行列式的计算方法总结归纳

线性代数行列式计算总结线性代数中的行列式是一种非常重要的数学工具，它在矩阵理论、线性方程组的解法、线性空间与线性变换以及特征值与特征向量的计算中都起到至关重要的作用。

行列式的计算方法有很多，下面我将总结一下常见的行列式计算方法。

首先，我们先来定义什么是一个行列式。

行列式是一个标量，它是一个n阶方阵所带的一个数值特征。

对于一个n阶方阵A，它的行列式表示为，A，或者det(A)，它的计算方法如下所示。

1.二阶行列式的计算方法对于一个二阶方阵A=，a11a12a21a2它的行列式计算方法是：，A，=a11*a22-a12*a212.三阶行列式的计算方法对于一个三阶方阵A=，a11a12a13a21a22a2a31a32a3它的行列式计算方法是：，A，=a11*a22*a33+a12*a23*a31+a13*a21*a32-a13*a22*a31-a12*a21*a33-a11*a23*a323.高阶行列式的计算方法对于一个高阶方阵A，可以通过对其中一行或一列进行展开来计算行列式。

展开的方式有很多种，常用的有代数余子式展开和化简为三角行列式展开两种。

3.1代数余子式展开对于一个n阶方阵A，选择一行或一列展开，计算每个元素的代数余子式，然后按照正负交替的方式相乘相加得到行列式的值。

具体步骤如下：- 选择第i行展开，行列式的值为，A， = ai1*C_1i + ai2*C_2i+ ... + ain*C_ni- 其中，C_ij是元素a_ij的代数余子式，计算方法是去掉第i行和第j列剩余元素构成的(n-1)阶子阵的行列式。

3.2三角行列式展开对于一个n阶方阵A，通过初等变换将方阵化为上三角形或下三角形，然后计算对角线的乘积得到行列式的值。

除了以上两种展开的方法，还可以通过矩阵的特征值和特征向量计算行列式的值。

具体步骤是：-计算矩阵A的特征值λ_1,λ_2,...,λ_n-计算矩阵A的特征向量v_1,v_2,...,v_n-行列式的值等于特征值的乘积：，A，=λ_1*λ_2*...*λ_n行列式的计算方法还有很多，比如拉普拉斯展开、按行或按列展开等。

2.行列式的计算方法2.1 定义法在引进行列式的定义之前,,为了更加容易的理解行列式的定义,首先介绍排列和逆序的概念.(1) ｎ级排列:由1,2.3…ｎ组成的一个有序数组称为一个ｎ级排列.(2) 在一个排列中,如果一对数的前后位置与大小顺序相反,即:前面的数大于后面的数,那么它们就称为一个逆序,一个排列中逆序的总数称为这个排列的逆序数. (3) 逆序数为偶数的排列称为偶排列,逆序数为奇数的排列称为奇排列.在做好这些工作之后,来引入行列式的定义:定义:n 阶行列式aaaaa a a a a a a a a a a a nnn n n nn n321333323122322211131211 <I>等于所有取自不同行不同列的n 个元素的乘积.ja j a j a j a nn332211的代数和,这里jj j j n,,,,321为1,2,3,……,n 的一个排列,每一项<Ⅱ>都按下列规则带有符号,当jj j j n,,,321是偶排列时, <Ⅱ>带有正号,当jj j j n,,,,321是奇排列时,<Ⅱ> 带有负号.例2.1证明1112131415212223242531324142515200000000a a a a a a a a a a D a a a a a a ==. 分析 观察行列式我们会发现有许多零,故直接用定义法.证明 由行列式的定义知除去符号差别外行列式一般项可表示为1212n j j nj a a a则12512125()12(1)n j j j n j j nj j j j D a a a τ=-∑. （3）其中115,,,j j j 为1,2,3,4,5的任意排列,在D 中位于后三行后三列的元素为零,而在前两行前两列中,取不同行不同列的元素只有四个,就是说（3）式中每一项至少有一个来自后三行后三列. 故D =0.注意 此方法适用于阶数较低的行列式或行列式中零的个数较多.2.2递推法无论是初等数学，还是高等数学，递推公式都有着非常广泛的运用。

行列式的计算方法总结行列式是数学中一类特殊的数值，它可以用于解决各种数学问题，如线性方程组的解、二次行列式的特征根以及三角形的面积等。

它的计算方法也颇为多样，各种行列式的计算方法可以归纳总结如下：第一种是规则式子求行列式的方法，即规则式子求行列式的值。

这种方法包括常见的拆分积式法，它可以用来计算简单行列式，其解算步骤如下：把行列式的第一行和其他所有行有序的放在一起，按列乘以每列的分量，然后把乘积相加，即可求出行列式的值。

另一种常用的计算行列式的方法是运用行列式的转置法则，这也是一种简单的计算行列式的方法，它的解算步骤如下：先把行列式的行和列都交换一下，然后把交换后的新行列式进行上面第一种规则式子求行列式的求值，便可求出行列式的值。

此外，还有多元函数求行列式的方法，以及行列式求导、求偏导数的方法。

多元函数求行列式的方法就是将行列式用多元函数的形式表示出来，然后用函数定义求和解决之。

行列式求导、求偏导数的方法就是将行列式的变量替换为一个新的变量，然后进行积分，并求出偏导数，最终得到行列式的值。

最后一种常用的计算行列式的方法是拆解行列式的方法，这是一种比较复杂的行列式计算方法。

它的解算步骤如下：先把行列式拆解成几个子行列式，然后逐步把子行列式拆解为更小的子行列式，最终得到一个最小子行列式，将其值替换到初始行列式中计算，即可求出该行列式的值。

以上是行列式的计算方法总结，由于行列式的类型众多，其计算方法也多如牛毛，仅有上述几种计算方法是不够的，若想解决复杂的行列式计算，还需要运用其他更加复杂的计算方法，如克莱姆法、罗宾逊法、孟加拉法等。

此外，计算行列式还需要掌握矩阵运算的基础知识，运用高等数学知识，才能解决复杂的行列式计算问题。

总之，行列式的计算是一件非常有技巧性的事情，找到合适的计算方法，解决行列式计算的难题，有助于提高数学的解题能力。

线性代数行列式计算方法总结线性代数是数学的一个重要分支，而行列式是线性代数中的一个重要概念。

行列式计算方法是线性代数的基础知识，掌握好行列式的计算方法对于深入理解线性代数具有重要的意义。

本文将对线性代数中行列式的计算方法进行总结，希望能够帮助读者更好地掌握这一知识点。

1. 行列式的定义。

在开始介绍行列式的计算方法之前，我们先来回顾一下行列式的定义。

对于一个n阶方阵A，它的行列式记作|A|，定义为：|A| = Σ(−1)^σP1,1 P2,2 ... Pn,n。

其中，σ是1到n的一个排列，P1,1 P2,2 ... Pn,n是这个排列的乘积，Σ表示对所有可能的排列求和。

2. 行列式的计算方法。

接下来，我们将介绍几种常见的行列式计算方法。

2.1 余子式法。

余子式法是计算行列式的一种常用方法。

对于一个n阶方阵A，它的行列式可以通过递归的方式计算得到。

具体步骤如下：对于n阶方阵A，选择第i行（或第j列）展开，得到A的余子式Mij；计算Mij的行列式|Aij|，其中Aij是Mij的转置矩阵；根据公式|A| = ai1 |A1| + ai2 |A2| + ... + ain |An|，计算得到行列式|A|。

2.2 克拉默法则。

克拉默法则是一种用于求解n元线性方程组的方法，它也可以用来计算行列式。

对于一个n阶方阵A，它的行列式可以通过克拉默法则计算得到。

具体步骤如下：对于n元线性方程组Ax = b，其中A是系数矩阵，x是未知数向量，b是常数向量，如果A是非奇异矩阵（即|A| ≠ 0），则方程组有唯一解；解出方程组的每个未知数，可以得到方程组的解向量x；根据克拉默法则，方程组的解向量x的每个分量可以表示为xj = |Aj| / |A|，其中Aj是将系数矩阵A的第j列替换为常数向量b得到的矩阵的行列式。

2.3 对角线法则。

对角线法则是一种简单直观的计算行列式的方法。

对于一个n阶方阵A，它的行列式可以通过对角线法则计算得到。

行列式的几种计算方法7篇第1篇示例：行列式是线性代数中的一个重要概念，它是一个方阵中的一个数值，可以帮助我们判断矩阵的性质，计算行列式的值是线性代数中的基础技能之一。

下面我们将介绍几种行列式的计算方法以及其应用。

一、直接展开法计算行列式最基本的方法就是直接展开法。

以3阶行列式为例，一个3阶方阵的行列式可以表示为：\[\begin{vmatrix}a &b &c \\d &e &f \\g & h & i\end{vmatrix}\]通过公式展开，可以得到：\[\begin{aligned}\begin{vmatrix}a &b &c \\d &e &f \\g & h & i\end{vmatrix} & = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh \\& = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)\end{aligned}\]这样就可以直接计算出行列式的值。

但是这种方法比较繁琐，不适用于高阶行列式的计算。

二、拉普拉斯展开法\[\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\\end{vmatrix}\]以第一行为例，可以按照以下公式展开：\[ \text{det}(A) = a_{11}C_{11} + a_{12}C_{12} + \cdots +a_{1n}C_{1n} \]C_{ij}表示元素a_{ij}的代数余子式，通过递归计算代数余子式，最终可以得到行列式的值。

行列式的若干计算技巧与方法内容摘要1.行列式的性质2.行列式计算的几种常见技巧和方法2.1定义法2.2利用行列式的性质2.3降阶法2.4升阶法（加边法）2.5数学归纳法2.6递推法3.行列式计算的几种特殊技巧和方法3.1拆行（列）法3.2构造法3.3特征值法4.几类特殊行列式的计算技巧和方法4.1三角形行列式4.2 “爪”字型行列式4.3 “么”字型行列式4.4 “两线”型行列式4.5 “三对角”型行列式4.6范德蒙德行列式5.行列式的计算方法的综合运用5.1降阶法和递推法5.2逐行相加减和套用范德蒙德行列式5.3构造法和套用范德蒙德行列式1.2行列式的性质性质 1行列互换，行列式不变．即a11a12a1na11a21an1a 21a22a2na12a22an2.a n1a n2a nn a1n a2n a nn性质 2一个数乘行列式的一行（或列），等于用这个数乘此行列式．即a11a12a1n a11a12a1nk a i1k a i2ka in k ai1ai2ain.an1an2annan1an2ann性质 3 如果行列式的某一行（或列）是两组数的和，那么该行列式就等于两个行列式的和，且这两个行列式除去该行（或列）以外的各行（或列）全与原来行列式的对应的行（或列）一样．即a 11 a12 Ka1na11a12 Ka1na11a12 Ka1nM MMM M M M M M M M Mb1 c1 b2 c2 K b n c n b1 b2 K b n c1 c2 K c n . M MMM M M M M M M M Man1 an2 Kannan1an2 Kannan1an2 Kann性质 4如果行列式中有两行（或列）对应元素相同或成比例，那么行列式为零．即a11a12a1na11a12a1na i1a i 2a in a i 1a i 2a ink=0. ka i1ka i 2ka in a i 1a i 2a inan1an 2annan1an 2ann性质 5把一行的倍数加到另一行，行列式不变．即a 11 a12a1na11a12a1nai1cak1ai 2cak2ain ca knai1ai 2ain.ak1 ak2aknak1ak2aknan1 an2annan1an2ann性质 6 对换行列式中两行的位置，行列式反号. 即a11 a12 a1n a11 a12 a1na i 1 a i 2 a in a k1 a k 2 a knak1 ak 2akn=- ai 1 a i 2 a in .a n1a n 2a nn a n1a n2a nn性质 7行列式一行（或列）元素全为零，则行列式为零．即a11a12a1,n-1a1n00000 .a n1a n2a n, n-1a nn2、行列式的几种常见计算技巧和方法2.1定义法适用于任何类型行列式的计算，但当阶数较多、数字较大时，计算量大，有一定的局限性．0 0 0 1例 10 0 2 0计算行列式3 0.0 04 0 0 0解析：这是一个四级行列式，在展开式中应该有4！ 24项，但由于出现很多的零，所以不等于零的项数就大大减少．具体的说，展开式中的项的一般形式是a1 j1a2 j2a3 j3a4 j4．显然，如果 j 14 ，那么 a 1 j 1 0 ，从而 个 就等于零．因此只 考 j 1 4 的 ，同理只 考j 2 3, j 3 2, j 4 1的 些 ， 就是 ，行列式中不 零的 只有a 14 a 23 a 32 a 41 ，而43216 ，所以此 取正号．故0 0 0 10 2 0= 1 4321a 14 a 23 a 32 a 41 24 .0 3 0 040 0 02.2 利用行列式的性即把已知行列式通 行列式的性 化 上三角形或下三角形. 方法适用于低 行列式．2.2.1 化三角形法上、下三角形行列式的形式及其 分 如下：a11a12 a13a1na110 0 0 a22a23 a2n a21a220 0 a33a 3na 11a 22ann，a31a 32a 33a 11a 22a nn.annan1an2 an3ann1 a 1a 2 a n 例 21 a 1 b 1 a 2a n算行列式 D n 1.1 a 1 a2 a n b n解析： 察行列式的特点， 主 角 下方的元素与第一行元素 相同，故用第一行的1倍加到下面各行便可使主 角 下方的元素全部 零．即：化 上三角形．解：将 行列式第一行的1 倍分 加到第 2,3 ⋯（n1）行上去，可得1 a 1 a2 K a nDn 10 b 10 0 0b 1b 2 K b n.M M M O M0 00 Kb n2.2.2 加法行列式的特征是行列式某行（或列）加上其余各行（或列）后，使 行（或列）元素均相等或出 多零，从而 化行列式的 算． 算行列式的方法称 加法．例3解：2.2.3x1 m x2 x n计算行列式 D nx1 x2 m x n.x1 x2 x n mnx i m x2 x ni 1nD nx i m x2 m x ni 1nx i m x2 x n mi 11 x2 x n 1 x2 x nn 1 x2 m x n n 0 m 0x i m x i mi 1 i 11 x2 x n m 0 0 mm n 1 n x i m .i 1滚动消去法当行列式每两行的值比较接近时，可采用让邻行中的某一行减或者加上另一行的若干倍，这种方法叫滚动消去法．1 2 3 n 1 n2 1 2 n 2 n 1例 4 计算行列式 D n 3 2 1 n 3 n 2 n 2 .n n 1 n 2 2 1解：从最后一行开始每行减去上一行，有1 2 3 n 1 n 1 2 3 n 1 n1 1 1 1 12 0 0 0 2D n 1 1 1 1 1 2 2 0 0 21 111 1 1 1 11 11 2 3 n 1 n 11 0 0 0 01 n 1 n 12 n 2.2 n 2 1 1 0 0 01 1 1 1 02.2.4 逐行相加减对于有些行列式，虽然前n 行的和全相同，但却为零．用连加法明显不行，这是我们可以尝试用逐行相加减的方法．a1 a1 0 0 00 a2 a2 0 0例 5 计算行列式 D 0 0 a3 0 0.0 0 0 a n a n1 1 1 1 1解：将第一列加到第二列，新的第二列加到第三列，以此类推，得：a1 0 0 0 00 a2 0 0 0D0 0 a3 0 00 0 0 a n 01 2 3 n n 11 2n2 1 n n 1 a a an 1 n n 1 a a a .1 2 1 2 n2.3 降阶法将高阶行列式化为低阶行列式再求解．2.3.1按某一行（或列）展开x 1 0 0 00 x 1 0 0例 60 0 x 0 0 解行列式 D n .0 0 0 x 1a nan 1an 2 a2 a1解：按最后一行展开，得D n a1 x n 1 a2 x n 2 a n 1 x a n.2.3.2 按拉普拉斯公式展开拉普拉斯定理如下：设在行列式 D 中任意选定了k 1 k n - 1 个行.由这k行元素所组成的一切 k 级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式 D. 即D M 1A 1 M 2 A 2 M n A n ，其中 A i 是子式 M i对应的代数余子式．即Ann 0A nn ?B nn ，Cnn BnnAnn CnnA nn ?B nn.0 Bnna a a ab例 7 解行列式 D n b .b解：从第三行开始，每行都减去上一行；再从第三列开始，每列都加到第二列，得a a a abD n 0 0 00 0 0 0n 1 a a a ab n 20 0 0 00 0 0 0n 1 a 0 0n 2 n 1 ab n 2b n?2.2.4升阶法就是把 n 阶行列式增加一行一列变成n+1 阶行列式，再通过性质化简算出结果，这种计算行列式的方法叫做升阶法或加边法．升阶法的最大特点就是要找每行或每列相同的因子, 那么升阶之后，就可以利用行列式的性质把绝大多数元素化为0，这样就达到简化计算的效果．其中，添加行与列的方式一般有五种：首行首列，首行末列，末行首列，末行末列以及一般行列的位置．0 1 1 1 11 0 1 1 1例 81 1 0 1 1 解行列式 D= .1 1 1 0 11 1 1 1 0解：使行列式 D 变成n 1 阶行列式，即1 1 1 1 10 0 1 1 10 1 0 1 1.D0 1 1 0 10 1 1 1 0再将第一行的 1 倍加到其他各行，得：1 1 1 1 11 1 0 0 01 0 1 0 0D= .1 0 0 1 01 0 0 0 1从第二列开始，每列乘以 1 加到第一列，得：（ n 1) 1 1 1 10 1 0 0 0D0 0 1 0 00 0 0 1 00 0 0 0 11 n 1 n 1 .2.5 数学归纳法有些行列式，可通过计算低阶行列式的值发现其规律，然后提出假设，再利用数学归纳法去证明．对于高阶行列式的证明问题，数学归纳法是常用的方法．cos 1 0 0 01 2 cos 1 0 0例 9 计算行列式 D n 0 1 2 cos 0 0.0 0 0 2 cos 10 0 0 1 2 cos解 : 用数学归纳法证明 .当 n 1 时，D1cos.当 ncos 12cos2 1 cos2 .2 时， D21 2 cos猜想， D n cosn.由上可知，当n 1 ， n 2 时，结论成立．假设当 n k 时，结论成立．即： D k cos k .现证当n k 1时，结论也成立．cos 1 0 0 01 2 cos 1 0 0当 n k0 1 2 cos 0 01时，D k 1 .0 0 0 2cos 10 0 0 1 2 cos将 D k 1按最后一行展开，得cos 1 0 01 2 cos 1 0 Dk 1 1 k 1 k 1 ? 2 cos 0 1 2 cos 00 0 0 2 coscos 1 0 01 k 1 k1 2cos 1 0 0 1 2cos 0000 12 cos D k D k 1.因为D k cosk，D k 1cos k 1cos k cosk cos sin k sin，所以D k 1 2 cos D k D k 12 cos cosk cos k cos kcos1.cos k cossin k sinsin k sin这就证明了当n k 1时也成立，从而由数学归纳法可知，对一切的自然数，结论都成立．即： D n cosn.2.6递推法技巧分析：若n 阶行列式D满足关系式aD n bD n 1cD n 20 .则作特征方程ax 2 bx c 0 .① 若0，则特征方程有两个不等根，则D n Ax1n 1 Bx2n 1．② 若0，则特征方程有重根x1 x2，则 D n A nB x1n 1．在①②中， A ， B 均为待定系数，可令n 1, n 2 求出．9 5 0 0 0 0 04 95 0 0 0 00 4 9 5 0 0 0例 10 计算行列式 D n .0 0 0 0 4 9 50 0 0 0 0 4 9解：按第一列展开，得D n 9D n 1 20D n 2.即D n9D n 120D n 20 ．作特征方程x 29x 200 .解得x14, x25 .则D n A ? 4 n 1B ? 5n 1.当 n 1 时， 9 A B ；当 n 2 时， 61 4A 5B .解得A16, B25 ，所以D n 5 n 1 4 n 1.3、行列式的几种特殊计算技巧和方法3.1拆行（列）法3.1.1概念及计算方法拆行（列）法（或称分裂行列式法），就是将所给的行列式拆成两个或若干个行列式之和，然后再求行列式的值．拆行（列）法有两种情况，一是行列式中有某行（列）是两项之和，可直接利用性质拆项；二是所给行列式中行（列）没有两项之和，这时需保持行列式之值不变，使其化为两项和．3.1.2例题解析1 a1 a2 0 0 01 1 a2 a3 0 0例 110 1 1 a3 0 0计算行列式 D n .0 0 0 1 a n 1 a n0 0 0 1 1 a n解：把第一列的元素看成两项的和进行拆列，得1 a1 a2 0 0 01 0 1 a2 a3 0 00 0 1 1 a 3 0 0D n0 0 0 0 1 a n 1 a n0 0 0 0 1 1 a n1 a2 0 0 01 1 a2 a3 0 00 1 1 a3 0 00 0 0 1 an 1 a n0 0 0 1 1 a na1 a2 0 0 00 1 a2 a3 0 00 1 1 a3 0 0.0 0 0 1 a n 1 a n0 0 0 1 1 a n上面第一个行列式的值为1，所以1 a2 a3 0 01 a3 0 0D n 1 a10 0 1 a n 1 a n0 0 1 1 a n1a1 D n 1.这个式子在对于任何n n 2 都成立，因此有D n1a1 D n 11 a1 1 a2 D n 2 1 a1 a1a2 1 n 1 a1a2 a nn i i1 1 a j.i 1 j 13.2 构造法3.2.1 概念及计算方法有些行列式通过直接求解比较麻烦，这时可同时构造一个容易求解的行列式，从而求出原行列式的值．3.2.2 例题解析1 1 1x1 x2 x n例 12x12 x22 x n2求行列式 D n .x1n 2 x2n 2 x n n 2x1n x2n x n n解：虽然 D n不是范德蒙德行列式，但可以考虑构造n 1 阶的范德蒙德行列式来间接求出 D n的值．构造 n 1 阶的范德蒙德行列式，得1 1 1 1x1 x2 x n xx12 x22 x n2 x 2f x .x1n 2 x2n 2 x n n 2 x n 2x1n 1 x2n 1 x n n 1 x n 1x1n x2n x n n x n将 f x 按第 n 1 列展开，得f x A1,n 1A2, n 1xA n,n 1 x n 1 A n 1,n 1 x n，其中， x n 1的系数为A n, n 1n n 11 D n D n.又根据范德蒙德行列式的结果知f xx x1 x x2x x n x i x j.1 j i n由上式可求得x n 1的系数为x 1x 2x nx ix j.1 j i n故有D nx 1 x 2x nx i x j .1 j i n3.3 特征值法3.3.1 概念及计算方法设1， 2，n 是 n 级矩阵 A 的全部特征值，则有公式A 1 2n. 故只要能求出矩阵A 的全部特征值，那么就可以计算出A 的行列式．3.3.2 例题解析例 13 若1， 2，n 是 n 级矩阵 A 的全部特征值， 证明： A 可逆当且仅当它的特征值全不为零．证明：因为A 1 2n ，则A 可逆A1 2n 0i 0 i 1,2 n .即A 可逆当且仅当它的特征值全不为零．4、几类特殊的行列式的巧妙计算技巧和方法4.1 三角形行列式4.1.1 概念a 11a12a13a1na11a 22a23 a2 na21a22形如a33a3n， a 31a32a33这样的行列式，形状像个三角形，a nna n1 a n2 a n3 a nn故称为“三角形”行列式．4.1.2 计算方法由行列式的定义可知，a11 a12a13a1na11 0 0 00 a22 a23 a2n a21 a22 0 00 0 a 33 a3n a11a22 a nn ,a31 a32 a33 0 a11a22 a nn.000a nn a n1a n 2a n 3a nn4.2“爪”字型行列式4.2.1概念a0 b1 b2 b n b n b2 b1 a0 c n a nc1 a1 a1 c1形如 c2 a2 ，a2 c2 ， c2 a2 ，c1 a1c n a n a n c n a0 b1 b2 b na n c na2 c2 这样的行列式，形状像个“爪”字，故称它们为“爪”字型行列式．a1 c1b n b2 b1 a04.2.2 计算方法利用对角线消去行列式中的“横线”或“竖线” ，均可把行列式化成“三角形”行列式．此方法可归纳为：“爪”字对角消竖横．4.2.3 例题解析a1 1 1 11 a2例 14 计算行列式 1 a3 ，其中 a i 0, i 1,2, n.1a n分析：这是一个典型的“爪”字型行列式，计算时可将行列式的第i (i 2,3,n.) 列元素乘以1后都加到第一列上，原行列式可化为三角形行列式．a ia 11 11n 11a 11 11 a 2i 2a i0 a 2解 : 1a 3a 31a na nn1a 2 a 3 a n a 1.i2a i4.3 “么”字型行列式4.3.1 概念c n a na 0 c 1b nb 2 b 1a 0b 1 a 1c 2a 1 c 1形如c 2 a 2， b 2a 2，a 2 c 2，c 1 a 1c na 0b 1b 2b n b na n a n c na nb nb n a n a 0 b 1 b 2 b nc nc nc 1 a 1a 2b 2 ， b 2a 2 ，c 2 a 2，c 2a 1b 1 b 1 a 1c 2c 1 a 0a 0c 1c n a na n c nc 1 a 0c 2 a 1 b 1a 2 c 2 ，a 2b 2 这样的行列式，形状像个“么”字，因此常a 1 c 1 c nb 1 b nb 2b 1 a 0a nb n称它们为“么”字型行列式． 4.3.2 计算方法利用“么”字的一个撇消去另一个撇，就可以把行列式化为三角形行列式．此方法可以归纳为：“么”字两撇相互消．注意：消第一撇的方向是沿着“么”的方向，从后向前，利用a n 消去 c n ，然后再用 a n 1 消去 c n 1 ，依次类推．4.3.3 例题解析1111b 1例 15计算 n1 阶行列式 D n 1.11bn 11b n解：从最后一行开始后一行加到前一行（即消去第一撇），得n1b in i 11b in n 1 nDn 1i 11?n211b ii 11bn 1b n 1b n1n n 3n21b ii 1.4.4 “两线”型行列式4.4.1 概念a 1b 1 0 0 0 a 2b 2 0形如这样的行列式叫做“两线型”行列式．0 0 b n 1 b na n4.4.2 计算方法对于这样的行列式，可通过直接展开法求解．4.4.3 例题解析a 1b 1 0 0a 2b 2 0例 16求行列式 D n.0 0 0 b n 1b na n解：按第一列展开，得a2 b2 0 b1 0 0Dn 1 a10 0b n 1 n 1a2 b2 0 bn 10 0 a n 0 0 bn 1a1 a2 a n 1 n 1 b1b2 b n.4.5“三对角”型行列式4.5.1概念a b ab 0 0 0 0 01 a b ab 0 0 0 00 1 a b ab 0 0 0形如这样的行列式，叫做“三对角型”行0 0 0 0 0 a b ab0 0 0 0 0 1 a b列式．4.5.2计算方法对于这样的行列式，可直接展开得到两项递推关系式，然后变形进行两次递推或利用数学归纳法证明．4.5.3例题解析a b ab 0 0 0 0 01 a b ab 0 0 0 00 1 a b ab 0 0 0例 17 求行列式 D n .0 0 0 0 0 a b ab0 0 0 0 0 1 a b解：按第一列展开，得ab 0 0 0 0 01 a b ab 0 0 00 1 a b ab 0 0D n a b D n 1a ba b D n 1 abD n 2.0 0 0 0 a b ab0 0 0 0 1 a b变形，得D n aD n 1 b D n 1 aD n 2.由于D 1a b, D 2a 2 ab b 2 ，从而利用上述递推公式得D n aD n 1b D n 1aD n 2b 2 D n 2aD n 3b n 2 D 2aD 1 b n.故D n aD n 1 b n a aD n 2b n 1b na n 1D 1a n 2b 2ab n 1 b na na n1ab n1b n.b4.6 Vandermonde 行列式 4.6.1 概念1 1 11a 1a 2 a 3 a n形如 a 12a 22a 32a n2这样的行列式，成为 n 级的范德蒙德行列式．a 1n 1 a 2n 1 a 3n 1a n n 14.6.2计算方法1 1 1 1a 1a 2a 3 a n通过数学归纳法证明，可得a 2a 2a 2a 2a ia j .123n1 j i1a 1n 1a 2n 1 a 3n 1a n n 14.6.3例题解析1 1 1x 1 x 2x n 例 18求行列式 D nx 12x 22x n 2.x 1n 2 x 2n 2 x n n 2x 1nx 2nx n n解：虽然 D n 不是范德蒙德行列式， 但可以考虑构造 n 1 阶的范德蒙德行列式来间接求出D n 的值．构造 n 1 阶的范德蒙德行列式，得1 1 1 1x1 x2 x n xx12 x22 x n2 x 2f x .x1n 2 x2n 2 x n n 2 x n 2x1n 1 x2n 1 x n n 1 x n 1x1n x2n x n n x n将 f x 按第 n 1 列展开，得f x A A x An, n 1 x n 1 A x n，1,n 1 2,n 1 n 1, n 1其中， x n 1的系数为A n, n 1 1 n n 1 D n D n.又根据范德蒙德行列式的结果知f x x x1 x x2 x x n x i x j.1 j i n由上式可求得x n 1的系数为x1 x2 x n x i x j,1 j i n故有D n x1 x2 x n x i x j.1 j i n5、行列式的计算方法的综合运用有些行列式如果只使用一种计算方法不易计算，这时就需要结合多种计算方法，使计算简便易行．下面就列举几种行列式计算方法的综合应用．5.1降阶法和递推法2 1 0 0 01 2 1 0 00 1 2 0 0例 19 计算行列式 D n .0 0 0 2 10 0 0 1 2分析：乍一看该行列式，并没有什么规律．但仔细观察便会发现，按第一行展开便可得到n 1阶的形式．解：将行列式按第一行展开，得 D n 2D n 1 D n 2.即D n D n 1 D n 1 D n 2.∴D n Dn 1 D n 1 D n 2 D 2 D1 3 2 1 .∴ D n 1 D n 1 1 1 1 Dn n 1n 1 2 n 1.5.2逐行相加减和套用范德蒙德行列式例 20计算行列式1 1 11 sin 1 1 sin2 1 sin 3Dsin 2 sin sin 2 sin sin 2 sin 1 1 2 2 3 3 sin 2 1 sin 3 1 sin 2 2 sin3 2 sin 2 3 sin 3 3一行开始，依次用上一行的 1 倍加到下一行，进行逐行相加，得11 sin 4解：从第sin sin 24 4sin 2 4 sin 3 41 1 1 1sin 1 sin 2 sin 3 sin 4.Dsin2 sin2 sin2sin2 1 2 3 4sin3 1 sin3 2 sin3 3 sin3 4再由范德蒙德行列式，得1 1 1 1sin 1 sin 2 sin 3 sin 4sin i sin j. Dsin2 sin2 sin2sin2 1 2 3 4 1 j i 4sin3 1 sin3 2 sin3 3 sin3 45.3构造法和套用范德蒙德行列式1 1 1x 1 x 2x n 例 21x 12x 22x n 2求行列式 D n.x 1n 2 x 2n 2x n n 2x 1nx 2nx n n解：虽然 D n 不是范德蒙德行列式， 但可以考虑构造 n 1 阶的范德蒙德行列式来间接求出D n 的值．构造 n1 阶的范德蒙德行列式，得1 1 1 1 x 1 x2 x n xx 12x 22x n 2x 2f x.x 1n 2 x 2n 2 x n n 2 x n 2x 1n 1 x 2n 1 x n n 1 x n 1x 1nx 2nx n nx n将 f x 按第 n1 列展开，得f x AAx Ax n 1A1x n ，1,n 12, n 1n,n 1 n 1,n其中， x n 1 的系数为A n, n 11 n n 1 D nD n .又根据范德蒙德行列式的结果知f xx x 1x x 2x x nx i x j .1 j i n由上式可求得 x n 1的系数为x 1 x 2x nx ix j .1 j i n故有： D nx 1 x 2x nx ix j .1 j i n。

行列式的计算技巧与方法总结行列式是线性代数中的重要概念，广泛应用于各个领域，如线性方程组的求解、线性变换的判断等。

在实际应用中，计算行列式是一个必不可少的环节。

本文将对行列式的计算技巧和方法进行总结，以便读者能够更加轻松地解决行列式相关问题。

一、行列式的定义行列式是一个数。

行列式的定义通常有多种不同的形式，其中最常见的是按照矩阵的形式定义的。

对于一个n阶方阵A=(a_ij)，其行列式记作det(A)，可以通过以下方式计算：det(A) = a_11 * C_11 + a_12 * C_12 + ... + (-1)^(n+1) * a_1n * C_1n其中，C_ij是指元素a_ij的代数余子式。

二、行列式的计算方法1.二阶行列式的计算对于2阶方阵A=(a_11,a_12;a_21,a_22)，其行列式可以直接通过以下公式计算：det(A) = a_11 * a_22 - a_12 * a_212.三阶行列式的计算对于3阶方阵A=(a_11,a_12,a_13;a_21,a_22,a_23;a_31,a_32,a_33)，可以通过Sarrus法则来计算行列式：det(A) = a_11*a_22*a_33 + a_12*a_23*a_31 + a_13*a_21*a_32 -a_13*a_22*a_31 - a_12*a_21*a_33 - a_11*a_23*a_323.高阶行列式的计算对于n(n>3)阶方阵A，一般采用高斯消元法将矩阵转化为上三角矩阵，然后再计算行列式的值。

具体操作如下：a)对第一列进行第二行、第三行、..、第n行的倍加，使得第一列除了第一个元素外的其他元素都为0。

b)接着在第二列中对第三行、第四行、..、第n行的倍加，使得第二列除了第二个元素外的其他元素都为0。

c)重复以上步骤，直到将矩阵转化为上三角矩阵。

d)上三角矩阵的行列式等于主对角线上的元素相乘。

4.行列式的性质行列式具有以下性质，可以在计算中灵活运用：a)行互换或列互换，行列式的值不变，其符号变为相反数。

行列式的几种计算方法行列式是线性代数中重要的概念之一，它可以用来判断线性方程组的解的情况，也可以应用在向量空间、线性变换等诸多领域。

行列式的计算方法主要有初等变换法、代数余子式法和特征值法等。

初等变换法是最常用的计算行列式的方法之一。

它的基本思想是通过对行列式进行一系列的初等行变换，将其化为一个简单的行列式进行求解。

初等行变换包括互换两行、某一行乘以非零常数、将某一行的常数倍加到另一行等操作。

对于一个2×2的行列式A，其计算公式为：| A | = a11* a22 - a12 * a21而对于一个n×n的行列式A，可以通过将其化为上三角矩阵或者对角矩阵，从而简化计算。

代数余子式法是另一种计算行列式的方法。

它的基本思想是将行列式的展开式转化为代数余子式相加的形式。

代数余子式是指除去行列式中的某一行和某一列后，剩下的元素按原来的顺序构成的一个新的行列式。

通过将行列式展开为代数余子式的和，可以将计算行列式的问题转化为计算若干个较小规模的行列式的问题。

代数余子式的计算比较繁琐，需要使用递归的方法，但对于规模较大的行列式，代数余子式法是比较有效的方法。

特征值法是通过求解方程组的特征值和特征向量来计算行列式。

特征值是一个方阵A 的线性变换在某个特征方向上的伸缩因子，特征向量是对应于特征值的一个非零向量。

特征值和特征向量可以通过求解方程组A-λI=0来获得，其中I为单位矩阵。

而行列式的计算公式为行列式的特征值等于其主对角线上元素的乘积。

通过求解特征值和特征向量，可以将行列式的计算问题转化为求解方程组的问题。

除了以上常用的计算方法外，还有一些其他的特殊情况下的行列式计算方法。

对于三角矩阵来说，其行列式等于主对角线上元素的乘积。

对于对称矩阵来说，可以通过对角化将其化为对角矩阵，从而简化计算。

行列式的计算方法有很多种，初等变换法、代数余子式法和特征值法是比较常见的几种方法。

根据不同的问题和矩阵的性质，选择合适的计算方法可以简化问题，并提高计算的效率。

计算行列式的方法总结行列式涉及的方面很多，例如判断矩阵可逆与否要计算行列式的值、解线性方程组、特征值等都与求行列式密不可分，所以各种类型解行列式的方法一定要掌握好，才能写好行列式，下面是计算行列式的方法总结，一起来看看吧！计算行列式的方法总结(一)首先，行列式的性质要熟练掌握性质1行列互换，行列式的值不变。

性质2交换行列式的两行(列)，行列式的值变号。

推论若行列式中有两行(列)的对应元素相同，则此行列式的值为零。

性质3若行列式的某一行(列)各元素都有公因子k，则k可提到行列式外。

推论1数k乘行列式，等于用数k乘该行列式的某一行(列)。

推论2若行列式有两行(列)元素对应成比例，则该行列式的值为零。

性质4若行列式中某行(列)的每一个元素均为两数之和，则这个行列式等于两个行列式的和，这两个行列式分别以这两组数作为该行(列)的元素，其余各行(列)与原行列式相同。

性质5将行列式某行(列)的k倍加到另一行(列)上，行列式的值不变。

行列式展开法：行列式按某行(列)展开也是解行列式常用的方法。

行列式展开定理：定理1：n阶行列式D等于它的任一行(列)的各元素与各自的代数余子式乘积之和。

定理2：行列式D的某一行(列)各元素与另一行(列)对应元素的代数余子式乘积之和必为零。

(二)几种特殊行列式的值有关行列式的若干个重要公式：为便于考生综合复习及掌握概念间的联系，现将以后各章所涉及的有关行列式的几个重要公式罗列于下：2017考研数学：行列式的计算行列式是线性代数的一部分，题目比较灵活，下面为同学们简单讲一下行列式的几种计算方法，希望同学们可以有所启发，弄清楚这种类型题。

对于数值型行列式来说，我们先看低阶行列式的计算，对于二阶或者三阶行列式其是有自己的计算公式的，我们可以直接计算。

三阶以上的行列式，一般可以运用行列式按行或者按列展开定理展开为低阶行列式再进行计算，对于较复杂的三阶行列式也可以考虑先进行展开。

在运用展开定理时，一般需要先利用行列式的性质将行列式化为某行或者某列只有一个非零元的形式，再进行展开。