一类带负交叉扩散项二维系统的空间Turing斑图张道祥;赵李鲜;孙光讯;周文;于艳【摘要】考虑一类带负交叉扩散项二维系统的Turing斑图生成及其选择问题.先利用稳定性理论和Hopf分支理论得到Turing斑图的存在区域,再利用多重尺度分析法推导系统的振幅方程,并给出Turing斑图的选择结果.最后考虑一个具有比率依赖的Holling-Tanner捕食模型生态系统,利用MATLAB软件对该模型的斑图生成及选择结果进行数值模拟,得到了包括点状、条状以及二者共存等不同类型的Turing斑图.%We considered the generation and selection of Turing pattern of a class of two dimensional system with negative cross-diffusion.Firstly,the existence region of Turing pattern was obtained by using stability theory and Hopf bifurcation theory.Secondly,the amplitude equations of the system were derived by using multi-scales analysis method,and the selection result of Turing pattern was given.Finally,we considered a specific ecosystem with a ratio dependent Holling-Tanner predator-prey model.MATLAB software was used to simulate the pattern generation and selection results of the model,and the different types of Turing patterns,such as dot,strip and the coexistence of the two types were obtained.【期刊名称】《吉林大学学报（理学版）》【年(卷),期】2017(055)003【总页数】10页(P537-546)【关键词】二维系统;负交叉扩散系数;振幅方程;Turing斑图【作者】张道祥;赵李鲜;孙光讯;周文;于艳【作者单位】安徽师范大学数学计算机科学学院,安徽芜湖 241003;赫尔辛基大学数学与统计学院,芬兰赫尔辛基 00014;安徽师范大学数学计算机科学学院,安徽芜湖 241003;安徽师范大学数学计算机科学学院,安徽芜湖 241003;安徽师范大学数学计算机科学学院,安徽芜湖 241003;安徽师范大学数学计算机科学学院,安徽芜湖 241003【正文语种】中文【中图分类】O175.21考虑如下二维系统:其中参数d11,d12,d21,d22均为正常数, d11,d22称为自扩散系数, d12,-d21称为交叉扩散系数. 目前, 关于带自扩散与交叉扩散系统的研究已取得很多成果[1-16]. 文献[1]研究了一类带群体行为的捕食-食饵模型中交叉扩散引起的Turing不稳定性, 并得到了一系列不同类型的Turing斑图；文献[2]研究了一类具有比率依赖捕食-食饵模型空间斑图的存在与不存在性; 文献[3]研究了FitzHugh-Nagumo模型的模式生成问题, 通过推导系统的振幅方程做出斑图选择, 得到了不同类型的Turing斑图, 包括点状斑图、点条混合斑图、复杂斑图和Z字斑图等; 文献[4]研究了具有自扩散的捕食-食饵模型中, 捕食者同类残杀效应对Turing斑图生成问题的影响; 文献[5]研究了具有自扩散的传染病模型的动力学形态. 上述研究所带的交叉扩散系数均为正数, 其生物学意义为一个种群总是从另一个种群的高密度区域向低密度区域移动. 以二维捕食-食饵模型为例, 捕食者为躲避成群的食饵伤害, 将向低密度食饵方向移动, 如狮子与野水牛组成的捕食-食饵系统. 但在自然界中, 一些猛兽群体总会积极追捕特定的食饵, 如老虎追捕鹿群, 狼追捕羊群, 即捕食者向食饵的高密度区域移动, 这种现象在模型中表现为交叉扩散系数为负数. 目前, 关于带负交叉扩散系数的系统Turing斑图行为在生态模型中的研究尚未见文献报道. 本文考虑一类带负交叉扩散系数的一般二维模型的Turing空间斑图生成与选择问题. 假设系统(1)有唯一的平衡点(u*,v*), 即f(u*,v*)=g(u*,v*)=0. 为了研究Turing斑图的生成问题, 首先, 考虑系统(1)对应的常微分方程:系统(2)在平衡点(u*,v*)处的Jacobi矩阵为通过稳定性分析知, 当平衡点(u*,v*)满足时, 系统(2)在平衡点(u*,v*)局部稳定, 其中tr J和det J分别表示J的迹和行列式. 其次, 考虑系统(1)平衡点(u*,v*)的Turing不稳定性. 在(u*,v*)处引入如下小扰动: 其中U(x,y,t)=U0eλtei(kxx+kyy), V(x,y,t)=V0eλtei(kxx+kyy), λ表示时间t处的扰动增长率, kx,ky为相应的振幅, k=表示波长, U0,V0为两个实数. 将式(4)代入系统(1), 可得如下特征方程:其中:通过计算知, 特征值λk有如下形式:其中trk和δk分别表示J-k2D-λI的迹和行列式:在条件(3)成立的情况下, 显然有trk=tr J-k2(d11+d22)<0, 因此只有存在某些k 使得δk<0, 系统(1)的平衡点(u*,v*)才会失稳. 求δk关于k2的极小值, 得到最危险模数kT满足将其代入δk可得Turing不稳定的条件为由条件(3),(9), 可得Turing斑图的存在区域.注1 利用稳定性理论知识, 只能得到Turing斑图的存在空间, 而Turing斑图的类型仍无法确定.本文利用多重尺度分析法推导系统(1)的振幅方程, 并得到Turing斑图的类型. 文献[17]已给出了振幅方程的相关理论, 本文仅给出主要结论.令为方便, 本文仍然使用原变量. 系统(1)在平衡点(u*,v*)处的Taylor展开式为系统(10)可表示为其中:这里c取为控制参数, cT为对应的临界值且p=, q=满足方程:其中为LT的伴随算子.在计算中, 本文只分析控制参数在临界值附近的行为, 因此将控制参数c展成如下形式:其中ε为一个小参数. 同理, 将U和N也按ε展开:其中: c.c.表示复数共轭项;u0=, v0=,u1=,v1=,u*=,v*=,h1=-fuu-fvv-pfuv, h2=-guu-gvv-pguv.利用中心流形理论推导可得如下振幅方程[17]:其中: μ表示到临界值的归一化距离; τ0表示松弛时间. 计算可得系统(13)中系数τ0,μ,h,g1,g2的表达式分别为g1=, g2=,其中:考虑一类具比率依赖的Holling-Tanner捕食-食饵模型. 在系统(1)中取f(u,v)=u(1-u)-buv/(u+v), g(u,v)=cv(1-v/u), 其中u和v分别表示食饵和捕食者的密度. 易知系统(1)有一个常稳态解((2-b)/2,(2-b)/2), b<2. 简单计算得det J=(2-b)c/2>0成立, tr J=3b/4-1-c. 则由条件(3)知, 当b<min{2,4(c+1)/3}时, 系统(2)在((2-b)/2,(2-b)/2)处稳定. 在系统(1)中,δk=(d11d22+d12d21)k4+[(1-3b/4)d22+cd11+bd21/4+cd12]k2+(2-b)c/2. 由于当k=0, Im(λk)≠0, Re(λk)=0时, 系统(2)出现Hopf分支, 此时Hopf分支曲线为当k=kT, Im(λk)=0, Re(λk)=0时, 系统(2)出现Turing分支, 此时因此Turing 分支参数c的临界值cT满足以下Turing分支曲线方程:根据Hopf分支曲线和Turing分支曲线, 可得Hopf分支区域和Turing存在区域, 如图1所示, 其中: b=1.7; d11=0.02; d22=6; d12=0.1. 区域D11位于Turing分支曲线下方及Hopf分支曲线右方, 当参数位于该区域时会出现Turing失稳, 从而出现Turing斑图, 称D11为Turing空间. 当参数位于D12区域时, Hopf不稳定, 但Turing稳定, 称为Hopf空间. 当参数位于D13区域时, Hopf和Turing均不稳定, 称为Hopf-Turing空间.方程组(13)的每个振幅均可分解为模及一个相应的相角ψj的乘积, 将Aj=ρjejφj代入方程组(13)并分离实部和虚部, 可得如下方程:其中φ=φ1+φ2+φ3. 系统(16)有下列4种类型的解[17]:1) 定态解(0): ρ1=ρ2=ρ3=0, 当μ<μ2=0时, 定态解稳定, 当μ>μ2时, 定态解不稳定;2) 条状斑图(S): ρ1=, ρ2=ρ3=0, 当μ>μ3=h2g1/(g2-g1)2时, 该解稳定, 否则不稳定;3) 六边形斑图(H0,Hπ): ρ1=ρ2=ρ3=. 当μ>μ1=时, 该解存在, 当μ<μ4=h2时, 解ρ+=稳定, 而解ρ-=一直不稳定;4) 混合斑图: ρ1=, ρ2=ρ3=, 当时该解存在.负交叉扩散项系数-d21对系统Turing不稳定性的影响如图2所示, 其中b=1.7, c=2, d11=0.02, d22=6, d12=0.1. 由于不影响定性结果, 为方便, 下面将直接讨论正数d21. 固定参数b=1.7, d11=0.02, d22=6, d12=0.1, 当d21=2.2时, 无论k取何值, Re(λ)均为负值, 而当d21=1.885 8, k=0.986 0时, Re(λ)=0. 根据Turing 分支理论可知, Turing不稳定出现的一个必要条件是存在某个波数k, 使得Re(λ)>0, 因此要想系统出现Turing不稳定现象, 必须限定扩散系数-d21>-1.885 8(即d21<1.885 8). 参数c的变化对Turing不稳定的影响如图3所示, 其中参数b=1.7, d21=1, d11=0.02, d22=6, d12=0.1. 由图3可见：当c=4.3时, 由于Re(λ)<0, 故不可能出现Turing不稳定现象; 当c<4.087 3时, 存在Re(λ)>0, 故当c=3.5, c=2时, 出现Turing不稳定现象, 此时临界值cT=4.087 3.下面利用MATLAB软件数值模拟Holling-Tanner系统的Turing斑图选择. 所有的数值模拟均采用齐次Neumann边界条件, 即在边界上种群的进出流量为0. 所有的数值模拟均在离散格子200×200内进行, 两个格子之间的距离由晶格常数Δ h确定, 取Δ h=1, 时间间隔Δ t=0.01. 设参数值b=1.7, d11=0.02, d22=6,d12=0.1, d21=1, 变化c的值, 则可得参数值μ1=-0.001 5, μ2=0, μ3=0.026 3, μ4=0.107 3. 种群u在不同时刻的空间斑图分别如图4～图7所示. 图4中c=3.5, 4个子图迭代步数分别为0,200 000,100 000,1 400 000. 由图4可见: (A)中颜色条数值基本不变, 初值选取为平衡解加上一个随机扰动; (B)中出现了类点状斑图; (C)中出现条状斑图; (D)中条状斑图占据整个区域, 且系统的动力学行为不再发生变化. 图5中c=3.89, 4个子图迭代步数分别为0,50 000,250 000,950 000. 由图5可见, 其中关于食饵的分布条状斑图与Hπ斑图(也称点状斑图)最终共存, 且条状斑图优于Hπ斑图. 此外, μ满足μ3<μ=0.048 3<μ4, 因此数值模拟的结果与理论分析相符. 两种斑图同时存在的双稳现象也称为别针效应[7]. 图6中c=3.94, 4个子图迭代步数分别为0,200 000,500 000,1 800 000. 由图6可见, 条状斑图与Hπ斑图最终共存, 但Hπ斑图优于条状斑图. 同理, μ满足μ3<μ=0.048 3<μ4, 数值模拟的结果与理论分析相符. 由图7可见, 当c增大为4.06接近于临界值cT=4.087 3时, Hπ斑图最终占据整个区域, 此时μ2<μ=0.006 7<μ3, 数值模拟结果与理论分析相符.当b=1.7, c=2, d11=0.02, d22=6, d12=0.1, 变化d21时得到的Turing斑图分别如图8～图10所示. 图8和图9分别为当d21=1.4,1.6时, 食饵u的时间演化图. 由图8和图9可见: 随着时间的演化, 最终点状斑图与条状斑图同时存在, 但图8中条状斑图占优; 而当d21的值增大至1.6时, 点状斑图会占优(图9(D)). 由图10可见, 当d21的值增大1.85趋近于临界值1.885 8时, 最终规则的点状斑图占满整个空间. 该结果与自然界的生态现象相符, 这是因为当d21越趋于临界值, 捕食者扩散至食饵过程越快, 捕食者追捕食饵也越主动, 对应于自然界凶猛的捕食者如老虎, 该类动物一般不喜欢群居, 在空间分布上显示为点状.综上, 本文通过研究自然界中猛兽群体的追捕现象, 给出了一类带有负交叉扩散系数的一般二维模型, 并对一类具比率依赖的Holling-Tanner捕食-食饵模型进行了理论和数值研究, 所得结果表明:1) 负交叉扩散项系数-d21影响了Turing斑图的生成与选择, 在其他参数固定的情况下, -d21必须大于某个临界值时, 系统才会出现Turing不稳定现象.2) 理论和数值结果表明, 带比率依赖的Holling-Tanner系统具有丰富的动力学行为. 随着负交叉扩散系数的变化, 系统展现了不同类型的斑图结构, 如点状、条状以及二者共存的斑图.【相关文献】[1] TANG Xiaosong, SONG Yongli. 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