2018中考数学专题复习：二次函数复习学案(无答案)

第18课时二次函数（复习学案）第18课时二次函数一、复习目标1、识记二次函数的一般形式和顶点式，并能用待定系数法求它的解析式。

2、掌握二次函数的图像和性质。

二、重点、难点重点：⑴用待定系数法求二次函数的解析式；⑵用配方法求二次函数的最值。

难点：深入理解二次函数图像的特征。

三、复习过程㈠知识梳理1、二次函数的解析式⑴一般形式：。

⑵顶点式：。

2、二次函数的图像与性质二次函数y?a(x?h)?k的图像是，它的对称轴是直线，顶点坐标是当a?0时，抛物线开口，函数在x? 时，达到最值；当a?0时，抛物线开口，函数在x? 时，达到最值。

3、二次函数与一元二次方程的联系抛物线y?ax数根。

⑴当b?4ac 时，一元二次方程ax2222?bx?c与x轴是否有交点取决于一元二次方程ax2?bx?c?0是否有实?bx?c?0有两个不相等的实数根（x1?x2），抛物线就与x轴有两个不同的交点，其坐标是（）和（）。

反之亦然。

⑵当b?4ac 时，一元二次方程ax22?bx?c?0有两个相等的实数根（ x1?x2 ），抛物线就与x轴只有一个交点，其坐标是（），这一点就是抛物线的顶点。

反之亦然。

⑶当b?4ac 时，一元二次方程ax点。

反之亦然.㈡问题导学 1、填表抛物线 y?2x y?2x2222?bx?c?0没有实数根，抛物线就与x轴没有交对称轴顶点坐标开口方向最大（最小）值 ?3 2y?2(x?3)y??2(x?3)2?3 2、已知抛物线的顶点是（1，-4），且经过点（0，-3），则这条抛物线的解析式是。

3、抛物线y?x?2x?3与x轴的交点坐标是，与y轴的交点坐标是4、二次函数y??x?2x?3的最大值是。

5、将抛物线y?2(x?1)?3向右平移1个单位，再向上平移3个单位后得到的抛物线的解析式为．㈢合作探究例1 求满足下列条件的二次函数的解析式⑴图像经过A（-1,3）、B（1,3）、C （2,6）三点；⑵图像经过A（-1,0）、B（3,0），函数有最大值8；⑶图像顶点坐标是（-1,9），与x轴两交点的距离是6.㈣达标检测1．抛物线y??x?1??4的顶点坐标是( )A．（1,4） B．（1.-4） C．（-1，4） D．(-1,-4)2、抛物线y??x?bx?c的部分图象如图所示，当y?0时，x的取值范围是（）A．?4?x?1 B．x??4或x?1 C．?3?x?1 D．x??3或x?13、抛物线的对称轴是直线x?2，与x轴的两个交点的距离是8，则这两个交点的坐标是。

课时18．二次函数及其图像【课前热身】1． 将抛物线23y x =-向上平移一个单位后，得到的抛物线解析式是 ． 2. 如图1所示的抛物线是二次函数2231y ax x a =-+-的图象，那么a 的值是 ．3.(贵阳）二次函数2(1)2y x =-+的最小值是（ ）A.－2B.2C.－1D.1 4.二次函数22(1)3y x =-+的图象的顶点坐标是（ ）A.（1,3）B.（－1,3）C.（1,－3）D.（－1,－3） 【考点链接】1. 二次函数2()y a x h k =-+的图像和性质a ＞0当x ＝ 时，y 有最 y 随x 的增大而2. 二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成()k h x a y +-=2的形式，其中h ＝ ， k ＝ .3. 二次函数2()y a x h k =-+的图像和2ax y =图像的关系.4. 二次函数c bx ax y ++=2中c b a ,,的符号的确定. 【典例精析】例1 遂宁)已知二次函数24y x x =+，(1) 用配方法把该函数化为2()y a x h k =++ (其中a 、h 、k 都是常数且a ≠0)形式，并画 出这个函数的图像，根据图象指出函数的对称 轴和顶点坐标.(2) 求函数的图象与x 轴的交点坐标.例2 如图，直线m x y +=和抛物线c bx x y ++=2都经过点A(1，0)，B(3，2)．⑴ 求m 的值和抛物线的解析式；⑵ 求不等式m x c bx x +>++2的解集．(直接写出答案)【中考演练】DCBA1. 抛物线()22-=xy的顶点坐标是 .2. 请写出一个开口向上，对称轴为直线x＝2，且与y轴的交点坐标为(0，3)的抛物线的解析式 .3.已知二次函数22y x x m=-++的部分图象如右图所示，则关于x的一元二次方程220x x m-++=的解为．4. 函数2y ax=与(0,0)y ax b a b=+>>在同一坐标系中的大致图象是（）5.已知函数y=x2-2x-2的图象如图1所示，根据其中提供的信息，可求得使y≥1成立的x的取值范围是（）A．-1≤x≤3 B．-3≤x≤1 C．x≥-3 D．x≤-1或x≥36.二次函数cbxaxy++=2（0≠a）的图象如图所示，则下列结论：①a＞0；②c＞0；③b2-4a c＞0，其中正确的个数是()A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个（第5题） （第6题） 7. 已知二次函数243y ax x =-+的图象经过点（－1，8）. （1）求此二次函数的解析式；（2）根据（1）填写下表.在直角坐标系中描点，并画出函数的图象；（3）根据图象回答：当函数值y<0时，x 的取值范围是什么？。

二次函数的图像、性质及解析式【知识梳理】【方法集会】一．二次函数的概念（一）二次函数的定义一般地，形如c bx ax y ++=2（c b a ,,为常数，0≠a ）的函数称为x 的二次函数，其中x 为自变量，y 为因变量，c b a ,,分别为二次函数的二次项、一次项和常数项系数.二．二次函数的图象性质二次函数c bx ax y ++=2）（0≠a 的性质 1、对称轴：a b x 2-= 2、顶点坐标：)442(2ab ac a b --， （1）最值：当0>a 时有最小值ab ac 442- 当0<a 时有最大值ab ac 442- （2）单调性：二次函数c bx ax y ++=2（0≠a ）的变化情况（增减性）当0>a 时，对称轴左侧a b x 2-<，y 随着x 的增大而减小，在对称轴的右侧a b x 2-> ，y 随x 的增大而增大；当0<a 时，对称轴左侧a b x 2-<， y 随着x 的增大而增大，在对称轴的右侧a b x 2->，y 随x 的增大而减小；二次函数k h x a y +-=2)(）（0≠a 的性质1、对称轴： x h =2、顶点坐标： (,)h k3、最值：0a >时有最小值k0a <时有最大值k ；二次函数21()()y a x x x x =--）（0≠a 的性质 1、对称轴： 212x x x +=2、与x 轴的交点坐标为21(,0),(,0)x x（六）二次函数的图象与系数的关系3、a 的符号决定抛物线的开口方向：当0a >时，抛物线开口向上；当0a <时，抛物线开口向下．4、a 决定抛物线的开口大小：a 越大，抛物线开口越小；a 越小，抛物线开口越大．5、a 和b 共同决定抛物线对称轴的位置（抛物线的对称轴：2b x a=-） 当0b =时，抛物线的对称轴为y 轴；当a 、b 同号时，对称轴在y 轴的左侧；当a 、b 异号时，对称轴在y 轴的右侧．简要概括为“左同右异” ． 6、c 的大小决定抛物线与y 轴交点的位置（抛物线与y 轴的交点坐标为()0c ，） 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为原点；当0c >时，交点在y 轴的正半轴；当0c <时，交点在y 轴的负半轴．（七）根据二次函数的图象判断代数式符号1、24b ac -决定了函数图象与x 轴的交点情况：当240b ac ->，有两个交点；当240b ac -=，有一个交点；当240b ac -<，没有交点．2、当1x =时，可以得到a b c ++的值；当1x =-时，可以得到a b c -+的值三．二次函数解析式的确定一、待定系数法1、一般式：2(0)y ax bx c a =++≠．2、顶点式：2()(0)y a x h k a =-+≠．3、交点式：12()()(0)y a x x x x a =--≠．【考点突破】考点1：二次函数的概念例1、已知函数2222()(32)2mm y m m x m m x m m -=++++++，当m 是什么数时，函数是二次函数？变式1、如果函数22(1)1k k y k x kx -+=-+-是关于x 的二次函数，则k =____．考点2：二次函数的图像与性质例1、解决下列问题：1、抛物线233y x =+的顶点坐标为_________，对称轴为________．当x ______时，y 随x 的增大而减小；当x ＝______时，y 有最______值是______，它可以由抛物线23y x =向______平移______个单位得到．2、抛物线23(2)y x =-的开口方向是______，顶点坐标为______，对称轴是______．当x ______时，y 随x 的增大而增大；当x ＝______时，y 有最______值是______，它可以由抛物线23y x =向______平移______个单位得到．例2、若二次函数222-++=a bx ax y （a ，b 为常数）的图象如图，则a 的值为______．变式1、 已知二次函数213y x =-、2213y x =-、2332y x =，它们的图象开口由小到大的顺序 是（ ）A ．123y y y ，，B ．321y y y ，，C ．132y y y ，，D ．231y y y ，，例3、关于x 的二次函数()()m x x y -+=1，其图象的对称轴在y 轴的右侧，则实数m 的取值范围是________．例4、二次函数2()y a x m n =++的图象如图，一次函数y mx n =+的图象经过（ ）A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限C ．第二、三、四象限D ．第一、三、四象限例5、二次函数2y ax bx c =++的图象如下左图所示，判断a ，b ，c ，24b ac -，2a b +，a b c ++，a b c -+的符号．变式1、已知二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，给出下列五个结论： ①abc >0；②4ac -b 2<0；③4a +c <2b ；④3b +2c <0；⑤m (am +b )<a -b （m ≠-1）．其中正确结论的序号是___________________．考点3：二次函数解析式及几何变换 例3、将二次函数22y x =的图象先向右平移1的解析式为( )A ．()2213y x =--B ．()2213y x =-+C ．()2213y x =+-D ．()2213y x =++变式1、函数25(1)2y x =+-的图象可由函数25y x =的图象平移得到，那么平移的步骤是（ ）A.右移一个单位，下移两个单位B.右移一个单位，上移两个单位C.左移一个单位，下移两个单位D.左移一个单位，上移两个单位【模考链接】1、如图1，已知一次函数3y x =+的图象与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，抛物线2y x bx c =-++过A ，B 两点，且与x 轴交于另一点C ．（1）求b ，c 的值．（2）将抛物线向下平移h 个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△AOB 内（包括△AOB 的边界），求h 的取值范围．（3）将直线AB 绕点A 按逆时针方向旋转15°后交y 轴于点G ，连接CG ，如图2，P 为△ACG 内一点，连接PA ，PC ，PG ，分别以AP ，AG 为边，在它们的左侧作等边△APR 、等边△AGQ ，连接QR ．求证：PG =RQ ；2、如图1，已知直线与抛物线交于两点． （1）求两点的坐标； （2）如图2，取与线段等长的一根橡皮筋，端点分别固定在两处．用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖在直线上方的抛物线上移动，动点将与构成无数个三角形，这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，求出最大面积，并指出此时点的坐标；如果不存在，请简要说明理由．12y x =-2164y x =-+A B ，AB ，AB AB ，P AB P AB ，P。

中考数学专题复习二次函数试题（无答案）二次函数专题考点一：二次函数的解析式及其求解一般的，形如),0(2是常数、、c b a a c bx ax y ≠++=的函数叫做二次函数，其中，x 是自变量，c b a 、、分别为二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项。

（1）一般式：c bx ax y ++=2。

已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. （2）顶点式：()k h x a y +-=2。

已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.（3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=.（4）对称点式：已知图像上有两个关于y 轴对称的点()()k x k x ,,,21，那么函数的方程可以选用对称点式()()k x x x x a y +--=21，代入已知的另外的点就可以求出函数的方程来了。

例题1：根据题意，求解二次函数的解析式。

（1）求过点A(1,0)，B(2,3)，C(3,1)的抛物线的方程（2）已知抛物线与x 轴交点的横坐标为-2和1 ，且通过点（2，8），求二次函数的解析式．（3）已知二次函数的顶点坐标为（3，－2），并且图象与x 轴两交点间的距离为4，求二次函数的解析式。

（4）已知二次方程32=++c bx ax 的两个根是-1和2，而且函数c bx ax y ++=2过点（3,4），求函数c bx ax y ++=2的解析式。

（5）已知抛物线的顶点坐标为（-1，-2），且通过点（1，10），求此二次函数的解析式.（6）已知二次函数当x ＝2时有最大值3，且它的图象与x 轴两交点间的距离为6，求这个二次函数的解析式。

变式1：（1）、已知二次函数的图像经过点A(2,1),B(3,4),且与y 轴交点为（0，7），则求函数的解析式（2）已知过点（2，0），（3，5）的抛物线c bx ax y ++=2与直线33+=x y 相交与x 轴上，求二次函数的解析式（3）已知二次函数c bx ax y ++=2，其顶点为（2,2)，图象在x 轴截得的线段长为2，求这个二次函数的解析式。

二次函数中考复习专题教案一、教学目标1. 理解二次函数的定义、性质及图像；2. 掌握二次函数的求解方法，包括顶点式、标准式和一般式；3. 能够运用二次函数解决实际问题，提高数学应用能力；4. 培养学生的逻辑思维能力和团队合作精神。

二、教学内容1. 二次函数的定义与性质二次函数的定义：函数f(x) = ax^2 + bx + c（a≠0）；二次函数的图像：开口方向、顶点、对称轴、单调区间。

2. 二次函数的图像与性质图像特点：开口方向、顶点、对称轴；性质：单调性、最值。

3. 二次函数的求解方法顶点式：f(x) = a(x h)^2 + k；标准式：f(x) = ax^2 + bx + c；一般式：ax^2 + bx + c = 0。

4. 实际问题求解应用二次函数解决几何问题；应用二次函数解决物理问题；应用二次函数解决生活中的问题。

5. 二次函数的综合应用二次函数与其他函数的结合；二次函数与方程组的结合；二次函数与不等式的结合。

三、教学过程1. 复习导入：回顾一次函数和指数函数的相关知识，为二次函数的学习打下基础；2. 知识讲解：分别讲解二次函数的定义、性质、图像与求解方法；3. 案例分析：分析实际问题，引导学生运用二次函数解决实际问题；4. 课堂练习：布置练习题，巩固所学知识；四、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况；2. 练习完成情况：检查学生完成练习题的情况，巩固所学知识；3. 课后作业：布置课后作业，检查学生对知识的掌握程度；4. 小组讨论：评估学生在小组讨论中的表现，培养团队合作精神。

五、教学资源1. PPT课件：展示二次函数的相关概念、性质、图像等；2. 练习题：提供不同难度的练习题，巩固所学知识；3. 实际问题案例：提供与生活相关的实际问题，引导学生运用二次函数解决；4. 教学视频：讲解二次函数的求解方法和解题技巧。

六、教学策略1. 案例分析：通过分析具体案例，让学生了解二次函数在实际问题中的应用；2. 数形结合：利用图形展示二次函数的性质，加深学生对二次函数的理解；3. 小组讨论：鼓励学生进行小组讨论，培养团队合作精神和沟通能力；4. 分层教学：针对不同学生的学习水平，给予相应的指导和辅导；5. 激励评价：及时给予学生鼓励和评价，提高学生的学习积极性。

二次函数复习2016.06二次函数复习课题二次函数课型复习课掌握二次函数的图象及其性质，能灵活运用抛物线的知识解一些实际问题．通过观察、猜想、验证、推理、交流等数学活动进一步发展学生的演绎推理能力和发散思维能力．教学目标学生亲自经历巩固二次函数相关知识点的过程，体会解决问题策略的多样性．经历探索二次函数相关题目的过程，体会数形结合思想、化归思想在数学中的广泛应用，同时感受数学知识来源于实际生活，反之，又服务于实际生活．教学重点二次函数图象及其性质，应用二次函数分析和解决简单的实际问题．教学难点二次函数性质的灵活运用，能把相关应用问题转化为数学问题．课前准备（教具、活制作课件动准备等）教学过程教学步骤基础知识之自我构建基础知识之基础演练师生活动设计意图通过一个具体二次函数，请学生说出尽可能多的结论，x2主要让学生回忆二次函数有让学生思考函数 y4x 3 并写出相关关基础知识．同学们之间可以结论相互补充，体现团结协作精神．同时发展了学生的探究意识，培养了学生思维的广阔性．教者让学生思考 1-4题，然后让学生回答，第 1 题主要考查二次函其他同学可以补充．数图像平移知识点，二次函数1、求将二次函数y x22x 图像向右平移1图像平实质上就是点的平移．第 2，3，4 题都是开放性个单位，再向上平移 2 个单位后得到图像的函数题，答案不唯一，只要正确即表达式．可，让学生很大发挥空间，其2、请写出一个二次函数解析式，使其图像的中涉及二次函数解析式的求对称轴为 x=1，并且开口向下．法．3、请写出一个二次函数解析式，使其图象与第 5，6 题涉及二次函数x 轴的交点坐标为（ 2，0）、（－ 1， 0）．图象性质，根据图象，正确表4、请写出一个二次函数解析式，使其图象与示解析式中字母的取值范y 轴的交点坐标为（ 0， 2），且图象的对称轴在 y围．教者也可以在原图形基础轴的右侧．改变形状，让学生经历和体验教者让学生口答第5、 6 题．图形的变化过程，引导学生感悟知识的生成、发展和变化．情感态度解决问题知识技能数学思考5、如图 ,抛物线y ax2bx c ，请判断下列各式的符号：y①a0;②b0;③c0;x④ b24ac0;6、如图 ,抛物线y ax2bx c ,请判断下列各式的符号：y① abc0;② 2a－b0;?x③ a+b+c0; 1 0 1④ a－b+c0．1、二次函数y ax2bx c 的图象如下图,则方程 ax2bx c0 的解为当 x 为时， ax2bx c当 x 为时， ax2bx cy数形结合思想是一种重要的数学思想，第 1 题看似复杂，其实对照图象，很容易找；出题目答案．第 2 题考查学生二次函0 ;数与一元二次方程关系，具体为：一元二次方程无实根说明0 ．相应二次函数图象与 x 轴无交点，再根据隐含条件对称轴为直线 x1，可见顶点在第301x2一象限．第 3题考查学生从图表基础知识之提炼信息的能力．灵活运用x n0 无实数根，2、关于 x 的一元二次方程x2则抛物线 y x2x n 的顶点在（）A ．第一象限 B.第二象限C. 第三象限D.第四象限3、根据下列表格的对应值：x 3.23 3.24 3.25 3.26y ax2 bx c-0.06-0.020.030.09不解方程，试判断方程 ax2bx c0（a0，a，b，c 为常数）一个解 x 的范围是（）A 、 3 x 3.23B、 3.23x 3.24C、 3.24x 3.25D、 3.25x 3.26难点突破之思维激活1、已知抛物线y ax2bx c 的对称轴为x=2，第 1，2 题考查抛物线轴对称性．且经过点（3，0），则 a+b+c 的值为．第 3 题考查二次函数图像2、已知抛物线y ax2bx c 经过点A（－2，7），及其性质的相关知识．本部分 3 道题目不能呆板B（6，7）， C（3，－ 8），则该抛物线上纵坐标为地应用二次函数的基础知识，－8 的另一点坐标是 ___________．而要综合相关知识，以达到能3、下图是抛物线y ax2bx c 的一部分，且经力提升之目的．过点（－ 2 ， 0），则下列结论中正确的个数有（）①a <0;②b<0;③c>0;④抛物线与 x 轴的另一个交点坐标可能是（1，0）;⑤抛物线与 x 轴的另一个交点坐标可能是（ 4，0）．A.2 个B.3 个C.4 个D.5 个y20x难点突破之聚焦中考教者出示一道函数类应用题，让学生思考，本题首先读懂题意，正确教者点拨．求出二次函数解析式．二次函例题：某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售数的最值是体现二次函数实出 20 件，进价是每件 80 元，售价是每件 120 元，际应用价值的一种常见题型，为了扩大销售，增加盈利，减少库存，商场决定它在优选方案、减小投入、增采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬大收益中意义非凡．解题时通衫降低 1 元，商场平均每天可多售出 2 件，但每常借助顶点坐标来求，但有时件最低价不得低于108 元．由于实际问题实际意义的限⑴若每件衬衫降低x 元（ x 取整数），商场平制，需结合自变量的取值范围均每天盈利 y 元，试写出 y 与 x 之间的函数关系进行调整．本题由图象可知，式，并写出自变量x 的取值范围．抛物线顶点（15，1250）不在⑵每件衬衫降低多少元时，商场每天（平均）本题图象上，它不是最高点，盈利最多？最高点应该是（12，1232）或者这样理解：顶点横坐标是反思与提高1、本节课你印象最深的是什么？2、通过本节课的函数学习，你认为自己还有哪些地方是需要提高的？3、在下面的函数学习中，我们还需要注意15，不满足 0 x 12 ，因此不能理解为：当 x 15 时， y 取最大值为 1250 元．让学生自己总结一节课的得失，教者进行适当的点评．真正体现出学生是学习的主体．为今后自主学习奠定基哪些问题？础，由此达到数学教学的新境教者归纳本章知识网络图示界——提升思维品质，形成数学素养．实际问题二次函数y ax2bx c目标实际问题利用二次函数的图的答案象和性质求解。

二次函数知识点总结及相关典型题目第一部分 基础知识1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数2ax y =的性质（1）抛物线2ax y =的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴. （2）函数2ax y =的图像与a 的符号关系.①当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；②当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点.（3）顶点是坐标原点，对称轴是y 轴的抛物线的解析式形式为2ax y =）（0≠a . 3.二次函数 c bx ax y ++=2的图像是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线.4.二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中ab ac k a b h 4422-=-=，.5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2ax y =；②k ax y +=2；③()2h x a y -=；④()k h x a y +-=2；⑤c bx ax y ++=2.6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.①a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 相等，抛物线的开口大小、形状相同.②平行于y 轴（或重合）的直线记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x .7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. 8.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线abx 2-=. （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =.（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点. 用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. 9.抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,的作用（1）a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样.（2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线a b x 2-=，故：①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>ab（即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③0<a b（即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧.（3）c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置.当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点（0，c ）： ①0=c ，抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴；③0<c ,与y 轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则0<ab. 10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：11.用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. （2）顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.（3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=. 12.直线与抛物线的交点（1）y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(0, c ).（2）与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah++2).（3）抛物线与x 轴的交点二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离. （4）平行于x 轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.（5）一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程组cbx ax y n kx y ++=+=2的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点; ②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点；③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.（6）抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故第二部分 典型习题１.抛物线y ＝x 2＋2x －2的顶点坐标是 （ D ）A.（2，－2）B.（1，－2）C.（1，－3）D.（－1，－3） ２.已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则下列结论正确的是（ C ）Ａ．ab ＞0，c ＞0 Ｂ．ab ＞0，c ＜0 Ｃ．ab ＜0，c ＞0 Ｄ．ab ＜0，c ＜0第２,３题图 第4题图３.二次函数c bx ax y ＋＋＝2的图象如图所示，则下列结论正确的是（ Ｄ ） A ．a ＞0，b ＜0，c ＞0 B ．a ＜0，b ＜0，c ＞0 C ．a ＜0，b ＞0，c ＜0 D ．a ＜0，b ＞0，c ＞0４.如图，已知∆ABC 中，BC=8，BC 上的高h =4，D 为BC 上一点，EF BC //，交AB 于点E ，交AC 于点F （EF 不过A 、B ），设E 到BC 的距离为x ，则∆D E F 的面积y 关于x 的函数的图象大致为（ Ｄ ）５.抛物线322--=x x y 与x 轴分别交于A 、B 两点，则AB 的长为 4 ．6.已知二次函数11)(2k 2－－＋＝x kx y 与x 轴交点的横坐标为1x 、2x （21x x ＜），则对于下列结论：①当x ＝－2时，y ＝1；②当2x x ＞时，y ＞0；③方程011)(22＝－＋-x k kx 有两个不相等的实数根1x 、2x ；④11-＜x ，12＞－x ；⑤21x x k－，其中所有正确的结论是 ①③④ （只需填写序号）．7.已知直线()02≠+-=b b x y 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ；一抛物线的解析式为()c x b x y ++-=102.（1）若该抛物线过点B ，且它的顶点P 在直线b x y +-=2上，试确定这条抛物线的解析式；（2）过点B 作直线BC ⊥AB 交x 轴交于点C ，若抛物线的对称轴恰好过C 点，试确定直线b x y +-=2的解析式.解：（1）102-=x y 或642--=x x y将0)b （，代入，得c b =.顶点坐标为21016100(,)24b b b +++-，由题意得21016100224b b b b +++-⨯+=-，解得1210,6b b =-=-.（2）22--=x y8.有一个运算装置，当输入值为x 时，其输出值为y ，且y 是x 的二次函数，已知输入值为2-,0,1时, 相应的输出值分别为5,3-,4-．（1）求此二次函数的解析式；（2）在所给的坐标系中画出这个二次函数的图象,并根据图象写出当输出值y 为正数时输入值x 的取值范围.解：（1）设所求二次函数的解析式为c bx ax y ++=2,则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=++-=+⋅+⋅=+-+-43005)2()2(22c b a c b a c b a ,即⎪⎩⎪⎨⎧-=+=--=1423b a b a c ,解得⎪⎩⎪⎨⎧-=-==321c b a 故所求的解析式为:322--=x x y . （2)函数图象如图所示.由图象可得，当输出值y 为正数时， 输入值x 的取值范围是1-<x 或3>x ．9.某生物兴趣小组在四天的实验研究中发现：骆驼的体温会随外部环境温度的变化而变化，而且在这四天中每昼夜的体温变化情况相同．他们将一头骆驼前两昼夜的体温变化情况绘制成下图．请根据图象回答：⑴第一天中，在什么时间范围内这头骆驼的体温是上升的?它的体温从最低上升到最高需要多少时间?⑵第三天12时这头骆驼的体温是多少? ⑶兴趣小组又在研究中发现，图中10时到 22时的曲线是抛物线，求该抛物线的解 析式．解：⑴第一天中，从4时到16时这头骆驼的体温是上升的它的体温从最低上升到最高需要12小时 ⑵第三天12时这头骆驼的体温是39℃10.已知抛物线4)334(2+++=x a ax y 与x 轴交于A 、 B 两点，与y 轴交于点C ．是否存在实数a ，使得 △ABC 为直角三角形．若存在，请求出a 的值；若不 存在，请说明理由．解：依题意，得点C 的坐标为（0，4）．设点A 、B 的坐标分别为（1x ，0），（2x ，0），由04)334(2=+++x a ax ，解得 31-=x ，ax 342-=．∴ 点A 、B 的坐标分别为（-3，0），（a34-，0）． 〈ⅰ〉当222BC AC AB +=时，∠ACB ＝90°． 由222BC AC AB +=，得)16916(259891622++=+-aa a ． 解得 41-=a ．∴ 当41-=a 时，点B 的坐标为（316，0），96252=AB ，252=AC ，94002=BC ．于是222BC AC AB +=． ∴ 当41-=a 时，△ABC 为直角三角形． 〈ⅱ〉当222BC AB AC +=时，∠ABC ＝90°． 由222BC AB AC +=，得)16916()98916(2522+++-=a a a ． 解得 94=a ． 当94=a 时，3943434-=⨯=-a ，点B （-3，0）与点A 重合，不合题意．〈ⅲ〉当222AB AC BC +=时，∠BAC ＝90°． 由222AB AC BC +=，得)98916(251691622+-+=+a aa ． 解得 94=a ．不合题意． 综合〈ⅰ〉、〈ⅱ〉、〈ⅲ〉，当41-=a 时，△ABC 为直角三角形． 11.已知抛物线y ＝－x 2＋mx －m ＋2.（1）若抛物线与x 轴的两个交点A 、B 分别在原点的两侧，并且ABm 的值； （2）设C 为抛物线与y 轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点M 、N ，并且 △MNC 的面积等于27，试求m 的值.解: (1)Ａ（x 1，0）,B(x 2，0) . 则x 1 ，x 2是方程 x 2－mx ＋m －2＝0的两根. ∵x 1 ＋ x 2 ＝m , x 1·x 2 =m －2 ＜0 即m ＜2 ;又AB ＝∣x 1 — x 2=∴m 2－4m ＋3=0 .解得：m=1或m=3(舍去) , ∴m 的值为1 .（2）M(a ，b)，则N(－a ，－b) . ∵M 、N 是抛物线上的两点,①＋②得：－2a 2－2m ＋4＝0 . ∴a 2＝－m ＋2 . ∴当m ＜2时，才存在满足条件中的两点M 、N.这时M 、N 到y 又点C 坐标为（0，2－m ）,而S △M N C = 27 ,∴2×12×（2－m ∴解得m=－7 .12.已知：抛物线t ax ax y ＋＋＝42与x 轴的一个交点为A （－1，0）．（1）求抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标；（2）D 是抛物线与y 轴的交点，C 是抛物线上的一点，且以AB 为一底的梯形ABCD 的面积为9，求此抛物线的解析式；（3）E 是第二象限内到x 轴、y 轴的距离的比为5∶2的点，如果点E 在（2）中的抛物线上，且它与点A 在此抛物线对称轴的同侧，问：在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△APE 的周长最小?若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 解法一：（1）依题意，抛物线的对称轴为x ＝－2． ∵ 抛物线与x 轴的一个交点为A （－1，0），∴ 由抛物线的对称性，可得抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标为（－3，0）．（2）∵ 抛物线t ax ax y ＋＋＝42与x 轴的一个交点为A （－1， 0），∴ 0)1(4)1(2＝＋－＋－t a a ．∴ t ＝3a ．∴ a ax ax y 342＋＋＝． ∴ D （0，3a ）．∴ 梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且点C 在抛物线a ax ax y 342＋＋＝ 上， ∵ C （－4，3a ）．∴ AB ＝2，CD ＝4． ∵ 梯形ABCD 的面积为9，∴ 9)(21＝OD CD AB ⋅+．∴ 93)42(21＝＋a ．∴ a ±1．∴ 所求抛物线的解析式为342＋＋＝x x y 或342---ax x y ＝． （3）设点E 坐标为（0x ，0y ）.依题意，00＜x ，00＜y ，且2500＝x y ．∴ 0025x y ＝－．①设点E 在抛物线342＋＋＝x x y 上，解方程组⎪⎩⎪⎨⎧34,25020000＋＋＝＝－x x y x y 得⎩⎨⎧-；＝，＝15600y x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'-'．＝，＝452100y x ∵ 点E 与点A 在对称轴x ＝－2的同侧，∴ 点E 坐标为（21-，45）． 设在抛物线的对称轴x ＝－2上存在一点P ，使△APE 的周长最小． ∵ AE 长为定值，∴ 要使△APE 的周长最小，只须PA ＋PE 最小． ∴ 点A 关于对称轴x ＝－2的对称点是B （－3，0）， ∴ 由几何知识可知，P 是直线BE 与对称轴x ＝－2的交点． 设过点E 、B 的直线的解析式为n mx y ＋＝，∴ ⎪⎩⎪⎨⎧-.03,4521＝＋－＝＋n m n m 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧.23,21＝＝n m ∴ 直线BE 的解析式为2321＋＝x y ．∴ 把x ＝－2代入上式，得21＝y ． ∴ 点P 坐标为（－2，21）． ②设点E 在抛物线342---x x y ＝上，∴ 340200---x x y ＝．解方程组⎪⎩⎪⎨⎧---.34,25020000x x y x y ＝＝－ 消去0y ，得03x 23x 020＝＋+． ∴ △＜0 . ∴ 此方程无实数根． 综上，在抛物线的对称轴上存在点P （－2，21），使△APE 的周长最小． 解法二：（1）∵ 抛物线t ax ax y ＋＋＝42与x 轴的一个交点为A （－1，0），∴ 0)1(4)1(2＝＋－＋－t a a ．∴ t ＝3a ．∴ a ax ax y 342＋＋＝．令 y ＝0，即0342＝＋＋a ax ax ．解得 11＝－x ，32＝－x ．∴ 抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标为（－3，0）． （2）由a ax ax y 342＋＋＝，得D （0，3a ）． ∵ 梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且点C 在抛物线a ax ax y 342＋＋＝上，∴ C （－4，3a ）．∴ AB ＝2，CD ＝4． ∵ 梯形ABCD 的面积为9，∴ 9)(21＝＋OD CD AB ⋅．解得OD ＝3． ∴ 33＝a ．∴ a ±1．∴ 所求抛物线的解析式为342＋＋＝x x y 或342－－＝－x x y ． （3）同解法一得，P 是直线BE 与对称轴x ＝－2的交点． ∴ 如图，过点E 作EQ ⊥x 轴于点Q ．设对称轴与x 轴的交点为F ．由PF ∥EQ ，可得EQ PF BQ BF ＝．∴ 45251PF ＝．∴ 21＝PF ．∴ 点P 坐标为（－2，21）．以下同解法一．13.已知二次函数的图象如图所示．（1）求二次函数的解析式及抛物线顶点M 的坐标．（2）若点N 为线段BM 上的一点，过点N 作x 轴的垂线，垂足为点Q ．当点N 在线段BM 上运动时（点N 不与点B ，点M 重合），设NQ 的长为l ，四边形NQAC 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式及自变量t 的取值范围；（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P ，使△PAC 为直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（4）将△OAC 补成矩形，使△OAC 的两个顶点成为矩形一边的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，试直接写出矩形的未知的顶点坐标（不需要计算过程）．解：（1）设抛物线的解析式)2)(1(-+=x x a y ，其顶点M 的坐标是⎪⎭⎫ ⎝⎛-4921，． （2）设线段BM 所在的直线的解析式为b kx y +=，点N 的坐标为N （t ，h ），∴ ⎪⎩⎪⎨⎧+=-+=.214920b k b k ，．解得23=k ，3-=b ．∴ 线段BM 所在的直线的解析式为323-=x y ． ∴ 323-=t h ，其中221<<t ．∴ t t s )3322(212121-++⨯⨯=121432+-=t t ．∴ s 与t 间的函数关系式是121432+-=t t S ，自变量t 的取值范围是221<<t ．（3）存在符合条件的点P ，且坐标是1P ⎪⎭⎫ ⎝⎛4725，，⎪⎭⎫ ⎝⎛-45232，P ． 设点P 的坐标为P )(n m ，，则22--=m m n ． 分以下几种情况讨论：i ）若∠PAC ＝90°，则222AC PA PC +=． 解得：251=m ，12-=m （舍去）． ∴ 点⎪⎭⎫ ⎝⎛47251，P ． ii ）若∠PCA ＝90°，则222AC PC PA +=． 解得：02343==m m ，（舍去）．∴ 点⎪⎭⎫ ⎝⎛45232，－P ． iii ）由图象观察得，当点P 在对称轴右侧时，AC PA >，所以边AC 的对角∠APC 不可能是直角．（4）以点O ，点A （或点O ，点C ）为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这边OA （或边OC ）的对边上，如图a ，此时未知顶点坐标是点D （－1，－2），以点A ，点C 为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边AC 的对边上，如图b ，此时未知顶点坐标是E ⎪⎭⎫⎝⎛-5251，，F ⎪⎭⎫ ⎝⎛-5854，． 图a 图b14.已知二次函数22－＝ax y 的图象经过点（1，－1）．求这个二次函数的解析式，并判断该函数图象与x 轴的交点的个数． 解：根据题意，得a －2＝－1.∴ a ＝1． ∴ 这个二次函数解析式是22-x y ＝．因为这个二次函数图象的开口向上，顶点坐标是（0，－2），所以该函数图象与x 轴有两个交点．15.卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分．在大桥截面1∶11000的比例图上，跨度AB ＝5 cm ，拱高OC ＝0.9 cm ，线段DE 表示大桥拱内桥长，DE ∥AB ，如图（1）．在比例图上，以直线AB 为x 轴，抛物线的对称轴为y 轴，以1 cm 作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，如图（2）．（1）求出图（2）上以这一部分抛物线为图象的函数解析式，写出函数定义域；（2）如果DE 与AB 的距离OM ＝0.45 cm ，求卢浦大桥拱内实际桥长（备用数据：4.12≈，计算结果精确到1米）．解：（1）由于顶点C 在y 轴上，所以设以这部分抛物线为图象的函数解析式为因为点A （25-，0）（或B （25，0））在抛物线上， 所以109)25(02＋＝-⋅a ，得12518＝－a ． 因此所求函数解析式为)2525(109125182≤≤-x x y ＋＝－． （2）因为点D 、E 的纵坐标为209， 所以109125182092＋－x =，得245±＝x ． 所以点D 的坐标为（245－，209），点E 的坐标为（245，209）． 所以225)245(245＝－＝-DE ． 因此卢浦大桥拱内实际桥长为385227501.011000225≈⨯⨯＝（米）． 16.已知在平面直角坐标系内，O 为坐标原点，A 、B 是x 轴正半轴上的两点，点A 在点B 的左侧，如图．二次函数c bx ax y ＋＋＝2（a ≠0）的图象经过点A 、B ，与y 轴相交于点C ．（1）a 、c 的符号之间有何关系?（2）如果线段OC 的长度是线段OA 、OB 长度的比例中项，试证a 、c 互为倒数；（3）在（2）的条件下，如果b ＝－4，34＝AB ，求a 、c 的值．解:（1）a 、c 同号． 或当a ＞0时，c ＞0；当a ＜0时，c ＜0．（2）证明：设点A 的坐标为（1x ，0），点B 的坐标为（2x ，0），则210x x ＜＜． 据题意，1x 、2x 是方程)0(02≠=a c bx ax ＋＋的两个根． ∴ ac x x =⋅21． 由题意，得2OC OB OA ＝⋅，即22c c a c＝＝．所以当线段OC 长是线段OA 、OB 长的比例中项时，a 、c 互为倒数．（3）当4-=b 时，由（2）知，0421＞＝＝－＋a a b x x ，∴ a ＞0．解法一：AB ＝OB －OA ＝21221124)(x x x x x x -＋＝－，∵ 34=AB ， ∴ 3432＝a ．得21=a ．∴ c ＝2. 解法二：由求根公式，a a a ac x 322416424164±-±-±＝＝＝， ∵ 34＝AB ，∴ 3432＝a ，得21＝a ．∴ c ＝2． 17.如图，直线333+-=x y 分别与x 轴、y 轴交于点A 、B ，⊙E 经过原点O 及A 、B 两点． （1）C 是⊙E 上一点，连结BC 交OA 于点D ，若∠COD ＝∠CBO ，求点A 、B 、C 的坐标；（2）求经过O 、C 、A 三点的抛物线的解析式：（3）若延长BC 到P ，使DP ＝2，连结AP ，试判断直线PA 与⊙E 的位置关系，并说明理由． 解：（1）连结EC 交x 轴于点N （如图）．∵ A 、B 是直线333+-=x y 分别与x 轴、y 轴的交点．∴ A （3，0），B )3,0(． 又∠COD ＝∠CBO ． ∴ ∠CBO ＝∠ABC ．∴ C 是的中点． ∴ EC ⊥OA ．连结OE ．∴ 3==OE EC ． ∴ 23=-=EN EC NC ．∴ C 点的坐标为（23,23-）． （2）设经过O 、C 、A 三点的抛物线的解析式为()3-=x ax y ．∵ C （23,23-）． ∴)323(2323-⋅=-a ．∴ 392=a ． ∴ x x y 8329322-=为所求． （3）∵ 33tan =∠BAO ， ∴ ∠BAO ＝30°，∠ABO ＝50°． 由（1）知∠OBD ＝∠ABD ．∴ ︒=︒⨯-∠=∠30602121ABO OBD ． ∴ OD ＝OB ·tan30°－1．∴ DA ＝2．∵ ∠ADC ＝∠BDO ＝60°，PD ＝AD ＝2．∴ △ADP 是等边三角形．∴ ∠DAP ＝60°．∴ ∠BAP ＝∠BAO ＋∠DAP ＝30°＋60°＝90°．即 PA ⊥AB ．即直线PA 是⊙E 的切线．。

2018九年级数学一轮复习 第12讲 二次函数 导学案【学习目标】1.了解二次函数的意义．2.掌握二次函数关系式的求法——待定系数法，能画出其图象，并说出其的性质．3.掌握二次函数的平移规律．4.会通过配方法确定抛物线的开口方向．对称轴和顶点坐标和最值．5.会用二次函数的有关知识解决实际生活中的问题． 【基础知识梳理】1、二次函数y ＝a(x －h)2＋k 的顶点坐标是(h ，k)，对称轴是x ＝h ，当a>0时，开口向上，此时二次函数有最小值，当x>h 时，y 随x 的增大而增大，当x<h 时，y 随x 的增大而减小；当a<0时，开口向下，此时二次函数有最大值，当x<h 时，y 随x 的增大而增大，当x>h时，y 随x 的增大而减小；2、用配方法将y ＝ax 2＋bx ＋c 化成y ＝a(x －h)2＋k 的形式，则h ＝－b 2a ，k ＝4ac －b24a；则二次函数的图象的顶点坐标是(－b 2a ，4ac －b 24a )，对称轴是x ＝－b 2a ；当x ＝－b 2a 时，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 有最大(最小)值，当a<0时，函数y 有最大值，当a>0时，函数y 有最小值． 3、二次函数与一元二次方程的关系：考点一、二次函数2()y a x h k=-+的图象例1．如图所示为二次函数2()y a x h k=-+的图象，根据抛物线的位置确定a、h、k的符号：(1)图①中，a ，h ，k ；(2)图②中，a ，h ，k ；(3)图③中，a ，h ，k ．考点二、二次函数图像的平移例2、二次函数2)1(212+-=xy的图象可由221xy=的图象平移得到（）．A．向左移1个单位，向下移2个单位B．向左移1个单位，向上移2个单位C．向右移1个单位，向下移2个单位D．向右移1个单位，向上移2个单位变式训练：在直角坐标系中画出函数y＝12(x＋3)2的图象．(1)指出函数图象的对称轴和顶点坐标；(2)根据图象回答，当x取何值时，y随x的增大而减小？当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，y 取最大值或最小值？(3)怎样平移函数y＝12x2的图象得到函数y＝12(x＋3)2的图象？解：(1)对称轴是直线x＝－3，顶点坐标(－3，0)；(2)当x<－3时，y随x的增大而减小；当x>－3时，y随x的的增大而增大；当x＝－3时，y有最小值；(3)将函数y＝12x2的图象沿x轴向左平移3个单位得到函数y＝12(x＋3)2的图象．考点三、二次函数的顶点与对称轴例3．如图，已知抛物线3)5(2122-+-+-=mxmxy，与x轴交于A．B，且点A在x轴正半轴上，点B在x 轴负半轴上，OA=OB，（1）求m的值；（2）求抛物线关系式，并写出对称轴和顶点C的坐标．解：（1）∵抛物线与y 轴交于正半轴，且OA=OB ∴，解得m =5； （2）抛物线的表达式为，对称轴是y 轴，顶点C 的坐标是（0，2）. 考点四、二次函数与实际应用问题例4、某超市购进一种单价为40元的篮球，如果以单价50元出售，那么每月可售出500个，根据销售经验，售价每提高1元，销售量相应减少10个，如果超市将篮球售价定为x 元(x>50)，每月销售这种篮球获利y 元． (1)求y 与x 之间的函数关系式；(2)超市计划下月销售这种篮球获利8000元，又要吸引更多的顾客，那么这种篮球的售价为多少元？ 解：(1)y ＝－10x 2＋1400x －40000(50<x<100)． (2)由题意得：－10x 2＋1400x －40000＝8000， 化简得x 2－140x ＋4800＝0，∴x 1＝60，x 2＝80. ∵要吸引更多的顾客，∴售价应定为60元．例5、用总长为60 m 的篱笆围成的矩形场地，矩形面积S 随矩形一边长l 的变化而变化，l 是多少时，场地的面积S 最大？(1)S 与l 有何函数关系？(2)举一例说明S 随l 的变化而变化？ (3)怎样求S 的最大值呢？ 解：S ＝l(30－l) ＝－l 2＋30l(0＜l ＜30)＝－(l 2－30l)＝－(l －15)2＋225画出此函数的图象，如图．∴l ＝15时，场地的面积S 最大(S 的最大值为225)．变式训练：小红家门前有一座抛物线形拱桥，如图，当水面在l 时，拱顶离水面2 m ，水面宽4 m ，水面下降1 m 时，水面宽度增加多少？解：建立如图的直角坐标系，设抛物线的解析式为y ＝ax 2，∵抛物线经过点A(2，－2)，∴－2＝4a ，∴a ＝－12，{50m 2122y x =+即抛物线的解析式为y ＝－12x 2，当水面下降1 m 时，点B 的纵坐标为－3.将y ＝－3代入二次函数解析式y ＝－12x 2，得－3＝－12x 2，∴x ＝±6，∴此时水面宽度为2|x|＝2 6 (m )．即水面下降1 m 时，水面宽度增加了(26－4) m .考点五、求二次函数的解析式例6、已知二次函数的图象经过点A(3，0)，B(2，－3)，C(0，－3)，求函数的关系式和对称轴． 解：设函数解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，因为二次函数的图象经过点A(3，0)，B(2，－3)，C(0，－3)，则有⎩⎪⎨⎪⎧9a ＋3b ＋c ＝0，4a ＋2b ＋c ＝－3，c ＝－3.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2，c ＝－3.∴函数的解析式为y ＝x 2－2x －3，其对称轴为x ＝1.考点六、二次函数与几何图形综合类型1 利用二次函数图象解决与线段、三角形相关的问题以函数图象为背景的几何题，图象背景往往就是一件衣服，基本套路是依据“点在图象上→点的坐标满足解析式”求出函数解析式，从而根据题目条件求出更多点的坐标，进而求出线段长度、三角形面积． 例7、(牡丹江中考)如图，抛物线y ＝ax 2＋2x ＋c 经过点A(0，3)，B(－1，0)，请回答下列问题： (1)求抛物线的解析式；(2)抛物线的顶点为D ，对称轴与x 轴交于点E ，连接BD ，求BD 的长．解：(1)∵抛物线y ＝ax 2＋2x ＋c 经过点A(0，3)，B(－1，0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧c ＝3，0＝a －2＋c.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，c ＝3.∴抛物线的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3.(2)∵y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，∴抛物线的顶点坐标为(1，4)．∴BE ＝2，DE ＝4.∴BD ＝BE 2＋DE 2＝2 5. 类型2 二次函数图象与“线段之和最短”问题如果两条线段有公共端点，那么直接构造“线段之和最短”问题解决，如果两条线段没有公共端点，那么需要通过平移将两条线段构造得有公共端点，然后应用“线段之和最短”问题解决．例8、如图，已知抛物线y ＝28(x ＋2)(x －4)与x 轴交于点A 、B(点A 位于点B 的左侧)，与y 轴交于点C ，M 为抛物线的顶点．(1)求点A 、B 、C 的坐标；(2)设动点N(－2，n)，求使MN ＋BN 的值最小时n 的值．解：(1)令y ＝0，得28(x ＋2)(x －4)＝0，解得x 1＝－2，x 2＝4；令x ＝0，得y ＝－ 2. ∴A(－2，0)、B(4，0)、C(0，－2)．(2)过点A(－2，0)作y 轴的平行线l ，则点B 关于l 的对称点B ′(－8，0)，又M(1，－982)，连接B ′M 与l 的交点即为使MN ＋BN 值最小的点．设直线B ′M 的解析式为y ＝kx ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧0＝－8k ＋b ，－982＝k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－18 2.b ＝－ 2.∴y ＝－182x － 2.∴当x ＝－2时，n ＝－342.【随堂练习】1．若二次函数y ＝ax 2－x ＋c 的图象在x 轴的下方，则a ，c 满足关系为( )A ．a ＜0且4ac ＞1B ．a ＜0且4ac ＜1C ．a ＜0且4ac ≥1D ．a ＜0且4ac ≤12．函数y ＝ax 2－a 与y ＝ax －a(a ≠0)在同一坐标系中的图象可能是( )3．若二次函数y ＝(k －3)x 2＋2x ＋1的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围为( )A ．k ＜4B ．k ≤4C ．k ＜4且k ≠3D ．k ≤4且k ≠34．已知二次函数y ＝x 2－2ax ＋(b ＋c)2，其中a ，b ，c 是△ABC 的边长，则此二次函数图象与x 轴的交点情况是( )A ．无交点B ．有一个交点C ．有两个交点D ．交点个数无法确定5．若二次函数y ＝x 2＋mx ＋m －3的图象与x 轴交于A ，B 两点，则A ，B 两点的距离的最小值是( )A ．23B ．0C ．22D ．无法确定6．二次函数的图象如图所示，则它的解析式为( )A ．y ＝x 2－4B ．y ＝－34x 2＋3C ．y ＝32(2－x)2D ．y ＝32(x 2－2)7．将抛物线y ＝－3x 2＋4绕顶点旋转180°，所得抛物线的解析式为．8．抛物线y ＝ax 2＋c 与y ＝－3x 2的形状大小，开口方向都相同，且其顶点坐标是(0，5)，则其表达式为，它是由抛物线y ＝－3x 2向____平移____个单位得到的．14.将抛物线y ＝x 2＋2x －4向右平移2个单位，又向上平移3个单位，最后绕顶点旋转180°.(1)求变换后新抛物线对应的函数解析式；(2)若这个新抛物线的顶点坐标恰为x 的整式方程x 2－(4m ＋n)x ＋3m 2－2n ＝0的两根，求m ，n 的值．15.如图，从一张矩形纸片较短的边上找一点E ，过E 点剪下两个正方形，它们的边长分别是AE ，DE ，要使剪下的两个正方形的面积和最小，点E 应选在何处？为什么？16.某经销店代销一种材料，当每吨售价为260元时，月销售量为45吨，该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销，经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨，每售出1吨建筑材料共需支付厂家及其他费用100元，设每吨材料售价为x(元)，该经销店的月利润为y(元)． (1)当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量； (2)求出y 与x 的函数关系式；(不要求写出x 的取值范围) (3)该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？(4)王强说：“当月利润最大时，月销售额也最大．”你认为对吗？请说明理由．17．二次函数y ＝－x 2＋mx ＋n 的图象经过点A(－1，4)，B(1，0)，y ＝－12x ＋b 经过点B ，且与二次函数y ＝－x2＋mx ＋n 交于点D.(1)求二次函数的表达式；(2)点N是二次函数图象上一点(点N在BD上方)，过N作NP⊥x轴，垂足为点P，交BD于点M，求MN的最大值．18．如图，已知抛物线y＝－1m(x＋2)(x－m)(m>0)与x轴相交于点A，B，与y轴相交于点C，且点A在点B的左侧．(1)若抛物线过点G(2，2)，求实数m的值；(2)在(1)的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使AH＋CH最小，并求出点H的坐标．19.如图，抛物线y＝x2＋bx＋c经过点A(－1，0)，B(3，0)．请解答下列问题：(1)求抛物线的解析式；(2)点E(2，m)在抛物线上，抛物线的对称轴与x轴交于点H，点F是AE中点，连接FH，求线段FH的长．20.如图，在直角坐标系xOy中，二次函数y=x2+(2k-1)x+k+1的图象与x轴相交于O、A两点.(1)求这个二次函数的解析式；(2)在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B，使△AOB的面积等于6，求点B的坐标；(3)对于(2)中的点B，在此抛物线上是否存在点P，使∠POB=90°？若存在，求出点P的坐标，并求出△POB的面积；若不存在，请说明理由.21．正方形OABC的边长为4，对角线相交于点P，抛物线L经过O、P、A三点，点E是正方形内的抛物线上的动点．（1）建立适当的平面直角坐标系， ①直接写出O 、P 、A 三点坐标； ②求抛物线L 的解析式；（2）求△OAE 与△OCE 面积之和的最大值．【随堂练习参考答案】1． A 2． D 3． D 4． A 5. C 6. B 7．y ＝3x 2＋4． 8．y ＝－3x 2＋5，__上___5__ 9.(0，6) 10.2016 11.y ＝－x 2＋4x ＋3(答案不唯一) 12.－2.513.解：设解析式为y ＝a(x －3)(x ＋1)，则有a(2－3)(2＋1)＝9，∴a ＝－3， ∴此函数的解析式为y ＝－3x 2＋6x ＋9，其顶点坐标为(1，12)． 14.解：(1)y ＝x 2＋2x －4＝(x ＋1)2－5，由题意可得平移旋转后的抛物线解析式为y ＝－(x －1)2－2＝－x 2＋2x －3；(2)该抛物线顶点坐标为(1，－2)，设方程两根分别为x 1，x 2，则有x 1＋x 2＝4m ＋n ＝－1，x 1²x 2＝3m 2－2n ＝－2，即⎩⎪⎨⎪⎧4m ＋n ＝－1，3m 2－2n ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m 1＝－23，n 1＝53或⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝－2，n 2＝7. 15.解：设矩形纸较短边长为a ，设DE ＝x ，则AE ＝a －x ，那么两个正方形的面积和y 为y ＝x 2＋(a －x)2＝2x 2－2ax ＋a 2，当x ＝－－2a 2³2＝12a 时，y 最小值＝2³(12a)2－2a ³12a ＋a 2＝12a 2.16.解：(1)45＋260－24010³7.5＝60(吨)；(2)y ＝(x －100)(45＋260－x 10³7.5)，化简，得y ＝－34x 2＋315x －24000；(3)y ＝－34x 2＋315x －24000＝－34(x －210)2＋9075此经销店要获得最大月利润，材料的售价应定为每吨210元． (4)我认为，王强说得不对．理由：当月利润最大时，x 为210元，而月销售额W ＝x(45＋260－x 10³7.5)＝－34(x －160)2＋19200，当x 为160元时，月销售额W 最大，∴当x 为210元时，月销售额W 不是最大．∴王强说得不对．17．解：(1)∵二次函数y ＝－x 2＋mx ＋n 的图象经过点A(－1，4)，B(1，0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧4＝－1－m ＋n ，0＝－1＋m ＋n.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2，n ＝3.∴二次函数的表达式为y ＝－x 2－2x ＋3.(2)∵y ＝－12x ＋b 经过点B ，∴－12³1＋b ＝0.解得b ＝12.∴y ＝－12x ＋12.设M(m ，－12m ＋12)，则N(m ，－m 2－2m ＋3)，∴MN ＝－m 2－2m ＋3－(－12m ＋12)＝－m 2－32m ＋52＝－(m ＋34)2＋4916.∴MN 的最大值为4916.18．解：(1)抛物线过点G(2，2)时，－1m(2＋2)(2－m)＝2，解得m ＝4.(2)∵m ＝4，∴y ＝－14(x ＋2)(x －4)．令y ＝0，－14(x ＋2)(x －4)＝0，解得x 1＝－2，x 2＝4.则A(－2，0)，B(4，0)．∴抛物线对称轴为直线l ：x ＝－2＋42＝1.令x ＝0，则y ＝2，所以C(0，2)．∵B 点与A 点关于对称轴对称，∴连接BC ，BC 与直线l 的交点便为所求点H.∵B(4，0)，C(0，2)，∴求得线段BC 所在直线为y ＝－12x ＋2.当x ＝1时，y＝32，∴H(1，32)． 19.解：(1)∵抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 经过点A(－1，0)，B(3，0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－b ＋c ＝0，9＋3b ＋c ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2，c ＝－3.∴y ＝x 2－2x －3. (2)∵点E(2，m)在抛物线上，∴m ＝4－4－3＝－3.∴E(2，－3)∴BE ＝（3－2）2＋（0＋3）2＝10.∵点F 是AE 中点，抛物线的对称轴与x 轴交于点H ，H 是AB 中点，∴FH ＝12BE ＝102.20.解：(1)∵函数的图象与x 轴相交于O ，∴0=k+1，∴k=-1，∴二次函数的解析式为y=x 2-3x. (2)假设存在点B ，过点B 作BD ⊥x 轴于点D.∵△AOB 的面积等于6， ∴21AO ²BD=6. 当y=0时，x(x-3)=0.解得x=0或3.∴AO=3.∴BD=4，即4=x 2-3x.解得x=4或x=-1(舍去). 又∵顶点坐标为(1.5，-2.25)，2.25＜4，∴x 轴下方不存在B 点.∴点B 的坐标为(4，4). (3)∵点B 的坐标为(4，4)，∴∠BOD=45°，BO=2244+=42. 当∠POB=90°时，∠POD=45°. 设P 点横坐标为x ，则纵坐标为x 2-3x ，即-x=x 2-3x.解得x=2或x=0. ∴在抛物线上仅存在一点P(2，-2).∴OP=2222+=22. ∴△POB 的面积为：21PO ²BO=21³22³42=8. 21．解：（1）以O 点为原点，线段OA 所在的直线为x 轴，线段OC 所在的直线为y 轴建立直角坐标系，如图所示．①∵正方形OABC 的边长为4，对角线相交于点P ，∴点O 的坐标为（0，0），点A 的坐标为（4，0），点P 的坐标为（2，2）．∵抛物线L 经过O、P、A三点，∴有，解得：，1【本章小结及思维导图】【课后练习】1．一个运动员打高尔夫球，如果球的飞行高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数表达式为y＝190(x－30)2＋10，则高尔夫球在飞行过程中的最大高度为( ) A．10 m B．20 m C．30 m D．40 m2. 在同一坐标系中，一次函数1+=ax y 与二次函数a x y +=2的图像可能是（ ）3．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象大致如图所示，下列判断错误的是( )A ．a<0B ．b>0C ．c>0D ．ac>0第3题图 第4题图 第5题图4．如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a>0)的对称轴是直线x ＝1，且经过点P(3，0)，则a －b ＋c 的值为( )A ．0B ．－1C ．1D ．25．如图是二次函数y ＝ax 2＋3x ＋a 2－1的图象，a 的值是．6.二次函数y =ax 2+bx +c （a 、b 、c 为常数且a ≠0）中的x 与y 的部分对应值如下表：给出了结论：（1）二次函数y =ax 2+bx +c 有最小值，最小值为－3；（2）当－12＜x ＜2时，y ＜0； （3）二次函数y =ax 2+bx +c 的图象与x 轴有两个交点，且它们分别在y 轴两侧.则其中正确结论的个数是（ ） A.3 B.2 C.1 D.07．某工厂大门是一个抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为8米，两侧距地面3米高处各有一盏壁灯，两壁灯之间的水平距离为6米，如图所示，则厂门的高(水泥建筑物厚度不计，精确到0.1米)为( )A ．6.8米B ．6.9米C ．7.0米D ．7.1米7.8.8.已知二次函数y=ax 2+bx+c+2的图象如图所示，顶点为（﹣1，0），下列：①abc ＜0；②b 2﹣4ac =0；③a ＞2；④4a﹣2b+c ＞0．其中正确结论的个数是（ B ）Ａ.1 Ｂ.2 Ｃ.3 Ｄ.49．如图，点E ，F ，G ，H 分别是正方形ABCD 边AB ，BC ，CD ，DA 上的点，AE ＝BF ＝CG ＝DH .设A ，E 两点间的距离为x ，四边形EFGH 的面积为y ，则y 与x 的函数图象可能为( )10．抛物线y ＝x 2＋bx ＋c (其中b ，c 是常数)过点A (2，6)，抛物线的对称轴与线段y ＝0(1≤x ≤3)有交点，则c 的值不可能是( )A ．4 B ．6 C ．8 D ．1011．如图是抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的部分图象，其顶点坐标为(1，n )，抛物线与x 轴的一个交点在点(3，0)和(4，0)之间．则下列结论：①a －b ＋c ＞0；②3a ＋b ＝0；③b 2＝4a (c －n )；④一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝n －1有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个12.某校校园内有一个大正方形花坛，如图甲所示，它由四个边长为3米的小正方形组成，且每个小正方形的种植方案相同．其中的一个小正方形ABCD 如图乙所示，DG =1米，AE =AF =x 米，在五边形EFBCG 区域上种植花卉，则大正方形花坛种植花卉的面积y 与x 的函数图象大致是（ ）A 、B 、C 、 D13．抛物线y ＝－12(x －1)2的开口向下，顶点坐标是，对称轴是，通过向平移个单位后，得到抛物线y ＝－12x 2.14．某菜农搭建了一个横截面为抛物线的大棚，尺寸如图，若菜农身高为1.8m ，他在不弯腰的情况下，在棚内的横向活动范围是________m第14题图 第15题图 第16题图15.如图，正方形ABCD 的边长为4，E ，F 分别是BC ，CD 上的两个动点，AE ⊥EF .则AF 的最小值是________ 16.如图，一段抛物线：y =﹣x （x ﹣2）（0≤x ≤2）记为C 1 ， 它与x 轴交于两点O ，A 1；将C 1绕A 1旋转180°得到C 2 ， 交x 轴于A 2；将C 2绕A 2旋转180°得到C 3 ， 交x 轴于A 3；…如此进行下去，直至得到C 6 ， 若点P （11，m ）在第6段抛物线C 6上，则m =________．17. 某窗户如图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形，制造窗框的材料总长为15 m (图中所有线条长度之和)，当x 等于多少时，窗户通过的光线最多？此时，窗户的面积是多少？(结果精确到0.01 m )18．抛物线经过A(4，0)，B(1，0)，C(0，－2)三点． (1)求此抛物线的解析式；(2)在直线AC 上方的抛物线上有一点D ，使得△DCA 的面积最大，求出点D 的坐标．19．如图，抛物线y ＝－12x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且OA ＝2，OC ＝3.(1)求抛物线的解析式．(2)点D(2，2)是抛物线上一点，那么在抛物线的对称轴上，是否存在一点P ，使得△BDP 的周长最小，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．20．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，∠AOC 的平分线交AB 于点D ，E 为BC 的中点，已知A(0，4)，C(5，0)，二次函数y ＝45x 2＋bx ＋c 的图象抛物线经过A ，C 两点．(1)求该二次函数的表达式；(2)F ，G 分别为x 轴，y 轴上的动点，顺次连接D ，E ，F ，G 构成四边形DEFG ，求四边形DEFG 周长的最小值．21.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax 2+bx ﹣2（a ≠0）与x 轴交于A （1，0）、B （3，0）两点，与y 轴交于点C ，其顶点为点D ，点E 的坐标为（0，﹣1），该抛物线与BE 交于另一点F ，连接BC ． (1)求该抛物线的解析式，并用配方法把解析式化为y=a （x ﹣h ）2+k 的形式； (2)若点H （1，y ）在BC 上，连接FH ，求△FHB 的面积；(3)一动点M 从点D 出发，以每秒1个单位的速度平沿行与y 轴方向向上运动，连接OM ，BM ，设运动时间为t 秒（t ＞0），在点M 的运动过程中，当t 为何值时，∠OMB =90°？(4)在x 轴上方的抛物线上，是否存在点P ，使得∠PBF 被BA 平分？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【课后练习参考答案】1． A 2. C3． D 4． A 5．－1．6. A7． B 8. B12.A 解析：S △AEF =21AE ³AF= 21x 2 ， S △DEG = 21DG ³DE= 21³1³（3﹣x ）= ，S 五边形EFBCG =S 正方形ABCD ﹣S △AEF ﹣S △DEG =9﹣ 21x 2﹣ =﹣21x 2+ 21x+ ，则y=4³（﹣21x 2+ 21x+ ）=﹣2x 2+2x+30，∵AE ＜AD ，∴x ＜3，综上可得：y=﹣2x 2+2x+30（0＜x ＜3）．故选：A∵C 2由C 1旋转得到，∴OA 1=A 1A 2 ， 即C 2顶点坐标为（3，﹣1），A 2（4，0）； 照此类推可得，C 3顶点坐标为（5，1），A 3（6，0）；C 4顶点坐标为（7，﹣1），A 4（8，0）；C 5顶点坐标为（9，1），A 5（10，0）；C 6顶点坐标为（11，﹣1），A 6（12，0）； ∴m=﹣1．故答案为：﹣1．17.解：由题意可知4y ＋12³2πx ＋6x ＝15，化简得y ＝15－6x －πx 4，设窗户的面积为S m 2，则S ＝12πx 2＋2x ³15－6x －πx 4＝－3x 2＋152x ，∵a ＝－3<0，∴S 有最大值．∴当x ＝1.25 m 时，S 最大值≈4.69(m 2)，即当x ＝1.25 m 时，窗户通过的光线最多．此时，窗户的面积是4.69 m 2.18．解：(1)∵该抛物线过点C(0，－2)，设该抛物线的解析式为y ＝ax 2＋bx －2.将A(4，0)，B(1，0)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧16a ＋4b －2＝0，a ＋b －2＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝52.∴此抛物线的解析式为y ＝－12x 2＋52x －2.(2)设D 点的横坐标为t(0<t<4)，则D 点的纵坐标为－12t 2＋52t －2.过D 作y 轴的平行线交AC 于E.由题意可求得直线AC 的解析式为y ＝12x －2.∴E 点的坐标为(t ，12t －2)．∴DE ＝－12t 2＋52t －2－(12t －2)＝－12t 2＋2t.∴S △DCA ＝12³(－12t 2＋2t)³4＝－t 2＋4t ＝－(t －2)2＋4.∴当t ＝2时，△DCA 面积最大．∴D(2，1)． 19．解：(1)由已知条件得A(－2，0)，C(0，3)，代入二次函数解析式，得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝3，－2－2b ＋c ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝12，c ＝3.∴抛物线的解析式为y ＝－12x 2＋12x ＋3.(2)连接AD ，交对称轴于点P ，则P 为所求的点．设直线AD 的解析式为y ＝kx ＋t.由已知得⎩⎪⎨⎪⎧－2k ＋t ＝0，2k ＋t ＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝12，t ＝1.∴直线AD 的解析式为y ＝12x ＋1.∵对称轴为直线x ＝－b 2a ＝12，将x ＝12代入y ＝12x ＋1，得y ＝54.∴P(12，54)．20．解：(1)将A(0，4)、C(5，0)代入二次函数y ＝45x 2＋bx ＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧20＋5b ＋c ＝0，c ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－245，c ＝4.故二次函数的表达式为y ＝45x 2－245x ＋4.(2)延长EC 至E ′，使E ′C ＝EC ，延长DA 至D ′，使D ′A ＝DA ，连接D ′E ′，交x 轴于F 点，交y 轴于G 点，GD ＝GD ′，EF ＝E ′F ，(DG ＋GF ＋EF ＋ED)最小＝D ′E ′＋DE ，由E(5，2)，D(4，4)，得D ′(－4，4)，E(5，－2)．由勾股定理，得DE ＝22＋12＝5，D ′E ′＝（5＋4）2＋（4＋2）2＝313，(DG ＋GF ＋EF ＋ED)最小＝D ′E ′＋DE ＝313＋ 5.∴ ∴ ，∴抛物线解析式为y=﹣32x 2+ 38x ﹣2=﹣ 32（x ﹣2）2+ 34； （2）解：如图1，过点A 作AH ∥y 轴交BC 于H ，BE 于G ，由（1）有，C （0，﹣2）， ∵B （3，0），E （0，﹣1），∴直线BE 解析式为y=﹣ x ﹣1，∴G （1，﹣ ），∴GH= ， ∵直线BE ：y=﹣ x ﹣1与抛物线y=﹣ x 2+ x ﹣2相较于F ，B ，∴F （ ，﹣ ）， ∴S △FHB = GH ³|x G ﹣x F |+ GH ³|x B ﹣x G | = GH ³|x B ﹣x F | = ³ ³（3﹣ ） = ．（3）解：如图2，由（1）有y=﹣ x 2+ x ﹣2， ∵D 为抛物线的顶点，∴D （2， ），∴设M（2，m），（m＞），∴OM2=m2+4，BM2=m2+1，AB2=9，22222如图3，∴∠PBO=∠EBO，∵B（3，0），∴直线BN的解析式为y=﹣x+1①，∵点P在抛物线y=﹣x2+ x﹣2②上，联立①②得，或（舍），∴P（，），即：在x轴上方的抛物线上，存在点P，使得∠PBF被BA平分，P（，）．。

初三中考二次函数专题复习学案教师寄语：二次函数这一章在初中数学中占有重要地位，同时也是高中数学学习的基础.作为初高中衔接的内容，二次函数在中考命题中一直是“重头戏”，根据对近几年中考试卷的分析，预计今年中考中对二次函数的考查题型有低档的填空题、选择题，中高档的解答题，分值一般为9～15分，除考查定义、识图、性质、求解析式等常规题外，还会出现与二次函数有关的贴近生活实际的应用题，阅读理解题和探究题，二次函数与其他函数方程、不等式、几何知识的综合在压轴题中出现的可能性很大.学习要求：中考中主要考查二次函数的基础知识、二次函数解析式求法、二次函数的实际应用.考查的题型常以填空题、选择题和解答题的形式出现.在复习二次函数的基础知识时,要注重待定系数法、函数思想、数形结合等等思想方法的应用。

教师应对策略：从学生对基础知识 基本技能的掌握入手，从图像入手，紧紧抓住二次函数的性质设计基础题，中等题与中考综合题，分三层次进行有效训练会比较好。

通过具体题目的师生共同分析，引导学生梳理整章知识点，在题目分析中注重让学生自己开动脑筋去发现问题，进而找出解决问题的方法，教会学生如何去应对较复杂的二次函数的综合题。

知识点归纳：一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。

3.y a x h =-的性质： 左加右减。

4.y a x h k =-+的性质：1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a-．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大；⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小．2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba -<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；当0b =时，02ba -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b >时，02ba ->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置． ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异”总结：3. 常数项c ⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． 二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式． 九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---； 2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++； 3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称()2y a x h k=-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-. ② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2'当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； ⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系知识梳理：练习：1.抛物线23(1)2y x =-+的对称轴是（ ） A ．1x = B ．1x =- C ． 2x =D ．2x =-2.要得到二次函数222y x x =-+-的图象，需将2y x =-的图象（ ）． A ．向左平移2个单位，再向下平移2个单位 B ．向右平移2个单位，再向上平移2个单位 C ．向左平移1个单位，再向上平移1个单位 D ．向右平移1个单位，再向下平移1个单位 最新考题1.(2009年四川省内江市)抛物线3)2(2+-=x y 的顶点坐标是（ ） A ．（2，3） B ．（－2，3） C ．（2，－3） D ．（－2，－3）2.（2009年泸州）在平面直角坐标系中，将二次函数22x y =的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为A ．222-=x yB ．222+=x yC ．2)2(2-=x yD ．2)2(2+=x y 知识点2：二次函数的图形与性质例1：如图1所示，二次函数y=ax 2+bx+c 的图象开口向上，图象经过点（－1，2）和（1，0）且与y 轴交于负半轴.第（1）问：给出四个结论：①a>0；②b>0;③c>0；④a+b+c=0，其中正确的结论的序号是 .第（2）问：给出四个结论：①abc<0；②2a+b>0;③a+c=1;④a>1.其中正确的结论的序号是_______.例2：抛物线y=－x 2+（m －1）x+m 与y 轴交于（0，3）点，（1）求出m 的值并画出这条抛物线；（2）求它与x 轴的交点和抛物线顶点的坐标；（3）x 取什么值时，抛物线在x 轴上方?（4）x 取什么值时，y 的值随x 的增大而减小？思路点拨：由已知点（0，3）代入y=－x 2+（m －1）x+m 即可求得m 的值，即可知道二次函数解析式，并可画出图象，然后根据图象和二次函数性质可得（2）（3）（4）. 解：（1）由题意将（0，3）代入解析式可得m=3， ∴ 抛物线为y=－x 2+2x+3. 图象（图2）：（2）令y=0，则－x 2+2x+3=0，得x 1=－1，x 2=3； ∴ 抛物线与x 轴的交点为（－1，0），（3，0）.∵ y=－x 2+2x+3=－（x －1）2+4， ∴ 抛物线顶点坐标为（1，4）；（3）由图象可知：当－1<x<3时，抛物线在x 轴上方；（4）由图象可知：当x>1时，y 的值随x 值的增大而减小. 练习：1.如图，直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，下列关系不正确．．．的是（ ） A ．h m =B ．k n =C ．k n >D ．00h k >>，2.函数y =ax ＋1与y =ax 2＋bx ＋1（a ≠0）的图象可能是（ ）最新考题1.（2009深圳）二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，若点A （1，y 1）、B （2，y 2）是它图象上的两点，则y 1与y 2的大小关系是（） A ． 21y y < B ．21y y = C ．21y y > D ．不能确定2.（2009北京）如图，C 为⊙O 直径AB 上一动点，过点C 的直线交⊙O 于D 、E 两点，且∠ACD=45°，DF ⊥AB 于点F,EG ⊥AB 于点G,当点C 在AB 上运动时，设AF=x ，DE=y ，下列中图象中，能表示y 与x 的函数关系式的图象大致是（ ）3.（2009年台州）已知二次函数2的y 与x 的部分对应值如下表：A ．抛物线开口向上B ．抛物线与y 轴交于负半轴C ．当x ＝4时，y ＞0D ．方程02=++c bx ax 的正根在3与4之间A B C D知识点3：二次函数的应用例1：如图，从地面垂直向上抛出一小球，小球的高度h （单位：米）与小球运动时间t （单位：秒）的函数关系式是29.8 4.9h t t =-，那么小球运动中的最大高度h =最大 ．随楼层数x （楼）的变化而变化（x =1，2，3，4，5，6，7，8）；已知点（x ，y ）都在一个二次函数的图像上（如图6所示），则6楼房子的价格为 元/平方米．思路点拨：观察函数图像得：图像关于x 4=对称， 当x 2y=2080=时，元.因为x=2到对称轴的距离 与x=6到对称轴的距离相等。