傅立叶变换

最早进行时频分析的工具是短时窗傅立叶变换。

通过给定一个时窗长度，分析该时窗内数据的傅氏谱，以此作为时窗中心的谱，然后滑动时窗，得到随时间变化的谱，即时频谱。

小波变换是短时窗傅立叶变换的发展，它克服了短时窗傅立叶变换中时窗长度固定的弊病。

适用于对同时含有高频和低频信息的信号的处理。

小波包时频分析技术又是在小波变换基础上发展而来的。

它克服了小波变换对频带划分过于粗糙的缺点。

从某种意义上说，它是小波变换的推广，是纯粹数学和应用数学的完美结合。

以上这些时频谱分析技术各有自己的技术特点，我们在此基础上对各项技术的适应性进行了研究，针对地震信号的不同特点及存在的问题进行了改进。

下面分别对这些技术进行介绍。

（1） 傅立叶变换对一个三层介质模型，上界面反射系数为m r ，下界面反射系数为l r ，对应的时间序列r (t )为)0,...0,,0,...,0,,0,...0(l m r r ，l m <。

对r (t )进行傅里叶变换得∑-=∆∆-∆=∆12,)(1)(N k tN tnk i l m et k r N t N n R π)2cos )(2cos )([(1tN t nl t l r t N t nm t m r N ∆∆∆+∆∆∆=ππ )]2sin )(2sin)((tN tnl t l r t N t nm t m r i ∆∆∆+∆∆∆-ππ （1.2.4-1） 式中：m r t m r =∆)(，t ∆为时间采样间隔；n 为离散频谱的某一频率成分；N 为时间序列r (t )的离散采样点数；m 和l 分别对应上下界面。

其功率谱为])(2cos 2[1)(222,Nm l n r r r r N t N n P l m l m l m -++=∆π （1.2.4-2） 傅立叶变换是将一个信号序列表示成不同频率成分的简谐波正交叠合的过程，因此可以称之为正交谐波分解。

设)(t s 为一时间序列，其傅立叶变换为：⎰∞-∞=-=t iwt dt e t s w S )()( (1.2.4-3)傅立叶反变换为：⎰∞-∞==w iwt dw e w S t s )()( (1.2.4-4)上述)(w S 实质上表示了信号)(t s 的频谱。

正是傅立叶变换的这种重要的物理意义，决定了其在信号分析中的重要地位。

令：Re 表示一个复数的实部，Im 表示虚部， 则其功率谱为：22)))((Im()))((Re()(w S w S w P += （1.2.4-5） 振幅谱为：)()(w P w A = （1.2.4-6） 相位谱为：)))(R e (/))(arctan(Im()(w S w S w Ph = （1.2.4-7）在地震信号处理中，往往通过上述变换，来研究信号的功率谱分布特征、主频、频带宽度及相位谱特征，从而为实施反褶积、滤波、属性分析及质量控制等提供准确的参数。

从（1.2.4-1）式可以看出，对于每一个频率w ，必须获得信号在时间域中的全部信息，甚至包括将来的信息。

另外，在时间域的某一时刻的信号的变化也会影响整个频谱的变化，而从频谱上，我们无法得知信号的变化究竟发生在哪一时刻。

也就是说，傅立叶变换反映的是信号的整体特性，它不能反映信号的局部特征。

因此只能用于平稳信号的分析。

（2） 短时窗傅立叶变换在地震勘探中，无论是储层的结构变化还是储层的含油气与否都会引起地震反射的变化。

由于频谱反映的是信号的整体特性，因此在频谱上无法反映这种局部变化信息，必须寻求一种局部谱分析技术。

为此，引入“窗函数”技术，通过窗函数处理，在局部时间段对地震信号进行谱分析。

这就是短时窗傅立叶变换技术。

短时窗傅立叶变换定义为： ⎰∞-∞=--=t iwt dt e b t g t h w b F )()(),( （1.2.4-8)其中，)(t g 是窗函数。

如果窗函数定义为Gauss 函数，at a eat g 4221)(-=π （1.2.4-9）则 ⎰∞-∞=--=t iwt a dt e b t g t h w b a F )()(),,( （1.2.4-10）此时的短时窗傅立叶变换称为Gabor 变换。

这里，a 决定时窗宽度。

由于⎰∞-∞=-=t iwt a a dt e t g w G )()(⎰∞-∞=--=t iwt at dt e ea4221π⎰∞-∞=+-=t iwt at dt ea )4(221π2aw e -= （1.2.4-11） 即Gauss 窗函数的傅立叶变换也为Gauss 函数，从而保证了Gabor 变换在时间域和频率域同时具有局部化功能。

短时窗傅立叶变换解决了傅立叶变换不能刻画的局部时频问题，尤其是Gabor 变换的推出，使窗口傅立叶变换应用更加广泛，因为Gabor 变换在时间域和频率域都具有良好的局部特性。

有研究表明，在时间窗-频率窗面积最小的意义下，Gabor 变换是最优的窗口傅立叶变换。

由于短时窗傅立叶变换继承了傅立叶变换计算快速方便的特性，因此在对信号的时频描述中应用极其广泛。

然而，由式（1.2.4-8）可以看出，短时窗傅立叶变换时窗宽度是固定不变的。

这意味着它在时间域和频率域的分辨率是固定的（由其窗口大小决定）。

当时窗较大时，时间分辨率低，频率分辨率高；反之，时窗较小时，时间分辨率高，频率分辨率低。

对于像地震记录这样的同时包含高频和低频信息的非平稳信号，其高频和低频对时窗的要求是不一样的。

对于高频信号，由于持续时间短，应采用窄时窗；对于低频信号，信号持续时间长，应采用宽时窗。

也就是说，时窗宽度应随着所分析的信号的不同特性具有自适应调节的能力，这样才能达到在时间域和频率域同时具有最佳的分辨率，短时窗傅立叶变换显然无法解决这个问题。

（3） 小波变换小波变换是在短时窗傅立叶变换基础上发展而来的。

对于信号)(t h ，其小波变换定义为：⎰∞-∞=-=t s dt abt t h ab a W )()(),(2/1ψ （1.2.4-12） 其中：a 为尺度因子，b 为平移因子，)(t ψ为小波母函数，其傅立叶变换)(ˆωψ满足容许性条件，即∞<⎰∞∞-ωωωψd 2)(ˆ （1.2.4-13）从式（1.2.4-12）可以看出，)(t ψ相当于前面iwt a e t g )(的功能。

所不同的是)(t ψ的形态与尺度因子有关，随着尺度因子a 的变化，其窗口的大小和形状都在改变，从而可以适应不同频率的要求。

当然，完全按照式（1.2.4-12）来计算小波变换，其计算量是难以接受的。

为此，Mallat 于1992年研究的基于二进正交小波的塔式分解算法，使小波变换从理论研究走向实用。

以下是Mallat 塔式小波变换分解和合成算法及示意图。

设k h 和k g 是一对正交共轭滤波器，满足⎪⎩⎪⎨⎧-=+=∑∑+++++)()()(22222m n g g h h n h h kk m k n k m k n k n k k δδ （1.2.4-14）则小波分解算法为，（1.2.4-15）（1.2.4-16）（1.2.4-17）下面是小波分解和合成示意图图1.2.4-1 小波分解示意图图1.2.4-2 小波合成示意图小波变换克服了短时窗傅立叶变换的时窗不能随所分析信号的频率的变化[]∑+-+-+=lj l l k j l l k j k d g c h c 1212c 0 c 4 c1 d 1 d4 c2 d 2 c3 d3 cc 4c1 d1 d4 c 2 d 2 c 3 d3而变化的缺点。

因此比较适合队非平稳信号的分析。

但是从式（1.2.4-12）可以看出，随着尺度因子a 减小，时间分辨率变高，而频率分辨率变低，这样一来，对于分辨频率很接近的高频信息是不利的。

这也是小波变换在实际应用中的一大缺陷。

（4） 小波包变换小波包变换实质上是在小波变换基础上的推广，它是将小波变换分频后的高频细节部分进行了进一步的细分，使其频率分辨率得到提高。

定义共轭滤波器组n h 和n g ，满足：l k nln k n hh,22δ=∑-- （1.2.4-18）2=∑n nh（1.2.4-19） k kkh g --=1)1( （1.2.4-20） 及函数列{N m t w m ∈);(}，满足：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=-=∑∑∈+∈)()()()()2()()2()(10122t t w t t w n t w g t w n t w h t w Zn m n m Zn m n m ψϕ （1.2.4-21） 则称{N m t w m ∈);(}为由尺度函数)(t ϕ所确定的小波包。

离散信号k s 在小波包基下的塔式分解算法为：⎪⎩⎪⎨⎧==∑∑--+--k l kn i k l i n kl kn i k l i n W g W W h W 1,2,121,2,2 （1.2.4-22）其中，n=0,1,…2l -1;l 为小波包分解层数；k k s W =0,0。

以下是小波包分解示意图。

图上灰色部分是小波分解结果。

从图上可以看出，小波包对小波变换没有分解的高频部分进行了进一步的细分，从而可得到更高分辨率的频谱分解。

图1.2.4-3 小波包分解算法示意图H-低通滤波器 G-高通滤波器（5） S-变换S-变换是1996年由伦敦西安大略湖大学R.G.Stockwell 等人提出的。

它是连续小波变换思想的一种推广。

它综合了加窗傅立叶变换和小波变换的优点，克服了傅立叶变换时窗不能变化的缺点，与小波变换相比，建立了与频谱的直接对应关系，且基本小波不必满足容许性条件（1.2.4-13）。

设)()(2R L t h ∈（即在实数空间平方可积函数），其S-变换定义为：⎰∞∞--⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--=dt e ef t h f S ft i t t f ππτ22)(22*2)(),( （1.2.4-23）● S-变换与短时窗傅立叶变换的关系在短时窗傅立叶变换（1.2.4-8）式中，令 2)(22)(tf e f t g -=π（1.2.4-24）得S-变换（1.2.4-23）式。

● S-变换与小波变换的关系在连续小波变换（1.2.4-12）式中，尺度定义为f a /1=，小波母函数定义为：ft i f t e ef f t ππψ22222),(--=（1.2.4-25）则可得到S-变换（1.2.4-23）式。

● 广义S-变换在前面定义的S-变换中，基本小波是固定的，对不同的信号进行时频分析时，其对频率的分割能力是固定的，因此，其应用范围受到一定限制。

在前面的推导中，令f k a /=，则得到广义S-变换。

其对频率的分割能力可以通过调整k 值进行控制。

当k 增大时，可以增大频率的分辨率，但会缩小时间分辨率；反之，当k减小时，频率分辨率降低，但时间分辨率相应增大，从而可以适应不同分辨能力的要求。