窗口傅里叶变换

3.2 窗式傅里叶变换3.2.1 Fourier Transform 局域化特性分析由于利用它可以把许多常见的微分、积分和卷积运算化简成代数运算，所以傅里叶变换（FT）是一种刻画函数空间、求解微分方程和进行数值运算的有效工具。

FT在平稳信号分析和处理中有着突出的贡献的基本原因在于，人们利用它可以把复杂的时间信号和空间信号转换到频率域中，然后用频谱特性去分析和表示时域信号的特性。

傅里叶变换对：这里正变换告诉我们：从时间（模拟）信号中提取频谱信息()Fω，就是使用（－∞，∞）的时间信息来计算单个频率的频谱（频域过程Fω的任一频率组成部分的值），这是由在（－∞，∞）上的时域过()程()f t决定的。

反变换类似：过程()Fω在整个频f t在任一时刻的状态也是由()域（－∞，∞）的量决定。

故，和彼此间的刻画是“全局性”的，不能反映各自Fωf t()()局部区域上的特征,人们虽然从傅立叶变换能清楚地看到一个信息包含的每一个频率的多少，但很难看出不同信号的发射时间和发射的延续时间，缺少时间信息使得傅立叶分析变得脆弱而容易失误。

伊利诺依斯大学教授Y . Meyer 曾说：“若你记录1小时长的信息而在最后5分钟出错，这一错误就会毁了整个傅立叶变换。

相位的错误是灾难性的，如果在相位上哪怕犯了一个错误，你最后就会发现你所干的事与最初的信号无关了。

”（科学前沿P241）实际上，对常见的不平稳信号，如语音信号、音乐信号、探地信号、核探测的脉冲信号、以及核医学的图像信号等，它们的频域特性是随时间变化的，人们需要了解某些局部时段上所对应的主要频率特性是什么，也需要了解某些频率的信息出现在哪些时段上，也就是需要了解时－频局部化要求。

对于这种时－频局部化要求，傅立叶变换是无能为力的。

Examples. A stationary signal()()()()()cos 210cos 225cos 250cos 2100x t t t t t ππππ=•••+•••+•••+•••is a stationary signal, because it has frequencies of 10, 25, 50, and 100 Hz at any given time instant.Fig. 1 a stationary signalAnd the following is its FT:Fig.2The next figure shows A signal with four different frequency components at four different time intervals, hence a non-stationary signal. The interval 0 to 300 ms has a 100 Hz sinusoid, the interval 300 to 600 ms has a 50 Hz sinusoid, the interval 600 to 800 ms has a 25 Hz sinusoid, and finally the interval 800 to 1000 ms has a 10 Hz sinusoid.Fig.3And the following is its FT:Fig. 4For the “chirp signal” (唧声信号,), the frequency components change continuously.Fig. 5 Chirp signalThe similarity between these two spectrum (in Figs. 2and 4) should be apparent. Both of them show four spectral components at exactly the same frequencies, i.e., at 10, 25, 50, and 100 Hz. Other than the ripples, and the difference in amplitude (which can always be normalized), the two spectrums are almost identical, although the corresponding time-domain signals are not even close to each other. Both of the signals involve the same frequency components, but the first one has these frequencies at all times, the second one has these frequencies at different intervals. So, how come the spectrums of two entirely different signals look very much alike? Recall that the FT gives the spectral content of the signal, but it gives no information regarding where in time those spectral components appear . Therefore, FT is not a suitable technique for non-stationary signal, with one exception:The FT gives what frequency components (spectral components) exist in the signal. Nothing more, nothing less. When the timelocalization of the spectral components are needed, a transform giving the TIME-FREQUENCY REPRESENTATION of the signal is needed.-R. Polikar3.2.2 窗式Fourier Transform （Gabor Transform ）Gabor 在1946年提出Windowed Fourier Transform 。

其基本思想是：将一个信号的频率一部分一部分地分析。

通过该方法，人们至少可以说，无论发生了什么，它一定是发生在信号的某个特定部分。

窗式傅立叶变换或Gabor 变换的定义思路：把非平稳过程看成是一系列短时平稳信号的叠加，短时性可通过在时间上加窗实现。

在傅立叶积分中，使用时间窗口函数(g t u )−与信号相乘，实现在附近的开窗和平移，然后进行傅立叶变换。

)(t f u 在线性空间有一个可测的、平方可积的函数()2()f t L R ∈，对其进行窗式傅立叶变换：()R(,)()j t f G u f t g t u e d ξξ−=−∫t其中积分核()j tgt u eξ−−： The windowed Fourier transformfamily of atoms is obtained by time translations and frequency modulations of the original window. This atom has a frequency centerξ and is symmetric with respect to.u实际上，()()j tf tg t u e ξ−−在点附近度量了频率为u ξ的正弦分量的幅度。

时窗（T ime Window ）时窗函数： 通常选窗口函数为能量集中在低频处的实偶函数；如选择在()g t 0t t >迅速趋于零的所谓“钟型”函数，信号在乘以平滑移动的窗函数后，有效地抑止了)(t f (g t u −)t u =的邻域以外的信号，所以，再对()()f t g t u −进行傅立叶变换所得的结果，反映了时刻附近的局域频谱信息，从而达到了时域局域化的目的。

t u =g(t)tg(t-u)f(t)Fig. 6对窗函数，可仿照力学中的重心和转动惯量来定义时窗中心和时窗半径。

()g t 时窗中心()2*Rt t g t dt=∫设()2R1g t dt =∫，那么()2*Rt t g t =∫dt ， ()()1/222*R t t t g t dt ⎡⎤Δ=−⎢⎥⎣⎦∫这样定义的时窗函数的窗口为()g t **, t t t t ⎡⎤−Δ+Δ⎣⎦，窗口宽度为。

2t Δ可按定义推出窗函数()g t τ−的时窗中心表达式： ()()**t g t t g t ττ−=+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦时窗半径： ()t g t t τΔ−=Δ⎡⎤⎣⎦。

频窗（Frequency Window ）时窗函数()g t 的傅立叶变换t ˆ()()G gω=为频窗函数。

定义频窗中心为()()22*RRG d G d ωωωωω=∫∫ω频窗半径()()()12222*RRG d G d ωωωωωωω⎡⎤Δ=−⎢⎥⎣⎦∫∫ 当频窗平移η后，频窗为()G ωη−相应的频窗中心和频窗半径()()**G G ωωηωωη−=+⎡⎤⎣⎦()G ωωηωΔ−=Δ⎡⎤⎣⎦时-频窗（Time-Frequency Window ）Fig. 6Fig. 7为了从几何上直观地描述了时频局部化，引入时-频窗。

从定义知，和()g t ()G ω分别起着时窗和频窗的作用，在时间－频率坐标系中，时-频窗的构成是时窗和频窗共同作用的结果。

，3.2.3 窗口傅立叶变换的反演公式如果是时窗函数，要求和()g t *tt Δ均为有限值，即要求()22Rt g t dt <+∞∫或者为了判断简单，只需()3/21,g t tt <→+∞， （1）类似，如果()G ω是频窗，则只需满足()3/21,G t ωω<→+∞， （2）也就是说，若要一个函数()g t 作为时窗，其谱函数()G ω作为频窗，则()g t 和()G ω同时具有较强的衰减性，应同时满足以上两式。

例 取时窗函数()()()(),0,10elsewhere g t t t and t dt δδδ∞−∞=∞⎧=⎨⎩∫，t＝＝，，是否能同时使傅立叶变换达到时频局部化？()()g t δ=t 显然满足()3/21,g t tt <→+∞，故，可以此函数达到时域局部化。