3第三讲
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一二维形式的柯西不等式基础巩固1已知a≥0,b≥0,且a+b=2,则()A.ab≤12B.aa≥12C.a2+b2≥2D.a2+b2≤3(12+12)(a2+b2)≥(a+b)2=4, ∴a2+b2≥2.故选C.2已知4a +9a=2,a,a>0,则a+a的最小值是()A.252B.254C.52D.54a+9a=2,得x+y=[(√a)2+(√a)2][(√a)2+(√a)2]2≥12(√a·√a+√a·√a)2=12(2+3)2=252,当且仅当√a√a=√a·√a即x=5,y=152时,等号成立.3已知x+y=1,则2x2+3y2的最小值是()A.56B.65C.2536D.3625x2+3y2=[(√2a)2+(√3a)2][(√3)2+(√2)2]×15≥15(√6a+√6a)2=65(a+a)2=65,当且仅当2x=3y,即x=35,a=25时,等号成立.4函数y=2√2-a+√2a-3的最大值是()A.3B.32C.√3D.42=(2×√2-a+√2×√a-32) 2≤[22+(√2)2][(√2-a)2+(√a-32) 2 ]=6×12=3,当且仅当2√a-32=√2·√2-a,即x=53时,等号成立.故y的最大值为√3.5已知x>0,y>0,且xy=1,则(1+1a )(1+1a)的最小值为()A.4B.2C.1D.141+1a )(1+1a)=[12+(1√a)2][12+(1√a)2]≥(1×1+√a√a )2=(1√aa)2=22=4,当且仅当x=y=1时,等号成立.6设x,y∈R+,则(x+y)·(3a +2a)的最小值是.+2√67已知a,b∈R+,且a+b=1,则12a +1a的最小值是.a,b∈R+,且a+b=1,所以12a +1a=(12a+1a)(a+a),由柯西不等式得(12a+1a)(a+a)≥(√12a ·√a+√1a·√a)2=(√22+1)2=32+√2,当且仅当a2a=aa,a+a=1时,等号成立,此时a=√2−1,a=2−√2.√28函数y=3sin x+2√2(1+cos2a)的最大值是.3sin x+2√2(1+cos2a )=3sin x+4√cos 2a ≤√(32+42)(sin 2a +cos 2a )=5, 当且仅当3|cos x|=4sin x 时,等号成立.9已知a 2+b 2=1,x 2+y 2=1,求证:|ax+by|≤1.,得|ax+by|≤√a 2+a 2·√a 2+a 2=1,当且仅当ay=bx 时,等号成立.10已知a>b>c ,求证:1a -a +1a -a ≥4a -a .(a-c )(1a -a+1a -a)≥4.又a-c=(a-b )+(b-c ),利用柯西不等式证明即可.a-c )(1a -a +1a -a )=[(a-b )+(b-c )](1a -a +1a -a )=[(√a -a )2+(√a -a )2][(√1a -a )2+(√1a -a )2]≥(√a -a √1a -a+√a -a √1a -a)2=4,当且仅当√a -a ·√1a -a =√a -a ·√1a -a , 即a-b=b-c 时,等号成立.故原不等式成立.实力提升1已知2x 2+y 2=1,则2x+y 的最大值是( ) A .√2B .2C .√3D .3x+y =√2×√2a +1×a≤√(√2)2+12×√(√2a )2+a 2=√3×√2a 2+a 2=√3, 当且仅当√2a =√2a ,即x=y =√33时,等号成立. 故2x+y 的最大值是√3.2若x 2+y 2=8,则2x+y 的最大值为( )A.8B.4C.2√10D.5(x2+y2)·(4+1)≥(2x+y)2,∴(2x+y)2≤8×5=40,当且仅当x=2y时,等号成立,即(2x+y)max=2√10.3若a+b=1,则(a+1a )2+(a+1a)2的最小值为()A.1B.2C.252D.72a+1a )2+(a+1a)2=a2+2+1a2+a2+2+1a2.∵a+b=1,∴a2+b2=12(a2+a2)·(1+1)≥12(a+a)2=12.又1a2+1a2≥2aa≥8(a+a)2=8,以上两个不等式都是当且仅当a=b=12时,等号成立,∴(a+1a)2+(a+1a )2≥12+2+2+8=252,当且仅当a=b=12时,等号成立.4已知正数a,b满意a+b=2,则√a+√a+1的最大值为() A.√3B.√2+1C.√6D.√3+1a,b满意a+b=2,则a+b+1=3,则(1·√a+1·√a+1)2≤(12+12)[(√a)2+(√a+1)2]=6.故√a+√a+1≤√6,故选C.5设xy>0,则(a2+4a2)(a2+1a2)的最小值为.=[a2+(2a )2][(1a)2+a2]≥(a·1a +2a·a)2=9,当且仅当xy=√2时,等号成立.故所求最小值为9.6设实数x,y满意3x2+2y2≤6,则2x+y的最大值为.(2x+y )2≤[(√3a )2+(√2a )2]·[(√3)2+(√22]=(3x 2+2y 2)·(43+12)≤6×116=11,当且仅当3x=4y ,即x =√11a =√11,等号成立.因此2x+y 的最大值为√11. √117函数f (x )=√a 2-8a +20−√a 2-6a +10的最大值为 .(x )=√a 2-8a +20−√a 2-6a +10=√(a -4)2+22−√(a -3)2+1 =√[(a -3)-1]2+[1-(-1)]2−√(a -3)2+12≤√12+(-1)2=√2, 当且仅当x=2时,等号成立. √28已知θ为锐角,a ,b>0,求证:(a+b )2≤a 2cos 2a +a 2sin 2a .m =(acos a ,asin a ),n =(cos θ,sin θ), 则|a+b|=|acos a ·cos a +asin a ·sin a |=|m ·n | ≤|m ||n |=√(a cos a )2+(a sin a)2·√1=√a 2cos 2a +a 2sin 2a,当且仅当a=k cos 2θ,b=k sin 2θ,k ∈R 时,等号成立. 故(a+b )2≤a 2cos 2a +a 2sin 2a . ★9在半径为R 的圆内,求周长最大的内接长方形.解:如图,设内接长方形ABCD 的长为x ,则宽为√4a 2-a 2,于是长方形ABCD 的周长l=2(x +√4a 2-a 2)=2(1×a +1×√4a 2-a 2). 由柯西不等式得l ≤2[x 2+(√4a 2-a 2)2]12(12+12)12=2√2·2R=4√2a ,当且仅当a 1=√4a 2-a 21,即x =√2a 时,等号成立.此时,√4a 2-a 2=√4a 2-(√2a )2=√2a ,即长方形ABCD 为正方形.故周长最大的内接长方形为正方形,其周长为4√2a .。
第三讲近代科学革命之天文学革命一、古希腊到中世纪的天文学古希腊:1、柏拉图主义要求用匀速圆周运动来描述天体运动,为数理天文学的发展开辟了道路。
2、欧多克斯在柏拉图的原则的指导下提出天体同心球理论(27个同心球)希腊人是从数学角度考虑天文学问题的,不涉及使真实天体运动及形成的机理,这些是数学上的球体。
在柏拉图主义者看来,这个系统是理想的实在,通过感官感知的星空则是一个不完美的复制品。
希腊化时期:不满足于与实测之间的误差。
3、阿波罗尼乌斯提出两个方案:①偏心圆地球不是行星做匀速圆周运动运动的圆心,而是偏向一边。
从地球上看起来,行星的速度就会有变化。
②本轮-均轮行星在一个较小的圆周“本轮”上做匀速运动,本轮的中心在另一个大轮“均轮”上匀速运转,地球位于均轮中心。
行星在本轮上运动如果相对本轮在均轮上的运动足够快的话行星将出现逆行。
4、西帕恰斯-发现岁差5、托勒密与《至大论》1)继承了偏心圆、本轮-均轮,引入“对点”。
假定地球位于离开一个给定圆周之圆心一定距离的点上,“对点”则为地球位置的镜像,位于圆心另一边,改点和圆心的距离与地球和圆心的距离相等。
圆周上的点不是以匀速运动而是以变速运动,速度变化的规律是让一个在“对点”上的观测者看来是匀速的。
“对点”的设置是对天体运动必是匀速圆周运动这一古希腊原则的冒犯。
但托勒密考虑更多的是精确的行星位置的预报和数学上的便利,而不是真实与否的问题。
2)《至大论》成书于145年,提供了宇宙的几何模型,并能对日月和五大行星这七个天体的运动给出相当精确的预报。
3)导言论述了不能把地球看做是运动的星体—一块石头垂直向上抛出,其落点应在投掷点西方;一二卷论述希腊测量学和三角学原理及球面天文学;往后太阳运动(偏心圆解释四季长短不一)、月球运动、日月食、星表。
中世纪:托马斯·阿奎那把亚里士多德思想和托勒密体系同基督教教义结合。
①地球处在宇宙中心,且它的位置不发生任何变化。
②所有天体都处在一个透明的天球上,进行圆周运动。
第三讲中国古代医药学发展萌芽和奠基:一、原始社会时期萌芽-1)在采集过程中,逐步认识某些植物有毒,某些能治病医伤,神农氏尝百草2)会使用某些医疗工具,掌握一些医疗方法。
最早的“热熨法”把烧热的石头包裹起来放在身体的某些部位能消除或减轻疼痛;灸法的开始:把干草点燃,进行局部固定的温热刺激。
3)逐渐掌握了运用一些简单工具治病的经验。
砭石;针术的开端。
二、夏商周奴隶社会时期夏商仍处于巫医不分的原始阶段。
商代中叶,医药有了初步发展。
1)甲骨卜辞关于疾病的记载500多条,设计10多个部位的疾病。
2)病因:天帝、祖先所降,鬼神降祸,妖邪蛊毒,气候变化。
3)出现汤液这种剂型。
4)出现砭镰医疗工具(形似镰刀的砭石)5)商周时期可能已使用金属针。
是针术得到较大发展的标志。
周代医药知识又有进步。
1)医巫分开2)医分为食医、疾医、疡医、兽医3)建立了一套医政组织和医疗考核制度,开始重视病历记录和报告。
三、春秋战国奴隶社会向封建社会转变时期医学理论的初步建立1、医和巫的进一步对立1)春秋秦国名医医和提出“六气致病说”Δ天有六气:阴阳风雨晦明淫生六疾:寒热末腹惑心①这是对疾病的产生进行广泛的理论概括的尝试;②他把发病的原因归于自然界物质因素的作用,以及人体各部分功能失去平衡的结果,十分注意外界环境和疾病发生的关系,反映当时朴素唯物的病因论已经初步形成,和巫祝的鬼神致病论针锋相对;③为人们探索和巫术完全不同的诊断和治疗方法提供了理论思想武器。
2)春秋战国之际名医扁鹊Δ①在医疗实践中提出“病有六不治”原则,“信巫不信医”为其中之一;②在诊断上,采用望闻问切四诊作为对人体进行客观检查的手段;③治疗上,采用针灸、按摩、汤剂等多样化手段;④处理具体病案时,往往使用多种方法兼施的综合疗法。
2、出现了专门的医药学著作留下的我国最早的一部重要医学文献——《黄帝内经》ΔΔ1)整体介绍:①这部书托名皇帝和岐伯讨论医学,用问答形式写成,成书大概在战国晚期,是春秋战国时期大量医学家辛勤实践的总结;②包括《素问》《灵枢》两部分。