 D．﹣305．设x＞0，y＞0，A=，B=，则A与B的大小关系为( )A．A＞B B．A≥B C．A＜B D．A≤B6．若函数f（x）=2x2﹣lnx在其定义域的一个子区间（k﹣1，k+1）上不是单调函数，则实数k的取值范围( )A．（Ⅰ）求乙直到第3次才投中的概率；（Ⅱ）在比赛前，从胜负的角度考虑，你支持谁？请说明理由．20．甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A，B，C，D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．（Ⅰ）求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率；（Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；（Ⅲ）设随机变量ξ为这五名志愿者中参加A岗位服务的人数，求ξ的分布列．21．设函数f（x）=lnx﹣ax+﹣1．（Ⅰ）当a=1时，求曲线f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）当a=时，设函数g（x）=x2﹣2bx﹣，若对于∀x1∈，∃x2∈，使f（x1）≥g（x2）成立，求实数b的取值范围．22．（1）已知a，b为实数，并且e＜a＜b，其中e是自然对数的底，证明a b＞b a．（2）如果正实数a，b满足a b=b a，且a＜1，证明a=b．2015-2016学年福建省福州市格致中学高二（上）期中数学试卷（理科）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一项是符合题目要求的）1．已知sinx+cosx=，则cos（﹣x）=( )A．﹣B．C．﹣D．【考点】两角和与差的余弦函数．【专题】三角函数的求值．【分析】利用两角和公式和诱导公式化简即可．【解答】解：sinx+cosx=2（sinx+cosx）=2sin（x+）=2cos（﹣x）=，∴cos（﹣x）=，故选D．【点评】本题主要考查了两角和与差的正弦函数．考查了学生对基础知识的掌握．2．已知命题p：函数f（x）=|sin2x﹣|的最小正周期为π；命题q：若函数f（x+1）为偶函数，则f（x）关于x=1对称．则下列命题是真命题的是( )A．p∧q B．p∨q C．（￢p）∧（￢q）D．p∨（￢q）【考点】复合命题的真假．【专题】简易逻辑．【分析】分别判定命题p，q的真假性，利用复合命题站真假之间的关系即可得到结论．【解答】解：函数f（x）=|sin2x﹣|=|2sin2x﹣1||cos2x|，∵cos2x的周期是π，∴函数f（x）=|sin2x﹣|的最小正周期为，即命题p是假命题．若函数f（x+1）为偶函数，则f（﹣x+1）=f（x+1），即f（x）关于x=1对称，∴命题q为真命题，则p∨q为真命题，其余为假命题，故选：B【点评】本题主要考查复合命题真假之间的关系，利用条件先判定命题p，q的真假是解决本题的关键．3．已知e是自然对数的底数，函数f（x）=e x+x﹣2的零点为a，函数g（x）=lnx+x﹣2的零点为b，则下列不等式成立的是( )A．f（1）＜f（a）＜f（b）B．f（a）＜f（b）＜f（1）C．f（a）＜f（1）＜f（b）D．f（b）＜f（1）＜f（a）【考点】函数零点的判定定理．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】首先判断两个函数的单调性，再由定义知f（a）=0，f（1）=e+1﹣2＞0，g（b）=0，g（1）=0+1﹣2＜0，从而可判断0＜a＜1＜b；从而再利用单调性判断大小关系．【解答】解：易知函数f（x）=e x+x﹣2在R上是增函数，g（x）=lnx+x﹣2在（0，+∞）上也是增函数；又∵f（a）=0，f（1）=e+1﹣2＞0，g（b）=0，g（1）=0+1﹣2＜0，∴0＜a＜1＜b；故f（a）＜f（1）＜f（b）；故选C．【点评】本题考查了函数的单调性的判断与应用及函数零点的判定定理的应用，属于基础题．4．已知数列{a n}是等差数列，且a6+a7=10，则在（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a12）的展开式中，x11项的系数是( )A．60 B．﹣60 C．30 D．﹣30【考点】等差数列的性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由题意和等差数列的性质得：a1+a12=a2+a11=a3+a10=…=a6+a7=10，再由条件求出x11项的系数是﹣（a1+a2+…+a12），代入即可求出答案．【解答】解：由题意知，数列{a n}是等差数列，且a6+a7=10，由等差数列的性质得，a1+a12=a2+a11=a3+a10=…=a6+a7=10，∴在（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a12）的展开式中，x11项的系数是﹣（a1+a2+…+a12）=﹣6（a6+a7）=﹣60，故选：B．【点评】本题考查等差数列的性质的灵活应用，属于中档题．5．设x＞0，y＞0，A=，B=，则A与B的大小关系为( )A．A＞B B．A≥B C．A＜B D．A≤B【考点】不等式比较大小．【专题】不等式的解法及应用．【分析】通过A、B分离常数1，直接利用放缩法推出所求结果．【解答】解：A==1﹣，B===1﹣，∵＜＜，∴﹣＜﹣，∴A＜B，故选：C．【点评】本题考查了不等式大小比较的方法，属于基础题．6．若函数f（x）=2x2﹣lnx在其定义域的一个子区间（k﹣1，k+1）上不是单调函数，则实数k的取值范围( )A．﹣e x，∵＞1，∴对于任意 x∈R，e x＞e x，∴h'（x）=e x﹣e x＞0即h（x）在实数域内单调递增．∵h（0）=0，∴当 x＜0 时，h（x）＜0；当 x＞0 时，h（x）＞0．∴不等式e x•f（x）＞e x+1的解集为：{x|x＞0}．故答案为：{x|x＞0}．【点评】本题考查不等式的解集的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的灵活运用．三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．设函数f（x）=|x﹣4|+|x﹣a|（a＞1），且f（x）的最小值为3．（1）求a的值；（2）若f（x）≤5，求满足条件的x的集合．【考点】绝对值不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】（1）由条件利用绝对值的意义可得|a﹣4|=3，再结合a＞1，可得a的值．（2）把f（x）≤5等价转化为的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．【解答】解：（1）函数f（x）=|x﹣4|+|x﹣a|表示数轴上的x对应点到4、a对应点的距离之和，它的最小值为|a﹣4|=3，再结合a＞1，可得a=7．（2）f（x）=|x﹣4|+|x﹣7|=，故由f（x）≤5可得，①，或②，或③．解①求得3≤x＜4，解②求得4≤x≤7，解③求得7＜x≤8，所以不等式的解集为．【点评】本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式组来解，属于基础题．18．已知数列{a n}满足a1=2，且a n a n+1+a n+1﹣2a n=0（n∈N*）．（1）求a2，a3，a4的值；（2）猜想数列{a n}的通项公式，并用数学归纳法加以证明．【考点】数学归纳法；数列递推式．【专题】点列、递归数列与数学归纳法．【分析】（1）由题设条件得a n+1=，由此能够求出a2，a3，a4的值．（2）猜想a n=，然后用数学归纳法进行证明．【解答】（本小题满分12分）解：（1）由题意得a n+1=，又a1=2，∴a2==，a3==，a4==．…（2）猜想a n=..…．…证明：①当n=1时，=2=a1，故命题成立．②假设n=k时命题成立，即a k=，a k+1====，故命题成立．综上，由①②知，对一切n∈N*有a n=成立．．…【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意数学归纳法的证明过程，属于中档题．19．甲乙二人比赛投篮，每人连续投3次，投中次数多者获胜．若甲前2次每次投中的概率都是，第3次投中的概率；乙每次投中的概率都是，甲乙每次投中与否相互独立．（Ⅰ）求乙直到第3次才投中的概率；（Ⅱ）在比赛前，从胜负的角度考虑，你支持谁？请说明理由．【考点】离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式．【专题】概率与统计．【分析】（1）设事件A i表示“乙第i次投中”，由已条件知P（A i）=，（i=1，2，3），由P （乙直到第3次才投中）=P（），能求出乙直到第3次才投中的概率．（2）设乙投中的次数为η，由η～B（3，），求出Eη=3×=．设甲投中的次数为ξ，ξ的可能取值为0，1，2，3，求出Eξ，由Eη＞Eξ，推导出在比赛前，从胜负的角度考虑应该支持乙【解答】解：（1）设事件A i表示“乙第i次投中”，（i=1，2，3）则P（A i）=，（i=1，2，3），事件A1，A2，A3相互独立，P（乙直到第3次才投中）=P（）=（1﹣）•（1﹣）•=．（2）设乙投中的次数为η，则η～B（3，），∴乙投中次数的数学期望Eη=3×=．设甲投中的次数为ξ，ξ的可能取值为0，1，2，3，∵甲前2次每次投中的概率都是，第3次投中的概率，∴甲前2次投中次数股从二项分布B（2，），且每次投中与否相互独立，P（ξ=0）=（1﹣）•（1﹣）•（1﹣）=，P（ξ=1）=+=，P（ξ=2）=+=，P（ξ=3）==，∴甲投中次数的数学期望Eξ==，∴Eη＞Eξ，∴在比赛前，从胜负的角度考虑应该支持乙．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法及应用，是中档题，在历年高考中都是必考题型．20．甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A，B，C，D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．（Ⅰ）求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率；（Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；（Ⅲ）设随机变量ξ为这五名志愿者中参加A岗位服务的人数，求ξ的分布列．【考点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列．【专题】概率与统计．【分析】（Ⅰ）甲、乙两人同时参加A岗位服务，则另外三个人在B、C、D三个位置进行全排列，所有的事件数是从5个人中选2个作为一组，同其他3人共4个元素在四个位置进行排列．（Ⅱ）总事件数同第一问一样，甲、乙两人不在同一个岗位服务的对立事件是甲、乙两人同时参加同一岗位服务，即甲、乙两人作为一个元素同其他三个元素进行全排列．（Ⅲ）五名志愿者中参加A岗位服务的人数ξ可能的取值是1、2，ξ=2”是指有两人同时参加A岗位服务，同第一问类似做出结果．写出分布列．【解答】解：（Ⅰ）记甲、乙两人同时参加A岗位服务为事件E A，总事件数是从5个人中选2个作为一组，同其他3人共4个元素在四个位置进行排列C52A44．满足条件的事件数是A33，那么，即甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率是．（Ⅱ）记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件E，满足条件的事件数是A44，那么，∴甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是．（Ⅲ）随机变量ξ可能取的值为1，2．事件“ξ=2”是指有两人同时参加A岗位服务，则．∴，ξ的分布列是【点评】本题考查概率，随机变量的分布列，近几年新增的内容，整体难度不大，可以作为高考基本得分点．总的可能性是典型的“捆绑排列”，易把C52混淆为A52，21．设函数f（x）=lnx﹣ax+﹣1．（Ⅰ）当a=1时，求曲线f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）当a=时，设函数g（x）=x2﹣2bx﹣，若对于∀x1∈，∃x2∈，使f（x1）≥g（x2）成立，求实数b的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的概念及应用．【分析】（Ⅰ）通过令a=1时，化简函数f（x）的表达式，通过求出f（1）、f′（1）的值即可；（Ⅱ）通过求出f′（x）的表达式，并对a的值是否为0进行讨论即可；（Ⅲ）通过（II）可知当时函数f（x）在区间（1，2）上为增函数，则已知条件等价于g（x）在上的最小值不大于f（x）在上的最小值，通过对g（x）的表达式进行配方，结合x∈讨论g（x）的图象中对称轴与区间的位置关系即可．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=lnx﹣x﹣1，∴，∴f′（1）=0，∴f（x）在x=1处的切线方程为y=﹣2；（Ⅱ），且f（x）的定义域为（0，+∞），下面对a的值进行讨论：（1）当a=0时，，f（x）的增区间为（1，+∞），减区间为（0，1）；（2）当a≠0时，又分以下几种情况：①当，f（x）的增区间为，减区间为（0，1），；②当，f（x）在（0，+∞）上单调递减；③当，又有两种情况：（a）当时，；（b）当；（Ⅲ）当时，由（Ⅱ）知函数f（x）在区间（1，2）上为增函数，所以函数f（x）在上的最小值为，则对于∀x1∈，∃x2∈使f（x1）≥g（x2）成立等价于g（x）在上的最小值不大于f（x）在上的最小值（*）又，①当b＜0时，g（x）在上为增函数，与（*）矛盾；②当0≤b≤1时，，由及0≤b≤1，可得：；③当b＞1时，g（x）在上为减函数，，此时b＞1；综上所述，b的取值范围是．【点评】本题考查导数的应用，考查分类讨论的思想，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．22．（1）已知a，b为实数，并且e＜a＜b，其中e是自然对数的底，证明a b＞b a．（2）如果正实数a，b满足a b=b a，且a＜1，证明a=b．【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】导数的综合应用．【分析】（1）先构造函数y=，求出函数的导数，得到函数的单调性，从而证出结论；（2）通过讨论a，b的大小关系，结合函数的单调性，从而证出结论．【解答】证明：（1）当e＜a＜b时，要证a b＞b a，只要证blna＞alnb，即只要证＞，考虑函数y=f（x）=（0＜x＜+∞），∵x＞e时，y′=＜0，∴函数y=在（e，+∞）内是减函数，∵e＜a＜b，∴＞，得：a b＞b a．（2）由（1）因为在（0，1）内f′（x）＞0，所以f（x）在（0，1）内是增函数．（反证法）假设a≠b，由0＜a＜1，b＞0，所以a b＜1，从而b a=a b＜1，由b a＜1及a＞0，可推出b＜1，所以a，b∈（0，1），由0＜a＜1，0＜b＜1，假如a≠b，则根据f（x）在（0，1）内是增函数，若a＞b，则＞，从而a b＞b a；若a＜b，则＜，从而a b＜b a．即a≠b时，a b≠b a，与已知矛盾．因此a=b．【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，不等式的证明，是一道中档题．。