数理统计与随机过程试题

北京工业大学2007-2008学年第一学期期末数理统计与随机过程(研) 课程试题学号 姓名 成绩 注意：试卷共七道大题，请将答案写在答题本上并写明题号与详细解题过程。

考试时间120分钟。

考试日期：2008年1月10日一、（10分）已知在正常生产的情况下某种汽车零件的重量（克）服从正态分布),(254σN ，在某日生产的零件中抽取10 件，测得重量如下：54.0 55.1 53.8 54.2 52.1 54.2 55.0 55.8 55.1 55.3问：该日生产的零件的平均重量是否正常（取显著性水平050.=α）？二、 （15分）在数 14159263.=π的前800位小数中, 数字93210,,,,, 各出现的次数记录如下检验这10个数字的出现是否是等概率的?（取显著性水平050.=α）三、（15分）下表给出了在悬挂不同重量（单位：克）时弹簧的长度（单位：厘米）求y 关于x 的一元线性回归方程，并进行显著性检验. 取显著性水平050.=α， 计算结果保留三位小数.四、（15分）三个工厂生产某种型号的产品，为评比质量，分别从各厂生产的产品中随机抽取5只作为样品，测得其寿命（小时）如下：在单因素试验方差分析模型下，检验各厂生产的产品的平均寿命有无显著差异？取显著性水平050.=α, 计算结果保留三位小数.五、（15分）设}),({0≥t t N 是强度为3的泊松过程，求（1）})(,)(,)({654321===N N N P ；（2）})(|)({4365==N N P ；（3）求协方差函数),(t s C N ，写出推导过程。

六、（15分）设{,}n X n T ∈是一个齐次马尔可夫链，其状态空间{0,1,2}I =，一步转移概率矩阵为 121414201335250P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（1）求}|,,,,{202021054321======X X X X X X P ；（2）求}|{122==+n n X X P ；（3）证明此链具有遍历性（不必求其极限分布）。

随机过程试题及答案随机过程是概率论与数理统计的重要理论基础之一。

通过研究随机过程，可以揭示随机现象的规律性，并应用于实际问题的建模与分析。

以下是一些关于随机过程的试题及答案，帮助读者更好地理解与掌握这一概念。

1. 试题：设随机过程X(t)是一个马尔可夫过程，其状态空间为S={1,2,3}，转移概率矩阵为：P =| 0.5 0.2 0.3 || 0.1 0.6 0.3 || 0.1 0.3 0.6 |(1) 计算X(t)在t=2时的转移概率矩阵。

(2) 求X(t)的平稳分布。

2. 答案：(1) 根据马尔可夫过程的性质，X(t)在t=2时的转移概率矩阵可以通过原始的转移概率矩阵P的2次幂来计算。

令Q = P^2，则X(t=2)的转移概率矩阵为：Q =| 0.37 0.26 0.37 || 0.22 0.42 0.36 || 0.19 0.36 0.45 |(2) 平稳分布是指随机过程的状态概率分布在长时间内保持不变的分布。

设平稳分布为π = (π1,π2, π3)，满足πP = π（即π为右特征向量），且所有状态的概率之和为1。

根据πP = π，可以得到如下方程组：π1 = 0.5π1 + 0.1π2 + 0.1π3π2 = 0.2π1 + 0.6π2 + 0.3π3π3 = 0.3π1 + 0.3π2 + 0.6π3解以上方程组可得到平稳分布：π = (0.25, 0.3125, 0.4375)3. 试题：设随机过程X(t)是一个泊松过程，其到达率为λ=1，即单位时间内到达的事件平均次数为1。

(1) 请计算X(t)在t=2时的累计到达次数的概率P{N(2)≤3}。

(2) 计算X(t)的平均到达速率。

4. 答案：(1) 泊松过程具有独立增量和平稳增量的性质，且在单位时间内到达次数服从参数为λ的泊松分布。

所以，P{N(2)≤3} = P{N(2)=0} + P{N(2)=1} + P{N(2)=2} +P{N(2)=3}，其中P{N(2)=k}表示在时间间隔[0,2]内到达的次数为k的概率。

一、（10分）某工程部队的工程师向领导建议，他提出的一项新工艺在不降低工程质量和影响工程进度的同时，还将节省机器运转的开支。

假如采用旧工艺时机器每星期运转开支平均是1000元，又假定新旧工艺机器每星期运转开支X 都是服从正态分布，且具有标准差250元。

使用新工艺后观察了9个星期，其机器运转开支平均每星期是750元。

试在01.0=α的水平下，检验工程师所述是否符合实际，即新工艺是否能节省开支。

（3554.3)8(005.0=t ，8965.2)8(01.0=t ，57.2005.0=u ，33.201.0=u ） 二、（12分）设母体X服从正态分布),(2σμN ，X 是子样),,,(21n X X X Λ的平均数，∑=-=ni i nX X n S 12___2)1（是子样方差，又设),(~21σμN X n +，且与n X X X ,,,21Λ独立，求：（1）X E ，X D ，2n ES ，2n DS ；（2）统计量111+--+n n S XX nn 的分布。

三、（13分）一个罐中装有黑球和白球，其中黑球、白球的个数均未知，如何用统计的方法估计其中黑球与白球的比例。

（建立模型并给出两种估计方法） 四、（15分）以下为温度对某个化学过程的生产量的影响的数据：已知X 和Y 之间具有线性依赖关系。

（1）写出其线性回归模型，并估计参数βα,； （2）讨论回归系数的性质（分布）。

五、（10分）设有一随机过程)( t X ，它的样本函数为周期性的锯齿波。

下图（a ）、（b ）画出了二个样本函数图。

各样本函数具有同一形式的波形，其区别仅在于锯齿波的起点位置不同。

设在0=t 后的第一个零值点位于0τ，0τ是一个随机变量，它在) , 0 ( T 内均匀分布，即⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其它值001)( 0T t Tt f τ若锯齿波的幅度为A ，求随机过程)( t X 的一维分布函数和分布密度。

六、（10分）() t X 通过一线性系统后产生输出() t Y ，有⎰-=tT t du u X Tt Y )(1)(（1） 求该系统的频率响应函数；（2） 若()t X 为一平稳过程，且其相关函数为,41)(2τλτ-=e R X （λ为常数），求输出过程的谱密度。

1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为 。

2．设随机过程X(t)=Acos( t+),-<t<ωΦ∞∞ 其中ω为正常数，A 和Φ是相互独立的随机变量，且A 和Φ服从在区间[]0,1上的均匀分布，则X(t)的数学期望为 。

3．强度为λ的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量，且服从均值为1λ的同一指数分布。

4．设{}n W ,n 1≥是与泊松过程{}X(t),t 0≥对应的一个等待时间序列，则n W 服从 Γ 分布。

5．袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，对每一个确定的t 对应随机变量⎪⎩⎪⎨⎧=时取得白球如果时取得红球如果t t t e tt X ,,3)(，则 这个随机过程的状态空间 。

6．设马氏链的一步转移概率矩阵ij P=(p )，n 步转移矩阵(n)(n)ij P (p )=，二者之间的关系为 (n)n P P = 。

7．设{}n X ,n 0≥为马氏链，状态空间I ，初始概率i 0p P(X =i)=，绝对概率{}j n p (n)P X j ==，n 步转移概率(n)ij p ，三者之间的关系为(n)j i ij i Ip (n)p p ∈=⋅∑ 。

8．设}),({0≥t t X 是泊松过程，且对于任意012≥>t t 则{(5)6|(3)4}______P X X ===9．更新方程()()()()0tK t H t K t s dF s =+-⎰解的一般形式为 。

10．记()(),0n EX a t M M t μ=≥→∞-→对一切，当时，t +a 。

二、证明题（本大题共4道小题，每题8分，共32分）P(BC A)=P(B A)P(C AB)。

1．为it(e-1)e λ。

2． 1(sin(t+1)-sin t)2ωω。

3． 1λ4． Γ 5． 212t,t,;e,e 33⎧⎫⎨⎬⎩⎭。

6．(n)nP P =。

数理统计与随机过程复习题数理统计与随机过程复习题数理统计与随机过程是数学中的一个重要分支，它研究的是随机现象的规律性。

在实际应用中，我们常常需要对一些随机变量进行统计分析，以便得出有关随机现象的结论。

本文将通过一些复习题来回顾数理统计与随机过程的基本概念和方法。

1. 随机变量的概念随机变量是指在随机试验中可能取到的不同数值，它的取值是由试验结果决定的。

随机变量可以分为离散型和连续型两种。

离散型随机变量是指只能取到有限个或可列个数值的变量，如掷骰子的点数；而连续型随机变量是指可以取到任意实数值的变量，如身高、体重等。

2. 随机变量的分布函数随机变量的分布函数是指随机变量取值小于等于某个数的概率。

对于离散型随机变量，分布函数可以表示为累积概率函数的形式；对于连续型随机变量，分布函数可以表示为概率密度函数的积分形式。

3. 随机变量的期望和方差随机变量的期望是对随机变量取值的平均值的度量，它可以表示为每个取值乘以其概率的和。

随机变量的方差是对随机变量取值偏离期望值的度量，它可以表示为每个取值与期望值的差的平方乘以其概率的和。

4. 随机变量的常见分布在数理统计与随机过程中，常见的离散型分布有伯努利分布、二项分布和泊松分布；常见的连续型分布有均匀分布、正态分布和指数分布等。

这些分布在实际应用中具有广泛的应用，熟练掌握其概率密度函数和分布函数的性质对于统计分析至关重要。

5. 随机过程的概念随机过程是指随机变量的一个序列，它的取值是随机的，并且随着时间的推移而变化。

随机过程可以分为离散型和连续型两种。

离散型随机过程是指时间只能取到有限个或可列个数值的过程，如投掷硬币的结果；而连续型随机过程是指时间可以取到任意实数值的过程，如股票价格的变动。

6. 随机过程的平稳性随机过程的平稳性是指其统计特性在时间上的不变性。

强平稳性要求随机过程的所有统计特性在时间平移下保持不变；弱平稳性要求随机过程的一阶矩和二阶矩在时间平移下保持不变。

随机过程考试试题及答案详解1、（15分）设随机过程C t R t X +⋅=)(，),0(∞∈t ，C 为常数，R 服从]1,0[区间上的均匀分布。

（1）求)(t X 的一维概率密度和一维分布函数； （2）求)(t X 的均值函数、相关函数和协方差函数。

【理论基础】 （1（2F (（3(F （4，（1)(t X 为],[t C C +上的均匀分布，因此其一维概率密度⎪⎩⎪⎨⎧+≤≤=其他,0,1)(tC x C t x f ，一维分布函数⎪⎩⎪⎨⎧+>+≤≤-<=t C x t C X C tCx C x x F ,1,,0)(；（2）根据相关定义，均值函数C tt EX t m X +==2)()(； 相关函数2)(231)]()([),(C t s Cst t X s X E t s R X +++==； 协方差函数12)]}()()][()({[),(stt m t X s m s X E t s B X X X =--=（当t s =时为方差函数） 【注】)()()(22X E X E X D -=；)()(),(),(t m s m t s R t s B X X X X -=求概率密度的通解公式|)(|/)(|)(|)()(''y x y f x y y f x f t ==2、（15分）设{}∞<<∞-t t W ),(是参数为2σ的维纳过程，)4,1(~N R 是正态分布随机变量；且对任意的∞<<∞-t ，)(t W 与R 均独立。

令R t W t X +=)()(，求随机过程{}∞<<∞-t t X ),(的均值函数、相关函数和协方差函数。

【解答】此题解法同1题。

依题意，|)|,0(~)(2t N t W σ，)4,1(~N R ，因此R t W t X +=)()(服从于正态分布。

故：均值函数1)()(==t EX t m X ；相关函数5)]()([),(==t X s X E t s R X ；协方差函数4)]}()()][()({[),(=--=t m t X s m s X E t s B X X X （当t s =时为方差函数） 3、（10分）设到达某商场的顾客人数是一个泊松过程，平均每小时有180人，即180=λ；且每个顾客的消费额是服从参数为s 的指数分布。

随机过程试题及答案一、选择题1. 随机过程是研究什么的对象？A. 确定性系统B. 随机性系统C. 静态系统D. 动态系统答案：B2. 下列哪项不是随机过程的特点？A. 可预测性B. 随机性C. 连续性D. 状态的不确定性答案：A3. 随机过程的数学描述通常使用什么？A. 概率分布B. 微分方程C. 差分方程D. 以上都是答案：A4. 马尔可夫链是具有什么特性的随机过程？A. 独立性B. 无记忆性C. 均匀性D. 周期性答案：B5. 以下哪个是随机过程的数学工具？A. 傅里叶变换B. 拉普拉斯变换C. 特征函数D. 以上都是答案：D二、简答题1. 简述什么是随机过程的遍历性。

答：遍历性是随机过程的一种特性，指的是在足够长的时间内，随机过程的统计特性不随时间变化而变化，即时间平均与遍历平均相等。

2. 解释什么是泊松过程，并给出其主要特征。

答：泊松过程是一种计数过程，它描述了在固定时间或空间内随机发生的事件次数。

其主要特征包括：事件在时间或空间上独立发生，事件的发生具有均匀性，且在任意小的时间段内，事件发生的概率与该时间段的长度成正比。

三、计算题1. 假设有一个泊松过程，其平均事件发生率为λ。

计算在时间间隔[0, t]内恰好发生n次事件的概率。

答：在时间间隔[0, t]内恰好发生n次事件的概率由泊松分布给出，公式为：\[ P(N(t) = n) = \frac{e^{-\lambda t} (\lambda t)^n}{n!} \]2. 考虑一个具有两个状态的马尔可夫链，其状态转移概率矩阵为：\[ P = \begin{bmatrix}p_{11} & p_{12} \\p_{21} & p_{22}\end{bmatrix} \]如果初始时刻在状态1的概率为1，求在第k步时处于状态1的概率。

答：在第k步时处于状态1的概率可以通过马尔可夫链的状态转移矩阵的k次幂来计算，即：\[ P_{11}^{(k)} = p_{11}^k + p_{12} p_{21} (p_{11}^{k-1} + p_{12} p_{21}^{k-2} + \ldots) \]四、论述题1. 论述随机过程在信号处理中的应用及其重要性。

随机过程试题及答案一、选择题1. 关于随机过程的描述，错误的是：A. 随机过程是一种由随机变量组成的集合B. 随机过程是一种在时间上有序排列的随机变量序列C. 随机过程可以是离散的，也可以是连续的D. 随机过程是一种确定性的数学模型答案：D2. 以下哪种过程不是随机过程？A. 白噪声过程B. 马尔可夫过程C. 布朗运动D. 正态分布答案：D3. 随机过程的一阶矩描述的是：A. 均值B. 方差C. 偏度D. 峰度答案：A4. 当随机过程的各个时间点上的随机变量是独立同分布时，该随机过程为：A. 马尔可夫过程B. 马尔可夫链C. 平稳随机过程D. 白噪声过程答案：B5. 下列关于马尔可夫过程的说法中，正确的是：A. 当前状态只与上一状态有关，与历史状态无关B. 当前状态只与历史状态有关，与上一状态无关C. 当前状态只与上一状态和历史状态有关D. 当前状态与所有历史状态均无关答案：A二、填空题1. 随机过程中，时域函数常用的表示方法是__________。

答案：概率分布函数或概率密度函数2. 马尔可夫过程的状态转移概率只与__________相关。

答案：当前状态和下一状态3. 随机过程的时间参数称为__________。

答案：时刻或时间点4. 白噪声过程的自相关函数是一个__________函数。

答案：冲激函数5. 平稳随机过程的自相关函数只与__________相关。

答案：时间差三、解答题1. 请简要解释随机过程的概念。

随机过程是一种由随机变量组成的集合，表示一个在时间上有序排列的随机变量序列。

它可以是离散的，也可以是连续的。

随机过程的描述通常包括概率分布函数或概率密度函数，以及相关的统计特征，如均值、方差等。

随机过程可以用于对随机现象进行建模和分析。

2. 请简要说明马尔可夫过程的特点及应用。

马尔可夫过程是一种具有马尔可夫性质的随机过程，即当前状态只与上一状态有关，与历史状态无关。

其状态转移概率只与当前状态和下一状态相关。