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第八章 数学形态学及其应用

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数学形态学及其应用

数学形态学及其应用

数学形态学及其应用数学形态学及其应用数学形态学是一种数学方法和理论，最早由法国数学家乌戈尔·乔尔丹（Ugo Cerletti）在20世纪60年代提出。

它基于拓扑学、代数学和概率论等学科的基本原理，研究对象是图像和信号等离散数据的形状和结构，并利用数学统计的方法对它们进行分析和处理。

随着计算机技术的发展和应用需求的增加，数学形态学已经成为图像处理、模式识别和计算机视觉等领域中的重要工具。

数学形态学的基本概念包括结构元素、腐蚀、膨胀、开运算和闭运算等。

结构元素是一个小的图像或信号，用来描述和刻画对象的特征。

腐蚀和膨胀是两种基本的形态学操作，它们可以对图像或信号进行形状的变化和结构的调整。

开运算和闭运算是由腐蚀和膨胀组合而成的操作，用来改善图像的质量和特征。

在数学形态学的基础上，还发展了很多衍生的操作和算法，如基本重建、灰度形态学和形态学滤波等。

数学形态学在图像处理中的应用非常广泛。

例如，在图像分割中，可以利用数学形态学的方法提取目标的边界和内部结构；在图像增强中，可以利用形态学处理方法去除图像中的噪声和不规则部分；在模式识别中，可以利用形态学算法提取和描述对象的特征；在计算机视觉中，可以利用形态学方法实现图像的匹配和配准等等。

数学形态学的应用不仅仅局限在图像领域，它还可以应用于信号处理、文本分析、医学影像等其他领域。

以图像分割为例，数学形态学可以通过结构元素的逐步腐蚀或膨胀操作来准确地提取目标的轮廓。

首先，选择合适的结构元素，使其大小和形状适应目标的尺寸和形态特征。

然后，通过不断的腐蚀操作，可以逐渐消除目标周围的无关细节，最终得到目标的边界。

类似地，通过不断的膨胀操作，可以填补和连接目标内部的空洞，并得到目标的内部结构。

通过这种方式，数学形态学可以实现对复杂图像的准确分割，为图像识别和分析提供了可靠的基础。

总之，数学形态学是一种重要的数学方法和理论，它在图像处理、模式识别和计算机视觉等领域中具有广泛的应用和深远的意义。

数学形态学在生物医学中的应用

数学形态学在生物医学中的应用

数学形态学在生物医学中的应用1数学形态学的理论架构1.1数学理论数学形态学的数学基础具有单向化性质，其数学应用基础为集合论和信息论，主要探讨图形之间的等列变换。

数学形态学具备完整的数学体系之后，形态学的图像分析处理、形态滤波器的特性分析和系统设计就有了简便和通用的手段。

数学形态学的应用可以有效简化图像数据的处理流程，保持它们最本质的数据状态。

可以说数学理论与图像形态分析的结合为生物医学中各种临床病例的研究提供了手段，也为CT和核磁图像分析、检测、病理判断提供了转化媒介。

1.2数学原理数学形态学是由一组形态学中的不同代数分布子组成的。

其运算流程主要包括膨胀、腐蚀、开启和闭合它们在二值图像和灰度图像中的分布各有特点。

可以说用数学代数理论和形态学图像元素集合理论分析图像之中的物体形态变化趋势既能够实现不同图像之间的线性运算、核心算法、也能分析出以图像为数学呈现媒介事物的物理特性、化学特性，对于探究未知事物或元素的化学构成、原子、分子排列特性有着重要作用。

而在生物医学上以图像为媒介进行形态分析的病理、化学判断有着更明显的作用，能够让医学工作者更为明显判断出生物体、病原体、细菌、微生物的内部组织架构和其未来变化趋向。

2数学形态学在生物医学领域中的运用2.1提供了生物图像分析的途径从目前生物医学的发展状态来看，数学形态学在生物医学工业应用最为广泛的就是针对于生物个体、生命体、病原体的图像进行特性分析。

图像是连接科学分析与物体表现最直接的信息传播媒介，对生物医学而言，对于未知病理的病原体、细菌、微生物的进行化学分析和定量、定性最直接的手段就是对各种病原体进行图像测定，通过分析其图像的呈现形态来判定其变化趋势和运动状态，进而分析出其化学、物理特性。

可以说数学形态学的产生丰富了生物医学的研究手段，为生物医学在基因、分子构成、排列组合领域进行纳米级研究提供了新方向。

2.2运用算法预判病理变化趋势数学形态学中算法引用和定性分析为生物医学就病理状态还原和病症治愈理论解决提供了研究渠道。

第八章数学形态学及其应用

第八章数学形态学及其应用

BOOL CMorphPro: : MakeErosion(int *nMask, int nMaskLen,
unsigned char *pOut, unsigned char *pIn, int nWidthBytes, int nWidth, int nHeight)
{
//若传入的图像数据为空， 将无法完成操作， 直接返回 if(pOut = = NULL || pIn = = NULL) return FALSE; //定义变量 int x, y, k; unsigned char Mark; //执行腐蚀操作
的结果与X被SV腐蚀的结果是不同的。
第八章 数学形态学及其应用
原点不包含在结构元素中时的腐蚀运算
A B A
(a)
A B A
(b)
(c)
?
(a)
(b)
(c)
第八章 数学形态学及其应用 利用腐蚀运算的定义式可以直接设计腐蚀变换的算法。但 有时为了更方便，常使用腐蚀的另一种表达式，即
XS {s X | s S}
XS {x | S x X }
（8-2）
式(8-2)表明，X用S腐蚀的结果是所有使 S平移x后仍在X中的x的 集合。换句话说，用S来腐蚀X得到的集合是S完全包括在X中时S 的原点位置的集合。上式也可以帮助我们借助相关概念来理解腐
蚀操作。
第八章 数学形态学及其应用 腐蚀在数学形态学运算中的作用是消除物体边界点。如果结构元 素取3×3的像素块，腐蚀将使物体的边界沿周边减少一个像素。
// unsigned char*pOut输出图像数据指针 // unsigned char*pIn输入图像数据指针 // intnWidthBytes图像宽度（以字节表示） // intnWidth图像宽度（以像素表示）

2019年第8讲图像处理的数学形态方法.ppt

2019年第8讲图像处理的数学形态方法.ppt

对于示例，图像以左上角位置为(0,0)，结构元素以 “+”位置为参考点(0,0)，则X和B分别表示为：
X (2,2), (2,3), (2,4), (3,3), (4,3), (5,3)
B (0,0), (1,0), (1,0), (0,1), (0,1)
0 1 2 3 4 5 6 7 -1 0 1
01234567 0 1 2 3 4 5 6 7
(1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (3,3), (4,3) (3,2), (3,3), (3,4), (4,3), (5,3), (6,3) (2,1), (2,2), (2,3), (3,2), (4,2), (5,2) (2,3), (2,4), (2,5), (3,4), (4,4), (5,4)}
性质4 膨胀运算和腐蚀运算是增长性的： X Y
(X B) (Y B) 性质5 膨胀运算具有外延性，而腐蚀运算非外延性：
外延性定义： M.O.(X ) X 性质6 膨胀运算和腐蚀运算不具有同前性：
同前性定义： M.O.n(X ) M.O.(X )
22
基本的形态变换
➢ 复合形态变换： 开启运算(Opening)和闭合运算(Closing)
2
图像处理的数学形态方法
基本思想：
用一定形态的结构元素去度量和提取图像中的对 应形状以达到对图像分析和识别的目的。
小图像，如圆形、正 方形、线段的集合
结构元素 (探针)
移动、描述
集合 图像目标
3
8.1 数…
2. 图像空间的集合表示 对于n维图像，可用n维欧式空间的E(n)中的一个集 合来表示。E(n)的全体集合用R来表示。 假设要考察的图像是R中的一个集合X，而X的补 集则表示图像的背景。 二维图像、三维图像、二值图像或灰度图像都可 以用集合来表示，只是表示的维数不同而已。

第八章(1)-数字形态学及其应用

第八章(1)-数字形态学及其应用

b
A
a
a∈ A b∉ A
结构元素(Structure Element) 设有两幅图像A和B，若A是被处理的对象，B 是用来处理A的，则称B为结构元素。
7
第八章 数字形态学及其应用
交集、 并集和补集
AI B
AU B
AC
A B A
B A
B
A I B = {a a ∈ A且 a ∈ B}
A U B = {a a ∈ A或 a ∈ B} AC = {a a ∉ A}
2
第八章 数字形态学及其应用
利用数学形态学进行图像分析的基本步骤如下： 1、提出所要描述的物体几何结构模式，即提取物 体的几何结构持征； 2、根据该模式选择相应的结构元素，结构元素应该 2 简单而对模式具有最强的表现力； 3、用选定的结构元对图像进行击中与否(HMT)变 换，便可得到比原始图像显著突出物体特征信息的 图像。如果赋予相应的变量．则可得到该结构模式 的定量描述； 4、经过形态变换后的图像突出需要的信息，此时 就可以方便地提取信息。
8
第八章 数字形态学及其应用
差集
A − B = {x x ∈ A, x ∉ B} = A I B c
A B
9
第八章 数字形态学及其应用
平移转换：设A是两个二维集合，A中的元素是 定义 x = ( x1 , x2 )
a = (a1 , a2 )
则： ( A) x = c c = a + x, for a ∈ A
4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6
b∈B
0 1 2 3 4 5 6
(a) 图像X与结构元素B 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 (c)
(b) ( X 膨胀的等价定义形式： X ⊕ B = U ( X)b2b ) 4 3 2 1

第八章数学形态学原理

第八章数学形态学原理
对于图像A，点a在A区域内，则a是A的元素，记为a∈A。
b a
A (a)
B
A
(b)
2. 交集、 并集和补集
A∩B A
B
A∪B
B A
AC
B A
3. 被处理的图像称为目标图像。为了确定目标图像的结构， 必须逐个考察与检验图像各部分之间的关系，最后得到一个 各部分之间关系的集合。 在考察目标图像各部分之间的关系时，需要设计一种 “结构元素”。在图像中不断移动结构元素，就可以考察图 像 之间各部分的关系。
(X○S)●S或(X●S)○S等。
形态学滤波示意图
{X [ (S ) S ] S } S(X S )● S
8.1.5 细化
在文字识别、地质构造识别、工业零件形状识别或图像 理解中，先对被处理的图像进行细化有助于突出形状特点和 减少冗余信息量。
将图像沿其中心轴线将其细化成一个像素宽的线条。 步骤： 1. 循环读取二值图像所有像素F(i,j); 2.定义函数：
Else
Picture2.PSet (i, j), RGB(0, 0, 0)
End If
Next i
Next j
8.1.3 开、闭运算
1. 膨胀和腐蚀不互为逆运算，可以级连结合使用，构造出
形态学运算族，它由膨胀和腐蚀两个运算的复合与集合操作 组合成的所有运算构成。
例如，可先对图像进行腐蚀然后膨胀其结果，称为 开运算,或先对图像进行膨胀然后腐蚀其结果,称为闭运算。 开运算和闭运算是形态学运算族中两个最为重要的组合运算。

程序演示
For x = -n \ 2 To n \ 2
If pic(i + x, j + y, 0) = 0 Then m = 1

数学形态学发展及应用

摘要摘要数学形态学兴起于20世纪60年代，是一种新型的非线性算子，它着重研究图像的几何结构，由于视觉信息理解都是基于对象几何特性的，因此它更适合视觉信息的处理和分析，这类相互作用由两种基本运算腐蚀和膨胀及它们的组合运算来完成。

为了跟踪国际前沿，发展我国的非线性信号处理技术，进一步研究形态学理论和应用技术及非常必要而有实际意义的。

本文首先深入地讨论了数学形态学的基本理论，详细介绍了数学形态学的起源、发展；从二值形态学推广到灰度形态学，并分析和介绍了数学形态学在图像处理中的具体应用,并对数学形态学的现状和未来发展方向进行总结。

具体论述步骤分为以下几个方面：1>学习和总结了数学形态学的基本理论。

2>研究了二值形态学、灰度形态学、彩色形态学的算法理论。

3>列举并总结数学形态学在图像分割、边缘检测及图像滤波等方面的应用。

4>对两种图像的边缘检测进行简单的MATLAB实现。

5>对数学形态学的现状及发展方向进行总结和展望。

关键词：数学形态学二值图像灰度图像彩色形态学边缘检测图像分割形态滤波ABSTRACTABSTRACTMathematics morphology rose in the sixties of the 20th century, it was a kind of new-type non-linear operator.It studies the geometry structure of the image,because vision information is comprehended based on geometry characteristics of the target,so it is suitable for the information processing and analyse of the vision.This kind of interaction is accomplished by two kinds of basic operation; erosion and dilation. In order to follow the international front and develop the non-linear signal processing technology of our country, study the morphology theory and application technology are very necessary and have actual meaning further.Above all in this paper the basic theory of mathematical morphology is discussed,then we introduce origin of mathematics morphology from binary morphology to gray morphology and extensively study lts diffent operators and quality. Its application in image processing is analysed and introduced as well. Then it tally up the present condition and develop direction of the mathematics morphology. Concrete discuss a step to is divided into a few aspects as follows：1>Study and summary the basic theories of mathematics morphology.2>Investigate the theories of binary morphology. grayscale morphology and color morphology.3>Enumerate and tally up the applied in image segmentation. edge detection and morphological filter.4>Carry out the edge detection of two kinds of image with matlab.5>Summary and outlook the present condition and developing direction of mathematics morphology.Keywords：Mathematics morphology. Binary image. Grayscale inage. Color morphology. Edge detection. Image segmentation. Morphological filter.目录i目录第一章绪论 (1)1.1 引言 (1)1.2 数学形态学发展简史 (1)第二章数学形态学基本理论 (5)2.1 引言 (5)2.2 二值形态学 (5)2.2.1 二值腐蚀 (5)2.2.2 二值膨胀 (6)2.2.3 二值开运算 (7)2.2.4 二值闭运算 (8)2.3 灰值形态学 (9)2.3.1 灰值腐蚀 (9)2.3.2 灰值膨胀 (10)2.3.3 灰值开运算 (11)2.3.4 灰值闭运算 (12)2.3.5 灰值形态学梯度 (14)2.4 彩色形态学 (15)2.4.1 彩色形态学简介 (15)2.4.2 分量法 (16)2.4.3 HLS法 (16)2.4.5 彩色形态学总结 (18)2.5 本章小结 (18)第三章数学形态学的应用 (20)3.1 引言 (20)3.1.1 数学形态学在图像处理中的主要应用 (20)3.1.2 图像边缘检测 (20)ii 数学形态学的发展及应用研究3.1.3 图像分割 (21)3.1.4 噪声滤除 (22)3.2 数学形态学应用于图像边缘检测 (22)3.2.1 图像边缘定义 (22)3.2.2 基本的形态学边缘检测算子 (22)3.2.3 抗噪型形态学边缘检测因子 (23)3.2.4 基于多结构元的图像边缘检测 (24)3.2.5 基于多尺度的形态学边缘检测 (27)3.3数学形态学应用于图像分割 (28)3.3.1 图像分割定义 (28)3.3.2 并行边界分割技术 (30)3.3.3 串行边界分割技术 (30)3.3.4 并行区域分割技术 (31)3.3.5 串行区域分割技术 (32)3.4 基于分水岭变换的彩色细胞图像分割 (33)3.4.1 k-均值聚类和分水岭变换 (33)3.4.2 分割方法统筹 (33)3.4.3 图解细胞均值聚类 (34)3.4.4 图解细胞分割过程 (36)3.4.5 结果与讨论 (38)3.5 数学形态学应用于图像噪声滤波 (38)3.5.1 滤波基本原理 (38)3.5.2 对噪声污染的颗粒图像滤波 (39)3.5.3 对差、并噪声同存图象的滤波 (40)3.5.4 总结 (42)3.6 本章小结 (42)第四章两种图像边缘检测的MATLAB仿真实现 (44)4.1结构元素的选择 (44)4.2 算法实现 (45)4.3 MATLAB仿真实验 (46)目录iii4.4 图像的滤波及边缘检测的MATLAB实现 (48)第五章总结与展望 (56)5.1数学形态学学习总结 (56)5.2 数学形态学发展过程中存在的问题 (57)5.3 数学形态学发展方向 (57)致谢 (58)参考文献 (60)iv 数学形态学的发展及应用研究第一章绪论 1第一章绪论1.1 引言1965年法国巴黎地质学家G.Matheron和J.Serra创立数学形态学理论,这是一门新兴的图象分析科学。

数学形态学在图像分析中的应用

数学形态学在图像分析中的应用随着计算机技术的不断发展和图像数据的快速增长，图像处理和分析已成为热门研究领域。

图像分析是指对数字图像进行各种操作和处理以获取对象的形状、颜色和空间位置等信息的过程。

在这个过程中，数学形态学被广泛应用于图像分析和处理，它是过去几十年中发展出来的一种重要数学工具。

一、数学形态学概述数学形态学是研究对象的形状与结构的数学学科，是一种基于集合论的数学方法。

它主要研究图像的形状、特征和结构，并在此基础上进行图像的分析和处理。

数学形态学利用集合论中的一些概念，如内核、开运算、闭运算、膨胀和腐蚀等来进行形态学分析和处理。

二、 1. 边缘检测数学形态学被广泛应用于图像边缘检测中。

传统的边缘检测方法主要基于梯度计算，这种方法容易受到噪声的影响，从而产生虚假的边缘。

而数学形态学基于形态学变换，通过膨胀和腐蚀操作可以更准确地检测到目标的边缘。

2. 形态学分割形态学分割是一种重要的图像分割方法，它基于数学形态学的思想，根据不同形状的结构特征对图像进行分割。

此方法对于图像噪声的鲁棒性很高，可以用于复杂图像的分割。

3. 形态学滤波形态学滤波是一种常用的图像降噪方法，它可以有效地滤除图像中的噪声。

在形态学滤波中，常用的操作包括膨胀和腐蚀。

这种方法不仅可以消除噪声，还可以改善图像细节。

4. 形态学骨架提取形态学骨架提取是一种用于提取目标的骨架特征的方法。

通过对目标进行开运算和腐蚀操作，可以获取目标的骨架数据。

在医学图像分析、物体识别等方面具有重要应用价值。

5. 形状分析形态学分析可以对图像进行形状分析，主要是通过测量目标的面积、周长和形态因子来识别对象和进行分类。

形态学分析可以用于医学图像分析、生物学、遥感图像分析等领域。

6. 形态学量化形态学量化是指用数学形态学来量化目标特征的方法。

主要是通过计算目标的几何属性，如大小、形状等来描述对象。

这种方法可以应用于图像检索、物体识别等领域。

三、数学形态学的未来发展随着计算机技术的不断发展和图像数据的快速增长，数学形态学在图像处理和分析中的应用前景十分广阔。

数学形态学及应用

p 3 p 2 p 9
p4 p 5
p1 p 6
p8 p 7
（2） 如果p1=1(即黑点)时，下面4个条件同时满足，则删
除p1(p1=0)： ① 2≤N(p1)≤6，其中N(p1)是p1的非零邻点的个数 ② S(p1) = 1，其中S(p1)是以p2，p3，p4，…，p9为序时
这些点的值从0到1变化的次数
腐蚀运算的示例
*
(a)图象 X
(b)结构元素 S
(c )腐蚀结果
c图中黑色部分给出了腐蚀结果。 由图可见，腐蚀将图像（区域）收缩小了。
二值图像的腐蚀、膨胀结果
E1=3*3方形结构单元
原图
E1膨胀后图像
E1腐蚀后图像
三、膨胀和腐蚀的结合使用
• 开运算：先对图像进行腐蚀，然后膨胀其结 果； • 闭运算：先对图像进行膨胀，然后腐蚀其结 果 ———应用同一结构元素
3、数学基础——集合论 4、基本运算： 膨胀（或扩张）、腐蚀（或侵蚀）、开启、 闭合 5、形态学的主要应用：
边界提取、区域填充、连通分量的提取、凸壳、 细化、粗化等。形态学图像处理的应用可以简化图 像数据，保持它们基本的形状特性，并除去不相干 的结构
二、基本符号和术语 1. 元素和集合
把一幅图像称为一个集合
XS {x | S x X }
腐蚀的作用
1.腐蚀在数学形态学运算中的作用是消除物体边界
点。
2.如果结构元素取3×3的像素块，腐蚀将使物体的
边界沿周边减少一个像素。
3.腐蚀可以把小于结构元素的物体(毛刺、小凸起)去
除，这样选取不同大小的结构元素，就可以在原图
像中去掉不同大小的物体。
4.如果两个物体之间有细小的连通，那么当结构元

数学形态学的应用几种原理

数学形态学的应用几种原理1. 数学形态学介绍数学形态学是一种数学理论和方法，它广泛应用于图像处理、模式识别、信号处理、计算机视觉等领域。

数学形态学主要关注图像和信号的几何结构及其形状变化，通过对几何形态学性质进行数学建模和分析，在图像处理和特征提取等方面具有广泛的应用价值。

2. 数学形态学的基本原理数学形态学的基本原理主要包括膨胀和腐蚀两个操作，以及它们的组合运算。

下面分别介绍这几种基本原理的应用。

2.1 膨胀操作•膨胀操作是一种图像形态学操作，它可以增大图像的区域和边界。

•膨胀操作可以应用于边缘检测、形态特征提取等方面，通过增大目标区域的形态特征，使得图像中的目标更加明显。

2.2 腐蚀操作•腐蚀操作是一种图像形态学操作，它可以减小图像的区域和边界。

•腐蚀操作可以应用于噪音去除、边缘检测等方面，通过减小目标区域的形态特征，使得图像中的目标更加清晰。

2.3 开运算•开运算是一种腐蚀操作后再进行膨胀操作的组合运算。

•开运算可以应用于去除图像中的小噪点、提取连通区域等方面，通过先腐蚀去除小的干扰区域，再膨胀找回目标区域。

2.4 闭运算•闭运算是一种膨胀操作后再进行腐蚀操作的组合运算。

•闭运算可以应用于填充孔洞、平滑边缘等方面，通过先膨胀填充孔洞，再腐蚀平滑边缘。

3. 数学形态学应用案例3.1 图像分割•数学形态学可以应用于图像分割任务。

•利用膨胀和腐蚀操作的组合，可以通过寻找目标区域的边界，将图像分割为多个连通区域。

3.2 边缘检测•数学形态学可以应用于图像边缘检测。

•利用膨胀和腐蚀操作的组合，可以凸显图像中的边缘结构，从而实现边缘检测的目的。

3.3 特征提取•数学形态学可以应用于图像特征提取。

•利用开运算和闭运算的组合，可以去除图像中的噪音，并提取目标区域的形态特征。

4. 总结数学形态学作为一种重要的图像处理方法，在图像分割、边缘检测和特征提取等方面具有广泛的应用。

通过膨胀和腐蚀操作的组合运算，数学形态学能够提取图像和信号的几何结构和形态特征，为图像处理和模式识别提供了有效的数学工具。

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由于开、闭运算是在腐蚀和膨胀运算的基础上定义的， 根据
腐蚀和膨胀运算的代数性质，我们不难得到下面的性质。
1） 对偶性 (XC○S)C = X●S ， (XC●S)C = X○S 2）扩展性（收缩性）
X X●S X○S
即开运算恒使原图像缩小，而闭运算恒使原图像扩大
3） 单调性
Y， 则 如果X
设有一幅图象 B，将 B中所有元素的坐标取反，即令 (x ， y)变成(-x，-y)，所有这些点构成的新的集合称为B的对称集， 记作Bv。
4. 结构元素
设有两幅图象 B，A。若 A是被处理的对象，而B是用 来处理A的，则称B为结构元素，又被形象地称做刷子。结 构元素通常都是一些比较小的图象
6.2 二值形态学
( f s)(t, m) min{ f (t x, m y) s( x, y) | t x, m y Df , x y Ds }
式中，Df和Db分别是f和b的定义域。 这里限制 (t+x) 和 (m+y) 在 f 的定义域之内，类似于二值 腐蚀定义中要求结构元素完全包括在被腐蚀集合中。
开运算去掉了凸角 (a) 结构元素S1和S2；(b) X○S1；(c) X○S2
结论： 我们可以得到关于开运算的几点结论： （１）开运算能够除去孤立的小点，毛刺和小桥，而总的位 置和形状不便。
（２）开运算是一个基于几何运算的滤波器。
（３）结构元素大小的不同将导致滤波效果的不同。 （４）不同的结构元素的选择导致了不同的分割，即提取出 不同的特征。
大为S+x，这就是膨胀运算，记为X S。若用集合语言，
它的定义为 X } S = {x| S+x∪x≠
图中X是被处理的对象，B是结构元素，对于任意一个在 阴影部分的点a，Ba击中X，所以X被B膨胀的结果就是那个阴 影部分。阴影部分包括X的所有范围，就象X膨胀了一圈似的， 这就是为什么叫膨胀的原因。
这个结构元素可分解为值一个为l的5元素行矩阵和一个值为l的五元素列矩阵。

1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
6.2.4 开运算与闭运算 １．开运算 先腐蚀后膨胀称为开
对图像X及结构元素S，用符号X○S表示S对图像X作开运算
XOS ( X S ) S
开运算可看作将b贴着f 的下沿从一端滚到另一端。对所 有比b的直径小的山峰其高度和尖锐度都减弱了。 开运算操作 消除与结构元素相比尺寸较小的亮细节，而保持图像整体灰度 值和大的亮区域基本不受影响。 腐蚀去除了小的亮细节并同 时减弱了图像亮度，膨胀增加了图像亮度，但又不重新引入前 面去除的细节。 闭运算可看作将b贴着f 的上沿从一端滚到另一端。所有比 b的直径小的山谷得到了“填充”。闭运算操作消除与结构元 素相比尺寸较小的暗细节，而保持图像整体灰度值和大的暗 区域基本不受影响；膨胀去除了小的暗细节并同时增强了图 像亮度， 腐蚀减弱了图像亮度但又不重新引入前面去除的细 节。
和结构元素相互作用的某些运算，得到物体更本质的形态。 在图象处理中的应用主要是：(1)利用形态学的基本运算， 对图象进行观察和处理，从而达到改善图象质量的目的；(2) 描述和定义图象的各种几何参数和特征，如面积、周长、连
通度、颗粒度、骨架和方向性等。
数学形态学的数学基础和所用语言是集合论，因此它 具有完备的数学基础，这为形态学用于图像分析和处理、形 态滤波器的特性分析和系统设计奠定了坚实的基础。 数学形态学的应用可以简化图像数据，保持它们基本 的形状特性，并除去不相干的结构。 数学形态学方法利用一个称作结构元素的“探针”收集 图像的信息，当探针在图像中不断移动时，便可考察图像各
Y●S， X○S X●S Y○S
如果Y Z且Z●Y=Z， 那么 X●Y X● Z 根椐这一性质可以知道，结构元素的扩大只有在保 证扩大后的结构元素对原结构元素闭运算不变的条件下方能 保持单调性。
4） 平移不变性
(X+h)●S=(X●S)+h， (X+h)○S=(X○S)+h
6.2.2 膨胀 膨胀可以看做是腐蚀的对偶运算，其定义是：把结构元素B 平移a 后得到Ba ，若 Ba 击中 X，我们记下这个 a 点。所有满足上 述条件的a点组成的集合称做X被B膨胀的结果。 腐蚀可以看作是将图像X中每一与结构元素S全等的 子集S+x收缩为点x。反之，也可以将X中的每一个点x扩
二值 图像 腐蚀 膨胀
图 腐蚀与膨胀示意图
6.2.3 结构元素的分解 膨胀满足结合律，即：
A (S C ) ( A S ) C
假设一个结构元素可以表示为两个结构元素和的膨胀，即
S S1 S2
则，
X S X (S1 S2 ) ( X S1 ) S2
6.2.1 腐蚀
对一个给定的目标图像X和一个结构元素S， 想象一下将S在 图像上移动。在每一个当前位置x， S+x只有三种可能的状态：
X； (1) S+x
(2) S+x X C ； (3) S+x∩X与S+x∩XC均不为空。
S ＋x3 x S ＋x2 S ＋x1
腐蚀是最基本的一种数学形态学运算。
6.2.5 闭
先膨胀后腐蚀称为闭 对图像X及结构元素S，用符号X S表示S对图像X作闭运算
X S ( X S )S
一般来说，闭运算能够填平小湖(即小孔)，弥合小裂 缝，而总的位置和形状不变。这就是闭运算的作用。
闭运算填充了凹角 (a) 结构元素S1和S2；(b) X●S1； (c) X●S2
个部分之间的相互关系，从而了解图像的结构特征。
迄今为止， 还没有一种方法能像数学形态学那样既有坚 实的理论基础，简洁、 朴素、 统一的基本思想，又有如此 广泛的实用价值。有人称数学形态学在理论上是严谨的，在 基本观念上却是简单和优美的。 数学形态学是一门建立在严格数学理论基础上的学科， 其基本思想和方法对图像处理的理论和技术产生了重大影响。 已经构成一种新的图像处理方法和理论，成为计算机数字图 像处理的一个重要研究领域.
中A，记作B∩A=Ф
3平移和对称集
平移 设 A是一幅数字图像，b 是一个点，那么定义 A被 b 平移后 的结果为A＋b＝{a＋b| a∈A}，即取出A中的每个点a的坐标 值，将其与点 b 的坐标值相加，得到一个新的点的坐标值
a+b，所有这些新点所构成的图像就是A被b平移的结果，记
为A+b，
对称集
灰度膨胀可以通过将结构元素的原点平移到与信号重合， 然后，对信号上的每一点求结构元素的最大值得到。
6.3.2 开运算与闭运算
灰度开运算
用结构元素S(灰值图像)对灰值图像f做开运算记为f ○ S，其
定义为 f ○S =（f S） S

灰值闭运算 用结构元素 S( 灰值图像 ) 对灰值图像 f 做闭运算记为 f●S ， 其定义为 f ●S=（f S） S
换言之，用S膨胀X等同于用S1先膨胀，再用S2膨胀前面的结 果。称S能够分解成S1和S2两个结构元素。
结合律很重要，因为计算膨胀所需要的时间正比于结 构元素中的非零像素的个数。例如，考虑一个结构 元素大小为且其元素为1的数组膨胀：
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
二值形态学中的运算对象是集合。设A为图像集合， S为结构元素，数学形态学运算是用S对A进行操作。 实际上结构元素本身也是一个图像集合。对每个结构 元素可以指定一个原点，它是结构元素参与形态学运算的参 考点。应注意，原点可以包含在结构元素中，也可以不包含
在结构元素中，但运算的结果常不相同。
S O
2.5 形态学算子



综上所述，我们也可以得到关于闭运算的几点结 论： （1）闭运算能够填平小湖（即小孔），弥合小裂 缝，而总的位置和形状不变。 （2）闭运算是通过填充图像的凹角来滤波图像的。 （3）结构元素大小的不同将导致滤波效果的不同。 （4）不同结构元素的选择导致了不同的分割。
6.2.6 开闭运算的代数性质
其效果相当于半圆形结构元素在被腐蚀函数的下面“滑动” 时，其圆心画出的轨迹。但是，这里存在一个限制条件，即结 构元素必须在函数曲线的下面平移。从图中不难看出，半圆形 结构元素从函数的下面对函数产生滤波作用，这与圆盘从内部 对二值图像滤波的情况是相似的。
采用了一个扁平结构元素对上图的函数作灰值腐蚀。 扁平结构元素是一种在其定义域上取常数的结构元素。注 意这种结构元素产生的滤波效果。
的补集，记作Xc，显然，如果B∩X=Ф，则B在X的补集内。
B
2. 击中与击不中
设有两幅图象B，A。若存在这样一个点，它即是B的元
素，又是A的元素， A∩B≠ φ在任何一个点，它即是
B的元素，又是A的元素，即B和A的交集是空，则称B不击
X●(S+h)=X●S， X○(S+h)=X○S
5）等幂性 (X●S)●S = X●S， (X○S)○S = X○S 开、闭运算的等幂性意味着一次滤波就能把所有特定结 构元素的噪声滤除干净，作重复的运算不会再有效果。这是 一个与经典方法 (例如中值滤波、线性卷积)不同的性质。
6.3 灰值形态学
6.3.1 腐蚀与膨胀 1 灰度腐蚀 用结构元素b对输入图像f(x, y)进行灰值腐蚀记为f S， 其 定义为
6.1.2 基本符号和定义 1. 集合论概念
在数字图像处理的数学形态学运算中，把一幅图像称为一
个集合。
对于一幅图像A，如果点a在A的区域以内， 那么就说a是
A的元素，记为a∈A，否则，记作a∈A.
2.
B
包含于A
设有两幅图象B，A。对于B中所有的元素ai，都有ai∈A， 则称B包含于A，记作 B A