湖南省长沙市天心区长郡中学2016-2017学年高二(上)期中数学试卷(文科)(解析版)

湖南省长沙市长郡中学高二上第一次模块检测文科数学试题（无答案）高二数学(文科)一、选择题(本大题共12个小题,每题5分,共60分,在每个小题给出的四个选项中，只要一项为哪一项契合标题要求的)1.集合{}{}，，＞024|1|≤-==x x B x x A 那么 A.{}1|＞x x B A = B.∅=B A C.{}1|＞x x B A = D.R B A = 2命题:p 有的矩形没有外接圆,那么关于命题p ⌝的说法正确的选项是 A.p ⌝:有的矩形有外接圆；真命题 B.p ⌝:恣意矩形都有外接；真命题 C.p ⌝:恣意矩形都有外接圆；假命题 D p ⌝:恣意矩形都没有外接圆；真命题 3.，，R b a ∈那么〝b a =〞是〝ab ba =+2〞的 A 充沛不用要条件 B.必要不充沛条件 C.充要条件 D.既不充沛也不用要条件4.在区间[]76，-内任取一实数m ,()m mx x x f ++-=2的图象与x 轴有公共点的概率为A.132 B.134 C.137 D.1395.如下图的算法框图中,假定输入的T=720,那么正整数a 的值为 A.5 B.6 C.7 D.8 D.86.如下图的茎叶图记载了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据(单位:件),假定这两组数据中位数相等,且平均值也相等,那么x 和y 的值区分为A.3,5B.5,5C.3,7D.5,77.在圆02422=+-+y x y x 内,过点E(1,0)的最长弦和最短弦区分是AC 和BD,那么四边 形ABCD 的面面积为A.53B.56C.154D.1528.如图,在正方体1111D C B A ABCD -中,P 为线段AD 的中点,Q 为线段11C B 的动点,那么以下说法中错误的选项是A.线段PQ 与平面11C CDD 能够平行B.当Q 为线段11C B 的中点时,线段PQ 与1DD 所成角为4π C.AB PQ 2≥D.1CD 与PQ 不能够垂直9.函数()xx x x f 2sin cos 2-=的局部图像大致为10.函数()，4ln-=x xx f ,那么以下说法中正确的选项是 A.()x f 在区间()0，∞-内单调递增 B.()x f 在区间()∞+，4内单调递增C.()x f 的图像关于点(2,0)对称D.()x f 的图像关于直线2=x 对称11.在发作某公共卫生事情时期,有专业机构以为该事情在一段时间内没有发作大规模群体感染的标志为〝延续10天,每天新增疑似病例不超越7人〞。

【精品文档，百度专属】2016-2017学年湖南省长沙市长郡中学高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共15小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．（5分）命题“若a＞b，则2a＞2b”的逆否命题是（）A．若a≤b，则2a≤2b B．若a＞b，则2a≤2bC．若2a≤2b，则a≤b D．若2a≤2b，则a＞b2．（5分）用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（）A．方程x3+ax+b=0没有实根B．方程x3+ax+b=0至多有一个实根C．方程x3+ax+b=0至多有两个实根D．方程x3+ax+b=0恰好有两个实根3．（5分）双曲线的焦点坐标是（）A．B．C．（±2，0）D．（0，±2）4．（5分）甲、乙两人下棋，和棋概率为，乙获胜概率为，甲获胜概率是（）A．B．C．D．5．（5分）设f（x）=xlnx，若f′（x0）=2，则x0等于（）A．e2B．e C．D．ln26．（5分）如图是2016年某大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的中位数和众数依次为（）A．84，84B．84，85C．86，84D．84，867．（5分）如图，M是半径R的圆周上一个定点，在圆周上等可能的任取一点N，连接MN，则弦MN的长度超过R的概率是（）A．B．C．D．8．（5分）已知a为函数f（x）=x3﹣12x的极小值点，则a=（）A．﹣4B．﹣2C．4D．29．（5分）对具有线性相关关系的变量x，y有一组观测数据（x i，y i）（i=1，2，…８），其回归直线方程是x+a，且x1+x2+x3+…+x8=2（y1+y2+y3+…+y8）=6，则实数a的值是（）A．B．C．D．10．（5分）若抛物线y2=8x上一点P到其焦点的距离为9，则点P的坐标为（）A．（7，±）B．（14，±）C．（7，±2）D．（﹣7，±2）11．（5分）已知函数f（x）=x3﹣ax2+1在区间（0，2）内单调递减，则实数a 的取值范围是（）A．a≥3B．a=3C．a≤3D．0＜a＜3 12．（5分）已知有相同两焦点F1、F2的椭圆和双曲线，P是它们的一个交点，则△F1PF2的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形13．（5分）若命题“?x∈R，ax2﹣ax﹣2≤0”是真命题，则实数a的取值范围是（）A．[﹣8，0）B．（﹣8，0]C．[﹣8，0]D．（﹣8，0）14．（5分）设f（x），g（x）是定义域为R的恒大于零的可导函数，且f'（x）?g （x）﹣f（x）?g′（x）＜0，则当a＜x＜b时，有（）A．f（x）?g（x）＞f（b）?g（b）B．f（x）?g（a）＞f（a）?g（x）C．f（x）?g（b）＞f（b）?g（x）D．f（x）?g（x）＞f（a）?g（a）15．（5分）已知抛物线C：y2=4x的交点为F，直线y=x﹣1与C相交于A，B两点，与双曲线E：﹣=2（a＞0，b＞0）的渐近线相交于M，N两点，若线段AB与MN的中点相同，则双曲线E离心率为（）A．B．2C．D．二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.16．（3分）已知i是虚数单位，则=．17．（3分）对任意非零实数a、b，若a?b的运算原理如图程序框图所示，则3?2=．18．（3分）将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第10行从左向右的第3个数为．19．（3分）曲线C的方程为，其中m，n是将一枚骰子先后投掷两次所得的点数，记事件A为“方程表示焦点在x轴上的椭圆”，那么事件A发生的概率P（A）=．20．（3分）在平面直角坐标系xOy中，已知P是函数f（x）=e x（x＞0）的图象上的动点，该图象在点P处的切线l交y轴于点M，过点P作l的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是．三、解答题：本大题共5小题，共40分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.21．（8分）已知曲线C的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极．点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsinθ=2（1）将C测参数方程化为普通方程；（2）直线l与曲线C交于A，B两点，求AB的长度．22．（8分）设p：实数x满足（x﹣a）（x﹣3a）＜0，其中a＞0，q：实数x满足．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．23．（8分）某高校共有学生15000人，其中男生10500人，女生4500人．为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时）．（1）应收集多少位女生的样本数据？（2）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间为：[0，2]，（2，4]，（4，6]，（6，8]，（8，10]，（10，12]．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率．（3）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．P（K2≥k0）0.100.050.0100.005k0 2.706 3.841 6.6357.879附：K2=．24．（8分）在平面直角坐标系xOy中，点P到两点，的距离之和等于4，设点P的轨迹为C．（Ⅰ）写出C的方程；（Ⅱ）设直线y=kx+1与C交于A，B两点．k为何值时⊥？此时的值是多少？．25．（8分）已知函数f（x）=．（1）求f（x）的最大值；（2）当x＞0时，f（x）＞，求正实数a的取值范围．2016-2017学年湖南省长沙市长郡中学高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共15小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．（5分）命题“若a＞b，则2a＞2b”的逆否命题是（）A．若a≤b，则2a≤2b B．若a＞b，则2a≤2bC．若2a≤2b，则a≤b D．若2a≤2b，则a＞b【解答】解：命题“若a＞b，则2a＞2b”的逆否命题是“若2a≤2b，则a≤b”，故选：C．2．（5分）用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（）A．方程x3+ax+b=0没有实根B．方程x3+ax+b=0至多有一个实根C．方程x3+ax+b=0至多有两个实根D．方程x3+ax+b=0恰好有两个实根【解答】解：反证法证明问题时，反设实际是命题的否定，∴用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是：方程x3+ax+b=0没有实根．故选：A．3．（5分）双曲线的焦点坐标是（）A．B．C．（±2，0）D．（0，±2）【解答】解：∵双曲线方程为∴双曲线的焦点在x轴上，且a2=3，b2=1由此可得c==2，∴该双曲线的焦点坐标为（±2，0）故选：C．4．（5分）甲、乙两人下棋，和棋概率为，乙获胜概率为，甲获胜概率是（）A．B．C．D．【解答】解：甲获胜概率是1﹣故选：C．5．（5分）设f（x）=xlnx，若f′（x0）=2，则x0等于（）A．e2B．e C．D．ln2【解答】解：∵f（x）=xlnx，∴f′（x）=lnx+1，由f′（x0）=2，得lnx0+1=2，即lnx0=1，则x0=e，故选：B．6．（5分）如图是2016年某大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的中位数和众数依次为（）A．84，84B．84，85C．86，84D．84，86【解答】解：由茎叶图知，去掉一个最高分93和一个最低分79后，所剩数据84，84，86，84，87的中位数为84；众数为：84；故选：A．7．（5分）如图，M是半径R的圆周上一个定点，在圆周上等可能的任取一点N，连接MN，则弦MN的长度超过R的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：本题利用几何概型求解．测度是弧长．根据题意可得，满足条件：“弦MN的长度超过R”对应的弧，其构成的区域是半圆，则弦MN的长度超过R的概率是P=．故选：D．8．（5分）已知a为函数f（x）=x3﹣12x的极小值点，则a=（）A．﹣4B．﹣2C．4D．2【解答】解：f′（x）=3x2﹣12；∴x＜﹣2时，f′（x）＞0，﹣2＜x＜2时，f′（x）＜0，x＞2时，f′（x）＞0；∴x=2是f（x）的极小值点；又a为f（x）的极小值点；∴a=2．故选：D．9．（5分）对具有线性相关关系的变量x，y有一组观测数据（x i，y i）（i=1，2，…８），其回归直线方程是x+a，且x1+x2+x3+…+x8=2（y1+y2+y3+…+y8）=6，则实数a的值是（）A．B．C．D．【解答】解：∵x1+x2+x3+…+x8=2（y1+y2+y3+…+y8）=6，∴=，=，∴样本中心点的坐标为（，），代入回归直线方程得，=×+a，∴a=．故选：B．10．（5分）若抛物线y2=8x上一点P到其焦点的距离为9，则点P的坐标为（）A．（7，±）B．（14，±）C．（7，±2）D．（﹣7，±2）【解答】解：设P（m，n），则∵点P到抛物线y2=8x焦点的距离为9，∴点P到抛物线y2=8x准线x=﹣2的距离也为9，可得m+2=9，m=7∵点P（7，n）在抛物线y2=8x上∴n2=8×7=56，可得n=±2，因此，可得点P的坐标为（7，±2），故选：C．11．（5分）已知函数f（x）=x3﹣ax2+1在区间（0，2）内单调递减，则实数a 的取值范围是（）A．a≥3B．a=3C．a≤3D．0＜a＜3【解答】解：∵函数f（x）=x3﹣ax2+1在（0，2）内单调递减，∴f′（x）=3x2﹣2ax≤0在（0，2）内恒成立，即在（0，2）内恒成立，∵，∴a≥3，故选：A．12．（5分）已知有相同两焦点F1、F2的椭圆和双曲线，P是它们的一个交点，则△F1PF2的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形【解答】解：由题意设两个圆锥曲线的焦距为2c，椭圆的长轴长2，双曲线的实轴长为2，不妨令P在双曲线的右支上，由双曲线的定义|PF1|﹣|PF2|=2①由椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2②①2+②2得|PF1|2+|PF2|2=4又|F1F2|=4，∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|，则△F1PF2的形状是直角三角形故选：B．13．（5分）若命题“?x∈R，ax2﹣ax﹣2≤0”是真命题，则实数a的取值范围是（）A．[﹣8，0）B．（﹣8，0]C．[﹣8，0]D．（﹣8，0）【解答】解：命题“?x∈R，ax2﹣ax﹣2≤0”是真命题，令f（x）=ax2﹣ax﹣2，a=0时，f（x）=﹣2＜0成立．a≠0时，?x∈R，f（x）=ax2﹣ax﹣2≤0恒成立，则，解得﹣8≤a＜0．综上可得：﹣8≤a≤0．故选：C．14．（5分）设f（x），g（x）是定义域为R的恒大于零的可导函数，且f'（x）?g （x）﹣f（x）?g′（x）＜0，则当a＜x＜b时，有（）A．f（x）?g（x）＞f（b）?g（b）B．f（x）?g（a）＞f（a）?g（x）C．f（x）?g（b）＞f（b）?g（x）D．f（x）?g（x）＞f（a）?g（a）【解答】解：令F（x）=，则F′（x）=＜0，x∈R．∴函数F（x）在（a，b）上单调递减．∴F（a）＞F（b），即＞，化为：f（x）g（b）＞f（b）g（x）．故选：A．15．（5分）已知抛物线C：y2=4x的交点为F，直线y=x﹣1与C相交于A，B两点，与双曲线E：﹣=2（a＞0，b＞0）的渐近线相交于M，N两点，若线段AB与MN的中点相同，则双曲线E离心率为（）A．B．2C．D．【解答】解：由题意，设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点D，，整理得：x2﹣6x+1=0，由韦达定理可知：x1+x2=6，x D==3，则y D=x D﹣1=3，∴线段AB的中点坐标为D（3，2）．直线y=x﹣1与双曲线的渐近线y=x联立，可得M（，），与双曲线的渐近线y=﹣x联立，可得N（，﹣），∴线段MN的中点坐标为（，），∵线段AB与MN的中点相同，∴=3，∴a=b，则e===故选：C．二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.16．（3分）已知i是虚数单位，则=1+2i．【解答】解：=，故答案为：1+2i．17．（3分）对任意非零实数a、b，若a?b的运算原理如图程序框图所示，则3?2=2．【解答】解：由题意知，a=3，b=2；再由程序框图得，3≤2不成立，故执行，得到3?2==2．故答案为：2．18．（3分）将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第10行从左向右的第3个数为48．【解答】解：由排列的规律可得，第n﹣1行结束的时候共排了1+2+3+…+（n﹣1）==个数，∴第n行从左向右的第3个数为+3=，把n=10代入可得第10行从左向右的第3个数为48故答案为：4819．（3分）曲线C的方程为，其中m，n是将一枚骰子先后投掷两次所得的点数，记事件A为“方程表示焦点在x轴上的椭圆”，那么事件A发生的概率P（A）=．【解答】解：m，n是将一枚骰子先后投掷两次所得点数共6×6=36，∵事件A表示焦点在x轴上的椭圆”∴m＞n，列举可得事件A包含（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5）共15个∴P（A）==，故答案为：20．（3分）在平面直角坐标系xOy中，已知P是函数f（x）=e x（x＞0）的图象上的动点，该图象在点P处的切线l交y轴于点M，过点P作l的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是（e+e﹣1）．【解答】解：设切点坐标为（m，e m）．∴该图象在点P处的切线l的方程为y﹣e m=e m（x﹣m）．令x=0，解得y=（1﹣m）e m．过点P作l的垂线的切线方程为y﹣e m=﹣e﹣m（x﹣m）．令x=0，解得y=e m+me﹣m．∴线段MN的中点的纵坐标为t=[（2﹣m）e m+me﹣m]．t'=[﹣e m+（2﹣m）e m+e﹣m﹣me﹣m]，令t'=0解得：m=1．当m∈（0，1）时，t'＞0，当m∈（1，+∞）时，t'＜0．∴当m=1时t取最大值（e+e﹣1）．故答案为：（e+e﹣1）．三、解答题：本大题共5小题，共40分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.21．（8分）已知曲线C的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极．点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsinθ=2（1）将C测参数方程化为普通方程；（2）直线l与曲线C交于A，B两点，求AB的长度．【解答】解：（1）曲线C的参数方程为（t为参数），即，故（x﹣4）2+（y﹣5）2=25；，（2）∵直线l的极坐标方程为ρsinθ=2∴直线l的普通方程为y=2，由，解得或，故|AB|=8．22．（8分）设p：实数x满足（x﹣a）（x﹣3a）＜0，其中a＞0，q：实数x满足．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a=1，（x﹣1）（x﹣3）＜0，解得1＜x＜3，由．解得2＜x≤3，∵p，q均正确，∴2＜x＜3，故实数x的取值范围为（2，3），（2）p是q的必要不充分条件，∵p为a＜x＜3a，∴，解得1＜a≤2，故实数a的取值范围（1，2]．23．（8分）某高校共有学生15000人，其中男生10500人，女生4500人．为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时）．（1）应收集多少位女生的样本数据？（2）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间为：[0，2]，（2，4]，（4，6]，（6，8]，（8，10]，（10，12]．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率．（3）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．P（K2≥k0）0.100.050.0100.005k0 2.706 3.841 6.6357.879附：K2=．【解答】解：（1）300×=90，所以应收集90位女生的样本数据．（2）由频率分布直方图得1﹣2×（0.100+0.025）=0.75，所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75．（3）由（2）知，300位学生中有300×0.75=225人的每周平均体育运动时间超过4小时，75人的每周平均体育运动时间不超过4小时，又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下：每周平均体育运动时间与性别列联表男生女生总计453075每周平均体育运动时间不超过4小时每周平均体育运动时间16560225超过4小时总计21090300结合列联表可算得K2==≈4.762＞3.841所以，有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．24．（8分）在平面直角坐标系xOy中，点P到两点，的距离之和等于4，设点P的轨迹为C．（Ⅰ）写出C的方程；（Ⅱ）设直线y=kx+1与C交于A，B两点．k为何值时⊥？此时的值是多少？．【解答】解：（Ⅰ）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴，故曲线C的方程为．（4分）（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），其坐标满足消去y并整理得（k2+4）x2+2kx﹣3=0，故．（6分），即x1x2+y1y2=0．而y1y2=k2x1x2+k（x1+x2）+1，于是．所以时，x1x2+y1y2=0，故．（8分）当时，，．，而（x2﹣x1）2=（x2+x1）2﹣4x1x2=，所以．（12分）25．（8分）已知函数f（x）=．（1）求f（x）的最大值；（2）当x＞0时，f（x）＞，求正实数a的取值范围．【解答】解：（1）令分母xe x+1=g（x），可得：g′（x）=e x（1+x），可得x=﹣1时函数g（x）取得极小值，g（﹣1）=1﹣＞0．∴函数f（x）的定义域为R．f′（x）=，可得x＜0时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增；x＞0时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减．∴x=0时，函数f（x）取得极大值即最大值，f（0）=1．（2）当x＞0时，f（x）＞，a＞0，?（ax2﹣x+1）e x﹣1＞0．x＞0，a＞0．令h（x）=（ax2﹣x+1）e x﹣1，x＞0，a＞0．h（0）=0．则h′（x）=ax（x﹣）e x．①a≥时，h′（x）=ax2e x＞0，函数h（x）在x＞0时单调递增，∴h（x）＞h（0）=0，满足条件．②0＜a＜时，函数h（x）在x=处取得极小值即最小值，x∈时单调递减，∴h（x）＜h（0）=0，不满足条件，舍去．综上可得：正实数a的取值范围是．Baiduba idu badiubaidubaidubaidubaidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiu Baiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiudBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiuaBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiuiBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiudBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiuduBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidubaidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu adiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidubaidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiuaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiu baidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidubaidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu baidu baidubadiu baidub aidub adiu baidu bai dubaid ubadiuBaiduba idu badiubaidubaidubaidu赠送—高中数学知识点【1.2.1】函数的概念（1）函数的概念①设A、B是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中任何一个数x，f x和它对应，那么这样的对应（包括集合A，B以及在集合B中都有唯一确定的数()A到B的对应法则f）叫做集合A到B的一个函数，记作:f A B．②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数．（2）区间的概念及表示法①设,a b 是两个实数，且a b ，满足a x b 的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a xb 的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足ax b ，或a x b的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a xa xb x b 的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b ．注意：对于集合{|}x a xb 与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须a b ，（前者可以不成立，为空集；而后者必须成立）．（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①()f x 是整式时，定义域是全体实数．②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1．⑤tan yx 中，()2xkk Z ．⑥零（负）指数幂的底数不能为零．⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b 解出．⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论．⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．（4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值．③判别式法：若函数()y f x 可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程2()()()0a y xb y xc y ，则在()0a y 时，由于,x y 为实数，故必须有2()4()()0b y a y c y ，从而确定函数的值域或最值．④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题．⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值．⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值．⑧函数的单调性法．【1.2.2】函数的表示法（5）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系．（6）映射的概念①设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A，B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到B的映射，记作:f A B．a Ab B．如果元素a和元素b对应，那么②给定一个集合A到集合B的映射，且,我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象．。

2016-2017学年湖南省长沙市长郡中学高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．（3分）复数i（2﹣i）=（）A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i 2．（3分）设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则￢p为（）A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2=2n3．（3分）设平面α的法向量为（1，﹣2，2），平面β的法向量为（2，λ，4），若α∥β，则λ=（）A．2B．4C．﹣2D．﹣44．（3分）下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y=±2x的是（）A．x2﹣=1B．﹣y2=1C．﹣x2=1D．y2﹣=15．（3分）“α=”是“sinα=”的（）A．充分必要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件6．（3分）曲线=1与曲线=1（k＜9）的（）A．长轴长相等B．短轴长相等C．离心率相等D．焦距相等7．（3分）若A，B为互斥事件，则（）A．P（A）+P（B）＜1B．P（A）+P（B）＞1C．P（A）+P（B）=1D．P（A）+P（B）≤18．（3分）已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（）A．3B．2C．1D．9．（3分）如图是2016年在长郡中学高二年级矩形的演讲比赛中，七位评委为第一位演讲者打出的分数的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（）A．84，4.84B．84，1.6C．85，1.6D．85，4 10．（3分）函数：f（x）=3+xlnx的单调递增区间是（）A．（0，）B．.（e，+∞）C．（，+∞）D．（，e）11．（3分）已知双曲线与抛物线y2=8x有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为P，若|PF|=5，则双曲线的虚轴为（）A．1B．2C．D．12．（3分）已知函数f（x）=x（x﹣c）2在x=2处取得极大值，则c的值为（）A．﹣6B．6C．4D．﹣413．（3分）在区间[﹣1，1]上随机取一个数x，使cos的值介于到1之间的概率为（）A．B．C．D．14．（3分）如图所示，A，B，C是双曲线=1（a＞0，b＞0）上的三个点，AB经过原点O，AC经过右焦点F，若BF⊥AC且|BF|=|CF|，则该双曲线的离心率是（）A．B．C．D．315．（3分）已知函数f（x）=a（x﹣）﹣2lnx（a∈R），g（x）=﹣，若至少存在一个x0∈[1，e]，使得f（x0）＞g（x0）成立，则实数a的范围为（）A．[1，+∞）B．（1，+∞）C．[0，+∞）D．（0，+∞）二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.16．（3分）（x+cosx）dx=．17．（3分）某市有大型超市200家、中型超市400家、小型超市1400家．为掌握各类超市的营业情况，现按分层抽样方法抽取一个容量为100的样本，应抽取中型超市家．18．（3分）已知点A（x1，a x1），B（x2，a x2）是函数y=a x（a＞1）的图象上任意不同两点，依据图象可知，线段AB总是位于A、B两点之间函数图象的上方，因此有结论成立．运用类比思想方法可知，若点A（x1，sinx1），B（x2，sinx2）是函数y=sinx（x∈（0，π））的图象上任意不同两点，则类似地有成立．19．（3分）已知函数f（x）=x+lnx+cosx，若f（x2﹣4）≤f（3x），则实数x的取值范围为．20．（3分）设抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，已知A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=60°，过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为．三、解答题：本大题共5小题，共40分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.21．（8分）在数列{a n}中，a1=1，当n≥2时，．（1）求a2，a3，a4；（2）猜想数列{a n}的通项a n，并证明你的结论．22．（8分）已知m＞0，p：（x+2）（x﹣6）≤0，q：2﹣m≤x≤2+m．（1）若p是q的充分不必要条件，求实数的取值范围；（2）若m=5，“p∧q”为真命题，“p∨q”为假命题，求实数x的取值范围．23．（8分）在如图所示的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC=2AD=4，EF=3，AE=BE=2，G是BC的中点．（1）求证：BD⊥EG；（2）求平面DEG与平面DEF所成锐二面角的余弦值．24．（8分）已知椭圆的离心率为，且椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2满足|PF1|+|PF2|=4．（1）求椭圆M的方程；（2）设直线l与椭圆M交于A，B两点，且以线段AB为直径的圆过椭圆的右顶点C，求△ABC面积的最大值．25．（8分）已知函数．（1）若f（1）=0，求函数f（x）的单调递减区间；（2）若关于x的不等式f（x）≤ax﹣1恒成立，求整数a的最小值．2016-2017学年湖南省长沙市长郡中学高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．（3分）复数i（2﹣i）=（）A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i【解答】解：原式=2i﹣i2=2i﹣（﹣1）=1+2i；故选：A．2．（3分）设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则￢p为（）A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2=2n【解答】解：命题的否定是：∀n∈N，n2≤2n，故选：C．3．（3分）设平面α的法向量为（1，﹣2，2），平面β的法向量为（2，λ，4），若α∥β，则λ=（）A．2B．4C．﹣2D．﹣4【解答】解：∵平面α的法向量为（1，﹣2，2），平面β的法向量为（2，λ，4），α∥β，∴，解得λ=﹣4．故选：D．4．（3分）下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y=±2x的是（）A．x2﹣=1B．﹣y2=1C．﹣x2=1D．y2﹣=1【解答】解：由A可得焦点在x轴上，不符合条件；由B可得焦点在x轴上，不符合条件；由C可得焦点在y轴上，渐近线方程为y=±2x，符合条件；由D可得焦点在y轴上，渐近线方程为y=x，不符合条件．故选：C．5．（3分）“α=”是“sinα=”的（）A．充分必要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵α=，∴sinα=，但sinα=，α可以等于2π+；故是充分不必要条件，故选：B．6．（3分）曲线=1与曲线=1（k＜9）的（）A．长轴长相等B．短轴长相等C．离心率相等D．焦距相等【解答】解：曲线=1表示焦点在x轴上，长轴长为10，短轴长为6，离心率为，焦距为8．曲线=1（k＜9）表示焦点在x轴上，长轴长为2，短轴长为2，离心率为，焦距为8．对照选项，则D正确．故选：D．7．（3分）若A，B为互斥事件，则（）A．P（A）+P（B）＜1B．P（A）+P（B）＞1C．P（A）+P（B）=1D．P（A）+P（B）≤1【解答】解：由已知中A，B为互斥事件，由互斥事件概率加法公式可得：P（A）+P（B）≤1当A，B为对立事件时，P（A）+P（B）=1故选：D．8．（3分）已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（）A．3B．2C．1D．【解答】解：设切点的横坐标为（x0，y0）∵曲线的一条切线的斜率为，∴y′=﹣=，解得x0=3或x0=﹣2（舍去，不符合题意），即切点的横坐标为3故选：A．9．（3分）如图是2016年在长郡中学高二年级矩形的演讲比赛中，七位评委为第一位演讲者打出的分数的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（）A．84，4.84B．84，1.6C．85，1.6D．85，4【解答】解：根据茎叶图中的数据，去掉一个最高分93和一个最低分79后，所剩数据的平均数为=×（84+84+86+84+87）=85，方差为s2=×[（84﹣85）2×3+（86﹣85）2+（87﹣85）2]=1.6．故选：C．10．（3分）函数：f（x）=3+xlnx的单调递增区间是（）A．（0，）B．.（e，+∞）C．（，+∞）D．（，e）【解答】解：由函数f（x）=3+xlnx得：f（x）=lnx+1，令f′（x）=lnx+1＞0即lnx＞﹣1=ln ，根据e＞1得到此对数函数为增函数，所以得到，即为函数的单调递增区间．故选：C．11．（3分）已知双曲线与抛物线y2=8x有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为P，若|PF|=5，则双曲线的虚轴为（）A．1B．2C．D．【解答】解：抛物线y2=8x的焦点坐标为（2，0），准线方程为直线x=﹣2，∵双曲线与抛物线y2=8x有一个公共的焦点F，∴双曲线的右焦点坐标为F（2，0），∴双曲线的左焦点坐标为F′（﹣2，0），∵|PF|=5，∴点P的横坐标为3，代入抛物线y2=8x，y=±2，不妨设P（3，2），∴根据双曲线的定义，|PF'|﹣|PF|=2a 得出﹣=2a，∴a=1，∵c=2，∴b=，∴双曲线的虚轴长为：2．故选：D．12．（3分）已知函数f（x）=x（x﹣c）2在x=2处取得极大值，则c的值为（）A．﹣6B．6C．4D．﹣4【解答】解：f′（x）=（x﹣c）2+2x（x﹣c），f′（2）=（2﹣c）2+2×2（2﹣c）=0，解得c=6或2．验证知当c=2时，函数在x=2处有极小值，舍去，故c=6，故选：B．13．（3分）在区间[﹣1，1]上随机取一个数x，使cos的值介于到1之间的概率为（）A．B．C．D．【解答】解答：解：在区间[﹣1，1]上随机取一个数x，即x∈[﹣1，1]时，要使的值介于到1之间，需使，∴，区间长度为1，由几何概型知的值介于到1之间的概率为故选：B．14．（3分）如图所示，A，B，C是双曲线=1（a＞0，b＞0）上的三个点，AB经过原点O，AC经过右焦点F，若BF⊥AC且|BF|=|CF|，则该双曲线的离心率是（）A．B．C．D．3【解答】解：由题意可得在直角三角形ABF中，OF为斜边AB上的中线，即有|AB|=2|OA|=2|OF|=2c，设A（m，n），则m2+n2=c2，又﹣=1，解得m=，n=，即有A（，），B（﹣，﹣），又F（c，0），由于BF⊥AC且|BF|=|CF|，可设C（x，y），即有•=﹣1，又（c+）2+（）2=（x﹣c）2+y2，可得x=，y=﹣，将C（，﹣）代入双曲线方程，可得﹣=1，化简可得（b2﹣a2）=a3，由b2=c2﹣a2，e=，可得（2e2﹣1）（e2﹣2）2=1，对照选项，代入检验可得e=成立．另解：设双曲线的另一个焦点为E，令|BF|=|CF|=|AE|=m，|AF|=n，由双曲线的定义有，|CE|﹣|CF|=|AE|﹣|AF|=2a，在直角三角形EAC中，m2+（m+n）2=（m+2a）2，代入2a=m﹣n，化简可得m=3n，又m﹣n=2a得n=a，m=3a，在直角三角形EAF中，m2+n2=（2c）2，即为9a2+a2=4c2，可得e==．故选：A．15．（3分）已知函数f（x）=a（x﹣）﹣2lnx（a∈R），g（x）=﹣，若至少存在一个x0∈[1，e]，使得f（x0）＞g（x0）成立，则实数a的范围为（）A．[1，+∞）B．（1，+∞）C．[0，+∞）D．（0，+∞）【解答】解：若至少存在一个x0∈[1，e]，使得f（x0）＞g（x0）成立，即f（x）﹣g（x）＞0在x∈[1，e]时有解，设F（x）=f（x）﹣g（x）=a（x﹣）﹣2lnx+=ax﹣2lnx＞0有解，x∈[1，e]，即a，则F′（x）=，当x∈[1，e]时，F′（x）=≥0，∴F（x）在[1，e]上单调递增，即F min（x）=F（1）=0，因此a＞0即可．故选：D．二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.16．（3分）（x+cosx）dx=2．【解答】解：∵（x2++sinx）′=x+cosx，∴（x+cosx）dx=（x2+sinx）=2．故答案为：2．17．（3分）某市有大型超市200家、中型超市400家、小型超市1400家．为掌握各类超市的营业情况，现按分层抽样方法抽取一个容量为100的样本，应抽取中型超市20家．【解答】解：∵大型超市200家、中型超市400家、小型超市1400家，∴共有超市200+400+1400=2000，∵按分层抽样方法抽取一个容量为100的样本，∴每个个体被抽到的概率是，∴中型超市要抽取400×=20家，故答案为：20．18．（3分）已知点A（x1，a x1），B（x2，a x2）是函数y=a x（a＞1）的图象上任意不同两点，依据图象可知，线段AB总是位于A、B两点之间函数图象的上方，因此有结论成立．运用类比思想方法可知，若点A（x1，sinx1），B（x2，sinx2）是函数y=sinx（x∈（0，π））的图象上任意不同两点，则类似地有成立．【解答】解：由题意知，点A、B是函数y=a x（a＞1）的图象上任意不同两点，函数是变化率逐渐变大的函数，线段AB总是位于A、B两点之间函数图象的上方，因此有结成立；而函数y=sinx（x∈（0，π））其变化率逐渐变小，线段AB总是位于A、B两点之间函数图象的下方，故可类比得到结论．故答案为：．19．（3分）已知函数f（x）=x+lnx+cosx，若f（x2﹣4）≤f（3x），则实数x的取值范围为（2，4] ．【解答】解：根据题意，函数f（x）=x+lnx+cosx，其定义域为（0，+∞），其导数f′（x）=1+﹣sinx＞0，则函数f（x）为（0，+∞）上的增函数，若f（x2﹣4）≤f（3x），必有，解可得2＜x≤4，即x的取值范围为（2，4]；故答案为：（2，4]．20．（3分）设抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，已知A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=60°，过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为1．【解答】解：设|AF|=a，|BF|=b，由抛物线定义，得|AF|=|AQ|，|BF|=|BP|在梯形ABPQ中，∴2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．由余弦定理得，|AB|2=a2+b2﹣2abcos60°=a2+b2﹣ab配方得，|AB|2=（a+b）2﹣3ab，又∵ab≤（）2，∴（a+b）2﹣3ab≥（a+b）2﹣（a+b）2=（a+b）2得到|AB|≥（a+b）．∴≤1，即的最大值为1．故答案为：1三、解答题：本大题共5小题，共40分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.21．（8分）在数列{a n}中，a1=1，当n≥2时，．（1）求a2，a3，a4；（2）猜想数列{a n}的通项a n，并证明你的结论．【解答】解：（1）当n≥2时，a1=1，由a n=得∴a2=，a3=，a4=，（2）猜想：a n=，①当n=1时，猜想成立，②假设当n=k时，猜想成立，即a k=，===，那么当n=k+1时，a k+1∴当n=k+1时猜想成立，由①②可得，对任意n∈N*，a n=都成立．22．（8分）已知m＞0，p：（x+2）（x﹣6）≤0，q：2﹣m≤x≤2+m．（1）若p是q的充分不必要条件，求实数的取值范围；（2）若m=5，“p∧q”为真命题，“p∨q”为假命题，求实数x的取值范围．【解答】解：p：﹣2≤x≤6．（1）∵p是q的充分不必要条件，∴[﹣2，6]是[2﹣m，2+m]的真子集∴，解得m≥4，当m=4时，q为[﹣2，6]，不合题意，故舍去∴实数m的取值范围是（4，+∞）．（2）当m=5时，q：﹣3≤x≤7．据题意有，p与q一真一假p真q假时，由，解得x∈∅p假q真时，由，解得﹣3≤x＜2或6＜x≤7，∴实数x的取值范围为[﹣3，﹣2）∪（6，7]．23．（8分）在如图所示的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC=2AD=4，EF=3，AE=BE=2，G是BC的中点．（1）求证：BD⊥EG；（2）求平面DEG与平面DEF所成锐二面角的余弦值．【解答】解法1（1）证明：∵EF⊥平面AEB，AE⊂平面AEB，∴EF⊥AE，又AE⊥EB，EB∩EF=E，EB，EF⊂平面BCFE，∴AE⊥平面BCFE．…（2分）过D作DH∥AE交EF于H，则DH⊥平面BCFE．∵EG⊂平面BCFE，∴DH⊥EG．…（4分）∵AD∥EF，DH∥AE，∴四边形AEHD平行四边形，∴EH=AD=2，∴EH=BG=2，又EH∥BG，EH⊥BE，∴四边形BGHE为正方形，∴BH⊥EG，…（6分）又BH∩DH=H，BH⊂平面BHD，DH⊂平面BHD，∴EG⊥平面BHD．…（7分）∵BD⊂平面BHD，∴BD⊥EG．…（8分）（2）解：∵AE⊥平面BCFE，AE⊂平面AEFD，∴平面AEFD⊥平面BCFE由（1）可知GH⊥EF，∴GH⊥平面AEFD∵DE⊂平面AEFD，∴GH⊥DE…（9分）取DE的中点M，连接MH，MG∵四边形AEHD是正方形，∴MH⊥DE∵MH∩GH=H，MH⊂平面GHM，GH⊂平面GHM，∴DE⊥平面GHM，∴DE⊥MG∴∠GMH是二面角G﹣DE﹣F的平面角，…（12分）在△GMH中，，∴…（13分）∴平面DEG与平面DEF所成锐二面角的余弦值为．…（14分）解法2（1）证明：∵EF⊥平面AEB，AE⊂平面AEB，BE⊂平面AEB，∴EF⊥AE，EF⊥BE，又AE⊥EB，∴EB，EF，EA两两垂直．…（2分）以点E为坐标原点，EB，EF，EA分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．由已知得，A（0，0，2），B（2，0，0），C（2，4，0），F（0，3，0），D（0，2，2），G（2，2，0）．…（4分）∴，，…（6分）∴，…（7分）∴BD⊥EG．…（8分）（2）解：由已知得是平面DEF的法向量．…（9分）设平面DEG的法向量为，∵，∴，即，令x=1，得．…（12分）设平面DEG与平面DEF所成锐二面角的大小为θ，则…（13分）∴平面DEG与平面DEF所成锐二面角的余弦值为．…（14分）24．（8分）已知椭圆的离心率为，且椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2满足|PF1|+|PF2|=4．（1）求椭圆M的方程；（2）设直线l与椭圆M交于A，B两点，且以线段AB为直径的圆过椭圆的右顶点C，求△ABC面积的最大值．【解答】解：（1）∵椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2满足|PF1|+|PF2|=4∴2a=4，∵离心率e=，∴a=2，c=，∴b=1故椭圆M的方程为：．（2）不妨设直线AB的方程x=ky+m．由，消去x得（k2+4）y2+2kmy+m2﹣4=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则有，…①为以AB为直径的圆过点C，所以．，得（x1﹣2）（x2﹣2）+y1y2=0，x1=ky1+m，x2=ky2+m代入上式，得（k2+1）y1y2+k（m﹣2）（y1+y2）+（m﹣2）2=0…②．由①②得m=，或m=2（舍去）∴，直线AB过定点D（，0）△ABC的面积s=DC|y1﹣y2|==令t=，0，△ABC面积s=当t=时，△ABC面积的最大值为25．（8分）已知函数．（1）若f（1）=0，求函数f（x）的单调递减区间；（2）若关于x的不等式f（x）≤ax﹣1恒成立，求整数a的最小值．【解答】解：（1）∵f（1）=1﹣=0，解得：a=2，此时f（x）=lnx﹣x2+x，（x＞0），f′（x）=﹣2x+1=，（x＞0），由f′（x）＜0，得2x2﹣x﹣1＞0，又x＞0，∴x＞1，∴f（x）的递减区间是（1，+∞）；（2）令g（x）=f（x）﹣（ax﹣1）=lnx﹣ax2+（1﹣a）x+1，（x＞0），∴g′（x）=﹣ax+（1﹣a）=，（x＞0），当a≤0时，∵x＞0，∴g′（x）＞0，∴g（x）在（0，+∞）递增，又∵g（1）=﹣a+2＞0，∴关于x的不等式f（x）不恒成立，当a＞0时，g′（x）=﹣ax+（1﹣a）=﹣，令g′（x）=0，解得：x=，∴当x∈（0，）时，g′（x）＞0，当x∈（，+∞）时，g′（x）＜0，∴g（x）在（0，）上是增函数，在（，+∞）递减，∴g（x）在最大值是g（）=﹣lna，令h （a ）=﹣lna ，∵h （1）=＞0，h （2）=﹣ln2＜0，又∵h （a ）在a ∈（0，+∞）递减， ∴a ≥2时，h （a ）＜0， ∴整数a 的最小值是2．赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=0)(>k f k x y1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f②x 1≤x 2＜k ⇔③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2>k f ab x 2-=xy1x 2x O∙<a 1k ∙2k 0)(1<k f 0)(2<k f ab x 2-=⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2<k fxy1x 2x O∙<a 1k∙2k 0)(1>k f 0)(2<k f⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值 设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =第21页（共22页）①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．x>O-=f(p)f (q)()2bf a-0x x>O-=f(p) f(q)()2b f a-0x x<O-=f (p) f (q) ()2bf a-x<O-=f (p)f(q)()2b f a-x<O-=f (p)f(q)()2bf a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x第22页（共22页）。

2015-2016学年湖南省长沙市长郡中学高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（共15小题，每小题3分，共45分）1．已知命题p：若x2+y2=0，则x、y全为0；命题q：若a＞b，则．给出下列四个复合命题：①p且q，②p或q，③¬p④¬q，其中真命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．42．若A，B为互斥事件，则（）A．P（A）+P（B）＜1 B．P（A）+P（B）＞1 C．P（A）+P（B）=1 D．P（A）+P（B）≤13．已知椭圆上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离（）A．2 B．3 C．5 D．74．同时掷3枚硬币，至少有1枚正面向上的概率是（）A．B．C．D．5．变量X与Y相对应的一组数据为（10，1），（11.3，2），（11.8，3），（12.5，4），（13，5），变量U与V相对应的一组数据为（10，5），（11.3，4），（11.8，3），（12.5，2），（13，1）．r1表示变量Y与X之间的线性相关系数，r2表示变量V与U之间的线性相关系数，则（）A．r2＜r1＜0 B．0＜r2＜r1 C．r2＜0＜r1 D．r2=r16．双曲线kx2+5y2=5的一个焦点是（0，2），则k等于（）A．B．﹣C． D．﹣7．抛物线y=4x2的准线方程为（）A．y=﹣B．y=C．y=D．y=﹣8．命题“若x2＜4，则﹣2＜x＜2”的逆否命题是（）A．若x2≥4，则x≥2或x≤﹣2 B．若﹣2＜x＜2，则x2＜4C．若x＞2或x＜﹣2，则x2＞4 D．若x≥2，或x≤﹣2，则x2≥49．“a=+2kπ（k∈Z）”是“cos2a=”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件10．点A，B的坐标分别是（﹣5，0），（5，0），直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是，则点M的轨迹方程是（）A．B．C．D．11．若在双曲线的右支上到原点和右焦点距离相等的点有两个，则双曲线的离心率的取值范围是（）A．B．C．e＞2 D．1＜e＜212．ABCD为长方形，AB=2，BC=1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为（）A．B．C．D．13．设椭圆C： =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为（）A．B．C．D．14．经过双曲线上任一点M作平行于实轴的直线，与渐近线交于P、Q两点，则|MP|•|MQ|为定值，其值为（）A．a2B．b2C．c2D．ab15．曲线C1：y2=2px（p＞0）的焦点F恰好是曲线C2：（a＞0，b＞0）的右焦点，且曲线C1与曲线C2交点连线过点F，则曲线C2的离心率是（）A．B．C．D．二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）16．抛物线y2=4px（p＞0）上一点M到焦点的距离是a（a＞p），则点M的横坐标是．17．给出以下命题：①∀x∈R，有x4＞x2；②∃α∈R，使得sin3α=3sinα；③∃a∈R，对∀x∈R 使x2+2x+a＜0．其中真命题的序号是．18．观察新生婴儿的体重，其频率分布直方图如图：则新生婴儿体重在（2700，3000）的频率为．19．将参加数学竞赛的1000名学生编号如下：0001，0002，0003，...，1000，打算从中抽取一个容量为50的样本，按系统抽样的办法分成50个部分．如果第一部分编号为0001，0002， (0020)从中随机抽取一个号码为0015，则第40个号码为．20．椭圆的焦点为F1，F2，点P是椭圆上的动点，当∠F1PF2为钝角时，点P的横坐标的取值范围是．三、解答题（共5小题，每题8分，共40分）21．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入x i（单位：千元）与月储蓄y i（单位：千元）的数据资料，算得，，，．（Ⅰ）求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程y=bx+a；（Ⅱ）判断变量x与y之间是正相关还是负相关；（Ⅲ）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．附：线性回归方程y=bx+a中，，，其中，为样本平均值，线性回归方程也可写为．22．已知p：|1﹣|≤2，q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0）．若“非p”是“非q”的必要而不充分条件，求实数m的取值范围．23．已知关于x的一元二次函数f（x）=ax2﹣4bx+1．（1）设集合P={1，2，3}和Q={﹣1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率；（2）设点（a，b）是区域内的随机点，记A={y=f（x）有两个零点，其中一个大于1，另一个小于1}，求事件A发生的概率．24．如图，已知直线与抛物线y2=2px（p＞0）交于A、B两点，且OA⊥OB，OD⊥AB交AB于点D，点D的坐标为（2，1）．（1）求AB直线方程；（2）求p的值．25．如图，已知中心在原点且焦点在x轴上的椭圆E经过点A（3，1），离心率．（1）求椭圆E的方程；（2）过点A且斜率为1的直线交椭圆E于A、C两点，过原点O与AC垂直的直线交椭圆E于B、D 两点，求证A、B、C、D四点在同一个圆上．2015-2016学年湖南省长沙市长郡中学高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共15小题，每小题3分，共45分）1．已知命题p：若x2+y2=0，则x、y全为0；命题q：若a＞b，则．给出下列四个复合命题：①p且q，②p或q，③¬p④¬q，其中真命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】复合命题的真假．【专题】阅读型．【分析】利用实数的性质及不等式的基本性质，我们易判断出命题p与命题q的真假，进而根据复合命题的真值表，对题目中的四个命题逐一进行判断，即可得到答案．【解答】解：若x2+y2=0，根据实数的性质得，a=b=0，即x、y全为0，则命题p为真命题；若a＞0＞b，则，即命题q：若a＞b，则．为假命题；故：①p且q为假命题，②p或q为真命题，③¬p为假命题，④¬q为真命题，故选B【点评】本题考查的知识点是复合命题的真假，其中根据实数的性质及不等式的基本性质，判断出命题p与命题q的真假，是解答本题的关键．2．若A，B为互斥事件，则（）A．P（A）+P（B）＜1 B．P（A）+P（B）＞1 C．P（A）+P（B）=1 D．P（A）+P（B）≤1【考点】互斥事件的概率加法公式．【专题】阅读型．【分析】由已知中，A，B为互斥事件，则A∪B为随机事件，当A，B为对立事件时，A∪B为必然事件，根据随机事件及对立事件的概率我们易得到结论．【解答】解：由已知中A，B为互斥事件，由互斥事件概率加法公式可得：P（A）+P（B）≤1当A，B为对立事件时，P（A）+P（B）=1故选D【点评】本题考查的知识点是互斥事件概率加法公式，其中当A，B为对立事件时，A∪B为必然事件，概率为1，易被忽略而错选A．3．已知椭圆上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离（）A．2 B．3 C．5 D．7【考点】椭圆的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先根据条件求出a=5；再根据椭圆定义得到关于所求距离d的等式即可得到结论．【解答】解：设所求距离为d，由题得：a=5．根据椭圆的定义得：2a=3+d⇒d=2a﹣3=7．故选D．【点评】本题主要考查椭圆的定义．在解决涉及到圆锥曲线上的点与焦点之间的关系的问题中，圆锥曲线的定义往往是解题的突破口．4．同时掷3枚硬币，至少有1枚正面向上的概率是（）A．B．C．D．【考点】等可能事件的概率；互斥事件与对立事件．【专题】计算题．【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是将一枚硬币连续抛掷三次，共有23=8种结果，满足条件的事件的对立事件是三枚硬币都是正面，有1种结果，根据对立事件的概率公式得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是将一枚硬币连续抛掷三次共有23=8种结果，满足条件的事件的对立事件是三枚硬币都是正面，有1种结果，∴至少一次正面向上的概率是1﹣=，故选A．【点评】本题考查等可能事件的概率，本题解题的关键是对于比较复杂的事件求概率时，可以先求对立事件的概率，这样使得运算简单．5．变量X与Y相对应的一组数据为（10，1），（11.3，2），（11.8，3），（12.5，4），（13，5），变量U与V相对应的一组数据为（10，5），（11.3，4），（11.8，3），（12.5，2），（13，1）．r1表示变量Y与X之间的线性相关系数，r2表示变量V与U之间的线性相关系数，则（）A．r2＜r1＜0 B．0＜r2＜r1 C．r2＜0＜r1 D．r2=r1【考点】相关系数．【专题】计算题．【分析】求两组数据的相关系数的大小和正负，可以详细的解出这两组数据的相关系数，现分别求出两组数据的两个变量的平均数，利用相关系数的个数代入求出结果，进行比较．【解答】解：∵变量X与Y相对应的一组数据为（10，1），（11.3，2），（11.8，3），（12.5，4），（13，5），=11.72∴这组数据的相关系数是r=，变量U与V相对应的一组数据为（10，5），（11.3，4），（11.8，3），（12.5，2），（13，1），∴这组数据的相关系数是﹣0.3755，∴第一组数据的相关系数大于零，第二组数据的相关系数小于零，故选C．【点评】本题考查用相关系数来衡量两个变量之间相关关系，当相关系数为正时，表示两个变量正相关，也利用散点图判断两个变量之间是否有相关关系．6．双曲线kx2+5y2=5的一个焦点是（0，2），则k等于（）A．B．﹣C． D．﹣【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】双曲线kx2+5y2=5化为，可得a2，b2，利用c2=a2+b2即可得出．【解答】解：双曲线kx2+5y2=5化为，∴a2=1，b2=﹣．又∵双曲线的一个焦点坐标是（0，2），∴c=2．∵c2=a2+b2．∴4=1﹣，解得k=﹣．故选：B．【点评】本题考查了双曲线的标准方程及其性质，属于基础题．7．抛物线y=4x2的准线方程为（）A．y=﹣B．y=C．y=D．y=﹣【考点】抛物线的简单性质．【分析】先将抛物线化简为标准形式，进而可确定p的值，即可得到准线方程．【解答】解：由x2=y，∴p=．准线方程为y=﹣．故选D【点评】本题主要考查抛物线的基本性质．属基础题．8．命题“若x2＜4，则﹣2＜x＜2”的逆否命题是（）A．若x2≥4，则x≥2或x≤﹣2 B．若﹣2＜x＜2，则x2＜4C．若x＞2或x＜﹣2，则x2＞4 D．若x≥2，或x≤﹣2，则x2≥4【考点】四种命题间的逆否关系．【专题】常规题型．【分析】原命题“若p，则q”的逆否命题是“若￢q，则￢p”．【解答】解：命题“若x2＜4，则﹣2＜x＜2”的逆否命题是“若x≤﹣2，或x≥2，则x2≥4”；故选：D．【点评】本题考查了原命题与逆否命题之间的关系，是基础题．9．“a=+2kπ（k∈Z）”是“cos2a=”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；任意角的三角函数的定义；二倍角的余弦．【分析】本题主要考查三角函数的基本概念、简易逻辑中充要条件的判断．属于基础知识、基本运算的考查．将a=+2kπ代入cos2a易得cos2a=成立，但cos2a=时，a=+2kπ（k∈Z）却不一定成立，根据充要条件的定义，即可得到结论．【解答】解：当a=+2kπ（k∈Z）时，cos2a=cos（4kπ+）=cos=反之，当cos2a=时，有2a=2kπ+⇒a=kπ+（k∈Z），或2a=2kπ﹣⇒a=kπ﹣（k∈Z），故选A．【点评】判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q 为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．10．点A，B的坐标分别是（﹣5，0），（5，0），直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是，则点M的轨迹方程是（）A．B．C．D．【考点】轨迹方程．【专题】计算题；规律型；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设出点M的坐标，表示出直线AM、BM的斜率，进而求出它们的斜率之积，利用斜率之积是，建立方程，去掉不满足条件的点，即可得到点M的轨迹方程．【解答】解：设M（x，y），因为A（﹣5，0），B（5，0）所以k AM=（x≠﹣5），k BM=（x≠5）由已知， =化简，得4x2﹣9y2=100（x≠±5）即：．故选：C．【点评】本题重点考查轨迹方程的求解，解题的关键是正确表示出直线AM、BM的斜率，利用条件建立方程．11．若在双曲线的右支上到原点和右焦点距离相等的点有两个，则双曲线的离心率的取值范围是（）A．B．C．e＞2 D．1＜e＜2【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题．【分析】先设出双曲线右支任意一点坐标，根据到右焦点的距离和到中心的距离相等，利用两点间距离公式建立等式求得x，进而利用x的范围确定a和c的不等式关系，进而求得e的范围，同时根据双曲线的离心率等于2时，右支上只有一个点即顶点到中心和右焦点的距离相等，所以不能等于2，最后综合求得答案．【解答】解：设双曲线右支任意一点坐标为（x，y）则x≥a，∵到右焦点的距离和到中心的距离相等，由两点间距离公式：x2+y2=（x﹣c）2+y2得x=，∵x≥a，∴≥a，得e≥2，又∵双曲线的离心率等于2时，c=2a，此时右支上只有一个点即顶点到中心和右焦点的距离相等，所以不能等于2故选C．【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质．解题的关键是求得a和c的不等式关系，考查了学生转化和化归的思想．12．ABCD为长方形，AB=2，BC=1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【专题】计算题．【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出点到O的距离大于1的点对应的图形的面积，并将其和长方形面积一齐代入几何概型计算公式进行求解．【解答】解：已知如图所示：长方形面积为2，以O为圆心，1为半径作圆，在矩形内部的部分（半圆）面积为因此取到的点到O的距离大于1的概率P==1﹣故选B．【点评】几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．解决的步骤均为：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”N（A），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据P=求解．13．设椭圆C： =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设|PF2|=x，在直角三角形PF1F2中，依题意可求得|PF1|与|F1F2|，利用椭圆离心率的性质即可求得答案．【解答】解：|PF2|=x，∵PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，∴|PF1|=2x，|F1F2|=x，又|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c∴2a=3x，2c=x，∴C的离心率为：e==．故选D．【点评】本题考查椭圆的简单性质，求得|PF1|与|PF2|及|F1F2|是关键，考查理解与应用能力，属于中档题．14．经过双曲线上任一点M作平行于实轴的直线，与渐近线交于P、Q两点，则|MP|•|MQ|为定值，其值为（）A．a2B．b2C．c2D．ab【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；数形结合；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先设出点M的坐标，根据点M在双曲线上，得到；再根据条件求出P，Q 两点的坐标，代入|MP|•|MQ|整理即可求出结论．【解答】解：经过双曲线上任一点M作平行于实轴的直线，与渐近线交于P、Q两点，设M（x，y），则有：⇒①且P（﹣y，y），Q（y，y），∴=（﹣y﹣x，0），=（y﹣x，0）∴|MP|•|MQ|==（﹣y﹣x）•（y﹣x）+0=x2﹣y2=﹣y2=a2．故选：A．【点评】本题主要考查双曲线的基本性质以及向量的数量积，突出了对计算能力和综合运用知识能力的考查，属中档题．15．曲线C1：y2=2px（p＞0）的焦点F恰好是曲线C2：（a＞0，b＞0）的右焦点，且曲线C1与曲线C2交点连线过点F，则曲线C2的离心率是（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出抛物线的焦点，曲线C1与曲线C2交点连线MN过点F，由对称性可得，交线垂直于x轴，分别令x=c，x=，求得弦长，得到a，b，c的方程，再由离心率公式解方程即可得到．【解答】解：曲线C1：y2=2px（p＞0）的焦点F（，0），则双曲线的c=，曲线C1与曲线C2交点连线MN过点F，由对称性可得，交线垂直于x轴，令x=c，代入双曲线方程得，y2=b2（﹣1）=，解得，y=，则|MN|=，令x=，代入抛物线方程可得，y2=p2，即y=±p，则|MN|=2p，则2p=，即有b2=2ac=c2﹣a2，即有e2﹣2e﹣1=0，解得，e=1+．【点评】本题考查抛物线和双曲线的方程和性质，考查离心率的求法，考查运算能力，属于基础题．二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）16．抛物线y2=4px（p＞0）上一点M到焦点的距离是a（a＞p），则点M的横坐标是a﹣p ．【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题；转化思想；数学模型法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题意画出图形，利用抛物线的定义结合已知得答案．【解答】解：如图，由题意知|MF|=a（a＞p），∵抛物线y2=4px的准线方程为x=﹣p，由抛物线定义得x M+p=a，则x M=a﹣p．故答案为：a﹣p．【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查了抛物线的定义，是基础题．17．给出以下命题：①∀x∈R，有x4＞x2；②∃α∈R，使得sin3α=3sinα；③∃a∈R，对∀x∈R 使x2+2x+a＜0．其中真命题的序号是②．【考点】命题的真假判断与应用．【专题】证明题．【分析】命题的真假判断，逐一击破，全称命题为假，列举反例，存在性命题为真，列举一例即可．【解答】解：当x=1时，x4=x2，故①错误；当α=0时，sin3α=3sinα，故②正确；对于③由于抛物线开口向上，一定有函数值大于0，故③错误【点评】判断命题的真假，直接利用相关定义、定理、公理判断．有时可利用原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假这一关系进行转化判断．18．观察新生婴儿的体重，其频率分布直方图如图：则新生婴儿体重在（2700，3000）的频率为0.3 ．【考点】频率分布直方图．【专题】压轴题；图表型．【分析】观察频率分布直方图在（2700，3000）上的高，根据小长方形的面积=组距×，建立等式关系，解之即可．【解答】解：频率分布直方图：小长方形的面积=组距×，∴新生婴儿体重在（2700，3000）的频率为0.001×300=0.3故答案为：0.3【点评】频率分布直方图：小长方形的面积=组距×，各个矩形面积之和等于1，是解决频率分布直方图常用的结论，值得大家重视，属于基础题．19．将参加数学竞赛的1000名学生编号如下：0001，0002，0003，...，1000，打算从中抽取一个容量为50的样本，按系统抽样的办法分成50个部分．如果第一部分编号为0001，0002， (0020)从中随机抽取一个号码为0015，则第40个号码为0795 ．【考点】系统抽样方法．【专题】计算题．【分析】因为系统抽样是先将总体按样本容量分成k=段，再间隔k取一个，所以只需找到k的值，就可计算第40个号码为多少．【解答】解：∵系统抽样是先将总体按样本容量分成k=段，再间隔k取一个．又∵现在总体的个体数为1000，样本容量为50，∴k=20∴若第一个号码为0015，则第40个号码为0015+20×39=0795故答案为0795【点评】本题考查了抽样方法中的系统抽样，掌握系统抽样的规律．20．椭圆的焦点为F1，F2，点P是椭圆上的动点，当∠F1PF2为钝角时，点P的横坐标的取值范围是．【考点】椭圆的简单性质．【专题】方程思想；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设P（x，y），则，可得y2=4．由于∠F1PF2为钝角，可得＜0，解出即可．【解答】解：由椭圆的标准方程可得：a2=13，b=2，∴=3．F1（﹣3，0），F2（3，0）．设P（x，y），则，∴y2=4．∵∠F1PF2为钝角，∴=（x+3，y）•（x﹣3，y）=x2﹣9+y2＜0，∴x2﹣9+4＜0．化为x2，解得＜x＜．∴点P的横坐标的取值范围是，故答案为：．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、向量夹角公式与数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（共5小题，每题8分，共40分）21．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入x i（单位：千元）与月储蓄y i（单位：千元）的数据资料，算得，，，．（Ⅰ）求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程y=bx+a；（Ⅱ）判断变量x与y之间是正相关还是负相关；（Ⅲ）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．附：线性回归方程y=bx+a中，，，其中，为样本平均值，线性回归方程也可写为．【考点】线性回归方程．【专题】概率与统计．【分析】（Ⅰ）由题意可知n，，，进而可得，，代入可得b值，进而可得a值，可得方程；（Ⅱ）由回归方程x的系数b的正负可判；（Ⅲ）把x=7代入回归方程求其函数值即可．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知n=10， ===8， ===2，故l xx==720﹣10×82=80，l xy==184﹣10×8×2=24，故可得b=═=0.3，a==2﹣0.3×8=﹣0.4，故所求的回归方程为：y=0.3x﹣0.4；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知b=0.3＞0，即变量y随x的增加而增加，故x与y之间是正相关；（Ⅲ）把x=7代入回归方程可预测该家庭的月储蓄为y=0.3×7﹣0.4=1.7（千元）．【点评】本题考查线性回归方程的求解及应用，属基础题．22．已知p：|1﹣|≤2，q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0）．若“非p”是“非q”的必要而不充分条件，求实数m的取值范围．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式的解法；绝对值不等式的解法．【分析】思路一：“按题索骥”﹣﹣解不等式，求否命题，再根据充要条件的集合表示进行求解；思路二：本题也可以根据四种命题间的关系进行等价转换，然后再根据充要条件的集合表示进行求解．【解答】解：解法一：由p：|1﹣|≤2，解得﹣2≤x≤10，∴“非p”：A={x|x＞10或x＜﹣2}、由q：x2﹣2x+1﹣m2≤0，解得1﹣m≤x≤1+m（m＞0）∴“非q”：B={x|x＞1+m或x＜1﹣m，m＞0=由“非p”是“非q”的必要而不充分条件可知：B⊆A.解得m≥9．∴满足条件的m的取值范围为{m|m≥9}．解法二：由“非p”是“非q”的必要而不充分条件．即“非q”⇒“非p”，但“非p”“非q”，可以等价转换为它的逆否命题：“p⇒q，但q p”．即p是q的充分而不必要条件．由|1﹣|≤2，解得﹣2≤x≤10，∴p={x|﹣2≤x≤10}由x2﹣2x+1﹣m2≤0，解得1﹣m≤x≤1+m（m＞0）∴q={x|1﹣m≤x≤1+m，m＞0}由p是q的充分而不必要条件可知：p⊆q⇔解得m≥9．∴满足条件的m的取值范围为{m|m≥9}．【点评】本题考查了绝对值不等式与一元二次不等式的解法，又考了命题间的关系的理解；两个知识点的简单结合构成了一道难度不太大但是要么得分不高，要么因为这道题导致整张卷子答不完，所以对于此类问题要平时加强计算能力的培养．23．已知关于x的一元二次函数f（x）=ax2﹣4bx+1．（1）设集合P={1，2，3}和Q={﹣1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率；（2）设点（a，b）是区域内的随机点，记A={y=f（x）有两个零点，其中一个大于1，另一个小于1}，求事件A发生的概率．【考点】几何概型；古典概型及其概率计算公式．【专题】计算题．【分析】（1）确定基本事件总数，求出函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数对应的事件数，利用古典概型概率的计算公式，即可得到结论；（2）以面积为测度，计算试验的全部结果所构成的区域的面积及事件A构成的区域的面积，利用公式可得结论．【解答】解：（1）∵函数f（x）=ax2﹣4bx+1的图象的对称轴为，要使f（x）=ax2﹣4bx+1在区间[1，+∞）上为增函数，当且仅当a＞0且…若a=1则b=﹣1，若a=2则b=﹣1，1若a=3则b=﹣1，1…记B={函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数}，则事件B包含基本事件的个数是1+2+2=5，∴…（2）依条件可知试验的全部结果所构成的区域为，其面积…事件A构成的区域：由，得交点坐标为，…∴，∴事件A发生的概率为…【点评】本题考查概率的计算，明确概率的类型，正确运用公式是关键．24．如图，已知直线与抛物线y2=2px（p＞0）交于A、B两点，且OA⊥O B，OD⊥AB交AB于点D，点D的坐标为（2，1）．（1）求AB直线方程；（2）求p的值．【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）由D的坐标求出OD所在直线的斜率，进一步得到AB所在直线的斜率，由直线方程的点斜式得答案；（2）设出A，B的坐标，由OA⊥OB得到A，B横纵坐标的关系，联立直线方程和抛物线方程，化为关于y的方程后利用根与系数的关系求解．【解答】解：（1）∵点D的坐标为（2，1），∴，又AB⊥OD，且AB过D（2，1），∴AB：y﹣1=﹣2（x﹣2），整理得：2x+y﹣5=0；（2）设点A的坐标（x1，y1），点B的坐标（x2，y2），由OA⊥OB得：x1x2+y1y2=0，由（1）知AB的直线方程为y=﹣2x+5∴y1y2﹣（y1+y2）+5=0，①联立y=﹣2x+5与y2=2px，消去x得：y2+py﹣5p=0，y1+y2=﹣p，y1y2=﹣5p，②把②代入解得，经检验满足△＞0．∴p=．【点评】本题主要考查了抛物线的应用，平面解析式的基础知识．考查了考生的基础知识的综合运用和知识迁移的能力．是中档题．25．如图，已知中心在原点且焦点在x轴上的椭圆E经过点A（3，1），离心率．（1）求椭圆E的方程；（2）过点A且斜率为1的直线交椭圆E于A、C两点，过原点O与AC垂直的直线交椭圆E于B、D 两点，求证A、B、C、D四点在同一个圆上．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）设出椭圆的方程，利用椭圆E经过点A（3，1），离心率，可求椭圆的几何量，从而可得椭圆E的方程；（2）确定B，C，D的坐标，求出过这三点的圆，验证A满足方程即可．【解答】（1）解：设椭圆方程为（a＞b＞0），因为离心率，所以a2=3b2，…所以椭圆方程为，又因为经过点A（3，1），则，…所以b2=4，所以a2=12，属于椭圆的方程为．…（2）证明：直线AC的方程为y=x﹣2，与椭圆方程联立，可得x2﹣3x=0，∴x=0或x=3，∴C（0，﹣2）直线BD的方程为y=﹣x，与椭圆方程联立，可得x2=3，∴x=，∴B（），D（）设经过B，C，D三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则有∴D=﹣1，E=﹣1，F=﹣6，∴圆的方程为x2+y2﹣x﹣y﹣6=0，∵点A（3，1）也适合，∴A（3，1）在圆上，∴A、B、C、D四点在同一个圆上．【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查圆的方程，考查学生的计算能力，属于中档题．。

湖南省长沙市长郡中学2016-2017学年高二第一次模块检测数学（文）试题第Ⅰ卷（共45分）一、选择题：本大题共15个小题,每小题3分,共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 要完成下列两项调查:（1）某社区有100户高收入家庭，210户中等收入家庭，90户低收入家庭，从中抽取100户调查消费购买力的某项指标；(2)从某中学高二年级的10名体育特长生中抽取3人调查学习负担情况，应采取的抽样方法是（）A. (1)用系统抽样法，(2)用简单随机抽样法B. (1)用分层抽样法,(2)用系统袖样法C. (1)用分层抽样法，(2)用简单随机抽样法D. (1)(2)都用分层抽样法【答案】C2. 某校共有1200名学生，现采用分层抽样方法抽取一个容量为 200的样本进行健康状况调查，若抽到男生比女生多10人，则该校男生共有（）A. 700名B. 600名C. 630名D. 610名【答案】C【解析】试题分析：设样本中男生、女生各为错误！未找到引用源。

人，则错误！未找到引用源。

该校男生共有错误！未找到引用源。

人，故选C.3. 利用系统抽样从含有45个个体的总体中抽取一个容量为10的样本，则总体中每个个体被抽到的可能性是（）A. 错误！未找到引用源。

B. 错误！未找到引用源。

C. 错误！未找到引用源。

D. 与第几次被抽取有关【答案】B【解析】由题设就是求概率是多少.事实上从45个个体中抽取10个的概率是错误！未找到引用源。

，故应选B.4. 在如图所示的“茎叶图”表示的数据中，众数利中位数分别（）A. 23与26B. 31与26C. 24与30D. 26与30【答案】B5. 从编号为001，002，…，500的500个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中编号最小的两个编号分别为007，032，则样本中最大的编号应该为（）A. 480B. 481C. 482D. 483【答案】C【解析】试题分析：∵样本中编号最小的两个编号分别为错误！未找到引用源。

湖南省长沙市高二上学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2017高二上·陆川开学考) 一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是（）A . 1B . 2C . 3D . 42. （2分） (2016高一上·东莞期末) 一梯形的直观图是如图是欧式的等腰梯形，且直观图OA′B′C′的面积为2，则原梯形的面积为（）A . 2B . 2D . 43. （2分）“a=﹣1”是“直线a2x﹣y+6=0与直线4x﹣（a﹣3）y+9=0互相垂直”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件4. （2分）已知某几何题的三视图如图所示，其中俯视图中圆的直径为4，该几何体的体积V1 ，直径为4的球的体积为V2 ，则V1:V2=（）A . 1:2B . 2:1C . 1:1D . 1:45. （2分） (2019高二下·哈尔滨月考) 设曲线C的参数方程为 ,直线的方程为 ,则曲线上到直线的距离为4的点的个数为（）A . 1B . 2C . 36. （2分）(2012·湖南理) 已知两条直线l1：y=m和l2：y= （m＞0），l1与函数y=|log2x|的图象从左至右相交于点A，B，l2与函数y=|log2x|的图象从左至右相交于点C，D．记线段AC和BD在X轴上的投影长度分别为a，b，当m变化时，的最小值为（）A . 16B . 8C . 8D . 47. （2分） (2019高二上·辽宁月考) 已知直线与圆：相交于，两点，若为正三角形，则实数的值为（）A .B .C . 或D . 或8. （2分） (2017高二下·呼伦贝尔开学考) 下列命题错误的是（）A . 命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实数根”的逆否命题是“若方程x2+x﹣m=0没有实数根，则m≤0”B . “x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件C . 命题“若xy=0，则x，y中至少有一个为0”的否命题是“若xy≠0，则x，y中至多有一个为0”D . 对于命题p：∃x∈R，使x2+x+1＜0；则￢p：∀x∈R，均有x2+x+1≥09. （2分）不论m为何值，直线（m﹣1）x+（2m﹣1）y=m﹣5恒过定点（）A .B . （﹣2，0）C . （2，3）D . （9，﹣4）10. （2分）已知圆的方程为．设该圆过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形面积为（）A .B .C .D .11. （2分）点P(4,-2)与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是（）A . (x-2)2+(y+1)2=4B . (x-2)2+(y+1)2=1C . (x+4)2+(y-2)2=4D . (x+2)2+(y-1)2=112. （2分）下列判断，正确的是（）A . 平行于同一平面的两直线平行B . 垂直于同一直线的两直线平行C . 垂直于同一平面的两平面平行D . 垂直于同一平面的两直线平行二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分） (2016高二上·鞍山期中) 在平行四边形ABCD中，AB=AC=1，∠ACD=90°，将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60°角，则B、D之间的距离为________．14. （2分） (2016高一上·金华期中) 如图，在△ABC中，∠C=Rt∠，以顶点C为圆心，BC为半径作圆．若求AB的长度为________；⊙C截AB所得弦BD的长为________．15. （1分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，上底面中心为O，则异面直线AO与DC1所成角的余弦值为________16. （1分） (2017高二下·乾安期末) 以下4个命题中，正确命题的序号为________．①“两个分类变量的独立性检验”是指利用随机变量来确定是否能以给定的把握认为“两个分类变量有关系”的统计方法；②将参数方程（是参数，）化为普通方程，即为；③极坐标系中，与的距离是；④推理：“因为所有边长相等的凸多边形都是正多边形，而菱形是所有边长都相等的凸多边形，所以菱形是正多边形”，推理错误在于“大前提”错误.三、解答题 (共6题；共50分)17. （10分） (2018高二上·无锡期末) 设直线，，．（1）若直线，，交于同一点，求m的值；（2）设直线过点，若被直线，截得的线段恰好被点M平分，求直线的方程．18. （10分）如图所示的三棱台中，AA1⊥平面ABC，AB⊥BC，AA1=1，AB=2，BC=4，∠ABB1=45°．（1）证明：AB1⊥平面BCC1B1；（2）若点D为CC1中点，求二面角A﹣BD﹣C的余弦值．19. （10分） (2020高二上·辽源月考) 已知椭圆的离心率，焦距是．（1）求椭圆的方程；（2）若直线与椭圆交于、两点，，求的值．20. （10分） (2018高一上·吉林期末) 如图，在三棱柱中，底面，且为等边三角形，，为的中点.（1）求证：直线平面；（2）求三棱锥的体积.21. （5分）已知直线l在两坐标轴上的截距相等，且P（4，3）到直线l的距离为3，求直线l的方程．22. （5分） (2016高一上·南山期末) 在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中：（Ⅰ）求证：AC∥平面A1BC1；（Ⅱ）求证：平面A1BC1⊥平面BB1D1D．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、22-1、。

2016-2017学年湖南省长沙市长郡中学高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）命题“∃x0∈R，≤0”的否定是（）A．∃x0∈R，＞0 B．∃x0∉R，≤0C．∀x∈R，2x＞0 D．∀x∈R，2x≤02．（5分）设x，y∈R，则“x＞y＞0”是“x2＞y2”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件3．（5分）甲、乙两名选手参加歌手大赛时，5名评委打的分数，用茎叶图表示（如图）s1，s2分别表示甲、乙选手分数的标准差，则s1与s2的关系是（填“＞”、“＜”或“=”）（）A．s1＞s2B．s1=s2C．s1＜s2D．不确定4．（5分）命题“在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB”的逆否命题是（）A．在△ABC中，若sinA＞sinB，则A＞BB．在△ABC中，若A≤B，则sinA≤sinBC．在△ABC中，若sinA＜sinB，则A＜BD．在△ABC中，若sinA≤sinB，则A≤B5．（5分）函数f（x）=2x3﹣3x2+a的极大值为6，那么a的值是（）A．5 B．0 C．6 D．16．（5分）已知某产品的广告费用x（万元）与销售额y（万元）所得的数据如表：经分析，y与x有较强的线性相关性，且=0.95x+，则等于（）A．2.6 B．2.4 C．2.7 D．2.57．（5分）如果x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（）A．（0，1） B．（0，2） C．（1，+∞）D．（0，+∞）8．（5分）为了了解某校高三400名学生的数学学业水平测试成绩，制成样本频率分布直方图如图，规定不低于60分为及格，不低于80分为优秀，则及格率与优秀人数分别是（）A．60%，60 B．60%，80 C．80%，80 D．80%，609．（5分）已知双曲线x2﹣=1（a＞0）的渐近线与圆（x﹣1）2+y2=相切，则a=（）A．B．C．D．10．（5分）在长方形ABCD中，AB=2，BC=1，O为AB中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到点O的距离不大于1的概率是（）A．B．1﹣C．D．1﹣11．（5分）已知直线y=kx与曲线y=lnx有交点，则k的最大值是（）A．e B．﹣e C．D．12．（5分）已知F1，F2是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，|F1F2|=2，离心率为，M（x0，y0）是双曲线C上的一点，若•＜0，则y0的取值范围是（）A．B．C． D．13．（5分）函数y=ax﹣lnx在（，+∞）内单调递增，则a的取值范围为（）A．（2，+∞）B．[2，+∞）C．（﹣∞，2）D．（﹣∞，2]14．（5分）已知椭圆的两个焦点分别为F1，F2，若椭圆上存在点P使得∠F1PF2是钝角，则椭圆离心率的取值范围是（）A．B．C． D．15．（5分）设过曲线f（x）=﹣e x﹣x（e为自然对数的底数）上任意一点处的切线为l1，总存在过曲线g（x）=ax+2cosx上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，2]B．（﹣1，2）C．[﹣2，1]D．（﹣2，1）二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）16．（5分）某次体检，6名同学的身高（单位：米）分别为1.71，1.78，1.75，1.80，1.69，1.77，则这组数据的中位数是（米）．17．（5分）若直线x﹣y=2与抛物线y2=4x交于A、B两点，则线段AB的中点坐标是．18．（5分）有下列四个命题：①若A∩B=∅，则A，B之中至少有一个为空集；②在回归直线y=2x+1中，x增加1个单位时，y平均增加3个单位；③若p且q为假命题，则p，q均为假命题；④在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB．其中是真命题的有：．（请将真命题的序号填在答题卷的横线上）19．（5分）已知f（x）为奇函数，当x＜0时，f（x）=ln（﹣x）+3x，则曲线y=f （x）在（1，3）处的切线方程是．20．（5分）已知抛物线y2=2px过点M（，），A，B是抛物线上的点，直线OA，OM，OB的斜率成等比数列，则直线AB恒过定点．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）21．（12分）某高校调查了20名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30）．（1）求直方图中a的值；（2）从每周自习时间在[25，30]的受调查学生中，随机抽取2人，求恰有1人的每周自习时间在[27.5，30）的概率．22．（12分）已知函数f（x）=ax3+bx2﹣2x+c在x=﹣2时有极大值6，在x=1时有极小值，（1）求a，b，c的值；（2）求f（x）在区间[﹣3，3]上的最大值和最小值．23．（12分）已知命题p：f（x）=x2+（4m﹣2）x+5在区间（﹣∞，0）上是减函数，命题q：不等式x2﹣2x+1﹣m＞0的解集是R，若命题“p∨q”为真，命题“p ∧q”为假，求实数m的取值范围．24．（12分）设函数f（x）=（x＞0且x≠1）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）已知＞x a对任意x∈（0，1）成立，求实数a的取值范围．25．（12分）已知椭圆G：+=1（a＞b＞0）的离心率e=，右顶点为（，0）．（1）求G的方程；（2）直线y=kx+1与曲线G交于不同的两点A，B，若在x轴上存在一点M，使得|AM|=|BM|，求点M的横坐标的取值范围．2016-2017学年湖南省长沙市长郡中学高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）命题“∃x0∈R，≤0”的否定是（）A．∃x0∈R，＞0 B．∃x0∉R，≤0C．∀x∈R，2x＞0 D．∀x∈R，2x≤0【解答】解：命题是特称命题，则命题的否定是∀x∈R，2x＞0，故选：C．2．（5分）设x，y∈R，则“x＞y＞0”是“x2＞y2”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件【解答】解：x＞y＞0”一定能推出“x2＞y2”．当x2＞y2，当x=﹣2时，y=﹣1时，成立，则推不出x＞y＞0故“x＞y＞0”是“x2＞y2”的充分非必要条件，故选：A．3．（5分）甲、乙两名选手参加歌手大赛时，5名评委打的分数，用茎叶图表示（如图）s1，s2分别表示甲、乙选手分数的标准差，则s1与s2的关系是（填“＞”、“＜”或“=”）（）A．s1＞s2B．s1=s2C．s1＜s2D．不确定【解答】解：甲选手的平均分是=84乙选手的平均分是=84这两个选手的平均分是相同的，从茎叶图上看甲的分数是单峰的，分数比较集中，乙的分数是双峰的，分数分散，∴甲的方差一定小于乙的方差，故选：C．4．（5分）命题“在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB”的逆否命题是（）A．在△ABC中，若sinA＞sinB，则A＞BB．在△ABC中，若A≤B，则sinA≤sinBC．在△ABC中，若sinA＜sinB，则A＜BD．在△ABC中，若sinA≤sinB，则A≤B【解答】解：命题“在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB”的逆否命题是“在△ABC中，若sinA≤sinB，则A≤B“，故选：D．5．（5分）函数f（x）=2x3﹣3x2+a的极大值为6，那么a的值是（）A．5 B．0 C．6 D．1【解答】解：∵函数f（x）=2x3﹣3x2+a，导数f′（x）=6x2﹣6x，令f′（x）=0，可得x=0 或x=1，导数在x=0 的左侧大于0，右侧小于0，故f（0）为极大值．f（0）=a=6．导数在x=1 的左侧小于0，右侧大于0，故f（1）为极小值．故选：C．6．（5分）已知某产品的广告费用x（万元）与销售额y（万元）所得的数据如表：经分析，y与x有较强的线性相关性，且=0.95x+，则等于（）A．2.6 B．2.4 C．2.7 D．2.5【解答】解：由题意可知：=，==4.5．因为回归直线经过样本中心，所以4.5=0.95×2+，解得=2.6．故选：A．7．（5分）如果x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（）A．（0，1） B．（0，2） C．（1，+∞）D．（0，+∞）【解答】解：∵x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，把x2+ky2=2转化为椭圆的标准方程，得，∴，解得0＜k＜1．∴实数k的取值范围是（0，1）．故选：A．8．（5分）为了了解某校高三400名学生的数学学业水平测试成绩，制成样本频率分布直方图如图，规定不低于60分为及格，不低于80分为优秀，则及格率与优秀人数分别是（）A．60%，60 B．60%，80 C．80%，80 D．80%，60【解答】解：由频率分布直方图得，及格率为1﹣（0.005+0.015）×10=1﹣0.2=0.8=80%优秀的频率=（0.01+0.01）×10=0.2，优秀的人数=0.2×400=80故选：C．9．（5分）已知双曲线x2﹣=1（a＞0）的渐近线与圆（x﹣1）2+y2=相切，则a=（）A．B．C．D．【解答】解：由双曲线x2﹣=1（a＞0）的一条渐近线为y=﹣ax，即y+ax=0，圆（x﹣1）2+y2=的圆心为（1，0），半径为，由题意可知：圆心到渐近线的距离等于半径，即=，由a＞0，解得：a=，故选：C．10．（5分）在长方形ABCD中，AB=2，BC=1，O为AB中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到点O的距离不大于1的概率是（）A．B．1﹣C．D．1﹣【解答】解：已知如图所示：长方形面积为2，以O为圆心，1为半径作圆，在矩形内部的部分（半圆）面积为，因此取到的点到O的距离不大于1的概率P==．故选：A．11．（5分）已知直线y=kx与曲线y=lnx有交点，则k的最大值是（）A．e B．﹣e C．D．【解答】解：由题意，令kx=lnx，则k=，记f（x）=，∴f'（x）=．f'（x）在（0，e）上为正，在（e，+∞）上为负，可以得到f（x）的取值范围为（﹣∞，]这也就是k的取值范围，∴k的最大值为：．故选：C．12．（5分）已知F1，F2是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，|F1F2|=2，离心率为，M（x0，y0）是双曲线C上的一点，若•＜0，则y0的取值范围是（）A．B．C． D．【解答】解：由题意，c=，a=，b=1，∴双曲线方程为=1．∵•＜0，∴，∵=2+，∴﹣1＜0，∴﹣，故选：A．13．（5分）函数y=ax﹣lnx在（，+∞）内单调递增，则a的取值范围为（）A．（2，+∞）B．[2，+∞）C．（﹣∞，2）D．（﹣∞，2]【解答】解：首先对y=ax﹣lnx求导：y'=a﹣，且知y函数的定义域为（0，+∞）；函数y在内单调递增，即y'在上恒有y'≥0．即：a≥在上恒成立．因为f（x）=在上的最大值为f（）=2；所以a的取值范围为a≥2．故选：B．14．（5分）已知椭圆的两个焦点分别为F1，F2，若椭圆上存在点P使得∠F1PF2是钝角，则椭圆离心率的取值范围是（）A．B．C． D．【解答】解：如图，当动点P在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，P 对两个焦点的张角∠F1PF2渐渐增大，当且仅当P点位于短轴端点P0处时，张角∠F1PF2达到最大值．由此可得：∵椭圆上存在点P使得∠F1PF2是钝角，∴△P0F1F2中，∠F1P0F2＞90°，∴Rt△P0OF2中，∠OP0F2＞45°，所以P0O＜OF2，即b＜c，∴a2﹣c2＜c2，可得a2＜2c2，∴e＞，∵0＜e＜1，∴＜e＜1．故选：B．15．（5分）设过曲线f（x）=﹣e x﹣x（e为自然对数的底数）上任意一点处的切线为l1，总存在过曲线g（x）=ax+2cosx上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，2]B．（﹣1，2）C．[﹣2，1]D．（﹣2，1）【解答】解：由f（x）=﹣e x﹣x，得f′（x）=﹣e x﹣1，∵e x+1＞1，∴∈（0，1），由g（x）=ax+2cosx，得g′（x）=a﹣2sinx，又﹣2sinx∈[﹣2，2]，∴a﹣2sinx∈[﹣2+a，2+a]，要使过曲线f（x）=﹣e x﹣x上任意一点的切线为l1，总存在过曲线g（x）=ax+2cosx上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，则，解得﹣1≤a≤2．即a的取值范围为﹣1≤a≤2．故选：A．二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）16．（5分）某次体检，6名同学的身高（单位：米）分别为1.71，1.78，1.75，1.80，1.69，1.77，则这组数据的中位数是 1.76（米）．【解答】解：6名同学的身高（单位：米）从小到大依次为：1.69，1.71，1.75，1.77，1.78，1.80，∴这组数据的中位数是：．故答案为：1.76．17．（5分）若直线x﹣y=2与抛物线y2=4x交于A、B两点，则线段AB的中点坐标是（4，2）．【解答】解：把直线方程与抛物线方程联立得，消去y得到x2﹣8x+4=0，利用根与系数的关系得到x1+x2=8，则y1+y2=x1+x2﹣4=4中点坐标为（，）=（4，2）故答案为：（4，2）18．（5分）有下列四个命题：①若A∩B=∅，则A，B之中至少有一个为空集；②在回归直线y=2x+1中，x增加1个单位时，y平均增加3个单位；③若p且q为假命题，则p，q均为假命题；④在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB．其中是真命题的有：④．（请将真命题的序号填在答题卷的横线上）【解答】解：①如A={0}，B={1}，则A∩B=∅，但A、B均非空集，∴A∩B=∅，则A，B之中至少有一个为空集错误，故①错误；②由回归直线y=2x+1中，x平均增加1个单位时，y平均增加2个单位，故②错误；③若p且q为假命题，则p，q至少有一个为假命题，故③错误；④在△ABC中，若A＞B，则a＞b，由正弦定理=2R，得2RsinA＞2RsinB，即sinA＞sinB成立，故④正确．∴其中是真命题的有：④．故答案为：④．19．（5分）已知f（x）为奇函数，当x＜0时，f（x）=ln（﹣x）+3x，则曲线y=f （x）在（1，3）处的切线方程是y=2x+1．【解答】解：设x＞0，则﹣x＜0，∵f（x）为奇函数，当x＜0时，f（x）=ln（﹣x）+3x，∴f（x）=﹣f（﹣x）=﹣lnx+3x，∴f′（x）=﹣+3，∴f′（x）=2∴曲线y=f（x）在（1，3）处的切线方程是y=2x+1．故答案为y=2x+1．20．（5分）已知抛物线y2=2px过点M（，），A，B是抛物线上的点，直线OA，OM，OB的斜率成等比数列，则直线AB恒过定点（﹣，0）．【解答】解：∵抛物线y2=2px过点M（，），∴p=1，∴抛物线方程为y2=2x，设A（，y1），B（，y2），则∵直线OA，OM，OB的斜率成等比数列，∴8=，∴y1y2=，直线AB的方程为y﹣y1=（x﹣），令y=0，可得x=﹣y1y2=﹣，∴直线AB恒过定点（﹣，0）．故答案为：（﹣，0）．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）21．（12分）某高校调查了20名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30）．（1）求直方图中a的值；（2）从每周自习时间在[25，30]的受调查学生中，随机抽取2人，求恰有1人的每周自习时间在[27.5，30）的概率．【解答】解：（1）由频率分布直方图得：（0.02+a+0.16+0.08+0.04）×2.5=1，解得a=0.1．（2）每周自习时间在[25，30]的受调查学生中，每周自习时间在[25，27.5]的受调查学生有0.08×2.5×20=4人，每周自习时间在[27.5，30]的受调查学生有0.04×2.5×20=2人，随机抽取2人，基本事件总数n==15，恰有1人的每周自习时间在[27.5，30）包含的基本事件个数m=．∴恰有1人的每周自习时间在[27.5，30）的概率p==．22．（12分）已知函数f（x）=ax3+bx2﹣2x+c在x=﹣2时有极大值6，在x=1时有极小值，（1）求a，b，c的值；（2）求f（x）在区间[﹣3，3]上的最大值和最小值．【解答】解：（1）f′（x）=3ax2+2bx﹣2由条件知解得a=，b=，c=（2）f（x）=，f′（x）=x2+x﹣2=0解得x=﹣2，x=1由上表知，在区间[﹣3，3]上，当x=3时，f max=；当x=1，f min=．23．（12分）已知命题p：f（x）=x2+（4m﹣2）x+5在区间（﹣∞，0）上是减函数，命题q：不等式x2﹣2x+1﹣m＞0的解集是R，若命题“p∨q”为真，命题“p ∧q”为假，求实数m的取值范围．【解答】解：若命题p为真，即f（x）=x2+（4m﹣2）x+5在区间（﹣∞，0）上是减函数，只需对称轴x=1﹣2m≥0，即（3分）若命题q为真，即不等式x2﹣2x+1﹣m＞0的解集是R，只需△=4﹣4（1﹣m）＜0，即m＜0（6分）因为“p∨q”为真，命题“p∧q”为假所以p，q一真一假，所以（10分）24．（12分）设函数f（x）=（x＞0且x≠1）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）已知＞x a对任意x∈（0，1）成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ），若f′（x）=0，则，列表如下∴函数f（x）在（0，）上单调递增，在（，1）或（1，+∞）上单调递减．（Ⅱ）在两边取对数，得，由于0＜x＜1，所以（1）由（1）的结果可知，当x∈（0，1）时，，为使（1）式对所有x∈（0，1）成立，当且仅当，即a＞﹣eln225．（12分）已知椭圆G：+=1（a＞b＞0）的离心率e=，右顶点为（，0）．（1）求G的方程；（2）直线y=kx+1与曲线G交于不同的两点A，B，若在x轴上存在一点M，使得|AM|=|BM|，求点M的横坐标的取值范围．【解答】解：（1）由题意可知：e==，a=，b2=a2+c2，联立解得a=，c=1，b2=2．所求椭圆G的方程为：=1．（2）将直线l的方程y=kx+1与椭圆G的方程联立：，化简整理可得：（3k2+2）x2+6kx﹣3=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）．则x1+x2=，x1•x2=．设线段AB中点N的坐标为（x0，y0）．则x0==，y0=kx0+1=．设x轴上M点坐标为（m，0），使得|AM|=|BM|，依题意可得：AB⊥MN．①当k=0时，直线l平行于x轴，易知：此时M点与坐标原点重合，其坐标为（0，0）；②当k≠0时，有k MN=﹣，∴===﹣，从而m=﹣=﹣，而≥2（k＞0），或≤﹣2（0＞k），故≤m＜0或0＜m≤．综上所述：实数m的取值范围是．即点M的横坐标的横坐标的取值范围是．。

湖南省长郡中学2016-2017学年高二上学期期中考试数学（文）试题一、选择题（本大题共15个小题，每小题4分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.）1.命题“R x ∈∃0，020x ≤"的否定是（ ） A ．R x ∈∃0，020x > B ．0x R ∃∉，020x ≤ C ．x R ∀∈,20x > D ．x R ∀∈，20x ≤【答案】C考点：命题的否定．2。

设x ，y R ∈，则“0x y >>”是“22x y >”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件【答案】A【解析】试题分析：因为“0x y >>”⇒“22x y >"，但“22x y >”不能推出“0x y >>”,所以“0x y >>"是“22x y >” 充分非必要条件，故选A.考点:充分条件与必要条件．3.甲、乙两名选手参加歌手大赛时，5名评委打的分数用茎叶图表示（如图）。

1s ,2s 分别表示甲、乙选手分数的标准差，则1s 与2s 的关系是( ）A ．12s s >B ．12s s =C ．12s s <D ．不能确定【答案】C【解析】试题分析：由茎叶图可知，甲的数据更加集中,乙的数据较分散,所以甲的标准差要小于乙的标准差，即12s s <，故选C 。

考点：茎叶图与标准差．4。

命题“在ABC ∆中,若A B >，则sin sin A B >”的逆否命题是( ）A ．在ABC ∆中,若sin sin AB >，则A B >B ．在ABC ∆中，若A B ≤,则sin sin A B ≤C. 在ABC ∆中，若sin sin A B <，则A B <D ．在ABC ∆中，若sin sin A B ≤，则A B ≤【答案】D考点：四种命题．5。