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第一章随机过程本章主要内容：随机过程的基本概念●随机过程的数字特征●随机过程的微分和积分计算●随机过程的平稳性和遍历性●随机过程的相关函数及其性质●复随机过程●正态分布的随机过程第一章我们介绍了随机变量，随机变量是一个与时间无关的量，随机变量的某个结果，是一个确定的数值。
例如，骰子的6面，点数总是1～6，假设A面点数为1，那么无论你何时投掷成A面，它的点数都是1，不会出现其它的结果，即结果具有同一性。
但生活中，许多参量是随时间变化的，如测量接收机的电压，它是一个随时间变化的曲线；又如频率源的输出频率，它随温度变化，所以有个频率稳定度的范围的概念（即偏离标称频率的最大范围）。
这些随时间变化的随机变量就称为随机过程。
显然，随机过程是由随机变量构成，又与时间相关。
1.1 随机过程的基本概念及统计特性1.1.1 随机过程的定义现在我们进一步论述随机过程的概念。
当对接收机的噪声电压作“单次”观察时，可以得到波形)(1t x ，也可能得到波形)(2t x ，)(3t x 等等，每次观测的波形的具体形状，虽然事先不知道，但肯定为所有可能的波形中的一个。
而这些所有可能的波形集合)(1t x ，)(2t x ，)(3t x ，…，)(t x n ，…..，就构成了随机过程)(t X 。
图1.1 噪声电压的起伏波形1． 样本函数：)(1t x ，)(2t x ，)(3t x ，…，)(t x n ，都是时间的函数，称为样本函数。
2． 随机性：一次试验，随机过程必取一个样本函数，但所取的样本函数带有随机性。
因此，随机过程不仅是时间t 的函数，还是可能结果ζ的函数，记为),(ζt X ，简写成)(t X 。
3．随机过程的定义：定义1把随机过程看成一族样本函数。
4．定义的理解上面两种随机过程的定义，从两个角度描述了随机过程。
具体的说，作观测时，常用定义1，这样通过观测的试验样本来得到随机过程的统计特性；对随机过程作理论分析时，常用定义2，这样可以把随机过程看成为n 维随机变量，n越大，采样时间越小，所得到的统计特性越准确。
第一章 随机过程及其分类在概率论中，我们研究了随机变量，n 维随机向量。
在极限定理中我们研究了无穷多个随机变量，但只局限在它们之间相互独立的情形。
将上述情形加以推广，即研究一族无穷多个、相互有关的随机变量，这就是随机过程。
1． 随机过程的概念定义：设),,(P ∑Ω是一概率空间，对每一个参数T t ∈，),(ωt X 是一定义在概率空间),,(P ∑Ω上的随机变量，则称随机变量族});,({T t t X X T ∈=ω为该概率空间上的一随机过程。
其中R T ⊂是一实数集，称为指标集或参数集。
随机过程的两种描述方法： 用映射表示T X ，R T t X →Ω⨯:),(ω即),(⋅⋅X 是一定义在Ω⨯T 上的二元单值函数，固定T t ∈，),(⋅t X 是一定义在样本空间Ω上的函数，即为一随机变量；对于固定的Ω∈ω，),(ω⋅X 是一个关于参数T t ∈的函数，通常称为样本函数，或称随机过程的一次实现，所有样本函数的集合确定一随机过程。
记号),(ωt X 有时记为)(ωt X 或简记为)(t X 。
参数T 一般表示时间或空间。
常用的参数一般有：（1）},2,1,0{0 ==N T ；（2）},2,1,0{ ±±=T ；（3）],[b a T =，其中a 可以取0或∞-，b 可以取∞+。
当参数取可列集时，一般称随机过程为随机序列。
随机过程});({T t t X ∈可能取值的全体所构成的集合称为此随机过程的状态空间，记作S 。
S 中的元素称为状态。
状态空间可以由复数、实数或更一般的抽象空间构成。
实际应用中，随机过程的状态一般都具有特定的物理意义。
例1：抛掷一枚硬币，样本空间为},{T H =Ω，借此定义：⎩⎨⎧=时当出现，时当出现T 2H ,cos )(t t t X π ),(∞+-∞∈t 其中2/1}{}{==T P H P ，则)},(,)({∞+-∞∈t t X 是一随机过程。
随机过程初步理论引言随机过程是描述随机现象随时间变化的数学模型，是概率论的重要分支之一。
在现代科学与工程领域，随机过程的理论与应用具有广泛的意义，不仅能够描述许多自然和社会现象，也在金融、通信、生物医学等领域有着重要应用。
本文将从随机过程的基本理论入手，介绍随机过程的概念、分类、性质以及常见的随机过程模型。
随机过程的概念随机过程是一种描述随机演化规律的数学模型，通常用随机变量序列来表示。
在给定数学空间Ω、F、P上，随机过程可以理解为从时刻t到时刻t+n的一组随机变量序列{X(t),t∈T}。
其中，T表示时间的索引集合，一般来说是实数集合R或非负整数集合N，X(t)表示在时刻t发生的随机变量。
随机过程的分类根据随机变量的取值范围和索引集合的性质，随机过程可分为离散时间随机过程和连续时间随机过程。
离散时间随机过程是在离散时间点上定义的随机变量序列，常用来描述间隔的随机事件；而连续时间随机过程则在连续时间段上定义，用于描述持续变化的随机现象。
随机过程的性质随机过程具有许多重要的性质，其中最基本的是随机过程的独立增量性质。
即对于不重叠的时间间隔(t,t+n)，随机变量之间是相互独立的。
此外，随机过程还具有平稳性、马尔可夫性等重要性质，这些性质为随机过程的建模和分析提供了重要的依据。
常见的随机过程模型在实际应用中，常见的随机过程模型包括白噪声过程、布朗运动、泊松过程等。
其中，白噪声过程是一种具有均值为零、方差为常数的随机过程；布朗运动则是一种连续时间、无界增量、独立增量的随机过程，常用于金融领域的模拟和预测；泊松过程则用于描述一类随机事件的到达过程，如通信系统中的信号传输。
结论随机过程作为一种重要的概率模型，对于理解与描述随机现象的规律具有重要意义。
本文从随机过程的基本理论入手，简要介绍了随机过程的概念、分类、性质及常见模型，希望能为读者对随机过程的理解提供一些帮助。
在实际应用中，随机过程的研究和应用仍具有广阔的发展空间，需要进一步深入研究和探索。
第一章 随机过程1.1 引言对随机微分方程的研究所需要的随机过程的知识很多，因篇幅关系，只在本章中列出重要的、必备的相关知识和重要结论，这些知识主要包括：随机变量的概念及相关知识及条件期望；随机过程，特别是Markov 过程和Brown 运动的相关知识；随机微积分；Itô公式；一些重要不等式及随机比较定理。
本章的内容参考或转引自文献（Murry ，1998陈希孺，2003；林无烈2002；Mao ，1997；Mao ，2006胡适耕等，2007；王克，2010等），谨向相应的作者表示感谢。
1.2 随机变量概率用于度量随机事件的可能性，某个随机试验的所有可能的所有可能的基本结果或基本随机事件ω所构成的集合记为Ω，称为样本空间。
Ω的满足下面三个条件的子集族F 称为样本空间Ω的一个σ代数：（1）F ∅∈（2）若D F ∈，则其补集cD D F =Ω-∈； （3）若(i 1,2,)i D F ⊂=，则1i i D F ∞=∈。
F 中的元素称为Ω的F 可测集或随机事件。
若C 是样本空间Ω的一个子集族，则存在一个Ω的包含C 的最小的σ代数，记为(C)σ，称为由C 生成的σ代数。
由n的所有开集所生成的σ代数称为Borel σ代数，记为nB ，其中的元素称为n中的Borel 集。
定义在F 上的函数[]:0,1P F →称为可测空间(,F)Ω上的概率测度，如果它满足： （1）()1P Ω=；（2）若(i 1,2,)i A F ∈=且(i j)i j A A ⋂=∅≠，则()11i i i i P A P A ∞∞==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑。
三元组(),F,P Ω称为概率空间。
若一个概率空间的F 包含Ω的所有P 零外测集，也就是说，如果()(){}*:inf ,0P G P F F F G F =∈⊂=，则G F ⊂，此概率空间称为完备的。
任何一个概率空间都可以通过把其所有P 零外测集加入F 中，并重新定义概率测度来完备化。
第一章 随机过程的一般理论
§1.1 随机过程的基本概念
定义1.1 设(, , )P ΩF 是概率空间，是可测空间，是指标集. 若对任何，有，且(, )E E T t T ∈:t X E Ω→t X ∈F E ，则称{}(), t X t T ω∈是(, , )P ΩF 上的取值于中的随机过程，在无混淆的情况下简称(, )E E {}(), t X t T ω∈为随机过程，称为状态空间或相空间，称中的元素为状态，称为时间域. 对每个固定的(, )E E E T ω∈Ω，称()t X ω为{}(), t X t T ω∈对应于ω的轨道或现实，对每个固定的t T ∈，称()t X ω为值随机元. 有时E ()t X ω也记为
()()(, )t t X X X t X t ωω===.
设，T ⊂R {}, t t T ∈F 是F 中的一族单调增的子σ代数（σ代数流），即
① ，且t t T ∀∈⇒⊂F F t F 是σ代数；② , ,
s t s t T s t ∀∈<⇒⊂F F . 若()t t X t T ∈∀∈F E ，则称{}, t X t T ∈是{}t F 适应的随机过程，或适应于{}t F 的随机过程. 特别地，若令
1
(, , )(())t s s
s t s T
X s t s T X σσ−≤∈≤∈ ∪E F 是由{}, , s X s t s T ≤∈所生成的σ代数，则{}, t X t T ∈是{}t F 适应的随机过程.
当1(, )(, )E =R E B 时，称{}, t X t T ∈为实值随机过程；
当时，称(,
)(, )E =C C E B {}, t X t T ∈为复值随机过程； 当时，称(, )(, )n
n E =R E B {}, t X t T ∈为维随机过程； n 当是可列集（有限集）时，称E {}, t X t T ∈为可列（有限）随机过程；
当, T =+
R R 或时，称[], a b {}, t X t T ∈为连续参数的随机过程； 当T =Z 或时，称+
Z {}, t X t T ∈为离散参数的随机过程（随机序列）； 当, (), n n n T =+R R Z 或时，称()
(2)n
n ≥+Z {}, t X t T ∈为随机场. 随机过程的四种类型: （1）指标集离散，状态空间离散的随机过程；
T E （2）指标集离散，状态空间连续的随机过程；
T E （3）指标集连续，状态空间离散的随机过程；
T E （4）指标集连续，状态空间连续的随机过程.
T E 然而，以上分类是表面的，更深刻的是按随机过程的概率结构而分类. 例如：马尔可夫（Markov ）过程、平稳过程、独立增量过程、二阶矩过程、
正态过程、泊松（Poisson ）过程、生灭过程、分枝过程、更新过程、鞅等.
对于随机过程{}, t X t T ∈而言，可以这样设想，有一个作随机游动的质点M ，以表示在时刻质点t X t M 的位置，于是{}, t X t T ∈描绘了质点M 所作的随机运动的变化过程，一般把“t X x =”形象地说成“在时刻质点t M 处于状态x ”.
定义1.2 设{}, t X t T ∈是概率空间(, , )P ΩF 上的、以为状态空间的随机过程，（或或直线上的任一区间）.如果(, )E E T =+R R A ∀∈E ，有
{}(,):(,), (,)()t t T X t A T ωωω∈×Ω∈∈×B F ，
则称{}, t X t T ∈是可测的.
设{}, t t T ∈F 是F 中的一族单调增的子σ代数. 如果, ,
t T A ∀∈∈E 有
[]{}[]()(,):(,)0, , (,)0, t
u u t X t A t ωωω∈×Ω∈∈×B F ， 则称{}, t X t T ∈关于{}, t t T ∈F 循序可测.
命题1.1 设:t X E Ω→，()t t X t T ∈∀∈F E ，{}, t t T ∈F 是F 中的一族单调增的子σ代数. 如果{}, t X t T ∈关于{}, t t T ∈F 循序可测，则{}, t X t T ∈是可测的.
定义1.3 设{}, t X t T ∈是随机过程，称
{}{}():(), , t t t F x P X x P X x x t T ωω≤=≤∈∀∈
R 为随机过程{}, t X t T ∈的一维分布函数；称
{}
1212,12121212(,),, ,, ,t t t t F x x P X x X x x x t t T ≤≤∈∀∈R 为随机过程{}, t X t T ∈的二维分布函数；一般地，称
{}
1212,,,1212(,,,),,,,n n t t t n t t t n F x x x P X x X x X x ≤≤≤ 1212,,,, ,,,n n x x x t t t T ∈∀∈R
为随机过程{}, t X t T ∈的维分布函数；而称
n {}
12,,,1212(,,,):,,,,1n t t t n n F x x x t t t T n ∈≥ F 为随机过程{}, t X t T ∈的有限维分布函数族.
随机过程{}, t X t T ∈的有限维分布函数族具有下列性质：
F 1. 对1n ∀≥，，及的任意排列i ，有
12,,,n t t t T ∀∈ 12,,,n t t t 12,,,n i i t t t 121212,,,,,,12(,,,)(,,,)i i i n n n t t t i i i t t t n F x x x F x x x = ； （对称性）
2. 对1m n ∀≤≤，有
12121,,,12,,,,,,12(,,,)(,,,,,,)m m m n t t t m t t t t t m F x x x F x x x +=+∞+∞ .（相容性）
注：若知道了随机过程{}, t X t T ∈的有限维分布函数族,便知道了这一随机过程中任意有限个随机变量的联合分布，也就可以完全确定它们之间的相互关系。
可见，随机过程的有限维分布函数族能够完整地描述随机过程的统计特征。
但是在实际问题中，要知道随机过程的有限维分布函数族是不可能的，因此，人们想到了用随机过程的某些数字特征来刻画随机过程。
F 定义1.4 设{}, t X t T ∈是随机过程，称
()d ()()(d ), t t t m t EX x F x X P t T ωω+∞
−∞Ω
==∈∫∫ 为{}, t X t T ∈的均值函数；称
2()(()), t t D t DX E X m t t T =−∈
为{}, t X t T ∈的方差函数；称
(,)Cov(,)(())(()), ,s t s t C s t X X E X m s X m t s t T =−−∈
为{}, t X t T ∈的协方差函数；称
(,)(),,s t R s t E X X s t T =∈
为{}, t X t T ∈的相关函数.
注：若{}, t X t T ∈是复值随机过程，则方差函数的定义为
2()(), t D t E X m t t T =−∈； 协方差函数的定义为
(,)(())(()), ,s t C s t E X m s X m t s t T =−−∈；
相关函数的定义为
(,)(), ,s t R s t E X X s t T =∈.
性质（1）(,)(),
=∈；
C t t
D t t T
（2）；
=−∈
C s t R s t m s m t s t T
(,)(,)()(),,
（3）若，则
=∈.
C s t R s t s t T
()0
m t≡(,)(,),,。
