电路7章2

负载电流：
U U oc oc I Z 0 Z L R0 jX 0 RL jX L
I U oc ( R0 RL ) ( X 0 X L )
2 2
负载吸收的平均功率：
U RL P I RL ( R0 RL ) 2 ( X 0 X L ) 2
7-6-1 二端网络的功率
1、瞬时功率
端口电压和电流采用关联参 考方向，它吸收的功率为
p(t ) u(t )i (t )
正弦稳态时 ，端口电压和电流是相同 频率的正弦量，即 u(t ) U m cos( t u ) 2U cos( t u )
i (t ) I m cos( t i ) 2 I cos( t i )
得:
I C CU IC 4.91 C 71μF U 314 220
并联电容后，不会影响电阻吸收的平均 功率。但电容电流抵消了部分感性负载 的电流，功率因数变大，电源电流的有 效值由原来的10A减小到6.25A，提高 了电源效率。
例 19 电路工作于正弦稳态，已知电压
源电压为 uS (t ) 2 2 cos t V . 试求该电压
单位：VA
复功率还有两个常用的公式：
2 S U I ZI I I Z 2 S U I U (UY ) U V Y U Y ~ ~
注意：电流、电压若用振幅值时，不要 忘了要乘1/2。
7、复功率守恒
复功率守恒定理：对于工作于正弦稳态 的电路，由每个独立电源发出的复功率 的总和等于电路中其它电路元件所吸收 复功率的总和：

2
)
是频率为2的正弦量，在一段时间内 p(t)>0，电感或电容吸收功率获得能量 ；另外一段时间内p(t)<0，电感或电容 发出功率释放出它所获得的全部能量。
显然，平均功率为
P0
可见，电感和电容不消耗能量，它们是 无源元件。但要注意，它们的瞬时功率 并不为零。或者说，电感和电容需要电 源(外电路)供给一定的瞬时功率以满足 能量不断的往返交换。
5、无功功率 p(t ) U I cos Z U I cos(2 t Z )
U I cos Z U I cos Z cos 2 t U I sin Z sin 2 t U I cos Z (1 cos 2 t ) U I sin Z sin 2 t
U 2 0 S I 2 45 A 1 Z 1 j1
2 45 j1 1 90 A
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
可用以下几种方法求电源发出的平均功率
1 P发出 U S I1 cos Z 2 2 cos45 2 W ~ * ~ 2 S U S I 1 2 245 2 j2 P Re( S ) 2W 3 P发出 I R1 I R2 2 0.5 11 2 W
此时平均功率：
U P UI I R R
2 2
用电压、电流有效值后，计算电阻消耗 的平均功率公式，与直流电路中相同。 若用电流、电压的振幅值，上述公式为
1 1 2 1 Um P Um Im Im R 2 2 2 R
2
2、网络等效阻抗为一个电抗。 此时单口网络电压与电流相位为正交关 系，即Z=u-i =90, (+电感－电容)
上式第二项的最大值为二端网络的无功 功率 Q 。即
Q UI sin Z
可验证L和C时的特殊情况。
无功功率反映电源(或外电路)和单 口网络内储能元件之间的能量交换 情况，单位为乏(var)(无功伏安： volt amper reactive) 与功率计算类似:
Q UI sin Z I X U B
Q发出 Q吸收
由此可得网络吸收的有功功率等于该网 络内每个电阻吸收的平均功率总和。注 意正弦稳态电路中视在功率并不守恒。
8、功率三角形 S Q
Z
P
阻抗三角形，导纳三角形，电压三角 形，电流三角形和功率三角形都是相 似三角形。
例 17 电路相量模型如图，端口电压的 ~、 有效值 U =100V. 试求该网络的 P 、S Q -j14 、S、pf。 + 解:设端口电压相 16 j16 U 1000 V 量为： U 网络的等效阻抗：
2 1 2 2
4 P发出 I Re( Z ) I Re(1 j1) 2 1 2 W
2 1 2 1
7-6-2 最大功率传输
图(a)所示含独立电源网络用戴维南等效 是含源 U 电路代替，得到图 (b) 。其中， oc 网络的开路电压，Zo=Ro+jXo是含源网络 的输出阻抗，ZL=RL+jXL是负载阻抗。
平均功率不仅取决于电压电流有效值乘 积VI，还与阻抗角Z=u-I有关。
几种特殊情况。 1、网络等效阻抗为一个电阻。 此时网络电压与电流相位相同，即 Z=u-i=0, cosZ=1，
p(t ) UI UI cos( 2t 2 u )
波形如图。p(t)在 任何时刻均大于或 等于零，电阻始终 吸收功率和消耗能 量。
2 2 oc
当XL=-Xo时，分母最小，此时
2 U oc RL P 2 ( R0 RL )
求导数，并令其等于零。
( R0 RL ) 2( R0 RL ) RL 2 dP U oc 0 4 dRL ( R0 RL )
2
得 RL=Ro。 负载获得最大功率的条件是 *
Z L RL jX L Z o Ro jX o

2
)
1 U m I m sin 2 t UI sin 2 t 2 p L ( t ) U m cos t I m cos( t U m cos t ( I m sin t ) 1 U m I m sin 2 t UI sin 2 t 2
定义：无功功率
把瞬时功率的振幅(最大值)定义为 电感和电容的无功功率，以表明电感和 电容与外电路电流和电压不断往返的程 度。即
Q L UI QC UI
3、任意二端网络的情况
P U I cos Z
设二端网络
Z R j XY G j B P UI cos Z I R U G
16 j16 Z j14 j14 8 j8 16 j16 8 j6 10 36.9

因此
U 100 0 I1 1036.9 A Z 10 36.9
* ~ I 1 1000 10 36.9 S U S
pL (t ) UI cos( 2 t 2 u 90 ) pC (t ) UI cos( 2 t 2 u 90 )
若假设电压初相为零，得
pC ( t ) U m cos t I m cos( t U m cos t ( I m sin t )
源发出的平均功率。
( j1)(j1 1 j1) Z 0.5 j1.5 0.5 j1.5 0.5 j0.5 1 j1 1 j1
解：电路的相量模型如图(b)所示。先 求出连接电压源单口网络的等效阻抗
用欧姆定律求电流 分流公式求电流
j1 I2 I1 1 j1 j1 2 45
2 2
I U P P G R
2
2
电阻分量消耗的平均功率，就是单口 网络吸收的平均功率。
3、视在功率
S UI
表示一个电气设备的容量，是单口网 络所吸收平均功率的最大值，单位： 伏安(VA)。例如我们说某个发电机的 容量为100kVA，而不说其容量为 100kW
4、功率因数 网络吸收的平均功率P与cosZ的大小密 切相关，cosZ表示功率的利用程度， 称为功率因数 P
负载

感性负载的阻抗角: Z arccos 0.5 60 2200 V 设电压相量为： U
则负载电流相量: I 10 60 A
并联电容后，电源电流有效值:
P 1.1103 I' 6.25A U pf ' 220 0.8
由于pf’=0.8 (滞 后),因此功率因数角:
瞬时功率为
p(t ) u(t )i (t ) U m cos( t u ) I m cos( t i ) 1 U m I m [cos( u i ) cos( 2 t u i )] 2 UI cos Z UI cos( 2 t 2 u Z )
2 2
I U Q Q B X
2
2
6、复 功 率
为了便于用相量来计算平均功率，引 入复功率。工作于正弦稳态的网络，其 电压电流采用关联的参考方向，设
U U u I I
i
U
I
N
~ * S U I UI u i UI Z UI cos Z jUIsin Z P jQ
Z=u-i是电压与电流的相位差。瞬时功 率由一个恒定分量和一个频率为2ω的正
弦分量组成，周期性变化，当p(t)>0时， 该网络吸收功率；当p(t)<0时，该网络发 出功率。瞬时功率的波形如图所示。
UIcosZ
Z
2、平均功率(有功功率)
简称功率:在一个周期内的平均值：
1 T P p(t )dt T 0 1 T [YI cos Z UI cos( 2 t u i )]dt T 0 UI cos Z
Z ' arccos 0.8 36.9
' 6.25 36.9 A I

' I
I C
U