分散鲁棒控制的LMI方法
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1.5 分散鲁棒控制的 LMI 方法
由于 LMI 的优良性能以及数学规划和解法的突破，特别是内点法的提出以及 MATLAB 软件中 LMI 工具箱的推出，LMI 这一工具越来越受到人们的广泛关注与重视，使其在控制 系统的分析和设计方面得到了广泛的重视和应用，成为这一领域的研究热点。在此之前，绝 大多数的控制问题都是通过 Riccati 方程或不等式的方法来表示和求解的。但是求解 Riccati 方程或其不等式，有大量的参数和正定对称矩阵需要预先调整。因而有时即使问题本身是有 解的，也不能找出问题的解。这给实际问题的解决带来了很大的不便，而 LMI 方法可以很 好地弥补 Riccati 方程方法的不足，不需要调整任何参数，便可获得问题的解。
（1.4）
这个问题也可以化成如下一个等价问题：
min cT x
s.t. F x 0
（1.5）
这是 LMI 工具箱中特征值问题求解器所要处理问题的标准形式。
一个 LMI F x 0 的可行性问题也可以写成一个 EVP：
min
s.t. F x I 0
（1.6）
显然，对于任意的 x ，只要选取足够大的 ， x, 就是上述问题的一个可行解，因此上述 问题一定有解。若其最小值 * 0 ，则 LMI F x 0 是可行的。
件是等价的：
（a） S 0 ； （b） S11 0，S22 S1T2 S111S12 0 ； （c） S22 0，S11 S12 S221S1T2 0 。 （2）有界实引理 考虑线性时不变的连续时间系统
x t Ax t B t z t Cx t D t
具有正定解 X 0 。这里 R 2I DT D 。 事实上，Riccati 方程（1.10）等价于 Riccati 不等式
X A BR1DTC A BR1DTC T X XBR1BX CT I DR1DT C 0
（1.11）
F X AT X XA Q 0
（1.3）
其中 A,Q QT Rnn 是给定的常数矩阵， X X T 0 Rn 是未知矩阵变量，因此该矩阵不
等式的变量是一个矩阵。设 E1, E2 ,..., Em 是 Sn M : M M T Rnn 中的一组基，则对任意
定矩阵，仍以变量 P 表示，则得到与（1.13）式等价形式：
AP PAT B PC T
BT
I
DT
0
CP
D I
（1.14）
有界实引理
对线性时不变的连续时间系统（1.9），设从 到 z 的
H范数为
G
，
G 的充分与必要条件为存在一个对称正定矩阵 P ，满足式（1.13）或式（1.14）。
这样，Lyapunov 矩阵不等式（1.3）写成了 LMI 的一般形式（1.1）。
对 Rm Sm 的任意仿射函数 F x 和 G x ， F x 0, F x G s 也是 LMI，因为它
们可以等价表示成
F x 0
F
x
G
x
0
在 这 种 情 况 下 并 不 写 成 LMI （ 1.1 ） 的 形 式 ， 而 只 需 区 分 清 楚 矩 阵 变 量 即 可 。 “ AT X XA 0 是关于矩阵 X 的 LMI”意味着矩阵 X 是变量。用矩阵作为变量，而不再化 为严格 LMI 形式，可以利用已开发出的以矩阵作为变量的 LMI 工具软件直接求解。
1.5.1 LMI 的概念
具有以下形式的矩阵不等式称为 LMI 或严格 LMI
F x F0 +
m i 1
xi
Fi
0
（1.1）
其中 x1,..., xm 是 m 个实数变量，称为 LMI(1.1)的决策变量，而 x x1,..., xm T Rn 是由决策
变量构成的向量，称为决策向量， Fi FiT Rnn ,i 0,1,..., m 是一组给定的实对称矩阵。式
（1.9）
其中 x Rn 是系统的状态向量， t Rq 是外部扰动输入， z t Rr 是系统输出。定义从
到z
的
H范数为
G
，G
的充分与必要条件为对于一个充分小的常数
0 ，Riccati
方程
X A BR1DTC A BR1DTC T X XBR1BX CT I DR1DT C I 0 （1.10）
解以下的优化问题得到：
min s.t. G F 0
（1.7）
当矩阵 G 和 F 是 x 的一个仿射函数时，在一个 LMI 的约束下，求矩阵函数 G x 和
F x 的最大广义特征值的最小化问题的一般形式为
min
s.t. G x F x , F x 0, G x 0
（1.8）
注意到上述问题中的约束条件关于 x 和 并不同时是线性的。
1.5.2 Schur 补引理和有界实引理
（1）Schur 补引理 在许多将一些非线性矩阵不等式转化成 LMI 问题中，常常用到矩阵的 Schur 补性质。 考虑一个矩阵 S Rnn ，将 S 分块表示为
S
S11
成立的问题称为一个 LMI 的可行性问题。如果存在这样的 x ，则该 LMI 问题是可行的，否 则这个 LMI 就是不可行的。
（2）特征值问题（EVP）。该问题是在一个 LMI 约束下，求矩阵 G x 最大特征值的
最小化问题或者确定问题的约束是不可行的。它的一般形式是
min
s.t. G x I, H x 0
对于 LMI，有几类标准问题，分别为可行性问题、特征值问题和广义特征值问题，在 MATIAB 的 LMI 工具箱中给出了这三类问题的求解器。假定其中的 F 、G 和 H 是对称的矩 阵仿射函数， c 是一个给定的常数向量。
（1）可行性问题（LMIP）。对给定的 LMI F x 0 ，检验是否存在 x ，使得 F x 0
LMI(1.1)是关于 x 的凸约束，即满足x : F x 0 是关于 x 的一个凸集合，是自变量 x 的一个
凸约束。正是 LMI 的这个性质使得可以应用解决凸优化问题的有效方法来求解相关的 LMI
问题。
LMI 的一个基本特征是其变量可以为矩阵，而在许多系统与控制问题中，问题的变量
是以矩阵形式出现的。例如 Lyapunov 矩阵不等式
S21
S12
S 22
其中 S11 Rrr 。假定 S11 是非奇异的，则 S22 S21S111S12 称为 S11 在 S 中的 Schur 补。
Schur 补引理[44]
对给定的对称矩阵
S
ST
S11
S1T2
S12 S22
，其中
S11
Rrr
。以下三个条
对称矩阵 X X T Rn ，存在 x1, x2 ,..., xm ，使得 X
M i 1
Ei
xi
。因此
F X F
M i 1
xi
Ei
AT
M i 1
xi
Ei
M i 1
xi
Ei
AQ
Q x1 AT E1 E1A ··· xM AT EM EM A 0
（1.1）中的“<0”是表示矩阵 F x 是负定的，即对所有的非零向量 u Rn ，有 uTF x u 0
成立。若
F x F0 +
m i 1
xi
Fi
0
成立，则称（1.2）式为非严格的 LMI。
（1.2）
严格 LMI（1.1）和非严格（1.2）有着密切关系，非严格 LMI 可以转化为严格 LMI。
I
，并记
P
1 X
，（1.12）
式可以转化成如下的等价 LMI：
PA AT P PB C T
BT P
I
DT
0
C
D I
（1.13）
将（1.13）式的两边分别左乘和右乘矩阵 diag P1，I，I ，把 P1 作为一个新变量， P1 为正
具有正定解 X 0 。利用 Schur 补引理，（1.11）式等价于如下 LMI 成立：
XA AT X
BT X
C
XB 2 I
D
CT
DT
0
I
（1.12）
对
LM（I 1.10）左边的矩阵分别左乘和右乘矩阵
diag
1 2
I,
1 2
I,
1 2
事实上，假定矩阵 F 是正定的，则对于充分大的标量 ，有 G F 0 。随着 的减小， 并在某个适当的值，G F 将变成奇异的，存在非零向量 y 使得 Gy Fy 。这样的一个
就是矩阵 G 和 F 的广义特征值。根据这一思路，矩阵 G 和 F 的最大广义特征值可以通过求
（3）广义特征值问题（GEVP）。在一个 LMI 的约束下，求两个仿射矩阵函数的最大广 义特征值的最小化问题。
对于给定的两个相同阶数的对称矩阵 G 和 F ，对于标量 ，如果存在非零向量 y ，使 得 Gy Fy ，则称 为矩阵 G 和 F 的广义特征值。矩阵 G 和 F 的最大广义特征值的计算问 题可以转化为一个具有 LMI 约束的优化问题。
由于 LMI 的优良性能以及数学规划和解法的突破，特别是内点法的提出以及 MATLAB 软件中 LMI 工具箱的推出，LMI 这一工具越来越受到人们的广泛关注与重视，使其在控制 系统的分析和设计方面得到了广泛的重视和应用，成为这一领域的研究热点。在此之前，绝 大多数的控制问题都是通过 Riccati 方程或不等式的方法来表示和求解的。但是求解 Riccati 方程或其不等式，有大量的参数和正定对称矩阵需要预先调整。因而有时即使问题本身是有 解的，也不能找出问题的解。这给实际问题的解决带来了很大的不便，而 LMI 方法可以很 好地弥补 Riccati 方程方法的不足，不需要调整任何参数，便可获得问题的解。
（1.4）
这个问题也可以化成如下一个等价问题：
min cT x
s.t. F x 0
（1.5）
这是 LMI 工具箱中特征值问题求解器所要处理问题的标准形式。
一个 LMI F x 0 的可行性问题也可以写成一个 EVP：
min
s.t. F x I 0
（1.6）
显然，对于任意的 x ，只要选取足够大的 ， x, 就是上述问题的一个可行解，因此上述 问题一定有解。若其最小值 * 0 ，则 LMI F x 0 是可行的。
件是等价的：
（a） S 0 ； （b） S11 0，S22 S1T2 S111S12 0 ； （c） S22 0，S11 S12 S221S1T2 0 。 （2）有界实引理 考虑线性时不变的连续时间系统
x t Ax t B t z t Cx t D t
具有正定解 X 0 。这里 R 2I DT D 。 事实上，Riccati 方程（1.10）等价于 Riccati 不等式
X A BR1DTC A BR1DTC T X XBR1BX CT I DR1DT C 0
（1.11）
F X AT X XA Q 0
（1.3）
其中 A,Q QT Rnn 是给定的常数矩阵， X X T 0 Rn 是未知矩阵变量，因此该矩阵不
等式的变量是一个矩阵。设 E1, E2 ,..., Em 是 Sn M : M M T Rnn 中的一组基，则对任意
定矩阵，仍以变量 P 表示，则得到与（1.13）式等价形式：
AP PAT B PC T
BT
I
DT
0
CP
D I
（1.14）
有界实引理
对线性时不变的连续时间系统（1.9），设从 到 z 的
H范数为
G
，
G 的充分与必要条件为存在一个对称正定矩阵 P ，满足式（1.13）或式（1.14）。
这样，Lyapunov 矩阵不等式（1.3）写成了 LMI 的一般形式（1.1）。
对 Rm Sm 的任意仿射函数 F x 和 G x ， F x 0, F x G s 也是 LMI，因为它
们可以等价表示成
F x 0
F
x
G
x
0
在 这 种 情 况 下 并 不 写 成 LMI （ 1.1 ） 的 形 式 ， 而 只 需 区 分 清 楚 矩 阵 变 量 即 可 。 “ AT X XA 0 是关于矩阵 X 的 LMI”意味着矩阵 X 是变量。用矩阵作为变量，而不再化 为严格 LMI 形式，可以利用已开发出的以矩阵作为变量的 LMI 工具软件直接求解。
1.5.1 LMI 的概念
具有以下形式的矩阵不等式称为 LMI 或严格 LMI
F x F0 +
m i 1
xi
Fi
0
（1.1）
其中 x1,..., xm 是 m 个实数变量，称为 LMI(1.1)的决策变量，而 x x1,..., xm T Rn 是由决策
变量构成的向量，称为决策向量， Fi FiT Rnn ,i 0,1,..., m 是一组给定的实对称矩阵。式
（1.9）
其中 x Rn 是系统的状态向量， t Rq 是外部扰动输入， z t Rr 是系统输出。定义从
到z
的
H范数为
G
，G
的充分与必要条件为对于一个充分小的常数
0 ，Riccati
方程
X A BR1DTC A BR1DTC T X XBR1BX CT I DR1DT C I 0 （1.10）
解以下的优化问题得到：
min s.t. G F 0
（1.7）
当矩阵 G 和 F 是 x 的一个仿射函数时，在一个 LMI 的约束下，求矩阵函数 G x 和
F x 的最大广义特征值的最小化问题的一般形式为
min
s.t. G x F x , F x 0, G x 0
（1.8）
注意到上述问题中的约束条件关于 x 和 并不同时是线性的。
1.5.2 Schur 补引理和有界实引理
（1）Schur 补引理 在许多将一些非线性矩阵不等式转化成 LMI 问题中，常常用到矩阵的 Schur 补性质。 考虑一个矩阵 S Rnn ，将 S 分块表示为
S
S11
成立的问题称为一个 LMI 的可行性问题。如果存在这样的 x ，则该 LMI 问题是可行的，否 则这个 LMI 就是不可行的。
（2）特征值问题（EVP）。该问题是在一个 LMI 约束下，求矩阵 G x 最大特征值的
最小化问题或者确定问题的约束是不可行的。它的一般形式是
min
s.t. G x I, H x 0
对于 LMI，有几类标准问题，分别为可行性问题、特征值问题和广义特征值问题，在 MATIAB 的 LMI 工具箱中给出了这三类问题的求解器。假定其中的 F 、G 和 H 是对称的矩 阵仿射函数， c 是一个给定的常数向量。
（1）可行性问题（LMIP）。对给定的 LMI F x 0 ，检验是否存在 x ，使得 F x 0
LMI(1.1)是关于 x 的凸约束，即满足x : F x 0 是关于 x 的一个凸集合，是自变量 x 的一个
凸约束。正是 LMI 的这个性质使得可以应用解决凸优化问题的有效方法来求解相关的 LMI
问题。
LMI 的一个基本特征是其变量可以为矩阵，而在许多系统与控制问题中，问题的变量
是以矩阵形式出现的。例如 Lyapunov 矩阵不等式
S21
S12
S 22
其中 S11 Rrr 。假定 S11 是非奇异的，则 S22 S21S111S12 称为 S11 在 S 中的 Schur 补。
Schur 补引理[44]
对给定的对称矩阵
S
ST
S11
S1T2
S12 S22
，其中
S11
Rrr
。以下三个条
对称矩阵 X X T Rn ，存在 x1, x2 ,..., xm ，使得 X
M i 1
Ei
xi
。因此
F X F
M i 1
xi
Ei
AT
M i 1
xi
Ei
M i 1
xi
Ei
AQ
Q x1 AT E1 E1A ··· xM AT EM EM A 0
（1.1）中的“<0”是表示矩阵 F x 是负定的，即对所有的非零向量 u Rn ，有 uTF x u 0
成立。若
F x F0 +
m i 1
xi
Fi
0
成立，则称（1.2）式为非严格的 LMI。
（1.2）
严格 LMI（1.1）和非严格（1.2）有着密切关系，非严格 LMI 可以转化为严格 LMI。
I
，并记
P
1 X
，（1.12）
式可以转化成如下的等价 LMI：
PA AT P PB C T
BT P
I
DT
0
C
D I
（1.13）
将（1.13）式的两边分别左乘和右乘矩阵 diag P1，I，I ，把 P1 作为一个新变量， P1 为正
具有正定解 X 0 。利用 Schur 补引理，（1.11）式等价于如下 LMI 成立：
XA AT X
BT X
C
XB 2 I
D
CT
DT
0
I
（1.12）
对
LM（I 1.10）左边的矩阵分别左乘和右乘矩阵
diag
1 2
I,
1 2
I,
1 2
事实上，假定矩阵 F 是正定的，则对于充分大的标量 ，有 G F 0 。随着 的减小， 并在某个适当的值，G F 将变成奇异的，存在非零向量 y 使得 Gy Fy 。这样的一个
就是矩阵 G 和 F 的广义特征值。根据这一思路，矩阵 G 和 F 的最大广义特征值可以通过求
（3）广义特征值问题（GEVP）。在一个 LMI 的约束下，求两个仿射矩阵函数的最大广 义特征值的最小化问题。
对于给定的两个相同阶数的对称矩阵 G 和 F ，对于标量 ，如果存在非零向量 y ，使 得 Gy Fy ，则称 为矩阵 G 和 F 的广义特征值。矩阵 G 和 F 的最大广义特征值的计算问 题可以转化为一个具有 LMI 约束的优化问题。
