高三毕业班第一次模拟考试数学理试题 含答案

HY中学2021届高三数学第一次模拟考试试卷理〔含解析〕制卷人：打自企；成别使；而都那。

审核人：众闪壹；春壹阑；各厅……日期：2022年二月八日。

一、选择题〔此题一共12小题，每一小题5分，一共60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的〕1.集合，，那么A. B. C. D.【答案】A【解析】依题意，，那么，应选A．2.假设复数对应复平面内的点，且，那么复数的虚部为A. B. C. D.【答案】B【解析】依题意，，故，故复数的虚部为，应选B．3.为了检验设备与设备的消费效率，研究人员作出统计，得到如下表所示的结果，那么〔〕设备设备消费出的合格产品48 43消费出的不合格产品 2 7附：参考公式：，其中.A. 有90%的把握认为消费的产品质量与设备的选择具有相关性B. 没有的把握认为消费的产品质量与设备的选择具有相关性C.D.【答案】A【解析】将表中的数据代入公式，计算得，∵，∴有90%的把握认为消费的产品质量与设备的选择具有相关性，应选A．4.角的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线上，那么A. B. C. D.【答案】C【解析】角的终边在直线，即上，那么,，故，应选C．5.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，那么该几何体的外表积为A. B.C. D.【答案】B【解析】由三视图可知，该几何体是由一个半圆柱和一个三棱锥组合而成的，故所求外表积为，应选B．6.为了计算满足的最大正整数，设置了如下列图所示的程序框图，假设判断框中填写上的是“〞，那么输出框中应填〔〕A. 输出B. 输出C. 输出D. 输出【答案】D【解析】由程序框图可知，当首次满足时，已经多执行一次“〞，之后又执行一次“〞，故输出框中应填写上“输出〞，应选D．7.实数满足约束条件，那么的取值范围为A. B. C. D.【答案】B【解析】作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影局部所示〔含边界〕. 的几何意义为平面区域内的点与点连线的斜率.观察可知，，因为，所以，那么，应选B．8.函数的大致图象为A. B.C. D.【答案】C【解析】由，得，解得，.故函数的图象与轴的两个交点坐标为，，排除B、D．又，排除A，应选C．9.如图，直四棱柱中，，，且，那么直线与直线所成角的余弦值为A. B. C. D.【答案】B【解析】不妨设，如图，延长至点，使得，连接，易证直线与直线所成的角等于或者其补角.易知，，，所以，那么直线与直线所成角的余弦值为，应选B．10.中，内角所对的边分别是，假设，且，那么当取到最小值时，〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】，即，由正弦定理得，即，由正弦定理和余弦定理得，那么，从而，故，由得，故，那么，所以，故，当且仅当时等号成立.应选A.11.定义在上的偶函数满足：当时，，.假设函数有6个零点，那么实数的取值范围是〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】依题意，当时，，那么，即，故〔为常数〕，因为，所以，故.此时，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减，∴.在同一直角坐标系中作出的大致图象如下列图所示，观察可知，当时，它们有6个交点，即函数有6个零点，应选A．12.抛物线的焦点为，且到准线的间隔为2，直线与抛物线交于两点〔点在轴上方〕，与准线交于点，假设，那么A. B. C. D.【答案】C【解析】设，易知.由题意知，那么抛物线.因为，所以，又，得〔负值舍去〕，，联立，得，故，所以，故，过点作垂直于准线，垂足为，过点作垂直于准线，垂足为，易知，故，应选C．二、填空题〔此题一共4小题，每一小题5分，一共20分〕13.向量，，假设向量与一共线，那么实数_________.【答案】【解析】【分析】可求出，根据向量23与一共线即可得出2m+2〔6+3m〕＝0，解出m即可．【详解】解：；∵与一共线；∴2m+2〔6+3m〕＝0；解得．故答案为：．【点睛】此题考察向量坐标的减法和数乘运算，以及平行向量的坐标关系．14.的展开式中的系数为_________.【答案】【解析】的展开式的通项为，令，解得，故的系数为.15.将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，那么函数的图象的对称轴方程为_________.【答案】【解析】依题意，将函数的图象向右平移个单位长度后，得到的图象，令，解得，即函数的图象的对称轴方程为.16.我国南北朝时期的数学家祖暅提出体积的计算原理〔祖暅原理〕：“幂势既同那么积不容异〞．“势〞即是高，“幂〞是面积．意思是：假如两等高的几何体在同高处的截面积相等，那么这两个几何体的体积相等．双曲线的焦点在轴上，离心率为，且过点．假设直线与在第一象限内与双曲线及其渐近线围成如图阴影局部所示的图形，那么该图形绕轴旋转一周所得几何体的体积为_________.【答案】【解析】设双曲线的方程为，由题意得，解得，那么双曲线的方程为.作直线，交双曲线于点，交渐近线于点，交轴于点.那么，∴，∴.根据祖暅原理，可得该几何体与底面积为、高为6的柱体体积相等，故所求体积为.三、解答题〔本大题一一共6小题，一共70分．解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤〕17.等差数列满足，，数列满足.〔1〕求数列、的通项公式；〔2〕求数列的前项和.【答案】〔1〕，；〔2〕【解析】〔1〕依题意，，即，所以，那么，故.因为，所以①，当时，②，①②得，即.当时，满足上式.∴数列的通项公式为.〔2〕由〔1〕知，，，记数列的前项和为，的前项和为，那么，，故数列的前项和为.18.为了理解某高三学生的身体情况，某安康研究协会对该高三学生组织了两次体测，其中第一次体测的成绩〔满分是：100分〕的频率分布直方图如下列图所示，第二次体测的成绩.〔Ⅰ〕试通过计算比拟两次体测成绩平均分的上下；〔Ⅱ〕假设该有高三学生20000人，记体测成绩在70分以上的同学的身体素质为优秀，假设这20000人都参与了第二次体测，试估计第二次体测中身体素质为优秀的人数；〔Ⅲ〕以频率估计概率，假设在参与第一次体测的学生中随机抽取4人，记这4人成绩在的人数为，求的分布列及数学期望.附：，，.【答案】〔Ⅰ〕第一次体测成绩的平均分高于第二次体测成绩的平均分；〔Ⅱ〕456；〔Ⅲ〕见解析.【解析】【分析】〔Ⅰ〕由频率分布直方图求出第一次体测成绩的平均分．第二次体测的成绩X～N〔65，2〕，由此求出第二次体测成绩的平均分为65．从而第一次体测成绩平均分高于第二次体测成绩平均分；〔Ⅱ〕由X～N〔65，2〕，能估计第二次体测中身体素质为优秀的人数；〔Ⅲ〕依题意，〔〕×10＝，ξ的可能取值为0，1，2，3，4，ξ～B〔4，〕，由此能求出ξ的分布列及数学期望．【详解】〔Ⅰ〕由频率分布直方图可得第一次体测成绩的平均分为：；第二次体测的成绩，故第二次体测成绩的平均分为65.∵，∴第一次体测成绩的平均分高于第二次体测成绩的平均分.〔Ⅱ〕因为，所以，故所求人数大约为.〔Ⅲ〕依题意，，的可能取值为0，1，2，3，4，.，，，，.故的分布列为：0 1 2 3 4.【点睛】此题考察平均数、频数的求法，考察离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考察频率分布直方图、正态分布、二项分布、排列组合等根底知识，考察运算求解才能，是中档题．19.如下图，四棱锥中，，，，二面角的大小为.〔1〕求证：；〔2〕在线段上找一点，使得二面角的大小为.【答案】〔1〕见解析；〔2〕点E是上靠近点S的三等分点【解析】〔1〕由题意得，不妨设，那么，所以，而，，所以，那么.因为二面角的大小为，且平面平面，平面，所以平面，而平面，所以.〔2〕因为二面角的大小为，交线是，所以以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系．由〔1〕知，那么，，，．设，那么．设是平面的法向量，那么，即，取，得，∴是平面的一个法向量．易知平面的一个法向量是．依题意，即，解方程得或者，又因为，所以，故点E是上靠近点S的三等分点.20.椭圆过点，离心率为.〔1〕求椭圆的HY方程；〔2〕假设直线与椭圆交于两点，且，设分别是直线的斜率，试探究是否为定值，假设是，求出该定值；假设不是，请说明理由.【答案】〔1〕；〔2〕定值2【解析】〔1〕将代入椭圆中，得，又，，解得，故椭圆的HY方程为.〔2〕将代入，整理化简，得，直线与椭圆交于两点，设，，那么，.又，，所以故为定值2.21.函数.〔Ⅰ〕当时，判断函数的单调性；〔Ⅱ〕当时，证明：.〔为自然对数的底数〕【答案】〔1〕见解析；〔2〕见解析【解析】〔1〕函数的定义域为..①当时，.当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减.②当时，.当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增.③当时，.易知恒成立，函数在上单调递增；④当时，.当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增.综上，当时，函数在和上单调递增，在上单调递减；当时，函数在上单调递增；当时，函数在和上单调递增，在上单调递减；当时，函数在上单调递增，在上单调递减.〔2〕当时，不等式化为.记，那么.显然在上单调递增，且，.所以在上有唯一的零点，且.所以当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增. 由，即，得，所以，而易知函数在上单调递减，所以，所以.所以，即.请考生在第22、23两题中任选一题答题．假如多做，那么按所做的第一题记分.选修4-4：坐标系与参数方程22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线的参数方程为〔为参数〕.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为.〔Ⅰ〕求直线的普通方程以及圆的直角坐标方程；〔Ⅱ〕假设点在直线上，过点作圆的切线，求的最小值.【答案】〔1〕，；〔2〕.【解析】〔1〕由直线的参数方程消去参数，得，即.所以直线的普通方程为.圆的极坐标方程为，即，将极坐标方程与直角坐标方程的转化公式代入上式可得，即，此为圆的直角坐标方程.〔2〕由〔1〕可知圆的圆心为，半径，所以，而的最小值为圆心到直线的间隔.所以的最小值为.选修4-5：不等式选讲23.选修4-5：不等式选讲函数.〔Ⅰ〕解关于的不等式；〔Ⅱ〕假设对于任意的，不等式恒成立，务实数的取值范围.【答案】〔1〕；〔2〕【解析】〔1〕①当时，不等式可化为，解得，故；②当时，不等式可化为，解得，故；③当时，不等式可化为，解得.显然与矛盾，故此时不等式无解.综上，不等式的解集为.〔2〕由〔1〕知，.作出函数的图象，如图，显然.故由不等式恒成立可得，解得.所以的取值范围为.制卷人：打自企；成别使；而都那。

天水市一中级—第二学期第一次模拟考试数学试卷（理科）第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知(－1＋3i)(2－i)＝4＋3i(其中i 是虚数单位，是z 的共轭复数)，则z 的虚部为( )A ．1B ．－1C ．iD ．－i2．如图，已知R 是实数集，集合A ＝{x |log 21(x －1)＞0}，B ＝{x |x 2x －3＜0}，则阴影部分表示的集合是( )A ．[0,1]B ．[0,1)C ．(0,1)D ．(0,1]3．已知命题p ：∃x ∈(－∞，0)，2x ＜3x；命题q ：∀x ∈2π，tan x ＞sin x ，则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．p ∨(q )C ．(p )∧qD ．p ∧(q )4．有4位同学参加某智力竞赛，竞赛规定：每人从甲、乙两类题中各随机选一题作答，且甲类题目答对得3分，答错扣3分，乙类题目答对得1分，答错扣1分．若每位同学答对与答错相互独立，且概率均为21，那么这4位同学得分之和为0的概率为 ( )A.6411B.43C.83D.1611 5．设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内的任意一点，则→OA ＋→OB ＋→OC ＋→OD等于 ( )A.→OM B ．2→OM C ．3→OM D ．4→OM 6.设 a ＞b ＞1，，给出下列三个结论：① ＞ ；② ＜ ； ③，其中所有的正确结论的序号是.A ．① B.① ② C.② ③ D.① ②③7.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥外接球的表面积是（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 2＝10，S 5＝55，则过点P (n ，a n )和Q (n ＋2，a n ＋2)(n ∈N *)的直线的斜率是( )A ．4B ．3C ．2D ．19．某程序框图如图所示，若输出的k 的值为3，则输入的x 的取值范围为( )A ．[15,60)B ．(15,60]C ．[12,48)D ．(12,48]10．已知P (x ，y )为平面区域a ≤x ≤a ＋1y2－x2≤0(a ＞0)内的任意一点，当该区域的面积为3时，z ＝2x －y 的最大值是( )A ．1B ．3C ．2D ．611．设S n 是公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和，S 1，S 2，S 4成等比数列，且a 3＝－25，则数列an 1的前n 项和T n ＝( )A ．－2n ＋1n B.2n ＋1n C ．－2n ＋12n D.2n ＋12n12．过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F ，且倾斜角为4π的直线与抛物线交于A ，B 两点，若AB 的垂直平分线经过点(0,2)，M 为抛物线上的一个动点，则M 到直线l 1：5x －4y ＋4＝0和l 2：x＝－52的距离之和的最小值为( )A.4141B.3131C.4141D.3131第Ⅱ卷(非选择题 共90分)本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题～23题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．双曲线Γ：a2y2－b2x2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦距为10，焦点到渐近线的距离为3，则Γ的实轴长等于________．14．已知(1－2x )5(1＋ax )4的展开式中x ． 15.已知，则不等式的解集为16．在棱长为1的正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是AC 1，A 1B 1的中点，点P 在其表面上运动，则总能使MP 与BN 垂直的点P 所构成的轨迹的周长等于________． 三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos 2B ＋cos B ＝1－cos A cos C .(1)求证：a ，b ，c 成等比数列；(2)若b ＝2，求△ABC 的面积的最大值．18．(本小题满分12分)某调查机构从某县农村淘宝服务网点中随机抽取20个网点作为样本进行元旦期间网购金额(单位：万元)的调查，获得的所有样本数据按照区间[0,5]，(5,10]，(10,15]，(15,20]，(20,25]进行分组，得到如图所示的频率分布直方图．(1)根据样本数据，试估计样本中网购金额的平均值；(注：设样本数据第i组的频率为p i，第i组区间的中点值为x i(i＝1,2,3,4,5)，则样本数据的平均值为＝x1p1＋x2p2＋x3p3＋x4p4＋x5p5)(2)若网购金额在(15,25]的服务网点定义为优秀服务网点，其余为非优秀服务网点．从这20个服务网点中任选2个，记ξ表示选到优秀服务网点的个数，求ξ的分布列及数学期望．19．(本小题满分12分)如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC＝60°，SA＝1，AB＝2，SB＝，平面SAB⊥底面ABCD，直线SC与底面ABCD所成的角为30°.(1)证明：平面SAD⊥平面SAC；、(2)求二面角BSCD的余弦值．20.(本小题满分12分)已知椭圆C ：a2x2＋b2y2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F 2(2,0)，点P 315在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)是否存在斜率为－1的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，使得|F 1M |＝|F 1N |(F 1为椭圆的左焦点)？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．21.(本小题满分12分)已知函数f (x )＝(x ＋a )ln x ，g (x )＝ex x2，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线2x －y －3＝0平行．(1)求证：方程f (x )＝g (x )在(1,2)内存在唯一的实根；(2)设函数m (x )＝min{f (x )，g (x )}(min{p ，q }表示p ，q 中的较小者)，求m (x )的最大值．请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的3倍，得曲线Γ. (1)写出Γ的参数方程；(2)设直线l ：3x ＋2y －6＝0与Γ的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲已知函数f (x )＝|2x －a |.(1)若f (x )＜b 的解集为{x |－1＜x ＜2}，求实数a 、b 的值；(2)若a ＝2时，不等式f (x )＋m ≥f (x ＋2)对一切实数x 均成立，求实数m 的取值范围．数学(理科)答案1．解析：选A.因为＝2－i 4＋3i ＋1－3i ＝2＋i 2＋i＋1－3i ＝1＋2i ＋1－3i ＝2－i ，所以z ＝2＋i ，z 的虚部为1，故选A.2．解析：选D.由题可知A ＝{x |1＜x ＜2}，B ＝{x |0＜x ＜23}，且图中阴影部分表示的是B ∩(∁R A )＝{x |0＜x ≤1}，故选D.3．解析：选C.根据指数函数的图象与性质知命题p 是假命题，则綈p 是真命题；根据单位圆中的三角函数线知命题q 是真命题，故选C.4..解析：选A.每人的得分情况均有4种可能，因而总的情况有44＝256种，若他们得分之和为0，则分四类：4人全选乙类且两对两错，有C 42种可能；4人中1人选甲类对或错，另3人选乙类全错或全对，有2C 41种可能；4人中2人选甲类一对一错，另2人选乙类一对一错，有C 42×2×2种可能；4人全选甲类且两对两错，有C 42种可能．共有C 42＋2C 41＋C 42×2×2＋C 42＝44种情况，因而所求概率为P ＝25644＝6411，故选A.5．解析：选D.因为M 是平行四边形ABCD 对角线AC 、BD 的交点，所以→OA ＋→OC ＝2→OM ，→OB＋→OD ＝2→OM ，所以→OA ＋→OB ＋→OC ＋→OD ＝4→OM，故选D. 6.【答案】D【解析】由不等式及a ＞b ＞1知，又，所以＞，①正确;由指数函数的图像与性质知②正确；由a ＞b ＞1，知，由对数函数的图像与性质知③正确.7案： B 提示：四棱锥的底面垂直与水平面。

2024年大连市高三第一次模拟考试数学（答案在最后）命题人：注意事项：1．请在答题纸上作答，在试卷上作答无效．2．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1.已知集合{123456}U =，，，，，，集合{124}{135}A B ==，，，，，，则U B A = ð（）A.{2}4， B.{16}，C.{3}5，D.{1}2.为评估一种农作物的种植效果，选了n 块地作试验田．这n 块地的亩产量（单位：kg ）分别为x 1，x 2，…，x n ，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是A.x 1，x 2，…，x n 的平均数 B.x 1，x 2，…，x n 的标准差C.x 1，x 2，…，x n 的最大值D.x 1，x 2，…，x n 的中位数3.方程2214x y m+=表示椭圆，则实数m 的取值范围（）A.0m > B.4m > C.04m << D.0m >且4m ≠4.已知直线a ，b ，c 是三条不同的直线，平面α，β，γ是三个不同的平面，下列命题正确的是（）A.若a c b c ⊥⊥，，则//a bB.若////a b a α，，则//b αC.若////a b c a αα⊥，，，且c b ⊥，则c α⊥D .若βαγα⊥⊥，，且a βγ= ，则a α⊥5.将ABCDEF 六位教师分配到3所学校，若每所学校分配2人，其中,A B 分配到同一所学校，则不同的分配方法共有（）A.12种B.18种C.36种D.54种6.若π,π2α⎛⎫∈⎪⎝⎭，且5cos 24παα⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则tan α=（）A.43-B.34-C.13-D.17.设函数3333()sin πe e 3x x f x x x --=+--+则满足()(32)4f x f x +-<的x 的取值范围是（）A.(3,)+∞ B.(3),-∞ C.(1,)+∞ D.(,1)-∞8.设12F F ，是双曲线2222:1(00)x y C a b a b-=>>，的左、右焦点，点A 是双曲线C 右支上一点，若12AF F △的内切圆M 的半径为a （M 为圆心），且λ∃∈R ，使得123AM OM F F λ+=，则双曲线C 的离心率为（）A.B.C.2D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知i 是虚数单位，下列说法正确的是（）A.已知a b c d ∈R ，，，，若a c b d >=，，则i i a b c d +>+B.复数12z z ，满足12z z =，则12z z =C.复数z 满足|i ||i |z z -=+，则z 在复平面内对应的点的轨迹为一条直线D .复数z 满足(1i)|1|+=z ，则ππcos isin 44z ⎫=-⎪⎭10.已知函数()sin()(0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<，若π5π166f f ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且π5π,66x ⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭，都有()1f x <，则（）A.()y f x =在5π0,12⎛⎫⎪⎝⎭单调递减B.()y f x =的图象关于7π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称C.直线12y =+是一条切线D.()y f x =的图象向右平移π3个单位长度后得到函数()g x 是偶函数11.已知函数()f x 是定义域为R 的可导函数，若()()()()3f x y f x f y xy x y +=+++，且()03f '=-，则（）A.()f x 是奇函数B.()f x 是减函数C.0f= D.1x =是()f x 的极小值点第Ⅱ卷三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答卷纸的相应位置上）12.“函数()2sin f x ax x =-是奇函数”的充要条件是实数=a ______．13.在边长为4的正方形ABCD 中，如图1所示，E ，F ，M 分别为BC ，CD ，BE 的中点，分别沿AE ，AF 及EF 所在直线把AEB AFD ，和EFC 折起，使B ，C ，D 三点重合于点P ，得到三棱锥P AEF -，如图2所示，则三棱锥P AEF -外接球的表面积是_________；过点M 的平面截三棱锥P AEF -外接球所得截面的面积的取值范围是_________．14.已知实数0,0a b >>，且()84ab a b +=，则4a b +的最小值为_________四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图多面体ABCDEF 中，面FAB ⊥面ABCD ，FAB 为等边三角形，四边形ABCD 为正方形，EF BC ∥，且334EF BC ==，H ，G 分别为CE ，CD 的中点．（1）证明：BF AD ⊥；（2）求平面BCEF 与平面FGH 所成角的余弦值；（3）作平面FHG 与平面ABCD 的交线，记该交线与直线AD 交点为P ，写出APAD的值（不需要说明理由，保留作图痕迹）．16.已知函数()()ln 1R f x x x ax a =++∈．（1）若()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围；（2）当1x >时，证明：e ln e(1)x x x >-．17.一个不透明的盒子中有质地、大小均相同的7个小球，其中4个白球，3个黑球，现采取不放回的方式每次从盒中随机抽取一个小球，当盒中只剩一种颜色时，停止取球．（1）求停止取球时盒中恰好剩3个白球的概率；（2）停止取球时，记总的抽取次数为X ，求X 的分布列与数学期望：（3）现对方案进行调整：将这7个球分装在甲乙两个盒子中，甲盒装3个小球，其中2个白球，1个黑球：乙盒装4个小球，其中2个白球，2个黑球．采取不放回的方式先从甲盒中每次随机抽取一个小球，当盒中只剩一种颜色时，用同样的方式从乙盒中抽取，直到乙盒中所剩小球颜色和甲盒剩余小球颜色相同，或者乙盒小球全部取出后停止．记这种方案的总抽取次数为Y ，求Y 的数学期望，并从实际意义解释X 与Y 的数学期望的大小关系．18.在平面直角坐标系xOy 中，点O 为坐标原点，已知两点()()1,21,2A B ---，，点M 满足()2MA MB OM OA OB +=⋅++uuu r uuu r uuu r uu r uu u r，记点M 的轨迹为G ．（1）求曲线G 的方程：（2）若P ，C ，D 为曲线G 上的三个动点，CPD ∠的平分线交x 轴于点()0(1)Q a a <-，，点Q 到直线PC 的距离为1．（ⅰ）若点Q 为PCD 重心，用a 表示点P 的坐标；（ⅱ）若PQ CD ⊥，求a 的取值范围．19.对于数列()1231:,,,1,2,3A a a a a i ∈=N ，定义“T 变换”：T 将数列A 变换成数列123:,,B b b b ，其中1(12)i i i b a a i +=-=，，且331b a a =-．这种“T 变换”记作()B T A =，继续对数列B 进行“T 变换”，得到数列123:,,C c c c ，依此类推，当得到的数列各项均为0时变换结束．（1）写出数列A ：3，6，5经过5次“T 变换”后得到的数列：（2）若123,,a a a 不全相等，判断数列123:,,A a a a 不断的“T 变换”是否会结束，并说明理由；（3）设数列A ：2020，2，2024经过k 次“T 变换”得到的数列各项之和最小，求k 的最小值．2024年大连市高三第一次模拟考试数学命题人：注意事项：1．请在答题纸上作答，在试卷上作答无效．2．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1.已知集合{123456}U =，，，，，，集合{124}{135}A B ==，，，，，，则U B A = ð（）A.{2}4，B.{16}，C.{3}5，D.{1}【答案】C 【解析】【分析】由补集和交集的定义运算.【详解】集合{123456}U =，，，，，，集合{124}{135}A B ==，，，，，，则{}3,5,6U A =ð，有{}3,5U B A = ð.故选：C2.为评估一种农作物的种植效果，选了n 块地作试验田．这n 块地的亩产量（单位：kg ）分别为x 1，x 2，…，x n ，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是A.x 1，x 2，…，x n 的平均数 B.x 1，x 2，…，x n 的标准差C.x 1，x 2，…，x n 的最大值 D.x 1，x 2，…，x n 的中位数【答案】B 【解析】【详解】评估这种农作物亩产量稳定程度的指标是标准差或方差，故选B.点睛:众数：一组数据出现次数最多的数叫众数，众数反映一组数据的多数水平；中位数：一组数据中间的数（起到分水岭的作用），中位数反映一组数据的中间水平；平均数：反映一组数据的平均水平；方差：反映一组数据偏离平均数的程度，用来衡量一批数据的波动大小（即这批数据偏离平均数的大小）．在样本容量相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定．标准差是方差的算术平方根，意义在于反映一组数据的离散程度．3.方程2214x y m+=表示椭圆，则实数m 的取值范围（）A.0m >B.4m > C.04m << D.0m >且4m ≠【答案】D 【解析】【分析】分焦点在x 轴，y 轴两种情况讨论，写出m 范围即可.【详解】方程2214x y m+=表示椭圆，若焦点在x 轴上，40m >>；若焦点在y 轴上，4m >.综上：实数m 的取值范围是0m >且4m ≠故选：D【点睛】本题考查了椭圆的标准方程，考查了学生概念理解，分类讨论，数学运算能力，属于基础题.4.已知直线a ，b ，c 是三条不同的直线，平面α，β，γ是三个不同的平面，下列命题正确的是（）A.若a c b c ⊥⊥，，则//a bB.若////a b a α，，则//b αC.若////a b c a αα⊥，，，且c b ⊥，则c α⊥D.若βαγα⊥⊥，，且a βγ= ，则a α⊥【答案】D 【解析】【分析】由空间中直线与平面的位置关系，对各项进行分析即可．【详解】若a c b c ⊥⊥，，则a ，b 可以是平行，也可以是相交或异面，故A 错误；若////a b a α，，则//b α或b α⊂，故B 错误；若////a b c a αα⊥，，且c b ⊥，当//a b 时，不能证明c α⊥，C 选项错误；若βαγα⊥⊥，，且a βγ= ，在a 上取一点P ，作PQ α⊥，由面面垂直的性质定理可得PQ β⊂且PQ γ⊂，既a 与PQ 重合，可得a α⊥，故D 正确.故选：D5.将ABCDEF 六位教师分配到3所学校，若每所学校分配2人，其中,A B 分配到同一所学校，则不同的分配方法共有（）A.12种B.18种C.36种D.54种【答案】B 【解析】【分析】先平均分组，再利用全排列可求不同分配方法的总数.【详解】将余下四人分成两组，每组两人，有2242C C 2种分法，故不同的分配方法共有223423C C A 182⨯=种，故选：B.6.若π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且5cos 24παα⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则tan α=（）A.43-B.34-C.13-D.1【答案】A 【解析】【分析】先利用三角恒等变换公式化简可得1cos sin 5αα+=，结合22cos sin 1αα+=可得cos ,sin αα，进而可得tan α.【详解】由5cos 24παα⎛⎫=- ⎪⎝⎭得()225cos sin 22αααα⎫-=-⎪⎪⎭，即()()5cos sin cos sin cos sin αααααα-+=-，因为π,π2α⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以cos sin 0αα-≠，所以1cos sin 5αα+=，结合22cos sin 1αα+=，且cos 0,sin 0αα<>，得34cos ,sin 55αα=-=，所以sin tan s 43co ααα==-.故选：A.7.设函数3333()sin πe e 3x x f x x x --=+--+则满足()(32)4f x f x +-<的x 的取值范围是（）A.(3,)+∞ B.(3),-∞ C.(1,)+∞ D.(,1)-∞【答案】C 【解析】【分析】观察题设条件与所求不等式，构造函数()()12g x f x =+-，利用奇偶性的定义与导数说明其奇偶性和单调性，从而将所求转化为()()122g x g x -<-，进而得解.【详解】因为3333()sin πe e 3x x f x x x --=+--+，所以()()3333331sin ππee 13x x f x x x +---+=++---+33sin πe e 2x x x x -=-+--+，设()()3312sin πe exxg x f x x x -=+-=-+--，显然定义域为R ，()()12g x f x -=-，又()()3333()sin πee sin πe e ()xx x x g x x x x x g x ---=--+-+=--+--=-，所以()g x 为R 上的奇函数，又33()πcos π3e 3e 1πcos 15πcos 0x x g x x x x -'=-++-≥-+=->，所以()g x 在R 上单调递增，又()(32)4f x f x +-<，则[][]()2(32)20f x f x -+--<，所以()()1220g x g x -+-<，即()()()12222g x g x g x -<--=-，所以122x x -<-，解得1x >，则满足()(32)4f x f x +-<的x 的取值范围是(1,)+∞．故选：C ．8.设12F F ，是双曲线2222:1(00)x y C a b a b-=>>，的左、右焦点，点A 是双曲线C 右支上一点，若12AF F △的内切圆M 的半径为a （M 为圆心），且λ∃∈R ，使得123AM OM F F λ+=，则双曲线C 的离心率为（）A.B.C.2D.【答案】A 【解析】【分析】向量坐标化并结合双曲线定义与等面积得123,3,AF c a AF c a =+=-点点距列方程得()3,4A a a 代入双曲线求出离心率.【详解】设()(),,,M M A A M x y A x y ，由对称性不妨设A 在第一象限，此时M 也在第一象限，因为123AM OM F F λ+=uuu r uuu u u ruu r ，所以30,44M A M A M y y y y y a -+===，所以()12121124222AF F S c a AF AF c a =⋅⋅=⋅++⋅ ，又122AF AF a -=，解得()1213,3,,0AF c a AF c a F c =+=--，所以1A AF ex a =====+，所以1A AF a ex =+，解得3A x a =，所以()3,4A a a ，代入双曲线方程得：2222(3)(4)1a a a b-=，解得,b c ===，所以==ce a.故选：A【点睛】关键点点睛:本题考查双曲线的离心率，关键是向量坐标化并充分利用曲线定义确定A 的坐标.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知i 是虚数单位，下列说法正确的是（）A.已知a b c d ∈R ，，，，若a c b d >=，，则i i a b c d +>+B.复数12z z ，满足12z z =，则12z z =C.复数z 满足|i ||i |z z -=+，则z 在复平面内对应的点的轨迹为一条直线D.复数z 满足(1i)|1|+=z ，则ππcos isin 44z ⎫=-⎪⎭【答案】BCD 【解析】【分析】根据虚数不能比较大小可知A 错误；根据共轭复数的定义可判断B ；根据复数的几何意义可判断C ；根据复数的运算法则进行计算，可判断D .【详解】对A ，虚数不能比较大小，可知A 错误；对B ，根据共轭复数的定义知，当12z z =时，12z z =，则12z z =，故B 正确；对C ，因为复数z 满足|i ||i |z z -=+，则复数z 在复平面上对应的点到()()0,1,0,1-两点间的距离相等，则复数z 在复平面上对应的点为两点构成线段的中垂线，即z 在复平面内对应的点的轨迹为一条直线，故C 正确；因为(1i)|1|2z +==，则()()()()21i 21i 21i 1i 1i 1i 2z --====-++-，又ππcos isin i 1i 4422z ⎫⎫=-=-=-⎪⎪⎪⎭⎭，故D 正确，故选：BCD .10.已知函数()sin()(0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<，若π5π166f f ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且π5π,66x ⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭，都有()1f x <，则（）A.()y f x =在5π0,12⎛⎫⎪⎝⎭单调递减B.()y f x =的图象关于7π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称C.直线12y =+是一条切线D.()y f x =的图象向右平移π3个单位长度后得到函数()g x 是偶函数【答案】BC 【解析】【分析】依题意可得πT =即可求出ω，再根据函数的最大值求出ϕ，即可求出函数解析式，再根据正弦函数的性质判断A 、B 、D ，设切点为005π,sin 26x x ⎛⎫⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用导数的几何意义求出0x ，即可判断C.【详解】对A ，因为()sin()(0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<，所以()max 1f x =，又π5π166f f ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且π5π,66x ⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭，都有()1f x <，所以5πππ66T ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，所以2ππT ω==，解得2ω=，即()()sin 2f x x ϕ=+，又ππsin 163f ϕ⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以ππ2π,Z 32k k ϕ-+=+∈，解得5π2π,Z 6k k ϕ=+∈，又0πϕ<<，所以5π6ϕ=，所以()5πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当5π0,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时5π5π5π2,663x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，又sin y x =在5π5π,63⎛⎫ ⎪⎝⎭上不单调，所以()y f x =在5π0,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上不单调，故A 错误；对B ，因为7π7π5πsin 2sin 2π012126f ⎛⎫⎛⎫=⨯+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()y f x =的图象关于7π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，故B 正确；对C ，因为()5π2cos 26f x x ⎛⎫=+ ⎝'⎪⎭，设切点为005π,sin 26x x ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()005π2cos 26f x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭'所以05πcos 262x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以05π5π22π,Z 66x k k +=+∈或05π5π22π,Z 66x k k +=-+∈，解得0π,Z x k k =∈或05ππ,Z 6x k k =-+∈，又005π1sin 262x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，因为05π1sin 216x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，即01112-≤+≤，解得062x -≤≤，所以00x =，即直线12y =+是函数()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线，故C 正确；对D ，将()y f x =的图象向右平移π3个单位长度后得到()π5ππsin 2sin 2366g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+ ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，显然()g x 是非奇非偶函数，故D 错误.故选：BC11.已知函数()f x 是定义域为R 的可导函数，若()()()()3f x y f x f y xy x y +=+++，且()03f '=-，则（）A.()f x 是奇函数B.()f x 是减函数C.0f = D.1x =是()f x 的极小值点【答案】ACD【解析】【分析】令0x y ==求出()0f ，令y x =-可确定奇偶性，将y 当作常数，x 作为变量，对原式求导，然后可通过赋值，解不等式求单调性及极值.【详解】令0x y ==，得()00f =，令y x =-，得()()0f x f x =+-，所以()f x 是奇函数，A 正确；()()()()()22233,63f x y f x f y x y xy f x y f x yx y '+=+++'∴+=++ 令()()20,03x f y f y =∴=+''，又()()()2303,33,3f f y y f y y y c '=-∴='=-∴-+ ，()()()3300,0,3,3,0f c f y y y f x x x f =∴=∴=-∴=-∴= ，令()0f x '=，1x ∴=±，()0f x '>，1x <-或()1,0,11x f x x ><-<<'()f x ∴在(),1∞--和()1,∞+上为增函数，()f x 在()1,1-上为减函数，1x ∴=是()f x 的极小值，故CD 正确，B 错误.故选：ACD.第Ⅱ卷三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答卷纸的相应位置上）12.“函数()2sin f x ax x =-是奇函数”的充要条件是实数=a ______．【答案】0【解析】【分析】结合三角函数奇偶性、幂函数奇偶性以及奇偶性的定义即可运算求解.【详解】若函数()2sin f x ax x =-是奇函数，则当且仅当()()()()22sin sin f x ax x a x x f x ⎡⎤=-=----=--⎣⎦，也就是220ax =恒成立，从而只能0a =.故答案为：0.13.在边长为4的正方形ABCD 中，如图1所示，E ，F ，M 分别为BC ，CD ，BE 的中点，分别沿AE ，AF 及EF 所在直线把AEB AFD ，和EFC 折起，使B ，C ，D 三点重合于点P ，得到三棱锥P AEF -，如图2所示，则三棱锥P AEF -外接球的表面积是_________；过点M 的平面截三棱锥P AEF -外接球所得截面的面积的取值范围是_________．【答案】①.24π②.[]π,6π【解析】【分析】补体法确定外接球直径进而求得表面积；利用球的截面性质确定面积最值.【详解】由题意，将三棱锥补形为边长为2，2，4长方体，如图所示：三棱锥P AEF -外接球即为补形后长方体的外接球，所以外接球的直径()2222222424R R =++==，所以三棱锥P AEF -外接球的表面积为24π24πS R ==，过点M 的平面截三棱锥P AEF -的外接球所得截面为圆，其中最大截面为过球心O 的大圆，此时截面圆的面积为22π6πR ==，最小截面为过点M 垂直于球心O 与M 连线的圆，此时截面圆半径1r ====（其中MN 长度为长方体前后面对角线长度），故截面圆的面积为2ππr =，所以过点M 的平面截三棱锥P AEF -的外接球所得截面的面积的取值范围为[]π,6π．故答案为：24π;[]π,6π14.已知实数0,0a b >>，且()84ab a b +=，则4a b +的最小值为_________【答案】【解析】【分析】利用消元法得到4a b +的函数关系式，再利用导数讨论其单调性后可求最小值.【详解】()222224(4)81681616a b a ab b a a b b b b+=++=++=+，设()2416g b b b =+，其中0b >，则()()322481432b g b b b b-=-+'=，当10,2b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g b '<，当1,2b ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，()0g b '>，故()g b 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数，在1,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上为减函数，故()min 1122g b g ⎛⎫==⎪⎝⎭，此时20a =-+>，故4a b +的最小值为故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图多面体ABCDEF 中，面FAB ⊥面ABCD ，FAB 为等边三角形，四边形ABCD 为正方形，EF BC ∥，且334EF BC ==，H ，G 分别为CE ，CD 的中点．（1）证明：BF AD ⊥；（2）求平面BCEF 与平面FGH 所成角的余弦值；（3）作平面FHG 与平面ABCD 的交线，记该交线与直线AD 交点为P ，写出AP AD 的值（不需要说明理由，保留作图痕迹）．【答案】（1）证明见解析（2）22（3）14AP AD =，作图见解析【解析】【分析】（1）由面面垂直得到线面垂直，从而证明出线线垂直；（2）由面面垂直得到线面垂直，再建立空间直角坐标系，写出点的坐标，得到平面的法向量，进而利用平面法向量求出面面角的余弦值；（3）作出辅助线，得到线线平行，进而得到结论.【小问1详解】在正方形ABCD 中，AD AB ⊥，∵平面FAB ⊥平面ABCD ，平面FAB 平面,ABCD AB AD =⊂平面ABCD ，AD ∴⊥平面FAB ，又BF ⊂平面FAB ，BF AD ∴⊥；【小问2详解】FAB 为等边三角形，设AB 中点为O ，∴OF AB ⊥，又平面FAB ⊥平面ABCD ，面FAB 面,ABCD AB OF =⊂面FAB ，则OF ⊥面ABCD ，以O 为坐标原点，分别以,,OB OG OF 为,,x y z 轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示：因为334EF BC ==，则4BC =，则()()((()72,0,0,2,4,0,0,0,,0,3,,1,,0,4,02B C F E H G ⎛ ⎝，所以(()(72,0,,0,4,0,1,,,0,4,2BF BC FH FG ⎛=-===- ⎝ ，设平面BCEF 的一个法向量为(),,m x y z =则020400m BF x y m BC ⎧⎧⋅=-+=⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⋅=⎪⎩⎩ ，取1z =得0x y ==，所以)m = ，设平面FGH 的一个法向量为(),,n a b c =则7002040a b n FH n FG b ⎧⎧+=⋅=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=⎪⎪-=⎩⎩，取c =93,42a b =-=，所以93,42n ⎛=- ⎝ ，所以)93,,5542cos ,22n m n m n m ⎛⋅- ⋅==-⋅ ，所以平面与BCEF 与平面FGH成角的余弦值为22；【小问3详解】如图所示：在AD 上取一点P ，使得DP EF =，连接,FP PG ，因为//EF BC ，AD //BC ，所以//EF AD ，即//EF DP ，所以EFPD 为平行四边形，故//FP ED ，因为H ，G 分别为CE ，CD 的中点，所以//GH DE ，故//GH PF ，即,,,G H P F共面，故14AP AD =.16.已知函数()()ln 1R f x x x ax a =++∈．（1）若()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围；（2）当1x >时，证明：e ln e(1)x x x >-．【答案】（1）1a ≥-（2）证明见解析【解析】【分析】（1）参变分离，构造函数，求导得到函数的单调性，从而求出最值，得到答案；（2）法一：在（1）的基础上得到()e 1e ln x x x x x ->，1x >，再构造函数得到e e x x >，得到()()e 1e 1x x x x ->-，从而得到结论；法二：即证11ln e x x x -->，构造函数()11ln e x x G x x --=-，求导后再对分子求导，从而得到函数的单调性，得到()()10G x G >=，证明出结论.【小问1详解】由已知得，1ln a x x -≤+在()0,∞+上恒成立，设()()221111ln ,x g x x g x x x x x -=+=-='，()0g x '>，解得1x >，()0g x '<，解得01x <<，()g x ∴在()0,1上为减函数，在()1,∞+上为增函数，()()11g x g ∴≥=，即1a -≤，1a ∴≥-；【小问2详解】法一：由（1）知1a ≥-时，()0f x ≥恒成立，取1a =-，得1ln x x x-≥成立，1x =时取等号．所以当1x >时，()e 1e ln x x x x x->，设()()e e ,e e x x h x x h x =='--，故1x >时，()0h x '>，()e e x h x x ∴=-在()1,∞+上为增函数，()()10h x h ∴>=，e e x x ∴>．所以1x >时，e e xx>，即()()e 1e 1x x x x ->-．由此可证，当1x >时，()()e 1e ln e 1x x x x x x ->>-，结论得证．法二：当1x >时，若证()e ln e 1x x x >-成立．即证11ln e x x x -->，1x >设()11ln ,1ex x G x x x --=->，()()()1112211e 1e 1e 2e e x x x x x x x x G x x x -------+-=-'=，设()()()1211e 2,e 22e 21x x x m x x x m x x x ---=+-=+-=+-'，当1x >时，()()0,m x m x >'∴在()1,∞+上为增函数．()()()10,0m x m G x ∴>=∴>'，()G x ∴在()1,∞+上为增函数，()()10G x G >=，由此可证，当1x >时，()e ln e 1xx x >-成立．【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法,使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.17.一个不透明的盒子中有质地、大小均相同的7个小球，其中4个白球，3个黑球，现采取不放回的方式每次从盒中随机抽取一个小球，当盒中只剩一种颜色时，停止取球．（1）求停止取球时盒中恰好剩3个白球的概率；（2）停止取球时，记总的抽取次数为X ，求X 的分布列与数学期望：（3）现对方案进行调整：将这7个球分装在甲乙两个盒子中，甲盒装3个小球，其中2个白球，1个黑球：乙盒装4个小球，其中2个白球，2个黑球．采取不放回的方式先从甲盒中每次随机抽取一个小球，当盒中只剩一种颜色时，用同样的方式从乙盒中抽取，直到乙盒中所剩小球颜色和甲盒剩余小球颜色相同，或者乙盒小球全部取出后停止．记这种方案的总抽取次数为Y ，求Y 的数学期望，并从实际意义解释X 与Y 的数学期望的大小关系．【答案】（1）335（2）分布列见解析，()275E X =（3）()409E Y =，在将球分装时，甲盒取完后直接取乙盒，此时甲盒中还有其它球，该球干扰作用已经消失，所以同样是要剩余同一颜色，调整后的方案总抽取次数的期望更低．【解析】【分析】（1）利用古典概型的概率公式可求A 得概率；（2）先确定X 的取值，再就每一个取值的意义结合古典概型的概率公式可求分布列，再利用公式可求期望.（3）先确定Y 的取值，再设甲盒、乙盒抽取次数分别为12Y Y 、，根据题设得到三者之间的关系，再结合古典概型的概率公式可求分布.【小问1详解】设“停止取球时盒中恰好剩3个白球”为事件A ，则()11343347C A A 3A 35P A ==；【小问2详解】X 的可能取值为3，4，5，6，()3337A 13A 35P X ===，()4113443347A C A A 44A 35P X +===，()11422334444357C A A C A A 25A 7P X +===，()11223427C C A 46A 7P X ===，所以X 的分布列为X 3456P 1354352747X 的数学期望()14242734563535775E X =⨯+⨯+⨯+⨯=；【小问3详解】Y 的可能取值为3，4，5，6，设甲盒、乙盒抽取次数分别为12Y Y 、，因为乙盒中两种小球个数相同，所以无论甲盒剩余小球什么颜色，乙盒只需取完一种颜色即可，()()()221224A 113123A 18P Y P Y P Y ======，()()()()()1122222212123244C A A A 12413223A A 923P Y P Y P Y P Y P Y ====+===⨯+⨯=，()()()()()121251423P Y P Y P Y P Y P Y ====+==11221122222222323444C A A A C A A 1273A A 3A 18⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，()()()11222222123244C A A A 216243A A 3P Y P Y P Y ⎛⎫=====+= ⎪⎝⎭，Y 的数学期望()12714034561891839E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=，在将球分装时，甲盒取完后直接取乙盒，此时甲盒中还有其它球，该球干扰作用已经消失，所以同样是要剩余同一颜色，调整后的方案总抽取次数的期望更低．18.在平面直角坐标系xOy 中，点O 为坐标原点，已知两点()()1,21,2A B ---，，点M 满足()2MA MB OM OA OB +=⋅++uuu r uuu r uuu r uu r uu u r ，记点M 的轨迹为G ．（1）求曲线G 的方程：（2）若P ，C ，D 为曲线G 上的三个动点，CPD ∠的平分线交x 轴于点()0(1)Q a a <-，，点Q 到直线PC 的距离为1．（ⅰ）若点Q 为PCD 重心，用a 表示点P 的坐标；（ⅱ）若PQ CD ⊥，求a 的取值范围．【答案】（1）24y x =-（2）（i）334P ⎛-± ⎝，；（ii ）94a <-【解析】【分析】（1）对()2MA MB OM OA OB +=⋅++uuu r uuu r uuu r uu r uu u r向量坐标化，整理得曲线轨迹方程；（2）法一：由条件得PQ CD ⊥，结合斜率和重心坐标公式得P1=，平方化简得,m n 是方程()()()2220000120y t x a y t x a -+---=的两根，直线与曲线联立，结合韦达定理求出P 坐标，即可求解；法二：由圆切线方程抽方程可知直线EF 的方程为()()001x a x a y y --+=，与圆联立得()0012221y x a k k y -+=-，结合韦达定理得P 坐标，即可求解.【小问1详解】设点()()(),,1,2,1,2M x y A B ---Q ，()()()()()1,2,1,2,,,1,2,1,2MA x y MB x y OM x y OA OB ∴=---=----==-=--uuu r uuu r uuu r uu r uu u r即()()22,2,2,0MA MB x y OA OB +=---+=-uuu r uuu r uu r uu u r，MA MB ∴+=uuu r uuu r，()()()2,2,0222OM OA OB x y x ⋅++=⋅-+=-+uuu r uu r uu u r，()2,22MA MB OM OA OB x +=⋅++∴-+Q uuu r uuu r uuu r uu r uu u r，化简得曲线G 的方程：24y x =-；【小问2详解】（ⅰ）解法1：设()()()112200,,,,,C x y D x y P x y ，PQ 为PCD 的角平分线．Q 为PCD 重心PQ ∴为PCD 的中线，S 三线合一可得PQ CD⊥021221124,4CD PQ y y y k k y x x y y a --===-+--Q ，Q 为PCD 重心0120y y y ∴++=(14,PQ CD k k P a ⋅=-∴-± ①设直线PC 方程为：()00x x m y y -=-，直线PD 方程为：()00x x n y y -=-，PQ ∵是CPD ∠的平分线，点Q 到直线PC 的距离为1,∴点Q 到直线PD 的距离为1，1=，可得()()()2220000120y m x a y m x a -+---=同理()()()2220000120y n x a y n x a -+---=，即,m n 是方程()()()2220000120y t x a y t x a -+---=的两根，()002021x a y m n y -∴+=-，()0024x x m y y y x ⎧-=-⎨=-⎩联立可得：2004440y my x my ++-=，011044y y m y m y ∴+=-∴=--，同理()201204,42y n y y y m n y =--∴+=-+-，点Q 为PCD 重心，0120y y y ∴++=，即()()00002024401x a y m n y y y ⎛⎫--+-=--=⎪-⎝⎭，又020008144,a x y x y +⎧=⎪=-∴⎨⎪=⎩ 故点P的坐标为81,4a +⎛⎝②联立①②可得174a =-即33,4P ⎛-⎝（ⅱ）由（ⅰ）知()002021x a y m n y -+=-，()()()()2021*******0020214422424121CDy y y k x a y x x y y m n y a y y y -----∴=====--+-+----⨯--，02,1,4PQ PQ CD y k k k y a =⋅=---Q 22216481648,04949a a a a y a a +-+-∴=∴≥----216481,049a a a a +-<-∴≥--Q 等价于94904a a -->∴<-时满足题意．（ⅰ）解法2：PQ ∵是CPD ∠的平分线，点Q 到直线PC 的距离为1,∴点Q 到直线PD 的距离为1，∴直线PC PD 、与圆22:()1Q x a y -+=相切，设直线PC PD 、与圆的切点分别为()()1122,,,E x y F x y ，设直线PC 上任意一点坐标为(),P x y ，则0PE QE ⋅=，可得()()1111,,0x x y y x a y --⋅-=，整理得()()()11110x x x a y y y --+-=，结合2211()1x a y -+=，进一步可得直线PC 方程为：()()111x a x a y y --+=，同理直线PD 方程为()()221x a x a y y --+=，因为点()00,P x y 在两条直线上，所以可知直线EF 的方程为()()001x a x a y y --+=，代入圆方程可得：()()22200()x a y x a x a y y ⎡⎤-+=--+⎣⎦即：()()()()22220000121()0y y x a x a y y x a x a ⎡⎤----+---=⎣⎦设直线QE 的斜率1114y k x a =-，直线QF 的斜率为2224y k x a=-，()()()22200001210y y y y x a x a x a x a ⎛⎫∴---+--= ⎪--⎝⎭即()0012221y x a k k y -+=-，联立直线PC 与抛物线方程，()()21141y x x a x a y y ⎧=-⎪⎨--+=⎪⎩，可得：21114140y y y a x a x a ⎛⎫--+= ⎪--⎝⎭，014C y y k ∴+=，同理可得024D y y k ∴+=，()12042C D y y k k y ∴+=+-点Q 为PCD 重心，00C D y y y ∴++=，即()()001200208401x a y k k y y y-+-=-=-，又020008144,a x y x y +⎧=⎪=-∴⎨⎪=⎩ 故点P的坐标为81,4a +⎛⎝②其余过程同解法1．【点睛】关键点点睛：本题考查直线与抛物线位置关系,关键是利用角分线的意义抽方程或直线,进而得韦达定理求出P 坐标.19.对于数列()1231:,,,1,2,3A a a a a i ∈=N ，定义“T 变换”：T 将数列A 变换成数列123:,,B b b b ，其中1(12)i i i b a a i +=-=，，且331b a a =-．这种“T 变换”记作()B T A =，继续对数列B 进行“T 变换”，得到数列123:,,C c c c ，依此类推，当得到的数列各项均为0时变换结束．（1）写出数列A ：3，6，5经过5次“T 变换”后得到的数列：（2）若123,,a a a 不全相等，判断数列123:,,A a a a 不断的“T 变换”是否会结束，并说明理由；（3）设数列A ：2020，2，2024经过k 次“T 变换”得到的数列各项之和最小，求k 的最小值．【答案】（1）0，1，1（2）不会，理由见解析（3）507【解析】【分析】（1）根据数列的新定义写出经过5次“T 变换”后得到的数列即可；（2）先假设数列A 经过不断的“T 变换”结束，不妨设最后的数列123123:,,,:,,,:0,0,0D d d d E e e e F ，由F 数列往前推，则非零数量可能通过“T 变换”结束，或者数列E 为常数列，进而得到D 可能出现的情况，推出矛盾，故假设不成立，即可证明；（3）先往后推几项，发现规律，假设1次“T 变换”后得到的通项，多写几项推出规律，往后继续进行，推到使数字接近1时，再继续推，往后会发现k 次“T 变换”得到的数列是循环的，得到最小值，进而推出次数即可.【小问1详解】由题知，5次变换得到的数列依次为3，1，2；2，1，1；1，0，1；1，1，0；0，1，1；所以数列A ：3，6，5经过5次“T 变换”后得到的数列为0，1，1.【小问2详解】数列A 经过不断的“T 变换”不会结束，设数列123123:,,,:,,,:0,0,0D d d d E e e e F ，且()(),E T D F T E ==，由题可知：2132310,0,0e e e e e e -=-=-=，123e e e ∴==，即非零常数列才能经过“T 变换”结束；设123e e e e ===（e 为非零常数列），则为变换得到数列E 的前两项，数列D 只有四种可能：111111111111:,,2;:,,;:,,2;:,,D d d e d e D d d e d D d d e d e D d d e d +++---，而以上四种情况，数列E 的第三项只能是0或2e ，即不存在数列D ，使得其经过“T 变换”变成非零常数列，故数列A 经过不断的“T 变换”不会结束；【小问3详解】数列A 经过一次“T 变换”后得到数列:2018,2022,4B ，其结构为,4,4,a a +（a 远大于4）数列B 经过6次“T 变换”后得到的数列依次为：4,,4;4,4,8;8,12,4;4,16,12;a a a a a a a a -------；20,4,16;24,20,4a a a a ----所以，经过6次“T 变换”后得到的数列也是形如“,4,4a a +”的数列，变化的是，除了4之外的两项均减小24，201824842,=⨯+ 则数列B 经过684504⨯=次“T 变换”后得到的数列为：2，6，4，接下来经过“T 变换”后得到的数列依次为：4，2，2；2，0，2；2，2，0；0，2，2；2，0，2；至此，数列各项和的最小值为4，以后数列循环出现，数列各项之和不会变得更小，所以最快经过16842507+⨯+=次“T 变换”得到的数列各项之和最小，即k 的最小值为507．【点睛】思路点睛：本题考查数列的新定义问题.关于数列的新定义一般思路为：()1根据定义写出几项；()2找出规律；()3写成通项；()4证明结论.。

高三年级第一次模拟考试 数学(理)参考答案及评分标准一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)13.4 14. 24 15. 3 16. 三、解答题(本大题共70分) 17.(本小题满分12分)解(Ⅰ)∵ ∠BAC = x , 8AC AB = ,∴cos 8bc x =， …………………………………………1分 ∴1sin 4tan 2bc x x =, ……………………………………2分又 ∵ 4≤S ≤ 1≤tanx ……………………4分 ∴ x 的取值范围是4π≤x ≤3π. …………………………6分(Ⅱ)f(x) =＋cos 2x=2sin( 2x ＋6π), …………………………………………8分 ∵4π≤x ≤3π,∴23π≤2x ＋6π≤56π，12≤sin(2x ＋6π) ………………10分 ∴ f(x)min =f(3π) =1,f(x)max =f(4π) =3. ………………………………12分 18.(本小题满分12分)解(Ⅰ) ①处填20， ②处填0.35；…………………2分 补全频率分布直方向图如图所示.……………………4分500名志愿者中年龄在［30，35)的人数为0.35×500=175人. ……6分(Ⅱ)用分层抽样的方法，从中选取20人，则其中“年龄低于30岁”的有5人，“年龄不低于30岁”的有15人.……………………7分故X的可能取值为0，1，2；P(X=0)=2152202138CC=, P(X=1)=111552201538C CC=,P(X=2)=25220238CC=, ………………10分所以X的分布列为：X 0 1 2P 21381538238∴EX=0×2138＋1×1538＋2×238=12 .………………………12分19.(本小题满分12分)解(Ⅰ)取AD的中点M，连接MH，MG.∵G，H,F分别是AE，BC，EB的中点，∴MH∥AB，GF∥AB，∴M∈平面FGH，……………………3分又MG∥DE，且DE平面FGH，MG⊂平面FGH，∴DE∥平面FGH.……………………6分(Ⅱ)如图，在平面ABE内，过A作AB的垂线，记为AQ，则AQ⊥平面ABCD.以A为原点，AQ、AB、AD所在的直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系. ……………7分则A(0，0，0)，B(0，4，0)，D(0，0，2)，G(3，－1，0)，F(3，1，0)，P(3，λ,0).∴BD=(0,－4,2), BP=(3, λ－4,0). ………………………………8分设平面PBD的一个法向量为n1=(x,y,1),则110,0,n BP n BD ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ∴ 3(4)0,420.x y y λ⎧+-=⎪⎨-+=⎪⎩ ∴ 1,23(4).6y x λ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴ 1n =(3(4)6λ-,12,1)…………………………………………10分又平面ABP 的一个法向量为n 2=(0,0,2),………………………………11分 ∴ cos 〈n 1,n 2〉=1212n n n n =222112(4)()1122λ-++=22, 解得λ=1或7(舍去).∴ 点P 与点F 重合.……………………………………………………12分 20(本小题满分12分)解(Ⅰ)∵ 椭圆E 右焦点为(1，0)， ∴ c=1, ………………………………1分又点P(1，32)在椭圆E 上， ∴ 2a=｜PF 1｜＋｜PF 2｜=223(11)()2++＋223(11)()2-+=4, ………………2分∴ a=2, b=22a c -=3, 所以椭圆方程为22143x y +=……………………………4分(Ⅱ)①当直线MN 与x 轴垂直时， 直线AM 方程为y=x ＋2,联立 222,3412,y x x y =+⎧⎨+=⎩得271640x x ++=， 解得27x =-或2x =-（舍）。

山东师大附中级高三第一次模拟考试数学试题（理科）命题：宁卫兵 审核：孙腾飞一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每题给出的四个选项中，有且仅有一项是符合要求的.1. 已知集合}5,4,3,1{=A ，集合}054{2<--∈=x x Z x B ，则B A 的子集个数为（ ） A ．2B ．4C ．8D ．162. 计算：=--+ii i 21)1)(2(2（ ） A ．2B ．2-C ．i 2D ．i 2-3. 下列区间中函数xx x f 2)1ln()(-+=有零点的是（ ） A ．)1,0( B ．)2,1(C ．)3,2(D ．)4,3(4. 设随机变量X 服从正态分布)1,0(N ，p x P =>)1(，则=->)1(x P （ ） A ．p B ．p -1C ．p 21-D ．p 25. 调查表明，酒后驾驶是导致交通事故的主要原因，交通法规规定：驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过ml mg /2.0．如果某人喝了少量酒后，血液中酒精含量将迅速上升到ml mg /8.0，在停止喝酒后，血液中酒精含量就以每小时50%的速度减少，则他至少要经过（ ）小时后才可以驾驶机动车． A ．1 B ．2C ．3D ．46. 如图中的三个直角三角形是一个体积为320cm 的几何体的三视图，则该几何体外接球的面积（单位：2cm ）等于（ ） A ．π55 B ．π75 C ．π77 D ．π657. 某一算法程序框图如图所示，则输出的S 的值为（ ）A ．23 B ．23-C ．3D ．08. 设不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-≥+≤-022y y x y x 所表示的区域为M ，函数21x y --=的图象与x 轴所围成的区域为N ，向M 内随机投一个点，则该点落在N 内的概率为（ ）A ．π2 B ．4π C ．8π D ．16π 9. 用数学归纳法证明)1,(12131211*>∈<-+⋯+++n N n n n 时，由)1(>=k k n 不等式成立，推证1+=k n 时，左边应增加的项数是（ ） A ．12-kB ．12-kC ．k 2D ．12+k10. 已知函数)42cos()(π+=x x f ，将)(x f y =的图象上所有的点的横坐标缩短为原来的21倍，纵坐标不变；再把所得的图象向右平移ϕ个单位长度，所得的图象关于原点对称，则ϕ的一个值是（ ）.A. 43πB. 83πC. 165πD. 163π11. “4a >”是“方程20x ax a ++=有两个负实数根”的（ ）.A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件12. 抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F ，准线为l ，B A ,是抛物线上的两个动点，且满足 60=∠AFB ．设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则ABMN 的最大值是( )．A. 32B. 23C. 61D. 1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知两个单位向量,3=+，则,的夹角为 ． 14. 若a dx x e =⎰21，则6)(xa x +展开式中的常数项为 ．15. 已知31cos )6sin(=--ααπ，则=+)32cos(πα ． 16. 已知函数xe b ax x xf )()(2++=，当1<b 时，函数)(x f 在()+∞--∞,1),2,(上均为增函数，则22-+a b 的取值范围是 .三、解答题：共70分. 解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 第17 ~ 21题为必做题，每个试题考生都必须作答. 第22、23题为选做题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17.（本题满分12分）已知等差数列}{n a 满足10,664==a a ． （1）求数列}{n a 的通项公式；（2）设等比数列}{n b 各项均为正数，其前n 项和n T ，若3,233==T a b ，求n T ．18.（本题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，.PA BD ⊥（1）求证：PB PD =；（2）若E ，F 分别为PC ，AB 的中点，EF ⊥平面PCD ，求直线PB 与平面PCD 所成角的大小．19.（本题满分12分）自2016年1月1日起，我国全面二孩政策正式实施，这次人口与生育政策的历史性调整，使得“要不要再生一个”，“生二孩能休多久产假”等问题成为千千万万个家庭在生育决策上避不开的话题．为了解针对产假的不同安排方案形成的生育意愿，某调查机构随机抽取了200户有生育二胎能力的适龄家庭进行问卷调查，得到如下数据： 产假安排（单位：周） 14 15 16 17 18 有生育意愿家庭数4816 20 26（1）若用表中数据所得的频率代替概率，面对产假为14周与16周，估计某家庭有生育意愿的概率分别为多少？（2）假设从5种不同安排方案中，随机抽取2种不同安排分别作为备选方案，然后由单位根据单位情况自主选择．①求两种安排方案休假周数和不低于32周的概率；②如果用ξ表示两种方案休假周数之和．求随机变量ξ的分布列及数学期望．20.（本题满分12分）已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，左顶点为A ，左焦点为)0,2(1-F ，点)2,2(B 在椭圆C 上，直线)0(≠=k kx y 与椭圆C 交于F E ,两点，直线AF AE ,，分别与y 轴交于点N M ,． （1）求椭圆C 的方程；（2）在x 轴上是否存在点P ，使得无论非零实数k 怎样变化，总有MPN ∠为直角？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．21.（本题满分12分）已知函数)0)(1(ln )(≠-=a x ax x f . （1）求函数)(x f y =的单调递增区间； （2）当0>a 时，设函数)(61)(3x f x x g -=，函数)(')(x g x h =， ①若0)(≥x h 恒成立，求实数a 的取值范围； ②证明：)(321)321ln(*22222N n n n e∈+⋯+++<⨯⋯⨯⨯⨯.（二）选做题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题做答至选做题答题区域，标清题号 . 如果多做，则按所做第一题计分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本题满分10分） 已知直线l 的参数方程：⎩⎨⎧=+=θθsin cos 1t y t x （t 为参数），曲线C 的参数方程：⎩⎨⎧==ααsin cos 2y x （α为参数），且直线交曲线C 于A ，B 两点． （Ⅰ）将曲线C 的参数方程化为普通方程，并求4πθ=时，AB 的长度；（Ⅰ）已知点)0,1(P ，求当直线倾斜角θ变化时，PB PA ⋅的范围．23.[选修4-5：不等式选讲]（本题满分10分）已知函数）a x x x f -++-=|2||1(|log )(2． （Ⅰ）当7=a 时，求函数)(x f 的定义域；（Ⅱ）若关于x 的不等式3)(≥x f 的解集是R ，求实数a 的取值范围．参考答案（理科）一、选择题二、填空题 13. 32π 14. 160 15. 97 16. ]31,3(-三、解答题17.解：（1）设等差数列}{n a 的公差为d ，首项为1a ，∵10,664==a a ，∴⎩⎨⎧=+=+1056311d a d a ………………3分解得⎩⎨⎧==201d a ………………5分∴数列}{n a 的通项公式22)1(1-=-+=n d n a a n …………6分 （2）设各项均为正数的等比数列}{n b 的公比为)0(>q q ∵22-=n a n ， ∴43=a ， ∵33a b =， ∴b 3=4于是⎩⎨⎧=+=3)1(4121q b q b ………………8分解得⎩⎨⎧==211q b 或⎪⎩⎪⎨⎧-==3291q b （舍）………………10分∴1221)21(11)1(1-=--⨯=--=n n n n q q b T .……………12分18. 解：（1）连接AC ，交BD 于点O ，∵底面ABCD 是正方形，∴BD AC ⊥，且O 为BD 的中点，又∵PA BD ⊥，PA AC A =，∴⊥BD 平面PAC ，由于⊂PO 平面PAC ，故⊥BD PO ， 又∵DO BO =，故PD PB =；………………4分 （2）设PD 的中点为Q ，连接AQ ，EQ ，EQ //12CD ， ∴AFEQ 为平行四边形，//EF AQ ，∵⊥EF 平面PCD ， ∴AQ ⊥平面PCD ，∴AQ PD ⊥，PD 的中点为Q ， ∴2AP AD ==，由AQ ⊥平面PCD ，又可得AQ CD ⊥，又∵AD CD ⊥，AQAD A =，∴CD ⊥平面PAD ，∴CD PA ⊥，又∵BD PA ⊥，∴PA ⊥平面ABCD ，由题意，AB ，AP ，AD 两两垂直，以A 为坐标原点，向量AB ，AD ， AP 的方向为x ，y ，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，22(0,,)Q ，(0,2,0)D ，(0,0,2)P ，…………8分 22(0,,)22AQ =，(2,0,2)PB =-，而AQ 为平面PCD 的一个法向量，……10分 设直线PB 与平面PCD 所成角为θ，1sin 2||||PB AQ PB AQ θ⋅==⋅，∴直线PB 与平面PCD 所成角为6π.……………………12分19.解：（1）由表中信息可知，当产假为14周时某家庭有生育意愿的概率为14120050P ==；……………………2分 当产假为16周时某家庭有生育意愿的概率为216220025P ==………………4分 （2）①设“两种安排方案休假周数和不低于32周”为事件A ，由已知从5种不同安排方案中，随机地抽取2种方案选 法共有2510C =（种），其和不低于32周的选法有（14，18）、（15，17）、（15，18）、（16，17）、（16，18）、（17，18），共6种，Q由古典概型概率计算公式得63()105P A ==．………………7分 ②由题知随机变量ξ的可能取值为29，30，31，32，33，34，35．1(29)0.110P ξ===，12(30)0.1,(31)0.21010P P ξξ======， 2211(32)0.2,(33)0.2,(34)0.1,(35)0.110101010P P P P ξξξξ============，因而ξ的分布列为……10分()290.1300.1310.2320.2330.2340.1350.132Eξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.…12分20.解：（1）设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，因为椭圆的左焦点为()120F -，，所以224a b -=， 设椭圆的右焦点为()220F ，，已知点(2B 在椭圆C 上， 由椭圆的定义知122BF BF a +=， 所以2a == 所以a =2b =，所以椭圆C 的方程为22184x y +=． ………………4分 （2）因为椭圆C 的左顶点为A ，则点A 的坐标为()-，因为直线(0)y kx k =≠与椭圆22184x y +=交于两点E ，F ， 设点()00,E x y （不妨设00x >），则点()00,F x y --， 联立方程组22,184y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得22812x k =+，所以0x =0y =，………………6分所以直线AE 的方程为y x =+，因为直线AE 与y 轴交于点M ，令0x =得y =，即点M ，同理可得点N ． ………………10分假设在x 轴上存在点(,0)P t ，使得MPN ∠为直角，则0MP NP ⋅=，即20t +=，即240t -=．解得2t =或2t =-．故存在点()2,0P 或()2,0P -，无论非零实数k 怎样变化， 总有MPN ∠为直角．……………………12分21. 解：（1）()()1ln 1ln f x a x x a x x ⎡⎤'=-+⋅=⎢⎥⎣⎦，令()0f x '>，当0a >时，解得1x >；当0a <时，解得01x <<， 所以当0a >时，函数()y f x =的单调递增区间是()1,+∞； 当0a <时，函数()y f x =的单调递增区间是()0,1.…………4分 （2）①2211()()()ln 22h x g x x f x x a x ''==-=-，由题意得()min 0h x ≥，因为()2a x a h x x x x-'=-==，所以当x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减；当)x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增；min 1()2h x h a a ∴==-7分由102a a -≥，得ln 1a ≤，解得0e a <≤， 所以实数a 的取值范围是(]0,e ．…………9分②由（1）知e a =时，()21eln 02h x x x =-≥在()0,x ∈+∞上恒成立，当x =成立，*x ∴∈N 时，22eln x x <，令1,2,3,x n =⋅⋅⋅，累加可得()22222e ln1ln 2ln3ln 123n n ++++<++++ ，即()2222e2ln 123123,n n ⨯⨯⨯⨯<++++()*n ∈N .…………12分22.解：（Ⅰ）曲线C 的参数方程：⎩⎨⎧==ααsin cos 2y x （α为参数），曲线C 的普通方程为1222=+y x ．………………2分 当4πθ=时，直线AB 的方程为1-=x y ，…………3分代入1222=+y x ，可得0432=-x x ，Ⅰ34,021==x x . Ⅰ23403411=-⋅+=AB ；……………………5分 （Ⅰ）直线参数方程代入1222=+y x ， 得01cos 2)sin 2(cos 222=-⋅++t t θθθ．………………7分 设B A ,对应的参数为21,t t ， Ⅰ]1,21[sin 11sin 2cos 122221∈+=+=⋅-=⋅θθθt t PB PA ．…………10分23. 解：（Ⅰ）由题设知：721>++-x x ，令10,20x x -=+=，解得1,2x x ==-，这就是两个分界点。

一、选择题1. 答案：D解析：由指数函数的性质可知，当x>0时，y=2^x是增函数，且2^0=1，故选D。

2. 答案：A解析：由函数的性质可知，y=x^3在定义域内单调递增，故选A。

3. 答案：B解析：由二次函数的性质可知，对称轴为x=-b/2a，顶点坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)，故选B。

4. 答案：C解析：由数列的性质可知，an+1/an=2an/(an+1-an)，故选C。

5. 答案：A解析：由立体几何的性质可知，正方体的对角线互相垂直，故选A。

二、填空题6. 答案：-1/3解析：由指数函数的性质可知，y=2^x在x=0时，y=1，故2^(-1/3)=1/2^1/3=1/2，故答案为-1/3。

7. 答案：-4解析：由二次函数的性质可知，对称轴为x=-b/2a，顶点坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)，故顶点坐标为(-1, -4)。

8. 答案：9解析：由数列的性质可知，an+1/an=2an/(an+1-an)，故an+1=2an(an+1-an)，化简得an+1=2an^2，代入an=1，得an+1=2。

9. 答案：2解析：由立体几何的性质可知，正方体的对角线互相垂直，故正方体的对角线长度为2a，其中a为正方体的边长。

10. 答案：1/2解析：由向量的性质可知，向量a与向量b的数量积等于它们的模长乘以它们的夹角的余弦值，故|a|=1，|b|=2，cosθ=1/2，得θ=60°。

三、解答题11. 解答：（1）由指数函数的性质可知，y=2^x在x=0时，y=1，故2^(-1/3)=1/2^1/3=1/2，得a=1/2。

（2）由二次函数的性质可知，对称轴为x=-b/2a，顶点坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)，代入a=1/2，得顶点坐标为(-1, -4)。

12. 解答：（1）由数列的性质可知，an+1/an=2an/(an+1-an)，故an+1=2an(an+1-an)，化简得an+1=2an^2，代入an=1，得an+1=2。

2021年高三第一次模拟数学（理）试题（含解析）注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的班别、姓名、考号填写在答题卡的密封线内.2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能写在试卷上.3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内相应的位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.本试卷共4页，21小题，满分150分. 考试用时120分钟.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若复数在复平面内对应的点位于第三象限，则实数的取值范围是A. B. C. D.2．已知集合，集合满足，则集合的个数是A.6B. 7C. 8D. 93．已知函数的定义域为，函数的定义域为，则A. B. C. D.4．“”是“函数有零点”的A．充分非必要条件 B.充要条件C．必要非充分条件 D.非充分必要条件5．已知函数，x∈R,则是A．最小正周期为的奇函数B．最小正周期为的偶函数C．最小正周期为的奇函数D．最小正周期为的偶函数6．已知向量, ，如果向量与垂直，则的值为( )A．1 B． C. D．7．已知满足3,2,326,39xy xx yy x≤⎧⎪≥⎪⎨+≥⎪⎪≤+⎩，则的最大值是( ).A. B. C. D. 28．设为平面内一些向量组成的集合,若对任意正实数和向量,都有,则称为“点射域”,则下列平面向量的集合为“点射域”的是A. B.C. D.二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分.（一）必做题（9～13题）9．的解集是▲ .10．在的展开式中常数项是▲ .（用数字作答）11．某中学举行了一次田径运动会，其中有50名学生参加了一次百米比赛，他们的成绩和频率如图所示.若将成绩小于15秒作为奖励的条件，则在这次百米比赛中获奖的人数共有▲人.12. 短轴长为,离心率的椭圆的两焦点为,过作直线交椭圆于两点,则的周长为▲13．如果实数满足等式,那么的取值范围是▲（）▲14.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，圆上的点到直线的距离的最小值为▲ 15．（几何证明选讲选做题）如图2，点是⊙O外一点，为⊙O的一切线,是切点，割线经过圆心O，若，，则▲三、解答题:本大题共6小题，满分80分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.（本小题满分12分）已知数列是一个等差数列，且，. （I ）求的通项；（II ）设，,求2122232log log log log n T b b b b =++++的值。

梧州市2023届高三第一次模拟测试理科数学（答案在最后）（全卷满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1.答题前，考生务必将姓名、座位号、考籍号填写在答题卡上。

2.考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试题上作答无效。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}6U x x =∈≤N ，{}1,2,3,4M =，{}2,3,4,5N =，则()UM N =（ ）A.{}0,2,3,4,5,6B.{}2,3,4,5,6C.{}0,4,5D.{}42.若复数z 满足()1i i z -=，则在复平面内z 的共轭复数对应的点位于（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知向量a ，b 满足1a =，2b =，23a b +=，则2a b -=（ ）A.3D.44.如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为（ ）A.6B.8C.10D.125.在ABC △中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin sin 3a C c A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭.若2a =，4b =，则c =（ ）A.2B. C.4D.6.若点P 为抛物线24x y =上一点，F 为焦点，且3PF =，则点P 到x 轴的距离为（ ） A.2B.3C.4D.57.某中学从3名男教师和2名女教师中选出3名教师，派到3个不同的乡村支教，要求这3名教师中男女都有，则不同的选派方案共有______种.（ ） A.9B.36C.54D.1088.已知偶函数()f x 在(],0-∞上单调递减，且()10f =，则不等式()20xf x ->的解集为（ ）A.()1,3B.()3,+∞C.()()3,13,--+∞D.()()0,13,+∞9.在三棱锥P ABC -中，已知PA ⊥平面ABC ，2PA AB AC ===，23BAC π∠=.若三棱锥P ABC -的各顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为（ ） A.20πB.12πC.8πD.4π10.若函数()()()10,2f x x ωϕωϕπ=++><的部分图象如图所示，直线23x π=为函数()f x 图象的一条对称轴，则函数()()g x x ωϕ=+的单调递减区间为（ ）A.()7,1212k k k ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦Z B.()5,1212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z C.(),36k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ZD.()2,63k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z 11.已知双曲线()222:104x y C a a -=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为双曲线C 右支上的动点，过P 作两渐近线的垂线，垂足分别为A ，B .若圆()2221x y -+=与双曲线C 的渐近线相切，则下列结论正确的有______个.（ ） ①4a =；②PA PB ⋅为定值；③双曲线C 的离心率e =④当点P 异于顶点时，12PF F △的内切圆的圆心总在直线x =. A.1B.2C.3D.412.已知32log 16a =，ln 2.16b =，tan 4c =，其中e 2.71828=，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A.b a c <<B.a c b <<C.a b c <<D.b c a <<二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知()1sin 043πααπ⎛⎫-=<< ⎪⎝⎭，则sin cos αα+=______. 14.直线:l y x =与圆()()()222:120C x y a a -+-=>交A ，B 两点，若ABC △为等边三角形，则a 的值为______.15.若一个正四棱台的上下底面的边长分别为2和4______.16.已知函数()3,0,e ,0.x x xf x x x+≤⎧⎪=⎨>⎪⎩若关于x 的方程()()210f x af x +-=⎡⎤⎣⎦有3个不同的实数根，则a 的取值范围为______.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，全科试题免费下载公众号《高中僧课堂》考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17.（本题满分12分）已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，22n n S a +=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记2,,log ,.n n na nb a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数求{}n b 前12项的和.18.（本题满分 12分）某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[)40,50，[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100.（1）求图中x 的值和学生成绩的中位数；（2）从成绩低于60分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在50分以下的人数记为X ，求X 的分布列与数学期望.19.（本题满分 12分）如图，直三棱柱ABC DEF -中，AC BC =，AC BC ⊥，2AD AB =，点N 为BE 的中点，现将ABC △绕直线AB 旋转，使得点C 与平面ABED 内的点M 重合.（1）求证：MC DE ⊥；（2）求二面角M AC N --的余弦值. 20.（本题满分12分）已知函数()e 1ln x k f x x x+=+，其中0k ≥.（1）求函数()f x 的最小值； （2）证明：()2111ln *,221nn n n n -+>-∈≥+N . 21.（本题满分12分）已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>过点(0,B ，左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 的直线交E 于M ，N 两点（M ，N 均在y 轴右侧），1MNF △的周长为8. （1）求椭圆E 的方程；（2）直线1MF 和1NF 分别交椭圆E 于C ，D 两点，设CD 与x 轴交于点P ，证明：PB 为定值. （二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22.[选修4—4：坐标系与参数方程]（本题满分 10分）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为212x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2228sin 90ρρθ+-=. （1）求l 的极坐标方程和C 的直角坐标方程； （2）若l 与C 交于A ，B 两点，求OA OB +的值. 23.[选修4—5：不等式选讲]（本题满分10分） 已知函数()121f x x x =++-. （1）求不等式()8f x <的解集；（2）设函数()()1g x f x x =--的最小值为m ，且正实数a ，b ，c 满足a b c m ++=，求证：2222a b c b c a++≥ 梧州市2023届高三第一次模拟测试理科数学参考答案1.A 【解析】{}0,5,6UM =，(){}0,2,3,4,5,6U M N =.故选A.2.D 【解析】由()1i i 2z -===得()()()21i 21i 1i 1i 1i z +===+-+-，则1i z =-，则复平面内z 的共轭复数对应的点位于第四象限.故选D.3.D 【解析】由22224411649a b a b a b a b +=++⋅=++⋅=得48a b ⋅=-，因为()22224444816a b a b a b -=+-⋅=+--=，所以24a b -=.故选D.4.C 【解析】由三视图知该几何体是底面为梯形的直棱柱，其体积为2322102+⨯⨯=，故选C. 5.B 【解析】由正弦定理sin sin a c A C =，及sin sin 3a C c A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得sin sin sin sin 3A C C A π⎛⎫+=⋅ ⎪⎝⎭，又sin 0A ≠，整理得sin C C =，所以tan C =，又()0,C π∈，所以3C π=，由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，得2416812c =+-=，c =.故选B.6.A 【解析】抛物线方程为24x y =，可知准线方程为1y =-，由抛物线的定义可知点P 到准线的距离为3，从而可知点P 到x 轴的距离为2.故选A.7.C 【解析】从含有3名男教师和2名女教师的5名教师中任选3名教师，派到3个不同的乡村支教，不同的选派方案有35A 种，选出3名教师全是男教师的不同的选派方案有33A 种，所以3名教师中男女都有的不同选派方案共有3353A A 54-=种.故选C.8.D 【解析】偶函数()f x 在(),0-∞上单调递减，则在()0,+∞单调递增，因为()10f =，则()10f -=，故当()1,1x ∈-，()0f x <；当()(),11,x ∈-∞-+∞，()0f x >；因()20xf x ->，则当0x >时，()20f x ->，即21x ->或21x -<-，解得()()0,13,x ∈+∞，则当0x <时，()20f x -<，即121x -<-<，解集为空集，所以不等式()20xf x ->的解集为()()0,13,x ∈+∞.故选D.9.A 【解析】因为2AB AC ==，23BAC π∠=，所以BC ==形ABC的外接圆直径242sin3r π==，所以2r =，因为PA ⊥平面ABC ，2PA =，由于三角形OPA 为等腰三角形，则有该三棱锥的外接球的半径R ==O 的表面积为20π.故选A.10.B 【解析】令t x ωϕ=+，则()()()10,2f x x ωϕωϕπ=++><可以看作由12y t =+经过适当的变换得到的. 由题中图象知点,212π⎛⎫⎪⎝⎭在函数()f x 的图象上，12122πωϕ⎛⎫++=⎪⎝⎭，即sin 12πωϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则结合12y t =+的图象可得123ππωϕ+=.……① 又直线23x π=为函数()f x 图象的一条对称轴，结合12y t =+图象可得2332ππωϕ+=.……②②-①解得2ω=，再代入①解得：6πϕ=，所以()26g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. 由()2226k x k k ππππ≤+≤+∈Z ，得()51212k x k k ππππ-≤≤+∈Z .故选B. 11.C 【解析】由题意双曲线的渐近线方程是20x ay ±=，圆()2221x y -+=的圆心是()2,0，半径是1，1=，a =-，①错误. 又2b =，所以4c ==，离心率为c e a ===设12PF F △的内切圆与三边切点分别为D ，E ，H ，如图，由圆的切线性质知1212122F D F D F H F E F P F P a -=-=-=，所以D x a =，因此内心I 在直线x a =，即直线x =④正确；设()00,P x y ，则22001124x y -=，2200312x y -=，渐近线方程是0x ±=，则PA =，PB =，2200334x y PA PB -⋅==为常数，②正确；故选C.12.A 【解析】32log 160.8a ==，设()tan 02f x x x x π⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭，()2sin 111cos cos x f x x x '⎛⎫'=-=- ⎪⎝⎭， 因为20cos 1x <<，所以()0f x '>，即()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以()()00f x f >=，即tan 02x x x π⎛⎫><<⎪⎝⎭， 40,2ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，所以()tan 440.8ππ->->，而()tan 4tan 4π-=，所以tan 40.8>.设()e e xg x x =-，则()e e xg x '=-，当(),1x ∈-∞，()0g x '<，当()1,x ∈+∞，()0g x '>，所以()()10g x g ≥=，即e e x x ≥（当且仅当1x =）等号成立，所以0.8e 0.8e 0.8 2.7 2.16>>⨯=，0.8ln 2.16>， 综上，32tan 40.8log 16ln 2.16>=>，所以b a c <<.13.43【解析】由题意得3,444πππα⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，而1sin 432πα⎛⎫-=< ⎪⎝⎭，故0,42ππα⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，cos 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭故4sin cos 443ππαααα⎛⎫⎛⎫+=+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.C 到直线:l y x ==a =.15.28【解析】因为上下底面的对角线长分别为和3=，所以棱台的体积为()221243283⨯+⨯=.16.81,e 3e ⎛⎫⎧⎫-∞--⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭【解析】当0x >，()()2e 1x xf x x -'=，令()0f x '=解得1x =， 当01x <<时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>所以()f x 在()0,1上递减，在[)1,+∞上递增，()()min 1e f x f ==.设()f x m =，则210m am +-=有两个不同的实数根，由121m m =-可知，1m 与2m 异号，不妨设120m m <<，要使方程()()210f x af x +-=⎡⎤⎣⎦有3个不同的实数根，则2e m =或23m >，①当2e m =时，2e e 10a +-=，得21e 1e e ea -==-； ②当23m >时，设()21h m m am =+-，则()30h <，得83a <-，综上a 的取值范围为81,e 3e ⎛⎫⎧⎫-∞--⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭.17.解：（1）当2n ≥时，1122n n S a --+=，……1分又22n n S a +=，两式相减得122n n n a a a -=-，即12n n a a -=.……3分 又因为1n =时，1122a a +=，得12a =，所以数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列.……5分所以2nn a =.……6分（2）由（1）知，22,,log ,.n n n n b a n n ⎧=⎨=⎩为奇数为偶数……9分()()1311122222412T =+++++++……10分()()62146212142⨯-⨯+=+-……11分2772=.……12分 18.解：（1）由频率分布直方图知()0.00620.0180.0260.030101x ++++⨯=，解得0.010x =.……2分 设成绩的中位数为m ，有()()0.0060.0100.01810700.0300.5m ++⨯+-⨯=，得1753m =.……4分 （2）由频率分布直方图知成绩低于60分的学生人数为()0.0100.00610508+⨯⨯=， 成绩在50分以下的人数为0.00610503⨯⨯=.因此X 可能的取值为0，1，2，……6分()023528C C 100C 28P X ===，()113528C C 151C 28P X ===，()203528C C 32C 28P X ===. 所以X 的分布列为……10分故X 的数学期望为()1015330122828284E X =⨯+⨯+⨯=.……12分19.解：（1）证明：如图所示，取AB 的中点O ，连接CO ，MO ， 由AC BC =，AC BC ⊥，可得ABC △为等腰直角三角形，所以AMB △为等腰直角三角形，所以CO AB ⊥，MO AB ⊥.……2分 又由COMO O =，CO ，MO ⊂平面MCO ，所以AB ⊥平面MCO .……4分因为MC ⊂平面MCO ，所以MC AB ⊥.又因为AB DE ∥，所以MC DE ⊥.……5分（2）由（1）易知CO ⊥平面ABED ，以O 为坐标原点，以OM ，OB ，OC 所在直线分别为x 轴，y 轴、z 轴，建立的空间直角坐标系如图所示，设1OA =，则()1,0,0M ，()0,0,1C ，()0,1,0A -，()2,1,0N -， 可得()1,0,1MC =-，()0,1,1AC =，()2,2,0AN =-.……6分设平面CAN 的法向量为(),,n x y z =，则0,0,n AC n AN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,220,y z x y +=⎧⎨-+=⎩取1z =-，则1x y ==，所以平面CAN 的一个法向量为()1,1,1n =-，……8分设平面ACM 的法向量为(),,m a b c =，则0,0,m AC m MC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,0,b c a c +=⎧⎨-+=⎩取1a =，则1b =-，1c =，所以平面ACM 的一个法向量为()1,1,1m =-，……10分 所以1cos ,31m n m n m n⋅===-+，由于二面角M AC N --为钝二面角，故二面角M AC N --的余弦值为13-.……12分20.解：（1）()1e ln x k f x x x x =++，()()()()()222221e 1e 1e 1111xx xk x k x k x x f x x x x x x x+----'=-+=+=，……1分因为0k ≥，所以当01x <<时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>，……3分故()f x 在()0,1上递减，在()1,+∞上递增，……4分故()()min 1e 1f x f k ==+.……5分（2）由（1）知，当0k ≥时，e 1ln e 1x k x k x++≥+，……6分 即当0k =时，1ln 1x x +≥，即1ln x x x-≥（当且仅当1x =时，等号成立），……7分 令()*,2x n n n =∈≥N ，则1ln n n n ->，所以()22ln 111n n n n n ->--.……8分 而即()()21111111n n n n n n n -==-++-，故2ln 1111n n n n >--+……9分 从而ln 211323>-，ln 311834>-，…，2ln 1111n n n n >--+， 累加可得2ln 2ln 3ln 1138121n n n +++≥--+， 2ln 2ln 3ln 1138121n n n +++≥--+……11分 211138111ln 2ln 3ln 21n n n -+++>-+， 故()2111ln ln *,221n nn n n -++>-∈≥+N 证毕.……12分 21.解：（1）由(0,B 知b =1MNF △的周长为8， 知48a =，所以2a =，……2分椭圆E 的方程为：22143x y +=.……4分 （2）证明：由（1）可得，()11,0F -，()21,0F ，设直线:1MN x ty =+，与22143x y +=联立， 消去x 整理得()2234690t y ty ++-=，……6分 设()11,M x y ，()22,N x y ，直线111112:11x ty MC x y y y y ++=-=-，与22143x y +=联立，消去x 整理得2211112234690ty ty y y y y ⎡⎤⎛⎫++⎢⎥⋅+-⋅+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 所以()2221111222111111993962127341212234C y y y y y ty ty t y ty ty y ⋅==-=-=-+++++⎛⎫++ ⎪⎝⎭，……8分 所以11327C y y ty =-+，从而()1132127C ty x ty +=--+， 同理可得2237D y y ty =-+，()2232127D ty x ty +=--+，所以()()212121213327277323232727CD y y ty ty k ty ty t ty ty -+++==+++++， 所以()11113237:127327ty y CD y x ty t ty +⎡⎤+=⋅++⎢⎥++⎣⎦，……10分 令0y =可得，1119361371277ty ty x ty --=-=-+，即直线CD 过定点13,07P ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 所以PB ==.……12分 22.解：（1）因为直线l 的参数方程为,212x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），所以消去参数t 得x =，即y =，显然直线l 过原点，倾斜角为6π，直线l 的极坐标方程为()6πθρ=∈R .……3分曲线C 的极坐标方程化为2222cos 9sin 9ρθρθ+=，将222cos ,sin ,,x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪=+⎩代入得：2299x y +=，即2219x y +=， 所以l 的极坐标方程为()6πθρ=∈R ，C 的直角坐标方程为2219x y +=.……5分（2）把()6πθρ=∈R 代入2228sin 90ρρθ+-=得23ρ=，解得ρ=7分所以OA OB ==8分所以OA OB +=……10分23.解：（1）由题意可得：()31,1,1213,11,31,1,x x f x x x x x x x -≥⎧⎪=++-=--<<⎨⎪-+≤-⎩……2分当1x ≥时，则()318f x x =-<，解得13x ≤<；当11x -<<时，则()38f x x =-<，解得11x -<<；当1x ≤-时，则()318f x x =-+<，解得713x -<≤-. 综上所述：不等式()8f x <的解集为7,33⎛⎫- ⎪⎝⎭.……4分（2）证明：因为()()1112g x f x x x x =--=++-≥，当且仅当[]1,1x ∈-时等号成立， 所以函数()g x 的最小值为2m =，则2a b c ++=，……6分又因为22a b a b +≥=，当且仅当2a b b =，即a b =时等号成立；22b c b c +≥=，当且仅当2b c c =，即b c =时等号成立；22c a c a +≥=，当且仅当2c a a =，即a c =时等号成立.……8分 上式相加可得：222222a b c b c a a b c b c a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++≥++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当a b c ==时等号成立， 所以2222a b c a b c b c a++≥++=.……10分。

甘肃省兰州市第五十中学2022-2023学年高三第一次模拟考试数学（理科）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合(){}2R log 22A x x =∈-<，{}1,0,1,2,3B =-，则A B ⋂真子集的个数（）A ．8B ．7C ．4D ．62．设i 是虚数单位，若复数12z i =+，则复数z 的模为（）A ．1B ．CD 3．下列命题中是假命题的是()A ．∃x ∈R ，2log 0x =B ．∃x ∈R ，cosx ＝1C ．∀x ∈R ，2x >0D ．∀x ∈R ，2x >04．已知α=（）A ．3B ．3-C ．1D ．1-5．总体由编号为01，02，⋯，49，50的50个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第6行的第9列和第10列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出的第4个个体的编号为()附：第6行至第9行的随机数表27486198716441487086288885191620747701111630240429797991968351253211491973064916767787339974673226357900337091601620388277574950A ．3B ．19C ．38D ．206．已知非零单位向量,a b 满足a b a b +=- ，则a 与b a -的夹角是（）A ．6πB ．3πC ．4πD ．34π7．若存在x ∈R ，使ax 2＋2x ＋a <0是真命题，则实数a 的取值范围是（）A ．(－∞，1)B ．(－∞，1]C ．(－1，1)D ．(－1，1]8．数列{}n a 满足11a =，且对任意的*n ∈N 都有11n na a a n +=++，则1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前100项和为A ．100101B ．99100C ．101100D ．2001019．一个几何体三视图如下图所示，则该几何体体积为（）A ．12B ．8C ．6D ．410．已知F 是椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的左焦点，经过原点O 的直线l 与椭圆E 交于P ，Q 两点，若3PF QF =，且120PFQ ∠=︒，则椭圆E 的离心率为（）A B ．12C D 11．李雷和韩梅梅两人都计划在国庆节的7天假期中，到“东亚文化之都--泉州”“二日游”，若他们不同一天出现在泉州，则他们出游的不同方案共有A ．16种B ．18种C ．20种D ．24种12．已知函数()ln af x x x =-，若函数()f x 在[]1,e 上的最小值为32，则a 的值为A ．B ．e2-C ．32-D ．12e 二、填空题13．如图为计算y x =函数值的程序框图，则此程序框图中的判断框内应填________．14．已知0,0x y >>，若2282y x m m x y+>+恒成立，则实数m 的取值范围是________．15．已知直线12:l y x =，则过圆222410x y x y ++-+=的圆心且与直线1l 垂直的直线2l 的方程为________.16．对大于或等于2的自然数m 的n 次方幂有如下分解方式：2213=+23135=++241357=+++3235=+337911=++3413151719=+++根据上述分解规律，则2513579=++++,若3*()m m N ∈的分解中最小的数是73，则m 的值为__________.三、解答题17．在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，1AD BD CD ===．(1)若32AB =，求BC ；(2)若2AB BC =，求cos BDC ∠．18．如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为直角梯形，AD BC ∥，AB ⊥AD ，四边形ADEF 为正方形，平面ADEF ⊥平面ABCD ．BC ＝3AB ＝3AD ，M 为线段BD 的中点．(1)求证：BD ⊥平面AFM ；(2)求平面AFM 与平面ACE 所成的锐二面角的余弦值．19．清华大学自主招生考试题中要求考生从A ，B ，C 三道题中任选一题作答，考试结束后，统计数据显示共有600名学生参加测试，选择A ，B ，C 三题答卷数如下表：题ABC答卷数180300120（Ⅰ）负责招生的教授为了解参加测试的学生答卷情况，现用分层抽样的方法从600份答案中抽出若干份答卷，其中从选择A 题作答的答卷中抽出了3份，则应分别从选择B ，C 题作答的答卷中各抽出多少份？（Ⅱ）测试后的统计数据显示，A 题的答卷得优的有60份，若以频率作为概率，在（Ⅰ）问中被抽出的选择A 题作答的答卷中，记其中得优的份数为X ，求X 的分布列及其数学期望E X （）．20．已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>:1l x ty =+交E 于A ，B 两点；当0=t 时，AB =（1）求E 的方程；（2）设A 在直线3x =上的射影为D ，证明：直线BD 过定点，并求定点坐标.21．设函数()()22f x alnx x a x =+-+，其中.a R ∈(Ⅰ)若曲线()y f x =在点()()22f ，处切线的倾斜角为4π，求a 的值;(Ⅱ)已知导函数()'f x 在区间()1e ，上存在零点，证明:当()1x e ∈，时，()2f x e >-.22．已知曲线C ：22149x y +=和直线l ：222x t y t=+⎧⎨=-⎩（t 为参数）．(1)求曲线C 的参数方程和直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与直线l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求PA 的最大值与最小值．23．已知,,R a b c ∈，且满足236a b c ++=，求22223a b c ++的最小值．参考答案：1．B【分析】利用对数不等式的解法及交集的定义，结合真子集的个数公式即可求解.【详解】由题()2log 22x -<，则024x <-<，得22x -<<，所以{}R 22A x x =∈-<<，{}{}{}R 221,0,1,2,31,0,1A B x x ⋂=∈-<<⋂-=-，所以A B ⋂真子集的个数为3217-=．故选：B.2．D【分析】根据复数模的计算公式，计算出z 的模.【详解】依题意，z ==，故选D.【点睛】本小题主要考查复数模的概念及运算，属于基础题.3．C【详解】21,log 0x x ∃==；0,cos 1x x ∃==；2,0x R x ∀∈≥；,20x x R ∀∈>，所以假命题是C 4．C【分析】由α为第二象限角，可得sin 0,cos 0αα><，再结合22sin cos 1αα+=，化简即可.cos 2sin cos sin cos ααααα+=+，因为α为第二象限角，所以sin 0,cos 0αα><，所以cos 2sin 2sin cos 211sin cos sin cos αααααααα-+=+=-=.故选：C.【点睛】本题考查同角三角函数基本关系的运用，考查学生的计算能力，属于基础题.5．B【解析】根据用用随机数表法进行简单随机抽样的方法，得出结论．【详解】解：从随机数表第6行的第9列和第10列数字开始从左到右依次选取两个数字，位于01至50中间，含端点，则这四个数为：41、48、28，19，故选：B ．【点睛】本题主要考查用随机数表法进行简单随机抽样，属于基础题．6．D【分析】由||||a b a b +=- 等式两边同时平方可得0a b ⋅= ，同时计算出||b a - 的值，设a 与b a-的夹角为θ，代入公式()cos ||||a b a a b a θ⋅-=-，计算可得答案.【详解】解：由||||a b a b +=- 等式两边同时平方可得：222222a b a b a b a b ++⋅=+-⋅，化简可得：0a b ⋅= ，又因为222||21102b a a b a b -=+-⋅=+-=，所以||b a -=，设a 与b a -的夹角为θ，则()cos 2||||a b a a b a θ⋅-==-- ，又0θπ，所以34πθ=，故选：D .【点睛】本题主要考查向量的模、夹角及平面向量数量积的公式，考查学生的计算能力，属于中档题.7．A【分析】求得特称命题的否定，结合一元二次不等式在R 上恒成立求参数范围即可.【详解】命题：存在x ∈R ，使ax 2＋2x ＋a <0的否定是：对任意的x R ∈，220ax x a ++≥.若对任意的x R ∈，220ax x a ++≥为真命题，则：当0a =时，20x ≥，显然不是恒成立，故舍去；当0a ≠时，0a >，且2Δ440a =-≤，解得[)1,a ∈+∞.综上所述，[)1,a ∈+∞.又因为原命题：存在x ∈R ，使ax 2＋2x ＋a <0是真命题，故任意的x R ∈，220ax x a ++≥是假命题.故(),1a ∈-∞.故选：A .【点睛】本题考查由特称命题的真假求参数的范围，涉及一元二次不等式在R 上恒成立求参数范围，属综合基础题.8．D【详解】试题分析：由11n n a a a n +=++可得,取,并将这些等式两边相加可得因,因,故,故应选D.考点：数列求和的叠加和裂项相消等方法．【易错点晴】本题重点考查是数列求和的方法,解答时可充分借助题设条件,先想方设法求出数列{}n a 的通项公式,再求数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前100项和.在求数列{}n a 一的通项公式时,依据11n n a a a n +=++道可得,再对取值,并将所得这个等式两边相加,抵消去相同的项并化简计算可得,当得到时,再巧妙地将其变形为,运用裂项相消的方法从而使问题获解.9．D【分析】根据三视图还原立体几何图得该几何体为三棱锥，然后代入棱锥体积计算公式求解.【详解】由三视图可知该几何体为三棱锥，如图，故其体积11234432V =⨯⨯⨯⨯=，故选：D ．10．A【分析】根据题意设椭圆的右焦点，根据正弦定理即可求得a 和c 的关系，即可求得椭圆的离心率．【详解】解：设椭圆的右焦点F '，连接PF '，QF '，根据椭圆对称性可知四边形PFF Q '为平行四边形，则QF PF '=，且由120PFQ ∠=︒，可得60FPF '∠=︒，所以42PF PF PF a ''+==，则12PF a '=，32PF a =由余弦定理可得()()222222cos 603c PF PF PF PF PF PF PFPF ''''=+-︒=+-，即2222974444c a a a =-=，∴椭圆的离心率4e ==，故选：A ．【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，其中涉及到椭圆的定义以及余弦定理，对学生的分析与计算能力要求较高，难度较难.11．C【详解】分析：根据分类计数原理，“东亚文化之都﹣﹣泉州”“二日游”，任意相邻两天组合一起，一共有6种情况，如①②，②③，③④，④⑤，⑤⑥，⑥⑦，分两种情况讨论即可．详情：任意相邻两天组合一起，一共有6种情况，如①②，②③，③④，④⑤，⑤⑥，⑥⑦，若李雷选①②或⑥⑦，则韩梅梅有4种选择，选若李雷选②③或③④或④⑤或⑤⑥，则韩梅梅有3种选择，故他们不同一天出现在泉州，则他们出游的不同方案共有2×（4+6）=20，故答案为C点睛：本题主要考查计数原理，意在考查计数原理等基础知识的掌握能力和分类讨论思想的运用能力.12．A【详解】由题意，()221a x a f x x x x+'=+=，若0a ≥，则()0f x ¢>，函数()f x 在[]1,e 上单调递增，所以3(1)2f a =-=，矛盾；若1e a -<<-，函数()f x 在[1,]a 上递减，在[,]a e 上递增，所以3()2f a =，解得a =若10a -≤<，函数()f x 在[]1,e 上是递增函数，所以3(1)2f a =-=，矛盾；若a e ≤-，函数()f x 在[]1,e 上单调递减，所以3()2f e =，解得2ea =-，矛盾.综上a =故选：A.13．0?x <【分析】将y x =化简成分段函数即可求解【详解】由()()00x x y x x x ⎧≥⎪==⎨-<⎪⎩知，判断框内应填0?x <故答案为：0?x <14．42m -<<【详解】由于2282y xm m x y +>+恒成立，需2min 282y x m m xy ⎛⎫+>+⎪⎝⎭，由基本不等式得288y x x y +≥，因此282m m >+，∴42m -<<．点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.15．230x y +-=【分析】将圆的一般方程化为标准方程,求得圆心.由两条直线垂直可得直线2l 的斜率.由点斜式即可求得直线2l 的方程.【详解】圆222410x y x y ++-+=,化为标准方程可得()()22124x y ++-=则圆心坐标为()1,2-因为12:l y x =,直线1l 与直线2l 垂直由两条直线垂直的斜率关系可得直线2l 的斜率为12k =-由点斜式方程可得()1122y x =-++化简即230x y +-=故答案为:230x y +-=【点睛】本题考查了圆的一般方程与标准方程的转化,两条直线垂直时斜率关系,点斜式方程的简单应用,属于基础题.16．9【详解】试题分析：根据23=3+5，33=7+9+11，43=13+15+17+19，从23起，m 3的分解规律恰为数列3，5，7，9，若干连续项之和，23为前两项和，33为接下来三项和，故m 3的首数为m 2－m+1．∵m 3（m ∈N *）的分解中最小的数是73，∴m 2-m+1=73，∴m=9．故答案为9．考点：本题主要考查归纳推理，等差数列通项公式．点评：中档题，归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题．17．(1)21【分析】（1）在三角形ABD 中，根据余弦定理可求出A ∠的大小，即为BDC ∠的大小，然后在三角形BCD 中根据余弦定理可以求出BC 的值（2）根据A BDC ∠=∠，分别表示出两角的余弦令其相等，可求出AB 的长度，从而求出cos BDC∠【详解】（1）在三角形ABD 中，根据余弦定理可得，22291134cos 324212AB AD BD A AB AD +-+-∠===⋅⋅⨯⨯，由题得：A ABD BDC ∠=∠=∠，所以3cos cos 4BDC A ∠=∠=，在三角形BCD 中，根据余弦定理可得，222312cos 11242BC BD CD BD CD BDC =+-⋅⋅⋅∠=+-⨯=，所以，BC =（2）设22AB BC a ==，在三角形ABD 中，根据余弦定理可得，2222411cos 2221AB AD BD a A a AB AD a +-+-∠===⋅⋅⨯⨯，在三角形BCD 中，根据余弦定理可得，22222112cos 22112BD CD BC a a BDC BD CD +-+--∠===⋅⋅⨯⨯，所以222a a -=，得：1a =或1a =（舍），则cos cos 1BDC A a ∠=∠==18．(1)证明见解析；【分析】(1)证明AF ⊥BD 以及BD ⊥AM 即可求证BD ⊥AM ；(2)在点A 处建立空间坐标系，分别计算平面AFM 与平面ACE 的法向量，结合空间角与向量角的联系计算即可.【详解】（1）因为四边形ADEF 为正方形，所以AF ⊥AD ．又因为平面ADEF ⊥平面ABCD ，且平面ADEF 平面ABCD ＝AD ，AD ⊂平面ADEF ，所以AF ⊥平面ABCD ，而BD ⊂平面ABCD ，所以AF ⊥BD ，因为AB ＝AD ，M 线段BD 的中点，所以BD ⊥AM ，且AM ∩AF ＝A ，,AM AF ⊂平面AFM ，所以BD ⊥平面AFM （2）由（1）知AF ⊥平面ABCD ，所以AF ⊥AB ，AF ⊥AD ，又AB ⊥AD ，所以AB ，AD ，AF 两两垂直．分别以AB ，AD ，AF 为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系A －xyz （如图）．设AB ＝1，则A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (1,3,0)，D (0,1,0)，E (0,1,1)，所以()1,1,0BD =- ，()0,1,1AE = ，()1,3,0AC =，设平面ACE 的一个法向量为(),,n x y z = ，则0,AC n AE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即300x y y z +=⎧⎨+=⎩，令y ＝1，则3,1x z =-=-，则()3,1,1n =--．由（1）知，()1,1,0BD =- 为平面AFM 的一个法向量．设平面AFM 与平面ACE 所成的锐二面角为θ，则cos cos ,11BD n BD n BD n θ⋅-⨯-+⨯+-⨯===．所以平面AFM 与平面ACE所成的锐二面角的余弦值为11．19．(Ⅰ)5份，2份；（Ⅱ）详见解析．【详解】试题分析：(Ⅰ)根据分层比是，所以每一层都是按此分层比抽取，题抽取，题抽取的是；（Ⅱ）由题可知得优的概率是，所以题抽取的3人中，答案满足优的份数,根据二项分布的公式列出分布列，和期望．试题解析：解：（Ⅰ）由题意可得：题AB C答卷数180300120抽出的答卷数352应分别从题的答卷中抽出份，份．（Ⅱ）由题意可知，A 题答案得优的概率为，显然被抽出的A 题的答案中得优的份数的可能取值为0,1,2,3，且1~3(,3)X B ．0303128(0)3327P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；1213124(1)339P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；；333121(3)3327P X C ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭随机变量的分布列为：8274929127所以842101231279927EX =⨯+⨯+⨯+⨯=（）．考点：1．分层抽样；2．二项分布．20．（1）2213x y +=；（2）证明见解析，定点()2,0.【分析】（1）首先根据题意得到223a b =，椭圆过点1,3⎛ ⎝⎭，从而得到a =1b =，即可得到椭圆的标准方程.（2）首先设()11,A x y ，()22,B x y ，则()13,D y ，联立椭圆与直线得到()223220t y ty ++-=，利用根系关系得到1212ty y y y ⋅=+，再写出直线()2112:33y y BD y x y x -=-+-，利用根系关系即可得到定点.【详解】（1）由题意得22222223c a b e a a -===，整理得223a b =，由0=t时，3AB =，得到椭圆过点⎛ ⎝⎭，得221213a b +=.因此a =1b =，故E 的方程是2213x y +=.（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，则()13,D y .将1x ty =+代入2213x y +=得()223220t y ty ++-=，12223ty y t +=-+，12223y y t ⋅=-+，.从而1212ty y y y ⋅=+①.直线()2112:33y y BD y x y x -=-+-，设直线BD 与x 轴的交点为()0,0x ，则()21012303y y x y x --+=-，.所以()()12121120212121322333y x y ty y ty y x y y y y y y ---=+=+=+---，.将①式代入上式可得02x =.故直线BD 过定点()2,0.【点睛】本题第一问考查椭圆的标准方程，第二问考查直线与椭圆的位置关系，同时考查学生的计算能力，属于中档题.21．(Ⅰ)2a =；(Ⅱ)证明见解析【解析】(Ⅰ)求导得到()()'22a f x x a x =+-+，()'ta 12n 4f π==，解得答案.(Ⅱ)()()()12'0x x a f x x--==，故02a x=，()f x 在()01,x 上单调递减，在()0,x e 上单调递增，()20000min 2ln 2f x x x x x =--，设()22ln 2g x x x x x =--，证明函数单调递减，故()()2min g x g e e >=-，得到证明.【详解】(Ⅰ)()()2ln 2f x a x x a x =+-+，故()()'22af x x a x=+-+，()()'42tan 1242a f a π=+-+==，故2a =.(Ⅱ)()()()()12'220x x a af x x a x x--=+-+==，即()22,a x e =∈，存在唯一零点，设零点为0x ，故()()000'220af x x a x =+-+=，即02a x =，()f x 在()01,x 上单调递减，在()0,x e 上单调递增，故()()()()0220000i 0000m n ln 22ln 22a x x a x x x f x f x x x x +-+=+-+==200002ln 2x x x x =--，设()22ln 2g x x x x x =--，则()'2ln 2g x x x =-，设()()'2ln 2h x g x x x ==-，则()2'20h x x=-<，()h x 单调递减，()()1'12h g ==-，故()'2ln 20g x x x =-<恒成立，故()g x 单调递减.()()2min g x g e e >=-，故当()1x e ∈，时，()2f x e >-.【点睛】本题考查了函数的切线问题，利用导数证明不等式，转化为函数的最值是解题的关键.22．(1)曲线C 的参数方程为2cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）；直线l 的普通方程为260x y +-=；(2)．【分析】（1）令cos 2sin 3xy θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即可得到椭圆的参数方程；消去t ，即可得到直线的普通方程；（2）根据参数方程，表示出点()2cos 3sin P θθ,到直线的距离，再表示出PA ，根据辅助角公式，即可求出PA 的最值.【详解】（1）令cos 2sin 3xy θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得曲线C 的参数方程为2cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）．根据222x ty t =+⎧⎨=-⎩消去t 可得，直线l 的普通方程为260x y +-=．（2）曲线C 上任意一点()2cos 3sin P θθ,到直线l ：260x y +-=的距离为d =3sin 6θθ=+-()6θα=+-，其中4tan 3α=，且α为锐角．过点P 作PB l ⊥，垂足为B ，则30PAB Ð= ，PB d =.在Rt PBA 中，sin 30sin 30PB d PA ==︒︒()6θα=+-，其中4tan 3α=，且α为锐角．当()sin 1θα+=-时，PA取得最大值为5．当()sin 1θα+=时，PA．23．6【分析】利用柯西不等式求出最小值.【详解】由柯西不等式，得()()()2222123231a b c a ++++≥⋅++．得()()22226232336a b c a b c ++≥++=．所以222236a b c ++≥．当且仅当1a =，即1abc ===时，上式等号成立．所以22223a b c ++的最小值为6．。

２01９届河北省衡水中学 高三第一次摸底考试数学(理)试题数学注意事项:1、答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

２、选择题的作答:每小题选出答案后,用２B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效、３。

非选择题的作答:用签字笔直截了当答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效、４、考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单选题1。

复数z =(−3−4i )i 在复平面内对应的点位于Ａ、 第一象限 Ｂ、 第二象限 C 、 第三象限 Ｄ。

第四象限 2、已知全集U ＝R,M ={x|−x 2≥2x }则C U M = A 、 {x |−2<x <0 } B 、 {x |−2≤x ≤0 } C 、 {x|x <−2或x >0 } D 。

{x|x ≤−2或x ≥0 }３、某地某所高中201９年的高考考生人数是2019年高考考生人数的1、５倍,为了更好地对比该校考生的升学情况,统计了该校2019年和2019年的高考情况,得到如下柱状图:20１9年高考数据统计 20１９年高考数据统计 则下列结论正确的是A 、 与201９年相比,20１9年一本达线人数减少Ｂ、 与2019年相比,2０19年二本达线人数增加了0、5倍 C 、 与2019年相比,2019年艺体达线人数相同 D 、 与2０19年相比,２019年不上线的人数有所增加４、已知等差数列{a n }的公差为２,前n 项和为S n ,且S 10=100,则a 7的值为 Ａ、 11 B 、 １2 C 、 13 D 。

１４5、已知f (x )是定义在R 上的奇函数,若x >0时,f (x )=xlnx ,则x <0时,f (x )= Ａ、 xlnx B 、 xln (−x ) C 、 −xlnx D 。