电路分析基础-第7章
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《电路分析基础》习题参考答案
《电路分析基础》各章习题参考答案第1章习题参考答案1-1 (1) SOW; (2) 300 V、25V,200V、75V; (3) R=12.50, R3=1000, R4=37.5021-2 V =8.S V, V =8.S V, V =0.S V, V =-12V, V =-19V, V =21.S V U =8V, U =12.5,A mB D 'AB B CU =-27.S VDA1-3 Li=204 V, E=205 V1-4 (1) V A=lOO V ,V=99V ,V c=97V ,V0=7V ,V E=S V ,V F=l V ,U A F=99V ,U c E=92V ,U8E=94V,8U BF=98V, u cA=-3 V; (2) V c=90V, V B=92V, V A=93V, V E=-2V, V F=-6V, V G=-7V, U A F=99V, u c E=92V, U B E=94V, U BF=98V, U C A =-3 V1-5 R=806.70, 1=0.27A1-6 1=4A ,11 =llA ,l2=19A1-7 (a) U=6V, (b) U=24 V, (c) R=SO, (d) 1=23.SA1-8 (1) i6=-1A; (2) u4=10V ,u6=3 V; (3) Pl =-2W发出，P2=6W吸收，P3=16W吸收，P4=-lOW发出，PS=-7W发出，PG=-3W发出1-9 l=lA, U5=134V, R=7.801-10 S断开：UAB=-4.SV, UA0=-12V, UB0=-7.2V; S闭合：12 V, 12 V, 0 V1-12 UAB=llV / 12=0.SA / 13=4.SA / R3=2.401-13 R1 =19.88k0, R2=20 kO1-14 RPl=11.110, RP2=1000第2章习题参考答案2-1 2.40, SA2-2 (1) 4V ,2V ,1 V; (2) 40mA ,20mA ,lOmA 2-3 1.50 ,2A ,1/3A2-4 60 I 3602-5 2A, lA2-6 lA2-7 2A2-8 lOA2-9 l1=1.4A, l2=1.6A, l3=0.2A2-10 11=OA I l2=-3A I p l =OW I P2=-l8W2-11 11 =-lA, l2=-2A I E3=10V2-12 11=6A, l2=-3A I l3=3A2-13 11 =2A, l2=1A ,l3=1A ,14 =2A, l5=1A2-14 URL =30V I 11=2.SA I l2=-35A I I L =7.SA2-15 U ab=6V, 11=1.SA, 12=-lA, 13=0.SA2-16 11 =6A, l2=-3A I l3=3A2-17 1=4/SA, l2=-3/4A ,l3=2A ,14=31/20A ,l5=-11/4A12-18 1=0.SA I l2=-0.25A12-19 l=1A32-20 1=-lA52-21 (1) l=0A, U ab=O V; (2) l5=1A, U ab=llV。
南京邮电大学电路分析基础_第7章2
率因数pf=0.5，欲并联电容使负载的功
率因数提高到0.8(滞后),求电容。
解：负载电流有效值:
P
1.1103
I
10A
U pf 220 0.5
I' I
U C
IC
感性 负载
感性负载的阻抗角: Z arccos 0.5 60 设电压相量为： U 2200 V
则负载电流相量: I 10 60 A
并联电容后，电源电流有效值:
I ' P 1.1103 6.25A U pf ' 220 0.8
由于pf’=0.8 (滞后), 因此功率因数角:
Z ' arccos 0.8 36.9
I' 6.25 36.9 A
I'
U
IC I
IC I'I 6.25 36.9 10 60 5 j3.75 - (5 - j8.66) 4.9190 A
所获最大功率：
Pmax
U
2 oc
4 Ro
最大功率传输定理：工作于正弦稳态的
网 络 向 一 个 负 载 ZL=RL+jXL 供 电 ， 由 戴
维南定理(其中 Zo=Ro+jXo)，则在负载阻
抗等于含源网络输出阻抗的共轭复数(即
）时ZL，
*
Zo
负载可以获得最大平均功率：
Pmax
U
2 oc
4 Ro
满足 ZL 的Z* o匹配，称为共轭匹配。
5、无功功率
p(t) U I cosZ U I cos(2 t Z ) U I cosZ U I cosZ cos 2t U I sin Z sin 2 t U I cosZ (1 cos 2 t) U I sin Z sin 2 t
电路分析基础习题第七章答案
•
i2 (t) 2 co 4s t 0 (5 0 )0 A, I2 250A
电压滞后电流900，该二端元件为电容元件
•
(3) u 3 (t) 1c 0o 2s0 t (6 0 )0 V，U3 5 260V
i3(t)5si2 n0 (t 0 15 )A0 ， I•3
52 2
60A
电压与电流同相位，该二端元件为电阻元件
OC
S
S
等效阻抗： Z j2 eq
•
•
U
I OC 5.774 j6.667 8.819 130.89
Z j5 eq
8.如图所示电路，求其戴维南等效相量模型。
解：求开路电压，根据如图的相量模型：
•
I
3 0 6
3 0 6 4 4 ( 1 j) 2 ( 1 j)
9 j6 j6 /j6 / 9 j6 j 31 j 2
8.819 130.89
j5
（3）叠加定理，等效电路图为图
电流源单独作用时， I•1j2j 2j51 030 2 3 030A
电压源单独作用时，
•
I2
100j10A，
j3
3
• ••
总电流 II1I2 5 .77 j4 6 .67 A （4）戴维南定理，等效电路图为图
开路电压：
•
•
•
U I j2 U 1030 j2 100 20 j17.32
1 jC
• I
•
•
B.U (R C) I
D.
•
U
R
1 jC
•
I
•
R
I
+•
U
C
-
图 选择题 5 图
i2 (t) 2 co 4s t 0 (5 0 )0 A, I2 250A
电压滞后电流900，该二端元件为电容元件
•
(3) u 3 (t) 1c 0o 2s0 t (6 0 )0 V，U3 5 260V
i3(t)5si2 n0 (t 0 15 )A0 ， I•3
52 2
60A
电压与电流同相位，该二端元件为电阻元件
OC
S
S
等效阻抗： Z j2 eq
•
•
U
I OC 5.774 j6.667 8.819 130.89
Z j5 eq
8.如图所示电路，求其戴维南等效相量模型。
解：求开路电压，根据如图的相量模型：
•
I
3 0 6
3 0 6 4 4 ( 1 j) 2 ( 1 j)
9 j6 j6 /j6 / 9 j6 j 31 j 2
8.819 130.89
j5
（3）叠加定理，等效电路图为图
电流源单独作用时， I•1j2j 2j51 030 2 3 030A
电压源单独作用时，
•
I2
100j10A，
j3
3
• ••
总电流 II1I2 5 .77 j4 6 .67 A （4）戴维南定理，等效电路图为图
开路电压：
•
•
•
U I j2 U 1030 j2 100 20 j17.32
1 jC
• I
•
•
B.U (R C) I
D.
•
U
R
1 jC
•
I
•
R
I
+•
U
C
-
图 选择题 5 图
电路(第七章 二阶电路)
uC (t ) e 3t (3 cos 4t 4 sin 4t ) 5e3t cos(4t 53.1o )V (t 0)
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电路分析基础
电容电压和电感电流的表达式分别为：
duC iL (t ) C 0.04e 3t (7 cos 4t 24 sin 4t ) dt 3t o
uC (0 ) K1 3
t 0
3 3 5 3 j4 2L 2 L LC
利用初始值uC(0+)=3V和iL(0+)=0.28A得:
解得 K1=3和K2=4。 电容电压和电感电流的表达式分别为：
duC (t ) dtຫໍສະໝຸດ i L (0 ) 3K1 4 K 2 7 C
Im
iL(t)
T 4 T 2
3T 4
o t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 t8 t9 t10 t11 t12 Im
返 回
T
t
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电路分析基础
LC振荡回路的能量
LC回路的总瞬时储能
LC回路的初始储能
1 2 1 2 w(t ) Li (t ) Cu (t ) 2 2 1 1 2 2 (sin t cos t ) (J) 2 2
LC d 2 uC dt2
d uC RC uC uOC dt
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电路分析基础
LC
d 2 uC dt2
d uC RC uC uOC dt
这是一个常系数非齐次线性二阶微分方程。 求解该方程必须有条件： d uC i t i 0 uC 0 0 0 dt C C 为了得到电路的零输入响应，令uOC=0，得二阶齐次微分方程 d 2 uC d uC 根据一阶微分方程的求解 LC RC u 0 C 经验可假定齐次方程的解 dt dt2
电路分析基础三相电路
2/3/2022
练 习题
1. 有一对称三相负载，试比较下列两种情况下通过各相负载 的相电流和线电流：
（1）连接成星形接于线电压为380V的对称三相电源； （2）连接成三角形后接于线电压为220V的对称三相电源。 2. 对称三相负载的阻抗为Z＝6＋j8Ω，电路的线电压为380V ，当它们作三角形连接时，求三相负载中的相电流和线电流。
2/3/2022
7.2 三相负载
三相负载是指需与三相电源连接才能正常工作的用电设备。三相负
载的连接方式也有：星形（Y）和三角形（ Δ ）两种。
7.2.1 三相负载的两种连接方式
这是常见三相负载的连接方式。其中图（a）是三相四线制Y接； 图（b）是三相三线制Y接；图（c）是三相三线制Δ接 。
2/3/2022
AB
IB
-ICA
IA
即：线、相电流的数量关系为：
相位上，线电流滞后相电流30°。
对称三相负载三角接时，总有UP＝UL、 UL＝1.732UP
2/3/2022
三
路举
1. 有一对称三相负载，每相电阻R＝4Ω，电感XL＝3Ω，连成星形接 于线电压为380V的对称三相电源上，求其相电流和中线电流。
因负载为星形连接，所以负载端电压等于电源相电压220V ，设uAB为参考相量，则：
A
中线断开，且一层楼发生短路故
障，此时B、C两相照明负载均与 N
A相构成通路，因此B、C两相负
载电压实际为电源线电压，是它
们额定工作电压的1.732倍，B、
C两相负载会因过压而损坏！
B
C
一层楼
二层楼
...
...
...
三层楼
照明电路安装时虽然对称，实际工作时往往不对称
练 习题
1. 有一对称三相负载，试比较下列两种情况下通过各相负载 的相电流和线电流：
（1）连接成星形接于线电压为380V的对称三相电源； （2）连接成三角形后接于线电压为220V的对称三相电源。 2. 对称三相负载的阻抗为Z＝6＋j8Ω，电路的线电压为380V ，当它们作三角形连接时，求三相负载中的相电流和线电流。
2/3/2022
7.2 三相负载
三相负载是指需与三相电源连接才能正常工作的用电设备。三相负
载的连接方式也有：星形（Y）和三角形（ Δ ）两种。
7.2.1 三相负载的两种连接方式
这是常见三相负载的连接方式。其中图（a）是三相四线制Y接； 图（b）是三相三线制Y接；图（c）是三相三线制Δ接 。
2/3/2022
AB
IB
-ICA
IA
即：线、相电流的数量关系为：
相位上，线电流滞后相电流30°。
对称三相负载三角接时，总有UP＝UL、 UL＝1.732UP
2/3/2022
三
路举
1. 有一对称三相负载，每相电阻R＝4Ω，电感XL＝3Ω，连成星形接 于线电压为380V的对称三相电源上，求其相电流和中线电流。
因负载为星形连接，所以负载端电压等于电源相电压220V ，设uAB为参考相量，则：
A
中线断开，且一层楼发生短路故
障，此时B、C两相照明负载均与 N
A相构成通路，因此B、C两相负
载电压实际为电源线电压，是它
们额定工作电压的1.732倍，B、
C两相负载会因过压而损坏！
B
C
一层楼
二层楼
...
...
...
三层楼
照明电路安装时虽然对称，实际工作时往往不对称
电路分析基础第七章__二阶电路
第七章二阶电路重点要求:1. 理解二阶电路零输入响应过渡过程的三种情况;2. 了解二阶电路的阶跃响应和冲击响应。
3.学习数学中的拉普拉斯变换的定义、性质及反变换的方法;4.掌握用拉普拉斯变换求解电路的过渡过程的方法。
1§7-1 二阶电路的零输入响应二阶电路:由二阶微分方程描述的电路。
典型的二阶电路是RLC串联电路。
求全响应方法:1.经典法(时域分析法)全响应= 稳态分量(强制分量) + 暂态分量(自由分量)2.拉普拉斯变换法(频域分析法)2响应曲线:U 0u C , u L , i 0ωtiu Cu L§7-1 二阶电路的零输入响应220p ααω=−±−一. 问题的提出经典法解动态电路过渡过程存在的问题：对较复杂的电路，联立求解微分方程特别是定积分常数比较困难。
若激励不是直流或正弦交流时，特解不容易求得。
二. 拉氏变换法用积分变换的原理简化求解电路过渡过程时域电路解微分方程时域响应f(t)取拉斯变换复频域电路解代数方程复频域响应F(s)取拉斯反变换7.2 动态电路的复频域分析应用拉氏变换法进行电路分析称为电路的一种复频域分析方法，也叫运算法！是数学中的一种积分变换.优点：对复杂电路﹑无稳态情况﹑换路时出现强迫跃变等用拉氏变换法较经典法方便。
三. 拉普拉斯变换的定义设函数f(t)在0≤t ≤∞时有定义，则积分称为原函数f(t)的拉普拉斯变换（象函数）。
()dte tf s F st∫∞−−=0)(式中s=σ+ j ω----复频率。
单位：熟悉的变换:相量法⎩⎨⎧=∫∞+∞−)s (21)(ds e F j t f stj c j c π反变换正变换ZH1.象函数F (s)存在的条件：∞<∫∞−−dt et f st0)(说明：电路分析中的函数都能满足上述条件。
2. 在电路中积分的下限定义为“0-”, 更有实际意义(将奇异函数也包括在内)。
[][]⎩⎨⎧==−)( )()( )( S F t f t f S F 1简写正变换反变换在电路分析中通常直接查表得到。
电路(第七章 二阶电路)讲解
2L LC
L时， C
s1、s2为不相等的负实数。过阻尼
方程的解是： uC (t ) K1 es1t K 2 es2t
（2）当 R 2 1 时，即R 2 L时， s1、s2为相等的负实数。临界
2L LC
C
方程的解是： uC (t ) K1 es1t K 2t es2t
若电路中存在电阻，振幅逐渐减小，最终趋于零。 储能终将被电阻消耗完 。称为阻尼振荡或衰减振荡。
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电路分析基础
§7-2 RLC串联电路的零输入响应
+ uR- C i
含阻源 网+- u电 络OCR
+ uC-
+ uL
-
L
列KVL方程
i C d uC dt
uR
Ri
RC
d uC dt
（2）当uc下降到零的瞬间，uL也为零，i的变化率也为零，i达 到最大值I，储能全部转入到电感中。
（3）uc=0时，但它的变化率不为零，i将从I逐渐减小，C又被 充电，但充电的方向与以前相反。
储能又从电感的磁场中转移到电容的电场中。
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电路分析基础
-
（4）当i下降到零瞬间，能量又再度
电路分析基础
第七章 二阶电路
§7-1 LC电路中的正弦振荡 §7-2 RLC串联电路的零输入响应 §7-3 RLC串联电路的全响应 §7-4 GCL并联电路的分析
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电路分析基础
本章教学要求
1、了解二阶电路的基本概念； 2、了解二阶电路的一般分析方法。
重点 RLC串联二阶电路的全响应
上述过程将不断地重复进行。
L时， C
s1、s2为不相等的负实数。过阻尼
方程的解是： uC (t ) K1 es1t K 2 es2t
（2）当 R 2 1 时，即R 2 L时， s1、s2为相等的负实数。临界
2L LC
C
方程的解是： uC (t ) K1 es1t K 2t es2t
若电路中存在电阻，振幅逐渐减小，最终趋于零。 储能终将被电阻消耗完 。称为阻尼振荡或衰减振荡。
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电路分析基础
§7-2 RLC串联电路的零输入响应
+ uR- C i
含阻源 网+- u电 络OCR
+ uC-
+ uL
-
L
列KVL方程
i C d uC dt
uR
Ri
RC
d uC dt
（2）当uc下降到零的瞬间，uL也为零，i的变化率也为零，i达 到最大值I，储能全部转入到电感中。
（3）uc=0时，但它的变化率不为零，i将从I逐渐减小，C又被 充电，但充电的方向与以前相反。
储能又从电感的磁场中转移到电容的电场中。
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电路分析基础
-
（4）当i下降到零瞬间，能量又再度
电路分析基础
第七章 二阶电路
§7-1 LC电路中的正弦振荡 §7-2 RLC串联电路的零输入响应 §7-3 RLC串联电路的全响应 §7-4 GCL并联电路的分析
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电路分析基础
本章教学要求
1、了解二阶电路的基本概念； 2、了解二阶电路的一般分析方法。
重点 RLC串联二阶电路的全响应
上述过程将不断地重复进行。
电路分析基础(第二版) 曾令琴 人民邮电出版社 课后答案 指导与解答7 课后答案【khdaw_lxywyl】
u C (t ) 的表达式。 （3）作相量图。
U A 220/ 90 )V， U C 220/ 150 )V
u A (t ) 220 2 sin(t 90)V u B (t ) 220 2 sin(t 30)V
91
②根据相量与正弦量之间的对应关系可得
aw
I
2 220 0.5 2 12
393A
UA
②根据相量图分析可知，当两相接反时，同样使得电源回 路的总电压为 2 倍的电源相电压，因此电源回路的电流与一相 接反时相同。由于电源作Δ接时，其内阻抗通常很小，若电源 回路中产生这么大的环电流，显然是电源内阻所不能承受的， 因此在电源作△连接时，绝不允许上述两种情况发生。
（2）为什么三相电动机的电源可用三相三线制，而三相照明电源则必须用三相四线制?
解析：三相电动机是对称三相负载，中线不起作用，因此采用三相三线制即可；而三相
aw
Ul 3Z P
94
UP 1
Ul
案
网
连接，转动后再改成△连接。试求 Y 接起动和直接做△连接起动两种情况的线电流的比值。
.c o
m
7.4 三相电路的功率
w. kh d
I l 3I P 3U l ZP
两种情况下线电流的比值为
I lY I PY
3 ZP
Ul
△连接时，实际加在各相负载两端的电压是电源线电压，因此
I l I lY
3U l 3U l 3Z P ZP 3 Ul ZP Ul 3Z P
即直接做△连接起动和 Y 接降压起动这两种情况下线电流的比值是 3。
U BC
B
1、学习指导 （1）三相负载的 Y 接
电路分析基础习题第七章答案(史健芳)
第7章7.1 选择题1.下列说法中正确的是（ D ）。
A.同频率正弦量之间的相位差与频率密切相关B.若电压与电流取关联参考方向，则感性负载的电压相量滞后其电流相量︒90C.容性负载的电抗为正值D.若某负载的电压相量与其电流相量正交，则该负载可以等效为纯电感或纯电容 2.下列说法中错误的是（ B ）。
A.两个同频率正弦量的相位差等于它们的初相位之差，是一个与时间无关的常数B.对一个RL 串联电路来说，其等效复阻抗总是固定的复常数C.电容元件与电感元件消耗的平均功率总是零,电阻元件消耗的无功功率总是零D.有功功率和无功功率都满足功率守恒定律，视在功率不满足功率守恒定律3.已知RC 并联电路的电阻电流6A =R I ，电容电流8A =C I ，则该电路的端电流I 为（ D ）。
A.2AB.14AC.A 14D.10A4.已知RLC 串联电路的电阻电压4V =R U ，电感电压3V =L U ，电容电压6V =C U ，则端电压U 为（ C ）。
A.13VB. 7VC.5VD.1V5.已知某电路的电源频率Hz 50=f ，复阻抗Ω︒∠=3060Z ，若用RL 串联电路来等效，则电路等效元件的参数为（ C ）。
A.Ω=96.51R , H 6.0=LB.Ω=30R , H 96.51=LC.Ω=96.51R , H 096.0=LD.Ω=30R , H 6.0=L 6.已知电路如图x7.1所示，则下列关系式总成立的是（ C ）。
A.••+=I C j R U )(ω B.••+=I C R U )(ωC.••⎝⎛⎪⎪⎭⎫+=I C R U ωj 1 D.•• ⎝⎛⎪⎪⎭⎫-=I C j R U ω1 图 x7.1 选择题5图7.2 填空题1.电感的电压相量 超前 于电流相量π/2，电容的电压相量 滞后 于电流相量π/2。
2.当取关联参考方向时，理想电容元件的电压与电流的一般关系式为()()tt u C t i C C d d =，相量关系式为••=C C U C j I ω。
电路分析基础 第7章 耦合电感电路
M
di dt
0
电压表正向读数
当两组线圈装在黑盒里，只引出四个端子，要确定 其同名端，就可以利用上面的结论来加以判断。
当断开S时，如何判定？
耦合电感电路模型
有了同名端，以后表示两个线圈相互作用，就不 再考虑实际绕向，而只画出同名端及参考方向即可。
i1 M i2
+* u_12 L1
*+ L2 _u21
11 =N1 11
11
21
施感电流
N1
i1
+ u11 –
11 21
i1
N2 + u21 –
21 =N2 21
互感磁链 Ψ21
L1
11 i1
，称L1为自感系数，单位亨(H)。
M21
21
i1
，称线圈1对线圈2的互感系数，单位亨（H）。
楞次定律 11
21
N1 i1
+ u11 –
N2 + u21 –
自感电压: u22
dΨ 22 dt
N2
dΦ22 dt
L2
di2 dt
( L2
Ψ 22 i2
)
互感电压 : u12
dΨ 12 dt
N1
dΦ12 dt
M12
di2 dt
( M12
Ψ 12 i2
)
可以证明：M12= M21= M。
3、两个线圈同时通电 每个线圈两端的电压均包含自感电压和互感电压：
11
22
互感
第7章 耦合电感电路
( Mutual Inductance Circuits )
7.1 互感现象及耦合电感元件
先回顾单个线圈的自感（电感）及自感电压；
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其中:
第 7 章 非正弦周期电流电路
A 0 : f ( t )的直流分量，也称零次谐波; A 1 m sin ( ωt + θ 1 ):基波分量，也称一次谐波， 其周期和频率与原函数相同; 其余各项:高次谐波。若傅立叶级数是收敛的，一般来说 其谐波次数越高，振幅越小。 将非正弦周期函数 f (t )分解为直流分量、基波分量和 一系列不同频率的各次谐波分量之和，称为非正弦周期函数的 谐波分解。谐波分析的意义在于，傅立叶级数是一个收敛级 数，当 k 取到无限多项时就可以准确地表示原非正弦周期函 数，但在实际工程计算时，只能取有限的前几项，取的项数与 工程所需精度有关。
第 7 章 非正弦周期电流电路
7. 3 有效值、 平均值和平均功率
1. 有效值 工程上将周期电流或电压在一个周期 T 内产生的平均效 应换算为在效应上与之相等的直流量，即
第 7 章 非正弦周期电流电路
从而得到任一周期电流 i (t )的有效值:
非正弦周期信电流也可以根据式( 7. 3. 1 )求有效值， 例如一非正弦周期电流 i ( t )，分解为傅立叶级数:
第 7 章 非正弦周期电流电路
(2)分别计算傅立叶级数中各项电压或电流分量单独作用 时电路的响应(需要注意的是电压或电流的直流分量作用于电 路时，电路应看做直流电阻电路，也就是电感看做短路、 电容看做开路的情况);
(3)应用叠加定理，将各响应分量的瞬时表达式求代数和 (注意:由于各次谐波的频率不同，不能用相量形式求和)。
第 7 章 非正弦周期电流电路
解 首先将 u s 展开成傅立叶级数，根据方波的傅立叶级 数可知
将方波作用于 RL 电路相当于把振幅为
频率为 ω ，3 ω ， 5 ω …的正弦电源同时串联作用于电
路，分别求出每一个频率分量电源(正弦电源)作用下的 u
(1 )L， u (3 )L…，显然每一个电源作用仍可以用相量法，
将各频率分量的
叠加，即可求出u L 。
第 7 章 非正弦周期电流电路
的相量表达式为
根据 k 的取值可分别求出 叠加这些分量可得 u L 。
对应写出
所以
第 7 章 非正弦周期电流电路
所以
第 7 章 非正弦周期电流电路
所以
第 7 章 非正弦周期电流电路
叠加后可得
第 7 章 非正弦周期电流电路
【例 7.4. 2 】 已知电路 7. 4. 2 中: u s ( t ) =40+180sin ωt +60sin ( 3 ωt +45° ) +20sin ( 5 ωt +18° ) V ， f =50Hz ，求 i ( t )和电流有效值 I 。
第 7 章 非正弦周期电流电路
将周期函数分解成傅立叶级数是非正弦交流电路分析的第 一步，工程中常用查表的方法得到典型周期函数的傅立叶级数。 表 7.2. 1 中是电工技术中常用的几种非正弦周期函数 的波形和傅立叶级数展开式。
第 7 章 非正弦周期电流电路
第 7 章 非正弦周期电流电路
第 7 章 非正弦周期电流电路
第 7 章 非正弦周期电流电路
将 i 代入式( 7. 3. 1 )，则其有效值为
第 7 章 非正弦周期电流电路
第 7 章 非正弦周期电流电路
第 7 章 非正弦周期电流电路
【例 7. 3. 1 】 已知周期电流 i ( t ) =1+0. 707sin ( ωt -20° ) +0. 42sin ( 2 ωt +50° ) A ，试求其有 效值。
第 7 章 非正弦周期电流电路
则 f (t )就可以分解成一个收敛的傅立叶级数，即
第 7 章 非正弦周期电流电路
式中， ω =2π / T ， a0 、 a k 、 b k 为傅立叶系数， 计算公式如下:
第 7 章 非正弦周期电流电路
利用三角函数公式，式( 7. 2. 2 )还可以写成第二种形 式:
本章仅讨论非正弦周期信号作用于线性电路的分析与计算。
第 7 章 非正弦周期电流电路
图 7.1. 2 几种常见的非正弦周期信号
第 7 章 非正弦周期电流电路
7. 2 非正弦周期信号分解为傅立叶级数
分析在非正弦周期信号的作用下的线性电路的稳态响应时， 可采用傅立叶级数展开的方法，将非正弦周期信号分解为一系 列不同频率的正弦量之和的形式，基于线性电路中的 叠加定理，分别计算在各个正弦分量单独作用时的电压或电流 响应分量，最后将各分量瞬时值叠加，即为该非正弦周期信号 作用下的稳态响应。其实质就是将非正弦周期电流电路 的分析转化为正弦交流电路的分析。
第 7 章 非正弦周期电流电路
计算非正弦周期电流电路时应注意的问题: (1)当直流分量单独作用时，遇电容元件按开路处理，遇 电感元件则要按短路处理; (2)任意正弦分量单独作用时的计算原则与单相正弦交流 电路的计算方法完全相同，只是必须注意，不同谐波频率下电 感和电容上的电抗各不相同。 (3)用相量分析法计算出来的各次谐波分量是不能直接进 行叠加的，必须根据相量与正弦量的对应关系表示成正弦量的 解析式后再进行叠加。 (4)不同频率的各次谐波响应不能画在同一个相量图上， 也不能出现在同一个相量表达式中。
图 7.1. 1 正弦波信号经过半波整流后得到非正弦波
第 7 章 非正弦周期电流电路
在现实中非正弦周期电压、电流是普遍存在的，我们应用 的某些直流电源和正弦电源，严格地说是近似的直流电源和正 弦电源，如通过整流而获得的直流电压，尽管采取某些措施使 其波形平直，但仍不可避免地存在一些周期性的起伏，即存在 纹波;在电力系统中，即使发电机产生的电压要求按正弦规律 变化，但由于制造方面的原因，尽管是周期变化的， 但其电压波形会产生畸变，形成非正弦周期变化的波形;以及 实验室经常使用的电子示波器扫描电压的锯齿波、在自动控制 及电子技术领域中经常使用的脉冲信号也都是非正弦的 周期信号。图 7.1. 2 所示为几种常见的非正弦周期信号。
【例 7.3. 3 】 已知某二端网络的电压电流分别为
当 u (t )与 i ( t )取关联参考方向时，求二端网络吸收的 平均功率。
第 7 章 非正弦周期电流电路
解
第 7 章 非正弦周期电流电路
7. 4 非正弦周期电流电路的计算
分析非正弦周期电流电路的方法为谐波分析法，分析步骤 如下:
(1)将给定的电源电压或电流展开成傅立叶级数，根据要 求的计算精度选择展开的级数数目;
由式(7. 3. 8 )可知，非正弦周期电流电路的平均功率 = 直流分量的功率 + 各次谐波平均功率，各次谐波的功率等 于各次谐波电压、电流的有效值与各次谐波功率因数的乘积。 只 有同频率的电压谐波与电流谐波才能构成平均功率，不同频率 的电压谐波和电流谐波只能构成瞬时功率，不产生平均功率。
第 7 章 非正弦周期电流电路
由高等数学可知，如果一个函数是周期性的且满足狄里赫 利条件，那么它可以展开成一个收敛级数，即傅立叶级数。电 工技术中所遇到的周期函数一般都能满足这个条件。
第 7 章 非正弦周期电流电路
图 7.2. 2 矩形波的合成
第 7 章 非正弦周期电流电路
若有函数 f (t )，满足 f ( t ) = f ( kt + T )， k =0 ， 1 ， 2 ，…，则称 f ( t )为周期函数，其中T 为常 数，为 f ( t )的周期。若其满足狄里赫利条件： ① f ( t )的极值点数目有限； ② 间断点的数目无限； ③ 在一 个周期内绝对可积，即
观察表 7. 2. 1 中各波形可发现:方波、等腰三角波只 含有 sin 项的奇次谐波;锯齿波和全波整流都含有直流成分， 且锯齿波还包含 sin 项的各偶次谐波;全波整流则包含 cos 项的 各偶次谐波。
谐波分析一般都是根据已知波形来进行的，而非正弦周期 信号的波形本身就已经决定了该非正弦波所含有的谐波。非正 弦周期波中含有的高次谐波成分是否严重，取决于它们 波形的平滑性即越不平滑的波形所含有的高次谐波越严重。
第 7 章 非正弦周期电流电路
第 7 章 非正弦周期电流电路
7. 1 非正弦周期信号 7. 2 非正弦周期信号分解为傅立叶级数 7. 3 有效值、平均值和平均功率 7. 4 非正弦周期电路的计算 7. 5 非正弦周期电路的计算仿真 习题7
第 7 章 非正弦周期电流电路
7. 1 非正弦周期信号
在前面章节的介绍中我们知道，同一个线性电路中，在一 个正弦交流电源的作用下电路中各支路的稳态电压和电流都是 同频率的正弦量，但是如果将电源换成几个具有不同频 率的正弦交流电源，那么该线性电路的稳态响应通常是非正弦 的周期性电压和电流；在某些电路中电源电压或电流本身就是 非正弦周期函数，例如由方波或锯齿波电压源作用而引 起的响应一般也是非正弦周期函数。
图 7.3.
第 7 章 非正弦周期电流电路
平均功率为瞬时功率在一个周期内的平均值，定义式为
Hale Waihona Puke 可得第 7 章 非正弦周期电流电路
式中， U 0 I 0 表示零次谐波功率(直流分量功率)；U k 、 I k 表示 k 次谐波电压、电流的有效值(k =1 ， 2 ， 3 …)， 由式( 7. 3. 5 )可得到； φ k 表示 k 次谐波电压对电流 超前的相位差； cosφ k表示各次谐波的功率因数。
第 7 章 非正弦周期电流电路
此外，在含有非线性元件的电路中，即使是在一个正弦激 励的作用下，电路中也会出现非正弦电流。例如:图 7. 1. 1 ( a )所示的半波整流电路，正弦电流作用于非线性的 二极管元件，经过整流后得到了半波的周期电压、电流波形， 如图 7.1. 1 ( b )所示。
第 7 章 非正弦周期电流电路
图 7.4. 2 例 7. 4. 2 的电路图
叠加后的波形如图 7.2. 2 ( b )所示。
第 7 章 非正弦周期电流电路
第 7 章 非正弦周期电流电路
A 0 : f ( t )的直流分量，也称零次谐波; A 1 m sin ( ωt + θ 1 ):基波分量，也称一次谐波， 其周期和频率与原函数相同; 其余各项:高次谐波。若傅立叶级数是收敛的，一般来说 其谐波次数越高，振幅越小。 将非正弦周期函数 f (t )分解为直流分量、基波分量和 一系列不同频率的各次谐波分量之和，称为非正弦周期函数的 谐波分解。谐波分析的意义在于，傅立叶级数是一个收敛级 数，当 k 取到无限多项时就可以准确地表示原非正弦周期函 数，但在实际工程计算时，只能取有限的前几项，取的项数与 工程所需精度有关。
第 7 章 非正弦周期电流电路
7. 3 有效值、 平均值和平均功率
1. 有效值 工程上将周期电流或电压在一个周期 T 内产生的平均效 应换算为在效应上与之相等的直流量，即
第 7 章 非正弦周期电流电路
从而得到任一周期电流 i (t )的有效值:
非正弦周期信电流也可以根据式( 7. 3. 1 )求有效值， 例如一非正弦周期电流 i ( t )，分解为傅立叶级数:
第 7 章 非正弦周期电流电路
(2)分别计算傅立叶级数中各项电压或电流分量单独作用 时电路的响应(需要注意的是电压或电流的直流分量作用于电 路时，电路应看做直流电阻电路，也就是电感看做短路、 电容看做开路的情况);
(3)应用叠加定理，将各响应分量的瞬时表达式求代数和 (注意:由于各次谐波的频率不同，不能用相量形式求和)。
第 7 章 非正弦周期电流电路
解 首先将 u s 展开成傅立叶级数，根据方波的傅立叶级 数可知
将方波作用于 RL 电路相当于把振幅为
频率为 ω ，3 ω ， 5 ω …的正弦电源同时串联作用于电
路，分别求出每一个频率分量电源(正弦电源)作用下的 u
(1 )L， u (3 )L…，显然每一个电源作用仍可以用相量法，
将各频率分量的
叠加，即可求出u L 。
第 7 章 非正弦周期电流电路
的相量表达式为
根据 k 的取值可分别求出 叠加这些分量可得 u L 。
对应写出
所以
第 7 章 非正弦周期电流电路
所以
第 7 章 非正弦周期电流电路
所以
第 7 章 非正弦周期电流电路
叠加后可得
第 7 章 非正弦周期电流电路
【例 7.4. 2 】 已知电路 7. 4. 2 中: u s ( t ) =40+180sin ωt +60sin ( 3 ωt +45° ) +20sin ( 5 ωt +18° ) V ， f =50Hz ，求 i ( t )和电流有效值 I 。
第 7 章 非正弦周期电流电路
将周期函数分解成傅立叶级数是非正弦交流电路分析的第 一步，工程中常用查表的方法得到典型周期函数的傅立叶级数。 表 7.2. 1 中是电工技术中常用的几种非正弦周期函数 的波形和傅立叶级数展开式。
第 7 章 非正弦周期电流电路
第 7 章 非正弦周期电流电路
第 7 章 非正弦周期电流电路
第 7 章 非正弦周期电流电路
将 i 代入式( 7. 3. 1 )，则其有效值为
第 7 章 非正弦周期电流电路
第 7 章 非正弦周期电流电路
第 7 章 非正弦周期电流电路
【例 7. 3. 1 】 已知周期电流 i ( t ) =1+0. 707sin ( ωt -20° ) +0. 42sin ( 2 ωt +50° ) A ，试求其有 效值。
第 7 章 非正弦周期电流电路
则 f (t )就可以分解成一个收敛的傅立叶级数，即
第 7 章 非正弦周期电流电路
式中， ω =2π / T ， a0 、 a k 、 b k 为傅立叶系数， 计算公式如下:
第 7 章 非正弦周期电流电路
利用三角函数公式，式( 7. 2. 2 )还可以写成第二种形 式:
本章仅讨论非正弦周期信号作用于线性电路的分析与计算。
第 7 章 非正弦周期电流电路
图 7.1. 2 几种常见的非正弦周期信号
第 7 章 非正弦周期电流电路
7. 2 非正弦周期信号分解为傅立叶级数
分析在非正弦周期信号的作用下的线性电路的稳态响应时， 可采用傅立叶级数展开的方法，将非正弦周期信号分解为一系 列不同频率的正弦量之和的形式，基于线性电路中的 叠加定理，分别计算在各个正弦分量单独作用时的电压或电流 响应分量，最后将各分量瞬时值叠加，即为该非正弦周期信号 作用下的稳态响应。其实质就是将非正弦周期电流电路 的分析转化为正弦交流电路的分析。
第 7 章 非正弦周期电流电路
计算非正弦周期电流电路时应注意的问题: (1)当直流分量单独作用时，遇电容元件按开路处理，遇 电感元件则要按短路处理; (2)任意正弦分量单独作用时的计算原则与单相正弦交流 电路的计算方法完全相同，只是必须注意，不同谐波频率下电 感和电容上的电抗各不相同。 (3)用相量分析法计算出来的各次谐波分量是不能直接进 行叠加的，必须根据相量与正弦量的对应关系表示成正弦量的 解析式后再进行叠加。 (4)不同频率的各次谐波响应不能画在同一个相量图上， 也不能出现在同一个相量表达式中。
图 7.1. 1 正弦波信号经过半波整流后得到非正弦波
第 7 章 非正弦周期电流电路
在现实中非正弦周期电压、电流是普遍存在的，我们应用 的某些直流电源和正弦电源，严格地说是近似的直流电源和正 弦电源，如通过整流而获得的直流电压，尽管采取某些措施使 其波形平直，但仍不可避免地存在一些周期性的起伏，即存在 纹波;在电力系统中，即使发电机产生的电压要求按正弦规律 变化，但由于制造方面的原因，尽管是周期变化的， 但其电压波形会产生畸变，形成非正弦周期变化的波形;以及 实验室经常使用的电子示波器扫描电压的锯齿波、在自动控制 及电子技术领域中经常使用的脉冲信号也都是非正弦的 周期信号。图 7.1. 2 所示为几种常见的非正弦周期信号。
【例 7.3. 3 】 已知某二端网络的电压电流分别为
当 u (t )与 i ( t )取关联参考方向时，求二端网络吸收的 平均功率。
第 7 章 非正弦周期电流电路
解
第 7 章 非正弦周期电流电路
7. 4 非正弦周期电流电路的计算
分析非正弦周期电流电路的方法为谐波分析法，分析步骤 如下:
(1)将给定的电源电压或电流展开成傅立叶级数，根据要 求的计算精度选择展开的级数数目;
由式(7. 3. 8 )可知，非正弦周期电流电路的平均功率 = 直流分量的功率 + 各次谐波平均功率，各次谐波的功率等 于各次谐波电压、电流的有效值与各次谐波功率因数的乘积。 只 有同频率的电压谐波与电流谐波才能构成平均功率，不同频率 的电压谐波和电流谐波只能构成瞬时功率，不产生平均功率。
第 7 章 非正弦周期电流电路
由高等数学可知，如果一个函数是周期性的且满足狄里赫 利条件，那么它可以展开成一个收敛级数，即傅立叶级数。电 工技术中所遇到的周期函数一般都能满足这个条件。
第 7 章 非正弦周期电流电路
图 7.2. 2 矩形波的合成
第 7 章 非正弦周期电流电路
若有函数 f (t )，满足 f ( t ) = f ( kt + T )， k =0 ， 1 ， 2 ，…，则称 f ( t )为周期函数，其中T 为常 数，为 f ( t )的周期。若其满足狄里赫利条件： ① f ( t )的极值点数目有限； ② 间断点的数目无限； ③ 在一 个周期内绝对可积，即
观察表 7. 2. 1 中各波形可发现:方波、等腰三角波只 含有 sin 项的奇次谐波;锯齿波和全波整流都含有直流成分， 且锯齿波还包含 sin 项的各偶次谐波;全波整流则包含 cos 项的 各偶次谐波。
谐波分析一般都是根据已知波形来进行的，而非正弦周期 信号的波形本身就已经决定了该非正弦波所含有的谐波。非正 弦周期波中含有的高次谐波成分是否严重，取决于它们 波形的平滑性即越不平滑的波形所含有的高次谐波越严重。
第 7 章 非正弦周期电流电路
第 7 章 非正弦周期电流电路
7. 1 非正弦周期信号 7. 2 非正弦周期信号分解为傅立叶级数 7. 3 有效值、平均值和平均功率 7. 4 非正弦周期电路的计算 7. 5 非正弦周期电路的计算仿真 习题7
第 7 章 非正弦周期电流电路
7. 1 非正弦周期信号
在前面章节的介绍中我们知道，同一个线性电路中，在一 个正弦交流电源的作用下电路中各支路的稳态电压和电流都是 同频率的正弦量，但是如果将电源换成几个具有不同频 率的正弦交流电源，那么该线性电路的稳态响应通常是非正弦 的周期性电压和电流；在某些电路中电源电压或电流本身就是 非正弦周期函数，例如由方波或锯齿波电压源作用而引 起的响应一般也是非正弦周期函数。
图 7.3.
第 7 章 非正弦周期电流电路
平均功率为瞬时功率在一个周期内的平均值，定义式为
Hale Waihona Puke 可得第 7 章 非正弦周期电流电路
式中， U 0 I 0 表示零次谐波功率(直流分量功率)；U k 、 I k 表示 k 次谐波电压、电流的有效值(k =1 ， 2 ， 3 …)， 由式( 7. 3. 5 )可得到； φ k 表示 k 次谐波电压对电流 超前的相位差； cosφ k表示各次谐波的功率因数。
第 7 章 非正弦周期电流电路
此外，在含有非线性元件的电路中，即使是在一个正弦激 励的作用下，电路中也会出现非正弦电流。例如:图 7. 1. 1 ( a )所示的半波整流电路，正弦电流作用于非线性的 二极管元件，经过整流后得到了半波的周期电压、电流波形， 如图 7.1. 1 ( b )所示。
第 7 章 非正弦周期电流电路
图 7.4. 2 例 7. 4. 2 的电路图
叠加后的波形如图 7.2. 2 ( b )所示。
第 7 章 非正弦周期电流电路