直线与双曲线的位置关系 课件

[解析]
x2－y2＝4 y＝kx－1
，消去 y 得，
(1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0(*)
(1)当 1－k2＝0，即 k＝±1 时，直线 l 与双曲线渐近线平行，
方程化为 2x＝5，故此方程(*)只有一个实数解，即直线与双曲
线相交，且只有一个公共点．
(2)当 1－k2≠0，即 k≠±1 时，Δ＝(2k2)2－4(1－k2)(－k2－ 4)＝4(4－3k2)．
(2)当 b2－a2k2≠0，即 k≠±ba时， Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)．
Δ>0⇒直线与双曲线有__两__个__公共点，此时称直线与双曲 线__相__交___；
Δ＝0⇒直线与双曲线有_一__个__公共点，此时称直线与双曲 线_相__切___；
Δ<0⇒直线与双曲线_没__有___公共点，此时称直线与双曲线 __相__离___．
2．弦长公式 斜率为 k(k≠0)的直线 l 与双曲线相交于 A(x1，y1)，B(x2， y2)，则|AB|＝ 1＋k2|x1－x2| ＝ 1＋k2__|x_1_－__x_2|_ ＝ 1＋k2 x1＋x22－4x1x2 ＝ 1＋k12|y1－y2| ＝ 1＋k12 y1＋y22－4y1y2.
命题方向 直线与双曲线位置关系 [例 1] 已知双曲线 x2－y2＝4，直线 l：y＝k(x－1)，在 下列条件下，求实数 k 的取值范围． (1)直线 l 与双曲线有两个公共点； (2)直线 l 与双曲线有且只有一个公共点； (3)直线 l 与双曲线没有公共点． [分析] 要研究直线与双曲线的交点个数，通常需联立 直线与双曲线方程组成方程组，对方程解的个数进行讨论．
[答案] 3
[解析] 双曲线焦点坐标为 F1(－2,0)、F2(2,0)，直线 AB 的方程为 y＝ 33(x＋2)，把该直线方程代入双曲线方程得，8x2 －4x－13＝0.
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 所以 x1＋x2＝12，x1x2＝－183. |AB|＝ 1＋k2· x1＋x22－4x1x2 ＝ 1＋13× 122－4×－183＝3.
命题方向 综合应用问题 [例 3] 直线 l：y＝kx＋1 与双曲线 C：2x2－y2＝1 的右 支交于不同的两点 A、B. (1)求实数 k 的取值范围； (2)是否存在实数 k，使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲 线 C 的右焦点 F？若存在，求出 k 的值；若不存在，说明理 由．
[解析] (1)将直线 l 的方程 y＝kx＋1 代入双曲线 C 的方程 2x2－y2＝1 后整理得，
2 k> 3
3时，方程(*)无实数
解，即直线与双曲线无公共点．
综上所述，当－2
3
3<k<－1，或－1<k<1，或
2 1<k<
3
3时，
直线与双曲线有两个公共点；当 k＝±1，或 k＝±233时，直线
与双曲线有且只有一个公共点；当
k<－2 3 3，或
2 k> 3
3时，直
线与双曲线没有公共点．
过双曲线 x2－y32＝1 的左焦点 F1，作倾斜角为π6的直线 l 与双曲线的交点为 A、B，则|AB|＝________.
于是33kk22＋－71>2，即－33k2k－2＋19>0， 解得13<k2<3，又∵k2<1， ∴13<k2<1， 故 k 的取值范围为(－1，－ 33)∪( 33，1)．
[例 4] 已知双曲线 x2－y42＝1，过点 P(1,1)的直线 l 与双曲 线只有一个公共点，求直线 l 的斜率 k 的值．
1－3k2≠0 Δ＝6 2k2＋361－3k2＝361－k2>0
，
即 k2≠13且 k2<1.
设 A(xA，yA)，B(xB，yB)，
则 xA＋xB＝16－23kk2，xAxB＝1－－39k2. 由O→A·O→B>2，得 xAxB＋yAyB>2. xAxB＋yAyB＝xAxB＋(kxA＋ 2)(kxB＋ 2) ＝(k2＋1)xAxB＋ 2k(xA＋xB)＋2 ＝(k2＋1)1－－39k2＋ 2k16－23kk2＋2＝33kk22＋－71.
则 x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，且xx2122－－yyБайду номын сангаас22122＝＝11，.
① ②
①－②得(x1＋x2)(x1－x2)－12(y1＋y2)(y1－y2)＝0.
∴kMN＝xy11－－xy22＝2，故直线 MN：y－1＝2(x－1)．
y－1＝2x－1
由x2－y22＝1
消去 y 得，2x2－4x＋3＝0，
，
x1·x2＝k2－2 2
假设存在实数 k，使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C
的右焦点 F( 26，0)，则 FA⊥FB，
∴(x1－ 26)(x2－ 26)＋y1y2＝0， 即(x1－ 26)(x2－ 26)＋(kx1＋1)(kx2＋1)＝0. (1＋k2)x1x2＋(k－ 26)(x1＋x2)＋52＝0， ∴(1＋k2)·k2－2 2＋(k－ 26)·2－2kk2＋52＝0，
直线与双曲线的位置关系
1．直线与双曲线的位置关系 一般地，设直线 l：y＝kx＋m(m≠0)① 双曲线 C：ax22－by22＝1(a>0，b>0) 把①代入②得 (b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0.
(1)当 b2－a2k2＝0，即 k＝±ba时，直线 l 与双曲线的渐近线 __平__行__，直线与双曲线 C 相交于__一 ___点___．
[正解] 可分两种情况：(1)直线 l 斜率不存在时，l：x＝1 与双曲线相切，符合题意；(2)直线 l 斜率存在时，设 l 方程为 y＝k(x－1)＋1，代入双曲线方程，得(4－k2)x2－(2k－2k2)x－k2 ＋2k－5＝0，当 4－k2＝0 时，k＝±2，即 l 与双曲线的渐近线 平行时，l 与双曲线只有一个公共点；当 4－k2≠0 时，令 Δ＝0， 所以 k＝52.综上，k＝52或 k＝±2 或 k 不存在．
[解析] (1)设双曲线方程为ax22－by22＝1(a>0，b>0)． 由已知得 a＝ 3，c＝2，于是 a2＋b2＝22，b2＝1， 故双曲线 C 的方程为x32－y2＝1.
(2)将 y＝kx＋ 2代入x32－y2＝1，得
(1－3k2)x2－6 2kx－9＝0.
由直线 l 与双曲线交于不同的两点，得
Δ＝－8<0.
这说明直线 MN 与双曲线不相交，故被点 B 平分的弦不存
在．
过点 P(4,1)的直线 l 与双曲线x42－y2＝1 相交于 A、B 两点， 且 P 为 AB 的中点，求 l 的方程．
[解析] 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x421－y21＝1， x422－y22＝1，两式相减得： 14(x1＋x2)(x1－x2)－(y1＋y2)(y1－y2)＝0， ∵P 为 AB 中点， ∴x1＋x2＝8，y1＋y2＝2. ∴yx22－－yx11＝1，即所求直线 l 的斜率为 1， ∴l 方程为 y－1＝x－4，即 x－y－3＝0.
(k2－2)x2＋2kx＋2＝0① 依题意，直线 l 与双曲线 C 的右支交于不同的两点，
k2－2≠0 Δ＝2k2－8k2－2>0
故－k22－k 2>0
，
2 k2－2>0
解得 k 的取值范围为－2<k<－ 2.
(2)设 A、B 两点的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，则由①式 得
x1＋x2＝2－2kk2
命题方向 中点弦问题 [例 2] 已知双曲线的方程为 x2－y22＝1. 试问：是否存在被点 B(1,1)平分的弦？如果存在，求出 弦所在的直线方程，如果不存在，请说明理由． [分析] 不妨假定符合题意的弦存在，那么弦的两个端 点应分别在双曲线的左右两支上，其所在直线的倾角也不可 能是 90°.
[解析] 解法一：设被 B(1,1)所平分的弦所在的直线方程 为 y＝k(x－1)＋1，代入双曲线方程 x2－y22＝1，得(k2－2)x2－2k(k －1)x＋k2－2k＋3＝0.
∴Δ＝[－2k(k－1)]2－4(k2－2)(k2－2k＋3)>0. 解得 k<32，且 x1＋x2＝2kk2k－－21. ∵B(1,1)是弦的中点， ∴kkk2－－21＝1，∴k＝2>32. 故不存在被点 B(1,1)所平分的弦．
解法二：设存在被点 B 平分的弦 MN，设 M(x1，y1)、N(x2， y2)．
①41－－3k2k≠2>00
，即－2
3
32 <k<
3
3，且
k≠±1
时，方程(*)有
两个不同的实数解，即直线与双曲线有两个公共点．
②41－－3k2k≠2＝00 ，即 k＝±23 3时，方程(*)有两个相同的实 数解，即直线与双曲线有且仅有一个公共点．
③41－ －3k2k≠2<00
，即
k<－2
3
3，或
化简得 5k2＋2 6k－6＝0. 解得 k＝－6＋5 6，或 k＝6－5 6∉(－2，－ 2)(舍去)． 可知 k＝－6＋5 6使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的右焦点．
已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为(2,0)，右顶点为 ( 3，0)．
(1)求双曲线 C 的方程； (2)若直线 l：y＝kx＋ 2与双曲线 C 恒有两个不同的交点 A 和 B，且O→A·O→B>2(其中 O 为原点)，求 k 的取值范围．
[错解] 设 l：y＝k(x－1)＋1，代入双曲线方程，得(4－k2)x2 － (2k － 2k2)x － k2 ＋ 2k － 5 ＝ 0. 由 题 意 ， Δ ＝ (2k － 2k2)2 － 4(4 － k2)·(－k2＋2k－5)＝0，所以 k＝52.