4.阻尼影响系数 0 0 Cu f M u Cu Ku f 阻尼影响系数 c ij :第 j 个自由度产生单位速度,其他自由度处的速度为零 时,需要在第 i自由度处施加的力。 5.质量影响系数 0 Mu f M u Cu Ku f 质量影响系数 m ij :第 j 个自由度产生单位加速度,其他自由度处的加速度 d1 j d2 j d Nj 柔度影响系数 d ij :第 j 个自由度上作用单位力,其他自由度作用力为零时, 在第 自由度上产生的位移。 i 用影响系数法建立系统的运动微分方程 【例】用影响系数法写出图示系统的柔度矩阵。 u1 k1 m1 d 11 k1 d 11 k k 奇异(秩亏损) 用影响系数法建立系统的运动微分方程 7.小结 ① 刚度法实施过程中要求系统仅一个自由度有位移,人为地增加了系统约 束的数目,求解比较繁。 ② 柔度法维持原系统的约束,实施比较方便。特别是用实验来确定系统 的弹性性质时均采用柔度法,刚度法几乎不能实现。 ③ 如果系统具有刚体运动自由度,则柔度法失效,但刚度法却可奏效。所 以刚度法的应用范围比柔度法要大。 f (t ) C f (t ) k K 刚度矩阵 激振力向量 Mu (t ) Cu ( t ) Ku ( t ) f ( t ) 多自由度系统运动微分方程的一般形式 建立多自由度系统运动微分方程的各种方法的概述 2.系统运动微分方程的建立方法 牛顿第二定律: 适用于自由度不多的离散系统或简单的 连续系统 l1 ( m1 m 2 m 3 ) gd 11 d 11 d 21 d 31 d 11 D d 21 d 31 d 12 d 22 d 32 d 31 m3 g l1 ( m1 m 2 m 3 ) g d 13 d 23 d 33 用影响系数法建立系统的运动微分方程 用牛顿第二定律列写系统的运动微分方程 m1u1 k1u1 k 2 ( u 2 u1 ) c1u1 c 2 (u 2 u1 ) f1 (t ) m 2 u 2 k 2 ( u 2 u1 ) k 3 u 2 c 2 ( u 2 u1 ) c 3 u 2 f 2 ( t ) 动量矩定理: 影响系数法: 建立方法 主要适用于自由度不多的离散系统 主要适用于自由度不多的离散系统 Lagrange方程法:主要适用于离散系统 Hamilton原理: 主要适用于连续系统 有限单元法: 离散系统,连续系统都适用,是一种最 通用的建模方法 返回 用牛顿第二定律列写系统的运动微分方程 1.直角坐标形式的牛顿第二定律 d 32 d 22 d 32
l2 ( m 2 m3 ) g m3 g d 11 D d 21 d 31 d 12 d 22 d 32 用影响系数法建立系统的运动微分方程 A l1 m1 g 对C取矩 B l2 m2 g 1l3 m 3 gx3 x3 l3 m3 g x2 l2 (m 2 m3 ) g F1 1 u2 k2 m2 k3 k 2 ( d 11 d 21 ) m1 k 2 ( d 11 d 21 ) k1 d 11 1 d 21 k 2 ( d 11 d 21 ) F2 0 d 11 k 3 d 21 k 2 k3 k1 k 2 k1 k 3 k 2 k 3 k2 k1 k 2 k1 k 3 k 2 k 3 m1 0 0 u1 c1 c 2 m 2 u 2 c2 c 2 u1 k 1 k 2 c 2 c3 u 2 k 2 k 2 u1 f 1 k 2 k3 u 2 f 2 Mu (t ) Cu ( t ) Ku ( t ) f ( t ) 返回 用影响系数法建立系统的运动微分方程 1.总体思路 刚度影响系数 柔度影响系数 影响系数法 阻尼影响系数 K D C M 质量影响系数 用影响系数法建立系统的运动微分方程 2.刚度影响系数 0 Ku f M u Cu Ku f x1 l1 ( m1 m 2 m 3 ) g d 11 D d 21 d 31 d 12 d 22 d 32 d 13 d 23 d 33 d 33 l1 ( m1 m 2 m 3 ) g
l2 ( m 2 m3 ) g
l3 m3 g 建立多自由度系统运动微分方程的各种方法的概述 1.多自由度系统运动微分方程的一般形式 回想单自由度系统运动微分方程的一般形式 mu ( t ) cu ( t ) ku ( t ) f ( t ) 多自由度系统运动微分方程的一般形式 u (t ) u (t ) 位移向量 m 阻尼矩阵 M 质量矩阵 c STOP 上次课内容回顾 1. 多自由度系统运动微分方程的一般形式 Mu (t ) Cu ( t ) Ku ( t ) f ( t ) 2. 用牛顿第二定律列写运动微分方程 受力分析时假定两质量块均沿着坐标的正方向运动.因为这样在受力分析 时容易确定所受力的大小和方向,不容易出错. 上次课内容回顾 Ku f 0 0 1 0 0 M u Cu Ku f 第 j行 d 11 d 21 d N1
d1 j d2 j d Nj
d1 N d2N d NN 用影响系数法建立系统的运动微分方程 【课堂练习】求图示摆的柔度矩阵 A 对 A取 矩 : l1 1 m1 g m2 g 1 d 11 l1 cos 1 ( m1 m 2 m 3 ) gl1 sin 1 d 21 l1 cos 1 ( m1 m 2 m 3 ) gd 11 cos 1 1 m2 d 21 k 2 ( d 11 d 21 ) k 3 d 21 0 用影响系数法建立系统的运动微分方程 u1 k1 m1 d 12 k1 d 12 F1 0 u2 k2 m2 k3 k 2 ( d 22 d 12 ) m1 k 2 ( d 22 d 12 ) k1 d 12 0 d 22 k 2 ( d 22 d 12 ) k 3 d 22 m m m d x dt 2 2 2
F x d y dt 2 2 F F y d z dt 2 z 列写运动方程时要选定一个正方向,计算各力在正方向的投影。 加速度的正负号是由合外力的正负决定的,因此在列写方程时只要 z y 用 或 或 表示就可以了。 x 用牛顿第二定律列写系统的运动微分方程
刚度影响系数 k ij :第 j 个自由度产生单位位移,其他自由度位移为零时, 需要在第 i 自由度处沿着位移方向施加的力。 用影响系数法建立系统的运动微分方程 【例】用影响系数法写出图示系统的刚度矩阵。 u1 k1 m1 u2 k2 m2 k3 解: u1 令 1, u 2 0 u1 1 k1 3.刚度影响系数 刚度影响系数 k ij :第 j 个自由度产生单位位移,其他自由度位移为零时, 需要在第 i 自由度处沿着位移方向施加的力。 4.柔度影响系数 柔度影响系数 d ij :第 j 个自由度上作用单位力,其他自由度作用力为零时, 为零时,需要在第 i 自由度处施加的力。 用影响系数法建立系统的运动微分方程 6.思考 此系统用刚度法方便还是柔度法方便? m1 m2 m3 能否对此系统实施柔度法? m1 0 0 u1 ( t ) k m 2 u 2 (t ) k k u1 ( t ) k 0 K k u 2 (t ) k k11 u2 0 k2 k2 k 21 m1 k11 k1 k 2 k 21 k11 K k2 k 21 m2 k12 k 22 用影响系数法建立系统的运动微分方程 u1 k1 m1 k2 m2 u2 k3 令 u1 0, u 2 1 u1 0 u2 1 k12 m1 k2 k2 k 22 多自由度振动系统 Piezoelectric actuator 基于压电作动器的垂尾抖振主动抑制 (此系统有一、两千个自由度(3D实体单元) ) Z Y X 第二章: 多自由度系统的运动 微分方程 第二章:多自由度系统的运动微分方程 第一讲: 1.建立多自由度系统运动微分方程的 各种方法的概述 2.用牛顿第二定律列写系统的运动微 分方程 3.用影响系数法建立系统的运动微分 方程 A 对 B取 矩 l1 B 1 l 2 ( m 2 m 3 ) gx 2 对 A取 矩 m1 g l2 d 22 x1 x2 m2 g l3 1 1 ( l1 l 2 ) ( m 2 m 3 ) g ( x1 x 2 ) m1 gx1 l1 ( m1 m 2 m 3 ) g d 13 d 23 源自文库 33 2. 用牛顿第二定律列写运动微分方程 u1 u2 k1u1 f1 ( t ) m1 k 2 ( u 2 u1 ) k 2 ( u 2 u1 ) f 2 (t ) k 3u 2 c1u1 c 2 ( u 2 u1 ) c 2 ( u 2 u1 ) m2 c3 u 2 受力分析时假定两质量块均沿着坐标的正方向运动.因为这样在受力分析 时容易确定所受力的大小和方向,不容易出错. C l3 x3 对 B取 矩 1( l3 l 2 ) m 3 g ( x 2 x3 ) m 2 gx 2 1 m3 g x1 x2 d 33 对 A取 矩 1( l3 l 2 l1 ) m 3 g ( x1 x 2 x 3 ) m 2 g ( x1 x 2 ) m1 gx1 m2 k3 k12 k 2 k 22 k 2 k 3 k2 k 2 k3 k11 K k 21 k12 k 22 k1 k 2 刚度矩阵: K k2 用影响系数法建立系统的运动微分方程 3.柔度影响系数 柔度矩阵 0 u K 1 f D f 0 第 j行 k1 j 0 k2 j 1 0 k Nj 0 k11 k 21 kN1
k1 j k2 j k Nj
k1 N k2 N k NN 根据牛顿第二定律,得到系统的运动方程: m1u1 k1u1 k 2 (u 2 u1 ) c1u1 c 2 (u 2 u1 ) f1 (t ) m 2 u 2 k 2 (u 2 u1 ) k 3u 2 c 2 (u 2 u1 ) c3u 2 f 2 (t ) d 12 d 21 , d 22 柔度矩阵: k1 k 2 k1 k 2 k1 k 3 k 2 k 3 F2 1 m2 k 2 ( d 22 d 12 ) k 3 d 22 1 d 11 D d 21 d 12 d 22 用影响系数法建立系统的运动微分方程