函数的和差积商的导数教案
教学目的
1．使学生学会根据函数的导数的定义推导出函数导数的四则运算法则；
2．使学生掌握函数导数的四则运算法则，并能熟练地运用这些法则去求由基本初等函数的和、差、积、商构成的较复杂的函数的导数．
教学重点和难点
本节课的重点是求函数的和、差、积、商的导数的运算法则．难点是求函数的积和商的导数的运算公式及其推导方法．
教学过程
一、复习提问
1．求导数的三个步骤是什么？
(先让全体学生回忆，再请一名学生单独回答．若答错或不完善则请另外学生纠正或补充．)
(1)求函数的增量：Δy=f(x＋Δx)－f(x)；
2．试用导数的定义求函数y＝x＋x2的导数．
(要求全体学生在课堂练习本上做，同时找一至两名学生板演．)
解：设y=f(x)＝x＋x2，
则Δy=f(x＋Δx)－f(x)＝[(x＋Δx)＋(x＋Δx)2]－(x＋x2)
＝Δx(1＋2x＋Δx)，
二、引入新课
让学生观察复习提问2的结果：
y′=1＋2x．
从这个结果可以得到以下两点启示：
1．函数y＝x＋x2是两个函数(y＝x和y＝x2)的和，它的导数可以用导数的定义直接求得；
2．函数y＝x＋x2的导数y′=1＋2x，恰好是函数y＝x和y＝x2导数的和．那么，任意两个函数的和的导数是否都是这两个函数导数的和呢？
结论是肯定的．
三、讲解新课
1．和(差)的导数．
法则1两个函数的和(差)的导数，等于这两个函数的导数的和(差)．即
其中u和v都是x的可导函数．
证明：(可让学生自己完成．)
设y=f(x)＝u(x)＋v(x)，
则Δy=[u(x＋Δx)±v(x＋Δx)]－[u(x)±v(x)]
=[u(x＋Δx)－u(x)]±[v(x＋Δx)－v(x)]
=Δu±Δv，
即y'=(u±v)'=u'±v'．
追问：条件“u和v都是可导函数”有没有必要？它在证明法则的过程中用于何处？
说明：这个法则可以推广到任意有限个函数，即
例1求函数y＝x3＋sinx的导数．
解：y'＝(x3)'＋(sinx)'＝3x2＋cosx．
设问(继续引入新课)：既然有
(u±v)'＝u'±v'，
那么是否也有
呢？
就上述“设问”给出两个反例，以防止极限运算中，积和商的法则在此处的负迁移：
①把函数y＝x3看作函数u(x)=x和函数v(x)=x2的乘积，即
y=x·x2．
按(1)求导有：
y'＝(x·x2)'＝(x)'·(x2)'=2x．
显然与y'＝(x3)'＝3x2的正确结果不符．可见该(1)为谬．
那么，正确的法则是什么呢？我们可以由导数的定义直接推导出来．
2．积的导数．
法则2两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数．即
其中u和v都是x的可导函数．
证明：设y＝f(x)＝u(x)·v(x)，
则
Δy=u(x＋Δx)·v(x＋Δx)－u(x)·v(x)
＝u(x＋Δx)·v(x＋Δx)－u(x)·v(x＋Δx)＋u(x)·v(x＋Δx)－u(x)·v(x)，
因为v(x)在点x处可导，所以它在点x处连续，于是当Δx→0时，v(x＋Δx)→v(x)，从而
即y'=(uv)'=u'v＋uv'．
若c为常数，则从[法则2]立即可以推出：
(cu)'=c'u＋cu'=0＋cu'=cu'．
就是说，常数与函数的积的导数，等于常数积以函数的导数．即
例2求函数y＝(2x2＋3)(3x－2)的导数．
＝4x(3x－2)＋(2x2＋3)·3
＝18x2－8x＋9．
3．商的导数．
法则3两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方．即
因为v(x)在点x处可导，所以它在点x处连续，于是
当Δx→0时，v(x＋Δx)→v(x)，从而
即
解：
例4求证当n是负整数时，公式
(x n)'=nx n-1
仍然成立．
证明：设n=－m(m为正整数)
说明：
当n＝0时，(x n)'＝nx n-1也成立，所以对于一切整数n，公式(x n)'＝nx n-1成立．
四、小结
1．通过用导数的定义求导数的方法，可直接推导得函数和(或差)、积、商的导数公式：
(1)(u±v)'=u'±v'；
(2)(uv)'＝u'v＋uv'；(cu)'＝cu'(c为常数)；
其中u和v是x的可导函数．
2．公式(2)对于u和v是对称的，而公式(3)对于u和v却不是对称的，这一点要特别注意．
3．和(或差)的导数法则可以推广到任意有限个函数的情况
那么，对于任意有限个函数的积的导数又怎样呢？(此问题要求学生在课后思考，下一节课将给予回答．)
五、布置作业
1．阅读课本中“函数的和、差、积、商的导数”这一节的课文；
2．求下列函数的导数：
(1)y＝5x5－3x3＋x－25；
(2)y=ax4－bx2＋c；
(3)y＝sinx－x＋1；
(4)y=x2＋2cosx；
(5)y=(3x2＋1)(2－x)；
(6)y=(1－2x3)(x－3x2)；
(7)y＝sinx(1－x2)；
(8)y=(1＋2x)(1－cosx) ；
