数值分析-非线性方程数值解法

数值分析第七章非线性方程的数值解法在数值分析中，非线性方程和非线性方程组的求解是非常重要的问题。

线性方程是指变量之间的关系是线性的，而非线性方程则指变量之间的关
系是非线性的。

非线性方程的数值解法是通过迭代的方式逼近方程的解。

非线性方程的求解可以分为两类：一元非线性方程和多元非线性方程组。

接下来，我们将对这两类方程的数值解法进行介绍。

对于一元非线性方程的数值解法，最常用的方法是二分法、牛顿法和
割线法。

二分法是一种直观易懂的方法，其基本思想是通过迭代将方程的解所
在的区间逐渐缩小，最终找到方程的解。

二分法的缺点是收敛速度较慢。

牛顿法是一种迭代法，其基本思想是通过选择适当的初始值，构造出
一个切线方程，然后将切线方程与x轴的交点作为新的近似解，并不断迭代，直到满足精度要求。

牛顿法的优点是收敛速度较快，但其缺点是初始
值的选择对结果影响很大，容易陷入局部极值。

割线法是对牛顿法的改进，其基本思想是通过选择两个初始值，构造
出一条割线，然后将割线与x轴的交点作为新的近似解，并不断迭代，直
到满足精度要求。

割线法的收敛速度介于二分法和牛顿法之间。

对于多元非线性方程组的数值解法，最常用的方法是牛顿法和拟牛顿法。

牛顿法的思想同样是通过构造切线方程来进行迭代，但在多元方程组中，切线方程变为雅可比矩阵。

牛顿法的优点是收敛速度快，但同样受初
始值的选择影响较大。

拟牛顿法是对牛顿法的改进，其基本思想是通过逼近Hessian矩阵来进行迭代，从而避免了计算雅可比矩阵的繁琐过程。

拟牛顿法的收敛性和稳定性较好，但算法复杂度相对较高。

数值分析非线性方程的数值解法数值分析是一种应用数学方法来分析和解决数学问题的领域。

非线性方程是数值分析中一类重要的问题，其解法包括了迭代法、牛顿法、割线法等。

本文将详细介绍这些数值解法及其原理和应用。

一、迭代法迭代法是解非线性方程的一种常用数值方法。

该方法的基本思想是通过不断迭代逼近方程的根，直到达到所需精度或满足停止准则为止。

迭代法的求根过程如下：1.选择适当的初始值x0。

2. 利用迭代公式xn+1 = g(xn)，计算下一个近似根。

3.重复步骤2，直到满足停止准则为止。

常用的迭代法有简单迭代法、弦截法和牛顿法。

简单迭代法的迭代公式为xn+1 = f(xn)，其中f(x)为原方程的一个改写形式。

该方法的收敛性要求函数f(x)在解附近有收敛性且导数在一个区间内收敛。

弦截法的迭代公式为xn+1 = xn - f(xn) * (xn-xn-1) / (f(xn)-f(xn-1))。

该方法通过连接两个点上的函数值的割线来逼近方程的根。

牛顿法的迭代公式为xn+1 = xn - f(xn) / f'(xn)，其中f'(x)为f(x)的导数。

该方法通过用切线来逼近方程的根。

二、牛顿法牛顿法是解非线性方程的一种常用迭代法。

该方法通过使用方程的导数来逼近方程的根。

迭代过程如下：1.选择适当的初始值x0。

2. 利用迭代公式xn+1 = xn - f(xn) / f'(xn)，计算下一个近似根。

3.重复步骤2，直到满足停止准则为止。

牛顿法的收敛速度较快，但要求方程的导数存在且不为0。

三、割线法割线法是解非线性方程的另一种常用迭代法。

该方法通过连接两个点上的函数值的割线来逼近方程的根。

迭代过程如下：1.选择适当的初始值x0和x12. 计算下一个近似根xn+1 = xn - f(xn) * (xn-xn-1) / (f(xn)-f(xn-1))。

3.重复步骤2，直到满足停止准则为止。

割线法的收敛速度介于简单迭代法和牛顿法之间。

非线性方程组数值解法
，
非线性方程组数值解法是通过数值方法解决非线性方程组问题的一种解法。

非线性方程组不像普通的线性方程组，它们往往没有普遍的解析解，一般只有数值解。

因此，非线性方程组的数值解法非常重要。

非线性方程组数值解法的基本思想是，将非线性方程组分解为多个子问题，并采用一种迭代算法求解这些子问题。

最常见的数值方法有牛顿法、拟牛顿法和共轭梯度法等。

牛顿法是利用曲线上的点的二次近似，将非线性方程分解为两个子问题，转换为求解一个简单的一元方程的问题来求解非线性方程组的数值解。

拟牛顿法利用有限差分方法来求解非线性方程组的数值解，共轭梯度法利用解的搜索方向，进行有效的搜索，通过解的最优性条件收敛到解。

非线性方程组数值解法是目前应用最广泛的数值解法，它能很好地求解非线性方程组。

不仅能有效求解复杂的非线性方程组，还能求出较精确的数值解。

此外，非线性方程组数值解法运算速度快，可以对模型进行实时定位和跟踪，非常适合模拟复杂的动态系统。

总之，非线性方程组数值解法是一种求解复杂非线性方程组的有效解法，它的准确性高，运算速度快，广泛应用于现实世界中的多种工程与科学计算问题。

姓名 班级 学号第三章 非线性方程的数值解法一、学习体会本章主要介绍了非线性方程组的方程根的解法，求方程根的步骤，由于非线性方程组只有少数类型能解出根的解析表达式，只能用数值方法求出它的近似值。

求解非线性方程组的方法有作图法等，求根的方法有二分法、迭代法、牛顿法、割线法等。

在学习过程当中，我们要注意各种方法的特点与使用范围，针对不同场合下的非线性方程组，选择合适的方法有利于我们快速准确的得到所要求的结果。

二、知识梳理非线性方程的迭代解法1、对分法对分法的算法步骤如下：对k=0，1……，M 执行（1）计算k 2a kk x b +=； （2）()k f x ε<或者2k k b a ε-<则停止计算。

取s=k x ，否则转（3）； （3）若f(k a )f (k x )〈0，令k+1k+1k k a =b =a x ，，；若f(k a )f (k x )〉0则有k+1k+1k k a =b =b x ，，； （4）若k=M ，则输出M 次迭代不成功的信息；否则继续。

2、简单迭代法及其收敛性定理1：设函数()[,]x C a b ϕ∈,在(a,b)内可导,且满足两个条件:（1）当[,]x a b ∈时, ()[,]x a b ϕ∈；（2）当(,)x a b ∈时, |'()|1x L ϕ≤<, 其中L 为一常数。

则有如下结论:（1）方程=()x x ϕ在区间[,]a b 上有唯一的根s ；（2）对任取0[,]x a b ∈，简单迭代法1=()k k x x ϕ+产生的序列{}[,]k x a b ⊂且收敛于s ；（3）成立误差估计式101|-|||1|-|||1kk k k k L s x x x L L s x x x L-≤--≤-- 定理2 设=()s s ϕ，'()x ϕ在包含s 的某个开区间内连续。

如果|'()|<1s ϕ，则存在0δ>，当0[,]x s s δδ∈-+时，由简单迭代法1=()k k x x ϕ+产生的序列{}[,]k x s s δδ⊂-+且收敛于s 。

非线性方程的解法实验1.算法设计与比较问题提出：非线性方程组的求解方法很多，基本的思想是线性化。

不同的方法效果如何，要靠计算的实践来分析、比较。

实验内容：考虑算法(1)牛顿法(2)拟牛顿法分别编写它们的matlab程序。

实验要求：(1)用上述方法，分别计算两个例子。

在达到精度相同的前提下，比较迭代次数、浮点运算次数和CPU时间等。

1.1程序清单为使用flops统计浮点运算次数，使用MATLAB5.3版本%f1.m原函数f1function y=f(x)y(1)=12*x(1)-x(2)^2-4*x(3)-7;y(2)=x(1)^2+10*x(2)-x(3)-8;y(3)=x(2)^3+10*x(3)-8;end%ff1.m原函数f1的雅克比矩阵function y=ff(x)y(1,:)=[12,-2*x(2),-4];y(2,:)=[2*x(1),10,-1];y(3,:)=[0,3*x(2)^2,10];end%f1.m原函数f2function y=f2(x)y(1)=3*x(1)-cos(x(2)*x(3)) -1/2;y(2)=x(1)^2-81*(x(2)+0.1)^2+sin(x(3))+1.06;y(3)=exp(-x(1)*x(2))+20*x(3)+1/3*(10*pi-3);end%ff2.m原函数f2的雅克比矩阵function y=ff2(x)y(1,:)=[3,x(3)*sin(x(2)*x(3)),x(2)*sin(x(2)*x(3))];y(2,:)=[2*x(1),-2*81*(x(2)+0.1),cos(x(3))];y(3,:)=[-x(2)*exp(-x(1)*x(2)),-x(1)*exp(-x(1)*x(2)),20]; end%牛顿法(以第一个方程组为例)clear;x0=[0,0,0]';n=10;tol=1e-6;x(:,1)=x0;i=1;u=[1,1,1]';tic;while (norm(u)>tol*norm(x(:,i))&(i<n))A=ff1(x(:,i));b=f1(x(:,i))';u=-A\b;x(:,i+1)=x(:,i)+u;i=i+1;end;x(:,i)iter=i-1t=toc%拟牛顿法(以第一个方程组为例)clear;x0=[0,0,0]';n=10;tol=1e-6;x(:,1)=x0;i=1;p=[1,1,1]';A=ff1(x(:,1));tic;while (norm(p)>tol*norm(x(:,i))&(i<n))x(:,i+1)=x(:,i)-A\f1(x(:,i))';p=x(:,i+1)-x(:,i);q=f1(x(:,i+1))'-f1(x(:,i))';A=A+(q-A*p)*p'/norm(p,2)^2;i=i+1;end;iter=i-1t=tocx(:,i)1.2运行结果1.2.1第一个方程组精确解为*T =(0.886020214719037, 0.796444775323146, 0.749479574122230)x 取最大迭代次数n=5000，相对误差限Tol=1e-6 (1)取()(0)1,1,1x T=牛顿迭代法迭代3次收敛，浮点运算次数为440，每次迭代平均浮点运算次数为147，CPU 耗时t =0(s)拟牛顿法迭代4次收敛，浮点运算次数为1048，每次迭代平均浮点运算次数为262，CPU 耗时t =0(s)(2)取()(0)000x T =，， 牛顿迭代法迭代4次收敛，浮点运算次数为510，每次迭代平均浮点运算次数为128，CPU 耗时t =1.600e-002(s)拟牛顿法迭代6次收敛，浮点运算次数为1493，每次迭代平均浮点运算次数为248，CPU 耗时t =1.50e-002(s)(3)取()(0)50,5050x T=，牛顿迭代法迭代15次收敛，浮点运算次数为2118，每次迭代平均浮点运算次数为141，CPU 耗时t =1.600e-002(s)拟牛顿法迭代338次收敛，浮点运算次数为88454，每次迭代平均浮点运算次数为262，CPU 耗时t =3.100e-002(s)1.2.2第二个方程组精确解为*T =(0.886020214719037, 0.796444775323146, 0.749479574122230)x 取最大迭代次数n=5000，相对误差限Tol=1e-6(1)取()(0)000x T=，， 牛顿迭代法迭代5次收敛，浮点运算次数为776，每次迭代平均浮点运算次数为155.2，CPU 耗时t =0(s)拟牛顿法迭代6次收敛，浮点运算次数为1635，每次迭代平均浮点运算次数为273，CPU 耗时t =0(s)(2)取()(0)888x T=，， 牛顿迭代法迭代9次收敛，浮点运算次数为1519，每次迭代平均浮点运算次数为169，CPU 耗时t =0(s)拟牛顿法迭代21次收敛，浮点运算次数为5924，每次迭代平均浮点运算次数为282，CPU 耗时t =1.600e-002(s)(3)对于离精确解更远的初值（如()(0)101010x T=，，），在计算中会出现奇异或接近奇异的矩阵，计算结果误差很大或计算根本无法进行下去。

第二章非线性方程数值解法本章将讨论非线性方程0)(=x f (2.1)的数值解法，我们最为熟悉的非线性方程是一元二次方程02=++c bx ax也是最简单的非线性方程，其解为：aac b b x 2422,1-±-=但是对于(2.1)式中一般形式的非线性函数)(x f ，很难甚至不可能找到解析形式的解，通常只能用数值的方法求其近似数值解。

2.1 基本概念定义2.1如果*x 满足0)(*=x f ，则称*x 为方程(2.1)的解或根，也称*x 为函数)(x f 的零点或根。

用数值方法求解非线性方程的解，通常需要我们对其解有一个初步的估计，或知道其解的一个限定区间，因此确定包含解的区间将是我们首先需要解决的问题。

定义2.2若连续函数)(x f 在],[b a 内至少有一个根，则称],[b a 为有根区间，若在],[b a 内恰有一个根，则称],[b a 为隔根区间。

定理2.1 如果函数)(x f 在],[b a 上连续且0)()(<b f a f ，则)(x f 在),(b a 内至少有一个根，如果函数)(x f 另外满足在],[b a 上单调连续，则)(x f 在),(b a 内恰有一个根。

寻找隔根区间的通常方法有：图形法, 试探法。

例2.1 求033)(3=+-=x x x f 的有根区间。

解：作出函数)(x f y =的曲线图形图2.1 例2.1曲线示意图观察图中的曲线与X 轴的交点，可判断在区间)2,3(--之间方程有一个根。

例2.2 求033)(23=--+=x x x x f 的有根区间。

解：计算出)(x f 在一些点的值。

从表中可以看出1-=x 是一个根，区间)2,1(是一个有根区间。

如果在[-2,-1]之间把间隔再缩小到0.25我们可以得到下列表格在这个表格里我们又发现一个有根区间)5.1,75.1(--。

从此例中我们可以体会到试探法有可能漏掉某些有根区间，具有一定的局限性。