《分式》精品讲义

分式本章小结小结1 本章概述本章在已学过的分数的基础上引入了分式的概述，用类比的方法探究分式的基本性质，在熟练掌握分式的基本性质的基础上，会进行分式的约分、通分和分式的加、减、乘、除、乖方运算，会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验分式方程的根．小结2 本章学习重难点【本章重点】了解分式的概念，会利用分式的基本性质进行约分和通分，会进行简单的分式加、减、乘、除、乘方运算；能够根据具体问题数量关系列出简单的分式方程，会会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型；会解简单的可化为一元一次方程的分式方程.【本章难点】应用分式方程解决实际问题．小结3 中考透视本章内容在中考中主要考查判断分式有无意义，分式值为零的条件的应用，用分式基本性质进行变形，分式运算及分式的化简求值，常与实际问题结合起来命题，题型以解答题为主．知识网络结构图分式的概念 分式的意义、无意义的条件0的条件分式的基本性质分式的基本性质 分式的约分 分式的通分 分式的乘法规则分式的除法规则分式 同分母分式的加减法法则分式的运算 分式的加减法法则异分母分式的加减法法则运算性质 负正数指数幂科学记数法公式方程的概念 解分式方程的步骤分式方程 分式方程中使最简公分母为0的解列分式方程应用题的步骤专题总结及应用一、识性专题专题1 分式基本性质的应用【专题解读】分式的基本性质是分式的化简、计算的主要依据.只有掌握好分式的基本性质，才能更好地解决问题.例1 化简(1)2610xyx ; (2) 21xy yx --； 解：(1)26233.10255xy x y yx x x x==(2)2(1)1(1)(1)1xy y y x yx x x x --==-+-+. 【解题策略】化简一个分式时，主要是根据分式的基本性质，把分式的分子与分母同时除以它们的公因式，当分式的分子或分母是多项式时，能分解因式的一定要分解因式.例2 计算2312212422a a a a ⎛⎛⎫⎫+÷-⎪⎪ ---+⎭⎭⎝⎝解：2312212422a a a a ⎛⎛⎫⎫+÷-⎪⎪ ---+⎭⎭⎝⎝3(2)122(2)2(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)3186(2)(2)(2)(2)3.a a a a a a a a a a a a a a a a a ⎡⎤⎡⎤++-=+÷-⎢⎥⎢⎥+-+-+-+-⎣⎦⎣⎦++=÷+-+-= 【解题策略】异分母分式相加减，先根据分式的基本性质进行通分，转化为同分母分式，再进行相加减.在通分时，先确定最简公分母，然后将各分式的分子、分母都乘以分母与最简公分母所差的因式.运算的结果应根据分式的基本性质化为最简形式.专题2 有关求分式值的问题【专题解读】对于一个分式，如果给出其中字母的值，可以先将分式进行化简，然后将字母的值代入，求出分式的值.但对于分式的求值问题,却没有直接给出其中字母的值,而只是给出其中的字母所满足的条件，这样的问题复杂，需根据其转点采用相应的方法.例3 已知13x x +=,求2421x x x -+的值. 解: 因为0x ≠，所以用2x 除所求分式的分子、分母. 原式22221111113361()21x x x x====--++--. 例4 已知22230x xy y --=，且x y ≠-，求2x x y x y--的值.解: 因为22230x xy y --=， 所以()(23)0,x y x y +-= 所以0x y +=或230x y +=,又因为x y ≠-,所以0x y +≠,所以230x y -=,所以2,3y x = 所以223.2727323333x x x x x x x x x y x x yx x ====------- 例5 已知345,x y y z z x ==+++求()()()xyzx y y z x z +++的值. 解: 设3451,x y y z z x k===+++ 则3,4,5,x y k y z k z x k +=+=+= 解得x =2k ，y =k ，z =3k ，所以332361()()(3456010xyz k k k k x y y z x z k k k k ===+++）. 例6 已知,,x za c y z x y==++且abc o ≠,求111a b c a b c +++++的值. 解: 由已知得1,y za x+= 所以111,y z x y z a x x ++++=+=即1a x y za x+++=,所以1a xa x y z=+++, 同理,,11b y c z b x y z c x y z==++++++ 所以1111a b c x y z x y z a b c x y z x y z x y z x y z++++=++==+++++++++++. 例7 已知1,x y z y z z x x y ++=+++且0x y z ++≠,求222x y z y z x z x y+++++的值.解: 因为0x y z ++≠,所以原等式两边同时乘以x y z ++,得:()(().x x y z y x y z z x y z x y z y z z x x y++++++++=+++++） 即222()()(),x x y z y y z x z z x y x y z y z y z z x z x x y x y ++++++++=++++++++ 所以222(),x y z x y z x y z y z z x x y +++++=+++++所以2220.x y z y z z x x y++=+++【解读策略】 条件分式的求值，如需把已知条件或所示条件分式变形，必须依据题目自身的特点，这样才能到事半功倍的效果，条件分式的求值问题体现了整体的数学思想和转化的数学思想.例8 已知,345x y z ==求23x yx y z+-+的值. 分析 根据已知条件,可把,,x y z 用含有一个字母的代数式表示出来,再分别代入到所求式子中化简即可.解: 设,345x y zk ===则3,4,5x k y k z k ===. 所以34773324351010x y k k k x zy z k k k k ++===-+-⨯+⨯.【解题策略】 当代数式中的字母的比值是常数时，一般情况下都采用这种方法求分式的值.例9 已知,a b b c a c k c a b +++===求21kk +的值. 分析 只要求出k 的值就可以了,由已知条件可得,,,a b ck b c ak a c bk +=+=+=将这三个等式可加后得到2()()a b c k a b c ++=++,再通过讨论得到k 的值.解: 由已知到,,a b ck b c ak a c bk +=+=+=.三式相加得2()(),a b c k a b c ++=++即(2)()0k a b c -++=, 所以20k -=,或0a b c ++=. 即2k =,或0a b c ++=. 当0a b c ++=时,a b c +=-,此时1,a bc+=-即1k =-. 所以2k =,或1k =-. 当2k =时,2222;1215k k ==++ 当1k =-时,22111(1)12k k -==-+-+. 【解题策略】在得到2()(),a b c k a b c ++=++时，因为a b c ++可以等于零，所以两边不能同时除以a b c ++，否则分丢解，应进行整理，用分解因式来解决.例10 已知111,a b a b +=+求b a a b+的值. 分析 观察已知条件和所示的分式,可将它们分别进行整理,从中得到某种关系,然后求值.解: 由111,a b a b +=+得1,a b ab a b+=+ 所以2(),a b ab +=即22a b ab +=-.所以221b a a b aba b ab ab+-+===-. 例11 已知14x x+=,求下列各式的值. (1)221x x +; (2)2421x x x ++. 分析 观察(1)和已知条件可知,将已知等式两边分别平方再整理,即可求出(1)的值;对于(2),直接求值很困难,根据其特点和已知条件,能够求出其倒数的值,这样便可求出(2)的值.解: (1)因为14x x +=,所以2214x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.即221216x x ++=.所以22114x x+=.(2)4242222222111114115x x x x x x x x x x ++=++=++=+=, 所以2421115x x x =++.32430a -⨯+= 专题3 与增根有关的问题 例12 如果方程11322x x x-+=--有增根, 那么增根是 . 分析 因为增根是使分式的分母为零的根,由分母20x -=或20x -=可得2x =.所以增根是2x =.答案: 2x =例13 若关于x 的方程2403x x ax -+=-有增根, 则 a 的值为 ( )A.13B. –11C. 9D.3分析 因为所给的关于x 的方程有增根,即有30x -=, 所以增根是3x =.而3x =一定是整式240x x a -+=的根, 将其代入得32430a -⨯+=,所以3x =.答案: D例14 a 何值时,关于x 的方程223242ax x x x +=--+会产生增根? 分析 因为所给方程的增根只能是2x =或2x =-，所以应先解所给的关于x 的分式方程，求出其根，然后求a 的值.解: 方程两边都乘以(2)(2)x x +-,得2(2)3(2).x ax x +=- 整理得(1)10a x -=-. 当a = 1 时,方程无解. 当1a ≠时,101x a =--. 如果方程有增根,那么(2)(2)0x x +-=,即2x =或2x =-. 当2x =时,1021a -=-,所以4a =-;当2x=-时,1021a-=--,所以a = 6 .所以当4a=-或a = 6原方程会产生增根.专题4 利用分式方程解应用题【专题探究】列分式方程解应用题不同于列整式方程解应用题.检验时，不仅要检验所得的解是否为分式方程的解，还要检验此解是否符合题意.例15 在“情系海啸”捐款活动中，某同学对甲、乙两班捐款情况进行统计，得到如下三条信息.信息1：甲班共捐款300 元，乙班共挡捐款232 元.信息2: 乙班平均每人捐款钱数是甲班平均每人捐款钱数的4 5 .信息3 : 甲班比乙班多2人.请根据以上三条信息,求出甲班平均每人捐款多少元.解: 设甲班平均每人捐款x元,则乙班平均每人捐款45x元.根据题意, 得300232245x x=+,解这个方程得5x=.经体验,5x=是原方程解.例16 (08·山西) 某文化用品商店用2000元购进一批学生书包，上市后发现供不应求，商店又购进第二批同样的书包，所购数量是第二批进数量的3倍，但单价贵了4元，结果第二批用了6300元.（1）求第一批购进书包的单价是多少？（2）若商店销售这两批书包，每个售价都是120元，全部售出生，商店共盈利多少元？分析设第一反批购进书包的单价为x元，则第二批购进的书包的单价为(4)x+，第一批购进书包2000x个，第二批购进书包63004x+个.解: 设第一批购进书包的单价为x元.依题意,得2000630034 x x⨯=+,整理,得20(4)21x x+=, 解得80x=.答: 第一批购进书包的单价为80元.解法1: (2)20006300(12080)(12084)100027003700 8084⨯-+⨯-=+=(元).答: 商店共盈利3700元.解法2 : 2000(13)120(20006300)120008300370080⨯+⨯-+=-=(元)答: 商店共盈利3700元.二、规律方法专题专题5 分式运算的常用讨巧（1）顺序可加法.有些异分母式可加,最简公分母很复杂,如果采用先通分再可加的方法很烦琐.如果先把两个分式相加减,把所提结果与第三个分式可加减,顺序运算下去,极为简便.(2)整体通分法,当整式与分式相加减时,一般情况下,常常把分母为1的整式看做一个整体进行通分,依此方法计算,运算简便.(3)巧用裂项法.对于分子相同、分母是相邻两个连续整数的积的分式相加减，分式的项数是比较多的，无法进行通分，因此，常用分式111 (1)1n n n n=-++进行裂项.(4)分组运算法: 当有三个以上的异分母分式相加减时,可考虑分组,原则是使各组运算后的结果能出现分子为常数,且值相同或为倍数关系,这样才能使运算简便.(5)化简分式法.有些分式的分子.、分母都异常时如果先通分，运算量很大.应先把每一个分别化简，再相加减.(6)倒数法求值（取倒数法）.(7)活用分式变形求值.(8)设k求值法(参数法)(9)整体代换法.(10)消元代入法.例17 化简324 11241111x x x x x x+++-+++解: 原式=33 222422411242241111111 x x x x x x x x x x x x x x+-+++=++-+++-++ 2233322444 343474482(1)2(1)444(1)(1)1114(1)4(1)8.(1)(1)1x x x x x x x x x x x xx x x x xx x x++-=+=+-++-+++-==-+-例18 计算422 aa-++.解：原式24(2)(2)41222 a a aa a a-+-=+=++++2(2)(2)422a a aa a+-+==++例19 计算3211xx xx+-+-.解：原式323 2(1)(1)1111x x x x x x xx x x-++=++-=----331111x xx x--==---.例20 计算1111.(1)(1)(2)(2)(3)(2005)(2006)a a a a a a a a+++++++++++解:原式111111111122320052006a a a a a a a a⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+--++-⎪ ⎪⎪ ⎪+++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2111111111122320052006 1120062006(2006)(2006)2006.2006a a a a a a a aa aa aa a a aa a=---+-++-+++++++=-++=-++=+【解题策略】要注意裂项法解分式是，常用分式111 (1)1 n n n n=-++.例21 计算22221111.23243x x x x x x x x x +--+++++++ 解: 原式22221111322143x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪+++++++⎝⎭⎝⎭ 2222221111(1)(1)(2)(1)(1)(3)(2)(3)(1)(1)(2)(1)(3)22(1)(2)(1)(3)2(1)(3)2(2)(1)(2)(3)2(263).(1)(2)(3)x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤=-+-⎢⎥⎢⎥++++++⎣⎦⎣⎦+-+-+=+++++=++++++++=+++++=+++ 例22已知x =求2111.242x x x +-+-- 解: 原式222111(2)(2)122444x x x x x x x --+=-+=++---- 222413444x x x --=+=---.当x =原式== 例23 计算22223652.3256x x x x x x x x ++++-++++ 解: 原式2244113256x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭ 2244325644(1)(2)(2)(3)4(3)4(1)(1)(2)(3)(2)(3)(1)816(1)(2)(3)8.(1)(3)x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =+++++=+++++++=++++++++=+++=++例24 已知271x x x =-+,求2421x x x ++的值. 解: 因为 271x x x =-+,所以0a ≠, 所以 2117x x x -+=,即187x x +=, 所以 242222111151149x x x x x x x ++⎛⎫=++=+-= ⎪⎝⎭所以 24215149x x x =++. 【解题策略】在求代数式的值时，有时所给条件或所求代数式不易化简变形，当把代数式的分子、分母颠倒后，变形就容易了，这样的问题通常采用倒数法（把分子、分母倒过来）求值.例25 已知2510x x -+=和0x ≠,求441x x +的值. 解: 由2510x x -+= 和0x ≠ ,提15x x+=, 所以24242112x x x x ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭2222122(52)2527x x ⎡⎤⎛⎫=+--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=--= 【解题策略】 若能对分式进行熟练的变形运用，可给解题带来极大的方便. 例26 已知,b c c a a b a b c +++==求()()()abc a b b c c a +++的值. 解: 设b c c a a b k a b c+++===, 所以,,b c ak c a bk a b ck +=+=+=所以,b c c a a b ak bk ck +++++=++所以2()(),()(2)0,a b c k a b c a b c k ++=++++-=即2k =或()0,a b c ++=当2k =,所求代数式33118abc abck k ===, 当0a b c ++=,所求代数式1=-. 即所求代数式等于18或1-. 【解题策略】当已知条件以此等式出现时，可用设k 法求解.例27 已知111111111,,,6915a b b c a c +=+=+=求abc ab bc ac++的值. 解:因为 111111111,,,6915a b b c a c +=+=+= 各式可加得1111112,6915a b c ⎛⎫++⨯=++ ⎪⎝⎭所以11131180a b c ++=， 所以()1180.111()()31abc abc abc ab bc ac ab bc ac abc c a b ÷===++++÷++ 例28 若4360,27,x y z x y z --=+-求232232522310x y z x y z----的值. 分析 消元法首选方法，即把其中一个未知数视为常量.解：以x, y 为主元，将已知两等式化为所以原式222222592413293410z z z z z z ⨯+⨯-==-⨯-⨯-. 三、思想方法专题专题6 整体思想【专题解读】在进行分式运算时要重视括号的作用，即在计算时括号内的部分是一个整体，另外在分式的运算以及解方程时要注意符号的作用.例29 (08·宜滨) 请先将下列代数式化简，再选择一个你喜欢又使原式有意义和数代入求值.436,27,x y z x y z -=+=所以3,2,x y y z ==21111121a a a a a -⎛⎫-÷ ⎪---+⎝⎭ 分析 先化简，再代入使10a -≠的数a 求值. 解原式22111(1)(1)111(1)1a a a a a a a a a --⎛⎫-÷=+=- ⎪--+-⎝⎭. 取10a =，则原式= 9 .【解题策略】将1化为11a a --进行减法运算，计算时要注意分子1a -是一个整体.。