2022年北京市东城区第二十二中、第二十一中联盟校八上期中数学试卷(含答案)

2021-2022学年北京某校八年级（上）期中数学试卷一.选择题（每题3分，共30分）：1. 下列图形中不是轴对称图形的是（）A. B.C. D.2. 点M(1, 2)关于x轴对称的点的坐标为（）A.(−1, −2)B.(−1, 2)C.(1, −2)D.(2, −1)3. 下列说法中正确的是（）A.两个直角三角形全等B.两个等腰三角形全等C.两个等边三角形全等D.两条直角边对应相等的直角三角形全等4. 等腰三角形的两边长分别为25cm和13cm，则它的周长是（）A.63cmB.51cmC.63cm或51cmD.以上都不正确5. 如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，则∠B的度数为( )A.30∘B.50∘C.90∘D.100∘6. 已知：如图，AC、BD相交于点O，∠A=∠D，请你再补充一个条件，使△AOB≅△DOC，你补充的条件是（）A.AC=DBB.BC=BDC.AB=CDD.∠AOB=∠DOC7. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，∠B=30∘，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E．若DE=1cm，则BC=()cm．A.2B.3C.4D.58. 下列计算正确的是（）A.2a+3b＝5abB.(x+2)2＝x2+4C.(ab3)2＝ab6D.(−1)0＝19. 下列条件中，不能得到等边三角形的是（）A.有两个内角是60∘的三角形B.有两边相等且是轴对称图形的三角形C.三边都相等的三角形D.有一个角是60∘且是轴对称图形的三角形10. 若把一个正方形纸片按下图所示方法三次对折后再沿虚线剪开，则剩余部分展开后得到的图形是（）A. B. C. D.二.填空题（每题3分，共24分）：分解因式：a3−ab2＝________．如图，如图△ABE≅△DCE，AE=2cm，BE=1.2cm，∠A=25∘，∠B=48∘，那么DE=________cm，EC=________cm，∠C=________∘．如图，△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AC于P点．若AB=5cm，BC=3cm，则△PBC的周长=________．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠C=90∘，BD平分∠CBA交AC于点D，DE⊥AB于E．若△ADE的周长为8cm，则AB=________ cm．等腰三角形的一个角是80∘，则它的另外两个角的度数是________．如图，MN是正方形ABCD的一条对称轴，点P是直线MN上的一个动点，当PC+PD最小时，∠PCD=________∘．已知x+y＝6，xy＝−3，则x2y+xy2＝________．如图，A、B两点在直线l的同侧，在l上求作一点M，使AM+BM最小．小明的做法是：做点A关于直线l的对称点A′，连结A′B，交直线l于点M，点M即为所求．请你写出小明这样作图的依据：________．三.解答题（本题共5道小题，每题6分，共30分）：(1)(m−3n)2(2)(y−3)2−2(y+2)(y−2)．先化简，再求值：(x−1)(x−2)−x(x+3)，其中x=1．3某地区要在区域S内（即∠COD内部）建一个超市M，如图所示，按照要求，超市M 到两个新建的居民小区A，B的距离相等，到两条公路OC，OD的距离也相等．这个超市应该建在何处？（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）已知：如图，点A，D，C在同一直线上，AB // EC，AC=CE，∠B=∠EDC．求证：BC=DE．在平面直角坐标系中，直线l过点M(3, 0)，且平行于y轴．如果△ABC三个顶点的坐标分别是A(−2, 0)，B(−l, O)，C(−1, 2)，△ABC关于y轴的对称图形是△A1B1C1，△A1B1C1关于直线l的对称图形是△A2B2C2，在右面的坐标系中画出△A2B2C2，并写出它的三个顶点的坐标．四、解答题（本题6分）已知：如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90∘，D为AB延长线上一点，点E在BC上，且BE=BD．（1）求证：△ABE≅△CBD；（2）若∠CAE=30∘，求∠BCD的度数．五、解答题（本题共10分，第23题5分，第24题5分）先作图，再证明．（1）在所给出的图形中完成一下作图（保留作图痕迹）：①作∠ACB的平分线CD，交AB于D；②延长BC到E，使CE=CA，连接AE．（2）求证：CD // AE．如图，已知AD // BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的延长线交AP 于D．求证：AD+BC=AB．（提示：在AB上截取AM=AD，连接EM）参考答案与试题解析2021-2022学年北京某校八年级（上）期中数学试卷一.选择题（每题3分，共30分）：1.【答案】C【考点】轴对称图形【解析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，故本选项错误；C、右边有横线，左边没有，所以不是轴对称图形，故本选项正确；D、是轴对称图形，故本选项错误．故选C．2.【答案】C【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标【解析】根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，可得答案．【解答】解：点M(1, 2)关于x轴对称的点的坐标为(1, −2)，故选C．3.【答案】D【考点】全等三角形的判定【解析】根据全等三角形的判定方法对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、两个直角三角形只能说明有一个直角相等，其他条件不明确，所以不一定全等，故本选项错误；B、两个等腰三角形，腰不一定相等，夹角也不一定相等，所以不一定全等，故本选项错误；C、两个等边三角形，边长不一定相等，所以不一定全等，故本选项错误；D、它们的夹角是直角相等，可以根据边角边定理判定全等，正确．故选D．4.【答案】C【考点】等腰三角形的判定与性质三角形三边关系【解析】分别从若腰长为25cm，底边长为13cm与腰长为13cm，底边长为15cm，去分析求解即可求得答案．【解答】解：若腰长为25cm，底边长为13cm，则周长为：25+25+13=63(cm)；若腰长为13cm，底边长为15cm，则周长为：25+13+13=51(cm)；故它的周长是：63cm或51cm．故选C．5.【答案】D【考点】三角形内角和定理轴对称的性质【解析】由已知条件，根据轴对称的性质可得∠C=∠C′=30∘，利用三角形的内角和等于180∘可求答案．【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，∴∠A=∠A′=50∘，∠C=∠C′=30∘；∴∠B=180∘−∠A−∠C=180∘−80∘=100∘．故选D.6.【答案】C【考点】全等三角形的判定【解析】题目中有条件∠A=∠D，对顶角∠AOB=∠COD，应添加一对对应边相等，可添加AB=CD可利用AAS判定△AOB≅△DOC．【解答】解：添加AB=CD，∵在△ABO和△DCO中{∠A=∠D∠AOB=∠DOCAB=CD，∴△ABO≅△DCO(AAS)，故选：C．7.【答案】A,B【考点】含30度角的直角三角形角平分线的性质【解析】根据角平分线性质求出CD的长，根据含30度角的直角三角形性质求出BD，代入BC= BD+CD求出即可．【解答】解：∵AD平分∠CAB，∠C=90∘，DE⊥AB于E，∴CD=DE=1cm，∵∠B=30∘，DE⊥AB于E，∴BD=2DE=2cm，∴BC=BD+CD=3cm，故选B．8.【答案】D【考点】零指数幂幂的乘方与积的乘方合并同类项完全平方公式【解析】A、不是同类项，不能合并；B、按完全平方公式展开错误，掉了两数积的两倍；C、按积的乘方运算展开错误；D、任何不为0的数的0次幂都等于1．【解答】A、不是同类项，不能合并．故错误；B、(x+2)2＝x2+4x+4．故错误；C、(ab3)2＝a2b6．故错误；D、(−1)0＝1．故正确．9.【答案】B【考点】等边三角形的判定【解析】根据等边三角形的定义可知：满足三边相等、有一内角为60∘且两边相等或有两个内角为60∘中任意一个条件的三角形都是等边三角形．【解答】解：A、两个内角为60∘，根据三角形的内角和为180∘，可知另一个内角也为60∘，所以该三角形为等边三角形．故不符合题意；B、两边相等说明是等腰三角形或等边三角形，而这两种三角形都满足“轴对称”的条件，所以不能确定该三角形是等边三角形．故符合题意；C、三边都相等的三角形当然是等边三角形．故不符合题意；D、“轴对称”说明该三角形有两边相等，且有一个角是60∘，有两边相等且一角为60∘的三角形是等边三角形．故不符合题意；故选B．10.【答案】A【考点】剪纸问题【解析】拿正方形纸片先沿对角线向上翻折，再向右翻折，右下翻折，剪去上面一个等腰直角三角形，展开即可得到正确答案．【解答】解：动手操作后可得第二个图案．故选A．二.填空题（每题3分，共24分）：【答案】a(a+b)(a−b)【考点】提公因式法与公式法的综合运用【解析】首先提取公因式a，进而利用平方差公式分解因式得出答案．【解答】a3−ab2＝a(a2−b2)＝a(a+b)(a−b)．【答案】2,1.2,48【考点】全等三角形的性质【解析】全等三角形的性质可求得答案．【解答】解：∵△ABE≅△DCE，AE=2cm，BE=1.2cm，∠A=25∘，∠B=48∘，∴DE=AE=2cm，EC=EB=1.2cm，∠C=∠B=48∘，故答案为：2；1.2；48．【答案】8cm【考点】线段垂直平分线的性质等腰三角形的判定与性质【解析】利用线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质将△PBC的周长转化为线段(AC+BC)的长度．【解答】解：∵AB的垂直平分线交AC于P点．∴AP=BP．又∵AB=AC，AB=5cm，BC=3cm，∴△PBC的周长=PB+PC+BC=AP+PC+BC=AB+BC=5+3=8cm．故答案是：8cm．【答案】8【考点】角平分线的性质等腰直角三角形【解析】根据角平分线性质求出CD=DE，根据全等求出BC=BE=AC，根据△ADE的周长求出AD+DE+AE=AB，求出即可．【解答】解：∵BD平分∠CBA，DE⊥AB，∠C=90∘，∴CD=DE，∠C=∠DEB=90∘，∠CBD=∠EBD，在△DCB和△DEB中{∠CBD=∠EBD ∠C=∠DEBBD=BD∴△DCB≅△DEB(AAS)，∴BE=BC=AC，∵△ADE的周长为8cm，∴AD+DE+AE=AD+CD+AE=AC+AE=BE+AE=AB=8cm，故答案为：8．【答案】80∘，20∘或50∘，50∘【考点】等腰三角形的判定与性质等腰三角形的性质与判定【解析】没有指明这个角是底角还是顶角，故应该分两种情况进行分析．【解答】解：①当这个角是底角时，另外两个角是：80∘，20∘；②当这个角是顶角时，另外两个角是：50∘，50∘．故答案为：80∘，20∘或50∘，50∘．【答案】45【考点】轴对称——最短路线问题【解析】根据当PC+PD最小时，作出D点关于MN的对称点，正好是A点，连接AC即可得出∠PCD的度数．【解答】解：∵当PC+PD最小时，作出D点关于MN的对称点，正好是A点，连接AC，AC为正方形对角线，根据正方形的性质得出∠PCD=45∘，∴∠PCD=45∘．故答案为：45∘．【答案】−18【考点】列代数式求值因式分解的应用【解析】先提取公因式进行因式分解，然后整体代入计算．【解答】x2y+xy2＝xy(x+y)＝−3×6＝−18．【答案】两点确定一条直线、线段垂直平分线上点到线段两个端点距离相等【考点】轴对称——最短路线问题【解析】根据直线的性质，相等垂直平分线的性质即可得到结论．【解答】解：两点确定一条直线、线段垂直平分线上点到线段两个端点距离相等．故答案为：两点确定一条直线、线段垂直平分线上点到线段两个端点距离相等．三.解答题（本题共5道小题，每题6分，共30分）：【答案】解：(1)(m−3n )2=m2−6mn+9n2；（2）原式=y2−6y+9−2(y2−4)=y2−6y+9−2y2+8=−y2−6y+17．【考点】平方差公式完全平方公式【解析】（1）依据完全平方公式进行变形即可；（2）依据平方差公式和完全平方公式进行变形，然后再合并同类项即可．【解答】解：(1)(m−3n )2=m2−6mn+9n2；（2）原式=y2−6y+9−2(y2−4)=y2−6y+9−2y2+8=−y2−6y+17．【答案】解：当x=13时，∴原式=x2−2x−x+2−x2−3x=−6x+2=−6×13+2=−2+2=0【考点】整式的混合运算——化简求值【解析】先将原式化简，然后将x的值代入求解．【解答】解：当x=13时，∴原式=x2−2x−x+2−x2−3x=−6x+2=−6×13+2=−2+2=0【答案】解：如图所示，点M就是所要求作的建立超市的位置．【考点】作图—基本作图【解析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，超市M建在∠COD的平分线上，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可知超市应建在AB的垂直平分线上，所以作出两线的交点即可．【解答】解：如图所示，点M就是所要求作的建立超市的位置．【答案】证明：∵AB // EC，∴∠A=∠DCE，在△ABC和△CDE中，{∠B=∠EDC，∠A=∠DCE，AC=CE，∴△ABC≅△CDE，∴BC=DE．【考点】全等三角形的性质与判定全等三角形的性质【解析】根据由两个角和其中一角的对边相等的两个三角形全等证明△ABC≅△CDE，由全等三角形的性质即可得到BC=DE．【解答】证明：∵AB // EC，∴∠A=∠DCE，在△ABC和△CDE中，{∠B=∠EDC，∠A=∠DCE，AC=CE，∴△ABC≅△CDE，∴BC=DE．【答案】解：所画图形如下所示：△A2B2C2即为所求．三个顶点的坐标分别为：A2(4, 0)B2(5, 0)C2(5, 2)．【考点】作图-轴对称变换【解析】从直角坐标系中先找到三点的坐标，然后再向y轴引垂线并延长相同长度，得到对应点，顺次连接得到△A1B1C1，△A1B1C1的各点向y轴引垂线并延长相同长度，得到对应点，顺次连接得到△A2B2C2．【解答】解：所画图形如下所示：△A2B2C2即为所求．三个顶点的坐标分别为：A2(4, 0)B2(5, 0)C2(5, 2)．四、解答题（本题6分）【答案】（1）证明：∵∠ABC=90∘，∴∠DBC=90∘，在△ABE和△CBD中，{AB=CB∠ABE=∠DBC=90∘BE=BD，∴△ABE≅△CBD(SAS)；（2）解：∵AB=CB，∠ABC=90∘，∴∠BAC=45∘，∵∠CAE=30∘，∴∠BAE=45∘−30∘=15∘，∵△ABE≅△CBD，∴∠BCD=∠BAE=15∘．【考点】全等三角形的性质等腰直角三角形【解析】（1）由SAS证明△ABE≅△CBD即可；（2）由等腰直角三角形的性质求出∠BAC=45∘，得出∠BAE=15∘，由全等三角形的性质即可得出结果．【解答】（1）证明：∵∠ABC=90∘，∴∠DBC=90∘，在△ABE和△CBD中，{AB=CB∠ABE=∠DBC=90∘BE=BD，∴△ABE≅△CBD(SAS)；（2）解：∵AB=CB，∠ABC=90∘，∴∠BAC=45∘，∵∠CAE=30∘，∴∠BAE=45∘−30∘=15∘，∵△ABE≅△CBD，∴∠BCD=∠BAE=15∘．五、解答题（本题共10分，第23题5分，第24题5分）【答案】（1）解：如图所示：；（2）证明：∵CE=CA，∴∠CAE=∠AEC，又∵∠ACB=∠CAE+∠AEC，∠ACD=12∠ACB，∴∠ACD=∠CEA，∴CD // AE．【考点】作图—复杂作图【解析】（1）利用直尺和圆规即可作出；（2）根据等腰对等角以及三角形的外角的性质即可证得∠ACD=∠CEA，进而证明．【解答】（1）解：如图所示：；（2）证明：∵CE=CA，∴∠CAE=∠AEC，又∵∠ACB=∠CAE+∠AEC，∠ACD=12∠ACB，∴∠ACD=∠CEA，∴CD // AE．【答案】证明：在AB上截取AM=AD，∵AE平分∠PAB，∴∠DAE=∠MAE.在△DAE和△MAE中，∵{AD=AM，∠DAE=∠MAE，AE=AE，∴△DAE≅△MAE(SAS)，∴∠AME=∠ADE.∵AD // BC，∴∠ADE+∠C=180∘.∵∠AME+∠EMB=180∘，∴∠EMB=∠C.∵BE平分∠ABC，∴∠EBM=∠EBC.在△BEM和△BEC中，∵{∠EMB=∠C，∠EBM=∠EBC，BE=BE，∴△BEM≅△BEC(AAS)，∴BC=BM，∴AD+BC=AM+BM=AB．【考点】全等三角形的性质与判定【解析】首先在AB上截取AM=AD，由AE平分∠PAB，利用SAS即可证得△DAE≅△MAE，继而可证得∠EMB=∠C，然后利用AAS证得△BEM≅△BEC，即可得BC=BM，继而证得AD+BC=AB．【解答】证明：在AB上截取AM=AD，∵AE平分∠PAB，∴∠DAE=∠MAE.在△DAE和△MAE中，∵{AD=AM，∠DAE=∠MAE，AE=AE，∴△DAE≅△MAE(SAS)，∴∠AME=∠ADE.∵AD // BC，∴∠ADE+∠C=180∘.∵∠AME+∠EMB=180∘，∴∠EMB=∠C.∵BE平分∠ABC，∴∠EBM=∠EBC.在△BEM和△BEC中，∵{∠EMB=∠C，∠EBM=∠EBC，BE=BE，∴△BEM≅△BEC(AAS)，∴BC=BM，∴AD+BC=AM+BM=AB．。

2021-2022学年北京十二中八年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共24.0分）1.下列各式中，计算正确的是()A. 8a−3b=5abB. (a2)3=a5C. a8÷a4=a2D. a2⋅a=a32.如果三角形的三个内角的度数比是2：3：4，则它是()A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 钝角或直角三角形3.如图，若△ABC≌△DEF，四个点B、E、C、F在同一直线上，BC=7，EC=5，则CF的长是()A. 2B. 3C. 5D. 74.下列计算正确的是()A. (2×10n)×(3×10n)=6×10nB. −x(x2−x+1)=−x3−x+1C. (a−1)2=a2−1D. (x−1)(2x+1)=2x2−x−15.已知a−b=1，则a2−b2−2b的值为()A. 4B. 3C. 1D. 06.若x2+ax+9=(x−3)2，则a的值为()A. 3B. ±3C. −6D. ±67.如图，已知∠C=∠D=90°，有四个可添加的条件：①AC=BD；②BC=AD；③∠CAB=∠DBA；④∠CBA=∠DAB.能使△ABC≌△BAD的条件有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个8.如图，已知直线a//b，直角三角形ABC中，∠C=90°，若∠B=58°，那么∠1−∠2=()A. 28°B. 30°C. 32°D. 58°9.如果两个三角形中两条边和其中一边上的高对应相等，那么这两个三角形的第三条边所对的角的关系是()A. 相等B. 不相等C. 互余或相等D. 互补或相等10.如图，在5×5格的正方形网格中，与△ABC有一条公共边且全等(不与△ABC重合)的格点三角形(顶点在格点上的三角形)共有()A. 5个B. 6个C. 7个D. 8个11.如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M，N为圆心，MN的长为半径画弧，两条弧在第二象限交于点P，若大于12点P的坐标为(a,2b−1)，则a，b的数量关系是()A. a=bB. a+2b=1C. a−2b=1D. a+2b=−112.如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”如(8=32−12,16=52−32，即8，16均为“和谐数”)，在不超过2017的正整数中，所有的“和谐数”之和为()A. 255054B. 255064C. 250554D. 255024二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）13.因式分解：2a2b−8ab+8b=______．14. 计算：(−8)2022×(−18)2021=______．15. 如图，△ABC≌△DEC ，∠ACD =28°，则∠BCE =______°.16. 若a +b =2，a 2−b 2=6，则a −b =______．17. 若2x +3y −2=0，则4x ⋅8y =______．18. 长、宽分别为a 、b 的矩形，它的周长为14，面积为10，则a 2b +ab 2的值为______．19. 在△ABC 中，AB =5，AC =7，AD 是BC 边上的中线，则AD 的取值范围是______．20. 4个数a 、b 、c 、d 排列∣∣∣a b c d ∣∣∣，我们称之为二阶行列式，规定它的运算法则为∣∣∣a b c d ∣∣∣=ad −bc ，若∣∣∣x −2x +3x +1x −2∣∣∣=17，则x =______．21. 已知(x +p)(x +q)=x 2+mx +3，p 、q 为整数，则m =______．22. 如图，已知四边形ABCD 中，AB =12厘米，BC =8厘米，CD =14厘米，∠B =∠C ，点E 为线段AB 的中点．如果点P 在线段BC上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CD 上由C 点向D 点运动．当点Q 的运动速度为____厘米/秒时，能够使△BPE 与以C 、P 、Q 三点所构成的三角形全等．三、计算题（本大题共1小题，共3.0分）23. 计算：m 7⋅m 5+(−m 3)4−(−2m 4)3．四、解答题（本大题共11小题，共43.0分）24. (x −3y)(3x +y)．25.(x−y+3)(x+y−3)．26.计算：2002−400×199+1992．27.因式分解：4x2−9．28.因式分解：2(x−y)−(y−x)2．29.因式分解：a4−b4．30.如图，AB=AE，∠B=∠AED，∠1=∠2，求证：△ABC≌△AED．31.已知x2+3x−1=0，求：x3+5x2+5x+2019的值．32.已知：如图所示，AB=AD，BC=DC，E、F分别是DC、BC的中点，求证：AE=AF．33.若a、b、c为三角形的三边长，试证明：(a2+b2−c2)2−4a2b2的值一定为负．34.探究与发现：探究一：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？已知：如图1，∠FDC与∠ECD分别为△ADC的两个外角，试探究∠A与∠FDC+∠ECD探究二：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？已知：如图2，在△ADC中，DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，试探究∠P与∠A的数量关系．探究三：若将△ADC改为任意四边形ABCD呢？已知：如图3，在四边形ABCD中，DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，试利用上述结论探究∠P与∠A+∠B的数量关系．答案和解析1.【答案】D【解析】解：A、8a与3b不是同类项，故不能合并，故选项A不合题意；B、(a2)3=a6，故选项B不合题意；C、a8÷a4=a4，故选项C不符合题意；D、a2⋅a=a3，故选项D符合题意．故选：D．分别根据合并同类项的法则、同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则以及同底数幂除法法则解答即可．本题主要考查了幂的运算性质以及合并同类项的法则，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．2.【答案】A【解析】解：设三个内角分别为2k、3k、4k，则2k+3k+4k=180°，解得k=20°，所以，最大的角为4×20°=80°，所以，三角形是锐角三角形．故选：A．利用“设k法”求出最大角的度数，然后作出判断即可．本题考查了三角形的内角和定理，利用“设k法”表示出三个内角求解更加简便．3.【答案】A【解析】解：∵△ABC≌△DEF，∴BC=EF，又BC=7，∴EF=7，∵CF=EF−EC=7−5=2．故选：A．根据全等三角形的对应边相等得到EF=BC=7，计算即可．本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等是解题的关键．4.【答案】D【解析】解：A.(2×10n)×(3×10n)=6×102n，故此选项不合题意；B.−x(x2−x+1)=−x3+x2−x，故此选项不合题意；C.(a−1)2=a2−2a+1，故此选项不合题意；D.(x−1)(2x+1)=2x2−x−1，故此选项符合题意．故选：D．直接利用完全平方公式以及单项式乘多项式、多项式乘多项式分别计算，进而得出答案．此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握整式的乘法运算以及运用完全平方公式是解题关键．5.【答案】C【解析】【分析】此题主要考查的是整体代入思想在代数求值中的应用，解题的关键在于熟练掌握因式分解．先将原式化简，然后将a−b=1整体代入求解即可．【解答】解：∵a−b=1，∴a2−b2−2b=(a+b)(a−b)−2b=a+b−2b=a−b=1．故选C．6.【答案】C【解析】解：∵x2+ax+9=(x−3)2，而(x−3)2=x2−6x+9；即x2+ax+9=x2−6x+9，∴a=−6．故选C．根据题意可知：将(x−3)2展开，再根据对应项系数相等求解．本题主要考查完全平方公式的应用，利用对应项系数相等求解是解题的关键．7.【答案】D【解析】【分析】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目．做题时要根据已知条件结合判定方法逐个验证．要确定添加的条件，首先要看现有的已知条件，∠C=∠D=90°，还有一条公共边AB=AB，具备一角，一边分别对应相等，只要再添加任意一边或任意一角都能使得三角形全等，于是答案可得．【解答】解：添加①AC=BD，可根据HL判定△ABC≌△BAD；添加②BC=AD，可根据HL判定△ABC≌△BAD添加③∠CAB=∠DBA，可根据AAS判定△ABC≌△BAD；添加④∠CBA=∠DAB，可根据AAS判定△ABC≌△BAD．故选D．8.【答案】C【解析】解：∵∠C=90°，∠B=58°，∴∠A=32°．∵∠3=∠4+∠A，∠4=∠2，∵a//b，∴∠1=∠3．∴∠1−∠2=32°．故选：C．利用三角形的内角和先计算∠A，再通过平行线、对顶角把∠1、∠2、∠A联系起来，利用外角与不相邻内角间关系可得结论．本题考查了三角形的内角和定理、平行线的性质等知识点，通过平行线的性质、对顶角的性质把∠1、∠2、∠A联系起来是解决本题的关键．9.【答案】D【解析】解：第一种情况，当两个三角形全等时，是相等关系，第二种情况，如图，AC=AC′，高CD=C′D′，∴∠ADC=∠AD′C′，在Rt△ACD和Rt△AC′D′中，{AC=AC′CD=C′D′，Rt△ACD≌Rt△AC′D′(HL)，∴∠CAD=∠C′AD′，此时，∠CAB+∠C′AB=180°，是互补关系，综上所述，这两个三角形的第三条边所对的角的关系是“相等或互补”．故选：D．第三边所对的角即为前两边的夹角．分两种情况，一种是两个锐角或两个钝角三角形，另一种是一个钝角三角形和一个锐角三角形．本题考查全等三角形的判定，应注意的是，两边相等不一定角相等，解题时要多方面考虑．10.【答案】B【解析】解：以BC为公共边可画出△BDC，△BEC，△BFC三个三角形和原三角形全等．以AB为公共边可画出三个三角形△ABG，△ABM，△ABH和原三角形全等．以AC为公共边可画出一个三角形和原三角形全等，所以可画出6个．故选：B．可以以AB和BC为公共边分别画出3个，AC不可以，故可求出结果．本题考查全等三角形的性质，三条对应边分别相等，以及格点的概念．11.【答案】B【解析】解：根据作图方法可得点P在第二象限角平分线上；点P到x轴、y轴的距离相等，点P的横纵坐标互为相反数，则P点横纵坐标的和为0，故a+2b−1=0，整理得：a+2b=1，故选：B．根据作图方法可得点P在第二象限的角平分线上，根据角平分线的性质和第二象限内点的坐标符号可得a+2b−1=0，然后再整理可得答案．此题主要考查了基本作图−角平分线的做法以及坐标与图形的性质，得出点P在第二象限角平分线上是解题的关键．12.【答案】D，【解析】解：由(2n+1)2−(2n−1)2=8n≤2017，解得n≤25218则在不超过2017的正整数中，所有的“和谐数”之和为32−12+52−32+⋯+5052−5032=5052−12=255024．故选：D．由(2n+1)2−(2n−1)2=8n≤2017，解得n≤2521，可得在不超过2017的正整数中，8“和谐数”共有252个，依此列式计算即可求解．此题考查了平方差公式，弄清题中“和谐数”的定义是解本题的关键．13.【答案】2b(a−2)2【解析】解：2a2b−8ab+8b=2b(a2−4a+4)=2b(a−2)2．故答案为：2b(a−2)2．首先提取公因式2b，再利用完全平方公式分解因式得出答案．此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．14.【答案】−8)2021×(−8)【解析】解：原式=(−8)2021×(−18)]2021×(−8)=[(−8)×(−18=12021×(−8)=1×(−8)=−8，故答案为：−8．根据积的乘方运算法则进行简便计算．本题考查积的乘方运算，掌握积的乘方(ab)n=a n b n运算法则是解题关键．15.【答案】28【解析】证明：∵△ABC≌△DEC，∴∠ACB=∠DCE，∴∠ACB−∠ACE=∠DCE−∠ACE，即∠ACD=∠BCE=28°．故答案是：28．根据全等三角形对应角相等可得∠ACB=∠DCE，再根据等式的性质两边同时减去∠ACE 可得结论．本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，能熟记全等三角形的性质是解此题的关键，注意：全等三角形的对应角相等．16.【答案】3【解析】解：∵(a+b)(a−b)=a2−b2，∴2×(a−b)=6，∴a−b=3．故答案为：3．先利用平方差公式，再整体代入求值．本题考查了平方差公式及整体代入的方法．掌握平方差公式是解决本题的关键．17.【答案】4【解析】解：∵2x+3y−2=0，∴2x+3y=2，∴4x⋅8y=22x⋅23y=22x+3y=22=4，故答案为：4．由2x+3y−2=0得2x+3y=2，再根据幂的乘方以及同底数幂的乘法法则把所求式子化为22x⋅23y=22x+3y，再把2x+3y=2代入计算即可．本题主要考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．18.【答案】70【解析】【分析】本题主要考查因式分解的应用，把所求代数式化为ab(a+b)是解题的关键．由周长和面积可分别求得a+b和ab的值，再利用因式分解把所求代数式可化为ab(a+ b)，代入可求得答案．【解答】解：∵长、宽分别为a、b的矩形，它的周长为14，面积为10，∴a+b=14=7，ab=10，2∴a2b+ab2=ab(a+b)=10×7=70，故答案为70．19.【答案】1<AD<6【解析】【分析】作出图形，延长中线AD到E，使DE=AD，利用“边角边”证明△ACD和△EBD全等，根据全等三角形对应边相等可得AC=BE，然后根据三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出2AD的范围，再除以2即可得解．本题考查了三角形的三边关系，全等三角形的判定与性质，根据辅助线的作法，“遇中线加倍延”作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．【解答】解：如图，延长中线AD到E，使DE=AD，∵AD是三角形的中线，∴BD=CD，在△ACD和△EBD中，∵{BD=CD∠BDE=∠ADC DE=AD，∴△ACD≌△EBD(SAS)，∴AC=BE，∵AB=5，BE=AC=7，∴7−5<2AD<7+5，∴1<AD<6．故答案为1<AD<6．20.【答案】−2【解析】【分析】本题考查了整式的混合运算，解一元一次方程，掌握运算法则是解题的关键．根据新定义得到(x−2)2−(x+1)(x+3)=17，然后解方程即可．【解答】解：根据题意得(x−2)2−(x+1)(x+3)=17，整理得，−8x+1=17，解得x=−2．故答案为−2．21.【答案】±4【解析】解：已知等式整理得：x2+(p+q)x+pq=x2+mx+3，p、q为整数，∴p+q=m，pq=3，即p=1，q=3或p=3，q=1或p=−1，q=−3或p=−3，q=−1，则m=±4，故答案为：±4已知等式左边利用多项式乘多项式法则计算，整理后利用多项式相等的条件确定出m的值即可．此题考查了多项式乘多项式，以及多项式相等的条件，熟练掌握运算法则是解本题的关键．22.【答案】3或92【解析】【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，解决问题的关键是掌握全等三角形的对应边相等．分两种情况讨论，依据全等三角形的对应边相等，即可得到点Q的运动速度．【解答】解：设点P运动的时间为t秒，则BP=3t，CP=8−3t，∵∠B=∠C，∴①当BE=CP=6，BP=CQ时，△BPE与△CQP全等，此时，6=8−3t，解得t=23，∴BP=CQ=2，此时，点Q的运动速度为2÷23=3厘米/秒；②当BE=CQ=6，BP=CP时，△BPE与△CPQ全等，此时，3t=8−3t，解得t=43，∴点Q的运动速度为6÷43=92厘米/秒；故答案为3或92．23.【答案】解：原式=m12+m12−(−8m12)=m12+m12+8m12=10m12．【解析】本题主要考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．分别根据同底数幂的乘法法则以及积的乘方运算法则化简，再合并同类项即可．24.【答案】解：(x−3y)(3x+y)=3x2+xy−9xy−3y2=3x2−8xy−3y2．【解析】根据多项式乘多项式乘法法则解决此题．本题主要考查多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式乘法法则解决此题．25.【答案】解：(x−y+3)(x+y−3)=[x−(y−3)][(x+(y−3)]=x2−(y−3)2=x2−(y2−6y+9)=x2−y2+6y−9．【解析】根据平方差公式和完全平方公式计算即可，平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差，即(a+b)(a−b)=a2−b2；完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2．本题考查了整式的混合运算，掌握相关公式与运算法则是解答本题的关键．26.【答案】解：2002−400×199+1992=2002−2×200×199+1992=(200−199)2=12=1．【解析】根据完全平方公式进行简便运算．本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解决本题的关键．27.【答案】解：4x2−9=(2x+3)(2x−3)．【解析】逆用平方差公式进行因式分解．本题主要考查运用公式法进行因式分解，熟练掌握公式法是解决本题的关键．28.【答案】解：2(x−y)−(y−x)2=2(x−y)−(x−y)2=(x−y)[2−(x−y)]=(x−y)(2−x+y)．【解析】利用完全平方公式和其它整式乘法运算法则进行计算即可．此题考查了整式乘法的计算能力，关键是能准确选择完全平方公式及其它适合此题的运算方法进行运算．29.【答案】解：a4−b4=(a2+b2)(a2−b2)=(a2+b2)(a+b)(a−b)．【解析】逆用平方差公式进行因式分解．本题主要考查运用公式法进行因式分解，熟练掌握公式法是解决本题的关键．30.【答案】证明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠EAC=∠2+∠EAC，即∠BAC=∠EAD，在△ABC和△AED中，{∠B=∠AEDAB=AE∠BAC=∠EAD，∴△ABC≌△AED(ASA)．【解析】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定，属于中考常考题型．根据ASA只要证明∠BAC=∠EAD即可解决问题；31.【答案】解：∵x2+3x−1=0，∴x3+5x2+5x+2019=x(x2+3x−1)+2(x2+3x−1)+2021=x×0+2×0+2021=0+0+2021=2021．【解析】根据x2+3x−1=0，将所求式子变形，即可求得所求式子的值．本题考查因式分解的应用，解答本题的关键是明确题意，利用因式分解的方法解答．32.【答案】证明：连接AC，在△ACD和△ACB中，∵{AD=AB AC=AC CD=CB，∴△ACD≌△ACB(SSS)，∴∠ACE=∠ACF，∵BC=DC，E，F分别是DC、BC的中点，∴CE=CF，在△ACE和△ACF中，∵{CE=CF∠ACE=∠ACF AC=AC，∴△ACE≌△ACF(SAS)，∴AE=AF．【解析】连接AC，证△ACD≌△ACB可得∠ACE=∠ACF，根据中点的性质知CE=CF，利用“SAS”即可证明△ACE≌△ACF，可得AE=AF．本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△ACD≌△ACB和△ACE≌△ACF是解题的关键．33.【答案】解：(a2+b2−c2)2−4a2b2=(a2+b2−c2+2ab)(a2+b2−c2−2ab)=[(a+b)2−c2][(a−b)2−c2]=(a+b+c)(a+b−c)(a−b−c)(a−b+c)，∵a、b、c为三角形的三边长，∴a+b+c>0，a+b−c>0，a−b−c<0，a−b+c>0，∴(a2+b2−c2)2−4a2b2的值一定为负．【解析】根据平方差公式和完全平方公式把(a2+b2−c2)2−4a2b2变形为(a+b+ c)(a+b−c)(a−b−c)(a−b+c)，再根据三角形的三边关系即可得出答案．此题考查了三角形的三边关系，用到的知识点是平方差公式、完全平方公式以及三角形的三边关系，关键是对给出的式子进行变形．34.【答案】解：探究一：∵∠FDC=∠A+∠ACD，∠ECD=∠A+∠ADC，∴∠FDC+∠ECD=∠A+∠ACD+∠A+∠ADC=180°+∠A；探究二：∵DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，∴∠PDC=12∠ADC，∠PCD=12∠ACD，∴∠P=180°−∠PDC−∠PCD=180°−12∠ADC−12∠ACD=180°−12(∠ADC+∠ACD)=180°−12(180°−∠A)=90°+12∠A；探究三：∵DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，∴∠PDC=12∠ADC，∠PCD=12∠BCD，∴∠P=180°−∠PDC−∠PCD=180°−12∠ADC−12∠BCD=180°−12(∠ADC+∠BCD)=180°−12(360°−∠A−∠B)=12(∠A+∠B)．【解析】探究一：根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠FDC=∠A+∠ACD，∠ECD=∠A+∠ADC，再根据三角形内角和定理整理即可得解；探究二：根据角平分线的定义可得∠PDC=12∠ADC，∠PCD=12∠ACD，然后根据三角形内角和定理列式整理即可得解；探究三：根据四边形的内角和定理表示出∠ADC+∠BCD，然后同理探究二解答即可．本题考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，多边形的内角和公式，此类题目根据同一个解答思路求解是解题的关键．。

北京市东城区北京二中教育集团2023-2024学年八年级上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录．下列四幅作品分别代表“立春”、“谷雨”、“立夏”、“小满”，其中是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2．下列每组数分别表示三根木棒的长，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（）A ．1，2，3B ．1，2，4C ．2，3，4D ．2，2，43．下列计算中，正确的是（）A ．235a b a +=B ．()235a a =C ．1025a a a ÷=D ．347a a a ⋅=4．如图，在等边三角形ABC 中，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，过点D 作DE BC ⊥于点E ，且 1.5CE =，则AB 的长为（）A ．3B ．4.5C ．6D ．7.55．若()()1135a a +-=，则a 的值为（）A ．6±B ．3±C ．6D ．36．若2x m =，2y n =，则2x y +等于（）A ．23m n +B ．32m nC ．mnD ．23m n +7．如图，若点A 在y 轴上，点B 在x 轴上，OAB ∠的平分线交OAB 外角OBD ∠的平分线于点C ，则C ∠的度数是（）A ．30︒B ．45︒C ．50︒D ．60︒8．如图，BN 为∠MBC 的平分线，P 为BN 上一点，且PD ⊥BC 于点D ，∠APC +∠ABC ＝180°，给出下列结论：①∠MAP ＝∠BCP ；②PA ＝PC ；③AB +BC ＝2BD ；④四边形BAPC 的面积是△PBD 面积的2倍，其中结论正确的个数有（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个二、填空题13．如图，在ABC 中，AB 的垂直平分线分别交14．若关于x 的二次三项式2x +为．15．如图，在正方形ABCD 中，若3AG =，2BF =，90GEF ∠=16．如图，已知20AOB ∠=︒，点Q 分别为OA OB ，上的动点，则MQ PQ PN ++取得最小值时，三、解答题17．计算：362a a a a ⋅+÷．18．计算：()423x x y x y +-⋅．19．因式分解：334x y xy -．20．已知2210a a --=．求代数式()()()221215a a a +-+-的值．21．如图，点B 在线段AD 上，BC DE ∥，AB ED =，BC DB =.求证：A E ∠=∠.22．已知：如图，线段MN ，直线l ．请完成下面的尺规作图，保留作图痕迹，不必写出作法；(1)在图1中过点M 作直线l 的垂线MH ，垂足为H ；(2)在图2中求作点P ，使得点P 在直线l 上，且PMN 条件的P 点）23．如图，在ABC 中，BD 平分ABC ∠，E 是BD 上一点，(1)如果40ABC = ∠，则DEC ∠的度数为(2)求证：2BC AB =．24．如图，在带有坐标系的网格中，ABC ()2,2A -，()4,2B --，()0,1C -．(1)画出ABC 关于y 轴的对称的DEC 坐标为__________．(2)已知直线l 过点()1,0且平行于y 轴，在直线l 上存在点P ，使点P 到点D ，E 距离之和最小，则点P 的坐标为__________；(3)用无刻度的直尺，借助网格，画出ABC 的高AF （保留作图痕迹）．25．数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A 种纸片是边长为a 的正方形，B 种纸片是边长为b 的正方形，C 种纸片是长为a 、宽为b 的长方形，并用A 种纸片一张，B 种纸片一张，C 种纸片两张拼成如图2的大正方形．(1)观察图2的面积关系，写出正确的等式__________；(2)若要拼出一个面积为()()232a b a b ++的矩形，则需要A 号卡片6张，B 号卡片__________张，C 号卡片__________张；(3)正方形ABCD ，AEFG 如图3摆放，边长分别为x ，y ．若22x y 34+=，2BE =，求图中两个阴影三角形面积和．26．【例题讲解】因式分解：31x -．∵31x -为三次二项式，若能因式分解，则可以分解成一个一次二项式和一个二次多项式的乘积．故我们可以猜想31x -可以分解成()()21x x ax b -++，即()()3211x x x ax b -=-++，展开等式右边得：()()321x a x b a x b +-+--，∴()()33211x x a x b a x b -=+-+--恒成立．∴等号左右两边的同类项的系数应相等，即1001a b a b -=⎧⎪-=⎨⎪-=-⎩，解得11a b =⎧⎨=⎩，∴()()32111x x x x -=-++．【方法归纳】设某一多项式的全部或部分系数为未知数，利用当两个多项式为恒等式时，同类项系数相等的原理确定这些系数，从而得到待求的值，这种方法叫待定系数法．【学以致用】(1)若()()2623x mx x x +-=-+，则m =__________；(2)若3222x x x k -++有一个因式是1x +，求k 的值及另一个因式．27．已知等边ABC ，点D 为BC 上一点，连接AD ．(1)若点E 是AC 上一点，CE BD =，连接BE ，BE 与AD 的交点为点P ，在图1中根据题意补全图形，直接写出APE ∠的大小；(2)在AD 的右侧画120DAF ∠=︒，且使AF AD =，连接BF 交AC 于点Q ，在图2中根据题意补全图形，用等式表示线段BQ 和FQ 的数量关系，并证明．28．在平面直角坐标系xOy 中，称过点()0m ,且与y 轴平行的直线为直线x m =，对于任意图形G ，给出如下定义：将图形G 先沿直线x m =翻折得到图形1G ，再将图形1G 沿第一、三象限的角平分线翻折得到图形2G ，则称图形1G 是图形G 的单变换图形，图形2G 是图形G 的双变换图形．已知点()3,1A m --，()2,1B m --，()2,2C m -(1)当1m =时，点C 的单变换图形点1C 的坐标为__________，双变换图形点2C 的坐标为__________；(2)用含m 的式子表示点C 的双变换图形点2C 的坐标为__________．(3)当ABC 单变换图形1G 与双变换图形2G 有公共点时，求出m 的取值范围；(4)若ABC 的双变换图形上只存在两个与x 轴的距离为2的点，直接写出m 的取值范围．。

2024北京二十中初二（上）期中数 学本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时100分钟．考试结束后，将本试卷与答题纸一并交回．祝各位考生考试顺利！第I 卷一、单项选择题（下列各小题中只有一个选项符合题意，共16分，每小题2分）1. 汉字是中华文明的标志，从公元前16世纪殷商后期的被认为是汉字的第一种形式的甲骨文到今天，产生了金文、小篆、隶书、楷书、草书、行书等多种字体，每种字体都有着各自鲜明的艺术特征．下面的小篆体字是轴对称图形的是（ ）A. B. C. D. 2. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）A. 2，3，6B. 4，4，8C. 4，7，11D. 5，8，12 3. 下列计算正确的是（ ）A. ⋅=m m m 236B. =m m 473)(C. −=m m 2422)(D. ÷=m m 044 4. 已知图中的两个三角形全等，则∠1等于( )A. ︒50B. ︒58C. 60°D. ︒72 5. 如果一个正多边形的内角和等于720°，那么该正多边形的一个外角等于（ ）A. ︒45B. ︒60C. ︒72D. ︒90 6. 若+−=a a 1135)()(，则a 的值为（ ）A. ±6B. ±3C. 6D. 3 7. 如图，在ABC 中，=AB AC ，∠=︒C 70，D 为BC 边中点，则∠CAD 等于（ ）A. ︒15B. ︒20C. ︒25D. ︒30 8. 如图，BN 为∠MBC 的平分线，P 为BN 上一点，且PD ⊥BC 于点D ，∠APC +∠ABC ＝180°，给出下列结论：①∠MAP ＝∠BCP ；②P A ＝PC ；③AB +BC ＝2BD ；④四边形BAPC 的面积是△PBD 面积的2倍，其中结论正确的个数有（ ）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个三、填空题（共16分）9. 因式分解：−=x y y 42______．10. 如果−+x x m 102是一个完全平方式，那么m 的值是__________．11. 小明同学用一根铁丝恰好围成一个等腰三角形，若其中两条边的长分别为15cm 和20cm ，则这根铁丝的长为_________cm ．12. 如图，在ABC 中，=AB 4，=AC 6，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于O 点，过点O 作BC 的平行线交AB 于M 点，交AC 于N 点，则AMN 的周长为_______．13. 如图，在ABC 中，D 是BC 上一点，==∠=︒AC AD DB BAC ,105，则∠=B ________°．14. 如图，在△ABC Rt 中，︒=∠ACB 90，=AC 3，=BC 4，=AB 5，AD 是ABC 的角平分线，若、P Q 分别是AD 和AC 边上的动点，则+PC PQ 的最小值是_____________．15. 某“数学乐园”展厅的WIFI 密码被设计成如图所示的数学问题．小明在参观时认真思索，输入密码后成功地连接到网络．他输入的密码是_______．16. 我国古代数学曾有许多重要的成就，其中“杨辉三角”（如图）就是一例，这个三角形给出了+a b n ()（=n 1，2，3，4，5，6）的展开式（按a 的次数由大到小顺序排列）的系数规律．例如，第三行的三个数1，2，1，恰好对应+=++a b a ab b ()2222展开式中各项的系数；第五行的五个数1，4，6，4，1，恰好对应着+=++++a b a a b a b ab b ()4644443223展开式中各项的系数．（1）+a b ()5展开式中a b 4的系数为________；（2）+a b ()7展开式中各项系数的和为________．三、解答题（共68分，其中第17-22题每题5分，第23-26题每题6分，第27-28题每题7分）17. 计算：⋅+÷a a a a 362．18. 计算：+−⋅x x y x y 423)(．19. 因式分解：−x y xy 433．20. 已知−−=a a 2102．求代数式+−+−a a a 212152)()()(的值．21. 已知：如图，点A 、E 、F 、C 在同一条直线上，∠=∠B D ，=DF BE ，AD BC ．（1）求证：≌ADF CBE ．（2）若=AE 3，求CF 的长．22. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，−A (1,5)，−B (1,0)，−C (4,3)．（1）在图中作出ABC 关于y 轴的对称图形△A B C 111；（2）如果要使以点A 、B 、D （不与点C 重合）为顶点的三角形与ABC 全等，直接写出所有符合条件的点D 的坐标．23. 数学课上，王老师布置如下任务： 如图，已知∠MAN ＜45°，点B 是射线AM 上的一个定点，在射线AN 上求作点C ，使∠ACB ＝2∠A ． 下面是小路设计的尺规作图过程．作法：①作线段AB 的垂直平分线l ，直线l 交射线AN 于点D ；②以点B 为圆心，BD 长为半径作弧，交射线AN 于另一点C ，则点C 即为所求．根据小路设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；(保留作图痕迹)（2）完成下面的证明：证明：连接BD ，BC ，∵直线l 为线段AB 的垂直平分线，∴DA ＝ ，( )（填推理的依据）∴∠A ＝∠ABD ，∴∠BDC ＝∠A ＋∠ABD ＝2∠A ．∵BC ＝BD ，∴∠ACB ＝∠ ，( )（填推理的依据）∴∠ACB ＝2∠A ．24. 已知：在△ABC Rt 中，，∠=︒∠=︒ACB A 9030，AB 边的垂直平分线分别交AC 于点D ，交AB 于点E ．（1）求证：=DE DC ；（2）连接EC ，若=AB 6，求EBC 的周长．25. 数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A 种纸片是边长为a 的正方形，B 种纸片是边长为b 的正方形，C 种纸片是长为a 、宽为b 的长方形，并用A 种纸片一张，B 种纸片一张，C 种纸片两张拼成如图2的大正方形．（1）观察图2的面积关系，写出正确的等式__________；（2）若要拼出一个面积为ab a b 232的矩形，则需要A 号卡片6张，B 号卡片__________张，C 号卡片__________张；（3）正方形ABCD ，AEFG 如图3摆放，边长分别为x ，y ．若+=x y 3422，=BE 2，求图中两个阴影三角形面积和．26. 利用整式的乘法运算法则推导得出：++=+++ax b cx d acx ad bc x bd 2)()()(．我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得+++=++acx ad bc x bd ax b cx d 2)()()(．通过观察可把+++acx ad bc x bd 2)(看作以x 为未知数，a 、b 、c 、d 为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二项式系数ac 与常数项bd 分别进行适当的分解来凑一次项的系数，分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，如图1，这种分解的方法称为十字相乘法．例如，将二次三项式++x x 211122的二项式系数2与常数项12分别进行适当的分解，如图2，则++=++x x x x 211124232)()(．根据阅读材料解决下列问题：（1）用十字相乘法分解因式：+−x x 6272；（2）用十字相乘法分解因式：−−x x 6732；（3）结合本题知识，分解因式：+++−x y x y 20()7()62．27. 如图，在等边三角形ABC 右侧作射线CP ，∠ACP=α（0°<α<60°），点A 关于射线CP 的对称点为点D ，BD 交CP 于点E ，连接AD ，AE ．（1）依题意补全图形；（2）求∠DBC 的大小（用含α的代数式表示）；（3）直接写出∠AEB 的度数；（4）用等式表示线段AE ，BD ，CE 之间的数量关系，并证明．28. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线l 经过点M 3,0)(，且平行于y 轴；给出如下定义：点P x y ,)(先关于y 轴对称得点P 1，再将点P 1关于直线l 对称得点'P ，则称点'P 是点P 关于y 轴和直线l 的二次反射点．（1）已知−−−A B C 4,0,2,0,3,1)()()(，则它们关于y 轴和直线l 的二次反射点、、'''A B C 的坐标分别是__________________；（2）若点D 的坐标是，a (0)，其中<a 0，点D 关于y 轴和直线l 的的二次反射点是点D ，求线段'DD 的长；（3）已知点，E (40)，点，F (60)，以线段EF 为边在x 轴上方作正方形EFGH ，若点，，，+P a Q a (1)(11)关于y 轴和直线l 的二次反射点分别为，''P Q ，且线段''P Q 与正方形EFGH 的边有公共点，直接写出a 的取值范围．参考答案第I 卷一、单项选择题（下列各小题中只有一个选项符合题意，共16分，每小题2分）1. 【答案】B【分析】本题主要查了轴对称图形．根据“如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形成为轴对称图形”，即可求解．【详解】A.不是轴对称图形，故本选项不符合题意；B.是轴对称图形，故本选项符合题意；C.不是轴对称图形，故本选项不符合题意；D.不是轴对称图形，故本选项不符合题意；故选B ．2. 【答案】D【分析】本题考查了能够组成三角形三边的条件：用两条较短的线段相加，如果大于最长的那条线段就能够组成三角形．根据三角形的三边关系进行分析判断．【详解】解：根据三角形任意两边的和大于第三边，得A 、+=<2356，不能组成三角形；B 、+=448，不能组成三角形；C 、+=4711，不能组成三角形；D 、+=>581312，能够组成三角形．故选：D ．3. 【答案】C【分析】本题考查的是同底数幂的乘除法则及幂的乘方与积的乘方法则，根据同底数幂的乘除法则及幂的乘方与积的乘方法则对各选项进行逐一判断即可．【详解】解：A 、⋅=m m m 235，原计算错误，不符合题意；B 、=m m 2431)(，原计算错误，不符合题意；C 、−=m m 2422)(，正确，符合题意；D 、=÷m m 144，原计算错误，不符合题意．故选：C ．4. 【答案】B【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理；根据全等三角形的性质得出∠=∠B 1，∠=∠=︒A D 50，∠=∠=︒F C 72，进而根据三角形内角和定理即可求解．【详解】解：如图所示，ABC 和DEF 全等，==AC DF b ，==DE AB a ，∴∠=∠B 1，∠=∠=︒A D 50，∠=∠=︒F C 72，∴∠=︒−∠−∠=︒D F 118058，故选：B ．5. 【答案】B【分析】根据内角和求出边数，再根据外角和为︒360，进行计算即可．【详解】解：设正多边形的边数为n ，由题意，得−⨯︒=︒n 2180720)(，解得：=n 6，∴正多边形的一个外角=︒÷=︒360660，故选：B ．【点睛】本题考查正多边形的内角和、外角和．熟练掌握正多边形内角和的计算方法和外角和为︒360是解题的关键．6. 【答案】A【分析】本题考查的是平方根的含义，平方差公式的应用，本题先把方程化为=a 362，再利用平方根的含义解方程即可．【详解】解：∵+−=a a 1135)()(，∴−=a 1352，即=a 362，∴=±a 6；故选A7. 【答案】B【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据等腰三角形的性质可得⊥AD BC ，再根据直角三角形两锐角互余进行计算即可，熟练掌握等腰三角形三线合一是解此题的关键． 【详解】解：=AB AC ，D 为BC 边的中点，∴⊥AD BC ， ∴∠=︒ADC 90，∴∠+∠=︒C CAD 90，∠=︒C 70，∴∠=︒−︒=︒DAC 907020，故选：B ．8. 【答案】A【分析】过点P 作PK ⊥AB ，垂足为点K ．证明Rt △BPK ≌Rt △BPD ，△P AK ≌△PCD ，利用全等三角形的性质即可解决问题．【详解】解：过点P 作PK ⊥AB ，垂足为点K ．∵PK ⊥AB ，PD ⊥BC ，∠ABP ＝∠CBP ，∴PK ＝PD ，在Rt △BPK 和Rt △BPD 中，⎩=⎨⎧=PK PD BP BP ， ∴Rt △BPK ≌Rt △BPD （HL ），∴BK ＝BD ，∵∠APC +∠ABC ＝180°，且∠ABC +∠KPD ＝180°，∴∠KPD ＝∠APC ，∴∠APK ＝∠CPD ，故①正确，在△P AK 和△PCD 中，＝⎩∠∠⎪⎨=⎪⎧∠=∠APK CPD PK PDAKP PDC ， ∴△P AK ≌△PCD （ASA ），∴AK ＝CD ，P A ＝PC ，故②正确，∴BK ﹣AB ＝BC ﹣BD ，∴BD ﹣AB ＝BC ﹣BD ，∴AB +BC ＝2BD ，故③正确，∵Rt △BPK ≌Rt △BPD ，△P AK ≌△PCD （ASA ），∴S △BPK ＝S △BPD ，S △APK ＝S △PDC ，∴S 四边形ABCP ＝S 四边形KBDP ＝2S △PBD ．故④正确．故选A ．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．第Ⅱ卷三、填空题（共16分）9. 【答案】y （x +2）（x -2）【分析】先提取公因式y ，再利用平方差公式分解因式即可【详解】解：x 2y ﹣4y =y （x 2﹣4）=y （x ﹣2）（x +2）．故答案为：y （x ﹣2）（x +2）．【点睛】题目主要考查提公因式法与公式法进行因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题关键． 10. 【答案】25【分析】利用完全平方式的结构特征，即可求出m 的值．【详解】解：∵x 2-10x +m 是一个完全平方式，∴m =−2()102=25． 故答案为：25．【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方式是解本题的关键．11. 【答案】50或55三角形的周长，即为铁丝的长【分析】等腰三角形中两条边的长分别为15cm 和20cm 时，第三边的长可能为15cm 或20cm ，分别求得.【详解】∵等腰三角形中两条边的长分别为15 cm 和20 cm ，∴当第三条边的长为15 cm 时，这根铁丝的长为15+15+20=50(cm)，此时15+15>20，符合三角形的三边关系；当第三条边的长为20 cm 时，这根铁丝的长为15+20+20=55 (cm)，此时15+20>20，符合三角形的三边关系；故答案为：50或55.【点睛】本题考查了等腰三角形的判定及三角形的三边关系，熟练掌握相关性质及定理并分类讨论是解题的关键.12. 【答案】10【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握它们的性质将周长转换为AB AC +是解本题的关键．利用角平分线及平行线性质，结合等腰三角形的判定得到=MB MO ，=NC NO ，将三角形周长转化为AB AC +，求出即可． 【详解】解：BO 为∠ABC 的平分线，CO 为∠ACB 的平分线，∴∠=∠ABO CBO ，∠=∠ACO BCO ，∥MN BC ，∴∠=∠MOB OBC ，∠=∠NOC BCO ，∴∠=∠ABO MOB ，∠=∠NOC ACO ，∴=MB MO ，=NC NO ，∴=+=+MN MO NO MB NC ，=AB 4，=AC 6，∴AMN 周长为++=+++=+=AM MN AN AM MB AN NC AB AC 10，故答案为：1013. 【答案】25【分析】设∠ADC ＝α，然后根据AC ＝AD ＝DB ，∠BAC ＝105°，表示出∠B 和∠BAD 的度数，最后根据三角形的内角和定理求出∠ADC 的度数，进而求得∠B 的度数即可．【详解】解：∵AC ＝AD ＝DB ，∴∠B ＝∠BAD ，∠ADC ＝∠C ，设∠ADC ＝α，∴∠B ＝∠BAD ＝α2 ，∵∠BAC ＝105°，∴∠DAC ＝105°﹣α2， 在△ADC 中，∵∠ADC +∠C +∠DAC ＝180°，∴2α+105°﹣α2＝180°，解得：α＝50°，∴∠B ＝∠BAD ＝α2＝25°， 故答案为：25．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质：①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形的两个底角相等，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．14. 【答案】512 【分析】本题考查利用轴对称求最短距离，全等三角形的性质和判定，能够利用轴对称将线段和的最小值转化为线段长求解是关键．在AB 上截取=AQ AQ 1，连接QD ，Q D 1，可证△≌△AQD AQ D 1，根据全等三角形的性质可知点Q 1和点Q 关于AD 对称，再根据轴对称的性质及最短路径结合面积法即可得出答案．【详解】解：如图，在AB 上截取=AQ AQ 1，连接QD ，Q D 1，AD 是∠BAC 的平分线，∴∠=∠QAD Q AD 1 在AQD 与AQ D 1中⎩=⎪⎨∠=∠⎪⎧=AD AD QAD Q AD AQ AQ 11≌∴AQD AQ D SAS 1)(∴点Q 1和点Q 关于AD 对称，连接CQ 1，CQ 1与AD 交于P 点，连接PQ ，此时+=PC PQ CQ 1， Q 是动点，∴Q 1也是动点，当CQ 1与AB 垂直时，CQ 1最小，即+PC PQ 最小． 此时，由面积法得=⨯÷=CQ 5345121． 故答案为：512． 15. 【答案】2024【分析】本题主要考查单项式除以单项式，熟练掌握单项式除以单项式是解题的关键；由题意可先进行单项式除以单项式的运算，然后问题可求解．【详解】解：÷=÷=x y z x y z x y z x y z x y z 545102304510220246)(，∴他输入的密码是2024；故答案为：2024．16. 【答案】 ①. 5 ②. 27【分析】此题考查了整式的运算和规律探索，弄清“杨辉三角”中系数规律是解本题的关键，根据“杨辉三角”中系数规律确定出所求系数，并求出系数之和即可．【详解】解：（1）根据题意中例子所示，+a b 5)(展开式中a b 4的系数应与第6行的2个数对应，即为5， 故答案为：5；（2）当、、、=n 1234时， +a b n)(展开式的各项系数之和分别为2、4、8、16、... ，由此可知+a b n )(展开式的各项系数之和为n 2，∴+a b 7)(展开式的各项系数之和为27，故答案为：27． 三、解答题（共68分，其中第17-22题每题5分，第23-26题每题6分，第27-28题每题7分）17. 【答案】a 24【分析】本题考查的是同底数幂的乘法，同底数幂的除法运算，合并同类项，本题先计算同底数幂的乘法与除法运算，再合并同类项即可．【详解】解：⋅+÷a a a a 362=+a a 44=a 24．18. 【答案】−x xy 22【分析】根据整式的混合运算法则即可求解．【详解】解：+−⋅x x y x y 423)(=+−x xy xy 462=−x xy 22．【点睛】本题主要考查单项式乘以多项式，单项式乘以单项式，合并同类项，掌握整式的混合运算法则是解题的关键．19. 【答案】+−xy x y x y 22)()(【分析】此题考查因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键，此题先提公因式，再利用平方差公式分解因式．【详解】−x y xy 433−=xy x y 422)(=+−xy x y x y 22)()(．20. 【答案】29【分析】将−−=a a 2102运用配方法变形为−=a (1)22，再运用平方差公式，完全平方公式将+−+−a a a 212152)()()(展开，合并同类项，变形为−+a 5(1)192，由此即可求解．【详解】解：运用配方法变形−−=a a 2102，∴−+−−=a a 211102，即−+=a a 2122，即−=a (1)22，∵=+−+−=−+−++−a a a a a a a a 15024110255122142222)()()(， ∴−−+++−=−+=a a a a a a 1111)25510245(29222)()()(，∵−=a (1)22，∴+=⨯+=+−+−=−a a a a 119255(1195212)2922)()()(，∴+−+−a a a 212152)()()(的值为29．【点睛】本题主要考查平方差公式，完全平方公式在整式加减法中应用，掌握整式的加减法法则是解题的关键．21. 【答案】（1）见解析 （2）3【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的证明及性质是解题的关键． （1）平行线的性质得出∠=∠A C ，即可根据AAS 证明结论；（2）根据全等三角形的性质和等式性质证得=AE CF ，即可求出答案.【小问1详解】证明：∵∥AD BC ，∴∠=∠A C ，且∠=∠B D ，=DF BE ， ∴）（≌ADF CBE AAS ； 【小问2详解】∵△≌△ADF CBE （已证），∴=AF CE ，∴−=−AF EF CE EF ，即=AE CF ，∵=AE 3，∴=CF 3． 22. 【答案】（1）见解析 （2）点D 坐标为−4,2)(、，23)(、，22)( 【分析】（1）分别作出点A 、B 、C 关于y 轴的对称点，再顺次连接即可；（2）根据网格特点和全等三角形的判定画出图形，即可得到点D 的坐标．【小问1详解】解：△A B C 111如图所示；【小问2详解】如图，满足条件的点D 有三个，点D 坐标为−4,2)(、，23)(、，22)(．【点睛】本题考查了作图—轴对称变换、坐标与图形、全等三角形的判定，熟练掌握轴对称的性质是解答的关键．23. 【答案】（1）见解析；（2）DB ；线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；BDC ； 等边对等角．【分析】（1）根据题目中的小路的尺规作图过程，直接作图即可．（2）根据垂直平分线的性质以及等边对等角进行解答即可．【详解】解：(1) 根据题目中的小路的设计步骤，补全的图形如图所示；(2)解：证明：连接BD ，BC ，∵直线l 为线段AB 的垂直平分线，∴DA ＝ DB ，(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等)（填推理的依据）∴∠A ＝∠ABD ，∴∠BDC ＝∠A ＋∠ABD ＝2∠A ．∵BC ＝BD ，∴∠ACB ＝∠BDC ，(等边对等角)（填推理的依据）∴∠ACB ＝2∠A ．【点睛】本题主要是考查了尺规作图能力以及垂直平分线和等边对等角的性质，熟练掌握垂直平分线和等边对等角的性质，是解决该题的关键．24. 【答案】（1）见解析 （2）9【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠=︒ABC 60，根据线段垂直平分线的性质得到=AD DB ，求出∠=∠=︒A ABD 30，再根据角平分线的性质得到=DE DC ；（2）判定EBC 是等边三角形，即可求出周长．【小问1详解】证明：∵在△ABC Rt 中，，∠=︒∠=︒ACB A 9030，∴∠=︒ABC 60，∵DE 是AB 边的垂直平分线，∴=AD DB ，∴∠=∠=︒A ABD 30，∴∠=︒−︒=︒CBD 603030∴BD 平分∠ABC ，∵，⊥⊥DE AB AC BC ，∴=DE DC ；【小问2详解】解：∵在△ABC Rt 中，，∠=︒∠=︒ACB A 9030，=AB 6，∴==BC AB 231， ∵DE 是AB 边的垂直平分线， ∴==BE AB 231， ∴=BC BE ，∵∠=︒ABC 60， ∴EBC 是等边三角形， ∴EBC 的周长为9．【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的性质定理，等边三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，熟练掌握各定理是解题的关键．25. 【答案】（1）+=++a b a ab b 2222)(（2）2，7 （3）8【分析】本题考查多项式乘多项式与图形面积、完全平方公式的几何背景及其应用，理解题意，看懂图形，会利用不同方法表示面积，并灵活运用所得结论是解答的关键．（1）用两种方法表示出大正方形的面积，即可求解；（2）先计算a b a b 232，再根据面积不变结合乘法的结果可得答案； （3）根据图形得到−===x y DG BE 2，，利用完全平方公式分别求得xy 和+x y 即可求解．【小问1详解】解：由图2知，大正方形的面积为+a b 2)(，又可以为++a ab b 222，∴+=++a b a ab b 2222)(；【小问2详解】 ∵ab a b 232 a ab ab b 643222 a ab b 67222， ∴要拼出一个面积为ab a b 232的矩形，则需要A 号卡片6张，B 号卡片2张，C 号卡片7张；【小问3详解】 由题知：−===x y DG BE 2，+=x y 3422，则−==+−x yx y xy 42222)(，则=xy 230， ∴+=++=+=x y x y xy 2343064222)(，∴+=x y 8（负值舍去）， 图中阴影部分面积为：⨯+−=+⨯=+=y x x y y x y x 222228111)(． 26. 【答案】（1）−+x x 39)()(（2）−+x x 2331)()(（3）+++−x y x y 443552)()(【分析】本题主要考查多项式乘多项式，因式分解，解答的关键是对相应的知识的掌握与运用． （1）利用十字相乘法进行求解即可；（2）利用十字相乘法进行求解即可；（3）先分组，再利用十字相乘法进行求解即可．【小问1详解】解：+−x x 6272=−+x x 39)()(，；【小问2详解】解：−−x x 6732=−+x x 2331)()(，；【小问3详解】解：+++−x y x y 20()7()62⎣⎦⎣⎦=+++−⎡⎤⎡⎤x y x y 4352)()(=+++−x y x y 443552)()(，．27. 【答案】（1）见解析；（2）α；（3）60°；（4）=+BD AE CE 2；证明见解析【分析】（1）根据对称性即可补全图形；（2）连接CD ，根据对称性得到∠=∠=αACE DCE ，从而得到∠=︒+αBCD 602，再根据==BC AC DC 即可求解；（3）根据对称性可得∠=∠=EAC EDC =∠DBC ，再根据角度的八字模型即可得到∠AEB=∠ACB ，故可求解；（4）在EB 上截取=EF EA ，连接AF ，得到△AEF 是等边三角形，根据△ABC 是等边三角形得到，∠=∠BAF CAE ，进而证明△BAF ≌△CAE ，得到BF=CE ，再根据对称性得到AE=DE ，故可得到=++=+BD BF FE ED CE AE 2．【详解】（1）依题意补全图形；（2）解： 连接CD .∵线段AC 和DC 关于射线CP 的对称，∴=AC DC ，∠=∠=αACE DCE .∵△ABC 是等边三角形，∴=AC BC ，∠=︒ACB 60.∴=BC DC ，∠=︒+αBCD 602. ∴⎣⎦⎡⎤∠=∠=︒−︒+=︒−ααDBC BDC 2180602601)(.（3）根据对称性可得∠=∠=︒−αEAC EDC 60=∠DBC∵∠+∠=∠+∠EAC AEB DBC ACB∴∠AEB=∠ACB =60°（4）结论：=+BD AE CE 2.在EB 上截取=EF EA ，连接AF .∵∠=︒AEB 60，∴△AEF 是等边三角形，∴=AF AE ，∠=︒FAE 60.∵△ABC 是等边三角形，∴=AB AC ，∠=︒BAC 60.∴∠−∠=∠−∠BAC FAC FAE FAC .∴ ∠=∠BAF CAE .在△BAF 和△CAE 中∵⎩=⎪⎨∠=∠⎪=⎧AF AE BAF CAE AB AC∴ △BAF ≌△CAE （SAS ）∴ BF=CE （全等三角形的对应边相等）∵点A 和点D 关于射线CP 的对称，∴ AE=DE .∴=++=+BD BF FE ED CE AE 2．【点睛】此题主要考查轴对称与几何综合，解题的关键是熟知等边三角形的性质、旋转的性质及对称性的应用．28. 【答案】（1）(2,0)、(4,0)、(3,1)；（2）6；（3）−≤≤a 10或≤≤−−a 32．【分析】（1）根据二次反射点的定义直接得出答案；（2）根据二次反射点的定义得出+'D a (6,0)，则可得出答案；（3）)根据二次反射点的定义得出，+'P a (61)，，+'Q a (71)，由题意分两种情况列出不等式组，解不等式组可得出答案【小问1详解】解：∵−A 4,0)(∴点A 关于y 轴对称点的坐标为(4,0)，∵(4,0)关于直线l 对称的点'A (2,0)∴−A 4,0)(关于y 轴和直线l 的二次反射点'A 的坐标(2,0) ∵−B 2,0)(∴点B 关于y 轴对称点的坐标为(2,0)，∵(2,0)关于直线l 对称的点B '4,()0∴−B 2,0)(关于y 轴和直线l 的二次反射点'B 的坐标(4,0) ∵−C 3,1)(∴点C 关于y 轴对称点的坐标为(3,1)，∵(3,1)关于直线l 对称的点'C (3,1)∴−C 3,1)(关于y 轴和直线l 的二次反射点'C 的坐标(3,1) 故答案为：(2,0)、(4,0)、(3,1)【小问2详解】∵点D 的坐标是a (,0)，<a 0∴点D 关于y 轴对称点的坐标为−a (,0)， ∴−a (,0)关于直线l 对称的点+'D a (6,0)， ∴'=+−=DD a a 66；【小问3详解】∵点，，，+P a Q a (1)(11) ∴点、P Q 关于y 轴和直线l 的二次反射点分别为，，，++''P a Q a (61)(71)，当''P Q 与EH 有公共点时，⎩+≤⎨⎧+≥a a 6474， 解得≤≤−−a 32当''P Q 与FG 有公共点时，⎩+≤⎨⎧+≥a a 6676 解得−≤≤a 10综上：−≤≤a 10或≤≤−−a 32【点睛】本题考查了正方形的性质，轴对称性质，动点问题，新定义二次反射点的理解和运用；解题关键是对新定义二次反射点的正确理解．。

2021-2022学年北京二十中八年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.图书馆的标志是浓缩了图书馆文化的符号，下列图书馆标志中，不是轴对称的是()A. B. C. D.2.如图，在△ABC中，BC边上的高为()A. B.C. D.3.下列运算正确的是()A. a4+a4=a8B. (−a2)3=a6C. a2⋅a3=a5D. (2ab2)3=2a3b64.已知等腰三角形的一边长为4，另一边长为8，则它的周长是()A. 12B. 16C. 20D. 16或205.在课堂上，张老师布置了一道画图题：画一个Rt△ABC，使∠B=90°，它的两条边分别等于两条已知线段．小刘和小赵同学先画出了∠MBN=90°之后，后续画图的主要过程分别如图所示．那么小刘和小赵同学作图确定三角形的依据分别是()A. SAS，HLB. HL，SASC. SAS，AASD. AAS，HL6.如图，在△ABC中，D是BC边上一点，且AB=AD=DC，∠BAD=40°，则∠C为()A. 25°B. 35°C. 40°D. 50°7.如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE//AB交AC于点E，若DE=7，CE=5，则AC=()A. 11B. 12C. 13D. 148.如图，已知直线l及直线l外一点P．(1)在直线l上取一点A，连接PA；(2)作PA的垂直平分线MN，分别交直线l，PA于点B，O；(3)以O为圆心，OB长为半径画弧，交直线MN于另一点Q；(4)作直线PQ．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是()A. △OPQ≅△OABB. PQ//ABBQC. 若∠APQ=60°，则PQ=PAD. AP=12二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）9.点P(−2,5)关于x轴对称的点是______．11.如图，小明从A点出发，沿直线前进2米后向左转36°，再沿直线前进2米，又向左转36°…照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了______米．12.如图，△ABC≌△A′B′C′，其中∠A=36°，∠C′=24°，则∠B=______．13.如图，AB=AC，要使△ABE≌△ACD，应添加的条件是______(添加一个条件即可)．14.某地地震过后，小娜同学用下面的方法检测教室的房梁是否处于水平：在等腰直角三角尺斜边中点O处拴一条线绳，线绳的另一端挂一个铅锤，把这块三角尺的斜边贴在房梁上，结果线绳经过三角尺的直角顶点，由此得出房梁是水平的即挂铅锤的线绳与房梁直)，用到的数学原理是______．15.如图，在△ABC中，BD是边AC上的高，CE平分∠ACB，交BD于点E，DE=2，BC=5，则△BCE的面积为______．16.如图，在△ABC中，∠BAC=80°，∠C=45°，AD是△ABC的角平分线，那么∠ADB=______度．17.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分线DE交AC于点D，交AB于E点，连结BD，则∠DBC的度数为______度．18.(1)如图，∠MAB=30°，AB=2cm.点C在射线AM上，利用图1，画图说明命题“有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形全等”是假命题．你画图时，选取的BC的长约为______cm(精确到0.1cm)．(2)∠MAB为锐角，AB=a，点C在射线AM上，点B到射线AM的距离为d，BC=x，若△ABC的形状、大小是唯一确定的，则x的取值范围是______．三、解答题（本大题共7小题，共46.0分）19.如图，点A，F，C，D在同一条直线上，点B和点E在直线AD的两侧，且AF=DC，BC//FE，∠A=∠D．求证：AB=DE．20.如图，已知A(−2,3)，B(−3,1)，C(1,−2)．(1)请画出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′；(其中A′、B′、C′分别是A，B，C的对应点，不写画法)(2)A′、B′、C′的坐标分别为______；(3)△ABC的面积是______．21.已知：如图，线段AB和射线BM交于点B．(1)利用尺规完成以下作图，并保留作图痕迹．(不要求写作法)①在射线BM上求作一点C，使AC=AB；②在线段AB上求作一点D，使点D到BC，AC的距离相等；(2)在(1)所作的图形中，若∠ABM=72°，则图中与BC相等的线段是______．22.两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连结DC．(1)请找出图2中的全等三角形，并给予证明(说明：结论中不得含有未标识的宇母)；(2)证明：DC⊥BE．23.如图，在△ABC中，∠ABC=45°，BD⊥AC于点D，过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点F．(1)求证：∠ABD=∠ACE；(2)求证：EF=AE．24.如图，在等边△ABC内作射线AD，∠BAD=α(0°<α<60°)，点B关于射线AD的对称点为E.连接EC并延长交射线AD于点F．(1)补全图形；(2)求∠AFE的度数；(3)用等式表示线段AF、CF、EF之间的数量关系，并证明．25.对于平面直角坐标系xOy中的线段AB及点P，给出如下定义：若点P满足PA=PB，则称P为线段AB的“轴点”，其中，当0°<∠APB<60°时，称P为线段AB的“远轴点”；当60°≤∠APB≤180°时，称P为线段AB的“近轴点”．(1)如图1，点A，B的坐标分别为(−2,0)，(2,0)，则在P1(−1,3)，P2(0,2)，P3(0,−1)，P4(0,4)中，线段AB的“近轴点”是______．(2)如图2，点A的坐标为(3,0)，点B在y轴正半轴上，∠OAB=30°．①若P为线段AB的“远轴点”，直接写出点P的横坐标t的取值范围______；②点C为y轴上的动点(不与点B重合且BC≠AB)，若Q为线段AB的“轴点”，当线段QB与QC的和最小时，求点Q的坐标．答案和解析1.【答案】A【解析】解：A、不是轴对称图形；B、是轴对称图形；C、是轴对称图形；D、是轴对称图形；故选：A．根据轴对称图形的概念解答．本题考查的是轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2.【答案】B【解析】解：如图，在△ABC中，BC边上的高为线段AD，故选：B．根据三角形高的定义判断即可．本题主要考查三角形的角平分线、中线、高，解答的关键是对三角形的高的定义的掌握．3.【答案】C【解析】解：A、a4+a4=2a4，故此选项不符合题意；B、(−a2)3=−a6，故此选项不符合题意；C、a2⋅a3=a5，故此选项符合题意；D、(2ab2)3=8a3b6，故此选项不符合题意；故选：C．根据合并同类项运算法则进行计算判断A，根据幂的乘方运算法则进行计算判断B，根据同底数幂相乘的运算法则进行计算判断C，根据积的乘方与幂的乘方运算法则进行计a mn，积的乘方(ab)n=a nb n运算法则是解题关键．4.【答案】C【解析】解：等腰三角形的一边长为4，另一边长为8，则第三边可能是4，也可能是8，(1)当4是腰时，4+4=8，不能构成三角形；(2)当8是腰时，不难验证，可以构成三角形，周长=8+8+4=20．故选：C．因为三角形的底边与腰没有明确，所以分两种情况讨论．本题主要考查分情况讨论的思想，利用三角形三边关系判断是否能构成三角形也是解好本题的关键．5.【答案】A【解析】解：∵小刘同学先确定的是直角三角形的两条直角边，∴确定依据是SAS定理；∵小赵同学先确定的是直角三角形的一条直角边和斜边，∴确定依据是HL定理．故选：A．分别根据全等三角形的判定定理进行解答即可．本题考查的是作图−复杂作图，熟知全等三角形的判定定理是解答此题的关键．6.【答案】B【解析】解：∵AB=AD，∴∠B=∠ADB，=70°=∠ADB，由∠BAD=40°得∠B=180°−40°2∵AD=DC，∴∠C=∠DAC，∴∠C=1∠ADB=35°．2先根据AB=AD，利用三角形内角和定理求出∠B和∠ADB的度数，再根据三角形外角的性质即可求出∠C的大小．此题主要考查学生对等腰三角形的性质和三角形内角和定理，三角形的外角性质的理解和掌握，解答此题的关键是利用三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．7.【答案】B【解析】解：∵△ABC中，AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD=∠CAD，∵DE//AB，DE=7，CE=5，∴∠CAD=∠ADE，∴AE=DE=7，∴AC=AE+CE=7+5=12．故选：B．先根据角平分线的性质得出∠BAD=∠CAD，再根据平行线的性质得出∠CAD=∠ADE，故可得出AE=DE=7，再根据AC=AE+CE即可得出结论．本题考查的是等腰三角形的判定与性质，熟知等腰三角形的两底角相等是解答此题的关键．8.【答案】D【解析】解：由作法得OP=OA，OQ=OB．∵∠POQ=∠AOB，∴△OPQ≌△OAB(SAS)，所以A选项的结论正确；∴∠OPQ=∠OAB，∴PQ//AB，所以B选项的结论正确；若∠APQ=60°，则∠PQO=30°，∴OP=1PQ，2∵OP=OA，∴PA=PQ，所以C选项的结论正确；∵△OPQ≌△OAB，∴OQ=OB，∴只有当OA=12OB时，AP=12BQ，所以D选项的结论错误．故选：D．利用作法得OP=OA，OQ=OB，则可判断△OPQ≌△OAB(SAS)，于是可对A选项进行判断；根据全等三角形的性质得到∠OPQ=∠OAB，则根据平行线的判定可对B选项进行判断；若∠APQ=60°，则∠PQO=30°，利用含30度的直角三角形三边的关系得到OP=12PQ，则可对C选项进行判断；由于OQ=OB，所以只有当OA=12OB时，AP=12BQ，则可对D选项进行判断．本题考查了作图−复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．也考查了线段垂直平分线的性质．9.【答案】(−2,−5)【解析】解：点P(−2,5)关于x轴对称的点是(−2,−5)．故答案为：(−2,−5)．根据关于x轴对称的点的坐标特征(横坐标相同，纵坐标互为相反数)解决此题．本题主要考查关于x轴对称的点的坐标特征，熟练掌握关于x轴对称的点的坐标特征是解决本题的关键．10.【答案】4【解析】解：0.252020×42021=0.252020×42020×4=(0.25×4)2020×4=12020×4=1×4=4．故答案为：4．积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，据此计算即可．本题主要考查了积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．11.【答案】20【解析】解：由图可知小明回到出发点时走了一个正多边形，且每个外角是36°，由360°÷36=10可知是正十边形，有10条相等的边，∴小明一共走了10×2=20米，故答案为：20．根据多边形的外角和即可确定小明走的边数，边数乘以2即可得出答案．本题主要考查正多边形的外角和定理，关键是要牢记多边形的外角和为360°．12.【答案】120°【解析】【分析】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等是解题的关键．根据全等三角形的性质求出∠C的度数，根据三角形内角和定理计算即可．【解答】解：∵△ABC≌△A′B′C′，∴∠C=∠C′=24°，∴∠B=180°−∠A−∠C=120°，故答案为120°．13.【答案】∠B=∠C或AE=AD【解析】解：添加∠B=∠C或AE=AD后可分别根据ASA、SAS判定△ABE≌△ACD．故答案为：∠B=∠C或AE=AD．要使△ABE≌△ACD，已知AB=AC，∠A=∠A，则可以添加一个边从而利用SAS来判定其全等，或添加一个角从而利用AAS来判定其全等．本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．14.【答案】等腰三角形的底边上的中线、底边上的高重合【解析】解：∵△ABC是个等腰三角形，∴AC=BC，∵点O是AB的中点，∴AO=BO，∴OC⊥AB．故答案为：等腰三角形的底边上的中线、底边上的高重合．根据△ABC是个等腰三角形可得AC=BC，再根据点O是AB的中点，即可得出OC⊥AB，然后即可得出结论．本题主要考查了学生对等腰三角形的性质的理解和掌握，此题与实际生活联系密切，体现了从数学走向生活的指导思想，从而达到学以致用的目的．15.【答案】5【解析】【分析】本题考查了角平分线的性质以及三角形的面积，作出辅助线求得三角形的高是解题的关键．作EF⊥BC于F，根据角平分线的性质求得EF=DE=2，然后根据三角形面积公式求得即可．【解答】解：作EF⊥BC于F，∵CE平分∠ACB，BD⊥AC，EF⊥BC，∴EF=DE=2，∴S△BCE=12BC⋅EF=12×5×2=5．故答案为5．16.【答案】85【解析】解：∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC=80°，∴∠CAD=12∠BAC=12×80°=40°，∴∠ADB=∠CAD+∠C=40°+45°=85°．故答案为：85．根据角平分线的定义求出∠CAD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记性质与概念是解题的关键．17.【答案】30【解析】解：∵∠A=40°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=70°，又∵DE垂直平分AB，∴DB=AD∴∠ABD=∠A=40°，∴∠DBC=∠ABC−∠ABD=70°−40°=30°．故答案为：30．已知∠A=40°，AB=AC可得∠ABC=∠ACB，再由线段垂直平分线的性质可求出∠ABD=∠A，易求∠DBC．此题主要考查了等腰三角形的性质以及线段垂直平分线的性质．主要了解线段垂直平分线的性质即可求解．18.【答案】(1)答案不唯一如：BC=1.2cm x=d或x≥a.(2)若△ABC的形状、大小是唯一确定的，则x的取值范围是x=d或x≥a，故答案为x=d或x≥a．【解析】解：(1)取BC=1.2cm，如图在△ABC和△ABC′中满足SSA，两个三角形不全等．故答案为：答案不唯一如：BC=1.2cm．(2)见答案【分析】(1)答案不唯一，可以取BC=1.2cm(1cm<BC<2cm)；(2)当x=d或x≥a时，三角形是唯一确定的；本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．19.【答案】证明：∵BC//FE，∴∠BCA=∠DFE．∵AF=DC，∴AF+FC=DC+CF．∴AC=DF．在△ABC和△DEF中{∠BCA=∠DFE AC=DF∠A=∠D∴△ABC≌△DEF(ASA)．∴AB=DE．【解析】根据已知条件得出△ABC≌△DEF，即可得出AB=DE．本题考查了平行线的性质，全等三角形的性质和判定的应用，关键是根据平行线的性质和全等三角形的判定解答．20.【答案】(2,3)，(3,1)，(1,−2). 3.5【解析】解：(1)如图，△A′B′C′即为所求；(2)A′、B′、C′的坐标分别为(2,3)，(3,1)，(1,−2)．故答案为：(2,3)，(3,1)，(1,−2)．(3)S△ABC=4×5−12×1×2−12×3×4−12×3×5=3.5，故答案为：3.5．(1)利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可．(2)根据A′，B′，C′的位置写出坐标即可．(3)利用分割法把三角形面积看成矩形面积减去周围三个三角形面积即可．本题考查作图−复杂作图，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握轴对称变换，学会用分割法求三角形面积．21.【答案】(1)①如图所示：AC=AB；②D点即为所求；(2)DC，AD．【解析】【分析】此题主要考查了复杂作图，正确利用角平分线的性质以及等腰三角形的性质是解题关键．(1)①以A为圆心AB长为半径画弧，进而得出C点位置；②利用角平分线的作法得出即可；(2)利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出即可．【解答】解：(1)①见答案；②见答案；(2)∵∠ABM=72°，AB=AC，∴∠ACB=72°，∵∠ACD=∠DCB，∴∠A=∠ACD=∠BCD=36°，∠BDC=72°，∴图中与BC相等的线段是：DC和AD，故答案为DC，AD．22.【答案】(1)△ABE≌△ACD．证明：∵△ABC与△AED均为等腰直角三角形，∴AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=90°．∴∠BAC+∠CAE=∠EAD+∠CAE．即∠BAE=∠CAD，在△ABE与△ACD中，{AB=AC∠BAE=∠CAD AE=AD，∴△ABE≌△ACD；(2)证明∵△ABE≌△ACD，∴∠ACD=∠ABE=45°，又∵∠ACB=45°，∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°，∴DC⊥BE．【解析】(1)根据等腰直角三角形的性质，可以得出△ABE≌△ACD；(2)由△ABE≌△ACD可以得出∠B=∠ACD−45°，进而得出∠DCB=90°，就可以得出结论．本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，垂直的判定的运用，解答时证明三角形全等是关键．23.【答案】(1)证明：∵BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，∴∠A+∠ABD=∠A+∠ACE=90°，∴∠ABD=∠ACE；(2)证明：∵∠ABC=45°，CE⊥AB，∴∠BCE=∠CBE，∠AEC=∠FEB=90°，∴CE=BE，在△BEF和△CEA中，{∠BEF=∠AEC BE=CE∠EBF=∠ACE，∴△BEF≌△CEA(ASA)，∴EF=AE．【解析】(1)依据同角的余角相等，即可得出结论；(2)证明△BEF≌△CEA，依据全等三角形的对应边相等，即可得出结论．本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质，证明△BEF≌△CEA是解决问题的关键．24.【答案】解：(1)补全图形如图1所示：(2)如图2，连接AE，BE，∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=60°，AB=AC，∵点B关于射线AD的对称点为E，∴AE=AB，∠EAF=∠BAD=α，∴∠CAE=∠BAE−∠BAC=2α−60°，∴AC=AE，∴∠ACE=∠AEC=12(180°−∠CAE)=120°−α，∵∠CAF=∠BAC−∠BAD=60°−α，∴∠AFE=∠ACE−∠CAF=120°−α−(60°−α)=60°；(3)AF=EF+CF．证明：如图3，在AF上截取FG=FC，连接CG、AE、BF、BE，∵点B关于射线AD的对称点为E，∴BF=EF，由(2)知：∠AFE=∠60°，∵FG=FC，∴△CFG是等边三角形，∴∠FCG=60°，CF=CG=FG，∴∠ACG+∠BCG=60°，∠BCF+∠BCG=60°，∴∠ACG=∠BCF，在△CAG和△CBF中，{AC=BC∠ACG=∠BCF CG=CF，∴△CAG≌△CBF(SAS)，∴AG=BF，∴AG=EF，∵AF=AG+FG，∴AF=EF+CF．【解析】(1)补全图形如图1所示；(2)如图2，连接AE，BE，根据对称性可得：AE=AB，∠EAF=∠BAD=α，由等腰三(180°−角形性质可得：∠CAE=2α−60°，由AC=AE，可得∠ACE=∠AEC=12∠CAE)=120°−α，再根据三角形外角性质即可得出答案；(3)如图3，在AF上截取FG=FC，连接CG、AE、BF、BE，根据对称性可得：BF=EF，再由等边三角形性质可证得：△CAG≌△CBF(SAS)，即可证得：AF=EF+CF．本题考查作图−轴对称变换，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．25.【答案】(1)P2，P3;(2)①t>3或t<0;②如图2−2中，由题意点Q在线段AB的垂直平分线上．连接QA，QB，作QC⊥OB于C．∵点Q在AB的垂直平分线上，∴QB=QA，∴QB+QC=QA+QC，根据垂线段最短可知：当A，Q，C共线且AC⊥OB时，QB+QC的值最小，最小值为线段OA的长，∵直线AB的解析式为y=−√3x+√3，3∴线段AB的垂直平分线的解析式为y=√3x−√3，令y=0，得到x=1，∴此时点Q坐标为(1,0)．【解析】解：(1)如图作等边△ABC，△ABC′．由题意C(0,2√3)，C′(0,−2√3)，当点P在线段CC′上时，点P是“近轴点”，所以P2(0,2)，P3(0,−1)是“近轴点”，故答案为P2，P3．(2)①如图2−1中，以AB为边作等边△ABK，△ABK′，由题意可知K(3,√3)，k′(0,−√3)，若P为线段AB的“远轴点”，∴点P的横坐标t的取值范围为t>3或t<0．故答案为t>3或t<0．②见答案．【分析】(1)如图1中作等边△ABC，△ABC′.根据点C，C′的坐标即可判断；(2)①如图2−1中，以AB为边作等边△ABK，△ABK′，根据K，K′的坐标即可判断；②如图2−2中，由题意点Q在线段AB的垂直平分线上．连接QA，QB，作QC⊥OB于C.根据垂线段最短可知：当A，Q，C共线且AC⊥OB时，QB+QC的值最小，最小值为线段OA的长，求出线段AB的垂直平分线的解析式即可解决问题；本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质，一次函数的应用等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考压轴题．。

·北京22中、21中联盟校2022-2023学年度月考试卷初三年级数学学科本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分．考试结束后，将本试卷与答题纸一并交回．祝各位考生考试倾利！第I卷一、选择题（共16分，每题2分）1. 中国首次火星探测任务天问一号探测器在2021年2月10日成功被火星捕获，成为中国第一颗人造火星卫星，并在距离火星约11000米处，拍摄了火星全景图像．将11000用科学记数法表示应为（）A. 31.110´ C. 4´ B. 51110´ D.1.11050.1110´2. 如图是某几何体的三视图，该几何体是（）A. 长方体B. 三棱柱C. 三棱锥D. 圆锥3. 如图，//,100,50,Ð=°Ð=°Ð的度数为（）AB CD A BCD ACBA. 25°B. 30°C. 45°D. 50°4. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. 角B. 等腰三角形C. 平行四边形D. 正六边形5. 实数a在数轴上的对应点的位置如图所示，若实数b满足0+>，则b的值可以是（a b）A. 1-B. 0C. 1D. 26. 《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中《盈不足》卷记载了一道有趣的数学问题：“今有共买物，人出八，赢三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”译文：“今有人合伙购物，每人出8钱，会多出3钱；每人出7钱，又差4钱．问人数、物价各多少？”设人数为x 人，物价为y 钱，根据题意，下面所列方程组正确的是（ ）A. 8374x y x y +=ìí-=îB. 8374x y x y -=ìí+=îC. 8374x y x y +=ìí+=îD.8374x y x y-=ìí-=î7. 下列两个变量之间的关系为反比例关系的是（ ）A. 圆的周长与其半径的关系B. 平行四边形面积一定时，其一边长与这边上的高的关系C. 销售单价一定时，销售总价与销售数量的关系D. 汽车匀速行驶过程中，行驶路程与行驶时间的关系8. 如图为某二次函数的部分图象，有如下四个结论：①此二次函数表达式为2194y x x =-+； ②若点(1,)B n -在这个二次函数图象上，则n m >；③该二次函数图象与x 轴的另一个交点为(4,0)-； ④当06x <<时，8m y <<，所有正确结论的序号是（ ）A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④第Ⅱ卷二、填空题（本题共16分，每小题2分）9. 要使式子5x -有意义，则x 的取值范围是________．10. 分解因式：229x y -=__．11. 若23x y =，则代数式2x y x y-+的值是___________．12. 不透明的盒子中有3个红球，1个白球，这些球除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个球不放回，再从中随机摸出一个球，两次摸出的恰好都是红球的概率是_______．13. 如图，在O e 中，半径OC AB ^于点H ，若40OAB Ð=°，则ABC Ð=_______°．14. 如图，小石同学在A ，B 两点分别测得某建筑物上条幅两端C ，D 两点的仰角均为60°，若点O ，A ，B 在同一直线上，A ，B 两点间距离为3米，则条幅的高CD 为______米．15. 幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方，将数字1~9分别填入如图所示的幻方中，要求每一横行，每一竖列以及两条对角线上的数字之和都是15，则a 的值为________．16. 某中学为积极开展校园足球运动，计划购买A 和B 两种品牌的足球，已知一个A 品牌足球价格为120元，一个B 品牌足球价格为150元．学校准备用3000元购买这两种足球（两种足球都买），并且3000元全部用完，则该校共有______种购买方案．三、解答题（共68分，17-22题，每题5分，23-26题，每题6分，27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17. 计算：(0184cos 4521-°+--．18. 解不等式组：524113142x x x x +³-ìïí+->+ïî 19. 已知2320x x +-=，求代数式()()()22223x y x y x x y +---+的值．20. 已知：如图Rt ABC V 中，90ACB Ð=°．求作：点P ，使得点P 在AC 上，且点P 到AB 的距离等于PC ．作法：①以点B 为圆心，以任意长为半径作弧，分别交射线,BA BC 于点,D E ；②分别以点,D E 为圆心，以大于12DE 的长为半径作弧，两弧在ABC Ð内部交于点F ；③作射线BF 交AC 于点P ．则点P 即为所求．（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面证明．证明：连接,DF FE ．在BDF V 和BEF △中,,.DB EB DF EF BF BF =ìï=íï=îBDF BEF \V V ≌．ABF CBF \Ð=Ð（_________________）（填推理的依据）．90ACB Ð=°Q ，点P 在AC 上，PC BC \^．作PQ AB ^于点Q ，Q 点P 在BF 上，PC \=__________（______________________）（填推理的依据）．21. 关于x 的方程22(21)0x m x m -++=有两个不相等的实数根．（1）求m 的取值范围；（2）当m 取最小的整数时，求此时的方程的根．22. 在平面直角坐标系xOy 中，一次函数()0y kx b k =+¹的图象经过点(0,1),(1,0)A B -．（1）求k ，b 的值；（2）当1x >时，对于x 的每一个值，函数2y x n =-+的值小于一次函数y kx b =+的值，直接写出n 的取值范围．23. 如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，且DE ∥AC ，CE ∥BD ．(1)求证：四边形OCED 是菱形；(2)若∠BAC =30°，AC =4，求菱形OCED 的面积．24. 如图，AB 是O e 的直径，弦CD AB ^于点E ，O e 的切线CF 交AB 的延长线于点F ，连接OC ，DF ．（1）求证：DF 是O e 的切线；（2）若3sin ,105OFC BF Ð==，求CD 的长．25. 某公园内人工喷泉有一个竖直的喷水枪，喷出的水流路径可以看作是抛物线的一部分．记喷出的水流距喷水枪的水平距离为m x ，距地面的竖直高度为m y ，获得数据如下：小景根据学习函数的经验，对函数随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究．下面是小景的探究过程，请补充完整：（1）在平面直角坐标系xOy 中，描出以表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；（2）水流的最高点距喷水枪的水平距离为________m ；（3）结合函数图象，解决问题：公园准备在距喷水枪水平距离为3.5m 处加装一个石柱，使该喷水枪喷出的水流刚好落在石柱顶端，则石柱的高度约为_____m ．26. 在平面直角坐标系xOy 中，物线222=-+-y x tx t t ．（1）求抛物线的顶点坐标（用含t 的代数式表示）；（2）点()()1122,,,P x y Q x y 在抛物线上，其中1212,1-££+=-t x t x t ．①若1y 的最小值是2-，求1y 的最大值；②若对于12,x x ，都有12y y <，直接写出t 的取值范围．27. 在ABC V 中，90ACB Ð=°，2AC BC ==，将线段CB 绕点C 顺时针旋转α角得到线段CD ，连接BD ，过点C 作CE BD ^于点E ，连接AD 交CB ，CE 于点F ，G ．（1）当60a=°时，如图1，依题意补全图形，直接写出AGCÐ的大小；（2）当60a¹°时，如图2，试判断线段AG与CE之间的数量关系，并证明你的结论；（3）若F为BC的中点，直接写出BD的长．28. 在平面直角坐标系xOy中，Oe的半径为1．对于线段PQ给出如下定义：若线段PQ 与Oe有两个交点M，N，且==e的“倍弦线”．PM MN NQ，则称线段PQ是O（1）如图，点A，B，C，D的横、纵坐标都是整数．在线段AB，AD，CB，CD中，e的“倍弦线”是_____________；O（2）Oe的“倍弦线”PQ与直线2x=交于点E，求点E纵坐标y的取值范围；E（3）若O=+与线段PQ有公共点，直接写出e的“倍弦线”PQ过点()1,0，直线y x bb的取值范围．。

一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列各数中，无理数是（）A. √4B. 0.333...C. πD. -3答案：C2. 下列各数中，负数是（）A. -5B. 5C. 0D. -5/2答案：A3. 下列各数中，有理数是（）A. √9B. √-16C. π/4D. 0.101001...答案：A4. 下列各数中，正数是（）A. -3B. 0C. 1/2答案：C5. 下列各数中，绝对值最大的是（）A. -3B. 3C. -5D. 5答案：C6. 下列各数中，互为相反数的是（）A. 3和-2B. 5和-5C. -4和2D. 0和-1答案：B7. 下列各数中，有最大公约数的是（）A. 12和18B. 8和9C. 20和24D. 15和20答案：C8. 下列各数中，能被3整除的是（）A. 12B. 13D. 17答案：A9. 下列各数中，质数是（）A. 11B. 10C. 9D. 8答案：A10. 下列各数中，合数是（）A. 13B. 12C. 11D. 10答案：B二、填空题（每题5分，共50分）11. π的近似值是________。

答案：3.1412. 5的平方根是________。

答案：√513. -2的相反数是________。

答案：214. 2和3的最小公倍数是________。

15. 下列各数中，有理数是________。

答案：4/516. 下列各数中，无理数是________。

答案：√217. 下列各数中，负数是________。

答案：-418. 下列各数中，正数是________。

答案：0.819. 下列各数中，互为相反数的是________。

答案：-3和320. 下列各数中，能被4整除的是________。

答案：16三、解答题（每题10分，共30分）21. 计算下列各式的值：（1）3√(64) - 2√(9)（2）(√16)² + (√25)³答案：（1）3√(64) - 2√(9) = 38 - 23 = 24 - 6 = 18（2）(√16)² + (√25)³ = 16 + 25√25 = 16 + 255 = 16 + 125 = 141 22. 解下列方程：（1）2x - 5 = 11（2）5x + 3 = 2x - 7（1）2x - 5 = 112x = 11 + 52x = 16x = 16/2x = 8（2）5x + 3 = 2x - 75x - 2x = -7 - 33x = -10x = -10/3x = -3.33（约）23. 简化下列各式：（1）3√(a³) √(a²)（2）(a² + b²)² - 2a²b²答案：（1）3√(a³) √(a²) = 3a√(a)（2）(a² + b²)² - 2a²b² = a⁴ + 2a²b² + b⁴ - 2a²b² = a⁴ + b⁴。

2019-2020学年北京二十二中、二十一中联盟校八年级（上）期中数学试卷一、单项选择题（下列各小题中只有一个选项符合题意，共30分，每小题3分）1．（3分）低碳环保理念深入人心，共享单车已成为出行新方式．下列共享单车图标，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．（3分）下列计算正确的是（）A．a3+a2＝a5B．a3•a2＝a5C．（2a2）3＝6a6D．a6÷a2＝a33．（3分）下列各式中从左到右的变形属于分解因式的是（）A．a（a+b﹣1）＝a2+ab﹣aB．a2﹣a﹣2＝a（a﹣1）﹣2C．﹣4a2+9b2＝（﹣2a+3b）（2a+3b）D．4．（3分）等腰三角形一边等于5，另一边等于8，则其周长是（）A．18B．21C．18或21D．不能确定5．（3分）若如图中的两个三角形全等，图中的字母表示三角形的边长，则∠1的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．70°6．（3分）如果9x2+ax+4是一个完全平方式，则a的值是（）A．±6B．6C．12D．±127．（3分）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E．若△ABC的周长为22，BE＝4，则△ABD的周长为（）A．14B．18C．20D．268．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，点D是AC的中点，过点D作DE⊥AC交BC于点E，连接EA．则∠BAE的度数为（）A．30°B．80°C．90°D．110°9．（3分）下列各图是由若干个正方形和长方形组成的，其中能表示等式（a+b）2＝a2+2ab+b2的是（）A．B．C．D．10．（3分）如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当PC与PE的和最小时，∠CPE的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．90°二、填空题（共16分，每小题2分）11．（2分）（3.14﹣π）0＝．12．（2分）如图，线段AB，CD相交于点O，AO＝BO，添加一个条件，能使△AOC≌△BOD，所添加的条件可以是13．（2分）如果实数a，b满足a+b＝6，ab＝8，那么a2+b2＝．14．（2分）如图，在△ABC中，CD是它的角平分线，DE⊥AC于点E．若BC＝8cm，DE＝3cm，则△BCD的面积为cm2．15．（2分）若2x＝4y﹣1，27y＝3x+7，则x+y＝．16．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于D点．若BD平分∠ABC，则∠A＝°．17．（2分）已知等腰三角形一腰上高与另一腰夹角30°，则顶角的度数为．18．（2分）阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：作一条线段的垂直平分线．已知：线段AB．求作：线段AB的垂直平分线．小红的作法如下：如图，①分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点C；②再分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径（不同于①中的半径）作弧，两弧相交于点D，使点D与点C在直线AB的同侧；③作直线CD．所以直线CD就是所求作的垂直平分线．老师说：“小红的作法正确．”请回答：小红的作图依据是．三、解答题（共35分，第19题4分，第20题6分，第21题至25题每题5分）19．（4分）因式分解：（1）a3﹣4a（2）3a2﹣12ab+12b220．（6分）计算：（1）（2）（﹣8m4n+12m3n2﹣4m2n3）÷（﹣4m2n）21．（5分）如图，点A、F、C、D在同一条直线上，AB∥DE，∠B＝∠E，AF＝DC，求证：BC＝EF．22．（5分）已知x2+3x﹣1＝0，求4x（x+2）+（x﹣1）2﹣3（x2﹣1）的值．23．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（2，3），B（1，0），C（1，2）．（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；（2）如果要使以B、C、D为顶点的三角形与△ABC全等，写出所有符合条件的点D坐标．24．（5分）某同学在计算一个多项式乘﹣3x2时，算成了加上﹣3x2，得到的答案是，正确计算结果是多少？25．（5分）如图，在△ABC中，已知点D在线段AB的反向延长线上，过AC的中点F作线段GE交∠DAC的平分线于E，交BC于G，且AE∥BC．（1）求证：△ABC是等腰三角形．（2）若AE＝8，AB＝10，GC＝2BG，求△ABC的周长．四、解答题（共19分，第26题6分，第27题7分，第28题6分）26．（6分）阅读下列材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．下面是小涵同学用换元法对多项式（x2﹣4x+1）（x2﹣4x+7）+9进行因式分解的过程．解：设x2﹣4x＝y原式＝（y+1）（y+7）+9（第一步）＝y2+8y+16（第二步）＝（y+4）2（第三步）＝（x2﹣4x+4）2（第四步）请根据上述材料回答下列问题：（1）小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的；A．提取公因式法B．平方差公式法C．完全平方公式法（2）老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：；（3）请你用换元法对多项式（x2+2x）（x2+2x+2）+1进行因式分解．27．（7分）△ABC是等腰直角三角形，其中∠C＝90°，AC＝BC，D是BC上任意一点（点D与点B、C都不重合），连接AD，CF⊥AD，交AD于点E，交AB于点F，BG⊥BC交CF的延长线于点G．（1）依题意补全图形，并写出与BG相等的线段；（2）当点D为线段BC中点时，连接DF，求证：∠BDF＝∠CDE；（3）当点C和点F关于直线AD成轴对称时，直接写出线段CE、DE、AD三者之间的数量关系．28．（6分）对于平面直角坐标系xOy中的线段AB及点P，给出如下定义：若点P满足P A＝PB，则称P为线段AB的“轴点”，其中，当0°＜∠APB＜60°时，称P为线段AB的“远轴点”；当60°≤∠APB≤180°时，称P为线段AB的“近轴点”．（1）如图1，点A，B的坐标分别为（﹣2，0），（2，0），则在P1（﹣1，3），P2（0，2），P3（0，﹣1），P4（0，4）中，线段AB的“近轴点”是．（2）如图2，点A的坐标为（3，0），点B在y轴正半轴上，∠OAB＝30°．①若P为线段AB的“远轴点”，直接写出点P的横坐标t的取值范围；②点C为y轴上的动点（不与点B重合且BC≠AB），若Q为线段AB的“轴点”，当线段QB与QC的和最小时，求点Q的坐标．2019-2020学年北京二十二中、二十一中联盟校八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（下列各小题中只有一个选项符合题意，共30分，每小题3分）1．【解答】解：A、是轴对称图形．故选项正确；B、不是轴对称图形．故选项错误；C、不是轴对称图形．故选项错误；D、不是轴对称图形．故选项错误．故选：A．2．【解答】解：A、a3+a2，无法计算，故此选项错误；B、a3•a2＝a5，正确；C、（2a2）3＝8a6，故此选项错误；D、a6÷a2＝a4，故此选项错误；故选：B．3．【解答】解：A、B中最后结果不是乘积的形式，不属于因式分解；C、运用平方差公式进行的因式分解；D、不是在整式范围内进行的分解，不属于因式分解．故选：C．4．【解答】解：当5为底时，其它两边都为8，5、8、8可以构成三角形，周长为21；当5为腰时，其它两边为5和8，5、5、8可以构成三角形，周长为18，所以周长是18或21．故选：C．5．【解答】解：在左图中，边a所对的角为180°﹣60°﹣70°＝50°，因为图中的两个三角形全等，所以∠1的度数为50°．故选：B．6．【解答】解：∵9x2+ay+4y2是一个完全平方式，∴axy＝±2•3x•2y，解得：a＝±12，故选：D．7．【解答】解：∵DE是BC的垂直平分线，∴DB＝DC，BC＝2BE＝8，∵△ABC的周长为22，∴AB+BC+AC＝22，∴AB+AC＝14，∴△ABD的周长＝AD+BD+AB＝AD+CD+AB＝AB+AC＝14，故选：A．8．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝30°，∴∠BAC＝180°﹣30°﹣30°＝120°，∵DE垂直平分线段AC，∴EA＝EC，∴∠EAD＝∠C＝30°，∴∠BAE＝∠BAC﹣∠EAD＝90°．故选：C．9．【解答】解：对于等式（a+b）2＝a2+2ab+b2，可看作边长为（a+b）的正方形由一个边长为a的正方形、一个边长为b的正方形和一个长宽为a、b的矩形组成．故选：B．10．【解答】解：如连接BE，与AD交于点P，此时PE+PC最小，∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，∴PC＝PB，∴PE+PC＝PB+PE＝BE，即BE就是PE+PC的最小值，∵△ABC是等边三角形，∴∠BCE＝60°，∵BA＝BC，AE＝EC，∴BE⊥AC，∴∠BEC＝90°，∴∠EBC＝30°，∵PB＝PC，∴∠PCB＝∠PBC＝30°，∴∠CPE＝∠PBC+∠PCB＝60°，故选：C．二、填空题（共16分，每小题2分）11．【解答】解：（3.14﹣π）0＝1．故答案为：1．12．【解答】解：∵∠AOC＝∠BOC，AO＝BO，∴当OC＝OD时，△AOC≌△BOD；当∠A＝∠B时，△AOC≌△BOD；当∠C＝∠D时，△AOC≌△BOD．故答案为OC＝OD或∠A＝∠B或∠C＝∠D．13．【解答】解：∵a+b＝6，ab＝8，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝36﹣16＝20，故答案为：2014．【解答】解：作DF⊥BC于F，∵CD是它的角平分线，DE⊥AC，DF⊥BC，∴DF＝DE＝3，∴△BCD的面积＝×BC×DF＝12（cm2），故答案为：12．15．【解答】解：∵2x＝4y﹣1，27y＝3x+7，∴2x＝22y﹣2，33y＝3x+7，∴，解得，∴x+y＝8+5＝13．故答案为：1316．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC，∵AB的垂直平分线MN交AC于D点．∴∠A＝∠ABD，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∴∠C＝2∠A＝∠ABC，设∠A为x，可得：x+x+x+2x＝180°，解得：x＝36°，故答案为：3617．【解答】解：当顶角为钝角时，如图1，可求得其顶角的邻补角为60°，则顶角为120°；当顶角为锐角时，如图2，可求得其顶角为60°；综上可知该等腰三角形的顶角为120°或60°．故答案为：120°或60°．18．【解答】解：如图，∵由作图可知，AC＝BC＝AD＝BD，∴直线CD就是线段AB的垂直平分线．故答案为：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线．三、解答题（共35分，第19题4分，第20题6分，第21题至25题每题5分）19．【解答】解：（1）原式＝a（a2﹣4）＝a（a+2）（a﹣2）；（2）原式＝3（a2﹣4ab+4b2）＝3（a﹣2b）2．20．【解答】解：（1）原式＝x2y×＝；（2）原式＝2﹣3mn+n2．21．【解答】证明：∵AB∥DE，∴∠A＝∠D，∵AF＝CD，∴AC＝DF，在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF，∴BC＝EF．22．【解答】解：4x（x+2）+（x﹣1）2﹣3（x2﹣1）＝4x2+8x+x2﹣2x+1﹣3x2+3＝2x2+6x+4＝2（x2+3x）+4，…（3分）∵x2+3x﹣1＝0，∴x2+3x＝1，…（4分）则原式＝2+4＝6．…（5分）23．【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；（2）当△BCD与△BCA关于BC对称时，点D坐标为（0，3），当△BCA与△CBD关于BC的中点对称时，点D坐标为（0，﹣1），△BCA与△CBD关于BC的中垂线对称时，点D坐标为当（2，﹣1）．24．【解答】解：由题意可得，原多项式为：x2﹣x+1+3x2＝4x2﹣x+1，故正确计算结果应为：﹣3x2•（4x2﹣x+1）＝﹣12x4+x3﹣3x2．25．【解答】证明：（1）∵AE∥BC，∴∠B＝∠DAE，∠C＝∠CAE．∵AE平分∠DAC，∴∠DAE＝∠CAE．∴∠B＝∠C．∴AB＝AC．∴△ABC是等腰三角形．（2）∵F是AC的中点，∴AF＝CF．∵AE∥BC，∴∠C＝∠CAE．由对顶角相等可知：∠AFE＝∠GFC．在△AFE和△CFG中，∴△AFE≌△CFG．∴AE＝GC＝8．∵GC＝2BG，∴BG＝4．∴BC＝12．∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝10+10+12＝32．四、解答题（共19分，第26题6分，第27题7分，第28题6分）26．【解答】解：（1）故选：C；（2）（x2﹣4x+1）（x2﹣4x+7）+9，设x2﹣4x＝y，原式＝（y+1）（y+7）+9，＝y2+8y+16，＝（y+4）2，＝（x2﹣4x+4）2，＝（x﹣2）4；故答案为：（x﹣2）4；（3）设x2+2x＝y，原式＝y（y+2）+1，＝y2+2y+1，＝（y+1）2，＝（x2+2x+1）2，＝（x+1）4．27．【解答】解：（1）BG＝DC，理由是：如图1，∵∠ACB＝90°，∴∠BCG+∠GCA＝90°，∵CF⊥AD，∴∠CEA＝90°，∴∠GCA+∠CAD＝90°，∴∠BCG＝∠CAD，∵∠ACB＝∠CBG＝90°，AC＝BC，∴△CBG≌△ACD（ASA），∴BG＝DC；（2）如图2，由（1）得：△CBG≌△ACD，∴∠CDE＝∠G，∵D是BC的中点，∴BD＝DC，∵BG＝DC，∴BG＝BD，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠CBA＝45°，∵∠CBG＝90°，∴∠GBA＝45°，∴∠GBA＝∠CBA＝45°，∵BF＝BF，∴△BDF≌△BGF（SAS），∴∠BDF＝∠G，∴∠BDF＝∠CDE；（3）AD＝2DE+2CE，理由是：如图3，过C作CM⊥AB于M，交AD于N，∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠BCM＝∠ACM＝45°，∵点C和点F关于直线AD成轴对称，∴AD是CF的中垂线，∴CE＝EF，CD＝DF，AC＝AF，∵AD＝AD，∴△ACD≌△AFD，∴∠DF A＝∠ACB＝90°，∵∠CBA＝45°，∴△DBF是等腰直角三角形，∴BF＝DF，∴BF＝DF＝CD，∵AC＝AF，∠BAC＝45°，∴∠ACF＝∠CF A＝67.5°，∠CAE＝∠F AE＝22.5°，∴∠BCG＝90°﹣67.5°＝22.5°，∴∠ECN＝45°﹣22.5°＝22.5°，∴∠ECN＝∠BCG，∴△DCE≌△NCE，∴DC＝CN，DE＝EN，∴CN＝BF，∵∠CAD＝∠BCG＝22.5°，∵AC＝BC，∴△ACN≌△CBF，∴CF＝AN＝2CE，∴AD＝DE+EN+AN＝2DE+CF＝2DE+2CE．28．【解答】解：（1）如图作等边△ABC，△ABC′．由题意C（0，2），C′（0，﹣2），当点P在线段CC′上时，点P是“近轴点”，所以P2（0，2），P3（0，﹣1）是“近轴点”，故答案为P2，P3．（2）①如图2﹣1中，以AB为边作等边△ABK，△ABK′，由题意可知K（3，2），k′（0，﹣），若P为线段AB的“远轴点”，∴点P的横坐标t的取值范围为t＞3或t＜0．故答案为t＞3或t＜0．②如图2﹣2中，由题意点Q在线段AB的垂直平分线上．连接QA，QB，作QC⊥OB于C．∵点Q在AB的垂直平分线上，∴QB＝QA，∴QB+QC＝QA+QC，根据垂线段最短可知：当A，Q，C共线且AC⊥OB时，QB+QC的值最小，最小值为线段OA的长，∵直线AB的解析式为y＝﹣x+，∴线段AB的垂直平分线的解析式为y＝x﹣，令y＝0，得到x＝1，∴此时点Q坐标为（1，0）．。