第３５卷第６期２０２１年１１月兰州文理学院学报(自然科学版)J o u r n a l o fL a n z h o uU n i v e r s i t y ofA r t s a n dS c i e n c e (N a t u r a l S c i e n c e s )V o l ．３５N o ．６N o v ．２０２１收稿日期:２０２１Ｇ０３Ｇ２８基金项目:国家自然科学基金(１１７６１０６３,１１６６１０５１)作者简介:孙芳娟(１９９５Ｇ),女,甘肃临夏人,在读硕士,研究方向:偏微分方程及其应用．E Ｇm a i l :１５３３４２１７２９＠q q．c o m．㊀㊀文章编号:２０９５Ｇ６９９１(２０２１)０６Ｇ００１８Ｇ０３毒素影响下的H o l l i n gＧT a n n e r 捕食者Ｇ食饵模型的稳定性分析孙芳娟(西北师范大学数学与统计学院,甘肃兰州７３００７０)摘要:研究一类毒素影响下的H o l l i n g ＧT a n n e r 捕食模型非负平衡点的稳定性．运用微分方程理论以及线性化分析讨论带毒素的H o l l i n g ＧT a n n e r 捕食模型和相应的扩散捕食模型非负平衡点的稳定性．关键词:H o l l i n g ＧT a n n e r 捕食者Ｇ食饵模型;毒素;稳定性中图分类号:O １７５．２６㊀㊀㊀文献标志码:A0㊀引言１９７５年,R o b e r t 等[１]提出了H o l l i n g ＧT a n n e r 捕食者Ｇ食饵模型:d u d t ＝αu －u ２－a u v m ＋u ,d v dt ＝βv －v r u ．ìîíïïïï(１)该模型能够很好地刻画鹰与麻雀㊁猞猁与野兔等生物种群之间的相互影响,因此,受到了很多学者的广泛关注．例如,W o n l y u lK o 和K i m u nR y u 在文献[２]中研究了具有扩散的H o l l i n g ＧT a n n e r 捕食者Ｇ食饵模型正常数解的局部稳定性和全局稳定性,以及非常数正解的存在性和不存在性．P e n g和W a n g 在文献[３]中讨论了H o l l i n g ＧT a n n e r 捕食者Ｇ食饵模型的反应扩散系统正常数平衡态解的全局稳定性．L i 和C o n g 在文献[４]中通过构造合适的L i a p u n o v 函数,给出了系统正解存在唯一平稳分布的充分条件．近年来,各类化学物品的排放,造成了土壤㊁空气和水资源的污染,环境毒素不仅损害了人类的健康,还可能导致其他动植物的灭绝．因此,环境毒素对生态种群的影响成为了一个研究热点．例如,Y a n 和L i 在文献[５]中利用L i a p u n o v ＧS c h m i d t 方法,研究了由二重特征值产生的分支解的存在性和稳定性;文献[６]发现环境毒素可能诱导双稳态现象的发生;文献[７]讨论了毒素影响下L o t k a ＧV o l t e r r a 捕食模型的局部性态．受此启发,本文考虑如下带有毒素的H o l l i n g ＧT a n n e r 捕食者Ｇ食饵模型:d u d t ＝u １－u ()－a u v b ＋u－eu ２,d v d t＝λv １－v u æèçöø÷,ìîíïïïï(２)其中,u ,v 分别表示食饵和捕食者的种群密度;a 表示捕食率;λ表示捕食者种群的内禀增长率;e 为毒素并且０＜e ＜１;e u ２表示毒素对食饵种群的毒害作用,系统内所有参数均为正常数．考虑到空间非均匀分布因素,在模型(２)中引入扩散可得到相应的反应扩散模型:∂u ∂t ＝u １－u ()－a u v b ＋u －e u ２＋d １Δu ,㊀㊀x ɪΩ,t ＞０,∂v ∂t ＝λv １－v u æèçöø÷＋d ２Δu ,x ɪΩ,t ＞０,∂u ∂n ＝∂v ∂n ＝０,x ɪ∂Ω,t ＞０,u x ,０()＝u ０x (),v x ,０()＝v ０x (),x ɪΩ,ìîíïïïïïïïïïï(３)其中,Δ为L a pa l c e 算子;Ω是R N 中具有光滑边界∂Ω的有界区域;∂u ∂n ,∂v∂n表示单位外法向的方向导数;d １和d ２分别代表食饵和捕食者的扩散率．本文讨论了常微分系统非负平衡点的稳定性,并分析了反应扩散系统非负平衡点的稳定性．1㊀常微分系统非负平衡点的稳定性显然,系统(２)存在半平凡平衡点U １１e ＋１,０æèçöø÷以及唯一的正平衡点U ∗u ∗,v ∗(),其中u ∗＝v ∗＝[－(a ＋b ＋b e －１)＋a ＋b ＋b e －１()２＋４be ＋１()]/[２e ＋１()]．系统(２)在半平凡平衡点U １１e ＋１,０æèçöø÷处的J a c o b i 矩阵为J U １()＝－１－a b e ＋b ＋１０λæèçççöø÷÷÷,因此,U １１e ＋１,０æèçöø÷是不稳定的鞍点．下面讨论系统(２)在正平衡点U ∗(u ∗,v ∗)处的稳定性．定理１㊀(１)当λ０＜a u ∗b ＋u∗,且λ０＜λ时,U ∗u ∗,v ∗()是局部渐近稳定的;(２)当λ０＞a u∗b ＋u ∗或λ０＞λ时,U ∗u ∗,v ∗()是不稳定的．证明㊀系统(２)在U ∗u ∗,v ∗()处的J a c o b i矩阵为J (U ∗)＝λ０－a u ∗b ＋u ∗λ－λæèçççöø÷÷÷,其中,λ０＝１－２u －a b vb ＋u ()２－２e u ．其对应的特征方程为ξ２－F ∗ξ＋G ∗＝０,其中,F ∗＝λ０－λ,G ∗＝λa u ∗b ＋u ∗－λ０æèçöø÷．容易看到,当F ∗＜０且G ∗＜０时,即λ０＜λ且λ０＜a u ∗b ＋u ∗时,U ∗u ∗,v ∗()是局部渐近稳定的;当λ０＞a u ∗b ＋u ∗或λ０＞λ时,U ∗u ∗,v ∗()是不稳定的．2㊀反应扩散系统非负平衡点的稳定性㊀㊀本节主要讨论反应扩散系统(３)在非负平衡点的稳定性．显然,半平凡平衡点U １１e ＋１,０æèçöø÷在系统(３)中也是不稳定的．下面考虑系统(３)在正平衡点U ∗u ∗,v ∗()处的稳定性．定理２㊀设λ０＜a u ∗b ＋u ∗成立,有(１)若d １π２ȡλ０,则U ∗u ∗,v ∗()是局部渐近稳定的;(２)若d １π２＜λ０,且d ２ɤ^d ２,则U ∗u ∗,v ∗()是局部渐近稳定的;(３)若d １π２＜λ０,且d ２＞^d ２,则U ∗u ∗,v ∗()是不稳定的．证明㊀对u ,v 做F o u r i e r 展开,得u ＝ð¥k ＝０t k c o s k πx ,v ＝ð¥k ＝０s kc o s k πx ．系统(２)在U ∗u ∗,v ∗()处的线性化矩阵为∂∂t u v æèçöø÷＝d １d ２d x ２＋λ０f v ∗g u ∗d ２d２d x ２＋g v ∗æèççççöø÷÷÷÷u ∗,v ∗()u v æèçöø÷,因此,上述问题转化为ξ００ξæèçöø÷t k s k æèçöø÷＝－d １k ２π２＋f u ∗f v ∗g u ∗－d ２k ２π２＋g v ∗æèçöø÷t k s k æèçöø÷．系统(２)在U ∗u ∗,v ∗()处的特征方程为ξ２－F k ξ＋G k ＝０,其中F k ＝－d １k ２π２－d ２k ２π２＋f u ∗＋g v ∗,G k ＝d １d ２k ４π４＋k ２π２－d １g v ∗－d ２f u ∗()＋f u ∗g v ∗－f v ∗g u ∗．(∗)令F ∗＝f v ∗＋g u ∗＝λ０－λ,G ∗＝f u ∗g v ∗－f v ∗g u∗＝λa u ∗b ＋u ∗－λ０æèçöø÷．由定理１可知,只需在λ０＜a u ∗b ＋u ∗且λ＞λ０的情况下讨论系统(３)在U ∗u ∗,v ∗()处的稳定性．由于F ∗＝λ０－λ＜０,因此F k ＜０．下面分析G k 的符号,重新整理(∗)可得G k ＝k ２π２d １λ＋λa u ∗b ＋u ∗－λ０æèçöø÷＋９１第６期孙芳娟:毒素影响下的H o l l i n gＧT a n n e r 捕食者Ｇ食饵模型的稳定性分析k ２π２d ２d １k ２π２－λ０()．由于λ０＜a u ∗b ＋u ∗,所以G ∗＝λa u ∗b ＋u ∗－λ０æèçöø÷＞０,因此只需考虑d １k ２π２－λ０的符号．(ⅰ)若d １π２＞λ０,则对所有的k ,此时U ∗u ∗,v ∗()是局部渐近稳定的;(ⅱ)若d １π２＜λ０,令G k ＝０,有d ２k ()k ２π２d １λ＋λa u ∗b ＋u ∗－λ０æèçöø÷k ２π２λ０－d １k ２π２()＞０．显然,使得d ２k ()＞０的k 只有有限个．记Λ１＝k λ０＞d １k ２π２,k ȡ１{},^d ２＝m i n Λ１d (k )２d (k )２＞０{}．若d ２ɤ^d ２,则对所有的k ȡ１,G k ȡ０,U ∗u ∗,v ∗()是局部渐近稳定的;若d ２＞^d ２,则存在某个k ０ɪΛ１,使得^d ２＝d ２k ０()＜d ２,则G k ０＜０,因此U ∗u ∗,v ∗()是不稳定的．3㊀结语由定理３可知,当食饵的扩散率大时,U ∗u ∗,v ∗()是局部渐近稳定的;当食饵的扩散率小,捕食者的扩散率也小时,U ∗u ∗,v ∗()是稳定的;只有当食饵的扩散率小,而捕食者的扩散率大时,U ∗u ∗,v ∗()是不稳定的．参考文献:[１]T A N N E RJT．T h e s t a b i l i t y an d t h e i n t r i n s i c g r o w t h r a t e so f p r e y a n d p r e d a t o r p o p u l a t i o n s [J ]．E c o l o g y,１９７５,５６(４):８５５Ｇ８６７．[２]W K O ,K R Y U．N o n Ｇc o n s t a n t p o s i t i v e s t e a d yＧs t a t e s o f ad i f f u s i v e p r e d a t o r Ｇp r e y s y s t e mi nh o m o ge n e o u s e n v i r o n m e n t [J ]．M a t h A n a lA p p l ,２００７,３２７(１):５３９Ｇ５４９．[３]P E N G R ,WA N G M X．G l o b a l s t a b i l i t y o f t h e e qu i Ｇl i b r i u m o fad i f f u s i v e H o l l i n g ＧT a n n e r p r e y Ｇpr e d a t o r m o d e l [J ]．A p p lM a t hL e t t ,２００７,２０(１):６６４Ｇ６７０．[４]L I H H ,C O N G F Z ．D yn a m i c s o fas t o c h a s t i c H o l l i n g ＧT a n n e r p r e d a t o r Ｇp r e y m o d e l [J ]．P h ys ．A ,２０１９,５３１:１２１７６１．[５]Y A N X ,L IYL ,G U O G H．Q u a l i t a t i v e a n a l ys i s o n ad i f f u s i v e p r e d a t o r Ｇp r e y m o d e lw i t ht o x i n s [J ]．M a t h A n a lA p pl ,２０２０,４８６(１):１２３８６８．[６]HU A N G Q H ,WA N G H ,L E W I S M A．T h e i m Ｇp a c t o f e n v i r o n m e n t a l t o x i n s o n p r e d a t o r Ｇp r e y d yn a m Ｇi c s [J ]．J o u r n a l o fT h e o r e t i c a lB i o l o g y ,２０１５,３７８:１２Ｇ３０．[７]C H E N LJ ,S U NJT ,C H E N FD．E x t i n c t i o n i naL o t k a ＧV o l t e r r a c o m p e t i t i v es y s t e m w i t hi m p u l s ea n d t h ee f f e c to ft o x i cs u b s t a n c e s [J ]．A p p l i e d M a t h e Ｇm a t i c a lM o d e l l i n g ,２０１６,４０(３):２０１５Ｇ２０２４．[责任编辑:赵慧霞]S t a b i l i t y A n a l y s i s o naH o l l i n g ＧT a n n e rP r e d a t o r Ｇp r e y Mo d e lw i t hT o x i n s S U N F a n g Ｇju a n (S c h o o l o fM a t h e m a t i c s a n dS t a t i s t i c s ,N o r t h w e s tN o r m a lU n i v e r s i t y,L a n z h o u７３００７０,C h i n a )A b s t r a c t :T h es t a b i l i t y o ft h en o n Ｇn e g a t i v ee q u i l i b r i u m p o i n t so ft h e H o l l i n g ＧT a n n e r p r e d a t o r Ｇp r e y m o d e l u n d e r t h e i n f l u e n c e o f a k i n d o f t o x i nw a s s t u d i e d ．T h e s t a b i l i t y o f t h e n o n Ｇn e g a t i v e e qu i l i b r i u m p o i n t so f t h eH o l l i n g ＧT a n n e r p r e d a t o r Ｇp r e y m o d e l w i t h t o x i n a n d t h e c o r r e s p o n d i n g d i f f u s i o n p r e d a t o r Ｇp r e y m o d e lw a s d i s c u s s e db y u s i n g t h e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n t h e o r y a n d l i n e a r a n a l ys i s ．K e y wo r d s :H o l l i n g ＧT a n n e rP r e d a t o r ＧP r e y m o d e l ;t o x i n s ;s t a b i l i t yC A,e t a l．D i r e c td e t e r m i n a t i o no f l i g h tb e a m s t o p oＧl o g i c a l c h a r g e s u s i n g d i f f r a c t i o n[C]//Q u a n t u mE l e cＧt r o n i c s a n dL a s e rS c i e n c eC o n f e r e n c e２００８,C a l i f o rＧn i a:O S AC o n t i n u u m,２００８:４６Ｇ４９．[１６]王涛,蒲继雄．涡旋光束单缝衍射的理论和实验研究[J]．中国激光,２００９,３６(１１):２９０２Ｇ２９０７．[１７]高福海,陈宝算,蒲继雄,等．拉盖尔Ｇ高斯光束经单缝后的光强分布和螺旋谱[J]．激光与光电子学进展,２０１１,４８:４３Ｇ４９．[１８]谌娟,柯熙政,杨一明．拉盖尔高斯光的衍射和轨道角动量的弥散[J]．光学学报,２０１４(４):２５６Ｇ２６２．[１９]Z HA N G W．E f f e c t o f a t h i no p t i c a lK e r rm e d i u mo n a L a g u e r r eＧG a u s s i a n b e a m a n d t h e a p p l i c a t i o n s．[D]．W a s h i n g t o n:W a s h i n g t o n S t a t e U n i v e r s i t y,２００６．[责任编辑:李㊀岚]S i m u l a t i o no nD i f f r a c t i o nP a t t e r no fL a g u e r r eＧG a u s sD o u b l eＧs l i t B e a m sX U Q u a nＧx u e１,Z H E N GS iＧm i n g２,WA N GT a o２(１．D e p a r t m e n t o fM a t h e m a t i c s a n dN a t u r a l S c i e n c e s,L h a s aT e a c h e r sC o l l e g e,L h a s a８５０００７,C h i n a;２．D e p a r t m e n t o fP h y s i c s,S i c h u a nN o r m a lU n i v e r s i t y,C h e n g d u６１００６８,C h i n a)A b s t r a c t:T h e i n f l u e n c e f a c t o r s o f t h e f r i n g e d i s t r i b u t i o n a n d i n t e n s i t y o f L a g u e r r eＧG a u s s b e a md i f f r a cＧt e d t h r o u g hd o u b l eＧs l i t a r e s t u d i e d．T h e r e s u l t s s h o wt h a t t h e d o u b l eＧs l i t d i f f r a c t i o n p a t t e r n i s a g r o u p o f f r i n g e s p a r a l l e l t o t h e s l i t a n d a l t e r n a t e l y d i s t r i b u t e d i n l i g h t a n ds h a d e,i nw h i c h t w om a i nb r i g h t s t r e a k s a p p e a r i nt h ec e n t r a l z e r oo r d e r,a n dt h e l i g h t i n t e n s i t y o f t h es u bＧb r i g h ts t r e a k sd e c r e a s e s w i t h t h e i n c r e a s e o f t h e f r i n g e o r d e r．T h e d i s t r i b u t i o n o f d i f f r a c t i o n f r i n g e s i s c l o s e l y r e l a t e d t o t o p o l oＧg i c a l c h a r g e,d i f f r a c t i o nd i s t a n c e,t h ew i d t ho f t h e s l i t,t h e d i s t a n c e b e t w e e no n e s l i t a n d a n o t h e r a n d s p o t s i z e．T h e r e s u l t sm a y h a v e p o t e n t i a l a p p l i c a t i o nv a l u e i n t h em e a s u r e m e n t o f t o p o l o g i c a l c h a r g e a n d i n f o r m a t i o n t r a n s m i s s i o no f v o r t e xb e a m s．K e y w o r d s:L a g u e r r eＧG a u s sb e a m s;d o u b l e s l i t s;d i f f r a c t i o n p a t t e r n(上接第１７页)AC l a s s o fM i n i m a l L i n e a rC o d e s f r o mC h a r a c t e r i s t i cF u n c t i o n sHUJ i nＧx i a,J I N W e nＧg a n g,WA N GT i a nＧx i n(S c h o o l o fM a t h e m a t i c s a n dS t a t i s t i c s,N o r t h w e s tN o r m a lU n i v e r s i t y,L a n z h o u７３００７０,C h i n a)A b s t r a c t:B a s e do nt h e m e t h o do f c o n s t r u c t i n g m i n i m a l l i n e a rc o d e s f r o m c h a r a c t e r i s t i c f u n c t i o n s,a c l a s s o fm i n i m a l l i n e a rc o d e sw i t hl o w e rw e i g h tw a sc o n s t r u c t e db y s e l e c t i n g a p p r o p r i a t ed e f i n i t i o n s e t s．T h e r e s u l t s s h o w e d t h a t t h e c o n s t r u c t e d l i n e a r c o d e sw e r em i n i m a l l i n e a r c o d e s t h a t d on o tm e e t t h eA s h i k h m i nＧB a r g c o n d i t i o n,a n dc o u l db eu s e d t od e s i g ns e c r e t s h a r i n g s c h e m e sw i t h g o o da c c e s s s t r u c t u r e s．K e y w o r d s:m i n i m a l l i n e a r c o d e;c h a r a c t e r i s t i c f u n c t i o n;A s h i k h m i nＧB a r g c o n d i t i o n。
