湘教版七年级下册3.1多项式的因式分解课件12张PPT

（包含单项式与多项式的积或多项式与多项式的积）
深度理解
左边的整式乘法和 右边的因式分解有什
么关系？
整式的乘法
把积化为和
因式分解
互逆关系 把和化为积
下列代数式变形中，哪些是因式分解，
哪些不是？为什么？
(1)2������ ������ + ������ = ������������������ − ������������
——湘教版七年级数学下册
42能被哪些数整除？
42=2×3×7
类似地，在式的变形中，有时也要将一个 多项式写成几个整式乘积的形式。
例，������������ − ������������ = (������ + ������)(������ − ������)
一般地，对于两个多项式f与g，如果有 多项式h使得f=g h，那么我们把g叫做f的一个因式， 此时，h也是f的一个因式。
������������ − ������������
9−252
������2 + 2������ + 1
xy−������2
(������ + 1)2 ������(������ − ������) (3 − 5������)(3 + 5������) (������ + ������)(������ − ������)
2 2������2 − 1 = 2������ + 1 2������ − 1
解：因为 ������������ + ������ ������������ − ������ = ������������������ − ������ ≠ ������������������ − ������ 所以因式分解������������������ − ������ = ������������ + ������ ������������ − ������ 不正确

THE END 17、一个人如果不到最高峰，他就没有片刻的安宁，他也就不会感到生命的恬静和光荣。2021/1/92021/1/92021/1/92021/1/9
谢谢观看
例1 解方程
x2 1 0
③
把③式左端的多项式因式分解，得
x 1 x 1 0 ④
从④式得 x 1 0 或 x 1 0
即 x 1 或 x 1
因此方程③的解是 x 1或x 1
1.把下列多项式因式分解：
1 x2 4
解 x2 4 x 2x 2
2.求4，6，14的最大公因数
4=1×2×2 6=1×2×3 14=1×2×7 最大公因数是2
• 14、Thank you very much for taking me with you on that splendid outing to London. It was the first time that I had seen the Tower or any of the other famous sights. If I'd gone alone, I couldn't have seen nearly as much, because I wouldn't have known my way about.
，我们把x+1叫作x2－1的一个因式，同理，x－1也是 x2－1 的一个因式．
一般地，对于两个多项 f 与 g，如果有多项式 h 使得 f = gh ，那么我 们把 g 叫作 f 的一个因式，此时，h 也是 f 的一个因式．
在现代数学文献中，把单项式看成是只有一项的多项式．
把 x2 1 写成 x 1 x 1 的形式，叫作把 x2 1 的因式分解

=x2+6x+8.
因为(yīn wèi)甲看错了b,所以a=6.
(x+1)(x+9)
=x2+9x+x+9
=x2+10x+9.
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因为(yīn wèi)乙看错了a,所以b=9,所以a+b=15.
第二十六页，共四十五页。
【学霸提醒】
因式分解(yīn shìfēn jiě)与整式乘法的联系与区别
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(5)右边不是整式积的形式(xíngshì),不是因式分解. 则(1)(2)(4)(5)不是因式分解,(3)是因式分解.
第二十二页，共四十五页。
知识点二 因式分解与整式乘法的关系
(P56例2拓展)
【典例2】甲、乙两个同学进行(jìnxíng)因式分解x2+ax+b时,甲看
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(4)9x2-6x+1=3x(3x-2)+1. (5)x2+1=x ( x. 1 )
x
第二十页，共四十五页。
解:(1)因式分解是针对(zhēnduì)多项式来说的,故(1)不是因式分解.
(2)右边不是整式积的形式,不是因式分解.
(3)是因式分解. (4)右边不是整式积的形式,不是因式分解.
第六页，共四十五页。
2.因式分解 把一个多项式表示成若干个多项式的________乘_的积形(ch式éng(jxīí)ngshì), 称为把这个多项式因式分解. 3.因式分解与整式乘法的关系
第七页，共四十五页。
【基础小练】 请自我(zìwǒ)检测一下预习的效果吧!
1.下列各式由左到右的变形是因式分解的是 (

把 x 2 1 写成x1x1的形式，叫作把 x2 1 因
式分解.
一般地，把一个含字母的多项式表示成若干个均 含字母的多项式的乘积的形式，称为把这个多项式因 式分解．
为什么要把一个多 项式因式分解呢？
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/52021/9/5Sunday, September 05, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/52021/9/52021/9/59/5/2021 7:01:09 AM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/52021/9/52021/9/5Sep-215-Sep-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/52021/9/52021/9/5Sunday, September 05, 2021
对于多项式 x2 1与x1 ，有多项式 x－1使得
x21x1x1 ，我们把x+1叫作 x2－1的一个因
式，同理，x－1也是 x2－1 的一个因式．
归纳总结 一般地，对于两个多项 f 与 g，如果有多项式 h 使得 f =
gh ，那么我们把 g 叫作 f 的一个因式，此时，h 也是 f 的一 个因式．
• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
•
万里长城是由砖砌成的，不少房子也是用砖砌成的，因 此， 砖是基本建筑块之一.
在数学中也经常要寻找那些“基本建筑块”，例如，在 正整数集中，像2，3，5，7，11，13，17，…这些大于1的数， 它的因数只有1和它自身，称这样的正整数为质数或素数，素 数就是正整数集中的“基本建筑块”：每一个正整数都能表 示成若干素数的乘积的形式．

【总结提升】满足因式分解的条件 1.范围:运算在整式的范围内. 2.形式:变形的结果是乘积的形式. 3.过程:变形的过程必须保证运算的正确性.
知识点 2 因式分解与整式乘法的关系 【例2】若多项式x2+ax+b可分解为(x+1)(x-2),试求a,b的值. 【思路点拨】根据因式分解与整式乘法的互逆关系,求 (x+1)(x-2)所得的多项式与x2+ax+b各项对应相等,即可得 a,b的值.
因式为x+2.
答案:(x+2) x+2
6.若4a2-9b2=(2a+3b)(2a-3b);4a2-6ab=2a(2a-3b);8a3-
27b3=(2a-3b)(4a2+6ab+9b2).则多项式4a2-9b2,4a2-6ab和8a3-
27b3都含有的因式为
.
【解析】2a+3b和2a-3b是4a2-9b2的因式,2a和2a-3b是
4.5a2-5a=5a(a-1)是
.(填“因式分解”或“整式乘
法”)
【解析】5a2-5a=5a(a-1)是把多项式化成整式积的形式,是因
式分解.
答案:因式分解
5.已知(x+2)(x-2)=x2-4,(x+2)·
=(x+2)2,故x2-4和
(x+2)2都含有的因式为
.
【解析】因为(x+2)2=(x+2)(x+2),故x2-4和(x+2)2都含有的
第3章 因式分解 3.1 多项式的因式分解
1.经历分解因数到因式分解的类比过程,理解因式分解的意 义.(重点) 2.理解因式分解与整式乘法的关系,会用整式乘法验证因式分 解是否正确.(重点、难点)

2、x 2 1 等于x 1 乘以哪个多项式？
x21(x1)(_ x__ _ 1_)
对于多项式 x 2 1 与 x 1有多项 式 x 1使得：
x21(x1)(x1)
，把 x 1 叫做 x 2 1 的一个因式， 同理， x 也1是 x 2 的1一个因式
因式的定义：
一般地，对于两个整式 f 与 g ，如果有多项 式 h 使得 f=gh ，那么我们把 g 叫做 f 的一个因 式。此时，h 也是 f 的一个因式。
注意：
1.因式分解必须在整式范围内进 行，否则不属于因式分解；
2.利用整式的乘法可以验证因式 分解是否正确.
练一练
下列代数式从左到右的变形是因式分解吗？
（1） a2aa(a1) 是
（2）(a 3 )(a 3 ) a 2 9不是 （3） 4 x2 4 x 1 (2 x 1 )2 是
（4）x2 3 x 1 x(x 3 ) 1 不是
例题分析
例1下列各式由左边到右边的变形，哪些是因式分 解，哪些不是，为什么？
(1)a22a bb2(ab)2
(2)m2m4(m3)m (2)2
解： (1)是，因为从左边到右边是把多项式a2+2ab+b2 表示成多项式a+b与a-b的积的形式。 (2)不是，因为(m+3)(m-2)+2不是几个多项式乘积 的形式。
同样地，在系数为有理数（或系数为实数）的多项 式组成的集合中，也有一些多项式跟素数(质数)一样使 得：每一个多项式可以表示成若干个这种多项式的乘积 的形式，从而为许多问题的解决架起了桥梁。
说一说
对于整数21与7，有整数3使得 21=3x7，把3叫做21的一个因 1、21等于3乘以哪个整数？数。同理，7也是21的一个因数。 21=3 ×__7_

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第3章 因式分解
3.1 多项式的因式分解
新课导入
（1）21 等于 3 乘哪个整数？ （2）x2－1等于x+1乘哪个多项式？
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21＝3×7
对于整数21 与 3，有整数 7 使得21＝3×7，我们把3叫 做21的一个因数．同理，7也是21的一个因数．
推进新课
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进而很容易把分数 约分：分子与分母同除以6，得
同样地，每一个多项式可以表示成若干个最基本的多项式的 乘积的形式，从而为许多问题的解决架起了桥梁．例如，以后 要学习的分式的约分，解一元二次方程等，常需要把多项式进 行因式分解.
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注意：
1.因式分解必须在整式范围内进 行，否则不属于因式分解； 2.利用整式的乘法可以验证因式 分解是否正确.
一般地，对于两个多项 式f 与 g，如果有多项式 h 使 得 f = gh ，那么我们把 g 叫做 f 的一个因式，此时， h 也是 f 的一个因式．
在现代数学文献中，把单项式看成是只有一项的多项式．
一般地，把一个多项式化成几个整式的 积的形式，叫把这个多项式因式分解．(也
叫分解因式）
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即：一个多项式 →几个整式的积
分解因式与整式乘法二者是 互逆的。 可以利用分解因式与整式乘法这种互逆关 系来检验分解因式的结果是否正确.
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整式的积 多项式 多项式 整式的积
3x(x-1)= 3x2 - 3_x_, 3x2-3x=_3_x_(x_-_1_)___
整式乘法 因式分解 因式分解与整式乘法有什么关系？
因式分解: 一个多项式 几个整式的乘积

3.检验下列因式分解是否正确.
（1）-2a2+4a=-2a(a+2);
因为-2a(a+2) = -2a2-4a≠ -2a2+4a ，不正确
（2）x3+x2+x=x(x2+x) ;
因为x(x2+x) = x3+x2 ≠ x3+x2+x ，不正确
（3）m2+3m+2=(m+1) (m+2).
因为(m+1) (m+2) = m2+3m+2 ，正确
因为x ( x +y ) = x2+xy，正确
（2）a2-5a+6=(a-2) (a-3) ;
因为(a-2) (a-3)=a2-5a+6 ，正确
（3）2m2-n2=(2m-n) (2m+n) .
因为(2m-n) (2m+n) =4m2-n2≠2m2-n2 ，不正确
巩固练习
1.求4，6，14的最大公因数.
课堂小结
f=gh x2-1=(x+1)·(x-1)
一般地，对于两个多项式f与g，如果有多项式h使得 f=gh，那么我们把g叫做f的一个因式.此时，h也是f的一个 因式.
一般地，把一个多项式表示成若干个多项式的乘积的 形式，称为把这个多项式因式分解.
课后作业
1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。
是.因为从左边到右边是把多项式a2+2ab + b2表示成了多项 式a+b与a+b的积的形式.
(2) m2+m-4=( m +3 ) ( m-2 )+2.
不是.因为( m +3 ) ( m-2 )+2不是几个多项式乘积的形式.

（1）x2+xy=x( x+y )；
（2）a2-5a+6=(a-2)(a-3)；
（3）2m2-n2=( 2m-n )( 2m+n ).
解：（1）因为x( x+y )=x2+xy，所以（1）正确；
（2）因为( a-2 )( a-3 )=a2-5a+6，所以（2）正确；
（3）因为( 2m-n )( 2m+n )=4m2-n2≠2m2-n2，所以（3）不正确.
左边是多项式，
右边是几个整式的乘积.
典例精析
【例1】下列各式由左边到右边的变形，哪些是因式分
解，哪些不是，为什么？
(1) a2+2ab + b2= (a+b)2;
是.因为从左边到右边是把多项式a2+2ab + b2表示成了多项
式a+b与a+b的积的形式.
(2) m2+m-4=( m +3 ) ( m-2 )+2.
A.a(m-n)＝am-an
B.y2+2y+1＝y(y+2)+1
C.(x+3)(x+6)＝x2+9x+18
D.b3-b＝b(b+1)(b-1)
2. (7x-y)(7x+y)是下列哪一个多项式因式分解的结果( C )
A.49x2+y2
B.-49x2+y2
C.49x2-y2
D.-49x2-y2
巩固练习
b 的值.
解：分解因式甲看错了 b，但 a 是正确的，
其分解结果为 x2 + ax + b = (x + 2)(x + 4) = x2 + 6x + 8，