图象处理与分析 数学形态学方法及应用(崔屹编著)思维导图

* 膨胀和腐蚀运算的性质
性质4 膨胀运算和腐蚀运算是增长性的：
X Y ( X B) (Y B)
性质5
膨胀运算具有外延性，而腐蚀运算非外延性： 外延性定义： M .O.( X ) X
ห้องสมุดไป่ตู้性质6
膨胀运算和腐蚀运算不具有同前性： 同前性定义： M .O.n( X ) M .O.( X )
假设要考察的图像是R中的一个集合X，而X的补 集则表示图像的背景。 二维图像、三维图像、二值图像或灰度图像都 可以用集合来表示，只是表示的维数不同而已。
5
基本概念
如果在全集R中另有一个集合B，这两个集合X和 B(两幅子图像)至少符合如下一个关系： (1) B X或X B
X B1
(2) B X，即B X (3) B X c，即B X
处理二值图像时，采用的是基于二值数学形态学 运算的形态学变换。
形态学的主要应用是提取表示和描述图像形状、 特征的有用成分，特别是应用形态学方法提取某一 区域的边界线、图像边缘轮廓、图像连接成分、物 体骨架特征、目标识别等众多的实际应用。
30
二值图像的数学形态变换
图像的平滑处理 图像的边缘提取
18
基本的形态变换
由膨胀和腐蚀的向量和位移运算可知，它们都可 以转化为集合的逻辑运算 (与、或、非)。因此，形 态变换易于物理实现并行处理，这就是形态变换分 析之所以在图像分析与模式识别、计算机视觉中占 突出地位的重要原因之一。
19
基本的形态变换
膨胀运算和腐蚀运算图像处理示例
20
基本的形态变换
35
二值图像的数学形态变换
提取物体的轮廓边缘的形态学变换为：
Y X (X

A X ( AB1 ) ( AcB2 )
B1在A内找到匹配 B2在AC中找到匹配 根据腐蚀与膨胀间的对偶关系
A B ( AB1 ) ( Ac B2 )
以上3个公式叫形态学上的击中或击不中变换。
数字图像处理
Chapter 9 Morphological Image Processing
C A B D A B
AC {w | w A} A的补：
A B {w | w , A B} A BC
ˆ {w | w b, b B} 集合B的反对 B
集合A平移到点 z ( z1 , z 2 )
，表示为(A)z
(A)z {c | c a z, a A}
数字图像处理
Chapter 9 Morphological Image Processing
9.1 序言 图9.1为集合论基本概念图示
数字图像处理
Chapter 9 Morphological Image Processing
9.1 序言 图9.2为平移、反射图示
数字图像处理Байду номын сангаас
Chapter 9 Morphological Image Processing
数字图像处理
Chapter 9 Morphological Image Processing
9.5 一些基本的形态学算法
9.5.5 细化
A B=A-(A*B)=A (A*B)C {B}={B1 ,B2 ,B3 ...Bn }
Bi是Bi-1旋转后的形式 更有用的形式： A {B}=((...((A B1 ) B2 )...) Bn
A B ( A B)B

A B ( AB1 ) [ AcB2 ]
2024/5/8
25
Hit/Miss——形状检测的基本工具
• 在不同尺寸的图形中检测出想要的形状 • 严格的模版匹配。指出被匹配点所应满足的性质（模板形
状）的同时也指出这些点所不应满足的性质，即对周围环 境背景的要求。
形态学的主要应用
• 处理图像的类型：二值图像
边界提取举例
2024/5/8
29
边界提取 Boundary Extraction
区域填充 Region Filling
X k ( X k 1 B) Ac
k 1,2,3,
连通分量提取 Extraction of connected components
连通分量举例
2024/5/8
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• 补集。A的补集记为
Ac {w | w A}
• 差集：记为A－B，定义为：
A B {w | w A, w B} A Bc
集合的基本运算
集合的基本运算
二值图像的逻辑运算
二值图像的逻辑运算
结构元素
• 形态学图像处理表现为一种邻域运算形式；
• 一种特殊定义的邻域称之为“结构元素” （Structure Element），在每个像素位置上它与 二值图像对应的区域进行特定的逻辑运算，逻辑运 算的结果为输出图像的相应像素。
细化 Thinning
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A B A ( A B) A ( A B)c
{B} {B1, B2, B3,, Bn} A B ((((A B1 ) B2 )) Bn )
细化 Thinning
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第十章：数学形态学
一：数学形态学的历史
二：二值形态学基本操作 三：灰度形态学基本操作 三：图像处理应用
第十章：数学形态学
一：数学形态学的历史
二：二值形态学基本操作 三：灰度形态学基本操作 三：图像处理应用
1. 诞生于1964年，法国巴黎 Matheron的纹理分析器
2. 法国枫丹白露数学形态学研 究中心
3. 发展过程
第十章：数学形态学
发展历史 二值操作 灰度操作 应用研究
发展历史（1）
60年代：孕育和形成
– 1964诞生，Matheron指导下的Serra做岩相学分析，击中击不中变换开闭运 算、纹理分析器。1966年命名Mathematical Morphology。1968年成立枫丹 白露数学形态学研究中心。
平移不变性
(A x ) /• B (A /• B ) x
等幂性：
构造塔的基本 条件，和小波
联系
(A /•B )/•B A /•B
第十章：数学形态学
发展历史 二值操作 灰度操作 应用研究
3. 击中击不中变换（1）
基本运算式
A B(A E ) (A C F )
B由一对E，F结构元素构成，E、F交集为空。
第十章：数学形态学
一：数学形态学的历史
二：二值形态学基本操作 三：灰度形态学基本操作 三：图像处理应用
1. 诞生于1964年，法国巴黎 Matheron的纹理分析器
2. 法国枫丹白露数学形态学研 究中心
3. 发展过程
第十章：数学形态学
一：数学形态学的历史 二：二值形态学基本操作 三：灰度形态学基本操作 三：图像处理应用
腐蚀运算：
第十章：数学形态学
发展历史 二值操作 灰度操作 应用研究

对于示例，图像以左上角位置为(0,0)，结构元素以 “+”位置为参考点(0,0)，则X和B分别表示为：
X (2,2), (2,3), (2,4), (3,3), (4,3), (5,3)
B (0,0), (1,0), (1,0), (0,1), (0,1)
0 1 2 3 4 5 6 7 -1 0 1
01234567 0 1 2 3 4 5 6 7
(1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (3,3), (4,3) (3,2), (3,3), (3,4), (4,3), (5,3), (6,3) (2,1), (2,2), (2,3), (3,2), (4,2), (5,2) (2,3), (2,4), (2,5), (3,4), (4,4), (5,4)}
性质4 膨胀运算和腐蚀运算是增长性的： X Y
(X B) (Y B) 性质5 膨胀运算具有外延性，而腐蚀运算非外延性：
外延性定义： M.O.(X ) X 性质6 膨胀运算和腐蚀运算不具有同前性：
同前性定义： M.O.n(X ) M.O.(X )
22
基本的形态变换
➢ 复合形态变换： 开启运算(Opening)和闭合运算(Closing)
2
图像处理的数学形态方法
基本思想：
用一定形态的结构元素去度量和提取图像中的对 应形状以达到对图像分析和识别的目的。
小图像，如圆形、正 方形、线段的集合
结构元素 (探针)
移动、描述
集合 图像目标
3
8.1 数…
2. 图像空间的集合表示 对于n维图像，可用n维欧式空间的E(n)中的一个集 合来表示。E(n)的全体集合用R来表示。 假设要考察的图像是R中的一个集合X，而X的补 集则表示图像的背景。 二维图像、三维图像、二值图像或灰度图像都可 以用集合来表示，只是表示的维数不同而已。

2015年9月13日
9
9.2膨胀和腐蚀(二值图像)
9.2.3 matlab函数
函数Strel函数用于产生预定义结构元素矩阵信息 Se=strel(shape,parameters)
2015年9月13日
10
9.2膨胀和腐蚀(二值图像)
9.2.3 matlab函数
函数getsequence可分解结构元素 例9.2，分解结构元素
2015年9月13日
29
9.4连通分量
标记连通分量的函数bwlabel
[L,num]=bwlabel(f,conn);其中f是二进制图像，conn为4或8， 表示考虑的连接类型，L标记矩阵，num连通分量数量
f = imread('objects.tif'); [L,n]=bwlabel(f); [r,c]=find(L==3); rbar=mean(r); cbar=mean(c); imshow(f); hold on; for k=1:1:n, [r,c]=find(L==k); rbar=mean(r); cbar=mean(c); plot(cbar,rbar,'Marker','o','MarkerEdgeColor','k',... 'MarkerFaceColor','k','MarkerSize',10); plot(cbar,rbar,'Marker','*','MarkerFaceColor','w'); end
小的孔洞。
2015年9月13日
15

假设：只有在两个或更多个对象构成彼此 不相交（不连通）的集合时，这些对象才 可区分的。
HYH
第9章 –形态学图像处理
作业1
教材P454 9.2 (a) (b)第2张子图，9.6 (a) （提示：注意结构元素原点的位置 ），9.7 (a) (d) 。
实验五：任务1，2，3，4，6。
HYH
第9章 –形态学图像处理
集合A的边界表示为β (A)：
( A) A ( A B)
其中B是一个适当的结构元素。
(9.5-1)
HYH
第9g
假定一个集合的子集的元素是一个8-连通的区域边界，所有非边界的 点为0，如果已知一个p起始点在边界内，下列过程将区域填充为1：
闭操作满足下列性质： (i) A 是A • B的子集。
(ii) 如果C是D的子集，则C • B是D • B的子集。
(iii) (A • B) • B = A • B (幂等)
HYH
第9章 –形态学图像处理
开操作和闭操作示例
HYH
第9章 –形态学图像处理
形态学滤波– 先开后闭
形态学滤波器“开-闭”能够用于去除椒盐噪声。 假定所有噪声分量物理大小小于结构元素B，则背景噪声 在腐蚀阶段被消除。腐蚀将增加物体自身噪声的大小， 这种情况将通过闭操作消除。
9.5.3 连通分量提取
设Y表示为集合A中的一个连通分量（教材P52），并且假定Y上的1 个点p已知，下面的过程可以生成Y的所有元素：
X k ( X k 1 B) A
k 1, 2, 3, ...
(9.5-3)
X0 = p，当Xk = Xk-1算法结束 且 Y = Xk
HYH
第9章 –形态学图像处理

➢对结构元素g的定义域Dg 中的每一个点x将信号f平移x，然后，再对每次平移 信号的值加上g(x)，这样对于结构元素定义域中的每个点都得到一个信号，对所 有这些信号逐点取其最大值，便可得到膨胀结果。
第25页/共40页
图9.7 灰值膨胀运算
f f (s)
f (s) ＋ b(s－ x)
f (s) ＋ b(s－ x)
9.2.1 二值腐蚀
集合A（输入图像）被集合B（结构元素）腐蚀:
(9.3)
AB {x | (B) A} x
d
d
d
A
d/4
d/4
B
AB
d/8
d/8
图9.2 腐蚀示意图
第9页/共40页
9.2.2 二值膨胀
• 腐蚀运算的对偶运算，可以直接定义，也可 通过对补集的腐蚀来定义，即以AC表示集合A 的补集， 表示B关于坐标原点的反射。
•
WHT(f) = f — (f○g)
(9.16)
• 其中，g为结构元素。
• 高帽变换是一种波峰检测器
• 它在较暗的背景中求亮的像素点很有效。
第35页/共40页
低帽变换
• 与高帽变换相对偶的算子，定义为：
•
BHT(f) = (f●g) —f
(9.17)
• 低帽变换是一种波谷检测器
• 适合于在较亮的背景中求暗的像素点。
第12页/共40页
9.2.3 二值开运算
• 有两种二次运算起着非常重要的作用 • 开运算 • 闭运算（开运算的对偶运算） 。
• 从结构元素填充的角度看，它们具有更为直观的几何形式。
第13页/共40页
开运算的定义
• 假设A仍为输入图像，B为结构元素，利用B对A作开运算，用符号A○B表示，其 定义为：

灰度腐蚀是一种基本的形态学操作，用于消除图像中的较小对象或细节。
详细描述
灰度腐蚀操作通过将每个像素与其邻域的像素进行比较，并将像素值设置为邻域 中的最小值，从而消除图像中的亮区域。该操作有助于消除噪声和细化对象边缘 。
灰度膨胀
总结词
灰度膨胀是一种基本的形态学操作，用于扩大图像中的亮区域或对象。
详细描述
灰度膨胀操作通过将每个像素与其邻域的像素进行比较，并将像素值设置为邻域中的最大值，从而扩大图像中的 亮区域。该操作有助于填补对象中的空洞和连接断裂的边缘。
灰度开运算和闭运算
总结词
灰度开运算是先进行腐蚀操作再进行膨胀操作，而灰度闭运算是先进行膨胀操作再进行腐蚀操作。
详细描述
灰度开运算可以消除较小的亮区域，使狭窄的亮区域变宽；而灰度闭运算可以消除较小的暗区域，使 狭窄的暗区域变宽。这两种运算在图像处理中具有广泛的应用，如噪声去除、连通区域标记等。
开运算和闭运算
开运算可以去除小的物体，而闭运算则可以填补小 的空洞或平滑图像。
边界提取
边界跟踪
通过形态学运算，可以提取出图像中 的边界，从而识别出图像中的各个物 体。
边界提取算法
利用形态学运算，可以设计出各种边 界提取算法，以实现更准确的边界提 取。
区域填充
种子填充算法
通过形态学运算，可以实现快速的种子填充 算法，用于填充图像中的空白区域。
详细描述
在二值图像中，膨胀操作通过将像素与其邻域进行比较，将大于邻域值的像素 设置为最大值（通常为255），从而实现扩大较小对象或减小较暗区域的效果。 膨胀操作能够填补图像中的空洞，增强图像的亮区域。
开运算和闭运算
总结词
开运算和闭运算是基于腐蚀和膨胀的组合操作，分别用于消除较 大对象和填补较小对象。

数字图像分析与处理
第12章
数学形态学方法

形态学运算是针对二值图像依据数学形态学
(Mathematical Morphology)的集合论方
法发展起来的图像处理方法。

形态学的用途主要是获取物体拓扑和结果信 息，它通过物体和结构元素相互作用的某些 运算，得到物体更本质的形态。 后来灰度形态学得到发展，使得数学形态学 方法不仅可用于二值图像也可直接应用于各 种灰度图像和彩色图像 。

补集
设有一个目标区域X，所有X区域以外的点构
成的集合称为X的补集，记作Xc 。

结构元素（structure element）
设有两幅图像B，X。若X是被处理的对象，而B是
用来处理X的，则称B为结构元素，又被形象地称 做刷子。结构元素通常都是一些比较小的图像。
对每个结构元素，先要指定一个原点，它是结构
不同结构单元对腐蚀和膨胀的影响

不同结构单元对腐蚀和膨胀的影响
E1=3*3方形结构单元
原图
E1膨胀后图像
E1腐蚀后图像
E2=5*5方形结构单元
原图
E1膨胀后图像
E1腐蚀后图像
筛选
（a）含长度为1，3，5，7，9，15的正方形 （b）结构元素为13×13，对（a）腐蚀的结果 （c）结构元素为13×13对（b）进行膨胀
(d)
边界提取
先用一个结构元素 B 腐蚀 A ，再求取腐蚀结 果和A的差集就可将边界提取出来
( A ) A ( A B )
(a)
(b)
(c)
(d)
区域填充 首先给边界内一个点赋 1 ，然后根据下列迭 代公式填充
c X X B A k 1 , 2 , 3 , k k 1

8.7.1 伪彩 色
（pseudoco lo...
8.7.2 假彩 色（false colo...
第9章 图像恢复
019.1 概 述029.2 图 像的降质 模型
03
9.3 逆 滤波恢复
04
9.4 等 功率谱恢 复
06
习题九
05
9.5 维 纳滤波恢 复
9.1.1 图像 恢复的基本
概念
9.1.2 图像 质量的客观 评价
玛变换
第8章 图像增强
8.1 概述 8.2 对比度增强
8.3 修正直方图 增强对比度
8.4 图像平滑
8.5 图像锐化 8.6 同态滤波
8.7 伪彩色和假 彩色
习题八
8.1.1 图像 增强的内涵
和特点
8.1.2 图像 质量的主观 评价
8.2.2 非线性变 换
8.2.1 线性变换 增强对比度
8.2.3 其他变换
7.2.1 背景知识
7.2.3 离散傅氏 变换的主要性质
7.3.1 图像变换 的标量表示式
7.3.2 图像变换 的矢量表示式
7.3.3 图像变换 的矩阵表示式
7.3.4 图像变换 的实质
1
7.4.1 列率
7.4.2 沃尔 2
什函数
3 7.4.3 沃尔
什级数
4 7.4.4 沃尔
什变换
5 7.4.5 哈达
9.2.1 降质 模型的表示
式
9.2.2 降质 模型参数的 估计
9.3.2 关于噪声 的讨论
9.3.1 逆滤波恢 复的实现
9.3.3 改进的逆 滤波恢复
9.4.1 等功 率谱恢复滤 波器的传递
函数
9.4.2 针对 等功率谱恢 复的讨论

X k i ( X k 1 # B i) A i k 1 ,2 ,,i 1 ,2 ,3 ,4
其中Bi代表下页图所示的4个结构元素，且X0i＝A，令D=Xiconv为上述 迭代的收敛 (convergence) 值, 则A的凸壳由下式得到：
A#B(A$B 1)－ A B 2
上述的任何三个公式都可成为击中与否变换，可通过其对两个不相 连对象进行区分。当背景不被要求时，该变换退化为腐蚀操作。
9.4 二值形态学图像处理基本操作
边界抽取 (boundary extraction) 区域填充 (region filling) 连接分量提取 (extraction of connected
(A )A(A$B)
图例说明（9.4节所有的格子图像均用阴影表示1，白色表示0）， 当结构元素大小为3×3时，边界厚度为1象素。
应用实例：人形上半身图像侧面轮廓提取
9.5.2 区域填充
这里讨论一种简单的基于膨胀、取补和交的区域填充算法。下图所 需填充的区域边界点是8连接的，先从界内一点P开始，用1去填充整 个区域（设非边界元素为0），填充过程如下：
发展历史（1）
60年代：孕育和形成
1964诞生，法国学者Serra对铁矿石的岩相进行定量分析，以预 测特矿石的可轧性。同时，Matheron研究了多孔介质的几何结 构、渗透性及二者的关系，二者的研究直接导致数学形态学雏 形的形成。1966年命名Mathematical Morphology。1968年在法 国成立枫丹白露(Fontainebleau)数学形态学研究中心。
第九章 形态学图像处理
内容提纲:
1. 数学形态学的发展历史及基本概念 2. 数学基础 3. 形态学基本运算 4. 二值形态学图像处理基本操作 5. 灰阶图像形态学处理基本操作 6. 形态学图像处理基本应用 7. 总结

数学形态学图像处理的基本运算实现及分析一、基本原理数学形态学是一种应用于图像处理和模式识别领域的新的方法。

它的基本思想是用具有一定形态的结构元素去度量和提取图像中的对应形状以达到对图像进行分析和识别的目的。

数学形态学的数学基础和所用语言是集合论。

数学形态学的应用可以简化图像数据，保持它们基本的形状特性，并除去不相干的结构。

另一方面，数学形态学的算法具有天然的并行实现的结构。

1、基本运算数学形态学的基本运算有四个：膨胀、腐蚀、开启和关。

如用A 表示图像集合，B 表示结构元素，形态学运算就是用B 对A 进行操 作。

A 被B 膨胀，记为A ⊕B ，⊕为膨胀算子，膨胀的定义为A B ⊕ˆ{|[()]}x x B A =≠∅该式表明的膨胀过程是B 首先做关于原点的映射，然后平移x 。

A 被B 的膨胀是B 被所有x 平移后与A 至少有一个非零公共元素。

A 被B 腐蚀，记为A ⊙B ，⊙为腐蚀算子，腐蚀的定义为A B Θˆ{|[()]}x x B A =≠∅也就是说，A 被B 的腐蚀的结果为所有使B 被x 平移后包含于A 的点x 的集合。

换句话说，用B 来腐蚀A 得到的集合是B 完全包括在A 中时B 的原点位置的集合。

膨胀和腐蚀并不互为逆运算，所以它们可以级连结合使用。

例如，利用同一个结构元素B ，先对图像腐蚀然后膨胀其结果，或先对图像膨胀然后瘸蚀其结果，前一种运算称为开运算，后一种运算称为关运算。

它们也是数学形态学中的重要运算。

开启的运算符为o ，A 用B 来开启写作AoB ，其定义为:A o ()B A B B =Θ⊕关的运算符为·，A 用B 来关写作A ·B ，其定义为:A ·()B A B B =⊕Θ开和关两种运算都可以去除比结构元素小的特定图像细节，同时保证不产生全局的几何失真。

开运算可以把比结构元素小的椒盐噪声滤除，切断细长搭接而起到分离作用。

关运算可使比结构元素小的缺口或孔填补上，搭接短的间断而起到连通作用。

是X的元素，则称B击中(hit)X，记作B↑X。
• B不击中X
– 设有两幅图象B，X。 – 若不存在任何一个点，它即是B的元素，
又是X的元素，即B和X的交集是空，则 称B不击中(miss)X，记作B∩X=Ф。
• 其中∩是集合运算相交的符号，Ф表示空 集。
基本符号和关系
• 补集
– 设有一幅图象X，所有X区域以外的点构 成的集合称为X的补集，记作Xc。
– 用公式表示为：
膨胀
• X是被处理的对象，B是结构元素。 • 对于任意一个在阴影部分的点a，
Ba击中X，X被B膨胀的结果就是阴 影部分。 • 阴影部分包括X的所有范围，就象X 膨胀了一圈似的。
– 这就是为什么叫膨胀的原因。
• 如果B不是对称的，X被B膨胀的结 果和X被 Bv膨胀的结果不同。
膨胀
开
• 先腐蚀后膨胀称为开(open)，即OPEN(X)=D(E(X))。
开
• 上面的两幅图中，左边是被处理的图象X(二值图象，针对 的是黑点)，右边是结构元素B。
• 下面的两幅图中左边是腐蚀后的结果，右边是在此基础上 膨胀的结果。
• 可以看到，原图经过开运算后，一些孤立的小点被去掉了。 • 一般来说，开运算能够去除孤立的小点，毛刺和小桥(即
基本符号和关系
• 平移
– 设有一幅图象B，有一个点a(x0,y0)，将B平移a后的结 果是，把B中所有元素的横坐标加x0，纵坐标加y0，即 令(x，y)变成(x+x0，y+y0)，所有这些点构成的新的集 合称为B的平移，记作Ba 。
腐蚀
• 把结构元素B平移a后得到 Ba，若Ba包含于X，记下 这个a点，所有满足上述 条件的a点组成的集合称 做X被B腐蚀(Erosion)的结 果。