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第2章 单自由度系统的受迫振动题解

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振动理论及其应用：第2章_单自由度系统受迫振动

振动理论及其应用：第2章_单自由度系统受迫振动

1
2s
1 s2
x
F0 k
ei(t )
Aei(t )
A B 稳态响应的实振幅
若： F (t) F0 cost
则： x(t) Acos(t )
2020年12月9日 <<振动力学>>
无阻尼情况：
x(t) B 1 s2
eit
F0 k
1 1 s2
eit
7
单自由度系统受迫振动 / 简谐力激励的强迫振动
（5）对于有阻尼系统， max并不 出现在s=1处，而且稍偏左
d 0
ds
max 2
s
1
1 2
1 2 2
2020年12月9日 <<振动力学>>
(s)
5
0
0.1
4
3
0.25
0.375
2
0.5
1
1
s
0
0
1
2
3
x F0 ei(t ) Aei(t )
k
14
单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性
• 稳态响应特性
(s)
1
(1 s2 )2 (2s)2
(s)
5
0
0.1
4
（6）当 1/ 2 振幅无极值
1
3
2
1
0.25 0.375
0.5 1
s
0
0
1
2
3
2020年12月9日 15
受力分析
振动微分方程： mx cx kx F0eit
2x02为0年复12月数9日变量，分别与 F0 cost 和 F0 sin t 相对应 4 <<振动力学>>

建筑工程之结构力学讲义单自由度受迫振动(参考)

建筑工程之结构力学讲义单自由度受迫振动(参考)
（计个3算最）时便两可于个根计外据算形体来相系选似的用的具。结体构情，况如，果视周δ期、相k差、悬Δs殊t 三，参则数动中力哪性一
能相差很大。反之，两个外形看来并不相同的结构，如果其
自振周期相近，则在动荷载作用下的动力性能基本一致。
例4、图示三根单跨梁，EI为常数，在梁中点有集中质量m， 不考虑梁的质量，试比较三者的自振频率。
w =对面于的g 本梁s例既t =，可4采避8E用免Ig较共Q小振l的，3 =截又482.1104 7345780980 354003 =5379..471S
能=获2得n 较60好=2的3经.1济4效50益0 。60=52.3
1 S
2）求动力系数β
= 1 =
1
=5.88
1 2 w 2 152.32 3597..742 1.35
二、一般荷载 一般荷载作用下的动力反应可利用瞬时冲量的 动力反应来推导
1、瞬时冲量的动力反应
P(t)
瞬时冲量S引起的振动可视为
P
由设初体始系条在件t=0引时起静的止自，由振动。 由然动后量有定瞬理时：冲量S作用。
v0m0=S = Pt
v0
=
S m
=
Pt m
y0 =0
Δt τ
Δt
t' t
t t'
yk+1
wr
如 0.2 则 wr 1, = 1 wr ln yk = 1 ln yk
w
2 w yk+1 2 yk+1
设yk和yk+n是相隔n个周期的两个振幅则:
= 1 ln yk 2n yk+n
工程中常用此 方法测定阻尼
例、图示一单层建筑物的计算简图。屋盖系统和柱子的质量均集 中在横梁处共，计加为一m水平力P=9.8kN，测得侧移A0=0.5cm， 然后突然卸载使结构发生水平自由振动。在测得周期T=1.5s 及一

结构动力学课后习题答案

结构动力学课后习题答案

结构动力学课后习题答案结构动力学是研究结构在动态载荷作用下的响应和行为的学科。

它涉及到结构的振动、冲击响应、疲劳分析等方面。

课后习题是帮助学生巩固课堂知识、深化理解的重要手段。

以下内容是结构动力学课后习题的一些可能答案，供参考：习题1：单自由度系统自由振动分析解答：对于一个单自由度系统，其自由振动的频率可以通过以下公式计算：\[ f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}} \]其中，\( k \) 是系统的刚度，\( m \) 是系统的总质量。

系统自由振动的振幅随着时间的衰减可以通过阻尼比 \( \zeta \) 来描述，其衰减系数 \( \delta \) 可以通过以下公式计算：\[ \delta = \sqrt{1-\zeta^2} \]习题2：单自由度系统受迫振动分析解答：当单自由度系统受到周期性外力作用时，其受迫振动的振幅可以通过以下公式计算：\[ A = \frac{F_0}{\sqrt{(k-m\omega^2)^2+(m\zeta\omega)^2}} \] 其中，\( F_0 \) 是外力的幅值，\( \omega \) 是外力的角频率。

习题3：多自由度系统模态分析解答：对于多自由度系统，可以通过求解特征值问题来得到系统的模态。

特征值问题通常表示为：\[ [K]{\phi} = \lambda[M]{\phi} \]其中，\( [K] \) 是系统的刚度矩阵，\( [M] \) 是系统的质量矩阵，\( \lambda \) 是特征值，\( {\phi} \) 是对应的特征向量，即模态形状。

习题4：结构的冲击响应分析解答：对于结构的冲击响应分析，通常需要考虑冲击载荷的持续时间和冲击能量。

结构的冲击响应可以通过冲击响应谱（IRF）来分析，它描述了结构在不同频率下的响应。

冲击响应分析的结果可以用来评估结构的耐冲击性能。

习题5：疲劳分析解答：结构的疲劳分析需要考虑结构在重复载荷作用下的寿命。

第二章 单自由度系统振动的理论及应用

第二章 单自由度系统振动的理论及应用

M t
则得
2 .. n 0
通解为:
A sin(n t 0 )
代入:
将振动的初始条件t= 0 ， 0 , . 0.
A
.0 2 0 2 n
2
n 0 0 arctan . 0
例: 已知：质量为m＝0.5kg的物体沿光滑斜面无初速度滑下。 当物块下落高度h=0.1m时，撞于无质量的弹簧上， 并与弹簧不再分离，弹簧刚度系数k=0.8kN/m。 倾角 30 求：此系统振动的固有频率和振幅并给出物块的运动方程。
计算固有频率的能量法
无阻尼自由振动系统没有能量的损失,振动将永远持续下去. 在振动过程中,系统的动能与弹簧的势能不断转换,但总的机械能 守恒.因此,可以利用能量守恒原理计算系统的固有频率. 如图所示无阻尼振动系统 当系统作自由振动时，运动规律为:
x A sin(0t )
速度为:
dx v 0 A cos(0t ) dt
称为单自由度线性纵向振动系统的运动微分方程式,又称单 自由度有粘性阻尼的受迫振动方程.
可分为如下几种情况进行研究:
(1)当c=0,F(t)=0时, 该方程为单自由度无阻尼自由振动方程.
(2)当F(t)=0时, mx cx kx 0 该方程为单自由度有拈性阻尼的自由振动方程.
.. .
mx .. kx 0
由机械能守恒定律有
Tmax Vmax
即
1 1 2 2 J 0 Φ ( k1l 2 k 2d 2 )Φ 2 2 2
解得固有频率
0
k1 l 2 k 2 d 2 J
例: 已知：如图表示一质量为m，半径为r的圆柱体，在一半 径为R的圆弧槽上作无滑动的滚动。 求：圆柱体在平衡位置附近作微小振动的固有频率。

【2019年整理】机械振动第二章习题

【2019年整理】机械振动第二章习题

n2 h sin t
研究受迫振动方程特解



2 n
h

2
sin t
l 2 O
m
将ω=1/2ωn代入上式
解得：
h sint
3 4

2 n
2
4F0 /(3 4k sin t)
ml 4 m
4F0 sint
3k l
l
2
k
A
F
例. 图示带有偏心块的电动机，固定在一根弹性梁上。设电机的质量为m1， 偏心块的质量为m2 ，偏心距为e，弹性梁的刚性系数为k，求当电机以角速 度ω匀速旋转时系统的受迫振动规律。
图示有阻尼振动系统，设物块的质量为m，作用在物块上的力有线性恢 复力Fk、粘性阻尼力Fc和简谐激振力F。
若选平衡位置O为坐标原点，坐标轴铅直向下。 则各力在坐标轴上的投影为：
Fk kx
Fc

c

c
dx dt
F H sint
可建立质点运动微分方程
m
d2x dt 2

k x
c
dx dt
x
mx kx kesint
s
可见物块的运动微分方程为 无阻尼受迫振动的微分方程。
mx kx kesint
物块的受迫振动形式：
x bsint
s
l0
st
x
O
激振力的力幅为
H ke
h
ke
e
x
b


2 n
2

m(
2 n
2)
1(
)2
n
s
b为物块绝对运动的振幅。

第2章 单自由度系统的受迫振动题解

第2章 单自由度系统的受迫振动题解

习 题2-1已知系统的弹簧刚度k =800 N/m ，作自由振动时的阻尼振动周期为1.8s ，相邻两振幅的比值12.41=+i i A A ，若质量块受激振力t t F 3cos 360)(=N 的作用，求系统的稳态响应。

解：由题意，可求出系统的运动微分方程为t mxn x p x n 3cos 36022=++ 得到稳态解)3cos(α-=t B x其中m kB B B 45.03604)1(022220==+-=λζλ222122tg λζλωωα-=-=n p n 由d nT i iA A e 2.41===+η489.3π2797.0ln 8.1ln ======dd dd dT p T n T nT ηη 又22n p p n d -=有579.3222=+=n d n p n p p45.51255.1298.0374.0838.01838.0223.02tg 103.1408.045.0838.0223.04)838.01(45.0223.0579.3797.0838.0579.332222===-⨯⨯===⨯⨯+-=======ααζωλB p n p n n所以 x ＝1.103 cos(3t －51︒27')2-2一个无阻尼弹簧质量系统受简谐激振力作用，当激振频率ω1 =6rad/s 时，系统发生共振；给质量块增加1 kg 的质量后重新试验，测得共振频率ω2 =5.86rad/s ，试求系统原来的质量及弹簧刚度。

解：设原系统的质量为m ，弹簧常数为k 由m kp n =，共振时m kp n ==1ω 所以 mk =6 ①又由 当 86.512=+==m kp n ω ② ①与②联立解出 m ＝20.69 kg ，k ＝744.84 N/m2-3总质量为W 的电机装在弹性梁上，使梁产生静挠度st δ，转子重Q ，重心偏离轴线e ，梁重及阻尼可以不计，求转速为ω时电机在垂直方向上稳态强迫振动的振幅。

结构动力学习题解答（一二章）

结构动力学习题解答（一二章）

结构动力学习题解答（一二章）第一章单自由度系统总结求单自由度系统固有频率的方法和步骤。

单自由度系统固有频率求法有：牛顿第二定律法、动量距定理法、拉格朗日方程法和能量守恒定理法。

1、牛顿第二定律法适用范围：所有的单自由度系统的振动。

解题步骤：（1）对系统进行受力分析,得到系统所受的合力；（2）利用牛顿第二定律∑xm ,得到系统的运动微分方=F程；（3）求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。

2、动量距定理法适用范围：绕定轴转动的单自由度系统的振动。

解题步骤：（1）对系统进行受力分析和动量距分析；（2）利用动量距定理J∑θ ,得到系统的运动微分方程；=M（3）求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。

3、拉格朗日方程法：适用范围：所有的单自由度系统的振动。

解题步骤：（1）设系统的广义坐标为θ，写出系统对于坐标θ的动能T 和势能U 的表达式；进一步写求出拉格朗日函数的表达式：L=T-U ；（2）由格朗日方程θθ??-LL dt )( =0，得到系统的运动微分方程；（3）求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。

4、能量守恒定理法适用范围：所有无阻尼的单自由度保守系统的振动。

解题步骤：（1）对系统进行运动分析、选广义坐标、写出在该坐标下系统的动能T 和势能U 的表达式；进一步写出机械能守恒定理的表达式 T+U=Const（2）将能量守恒定理T+U=Const 对时间求导得零,即0)(=+dtU T d ，进一步得到系统的运动微分方程；（3）求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。

叙述用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法和步骤。

用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法有两个：衰减曲线法和共振法。

方法一：衰减曲线法。

求解步骤：（1）利用试验测得单自由度系统的衰减振动曲线，并测得周期和相邻波峰和波谷的幅值i A 、1+i A 。

（2）由对数衰减率定义 )ln(1+=i iA A δ，进一步推导有 212ζπζδ-=，因为ζ较小，所以有πδζ2=。

203单自由度体系强迫振动(力学)

203单自由度体系强迫振动(力学)
d y (t ) = v0 (τ )
ω
FP (τ ) d τ sin ω ( t − τ ) = sin ω ( t − τ ) mω
（3）将时刻 t 之前的每一个瞬时冲量的反应进行叠加 ） 1 t y (t ) = ∫0 FP (τ ) sin ω ( t − τ ) d τ mω
1 t y (t ) = ∫0 FP (τ ) sin ω ( t − τ ) dτ mω
动位移、 ※动位移、动内力幅值计算
计算步骤: 计算步骤: 1. 计算荷载幅值作为静荷载所引起的位移、内力； 计算荷载幅值作为静荷载所引起的位移、内力； 2. 计算动力系数； 计算动力系数； 3. 将得到的位移、内力乘以动力系数即得动位移幅值、 将得到的位移、内力乘以动力系数即得动位移幅值、 动内力幅值。 动内力幅值。
y (t ) = − F θ F sin ω t + sin θ t 2 2 2 2 m (ω − θ ) ω m (ω − θ )
伴生自由振动
稳态受迫振动
（2）※稳态受迫振动分析 ） 稳态受迫振动分析
y ( t ) = A sin θ t
y (t ) = µy st sin θt
动位移一定比 静位移大吗？ 静位移大吗？
F =µ sin θt 2 mω = µδ 11 F sin θt F =µ sin θt k11
F F y st = = = Fδ 11 2 k11 mω
动力系数 µ 的讨论
重要的特性： 重要的特性：
1 θ µ= , β = 2 ω 1− β
1. 当θ/ω→0时, µ →1，荷载变化 时 ， 如何减小 得很慢，可当作静荷载处理。 得很慢，可当作静荷载处理。 3 振幅？ 振幅？ 2. 当0< θ/ω <1时, µ >1，并且随 时 ， 2 θ/ω的增大而增大。 的增大而增大。 的增大而增大 。 3. 当θ/ω →1时, µ →∞。即当荷载 时 1 θ 频率接近于自振频率时， 频率接近于自振频率时，振幅会 ω 无限增大。称为“共振” 无限增大。称为“共振”。通常 0 1 2 3 称为共振区。 把0.75< θ/ω <1.25称为共振区。 称为共振区 4. 当θ/ω >1时, µ 的绝对值随 时 的绝对值随θ/ω 的增大而减小。 很大时， 的增大而减小。当θ很大时，荷载变化很快，结构来不及反应。 很大时 荷载变化很快，结构来不及反应。

结构动力学-单自由度系统的振动

结构动力学-单自由度系统的振动

Fi= -my
F(t)
2 1 F1=1
2 F2=1 1
δ11 δ12
2021/6/24
Δ1F=δ11Fi
Δ1F=δ12F(t)
17
（2）按叠加原理建立运动方程： 位移协调
y 11Fi( t ) 12F( t ) 11( my ) 12F( t )
变换得：y 2 y 12 F( t ) 0.6875 F( t )
0.00265 0.00511 0.00776m
M max M stw M stf
Wl
4
Fl 4
2021/6/24
20 4 3.866 10 4 58.66kN m
15
4
4
❖ 例2：
图示跨中带有一质体的无重简支梁，动力荷
载 F(t) F sint 作用在距离左端l/4处，若
令： yst
p
m 2
p k
p
1 12 / 2
yst 为最大静位移，表示将荷载最大值P当作 静荷载作用时结构所产生的位移；
为动力放大系数或动力系数，表示最大动 位移[ y(t)]max与最大静位移 yst 的比值。
则有： 2021/6/24 y( t ) yst sint
9
动力系数 与频率比值的关系： 动力系数 是频率比值 / 的函数，变化规 律如图所示，其中横坐标为 /，纵坐标为 的绝对值。
因此：在研究共振时的动力响应，阻尼的影 响不容忽视。
2021/6/24
30
（3）在阻尼体系中，共振时的动力系数虽然
接近于最大的动力系数 max，但并不等于这个
最大值。
求最大响应时的 值：
可求 对 / 的导数并令其等于零。对于阻 尼比 1 2的实际结构，响应峰值频率为：

结构动力学第二章 单自由度系统的振动2

结构动力学第二章 单自由度系统的振动2

0.39 0.66 0.73 1.00 1.05 1.20 1.42 1.55 1.69 1.76 2.00
23
24
解: 水塔的自振频率和周期分别为
k 29.4106 N / m 31.305rad / s
m
30103 kg
T 2 0.2007s
取微小时段 0.01s ，约相当于水塔自振
同理，积分项 B(t) 可用相同的方法进行计算。
16
因此，无阻尼体系动力响应的数值解： y(t) A(t) sin t B(t) cost
同理，也可求得有阻尼体系动力响应。 注：数值积分解答的精确度与计算中选择和微 小时段 有关，一般可取小于系统自振周期 的十分之一，便可得到较好的结果。
17
A yst
1
2
t1
2
( 1 cost1
) 2
t1
1/ 2
sint1
t1 T
0.371
动力系数只与 t1 有关，即只与 t1 T 有关
下表列出不同 t1 T 值时的动力系数。
表 不同 t1 T 值时的动力系数表
t1/T 0.125 0.20 0.25 0.371 0.40 0.50 0.75 1.00 1.50 2.00
用下式进行计算。
无阻尼：
( 0)
y(t) 1 t p( ) sin (t )d
m 0
有阻尼： y(t) 1
( 0)
md
t 0
p(
)e (t )
sin d
(t
)d
2）对于许多实际情况，如果荷载的变化规律是 用一系列离散数据表示（如试验数据），此时 的响应计算就必须借助于数值分析方法。
11

机械振动第2章(习题)

机械振动第2章(习题)

1 / 21第二章 单自由度系统习题2.1 弹簧下悬挂一物体，弹簧静伸长为δ。

设将物体向下拉，使弹簧有静伸长3δ，然后无初速度地释放，求此后的运动方程。

解：2n=g/δ运动微分方程（式2.5）：x +2nx=0初始条件：x (0)=3δ,x(0)=0 由式2.8有：A=2020)(ωnxx +=3δ=arctgnx xω00 =0由式2.7有： 响应：x =3δcos(δg t)2.2 弹簧不受力时长度为65cm ，下端挂上1kg 物体后弹簧长85cm 。

设用手托住物体使弹簧回到原长后无初速度地释放，试求物体的运动方程、振幅、周期及弹簧力的最大值。

解：ω2n =g/δ=9.8/0.2=49运动微分方程（式2.5）：x +ω2n x=0 初始条件：x (0)=-0.2,x(0)=0 由式2.8有：振幅：A=2020)(ωnxx +=0.2ϕ=arctgnx xω00 =0由式2.7有： 响应：x=0.2cos(7t) 周期：T=2/ωn弹簧刚度：k=mg/δ=19.8/0.2=49(N/m)最大弹簧力：F Smax =-kA=-490.2=9.8(N)2.3 重物m l 悬挂在刚度为k 的弹簧上并处于静平衡位置，另一重物m 2从高度为h 处自由落到m l 上而无弹跳，如图T —2.3所示，求其后的运动。

图 T —2.3解：ω2n =k/(m 1+m 2)运动微分方程（式2.5）：x+2nx=0初始条件：x (0)=- m 2g/km 2gh=21(m 1+m 2)x2(0)⇒ x (0) (以下略)2.4 一质量为m 、转动惯量为I 的圆柱体作自由纯滚动，圆3 / 21心受到一弹簧k 约束，如图T —2.4所示，求系统的固有频率。

图 T —2.4解：系统的势能：U=21kr 2θ2系统的动能：E t =21I •θ2+21mr2•θ2由d(U+E t )=0得：（I+ mr 2）••θ+kr 2θ=0ω2n =22m r I kr +2.5 均质杆长L 、重G ，用两根长h 的铅垂线挂成水平位置，如图T —2.5所示，试求此杆相对铅垂轴OO 微幅振动的周期。

燕山大学振动理论习题答案

燕山大学振动理论习题答案

k123
k1k23 k1 k23
2k 3
k1234
k123k4 k123 k4
1k 2
（1） mg
k1234 x0 ， x0
2mg k
（2）
xt
x0
cosnt
，
xm a x
2x0
4mg k
2-7 图 2-7 所示系统，质量为 m2 的均质圆盘在水平面上作无滑动的滚动，鼓轮 绕轴的转动惯量为 I，忽略绳子的弹性、质量及各轴承间的摩擦力。试求此系统 的固有频率。
2π l a
h 3g
2-3 一半圆薄壁筒，平均半径为 R, 置于粗糙平面上做微幅摆动，如图 2-3 所示。 试求
其摆动的固有频率。
图 2-3
图 2-4
2-4 如图 2-4 所示，一质量 m 连接在一刚性杆上，杆的质量忽略不计，试求下 列情况
系统作垂直振动的固有频率： （1）振动过程中杆被约束保持水平位置； （2）杆可以在铅垂平面内微幅转动； （3）比较上述两种情况中哪种的固有频率较高，并说明理由。
n
ke m
2-5 试求图 2-5 所示系统中均质刚性杆 AB 在 A 点的等效质量。已知杆的质量为 m，A
端弹簧的刚度为 k。并问铰链支座 C 放在何处时使系统的固有频率最高？
图 2-5
图 2-6
2-6 在图 2-6 所示的系统中，四个弹簧均未受力。已知 m=50kg，k1 9800 N m ， k2 k3 4900 N m ， k4 19600 N m 。试问： （1）若将支撑缓慢撤去，质量块将下落多少距离？
E P02
2
k (1 2 )2 (2)2
证明
E T c2B2 cos(t )dt cB2 0

第2章 单自由度系统的自由振动

第2章 单自由度系统的自由振动

25第2章 单自由度系统的自由振动2.1 无阻尼系统的自由振动设有质量为m 的物块(可视为质点)挂在弹簧的下端，弹簧的自然长度为l 0,弹簧刚度为k ，如不计弹簧的质量，这就构成典型的单自由度系统，称之为弹簧质量系统如图2-1所示。

工程中许多振动问题都可简化成这种力学模型。

例如，梁上固定一台电动机，当电机沿铅直方向振动时，梁和电机组成一个振动系统，如不计梁的质量，则它在该系统中的作用相当于一根无重弹簧，而电机可视为集中质量。

于是这个系统可简化成如图2-1所示的弹簧质量系统。

2.1.1自由振动方程以图2-1所示的弹簧质量系统为研究对象。

取物块的静平衡位置为坐标原点O ，x 轴顺弹簧变形方向铅直向下为正。

当物块在静平衡位置时，由平衡条件∑F x = 0，得到st δk mg = （A ）st δ称为弹簧的静变形。

当物块偏离平衡位置为x 距离时，物块的运动微分方程为mxkx &&=− （2-1） 将式（2-1）两边除以m ，并令mkp =n （2-2） 则式（2-1）可写成02n =+x p x && （2-3）这就是弹簧质量系统置之只在线弹性力－kx 的作用下所具有的振动微分方程，称之为无阻尼自由振动的微分方程，是二阶常系数线性齐次方程。

由微分方程理论可知，式（2-3）的通解为t p C t p C x n 2n 1sin cos +=其中C 1和C 2为积分常数，由物块运动的起始条件确定。

设0=t 时，x x xx ==00，&&。

可解得 C x 10= n02p xC &=t p p xt p x x n n0n 0sin cos &+= （2-4） 式（2-4）亦可写成下述形式)sin(n α+=t p A x （2-5）26 其中⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=)arctan()(00n 2n020x x p p x x A &&α （2-6） 式（2-4）、（2-5）是物块振动方程的两种形式，称为无阻尼自由振动，简称自由振动。

振动理论04(2)-单自由度系统受迫振动

振动理论04(2)-单自由度系统受迫振动

●谐变化的力在谐位移上的功是●运动较慢时，＝, 外力主要用于克服弹簧力，一周中所作功为零●运动较快时，, 外力分量克服阻尼力，一部分功转变为热能●共振时，，外力平衡阻尼力，功全部消耗于阻尼⏹阻尼振幅⏹阻尼消耗的功=外力功⏹⏹共振●这是相位差为的频率下的振幅，接近于最大振幅的频率能量法求解共振振幅每周的能量振幅外力阻尼力0A B C共振时的放大因子共振另一方面，有阻尼振动的对数衰减率近似为 共振时的放大因子用对数衰减率表示为瞬态振动和稳态振动瞬态振动稳态振动特解例题汽车重千克，装在四只弹簧上，在车身重量作用下弹簧下压厘米，四只缓冲器，每只在1厘米/秒的速度时具有阻尼系数千克。

把车子和四只车轮一起安装在一个试验台上，实验台以共振速率上下运动，振幅为厘米。

假定中心时在轴距中心处，试求车身在弹簧上的振幅。

解：rad具有振幅的弹簧顶部的运动相当于在质量上具有振幅的力kgcm●假定弹簧质量体系，由旋转机械的不平衡运动激励，只能竖向运动●不平衡部分用一个离心质量表示，离心距为，角速度为●表示非旋转部分的位移(以静平衡位置为参考)，的运动可以表示为考虑阻尼影响的转动失衡2014/10/2232运动平衡方程sinsin这个方程与具有振幅的弹簧顶部运动导致的振动方程是一样的,令, 可直接得到振动的振幅tan332014/10/22进一步，可以写成如下的无量纲关系tan342014/10/22转动失衡受迫振动幅频和相频特性352014/10/22●前面的例子是旋转不平衡发生在单一平面内，现在讨论在几个平面内的平衡情况●静不平衡⏹不平衡质量都在同一平面内，合力是一个单一的径向力⏹这种不平衡可以用静态试验测出来，即把轮-轴架在轨道上，使其停留在某个位置：重心在轴的下方⏹不用转动轮子就可以测得不平衡位置●动不平衡⏹不平衡出现在多个平面内⏹合力是一个集中力和一个摇摆力矩⏹通过旋转转子才能测出转子失衡2014/10/2236平衡机一般来讲，比较长的转子，例如马达的电枢或者汽车的发动机的机轴，汽车的轮毂和轮胎，都可以认为是一系列薄盘组成，每个薄盘都带有不同程度的失衡⏹用于检测并修正转子失衡的机器叫平衡机⏹平衡机包含弹性支承用于通过运动检测不平衡力⏹测得支承振动幅度和相对相位，进而确定转子的不平衡量并进行修正⏹这是一个二自由度问题：转子的平动和转动是同时发生的372014/10/22●在设计机械具体实施上述原理的检测过程的时候，会采用各种振动传感器、光电传感器，测量其振动情况和转速同步信号，确定失衡重点的位置，然后根据需要对转子进行加重法和去重法的对转子进行平衡加工⏹加重法：在不平衡相反方向配上校正重块。

第2章 单自由度系统的受迫振动题解

第2章 单自由度系统的受迫振动题解

习 题2-1已知系统的弹簧刚度k =800 N/m ，作自由振动时的阻尼振动周期为1.8s ，相邻两振幅的比值12.41=+i i A A ，若质量块受激振力t t F 3cos 360)(=N 的作用，求系统的稳态响应。

解：由题意，可求出系统的运动微分方程为t mxn x p x n 3cos 36022=++ 得到稳态解)3cos(α-=t B x其中m kB B B 45.03604)1(022220==+-=λζλ222122tg λζλωωα-=-=n p n 由d nT i iA A e 2.41===+η489.3π2797.0ln 8.1ln ======dd dd dT p T n T nT ηη 又22n p p n d -=有579.3222=+=n d n p n p p45.51255.1298.0374.0838.01838.0223.02tg 103.1408.045.0838.0223.04)838.01(45.0223.0579.3797.0838.0579.332222===-⨯⨯===⨯⨯+-=======ααζωλB p n p n n所以 x ＝1.103 cos(3t －51︒27')2-2一个无阻尼弹簧质量系统受简谐激振力作用，当激振频率ω1 =6rad/s 时，系统发生共振；给质量块增加1 kg 的质量后重新试验，测得共振频率ω2 =5.86rad/s ，试求系统原来的质量及弹簧刚度。

解：设原系统的质量为m ，弹簧常数为k 由m kp n =，共振时m kp n ==1ω 所以 mk =6 ①又由 当 86.512=+==m kp n ω ② ①与②联立解出 m ＝20.69 kg ，k ＝744.84 N/m2-3总质量为W 的电机装在弹性梁上，使梁产生静挠度st δ，转子重Q ，重心偏离轴线e ，梁重及阻尼可以不计，求转速为ω时电机在垂直方向上稳态强迫振动的振幅。

机械振动第2章-单自由度系统强迫振动

机械振动第2章-单自由度系统强迫振动

画出相位差随激振力频率的变化曲线（相频曲线）
tan
2 1 2
相频曲线
tan
2 1 2
0.1
0
0.2
0.5
1.0
4.0 2.0
4.0 1.0 0.5 0.2
0.1
相频曲线可看到：相位差总是在0°至180°区间变化，是一单 调上升的曲线。共振时：ω=ωn ε=90 °，阻尼值不同的曲线都 交于这一点。越过共振区之后，随着频率ω的增加，相位差 趋近180°，这时激振力与位移反相。
2 n
h sin(t
)
二阶常系数非齐次线性微分方程
解由两部分组成： x x1 x2 齐次方程的通解为: x1 Asin(nt )
设特解为： x2 bsin(t ) b为待定常数
将x2代入无阻尼受迫振动微分方程，得：
b
2
sin(t
)
b
2 n
s
in(t
)
h
s
in(t
)
解得：
b h
2 n
2
得无阻尼受迫振动微分方程的全解：
b 2 sin(t ) 2nb cos(t ) n2b sin(t ) h sint
将右端改写为：
kc
Fk
Fc
m
F
x
hsint hsin[t ) ]
hcos sin(t ) hsin cos(t )
可整理为：
[b(
2 n
2)
h cos ]sin(t
)
[2nb
mx kx kesint
x s
可见物块的运动微分方程为 无阻尼受迫振动的微分方程。
mx kx kesint
物块的受迫振动形式：

振动力学第二章第二节单自由度系统的受迫振动

振动力学第二章第二节单自由度系统的受迫振动
受迫振动系统的稳态响应为
x B sin(t )
1. 激振力 FS H sin t
周期 T 2π
WH
T
0
FS
dx dt
(t ) d t
T
0
H
sintB cos(t
)dt
HB
2
T
0
[s
in
(2t
)
s in ]d t
π BH
s in
在系统发生共振的情况下，相位差 π ，激振力在
一周期内做功为 WH π BH，做功最多。2
3. 弹性力 FE kx 做的功
WE
T
dx
0
FE
(t)
dt
dt
T
Bk sin(t )B cos(t ) d t
0
kB2
2
T
0
sin
2(t
)d
t
0
表明弹性力在一个振动周期内做功之和为零。
能量曲线
在一个振动周期内激振力做功之和等于阻尼力消耗的能量
WH WR
2.1 简谐激励作用下的受迫振动
已知简谐激振力 FS H sin t
稳态受迫振动的响应为 x B sin(t )
dx dt
B
cos(t
),
d2 x dt2
B
2
sin(t
)
应用达朗贝尔原理，将弹簧质量系统写成
m
d2 dt
x
2
c
dx dt阻尼力 弹性力 激振力
现将各力分别用 B、kB、cB、H、m 2 B 的旋转矢量表示。
d2 x dt2
2n
dx dt
pn2 x
h sin t
x(0) x0和v(0) v0
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习 题2-1已知系统的弹簧刚度k =800 N/m ，作自由振动时的阻尼振动周期为1.8s ，相邻两振幅的比值12.41=+i i A A ，若质量块受激振力t t F 3cos 360)(=N 的作用，求系统的稳态响应。

解：由题意，可求出系统的运动微分方程为t mxn x p x n 3cos 36022=++ 得到稳态解)3cos(α-=t B x其中m kB B B 45.03604)1(022220==+-=λζλ222122tg λζλωωα-=-=n p n 由d nT i iA A e 2.41===+η489.3π2797.0ln 8.1ln ======dd dd dT p T n T nT ηη 又22n p p n d -=有579.3222=+=n d n p n p p45.51255.1298.0374.0838.01838.0223.02tg 103.1408.045.0838.0223.04)838.01(45.0223.0579.3797.0838.0579.332222===-⨯⨯===⨯⨯+-=======ααζωλB p n p n n所以 x ＝1.103 cos(3t －51︒27')2-2一个无阻尼弹簧质量系统受简谐激振力作用，当激振频率ω1 =6rad/s 时，系统发生共振；给质量块增加1 kg 的质量后重新试验，测得共振频率ω2 =5.86rad/s ，试求系统原来的质量及弹簧刚度。

解：设原系统的质量为m ，弹簧常数为k 由m kp n =，共振时m kp n ==1ω 所以 mk =6 ①又由 当 86.512=+==m kp n ω ② ①与②联立解出 m ＝20.69 kg ，k ＝744.84 N/m2-3总质量为W 的电机装在弹性梁上，使梁产生静挠度st δ，转子重Q ，重心偏离轴线e ，梁重及阻尼可以不计，求转速为ω时电机在垂直方向上稳态强迫振动的振幅。

解：列出平衡方程可得：222()sin sin()sin()st Q W W k x w e wt x g gW Qx kx w e wt g g kg Qx x w e wt W Wππ-σ+-=+=++=+所以：2n kgP W Q h w e W==， 又因为st st W W k k =σ=σ即 ()22222()nstst hB PW w e B W g w =-σ-σ将结果代入得：Q =即为所求的振幅2-4如题2-4图所示，作用在质量块上的激振力t F t F ωsin )(0=，弹簧支承端有运动t a x s ωcos =，写出系统的运动微分方程，并求稳态振动。

题2-4图解：选0s x =时物块平衡位置为坐标原点O ，建立坐标系，如右图， 则 ()()s mx k x x p t +-= 即 ()s mx kx kx p t +=+即 0cos sin mx kx ka wt p wt +=+ （*）0p 改成0F ，下面也都一样 利用复数求解 ， 用 jwt e 代换sinwt 并设方程（*）的特解为()jwt x t Be = 代入方程（*）得02j p jka B Be k mwφ+==- 其中B 为振幅，φ为响应与激励之间的相位差，有22022p ka B B k mw k mw ⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭=()()()222042022********22242211n n n n p p a p a p k a p mm m p w p λλ+++==---2202211p a kλ=+-。

2002kaka k mw tg p p k mwφ-==- 0ka arctg p φ∴= ()2202201()sin sin arc 1p ka x t B wt a wt tg k p φλ⎛⎫∴=+=++ ⎪-⎝⎭ 其中,n n w kp p mλ==2-5如题2-5图的弹簧质量系统中，两个弹簧的连接处有一激振力t F ωsin 0，求质量块的振幅。

解：设弹簧1，2的伸长分别为x 1和x 2，则有，21x x x += （A ）由图（1）和图（2）的受力分析，得到t P x k x k ωsin 02211+= （B ）22x k xm -= （C ） 题2-5图联立解得，t P k k k x k k k k x m ωsin 02122121+++-=t P mk k k x m k k k k xωsin )()(02122121+=++所以)(2121k k m k k p n =，n = 0，得，2102222222)(11)2()1(1)2()(nnp k P kH n p hB ωςλλωω-=+-=+-=2-6在题2-6图示的系统中，刚性杆AB 的质量忽略不计，B 端作用有激振力t F ωsin 0，写出系统运动微分方程，并求下列情况中质量m 作上下振动的振幅值∶(1)系统发生共振；(2) ω等于固有频率p n 的一半。

解：图（1）为系统的静平衡位置，以θ为系统的广义坐标，画受力如图（2）t lF l k l l c l I ωθθθsin 3)3(3)2(20+⋅⋅-⋅⋅⋅-= 又 I ＝ml 2 t F mlmk mc ωθθθsin 340=9++∴ 则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===mlF h m c n m kp n 023,429题2-6图mgθBF 0sin ωtA X AY AF CF K22222222)2()()2()(ωωωωθθn p hllB B n p hB n n +-==+-=1）系统共振，即 ω=n pkmc F mkm c l ml F np hl B n 494)/3(200=⨯⨯==∴ 2）n p 21=ωmkc kF m k m c m k l ml F np p hl B n n 81641194944273)(432222222+=+⎪⎭⎫⎝⎛⨯=+⎪⎭⎫ ⎝⎛=∴2-7写出题2-7图示系统的运动微分方程，并求系统固有频率p n 、阻尼比ζ及稳态响应振幅。

解：以刚杆转角ϕ为广义坐标，由系统的动量矩定理ϕϕϕ22)(4cl l x l k m l s ---= 即 t lka m k m c ωϕϕϕsin 44=++ 令，m k p n 4=，m c n 42=，n n mp c p n 8==ς，mlkah 4=，n p ωλ=得到2222)2()(ωωϕn p hB n+-=22222222)2()1(2)2()1(242ςλλωωϕ+-=+-⨯==ap p n p p l mlkal B B nn nn题2-7图2-8一机器质量为450kg ，支承在弹簧隔振器上，弹簧静变形为0.5cm 。

机器有一偏心重，产生偏心激振力gF 20254.2ω=N ，其中ω是激励频率，g 是重力加速度。

求(1)在机器转速为1200 r/min时传入地基的力；(2)机器的振幅。

解：设系统在平衡位置有位移x ， 则0mx kx F +=，即0F kx x m m+=，又有st mg k δ= 则st mg k δ= （1） 所以机器的振幅为2021F B k λλ=- （2） 且n p ωλ=，40rad s ωπ=（3） 又有2n stk gp m δ==（4） 将（1）（2）（4）代入（2）得机器的振幅B =0.584 mm 则传入地基的力为514.7T p kB N ==2-9一个粘性阻尼系统在激振力t F t F ωsin )(0=作用下的强迫振动力为⎪⎭⎫⎝⎛+=6πsin )(t B t x ω，已知F 0=19.6N ，B =5 cm ，π20=ωrad/s ，求最初1秒及1/4秒内，激振力作的功W 1及W 2。

解：由已知可得：()t F t F π20sin 0=()()()()Jtt t t t t tt x t F W t t B t x 39.15d π80cos 1π9.4|40π40cos 39.4d 6ππ20cos ππ20sin 6.19d 6ππ20cos π6πcos 110111-=---=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅==⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎰⎰⎰ωω同理可得：()()Jt t t tt x t F W 0395.0d 6ππ20cos ππ20sin 6.19d 401040102=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅==⎰⎰2-10无阻尼系统受题2-10图示的外力作用，已知0)0()0(==xx ，求系统响应。

周期函数才用频谱分析！解：由图得激振力方程为⎪⎩⎪⎨⎧〉≤≤-〈≤=22111100)(t t t t t P t t P t F当 0 < t < t 1时，1)(P F =τ，则有]cos 1[)(sin )(2101t p mp Pd t p mp P t x n n tn n-=-=⎰ττ 由于mkp n =2，所以有 ]cos 1[)(1t p kP t x n -=当t 1 < t < t 2时，1)(P F -=τ，则有⎰-=11)(sin )(t n n d t p mp P t x ττ⎰--+t t n nd t p mp P 1)(sin 1ττ)](cos 1[]cos )([cos 1111t t p kPt p t t p k P n n n -----=当 t < t 2时，0)(=τF ，则有⎰-=11)(sin )(t n n d t p mp P t x ττ⎰--+t t n nd t p mp P 1)(sin 1ττ+ 0题2-10图)](cos)([cos]cos)([cos12111ttpttpkPtpttpkPnnnn------=2-11如题2-11图的系统，基础有阶跃加速度bu（t），初始条件为0)0()0(==xx ，求质量m的相对位移。

解：由牛顿定律，可得系统的微分方程为)()(ssxxkxxcxm----=令)(srxxx-=，则有)(tmbukxx cxmrrr-=++得到系统的激振力为，)()(ττmbuF-=，可得响应为)cossin1()](cos)(sin[)(sin)(222222)(tpetppnepnbtpePnptpepnnepbdtpempmbtxdntddntdtdndddndntdtdtndr-------+-=-++-+-=--=⎰τττττττ其中22nppnd-=，mkpn=2，mcn=2。

2-12上题系统中，若基础有阶跃位移au(t)，求零初始条件下的绝对位移。

解：由上题可得系统的微分方程为()()s smx k x x c x x=-+-即s smx cx kx kx cx++=+基础有阶跃位移为()au t故sx=0sx=()au t()mx cx kx kau t∴++=得到系统的激振力为，)()(ττkauF=，可得响应为()()()()sint n tddFx t e p t dtmpτττ--=-⎰⎰-=--tdtnddtpempkau)()(sin)(ττττ题2-11图22221sin cos nt n d d d d nt d d p p ka n e e p t p t mp n p n e n n τ-⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦ 1sin cos n p t nd d d p ae p t p t p ζζ-⎡⎤⎛⎫=+-⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦ 其中22n p p n d -=，m k p n =2，mcn =2。