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常微分方程的级数解在科学研究中，经常需要解含有未知函数的导数的方程，这就是微分方程。
如果方程中只含有对未知函数的一个自变量的导数，这个方程就被称为常微分方程，如果方程中含有对未知函数的多个自变量的导数，这个方程就是偏微分方程。
求解微分方程的基础是求解常微分方程，含有任意个自变量的偏微分方程可以通过某种途径转化成多个常微分方程。
在常微分方程中，最常见的是二阶常微分方程，即含有对未知函数的自变量求二阶导数的微分方程。
在二阶微分方程中，二阶线性齐次常微分方程又是最基本的微分方程，因此，我们来讨论这种最基本的常微分方程。
二阶线性齐次常微分方程具有如下的标准形式：其中对自变量的最高阶导数是二阶导数，它前面的系数等于1。
对于更高阶的微分方程，也会写成类似这样一种标准形式，它能够直接告诉我们这个方程的最高阶导数项是哪一阶导数。
在二阶常微分方程的这个标准形式中，如果两个系数在某点都是解析的，该点就叫做方程的常点；如果至少有一个系数在某点不解析，该点就叫做方程的奇点。
对于无穷远点，必须作变换 t=1/z，由此得到 dt/dz=-t²，利用这个结果将对 z 求导数转换成对 t 求导数。
对 z 求一阶导数是这样转换的：对 z 求二阶导数是这样转换的：把它们代入以z 为自变量的标准方程中，得到一个以t 为自变量的方程：稍作整理后将其化成标准形式：引入两个新的函数：就能够明显地看出，上述方程具有二阶常微分方程的标准形式，只不过自变量由 z 变成 t 吧了：现在，只要按照前面的方式，考察t=0 点的特性，就可以对无穷远点的奇异性做出判断。
一个简单的例子是勒让德方程，这是在科学研究中经常遇到的一个常微分方程，许多微分方程经过一系列数学变换最终都可以化为勒让德方程：把这个方程改写成标准形式，就得到两个系数：显然，在z=±1 这两个点，两个系数不解析。
对于无穷远点，方程的两个系数具有以下形式：我们看到，t=0 是其中一个系数的奇点。
（1） 概念微分方程：一般，凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量的之间关系的方程。
微分方程的阶：微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数。
如： 一阶：2dyx dx= 二阶：220.4d sdt=-三阶：32243x y x y xy x ''''''+-= 四阶：()4410125sin 2yy y y y x ''''''-+-+=一般n 阶微分方程的形式：()(),,,,0n F x y y y '=。
这里的()ny 是必须出现。
（2）微分方程的解设函数()y x ϕ=在区间I 上有n 阶连续导数，如果在区间I 上，()()()(),,0n F x x x x ϕϕϕ⎡⎤'≡⎢⎥⎣⎦则()y x ϕ=称为微分方程()(),,,,0n F x y y y '=的解。
注：一个函数有n 阶连续导数→该函数的n 阶导函数也是连续的。
函数连续→函数的图像时连在一起的，中间没有断开（即没有间断点）。
导数→导函数简称导数，导数表示原函数在该点的斜率大小。
导函数连续→原函数的斜率时连续变化的，而并没有在某点发生突变。
函数连续定义：设函数()y f x =在点0x 的某一邻域内有定义，如果()()00lim x x f x f x →=则称函数()f x 在点0x 连续。
左连续：()()()000lim x x f x f x f x --→== 左极限存在且等于该点的函数值。
右连续：()()()000lim x x f x f x f x ++→== 右极限存在且等于该点的函数值。
在区间上每一个点都连续的函数，叫做函数在该区间上连续。
如果是闭区间，包括端点，是指函数在右端点左连续，在左端点右连续。
函数在0x 点连续⇔()()()()00lim lim lim x x x x x x f x f x f x f x -+→→→=== 1、()f x 在点0x 有定义 2、()0lim x x f x →极限存在3、()()00lim x x f x f x →=（3）微分方程的通解如果微分方程中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫微分注：任意常数是相互独立的：它们不能合并使得任意常数的个数减少。
一、 常微分方程的解析解常微分方程的解析解也就是常微分方程的精确解，也称为常微分方程的符号解；一般可理解为求微分方程的通解或者特解的解析式或表达式；但只有少数的微分方程存在解析解。
在MA TLAB 中，由函数dsolve()求解常微分方程（组）的解析解，其具体格式如下： X=dsolve(‘方程1’，‘方程2’，…‘方程n ’，‘初始条件’，‘自变量’)函数dsolve 用来解符号常微分方程、方程组，如果没有初始条件，则求出通解，如果有初始条件，则求出特解。
例1：求解常微分方程1dy dx x y =+的MA TLAB 程序为：dsolve('Dy=1/(x+y)','x')，注意，系统缺省的自变量为t ，因此这里要把自变量写明。
结果为：-lambertw(-C1*exp(-x-1))-x-1其中：Y=lambertw(X)表示函数关系Y*exp(Y)=X 。
例2：求解常微分方程2'''0yy y -=的MA TLAB 程序为：Y2=dsolve('y*D2y-Dy^2=0’,’x’) 结果为：Y2 =[ exp((x+C2)/C1)][ C2]我们看到有两个解，其中一个是常数。
例3：求常微分方程组253t tdx x y e dt dy x y e dt ⎧++=⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩通解的MA TLAB 程序为：[X,Y]=dsolve('Dx+5*x+y=exp(t),Dy-x-3*y=exp(2*t)','t')例4：求常微分方程组020210cos ,224,0t t t dx dy x t x dt dt dx dy y e y dt dt =-=⎧+-==⎪⎪⎨⎪++==⎪⎩通解的MA TLAB 程序为：[X,Y]=dsolve('Dx+2*x-Dy=10*cos(t),Dx+Dy+2*y=4*exp(-2*t)','x(0)=2','y(0)=0')二、 常微分方程的数值解在生产和科研中所处理的微分方程往往很复杂且大多得不出一般解。
第八章 常微分方程一、本章提要1． 基本概念微分方程，常微分方程，微分方程的阶数，线性微分方程，常系数线性微分方程，通解，特解，初始条件，线性相关，线性无关，可分离变量的方程，齐次线性方程，非齐次线性方程，特征方程，特征根．2． 基本公式一阶线性微分方程 ()()y P x y Q x '+=的通解公式:()d ()d ()e d e P x x P x x y Q x x C -⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦⎰． 3． 基本方法分离变量法，常数变易法，特征方程法，待定系数法，降阶法． 4． 定理齐次线性方程解的叠加原理，非齐次线性方程解的结构． 二、要点解析问题1 常微分方程有通用的解法吗？对本章的学习应特别注意些什么？解析 常微分方程没有通用的求解方法．每一种方法一般只适用于某类方程．在本章 我们只学习了常微分方程的几种常用方法．因此，学习本章时应特别注意每一种求解方法所适用的微分方程的类型．当然，有时一个方程可能有几种求解方法，在求解时，要选取最简单的那种方法以提高求解效率．要特别注意：并不是每一个微分方程都能求出其解析解，大多数方程只能求其数值解．例1 求微分方程 '+=y y 0 的通解．解一 因为 0y y '+= 所对应的特征方程为10r +=，特征根1r =-，所以e xy C -=（C 为任意常数）为所求通解．解二 因为0=+'y y ，所以 )0(d d ≠-=y y xy ，分离变量x yy d d -=，两边积分⎰⎰-=x yy d d ，1ln y x C =-+， 1ex C y -+=，1e e C x y -=±，所以 exy C -= （C 为任意常数）．请思考为什么所求通解 e x y C -= 中的任意常数C 可以为零，如何解释． 问题2 如何用微分方程求解一些实际问题？解析 用微分方程求解实际问题的关键是建立实际问题的数学模型——微分方程．这首先要根据实际问题所提供的条件，选择和确定模型的变量．再根据有关学科，如物理、化学、生物、几何、经济等学科理论，找到这些变量所遵循的定律，用微分方程将其表示出来．为此，必须了解相关学科的一些基本概念、原理和定律；要会用导数或微分表示几何量和物理量．如在几何中曲线切线的斜率 xy k d d =（纵坐标对横坐标的导数），物理中变速直线运动的速度 d d s v t=，加速度 22d d d d ts tv a ==，角速度 tw d d θ=，电流 tq i d d =等．例2 镭元素的衰变满足如下规律；其衰变的速度与它的现存量成正比，经验得知，镭经过1600年后，只剩下原始量的一半，试求镭现存量与时间t 的函数关系．解 设t 时刻镭的现存量()M M t =，由题意知：0(0)M M = ，由于镭的衰变速度与现存量成正比，故可列出方程kM tM -=d d ，其中(0)k k >为比例系数．式中出现负号是因为在衰变过程中M 逐渐减小，0d d <tM ．将方程分离变量得ektM C -=，再由初始条件得00e M C C ==， 所以0ektM M -=，至于参数k ，可用另一附加条件 2)1600(0M M =求出，即160000e2k M M -⋅=，解之得k =≈ln .216000000433，所以镭的衰变中，现存量M 与时间t 的关系为0.0004330etM M -=．三、例题精解例3 求''=y y 4满足初始条件01,2x x yy =='== 的特解．解一 令'=y p ，则d d d d d d d d p p y py pxy x y''==⋅=．将其代入原方程''=y y 4得 y yp p4d d =，分离变量 y y p p d 4d =， 两边积分⎰⎰=y y p p d 4d ，22111422p y C =⋅+， 2224p y C =+，因为01,2x x yp y =='===，所以222241C =⨯+，可得C 2=0．故224p y =，即p y =±2．这里'=-y y 2 应舍去，因为此时'y 与y 异号，不能够满足初始条件．将2y y '=分离变量便得其解y =23exC +．再由y x ==01，得30C =，于是所求解为2e xy =．上面解法中，由于及时地利用初始条件确定出了任意常数C 1的值，使得后续步骤变得简单，这种技巧经常用到．解二 因为''=y y 4，所以40y y ''-=，特征方程 240r -=， 特征根 122,2r r =-=， 于是其通解为2212e e x x y C C -=+， 由初始条件可得C 1=0 ，C 2=1 ，所求特解为 2e x y =．例4 求方程''+=y y x sin 的通解．解一 该方程为二阶常系数非齐次线性方程，其对应的齐次方程为 ''+=y y 0，特征方程为 210r +=， 特征根12i,=i r r =-，齐次方程的通解为12cos sin c y C x C x =+，由于方程0sin e sin y y x x ''+==，i i αβ+=(其中0,1αβ==) 恰是特征单根，故设特解为y x A x B x p =+(c o ss i n )， 代入原方程，可得1,02A B =-= 所以y x x p =-12cos ，于是所求通解为y C x C x x x =+-1212c o ss i n c o s ．上述解法一般表述为：若二阶线性常系数非齐次微分方程 ''+'+=y py qy f x ()中的非齐次项[]()e()cos ()sin xn h f x P x x P x x αββ=+，那么该微分方程的特解可设为[]e()c o s ()s i n kxp mm y x P x x Q xx αββ=+，其中(), ()m m P x Q x 均为 m 次待定多项式 {}m h n =m ax ,．如果非齐次项中的αβ,使i αβ±不是特征方程的根，则设0k =；如果i αβ±是特征方程的单根，则取1k =．解二 方程''+=y y x sin 所对应的齐次方程''+=y y 0之通解y C x C x C =+12cos sin ．为求''+=y y x sin 的一个特解，先求辅助方程 i e e (0i )x xy y λλ''+===+ ①的特解，由于i λ= 恰是特征单根，故可设i e xp y Ax =为①的一个特解．将其代入①整理得2i 1A = 即i 2A =-，所以i i i 11e(c o s i s i n )s i n i (c o s)2222xp y x x x x x x x x =-=-+=-， 即y x x *cos =-12为方程''+=y y x sin 的一个特解．因此，所求通解为y C x C x x x =+-1212cos sin cos ．该方法一般表述为：若二阶线性常系数非齐次微分方程''+'+=y py qy f x ()中的非齐次项()()ecos xm f x P x x αβ=或()()e sin x m f x P x x αβ=时，可先令()()e x m f x P x λ=(i λαβ=+)按λ是否为特征方程的特征根（λ是特征根设1k =，不是特征根设0k =），可设()e kxp m y x Q xλ=为方程()e xm y py qy P x λ'''++=的特解，求出12i p y y y =+的形式，则y 1为''+'+=y py qy ()e cos x m P x x αβ的一个特解， y 2 为''+'+=y py qy ()e sin x m P x x αβ的一个特解． 上述两种解法，实质上是一样的，为什么？四、练习题1． 判断正误（1）若y 1和y 2是二阶齐次线性方程的解，则1122C y C y +（C 1，C 2为任意常数）是其通解 ； （ ⨯ ）解析 只有1y 和2y 是二阶齐次线性方程的两个线性无关的解时，其线性组合1122C y C y +才是通解．（2）'''+''-=y y x 0的特征方程为3210r r +-=； （ ⨯ ） 解析 '''+''-=y y x 0为三阶常系数非齐次线性微分方程，其对应的齐次线性方程为0=''+'''y y ，由于齐次线性微分方程的特征方程是把微分方程中的未知函数y 换成未知元r ，并将未知函数的导数的阶数换成未知元r 的次数而得到的代数方程．因此，'''+''-=y y x 0的特征方程为3210r r +-=．（3）方程''-'=y y x sin 的特解形式可设为x B x A sin cos +（Ａ，Ｂ为待定系数） ；（ √ ）解析 对应的齐次方程为0='-''y y ，特征方程为02=-r r ，特征根为 1r =0，2r =1． 又因为1,0==βα,i i αβ±=±不是特征根，于是，非齐次方程的特解应设为x x Q x x P y p s i n )(c o s )(00+== x B x A sin cos +．（4）'=y y 的通解为e xy C =（C 为任意常数）． （√ ）解析 特征方程为01=-r ，特征根为r =1，所以，特征方程的通解为e x y C =．2．选择题（1）2(1)e xy y y x '''-+=+的特解形式可设为（ A ）；(A)2()e x x ax b + ； (B) ()e x x ax b +；(C) ()e xa xb +； (D) 2)(x b ax +．解析 特征方程为0122=+-r r ，特征根为 1r =2r =1．λ=1是特征方程的特征重根，于是有2()e xp y x ax b =+．（2）2e sin x y y y x -'''++=的特解形式可设为（ C ）；(A) e sin x A x -； (B) 2e sin x Ax x -； (C) e (sin cos )x A x B x -+； (D) )cos (sin 2x x Ax +．解析 特征方程为 0122=++r r ，特征根为 1r =2r =1-．又因为1,1=-=βα，i 1i αβ±=-±不是特征根，于是，非齐次方程的特解设为)cos sin (x B x A e y xp +=-．（3）22e cos x y y y x -'''++=的特解形式可设为（ A ）；(A) (cos sin )e x x A x B x -+； (B) e cos x Ax x -；(C) e sin x Ax x -； (D) (cos sin )e x Ax x x -+．解析 特征方程为0222=++r r ，特征根为 1r =1i -+，2r =1i --．又因为1α=-，1β=，i 1i αβ±=-±是特征方程的特征单根，于是，非齐次方程的特解设为 e(c o s s i n xp y x A x B x -=+．（4）下列方程中，通解为12e e x xy C C x =+的微分方程是（ A ）．(A) 02=+'-''y y y ； (B) ''+'+=y y y 21； (C) '+=y y 0 ； (D) '=y y ．解析 由通解y =12e e x x C C x +=12()e xC C x +可知，它是二阶常系数齐次线性微分方程的通解，方程的特征根为重根1r =2r =1，对应的特征方程为0122=+-r r ，其所对应的二阶常系数齐次线性微分方程为02=+'-''y y y ．３．填空题（１） 方程 '''+'=y y 0的通解为 123cos sin C C x C x ++；解 特征方程为03=+r r ，特征根为1r =0，2r =i ，3r =i -，方程的通解为 y =123cos sin C C x C x ++． (2)''+'+=y py qy 0的特征方程为 02=++q pr r ；解 特征方程是把微分方程中的未知函数y 换成未知元r ，并将未知函数的导数的阶数换成未知元r 的次数而得到的代数方程．（3）''=y x 2sin 的通解为 122sin x C x C -++ ； 解 方程两边积分得 y '=2sin d x x ⎰=12cos x C -+， 微分方程的通解 1(2c o s )d y x C x =-+⎰=122sin x C x C -++．（４）''-'+=y y y 567满足670==x y和'=-=y x 01的特解为 237ee6xx-+ ．解 对应的齐次方程为065=+'-''y y y ，特征方程为0652=+-r r ，特征根为1r =2，2r =3，对应齐次方程的通解为2312eexxc y C C =+．由于λ=0不是特征方程的根，故设00()ee xxp y Q x A ==，将()Q x A =，0)()(=''='x Q x Q 代入方程，有6A =7， 即 A =67．于是方程的特解为 67=p y ，方程的通解为 23127=e +e6xxy C C +．现在求满足初始条件的特解．对y 求导得23122e 3e x xy C C '=+，将初值代入y 与y '，有121277(0),661(0)23,y C C y C C ⎧⎪==++⎨'-==+⎪⎩即 {12120,231,C C C C +=+=- ⇒{121,1,C C ==- 于是，方程满足初始条件的特解为y =237e e 6x x -+．4． 解答题(1) 用两种方法求解 ''=-'y x y 2；解一 对应的齐次方程为02='+''y y ，特征方程为 022=+r r ，特征根为 1r =0，2r =2-，于是对应的齐次方程的通解为c y =212exC C -+．由于λ=0是特征方程的特征单根，于是设p y =0()e x Q x =x(Ax+B)0e x ， 求导得 B Ax x Q +='2)(， A x Q 2)(=''， 则有 x B Ax A =++)2(22， ⇒ 1,41,4A B ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ 所以方程的特解为 p y =)414(-x x ，所求方程的通解为 y =212exC C -++442x x-．解二 设)(x p y ='，则)(x p y '=''，原方程变形为 p x p 2-='，对应的齐次方程为 02=+'p p ，用分离变量法，得d 2d p x p=-，两边积分，得 l n 2l n p x c=-+， 即2e xp c -=， 根据常数变易法，设2()exp c x -=，代入p x p 2-='，有2()exc x x -'=， 2()e,xc x x '=积分得 2()ed xc x x x=⎰=21de2xx ⎰=2211ee d 22xxx x -⎰=22111ee24xxx C -+，变形后所得一阶微分方程的通解为 p =211e 24xx C --+，所以，原方程的通解为 y =()d p x x ⎰=211(e)d 24xx C x --+⎰=212exC C -++442x x-．(2) 求方程 ''+=y y x x cos 2满足10==x y，019x y ='=-的特解；解 对应的齐次方程为0=+''y y ，特征方程为012=+r ，特征根为1r =i ，2r =i -，对应的齐次方程的通解为c y =12cos sin C x C x +．先求辅助方程2i e x y y x ''+=的特解：由于λ=2i 不是特征方程的特征根，于是设p y =2i ()e x Q x =)(B Ax +2i e x ，A x Q =')(， 0)(=''x Q ，则有 4i 3()A Ax B x -+= ⇒ 1,34i,9A B ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩所以，辅助方程的特解为p y 14(i)(cos 2i sin 2)39x x x =--+1414(cos 2sin 2)(sin 2cos 2)i 3939x x x x x x =-++--，于是原方程的特解为 p y =x x x 2sin 942cos 31+-， 所求方程的通解为 y =12cos sin C x C x +14cos 2sin 239x x x-+．现在求满足初始条件的特解．对通解求导数，得='y 12128sin cos cos 2sin 2cos 2,339C x C x x x x x -+-++由初始条件10==x y ，019x y ='=-，带入上面两式，得121,2,3C C =⎧⎪⎨=-⎪⎩所以，满足初始条件的特解为 x x y sin 32cos -=14cos 2sin 2.39x x x -+(3) 求方程 (e e )d (e e )d 0x y x x y y x y ++-++=的通解； 解 整理得 e (e 1)d e (e 1)x y yxx y -=-+，用分离变量法，得eed de 1e 1yxyxy x =--+，两边求不定积分，得 l n (e 1)l n (e 1)l y xC -=-++，于是所求方程的通解为 e 1e 1yxC-=+，即 e 1e 1yxC =++．(4) 求()y x y y 2620-'+=的通解；解 分离变量，得 2d 2d 6y y xx y=-，取倒数，有2d 613d 22x x y x y yyy-==-，是x 关于y 一阶线性微分方程．求此方程的通解．对应的齐次方程为d d x y=3yx ，用分离变量法，得 d x x=3d y y，两边积分，得 l n 3l n l n x y c =+， 即 3x c y =，用常数变易法，设方程的解为x =3()c y y ，代入方程，有31()2c y y y '=-， 即 21()2c y y'=-，积分，得 ()c y =12C y+，所以，方程的通解为 x =2312y C y +．(5) 当一次谋杀发生后，尸体的温度从原来的37C 。
第八章 常微分方程【教学要求】一、了解微分方程的基本概念：微分方程，微分方程的阶、解、特解、通解、初始条件和初值问题，线性微分方程。
二、熟练掌握一阶可分离变量微分方程的解法。
三、熟练掌握一阶线性非齐次微分方程)()(x q y x p y =+'的解法——常数变易法和公式法。
四、理解线性微分方程解的性质和解的结构。
五、熟练掌握二阶线性常系数齐次微分方程0=+'+''qy y p y 的解法——特征根法。
会根据特征根的三种情况，熟练地写出方程的通解，并根据定解的条件写出方程特解。
六、熟练掌握二阶线性常系数非齐次微分方程qy y p y +'+'')(x f =，当自由项f (x )为某些特殊情况时的解法——待定系数法。
所谓f (x )为某些特殊情况是指f (x )为多项式函数，指数函数或它们的和或乘积形式、三角函数x x x ββαsin cos ,e 。
关键是依据f (x )的形式及特征根的情况，设出特解y *,代入原方程，定出y *的系数。
【教学重点】 一阶可分离变量微分方程、一阶线性微分方程、二阶线性常系数微分方程的解法。
【典型例题】。
的阶数是微分方程例)(e )(12x y y y =-'+''2.1.B A 4.3.D C 解：B。
的特解形式是微分方程例)(e 232x x y y y +=+'-'' x x x b ax B b ax A e )(.e ).(++x x c b ax D cx b ax C e ).(e ).(++++解：C是一阶线性微分方程。
下列方程中例)(,3 x x y y x B y A yx cos sin 1.e .2=+'='+ y x y D y y x y C ='=+'+''.0.解：B ⎩⎨⎧=='++1)1(0)1(4y y x y y 求解初值问题例 ⎰⎰-=+x x y y y d )1(d 解：由变量可分离法得c x y y ln ln 1ln+-=+∴ 代入上式得通解为由21ln ln 1)1(=⇒=c yx y y 211=+ 的特解。
北京理工大学微积分-常微分方程解法常微分方程各种解题方法程功2011/2/161.几个基本定义（1）微分方程:凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.实质: 联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式.分类1: 常微分方程： 未知函数为一元函数 偏微分方程： 未知函数为多元函数分类2:微分方程的阶: 微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称之. 一阶微分方程(,,)0,F x y y '=(,);y f x y '=高阶()n 微分方程()(,,,,)0,n F x y y y '= ()(1)(,,,,).n n y f x y y y -'=分类3: 线性与非线性微分方程.()(),y P x y Q x '+=2()20;x y yy x ''-+=分类4: 单个微分方程与微分方程组.32,2,dyy z dxdz y z dx⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（2）微分方程的解:代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之.微分方程的解的分类：① 通解: 微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同.,y y '=例;x y Ce =通解0,y y ''+=12sin cos ;y C x C x =+通解② 特解: 确定了通解中任意常数以后的解. （3）解的图象: 微分方程的积分曲线. 通解的图象: 积分曲线族.（4）初始条件: 用来确定任意常数的条件. 初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题.一阶:00(,)x x y f x y y y ='=⎧⎪⎨=⎪⎩过定点的积分曲线;二阶:0000(,,),x x x x y f x y y y y y y =='''=⎧⎪⎨''==⎪⎩过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.2.可分离变量的微分方程可分离变量微分方程的形式()()g y dy f x dx =44225522,dy x y y dy x dx dx-=⇒=例如解法：设函数()g y 和()f x 是连续的,()()g y dy f x dx =⎰⎰设函数()G y 和()F x 是依次为()g y 和()f x 的原函数,()()G y F x C =+为微分方程的解.3.齐次方程形如()dy yf dx x=的微分方程称为齐次方程. 解法：作变量代换,y u x =,y xu =即,dy duu x dx dx∴=+ 代入原式(),du u x f u dx += 即().du f u u dx x-=（可分离变量的方程） （1）()0,f u u -≠当时1ln ,()duC x f u u=-⎰得),u x Ce ϕ=即()()du u f u uϕ=-⎰（）,yu x =将代入(),yx x Ce ϕ=得通解 （2）0,u ∃当00()0,f u u -=使0,u u =则是新方程的解,代回原方程0.y u x =得齐次方程的解 4．可化为齐次的方程 定义111()dy ax by cf dx a x b y c ++=++形如的微分方程 10,c c ==当时为齐次方程.否则为非齐次方程. 解法：,x X h y Y k =+=+令，（其中h 和k 是待定的常数）,dx dX dy dY ==11111()dY aX bY ah bk c f dX a X b Y a h b k c ++++=++++1110,0,ah bk c a h b k c ++=⎧⎨++=⎩ （1）1122a b a b ≠有唯一一组解.11()dY aX bYf dX a X b Y +=+得通解代回,X x h Y y k =-⎧⎨=-⎩， （2）11,a b a b λ==1(),()dy ax by c f dx ax by c λ++=++方程可化为,z ax by =+令 dz dy a b dx dx =+则，11()().dz z c a f b dx z c λ+-=+可分离变量. 5.其它类型：通过变量代换化为可分离变量方程(1)()()()f x y dx dy g x dx ±±=,u x y =±令,du dx dy =±方程化为()()f u du g x dx = (2)()()()f xy xdy ydx g x dx +=,u xy =令,du xdy ydx =+代入方程得()()f u du g x dx =(3)()()()y f xdy ydx g x dx x -=,y u x =令则2,xdy ydx du x -=代入方程得2()()g x f u du dx x=22(4)()()()f x y xdx ydy g x dx ++=22,u x y =+令 则22,du xdx ydy =+代入方程得()2()f u du g x dx =6.线性方程一阶线性微分方程的标准形式:()()dyP x y Q x dx+= ()0,Q x ≡当上方程称为齐次的.()Q x ≡当0,上方程称为非齐次的. 例如2,dy y x dx =+2sin ,dx x t t dt=+线性的; 23,yy xy '-=cos 1,y y '-=非线性的。
高中数学备课教案解常微分方程的方法总结高中数学备课教案：解常微分方程的方法总结一、前言在高中数学备课中，解常微分方程是一个重要的教学内容。
本文将总结常微分方程的解法，并提供相关的教学建议，以帮助教师在备课过程中更好地应对这一内容。
二、常微分方程基础知识回顾在解常微分方程之前，我们首先需要回顾常微分方程的基础知识。
1. 定义：常微分方程是指含有未知函数及其导数的方程。
2. 一阶常微分方程：常微分方程中最低阶导数为一阶导数的方程。
3. 解的存在唯一性定理：满足一定条件的初值问题常微分方程存在唯一解。
三、解常微分方程的方法总结解常微分方程的方法主要包括以下几种：1. 分离变量法分离变量法是解常微分方程中最常用的方法之一。
其基本思想是将方程中的未知函数和导数分离到等式的两边，再对两边进行积分，得到方程的通解。
2. 齐次方程法对于齐次方程，我们可以进行变量替换，将未知函数转化为新的函数，从而简化方程的形式。
这样一来，我们可以使用分离变量法来求解。
3. 恰当方程法对于一些特殊形式的常微分方程，如果可以找到一个函数，使得方程左右两边乘以这个函数后，变成一个全微分形式，那么我们就可以使用恰当方程法来解。
4. 变量替换法有时候，我们可以通过合理的变量替换，将原方程转化为一些已知的常微分方程，从而方便我们求解。
5. Bernoulli方程法对于一些形如y' + P(x) * y = Q(x) * y^n的方程，我们可以通过变量替换，将其转化为一阶线性方程，进而求解。
6. 常系数线性方程法对于一些形如y'' + ay' + by = f(x)的常系数线性方程，我们可以使用特征方程法求解。
7. 参数化方程法对于一些高阶常微分方程，我们可以通过参数化的方法将其转化为一组一阶常微分方程，从而求解。
四、教师备课建议在备课过程中，教师应注意以下几点：1. 基础知识的梳理：备课前，教师应对相关的基础知识进行复习和总结，确保自己对常微分方程的概念和解法有清晰的理解。
