高二数学附加题练习
—矩阵
1．求矩阵A ＝⎣⎡⎦
⎤32 2
1的逆矩阵．
解 设矩阵A 的逆矩阵为⎣⎡⎦⎤x z y w ，则⎣⎡⎦⎤32 21 ⎣⎡⎦⎤x z y w ＝⎣⎡⎦⎤10 01，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x ＋2z 3y ＋2w 2x ＋z 2y ＋w ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1 00
1.
故⎩⎪⎨⎪⎧
3x ＋2z ＝1，
2x ＋z ＝0，3y ＋2w ＝0，2y ＋w ＝1，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－1，
y ＝2，z ＝2，
w ＝－3.
从而A 的逆矩阵为A －1
＝⎣⎡
⎦⎤
－12 2－3.
2．平面直角坐标系xOy 中，设椭圆4x 2＋y 2
＝1在矩阵A ＝⎣⎡⎦⎤20 01对应的变换作用下得到曲线F ，求F 的方程．
解：设P (x 0，y 0)是椭圆上任意一点，点P (x 0，y 0)在矩阵A 对应的变换下变为点P ′(x ′0，y ′0)
则有⎣⎡⎦⎤x ′0y ′0＝⎣⎡⎦⎤20 01 ⎣⎡⎦⎤x 0y 0，即⎩⎪⎨
⎪⎧
x ′0＝2x 0y ′0＝y 0
∴⎩⎪⎨⎪⎧
x 0＝x ′02，
y 0＝y ′0.
又∵点P 在椭圆上，故4x 2
0＋y 2
0＝1，从而x ′2
0＋y ′2
0＝1. ∴曲线F 的方程是x 2＋y 2
＝1.
3．若点A (2,2)在矩阵M ＝⎣⎡
⎦⎤
cos αsin α －sin αcos α对应变换的作用下得到的点为B (－2,2)，求矩阵M 的逆矩阵．
解：由题意，知M ⎣⎡⎦⎤22＝⎣⎡⎦⎤－22，即⎣⎡⎦⎤2cos α－2sin α2sin α＋2cos α＝⎣⎡⎦⎤－22，∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
cos α－sin α＝－1，sin α＋cos α＝1，
解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
cos α＝0，
sin α＝1.∴M ＝⎣⎡⎦⎤01 －10. 由M －1M ＝⎣⎡⎦⎤10 01，解得M －1
＝⎣⎡⎦
⎤0－1 10.
4．已知二阶矩阵A ＝⎣⎢
⎡⎦⎥⎤a b c d ，矩阵A 属于特征值λ1＝－1的一个特征向量为a 1＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
1－1，属于特征值λ2＝4 的一个特征向量为a 2＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
32，求矩阵A .
解：由特征值、特征向量定义可知，Aa 1＝λ1a 1，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝－1×⎣⎢⎡⎦⎥
⎤
1－1，得⎩
⎪⎨⎪⎧
a －
b ＝－1，
c －
d ＝1. 同理可得⎩
⎪⎨
⎪⎧
3a ＋2b ＝12，
3c ＋2d ＝8.解得a ＝2，b ＝3，c ＝2，d ＝1. 因此矩阵A ＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤2
32
1.
5．已知矩阵M ＝⎣⎡
⎦⎤
3－1 －13，求M 的特征值及属于各特征值的一个特征向量．
解：由矩阵M 的特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪λ－31 1λ－3＝(λ－3)2
－1＝0，
解得λ1＝2，λ2＝4，即为矩阵M 的特征值．设矩阵M 的特征向量为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
x y ，
当λ1＝2时，由M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤
x y ，可得⎩
⎪⎨
⎪⎧
－x ＋y ＝0，x －y ＝0.可令x ＝1，得y ＝1，
∴α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11是M 的属于λ1＝2的特征向量．当λ2＝4时，由M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤
x y ，可得⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＋y ＝0，x ＋y ＝0，
取x ＝1，得y ＝－1，∴α2＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
1－1是M 的属于λ2＝4的特征向量．
6．设矩阵M ＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤
a
00
b (其中a >0，b >0)．(1)若a ＝2，b ＝3，求矩阵M 的逆矩阵M －1
； (2)若曲线C ：x 2＋y 2
＝1在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到曲线C ′：x 2
4＋y 2
＝1，求a 、b 的值．
解：(1)设矩阵M 的逆矩阵M －1
＝⎣⎢
⎡⎦⎥⎤x 1 y 1x 2 y 2，则MM －1
＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1 00 1. 又M ＝⎣⎢
⎡⎦⎥⎤
2
00
3.∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 3 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1 y 1x 2 y 2＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1 00
1.∴2x 1＝1,2y 1＝0,3x 2＝0,3y 2＝1，
即x 1＝12，y 1＝0，x 2＝0，y 2＝13
，故所求的逆矩阵M
－1
＝
⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤12 00 13. (2)设曲线C 上任意一点P (x ，y )，它在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到点P ′(x ′，y ′)，
则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a
00
b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥
⎤x ′y ′，即⎩⎪⎨⎪⎧
ax ＝x ′，by ＝y ′，
又点P ′(x ′，y ′)在曲线C ′上， ∴
x ′2
4
＋y ′2
＝1.
则
a 2x 2
4
＋b 2y 2
＝1为曲线C 的方程．又已知曲线C 的方程为x
2
＋y 2
＝1，故⎩⎪⎨⎪⎧
a 2
＝4，
b 2
＝1.
又a >0，b >0，∴⎩⎪⎨
⎪⎧
a ＝2，
b ＝1.
7．已知矩阵M ＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤
2
a 2
1，其中a ∈R ，若点P (1，－2)在矩阵M 的变换下得到点P ′(－4,0)，求：
(1)实数a 的值；(2)矩阵M 的特征值及其对应的特征向量． 解 (1)由⎣⎢
⎡⎦⎥⎤2 a 2
1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－2＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
－4 0，所以2－2a ＝－4.所以a ＝3. (2)由(1)知M ＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤2
32
1，则矩阵M 的特征多项式为
f (λ)＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪λ－2 －3－2 λ－1＝(λ－2)(λ－1)－6＝λ2
－3λ－4.
令f (λ)＝0，得矩阵M 的特征值为－1与4.
当λ＝－1时，⎩
⎪⎨
⎪⎧
λ－2
x －3y ＝0，
－2x ＋λ－1y ＝0
⇒x ＋y ＝0.
所以矩阵M 的属于特征值－1的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
1－1.
当λ＝4时，⎩
⎪⎨
⎪⎧
λ－2
x －3y ＝0，－2x ＋λ－1y ＝0
⇒2x －3y ＝0.
所以矩阵M 的属于特征值4的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
32.
