第四章 解析函数的级数表示

第四章解析函数的级数表示(The representation of power series of analytic function)第一讲授课题目：§4.1复数项级数§4.2复变函数项级数教学内容：复数序列的极限、复数项级数及其敛散性、复变函数项级数、幂级数、幂级数收敛半径的求法、幂级数和函数的解析性.学时安排：2学时教学目标：1、正确理解条件收敛与绝对收敛2、掌握幂级数的收敛圆的概念，会求幂级数的收敛半径，了解幂级数的运算和性质.3、正确掌握幂级数和函数的解析性教学重点：复数项级数教学难点：幂级数和函数的解析性教学方式：多媒体与板书相结合P思考题：1、2、习题三：1-5作业布置：100101板书设计：一、幂级数二、幂级数收敛半径R的求法三、幂级数和函数的解析性参考资料：1、《复变函数》，西交大高等数学教研室，高等教育出版社.2、《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》，高等教育出版.3、《复变函数论》，（钟玉泉编，高等教育出版社，第二版）2005年5月.4、《复变函数与积分变换》苏变萍 陈东立编，高等教育出版社，2008年4月.课后记事：1、会熟练求幂级数的收敛半径2、基本掌握幂级数和函数的解析性3、课后要答疑教学过程：§4.1 复数项级数 (Series of complex terms)一、复数序列的极限（Limit of the plural array ） 设}{n z () ,2,1=n 为一复数序列，其中,...,...,,222111n n n ib a z ib a z ib a z +=+=+=按照|}{|n z 是有界或无界序列，来定义}{n z 为有界或无界序列.设0z 是一个复常数.如果任给0>ε，可以找到一个正数N ，使得当N n >时，有ε<-||0z z n ,那么我们说}{n z 收敛或有极限0z ，或者说}{n z 是收敛序列，并且收敛于0z ，记作0lim z z n n =+∞→.如果序列}{n z 不收敛，则称}{n z 发散，或者说它是发散序列.定理（Theorem ）4.1设ib a z +=0n n n ib a z +=() ,2,1=n ，则0lim z z n n =+∞→的充分必要条件是,lim ,lim b b a a n n n n ==+∞→+∞→证明：由下列不等式||||||||||0b b a a z z b b a a n n n n n -+-≤-≤--及可知，⇔=+∞→0lim z z n n ,lim ,lim b b a a n n n n ==+∞→+∞→因此，有下面的注解：注1：复数序列也可以解释为复平面上的点列，于是点列}{n z 收敛于0z ，注2：利用两个实数序列的相应的结果，我们可以证明，两个收敛复数序列的和、差、积、商仍收敛，并且其极限是相应极限的和、差、积、商.二、复数项级数及其敛散性(Complex and the Convergence of Series)设}{n z () ,2,1=n 为一复数序列，表达式......21++++n z z z称为复数项级数.记作∑+∞=1n n z ，其部分和序列为：n n z z z S +++= (21)如果序列}{n S 收敛，那么就称级数∑+∞=1n n z 收敛；如果S S n n =∞→lim ，那么说∑+∞=1n n z 的和是S ，或者说∑+∞=1n n z 收敛于S ，记作σ=∑+∞=1n nz，如果序列}{n S 发散，那么就称级数∑+∞=1n n z 发散.例1 当1||<z 时，判断级数......12+++++n z z z是否收敛？解：部分和zz z z z z z z S n n nn ---=--=++++=++11111 (11)12当1||<z 时，有0lim1=++∞→n n z，从而有01lim 01lim 11=-⇒=-+∞→++∞→zz z z n n n n 所以zS n n -=+∞→11lim ，这就是说，当1||<z 时，级数 ......12+++++n z z z收敛，其和为z-11，即当1||<z 时 zz z z n -=+++++11......12 定理（Theorem ）4.2设n n n ib a z +=，则级数∑+∞=1n n z 收敛的充分必要条件是∑+∞=1n n a 与∑+∞=1n n b 都收敛.定理（Theorem ）4.3级数∑+∞=1n nz 收敛的必要条件是,0lim =+∞→n n z证明：因为级数∑+∞=1n n z 收敛的充分必要条件是∑+∞=1n n x 与∑+∞=1n ny 都收敛，，再由实级数∑+∞=1n n x 与∑+∞=1n n y 收敛的必要条件是0lim =+∞→n n x 0lim =+∞→n n y定理（Theorem ）4.4若级数∑+∞=1n n z 收敛，则级数∑+∞=1n n z 也收敛.定义4.1若级数 ||1∑∞=n n z 收敛, 则称 ∑∞=1n n z 绝对收敛.非绝对收敛的收敛级数，称为条件收敛. 例2 判别下列级数的收敛性（1）∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛+121n n i n（2）∑∞=1n n n i （3）∑∞=12n n n i解：（1）发散 （2）条件收敛 （3）绝对收敛注3：关于实数项级数的一些基本结果，可以不加改变地推广到复数项级数，如：柯西收敛原理（复数项级数）：级数∑∞=1n n z 收敛必要与充分条件是：任给0>ε，可以找到一个正数N ，使得当N n >时， 对任意正整数P ，有ε<++++++|...|21p n n n z z z本节重点掌握：（1）复数项级数及其敛散性判别法（2）∑+∞=1n n z 收敛的充分必要条件是∑+∞=1n n a 与∑+∞=1n n b 都收敛.（3）级数∑+∞=1n n z 收敛的必要条件是,0lim =+∞→n n z§4.2 复变函数项级数(Series of function of complex variable) 一、复变函数项级数(Complex Function Series) 设()() ,2,1=n z f n 在复平面区域D 内有定义, 称其为复变函数序列, 记为 (){}z f n .称表达式=∑∞=1)(n nz f()()() +++z f z f z f 321 （1）为 区域D 内的复变函数项级数.其前n 项和 ()()()()z f z f z f z S n n +++= 21 称为（1）的部分和.若对点D z ∈, ()()z S z S n n =∞→lim ，则称∑∞=1)(n n z f 在点D z ∈收敛于()z S ,称 ∑∞=1)(n n z f 在区域D 内收敛于()z S .也称()z S 为级数∑∞=1)(n n z f 的和函数例3 在区域1||<z 内，函数项级数......12+++++n z z z收敛于z-11，即 zz z z n -=+++++11......12 1||<z 定义: 若 > 0,N > 0, 当 n > N 时, 对一切zE, 有ε<-∑=|)()(|1z f z f nk k则称 ∑∞=1)(n n z f 在 E 上一致收敛于 ()z f .一致收敛的 Cauchy 收敛准则(Uniform convergence of Cauchy convergence criterion)∑∞=1)(n nz f在 E 上一致收敛当且仅当 > 0,N > 0, 当 n > N 时, 对一切 p N , 一切zE, 有 |()()()z f z f z f p n n n +++++ 21 | <.优级数准则 (Excellent series standards)设 ∑∞=1n n α 为一收敛的正项级数, 且 |()z f n |n, n =1,2, , zE. 则 ∑∞=1)(n n z f 在 E 上一致收敛.级数∑∞=1)(n n z f 的和函数()z f 有如下性质：连续性(Continuity)设() ,,n ,z f n 21=在复平面点集 E 上连续, 并且 ∑∞=1)(n n z f 在E 上一致收敛于()z f , 则 ()z f 在 E 上连续. 可积性(Integrability)设() ,,n ,z f n 21=在简单曲线 C 上连续, 并且级数∑∞=1)(n nz f在 C上一致收敛于()z f , 则⎰∑⎰=∞=cn cndz z f dz z f)()(1内闭一致收敛(Uniform convergence in closed)设函数() ,,n ,z f n 21=在复平面上区域 D 内解析, 如果∑∞=1)(n nz f在D 内的在一有界闭区域上一致收敛, 则称 ∑∞=1)(n n z f 在 D 中内闭一致收敛.魏尔斯特拉定理（Theorem, Stella of Er, Wei ） 设函数() ,,n ,z f n 21= 在区域 D 内解析, 并且 ∑∞=1)(n n z f 在D 内内闭一致收敛于 ()z f . 则（1）()z f 在 D 内解析, 并且在 D 内 （2）∑∞==1)()()()(n p np z f z f(D z ∈ , p= 1,2, )二、幂级数(Power Series) 形如...)(...)()()(020201000+-++-+-+=-∑+∞=n n n n nz z z z z z z z ααααα（1）的复变函数项级数称为幂级数,其中() ,2,1,0=n n α均为复数.显然，（1）在点0z 收敛.首先研究幂级数的收敛性，有阿贝尔（Abel ）定理：定理（Theorem ）4.5 如果幂级数∑+∞=-00)(n n n z z α在)(01z z ≠收敛，则幂级数（1）在圆域||||010z z z z -<-内绝对收敛.证明：设z 为圆域||||010z z z z -<-内任一点， 因为幂级数∑+∞=-00)(n n n z z α在)(01z z ≠收敛，所以有0)(lim 01=-+∞→n n n z z α，因此存在着有限常数M ，使得,...)1,0(|)(|01=≤-n M z z n n α. 则有nnn n n n z z z z M z z z z z z z z 01010010|)(||)(|--≤---=-αα由于级数∑+∞=--010k Z Z Z Z M 收敛，所以此幂级数在满足||||010z z z z -<-的任何点 z 不仅收敛，而且绝对收敛.推论(Inference)如果幂级数∑+∞=-00)(n n n z z α在)(01z z ≠发散，那么对满足||||010z z z z ->-的任何z 它都发散.证明：用反证法，设z 为满足||||010z z z z ->-内任一点，若幂级数（1）在点z 收敛，则由阿贝尔（Abel ）定理知∑+∞=-001)(n n nz z α收敛.与题设矛盾.因此满足||||010z z z z ->-的任何点z 幂级数∑+∞=-00)(n n nz z α都发散.证毕关于（1）的收敛性有下面三种情况：第一种 对于任意0z z ≠幂级数∑+∞=-00)(n n n z z α都发散.第二种 对于任意z 幂级数∑+∞=-00)(n n n z z α都收敛.第三种 若存在一个复数01z z ≠，使得∑+∞=-001)(n n n z z α收敛，则由阿贝尔（Abel ）定理，在||||010z z z z -<-内，∑+∞=-00)(n nn z z α绝对收敛.另外又存在一个复数2z ，使得∑+∞=-002)(n n n z z α发散，则由阿贝尔（Abel ）定理，对满足||||010z z z z ->-的任何z ，∑+∞=-00)(n nn z z α发散.在第三种情况下，可证明，存在一个有限正数R ,使得∑+∞=-00)(n n nz z α在圆周R z z =-||0内绝对收敛，在圆周Rz z =-||0的外部发散.R 称为幂级数 (1) 的收敛半径; R z z =-||0为收敛圆周.注4：第一种，约定0=R ，第二种，约定+∞=R 注5：当+∞<<R 0时，在R z z =-||0上，幂级数∑+∞=-00)(n nn z z α的敛散性不定.即幂级数 (1) 在收敛圆周 R z z =-||0 上可能收敛, 也可能发散.三、幂级数收敛半径R 的求法（(Power series method for finding the radius of) 定理（Theorem ）4.6 给定幂级数∑+∞=-00)(n n n z z α（1）比值法：若λαα=++∞→||lim 1n n n ，则幂级数∑+∞=-00)(n n n z z α的收敛半径λ1=R ；（2）根值法：若λα=+∞→nn n ||lim ，则幂级数∑+∞=-00)(n n n z z α的收敛半径λ1=R ；（3）当0=λ时， +∞=R ；（4）当+∞=λ时， 0=R ；例4 求幂级数∑+∞=0n nz ，∑+∞=0n n n z ，∑+∞=02n nn z 的收敛半径R ，并讨论它们在收敛圆周上的情况.解：对于上面三个幂级数都有1||lim 1=++∞→nn n αα，所以它们的收敛半径都是1=R ，在收敛圆周上的情况如下：∑+∞=0n nz在1=z 上，因为0lim ≠+∞→n n z ，所以在1=z 上处处发散.∑+∞=0n nn z 在1=z 上，当1-=z 时收敛，当1=z 时发散. ∑+∞=02n nnz 在1=z 上处处绝对收敛，因而也是处处收敛. 例5 求幂级数∑+∞=-0)1(n nn z 的收敛半径R解：=++∞→||lim 1n n n αα11lim =++∞→n n n ，所以收敛半径都是1=R .其收敛圆周 1|1|=-z ，当0=z 时，幂级数∑+∞=-0)1(n nn z 收敛，当2=z 时，幂级数∑+∞=-0)1(n nn z 发散. 四、 幂级数和函数的解析性(Analysis of power series and functions)定理（Theorem ）4.7 设幂级数∑+∞=-00)(n n n z z α有收敛圆盘R z z <-||0.则它的和函数...)(...)()()(0202010+-++-+-+=n n z z z z z z z f αααα在R z z <-||0内解析，并且在R z z <-||0内()∑+∞=-=00)(n nn z z z f α可以逐项求导任意次.即,...),,n (...)z z (!)!n (!n )z (f n n )n (3211101=+-++=+αα 注6：在定理4.12的条件下，()∑+∞=-=00)(n n n z z z f α可以逐项求积分任意次.2 1§4.3泰勒（Taylor）级数§4.4洛朗(Laurent)级数解析函数泰勒定理、一些初等函数的泰勒展式、双边幂级数、解析函数的洛朗展式.1、正确理解泰勒定理2、熟记一些初等函数的泰勒展式，并会利用它们将一些简单的解析函数展开为幂级数.3、切实掌握罗朗级数，会用间接的方法将简单的函数在其孤立奇点附近展开成罗朗级数一些初等函数的泰勒展式解析函数的洛朗展式讲授法多媒体与板书相结合P思考题：3、习题四：6-10101100一、一些初等函数的泰勒展式二、解析函数的洛朗展式三、举例[1]《复变函数》，西交大高等数学教研室，高等教育出版社.[2]《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》，高等教育出版社.[3]《复变函数论》，（钟玉泉编，高等教育出版社，第二版）2005.[4] 《复变函数论》，路见可编，武汉大学出版社.1、会利用初等函数的泰勒展式它们将一些简单的解析函数展开为数2、基本掌握解析函数的洛朗展式3、课后要答疑授课题目：§4.3泰勒（Taylor）级数§4.4洛朗(Laurent)级数教学内容：解析函数泰勒定理、一些初等函数的泰勒展式、双边幂级数、解析函数的洛朗展式.学时安排：2学时.教学目标：1、正确理解泰勒定理2、熟记一些初等函数的泰勒展式，并会利用它们将一些简单的解析函数展开为幂级数.3、切实掌握罗朗级数，会用间接的方法将简单的函数在其孤立奇点附近展开成罗朗级数教学重点：一些初等函数的泰勒展式；教学难点：解析函数的洛朗展式；教学方式：多媒体与板书相结合P思考题：3、习题三：6-10作业布置：100101板书设计：一、一些初等函数的泰勒展式；二、解析函数的洛朗展式；三、举例；参考资料：1、《复变函数》，西交大高等数学教研室，高等教育出版社；2、《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》，高等教育出版；3、《复变函数论》，钟玉泉编，高等教育出版社，（第二版）4、《复变函数论》，路见可编，武汉大学出版社课后记事：1、会利用初等函数的泰勒展式它们将一些简单的解析函数展开为幂级数. ；2、基本掌握解析函数的洛朗展式；3、课后要答疑；第二讲授课题目：§4.3泰勒（Taylor）级数§4.4洛朗(Laurent)级数教学内容：解析函数泰勒定理、一些初等函数的泰勒展式、双边幂级数、解析函数的洛朗展式.学时安排：2学时.教学目标：1、正确理解泰勒定理2、熟记一些初等函数的泰勒展式，并会利用它们将一些简单的解析函数展开为幂级数.3、切实掌握罗朗级数，会用间接的方法将简单的函数在其孤立奇点附近展开成罗朗级数教学重点：一些初等函数的泰勒展式；教学难点：解析函数的洛朗展式；教学方式：多媒体与板书相结合P思考题：3、习题三：6-10作业布置：101100板书设计：一、一些初等函数的泰勒展式；二、解析函数的洛朗展式；三、举例；参考资料：1、《复变函数》，西交大高等数学教研室，高等教育出版社；2、《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》，高等教育出版；3、《复变函数论》，钟玉泉编，高等教育出版社，（第二版）4、《复变函数论》，路见可编，武汉大学出版社课后记事：1、会利用初等函数的泰勒展式它们将一些简单的解析函数展开为幂级数. ； 2、基本掌握解析函数的洛朗展式； 3、课后要答疑；教学过程：§4.3 泰勒（Taylor ）级数(Taylor's series)一、解析函数泰勒定理(Taylor's theorem for analytic functions)定理（Theorem ）4.6设函数)(z f 在区域D 内解析，D z ∈0，R 为0z 到区域D 的边界上各点的最短距离，则在圆盘R z z U <-|:|0内)(z f 可展成幂级数...)(!)(...)(!2)(")(!1)(')()(00)(200000+-++-+-+=n n z z n z f z z z f z z z f z f z f （1）证明：以0z 为心，)(R r r <为半径在U 内作一个圆C ：r z =-||0ς，设z 是其内一点，我们有⎰-=C d zf i z f ,)(21)(ζζζπ 由于当C ∈ζ时，10<--z z z ζ，又因为)1|...(| (111)2<+++++=-αααααn所以∑∞+=+--=---⋅-=---=-010000000)()(111)(11n n nz z z z z z z z z z z ζζζζζ把上面的展开式代入积分中，然后利用一致收敛级数的性质，得...)(...)()(0010+-++-+=n n z z z z z f ααα其中，,...)2,1,0(,!)()()(210)(1==-=⎰+n n z f d z f i C n n n ζζζπα 定理成立.注1：（1）称为)(z f 在点0z 的泰勒展式，右端称为)(z f 在点0z 的泰勒级数.注2：若)(z f 在区域D 内有奇点α，则0z R -=α. 注3：)(z f 在点0z 的泰勒展式是唯一的.二、一些初等函数的泰勒展式（Some Functional Taylor expansion ）例1 求)(z f z z e z cos ,sin ,=在0=z 的泰勒展式. 解：由于z z e e =)'(，所以1|)(0)(==z n z e ，因此+∞<+++++=z z n z z e n z ...!1...!2112同理，有+∞<+-+-+-=z z n z z z n n ...)!2(1)1(...!41!211cos 242+∞<++-+-+-=+z z n z z z z n n ...)!12(1)1(...!51!31sin 1253例2 求zz f -=11)(在0=z 的泰勒展式 解：111132<++++++=-z z z z z zn 例3 求21)(-=z z f 在1-=z 的泰勒展式解：()3113131********1113131121012<++-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛++++-=+--=-+=-∑∞=+z z z z z z z z n nn n由于在复平面上，以某些射线为割线而得的区域内，多值函数---对数函数和一般幂函数可以分解成解析分支，因此在已给区域中任一圆盘内，可以作出这些分支的泰勒展式.例4 求)1arg(|1|ln )1ln(z i z z +++=+在0=z 的泰勒展式. 解：已给解析分支在0=z 的值为0，它在0=z 的一阶导数为1，二阶导数为-1，n 阶导数为)!1()1(--n n ,…,因此，它在0=z 或在1<z 的泰勒展式是1...)1(...32)1ln(132<+-+-+-=+-z nz z z z z nn由此可知()z +1Ln 的各支在1<z 的泰勒展式是例5 求α)1(z +的解析分支)01(ln )1ln(=+z e α在0=z 的泰勒展式（其中α不是整数）.解：已给解析分支在0=z 的值为1，它在0=z 的一阶导数为α，二阶导数为)1(-αα，n 阶导数为)1)...(1(+--n ααα,…,因此，它在0=z 或在|z|<1的泰勒展式是：1......212)1ln(<+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+z z n z z e nz αααα其中!)1)...(1(n n n +--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛αααα， 注解 这是二项式定理的推广，对α为整数的情况也成立.§4.4洛朗(Laurent)级数 (Laurent's series)一、双边幂级数（Bilateral power series ） 首先考虑级数...)(...)()(0202010+-++-+-+------n n n z z z z z z ββββ （1）其中,...,...,,,100n z --βββ是复常数.此级数可以看成变量1z z -的幂级数；设这幂级数的收敛半径是R .如果+∞<<R o ，那么不().)1(32221ln )1(ln 132⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅++-+=++=+-nz z z z i k ik z z nn k ππ难看出，此级数在Rz z 1||0>-内绝对收敛并且内闭一致收敛，在Rz z 1||0<-内发散.同样，如果+∞=R ，那么此级数在0||0>-z z 内绝对收敛；如果R=0，那么此级数在每一点发散.在上列情形下，此级数在0z z =没有意义.按照不同情形，此级数分别在0||)0(1||010>-+∞<<=>-z z R R Rz z 及内收敛于一个解析函数.称（1）为负幂项级数，称∑+∞-∞=-n n nz z )(0β为双边幂级数，由幂级数的收敛性可知，双边幂级数表示圆环上的解析函数.二、解析函数的洛朗展式（Laurent expansion of analytic functions ）定理（Theorem ）4.7（洛朗定理）设函数)(z f 在圆环：)0(||:21201+∞≤<≤<-<R R R z z R D内解析，那么)(z f 在D 内展开为,)()(0∑+∞-∞=-=n n nz z z f α（1）其中,,,,)()(21010±±=-=⎰+n d z f n n γζζζαγ是圆ρρ,||0=-z z 是一个满足21R R <<ρ的任何数.证明：在D 内作圆环'||':201R z z R D <-<'，设z 是圆环D '内任一点，这里2211''R R R R <<<.用'2'1ΓΓ及分别表示圆'||'||2010R z z R z z =-=-及.由于)(ζf 在闭圆环'D 上解析，根据柯西定理，有⎰⎰ΓΓ---='1'2)(21)(21)(ζζζπζζζπd zf i d z f i z f ，其中积分分别是沿'2'1ΓΓ及关于它们所围成圆盘的正向取的.当'2Γ∈ζ时，z 在'2Γ的内部，有10<--z z z ς，于是 ∑∞+=+--=---⋅-=---=-010000000)()(111)(11n n nz z z z z z z z z z z ζζζζζ而当'1Γ∈ζ时，级数∑+∞=+--=----=--0100000)()()1)((11n n n z z z z z z z z z ζζζ 把这两个式子代入前面的式子，然后逐项积分，我们就看到)(z f 有展式,)()(0∑+∞-∞=-=n n nz z z f α其中，,...)2,1,0(,)()(21'210⎰Γ+=-=n d z f i n n ζζζπα,...)2,1(,)()(21'110⎰Γ+--=-=n d z f i n n ζζζπα 于是定理的结论成立.（1）)(z f 在D 内的展洛朗展式，（1）右端称为)(z f 在D 内的洛朗级数注4：由于函数)(z f 的解析区域不是单连通区域，所以公式,...)2,1,0(,)()(2110±±=-=⎰+γζζζπαn d z f i n n 不能写成：.!)(0)(n z f n n =α 注5：我们称∑+∞=-00)(n nn z z α为)(z f 的解析部分，而称∑-∞-=-1)(n nn z z α为其主要部分. 注6：在定理4.9的假设下，)(z f 在D 的洛朗展式式唯一的.例6 求函数)2)(1(1--z z 分别在圆环1<|z |<2及+∞<<||2z 内的洛朗级数展式.解：因为111132<++++++=-z z z z z z n由1<|z |<2，有,1|1|,1|2|<<zz所以1121)2)(1(1---=--z z z z;12)11(1)21(210101∑∑+∞=++∞=+--=----=n n n n n z z zz z由+∞<<||2z ，有,1|1|,1|2|<<zz 1121)2)(1(1---=--z z z z;12)11(1)21(10101∑∑+∞=++∞=+-=-+-=n n n n n z z zz z z例7 求2sin z z 及zzsin 在+∞<<||0z 内的洛朗级数展式 解：因为+∞<++-+-+-=+z z n z z z z n n ...)!12(1)1(...!51!31sin 1253 所以2sin z z 及zz sin 在+∞<<||0z 内的洛朗级数展式是： ...)!12()1(...!5!31sin 1232++-+-+-=-n z z z z z z n n ...)!12()1(...!5!31sin 242++-+-+-=n z z z z z nn 例8 求ze 1在+∞<<||0z 内的洛朗级数展式 解：因为+∞<+++++=z z n z z e n z ...!1...!2112所以ze 1在+∞<<||0z 内的洛朗级数展式：...1!1...1!211121+++++=nzz n z z e 例9 函数)3)(1(12--z z 在圆环1<|z |<3内的洛朗级数展式.解：因为111132<++++++=-z z z z z zn由1<|z |<3，有,1|3|,1|1|<<zz所以)3)(1(12--z z 在圆环1<|z |<3内的洛朗级数展式：)1331(81)3)(1(122-+--=--z z z z z )13131(8122-----=z z z z ， 而 ;331)31(31310∑+∞=-=--=-n nnz z z ;11)11(11122222∑+∞==-=-n n z z zz z 所以，有2121220001113().(1)(3)83n n n n n n n z z z z z+∞+∞+∞+--====-----∑∑∑ 小结：注重掌握间接展开方法。