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高等数学课件D1232函数展开成幂级数

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高等数学第五节 函数幂级数展开-PPT文档资料

高等数学第五节 函数幂级数展开-PPT文档资料
即
f ( 0 ) 2 S (x )f( 0 )f ( 0 )x x n 1 2 ! ) f(n ( 0 ) n x. n !
那么， 级数 ③ 收敛于函数 f(x) 的条件为
lim S ( x ) f ( x ) . n 1
n
注意到麦克劳林公式 ② 与麦克劳林级数 ③ 的关为泰勒公式 .
如果令 x 0 , 就得到 0
f (0 ) 2 f (n)(0 ) n f (x ) f (0 ) f (0 )x x x 2 ! n ! r ). n(x ②
( n 1 ) f ( x )n 1 r ( x ) x ( 0 θ 1 ) . n ( n 1 )!
( 0 ) 1 , , ( 0 ) 0 ,f f( 0 )0, f( 0 ) 1 , f
n 1 ) n ( 0 ) ( 1 ) . f(2n)( 0 )0, f(2
于是可以得到幂级数
2 n 1 1 3 15 x n x x x ( 1 ) , 3 ! 5 ! ( 2 n 1 )!
称为泰勒级数 .
二、 直接展开法
利用麦克劳林公式将函数 f(x 展开成幂级数
的方法，称为直接展开法 .
例1 试将函数 f(x) = ex 展开成 x 的幂级数.
( n ) x 解 由 f ( x ) e( n 1 , 2 , 3 , ) , 可以
得到
( n ) f ( 0 ) f ( 0 ) f ( 0 ) f ( 0 ) 1 .
( θ x ) e n 1 r ( x ) x ( 0 θ 1 ) , n ( n 1 )!
且 x≤
x θx x x , 所以 e e , 因而有

函数展开成幂级数PPT课件

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1
因此对任意常数 m, 级数在开区间 (－1, 1) 内收敛.
-
10
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为避免研究余项 , 设此级数的和函数为 F (x) ,1 x 1 则 F (x) 1 m x m(m 1) x2
2! m(m 1) (m n 1) xn n!
F (x) m 1 m 1 x (m 1) (m n 1) xn1
解: 易求出 f (0) 1, f (0) m, f (0) m(m 1) ,
f (n) (0) m(m 1)(m 2) (m n 1) ,
于是得级数 1 mx m(m 1) x2 2!
m(m 1) (m n 1) xn n!
由于
R lim an n an1
lim n 1 n m n
1
(n 1)!
(1 x)F (x) mF (x), F (0) 1 推导
x
0
F (x) F ( x)
d
x
x
0
1
m x
d
x
ln F (x) ln F (0) m ln(1 x)
F (x) (1 x)m
-
11
推导 目录 上页 下页 返回 结束
由此得
(1 x)m 1 m x m(m 1) x2 2!
函数展开成幂级数
两类问题: 在收敛域内
幂级数 an xn
n0
求和 展开
和函数 S (x)
本节内容: 一、泰勒 ( Taylor ) 级数
二、函数展开成幂级数
-
1
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一、泰勒 ( Taylor ) 级数
复习: f (x) 的 n 阶泰勒公式
若函数 f (x) 在 x0 的某邻域内具有 n + 1 阶导数, 则在

函数展开成幂级数PPT课件

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3! 5!
(2n 1)!
Jlin Institute of Chemical Technology
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例3 将函数f(x)(1x)m (m为任意常数)展开成x的幂级数. 解 f(x)的各阶导数为
f (x)m(1x)m1, f (x)m(m1)(1x)m2, , f (n)(x)m(m1)(m2) (mn1)(1x)mn, , 所以 f(0)1, f (0)m, f (0)m(m1), , f (n)(0)m(m1)(m2) (mn1), , 于是得幂级数
❖求幂级数展开式的间接展开法
例4 将函数f(x)cos x展开成x的幂级数. 解 已知
sin x x x3 x5 (1)n1 x2n1 (<x<).
3! 5!
(2n 1)!
对上式两边求导得
cosx 1 x2 x4 (1)n x2n (<x<).
2! 4!
(2n)!
f (0) f (0)x f (0) x2 f (n)(0) xn ,
2!
n!
并求出收敛半径R;
•第四步 考察在区间(R, R)内时是否Rn(x)0(n).
如果Rn(x)0(n), 则f(x)在(R, R)内有展开式
f (x) f (0) f (0)x f (0) x2 f (n)(0) xn (RxR).
但是, 如果f(x)的麦克劳林级数在点x00的某邻域内收敛, 它却不一定收敛于f(x).
因此, 如果f(x)在点x00处具有各阶导数, 则f(x)的麦克劳 林级数虽然能作出来, 但这个级数是否在某个区间内收敛, 以 及是否收敛于f(x)却需要进一步考察.
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第五节初等函数展开为幂级数(共34张PPT)

第五节初等函数展开为幂级数(共34张PPT)

例4 将f(x)=ln(1+x)展开(zhǎn kāi)为麦克劳林级数.
解 所给函数与四个标准展开式中的形式皆不相近，
但是由于 ln(1 x) 1 ，而
1 x
1
(1)n xn
(1 x 1),
1 x n0
ln(1
x)
ln(1
0)
0x1
1
x
dx
0x
(1)n
x
n
dx
n0
(1)
n
x
n1
n0 n 1
第十九页，共三十四页。
例3 设 f (x) 1 (a 0.) xa
(1) 将f(x)在x=0处展开(zhǎn kāi)为幂级数,
(2) 将f(x)展开(zhǎn kāi)为(x－b)的幂级数(b≠a).
解 由于 f (x) 1 与 1 相近，先将其恒等变型 x a 1 x
(1)
x
1
a
11 a1
解 由于f (x) ex在x=0的某邻域内存在任意阶导数， 且 f (x) e x f (x) f (x) f (n) (x)，
因此 f (0) f (0) f (0) f (0) f (n) (0) 1，
故ex的麦克劳林级数为
1 x 1 x2 1 xn ,
2!
x4 4!
x6 6!
x8 8!
P8 (x).
第五页，共三十四页。
由上述的讨论可以(kěyǐ)看到P2 (x), P4 (x), P6 (x), P8 (x)每
一个都比前一个在x=0附近能更好地逼近cos x，且每个 更高次泰勒多项式都包含了之前的所有的低次泰勒多 项式.为此引进泰勒级数.
第六页，共三十四页。

函数展开成幂级数(课堂PPT)

函数展开成幂级数(课堂PPT)

无穷级数
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下一页
返回
8
证明
Rn ( x)
f (n1) ( ) ( x
(n 1)!
x0
)n1
M x x0 n1 , (n 1)!
x
x0
n1
在(,)收敛,
n0 (n 1)!
x ( x0 R, x0 R)
lim n
x x0 n1 (n 1)!
0,
故
lim
n
Rn
(
x
)
x
0,
n0
该级数在(,)内和函数s( x) 0. 可见
除s 0外, f ( x)的麦氏级数处处不收敛于 f ( x).
无穷级数
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下一页
返回
6
三、函数展开成泰勒级数的条件
定理 2 f ( x)在点x0 的泰勒级数,在U ( x0 ) 内收
敛于
f
(
x)
在U
(
x0
) 内lim n
Rn
(
x)
0
.
证明 必要性 设f ( x)能展开为泰勒级数,
( x0
R,
x0
R)
可展成点x0的泰勒级数.
无穷级数
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返回
9
三、函数展开成泰勒级数的方法
1.直接法(泰勒级数法)
步骤:
(1) 求an
f (n)( x0 ); n!
(2)
讨论
lim
n

Rn
0
或
f
(n) ( x)
M,
则级数在收敛区间内收敛于 f ( x).
无穷级数
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高数-函数展开成幂级数

高数-函数展开成幂级数

2!
n!
x (, )
• ln(1 x) x 1 x2 1 x3 1 x4 (1)n xn1
234
n 1
x (1, 1]
• sin x x x3 x5 x7 (1)n x2n1
3! 5! 7!
(2n 1)!
x (, )
• cos x 1 x2 x4 x6 (1)n x2n
f (x) =
f
x0 +
f ' x0 ( x - x0 ) +
f
(0) 2!
(x
-
x0
)2
+
+
f
(n) ( x0 n!
)
(x
-
x0
)n
+
(R＜x x0＜R)
否则，第三步求出的幂级数虽然在其收敛区间上收敛，
但它的和并不是函数f(x).
例 1. 试将函数 f(x) = ex 展开成 x 的幂级数.
将所给函数展开成 幂级数.
例3.将函数
展开成 x的幂级数.
解: 因为
1 1 x x2 (1)n xn ( 1 x 1 ) 1 x
把x 换成x2 , 得
1 1 x2
1
x2
x4
(1)n
x2n (1
x
1)
例 4. 试求函数 f ( x) cosx 的幂级数展开式.
解: 因为 (sinx) cosx , 而
sinx x 1 x3 1 x5 (1)n x 2n1
3! 5!
(2n 1)!
( x ) .
所以根据幂级数可逐项求导的法则， 可得
cosx
1
1 x2 2!
1 x4 4!

高中数学(人教版)函数展开成幂级数解析优选教学课件


a2

f (x0 ) 2!
f (n) (x) n!an , x I 令 x x0
an
f (n) (x0 ) n!
a0

f (x0 ), a1
f
(x0 ) 1!
,
a2

f (x0 ) , 2!
,
an
f (n) (x0 ) n!
引言
在收敛域内

求和
幂级数 an xn n0
若在包含x0的某区间I内,等式
f (x)
f (x0 )
f (x0)x x0
f
( x0 2!
)
x

x0
2



f
(n) (x0 n!
)
(x

x0
)n

成立,称上式为f (x)的泰勒展开式(x0=0时,称为麦克劳林展开式).
定理
设函数 f (x) 在点 x0 的某一邻域 U(x0) 内具有各阶导数, 则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要条件是:
研究问题
近似计算 理论研究
f (x) a0 a1x x0 a2 x x0 2 an (x x0 )n (x I )
f (x)在什么条件下能展开为幂级数; f (x) 的展开式在什么范围内成立; f (x) 的展开式是否唯一; f (x) 的展开式如何确定.
第五讲 函数展开成幂级数
函数展开成幂级数
一、泰勒级数 二、函数展开成幂级数
函数展开成幂级数
一、泰勒级数 二、函数展开成幂级数
引言
在收敛域内

求和
幂级数 an xn n0

高等数学 第十一章 无穷级数 第四节 函数展开成幂级数

∴ lim Rn ( x ) = lim[ f ( x ) sn+1 ( x )]= 0 ;
n→ ∞ n→ ∞
充分性
n→ ∞
∵ f ( x ) sn+1 ( x ) = Rn ( x ),
n→ ∞
∴ lim[ f ( x ) sn+1 ( x )] = lim Rn ( x ) = 0,
即 lim sn+1 ( x ) = f ( x ),
n
( 2n 1)!! n + ( 1) x + ( 2n)!! ( 1,1]
n
[(2n)!!= 2n(2n 2)(2n 4) 4 2 = 2 n!]
双阶乘
2.间接展开法 根据唯一性, 利用常见展开式, 通过变量代换, 四则运算, 恒等变形, 逐项求导, 逐项积分等 方法,求展开式. 例如 cos x = (sin x )′
泰勒级数在收敛区间是否收敛于f(x)?
问题
f ( x) ? ∑
==
n= 0
∞
f
( n)
( x0 ) ( x x0 ) n n!
注意:只要函数f(x)在x0点任意阶可导,总可以 写出函数的泰勒级数,但是泰勒级数在收敛区间内 是否收敛于f(x)? 还需进一步研究.
x12 e , 例如 f ( x ) = 0,
一,泰勒级数
定理 1 如果函数 f ( x ) 在 U ( x 0 ) 内具有任意阶导 数, 且在 U ( x 0 ) 内能展开成( x x0 )的幂级数, 即 f ( x) =
a n ( x x0 ) n ∑
n= 0
∞
1 (n) f ( x0 ) 则其系数 a n = n!
且展开式是唯一的.

高中数学(人教版)函数展开成幂级数课件


f ( x ) 在什么条件下能展开为幂级数; f ( x ) 的展开式在什么范围内成立; f ( x ) 的展开式是否唯一; f ( x ) 的展开式如何确定.
引言
在收敛域内 幂级数
a
n 0

n
x
n
求和
展开
?
和函数 近似计算 理论研究
2 n x x 例 ex 1 x ( x R ) 意义 2! n!
若在包含x0的某区间I内,等式
f ( x0 ) f ( n ) ( x0 ) 2 x x0 f ( x ) f ( x0 ) f ( x 0 ) x x0 ( x x0 ) n 2! n! 成立,称上式为f (x)的泰勒展开式(x0=0时,称为麦克劳林展开式).
n f ( x ) a0 a1 x x0 a2 x x0 an ( x x0 ) ( x I ) 2
f ( x ) 在什么条件下能展开为幂级数; f ( x ) 的展开式在什么范围内成立; f ( x ) 的展开式是否唯一; f ( x ) 的展开式如何确定.
证明
f ( n ) ( x0 ) f ( x) ( x x0 )n , x U ( x 0 ) n! n 0

f ( k ) ( x0 ) 令 S n1 ( x ) ( x x0 ) k k! k 0
n
f ( x ) S n 1 ( x ) Rn ( x )
研究问题
n f ( x ) a0 a1 x x0 a2 x x0 an ( x x0 ) ( x I ) 2
f ( x ) 在什么条件下能展开为幂级数; f ( x ) 的展开式在什么范围内成立; f ( x ) 的展开式是否唯一; f ( x ) 的展开式如何确定.
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F ( x ) m 1 m 1 x ( m 1 ) ( m n 1 ) x n 1
1
( n 1 ) !
05.02.2021
(1x)F(x)mF (x), F(0)1
推导
0xF F((xx))dx0x1 mxdx
lF n ( x ) lF n ( 0 ) m l1 n x )(
05.02.2021
8
机动 目录 上页 下页 返回 结束
sx i n x 1 x 3 1 x 5 ( 1 ) n 1 1x 2 n 1
3 ! 5 !
( 2 n 1 ) !
类似可推出:
cx o 1 s1 x 2 1 x 4 ( 1 )n 11x 2 n
2 ! 4 !
的泰勒级数
.
当x0 = 0 时, 泰勒级数又称为麦克劳林级数:
f
f (0) f(0)x
(0 )
x 2
f (n)(0) xn
2!
n!
反例 : 设 f(x ) ex 1 x p 2 } (x { 0 )f,(0 ) 0 . 由于 f(n )(0 ) 0 (n 0 ,1 ,2 , ),则对应的麦氏级数为
2! m (m 1) (m n1)xn
n! 由于 R lim an lim n1 1
n an1 n mn
因此对任意常数 m, 级数在开区间 (－1, 1) 内收敛.
05.02.2021
10
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为避免研究余项 , 设此级数的和函数为F (x), 1x1
则 F (x) 1m xm(m1)x2 2! m (m 1) (m n1)xn n!
证明: f(x)n 0f(nn )(!x0)(xx0)n,x (x0) 令Sn1(x)kn 0f(kk)(!x0)(xx0)k
f( x ) S n 1 ( x ) R n ( x ) （泰勒中值公式）
nl i mRn(x)n l i m f(x ) S n 1 (x ) 0 , x(x0)
05.02.2021
F(x)(1x)m
11
推导 目录 上页 下页 返回 结束
由此得 (1x)m1mxm(m1)x2
2!
m (m 1) (m n1)xn n!
称为二项展开式 . 说明：
骤如下 :
第一步 求函数及其各阶导数在 x = 0 处的值 ;
第二步 写出麦克劳林级数 , 并求出其收敛半径 R ;
第三步 判别在收敛区间(－R, R) 内nl im Rn(x)是否
为0.
05.02.2021
6
机动 目录 上页 下页 返回 结束解: f(n)(x)ex,f(n )(0 ) 1(n 0 ,1 , )故,得级数
f(n )(x)n !a n ;
an n1! f(n)(0)
显然结论成立 .
05.02.2021
5
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二、函数展开成幂级数
直接展开法 — 利用泰勒公式 展开方法
间接展开法 — 利用已知其级数展开式
1. 直接展开法
的函数展开
由泰勒级数理论可知, 函数f (x)展开成幂级数的步
4
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定理2. 若 f (x) 能展成 x 的幂级数, 则这种展开式是 唯一的 , 且与它的麦克劳林级数相同.
证: 设 f (x) 所展成的幂级数为
则
a0f(0)
f ( x ) a 1 2 a 2 x n n x n a 1 ; a1f(0)
f ( x ) 2 ! a 2 n ( n 1 ) a n x n 2 ;a221! f(0)
1
x
1 x2 2!
1 x3 3!
1 xn n!
其收敛半径为
1
R lim
n
n
!
1 (n 1)!
对任何有限数 x , 其余项满足
e xn1 e x (n1)!
n
( 在0与x 之间)
故 ex 1x1x21x3 1xn ,
2 ! 3 !
n !
05.02.2021
7
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(2 n )!
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9
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例3. 将函数
展开成 x 的幂级数, 其中m
为任意常数 .
解: 易求出 f(0)1, f(0)m, f(0 ) m (m 1 ),
f ( n ) ( 0 ) m ( m 1 ) m ( 2 ) ( m n 1 ) , 于是得级数 1mxm(m1)x2
00x0x2 0xn 0 f (x).
2!
n!
05.02.2021
3
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定理1 . 设函数 f (x) 在点 x0 的某一邻域
内具有
各阶导数, 则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的 充要
条件是 f (x) 的泰勒公式中的余项满足: nl i m Rn(x)0.
第三节
第十二章
展开函数为幂级数
两类问题: 在收敛域内 求和 展开
和函数
本节内容: 一、泰勒 ( Taylor ) 级数
二、函数展开成幂级数
05.02.2021
1
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一、泰勒 ( Taylor ) 级数
若函数
的某邻域内具有 n + 1 阶导数, 则在
该邻域内有 :
f(x)f(x0)f(x0)x (x0)f 2(x!0)(xx0)2 f(nn)(!x0)(xx0)n Rn(x)
此式称为 f (x) 的 n 阶泰勒公式 ,其中
Rn(x) f((nn1)1()!)(xx0)n1 ( 在 x 与 x0 之间)
称为拉格朗日余项 .
05.02.2021
2
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若函数
的某邻域内具有任意阶导数, 则称
f
(x0)f(x f0 (n)n)(!x x( 0)x (0 x) x0f)2n(x!0 )(x为fx(0x))2
例2. 将
展开成 x 的幂级数.
解: f(n)(x)
f (n)(0) (01),k ,
n2k (k 0 ,1 ,2 , ) n2k1
得级数:
x
1 3!
x
351!x5 (1)n1(2n1 1)!x2n1
其收敛半径为 R , 对任何有限数 x , 其余项满足
sin((n1)2)
(n1)!
xn1
n
sinx x 3 1 ! x 3 5 1 ! x 5 ( 1 ) n 1 ( 2 n 1 1 ) ! x 2 n 1