窗式傅里叶变换
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f (t ) ⇔ F (u )
F (ω ) =
+∞
−∞
∫
f ( t ) exp [ − jω t ] dt ,
+∞
ω∈R
1 f (t ) = 2π
−∞
∫
F (ω ) e x p
[ jω t ] d ω
这里正变换告诉我们： 从时间 （模拟） 信号中提取频谱信息 F (ω ) ， 就是使用（－∞，∞）的时间信息来计算单个频率的频谱（频域过程
数；如选择在 t > t0 迅速趋于零的所谓“钟型”函数，信号 f (t ) 在乘以 平滑移动的窗函数 g ( t − u ) 后，有效地抑止了 t 号，所以，再对
= u 的邻域以外的信
f (t ) g ( t − u ) 进行傅立叶变换所得的结果，反映了
t = u 时刻附近的局域频谱信息，从而达到了时域局域化的目的。
1
第 3 章 小波变换
含的每一个频率的多少， 但很难看出不同信号的发射时间和发射的延 续时间，缺少时间信息使得傅立叶分析变得脆弱而容易失误。 伊利诺依斯大学教授 Y. Meyer 曾说： “若你记录 1 小时长的信息 而在最后 5 分钟出错，这一错误就会毁了整个傅立叶变换。相位的错 误是灾难性的，如果在相位上哪怕犯了一个错误，你最后就会发现你 所干的事与最初的信号无关了。 ” （科学前沿 P241） 实际上，对常见的不平稳信号，如语音信号、音乐信号、探地信 号、核探测的脉冲信号、以及核医学的图像信号等，它们的频域特性 是随时间变化的， 人们需要了解某些局部时段上所对应的主要频率特 性是什么，也需要了解某些频率的信息出现在哪些时段上，也就是需 要了解时－频局部化要求。对于这种时－频局部化要求，傅立叶变换 是无能为力的。 Examples. A stationary signal
进行窗式傅立叶变换：
G f (ξ , u ) = ∫ f (t ) g ( t − u ) e− jξ t dt
R
其中积分核 g
( t − u ) e− jξ t ：
The windowed Fourier transform
family of atoms is obtained by time translations and frequency modulations of the original window. This atom has a frequency center
3.2.2 窗式 Fourier Transform（Gabor Transform） Gabor 在 1946 年提出 Windowed Fourier Transform。其基本思 想是：将一个信号的频率一部分一部分地分析。通过该方法，人们至 少可以说，无论发生了什么，它一定是发生在信号的某个特定部分。
The similarity between these two spectrum (in Figs. 2and 4) should be apparent. Both of them show four spectral components at exactly the same frequencies, i.e., at 10, 25, 50, and 100 Hz. Other than the ripples, and the difference in amplitude (which can always be normalized), the two spectrums are almost identical, although the corresponding time-domain signals are not even close to each other. Both of the signals involve the same frequency components, but the first one has these frequencies at all times, the second one has these frequencies at different intervals. So, how come the spectrums of two entirely different signals look very much alike? Recall that the FT gives the spectral content of the signal, but it gives no information regarding where in time those spectral components appear . Therefore, FT is not a suitable technique for non-stationary signal, with one exception: The FT gives what frequency components (spectral components) exist in the signal. Nothing more, nothing less. When the time
Δω ⎡ ⎣G ( ω − η ) ⎤ ⎦ = Δω
时-频窗（Time-Frequency Window）
Fig. 6
Fig. 7
为了从几何上直观地描述了时频局部化，引入时-频窗。从定义 在时间－频率坐标系 知， g (t ) 和 G (ω ) 分别起着时窗和频窗的作用， 中，时-频窗的构成是时窗和频窗共同作用的结果。 ，
第 3 章 小波变换
3.2 窗式傅里叶变换
3.2.1 Fourier Transform 局域化特性分析
由于利用它可以把许多常见的微分、积分和卷积运算化简成代数 运算，所以傅里叶变换（FT）是一种刻画函数空间、求解微分方程 和进行数值运算的有效工具。 FT 在平稳信号分析和处理中有着突出的贡献的基本原因在于， 人们利用它可以把复杂的时间信号和空间信号转换到频率域中， 然后 用频谱特性去分析和表示时域信号的特性。 傅里叶变换对 ：
ξ and is symmetric with respect to
6
u.
第 3 章 小波变换
实际上， 分量的幅度。
f (t ) g ( t − u ) e − jξ t 在 u 点附近度量了频率为 ξ 的正弦
时窗（Time Window） 时窗函数 g (t ) ： 通常选窗口函数为能量集中在低频处的实偶函
Fig. 1
a stationary signal
2
第 3 章 小波变换
And the following is its FT:
Fig.2
The next figure shows A signal with four different frequency components at four different time intervals, hence a non-stationary signal. The interval 0 to 300 ms has a 100 Hz sinusoid, the interval 300 to 600 ms has a 50 Hz sinusoid, the interval 600 to 800 ms has a 25 Hz sinusoid, and finally the interval 800 to 1000 ms has a 10 Hz sinusoid.
f(t)g(t) f(t)
g(t)
Fig. 6
g(t-u)
t
对窗函数 g (t ) ， 可仿照力学中的重心和转动惯量来定义时窗中 心和时窗半径。 时窗中心
t * = ∫ t g ( t ) dt
2 R
R
∫
g ( t ) dt
2
7
第 3 章 小波变换
时窗半径
⎡ 2 2 Δt = ⎢ ∫ ( t − t * ) g ( t ) dt ⎣R
F (ω ) 的任一频率组成部分的值） ，这是由在（－∞，∞）上的时域过
程 f (t ) 决定的。 反变换类似：过程 f (t ) 在任一时刻的状态也是由 F (ω ) 在整个频 域（－∞，∞）的量决定。 故， f (t ) 和 F (ω ) 彼此间的刻画是“全局性”的，不能反映各自 局部区域上的特征,人们虽然从傅立叶变换能清楚地看到一个信息包
3
第 3 章 小波变换
Fig.3
And the following is its FT:
Fig. 4
For the “chirp signal” (唧声信号,), the frequency components change continuously.
4
第 3 章 小波变换
Fig. 5 Chirp signal
G+∞ ，
（2）
也就是说，若要一个函数 g (t ) 作为时窗，其谱函数 G (ω ) 作为频窗， 则 g (t ) 和 G (ω ) 同时具有较强的衰减性，应同时满足以上两式。 例 取时窗函数
g (t ) = δ ( t ) ,
∞ ⎧∞，t＝0 δ ( t )＝ ⎨ , and ∫ δ ( t ) dt = 1 ， ⎩0，elsewhere −∞
中心为
ω * = ∫ ω G (ω ) dω
2 R
R
∫ G (ω ) dω
2
频窗半径
⎡ 2 2 Δω = ⎢ ∫ (ω − ω * ) G (ω ) dω ⎣R
R
∫ G (ω )
2
⎤ dω ⎥ ⎦
1
2
当频窗平移 η 后，频窗为 G (ω − η ) 相应的频窗中心和频窗半径
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第 3 章 小波变换
* ω* ⎡ G ω − η = ω G (ω ) + η ⎤ ( ) ⎣ ⎦
F (ω ) =
+∞
−∞
∫
f ( t ) exp [ − jω t ] dt ,
+∞
ω∈R
1 f (t ) = 2π
−∞
∫
F (ω ) e x p
[ jω t ] d ω
这里正变换告诉我们： 从时间 （模拟） 信号中提取频谱信息 F (ω ) ， 就是使用（－∞，∞）的时间信息来计算单个频率的频谱（频域过程
数；如选择在 t > t0 迅速趋于零的所谓“钟型”函数，信号 f (t ) 在乘以 平滑移动的窗函数 g ( t − u ) 后，有效地抑止了 t 号，所以，再对
= u 的邻域以外的信
f (t ) g ( t − u ) 进行傅立叶变换所得的结果，反映了
t = u 时刻附近的局域频谱信息，从而达到了时域局域化的目的。
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第 3 章 小波变换
含的每一个频率的多少， 但很难看出不同信号的发射时间和发射的延 续时间，缺少时间信息使得傅立叶分析变得脆弱而容易失误。 伊利诺依斯大学教授 Y. Meyer 曾说： “若你记录 1 小时长的信息 而在最后 5 分钟出错，这一错误就会毁了整个傅立叶变换。相位的错 误是灾难性的，如果在相位上哪怕犯了一个错误，你最后就会发现你 所干的事与最初的信号无关了。 ” （科学前沿 P241） 实际上，对常见的不平稳信号，如语音信号、音乐信号、探地信 号、核探测的脉冲信号、以及核医学的图像信号等，它们的频域特性 是随时间变化的， 人们需要了解某些局部时段上所对应的主要频率特 性是什么，也需要了解某些频率的信息出现在哪些时段上，也就是需 要了解时－频局部化要求。对于这种时－频局部化要求，傅立叶变换 是无能为力的。 Examples. A stationary signal
进行窗式傅立叶变换：
G f (ξ , u ) = ∫ f (t ) g ( t − u ) e− jξ t dt
R
其中积分核 g
( t − u ) e− jξ t ：
The windowed Fourier transform
family of atoms is obtained by time translations and frequency modulations of the original window. This atom has a frequency center
3.2.2 窗式 Fourier Transform（Gabor Transform） Gabor 在 1946 年提出 Windowed Fourier Transform。其基本思 想是：将一个信号的频率一部分一部分地分析。通过该方法，人们至 少可以说，无论发生了什么，它一定是发生在信号的某个特定部分。
The similarity between these two spectrum (in Figs. 2and 4) should be apparent. Both of them show four spectral components at exactly the same frequencies, i.e., at 10, 25, 50, and 100 Hz. Other than the ripples, and the difference in amplitude (which can always be normalized), the two spectrums are almost identical, although the corresponding time-domain signals are not even close to each other. Both of the signals involve the same frequency components, but the first one has these frequencies at all times, the second one has these frequencies at different intervals. So, how come the spectrums of two entirely different signals look very much alike? Recall that the FT gives the spectral content of the signal, but it gives no information regarding where in time those spectral components appear . Therefore, FT is not a suitable technique for non-stationary signal, with one exception: The FT gives what frequency components (spectral components) exist in the signal. Nothing more, nothing less. When the time
Δω ⎡ ⎣G ( ω − η ) ⎤ ⎦ = Δω
时-频窗（Time-Frequency Window）
Fig. 6
Fig. 7
为了从几何上直观地描述了时频局部化，引入时-频窗。从定义 在时间－频率坐标系 知， g (t ) 和 G (ω ) 分别起着时窗和频窗的作用， 中，时-频窗的构成是时窗和频窗共同作用的结果。 ，
第 3 章 小波变换
3.2 窗式傅里叶变换
3.2.1 Fourier Transform 局域化特性分析
由于利用它可以把许多常见的微分、积分和卷积运算化简成代数 运算，所以傅里叶变换（FT）是一种刻画函数空间、求解微分方程 和进行数值运算的有效工具。 FT 在平稳信号分析和处理中有着突出的贡献的基本原因在于， 人们利用它可以把复杂的时间信号和空间信号转换到频率域中， 然后 用频谱特性去分析和表示时域信号的特性。 傅里叶变换对 ：
ξ and is symmetric with respect to
6
u.
第 3 章 小波变换
实际上， 分量的幅度。
f (t ) g ( t − u ) e − jξ t 在 u 点附近度量了频率为 ξ 的正弦
时窗（Time Window） 时窗函数 g (t ) ： 通常选窗口函数为能量集中在低频处的实偶函
Fig. 1
a stationary signal
2
第 3 章 小波变换
And the following is its FT:
Fig.2
The next figure shows A signal with four different frequency components at four different time intervals, hence a non-stationary signal. The interval 0 to 300 ms has a 100 Hz sinusoid, the interval 300 to 600 ms has a 50 Hz sinusoid, the interval 600 to 800 ms has a 25 Hz sinusoid, and finally the interval 800 to 1000 ms has a 10 Hz sinusoid.
f(t)g(t) f(t)
g(t)
Fig. 6
g(t-u)
t
对窗函数 g (t ) ， 可仿照力学中的重心和转动惯量来定义时窗中 心和时窗半径。 时窗中心
t * = ∫ t g ( t ) dt
2 R
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∫
g ( t ) dt
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第 3 章 小波变换
时窗半径
⎡ 2 2 Δt = ⎢ ∫ ( t − t * ) g ( t ) dt ⎣R
F (ω ) 的任一频率组成部分的值） ，这是由在（－∞，∞）上的时域过
程 f (t ) 决定的。 反变换类似：过程 f (t ) 在任一时刻的状态也是由 F (ω ) 在整个频 域（－∞，∞）的量决定。 故， f (t ) 和 F (ω ) 彼此间的刻画是“全局性”的，不能反映各自 局部区域上的特征,人们虽然从傅立叶变换能清楚地看到一个信息包
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第 3 章 小波变换
Fig.3
And the following is its FT:
Fig. 4
For the “chirp signal” (唧声信号,), the frequency components change continuously.
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第 3 章 小波变换
Fig. 5 Chirp signal
G+∞ ，
（2）
也就是说，若要一个函数 g (t ) 作为时窗，其谱函数 G (ω ) 作为频窗， 则 g (t ) 和 G (ω ) 同时具有较强的衰减性，应同时满足以上两式。 例 取时窗函数
g (t ) = δ ( t ) ,
∞ ⎧∞，t＝0 δ ( t )＝ ⎨ , and ∫ δ ( t ) dt = 1 ， ⎩0，elsewhere −∞
中心为
ω * = ∫ ω G (ω ) dω
2 R
R
∫ G (ω ) dω
2
频窗半径
⎡ 2 2 Δω = ⎢ ∫ (ω − ω * ) G (ω ) dω ⎣R
R
∫ G (ω )
2
⎤ dω ⎥ ⎦
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当频窗平移 η 后，频窗为 G (ω − η ) 相应的频窗中心和频窗半径
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第 3 章 小波变换
* ω* ⎡ G ω − η = ω G (ω ) + η ⎤ ( ) ⎣ ⎦
